建模与仿真统计回归模型

Python数学建模StatsModels统计回归可视化⽰例详解⽬录1、如何认识可视化？2、StatsModels 绘图⼯具包（Graphics）3、Matplotlib 绘图⼯具包4、Seaborn 绘图⼯具包5、多元回归案例分析（Statsmodels）5.1 问题描述5.2 问题分析观察数据分布特征观察数据间的相关性建模与拟合6、Python 例程（Statsmodels）6.1 问题描述6.2 Python 程序6.3 程序运⾏结果：1、如何认识可视化？需要指出的是，虽然不同绘图⼯具包的功能、效果会有差异，但在常⽤功能上相差并不是很⼤。

与选择哪种绘图⼯具包相⽐，更重要的是针对不同的问题，需要思考选择什么⽅式、何种图形去展⽰分析过程和结果。

换句话说，可视化只是⼿段和形式，⼿段要为⽬的服务，形式要为内容服务，这个关系⼀定不能颠倒了。

因此，可视化是伴随着分析问题、解决问题的过程⽽进⾏思考、设计和实现的，⽽且还会影响问题的分析和解决过程：可视化⼯具是数据探索的常⽤⼿段回归分析是基于数据的建模，在导⼊数据后⾸先要进⾏数据探索，对给出的或收集的数据有个⼤概的了解，主要包括数据质量探索和数据特征分析。

数据准备中的异常值分析，往往就需要⽤到箱形图（Boxplot）。

对于数据特征的分析，经常使⽤频率分布图或频率分布直⽅图（Hist），饼图（Pie）。

分析问题需要可视化⼯具的帮助对于问题中变量之间的关系，有些可以通过定性分析来确定或猜想，需要进⼀步的验证，有些复杂关系难以由分析得到，则要通过对数据进⾏初步的相关分析来寻找线索。

在分析问题、尝试求解的过程中，虽然可以得到各种统计量、特征值，但可视化图形能提供更快捷、直观、丰富的信息，对于发现规律、产⽣灵感很有帮助。

解题过程需要可视化⼯具的⽀持在解决问题的过程中，也经常会希望尽快获得初步的结果、总体的评价，以便确认解决问题的思路和⽅法是否正确。

这些情况下，我们更关⼼的往往是绘图的便捷性，图形的表现效果反⽽是次要的。

系统建模与仿真及其方法1 什么是建模与仿真模型（model）：对系统、实体、现象、过程的数学、物理或逻辑的描述。

建模（modeling）:建立概念关系、数学或计算机模型的过程,又称模型化，就是为了理解事物而对事物做出的一种抽象，是对事物的一种描述系统的因果关系或相互关系的过程都属于建模，所以实现这一过程的手段和方法也是多种多样的。

仿真（simulation）：通过研究一个能代表所研究对象的模型来代替对实际对象的研究。

计算机仿真就是在计算机上用数字形式表达实际系统的运动规律。

2十种建模与仿真的方法：2.1智能仿真是以知识为核心和人类思维行为做背景的智能技术，引入整个建模与仿真过程，构造各处基本知识的仿真系统，即智能仿真平台。

智能仿真技术的开发途径是人工智能（如专家系统、知识工程、模式识别、神经网络等）与仿真技术（仿真模型、仿真算法、仿真软件等）的集成化。

2.2多媒体仿真[1]它是在可视化仿真的基础上再加入声音，从而得到视觉和听觉媒体组合的多媒体仿真。

多媒体仿真是对传统意义上数字仿真概念内涵的扩展，它利用系统分析的原理与信息技术，以更加接近自然的多媒体形式建立描述系统内在变化规律的模型，并在计算机上以多媒体的形式再现系统动态演变过程，从而获得有关系统的感性和理性认识。

2.3频域建模方法频域建模方法就是从s域的传递函数G(s)，根据相似原理得到与它匹配的z域传递函数G(z)，从而导出其差分模型。

2.4模糊仿真方法[2]基于模糊数学，在建立模型框架的基础上，对于观测数据的不确定性，采用模糊数学的方法进行处理。

2.5蒙特卡罗仿真方法当系统中各个单元的可靠性特征量已知，但系统的可靠性过于复杂，难以建立可靠性预计的精确数学模型，或者模型太复杂而不便应用则可用随机模拟法近似计算出出系统可靠性的预计值。

基本思想：当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。

二、多元线性回归分析1.简介多元回归分析预测法，是指通过对两上或两个以上的自变量与一个因变量的相关分析，建立预测模型进行预测的方法。

当自变量与因变量之间存在线性关系时，称为多元线性回归分析。

应用于根据现有资料对某变量进行预测，如预测某商品的销量等。

2.步骤①根据预测目标，确定自变量和因变量。

②建立多元线性归回模型 根据预测目标得自变量(1,2,,)k x k m =，因变量y 。

设与k x 无关的未知量2(1,,),j j m βσ= ，j β为回归系数。

记y ，k x 的观测值分别为i b ，im a ，1,,,i n n m =>，n 阶单位矩阵n E ，且111111m n nm a a X a a ⎡⎤⎢⎥= ⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦，1,n b Y b ⎡⎤⎢⎥= ⎢⎥⎢⎥⎣⎦[][]101,,,,,TTn m εεεββββ==则多元线性回归分析的模型为2,~(0,).n Y X N E βεεσ=+⎧⎨⎩（1） ③求归回系数使用最小二乘法求j β的估计值，选取估计值ˆj β，使当ˆj jββ=时，误差平方和222011111ˆ)()nnni i ii i m im i i i Q b b b a a εβββ=====-=----∑∑∑（最小。

因此，令j0,0,1,2,3Qj c ∂==∂.得到正规方程组: ,T T j X X X Y β=则有1ˆ().T T jX X X Y β-= 利用matlab 求解正规方程组即得j β的估计值为将ˆj β带回（1）得y 的估计值为 011ˆˆˆˆ,m my x x βββ=+++ 拟合为011ˆˆˆˆ,1,,.i m mb x x i n βββ=+++=用拟合误差ˆe Y Y =-作为随机误差ε的估计值得ε= 残差平方和2211ˆ()nni i ii i Q e b b ====-∑∑ ④回归模型的假设检验由于不确定因变量与自变量之间是否存在线性关系，现对其作出检验。

线性回归模型的建模与分析方法线性回归模型是一种常用的统计学方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。

在本文中，我们将探讨线性回归模型的建模与分析方法，以及如何使用这些方法来解决实际问题。

一、线性回归模型的基本原理线性回归模型假设自变量与因变量之间存在线性关系，即因变量可以通过自变量的线性组合来预测。

其基本形式可以表示为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε其中，Y表示因变量，X1、X2、...、Xn表示自变量，β0、β1、β2、...、βn表示回归系数，ε表示误差项。

二、线性回归模型的建模步骤1. 收集数据：首先需要收集自变量和因变量的相关数据，确保数据的准确性和完整性。

2. 数据预处理：对数据进行清洗、缺失值处理、异常值处理等预处理步骤，以确保数据的可靠性。

3. 模型选择：根据实际问题和数据特点，选择适合的线性回归模型，如简单线性回归模型、多元线性回归模型等。

4. 模型拟合：使用最小二乘法等方法，拟合回归模型，得到回归系数的估计值。

5. 模型评估：通过统计指标如R方值、调整R方值、残差分析等，评估模型的拟合优度和预测能力。

6. 模型应用：利用已建立的模型进行预测、推断或决策，为实际问题提供解决方案。

三、线性回归模型的分析方法1. 回归系数的显著性检验：通过假设检验，判断回归系数是否显著不为零，进一步判断自变量对因变量的影响是否显著。

2. 多重共线性检验：通过计算自变量之间的相关系数矩阵，判断是否存在多重共线性问题。

若存在多重共线性，需要进行相应处理，如剔除相关性较高的自变量。

3. 残差分析：通过观察残差的分布情况，判断模型是否符合线性回归的基本假设，如误差项的独立性、正态性和方差齐性等。

4. 模型诊断：通过观察残差图、QQ图、杠杆值等，判断是否存在异常值、离群点或高杠杆观测点，并采取相应措施进行修正。

5. 模型优化：根据模型评估结果，对模型进行优化，如引入交互项、非线性变换等，以提高模型的拟合效果和预测准确性。

统计回归模型姓名：姚敏俊 班级：08数学（1）班 学号 08070210025摘要随着社会经济的飞速发展，社会人员更关心的是自己的社会福利和工资待遇问题。

在这里我们就中学教师的工资待遇问题建立了模型，并对模型作出了一系列讨论。

如：教师的薪金与他们的工作时间1x 、性别2x 、学历4x 、以及培训情况6x 等因素之间的关系。

我们首先利用MATLAB(程序见附录五)软件作出薪金与老师工作时间的散点图，如图（二），然后假设工作时间与教师薪金为线性关系，其关系式如模型（一）；再运用统计回归模型分别从各个方面特别考虑了中学女教师的工资待遇是否受她们的婚姻状况3x 的影响。

经过对模型的各个变量的逐步回归和作残差图，详见图我们从众多变量中挑选出了对教师薪金y 影响最大的变量4x 及1x ，各个变量对教师的薪金的影响的回归系数如图（三），程序见附录（二）。

从影响系数的表图中我们得出了学历对教师的薪金的影响最大。

经过对模型的分析、讨论和进一步的优化，此模型还可以运用到市场调查、教师调研、影响农作物生长的的因素等等相关问题上。

模型（一）：ε+*+*+*+*+*+*+*+=776655443322110x a x a x a x a x a x a x a a y 模型（二）：44110x a x a a y *+*+=关键词：散点图 线性关系 统计回归模性 回归系数 逐步回归一、问题重述每地人事部门研究中学教师的薪金与他们的资历、性别、教育程度、及培训情况等因素之间的关系，要建立一个数学模型，分析人事策略的合理性，特别是考察女教师是否受到不公正的待遇，以及她们的婚姻状况是否会影响收入。

为此，从当地教师中随机选中3414位进行观察，然后从中保留了90个观察对象，得到关键数据。

二、问题分析与假设分析：本题要求我们分析教师薪金与他们的资历、性别、教育程度及培训情况等因素之间的关系。

按到日常生活中的常识，教师薪金应该与他们的资历、受教育程度有密切关系，资历高、受教育程度高其薪金也应该相应的要高，与其性别、婚姻状况应该没有必然的联系。

数学建模常用模型与算法一、常用模型☐（一）、评价模型：☐AHP(层次分析法)（确定权重)、模糊评价、聚类分析、因子分析、主成份分析、回归分析、神经网络、多指标综合评价、熵值法(确定权重)等☐（二）、预测模型：☐指数平滑法、灰色预测法、回归模型、神经网络预测、时间序列模型、马尔科夫预测、差分微分方程☐（三）、统计模型：☐方差分析、均值比较的假设检验☐（四）、方程模型：☐常微分方程、差分方程、偏微分方程、以及各种方程的求解（数值解和解析解）☐（五）运筹优化类：☐线性规划、非线性规划、目标规划、整数规划、图论模型（最短路、最大流、遍历问题等）、排队论、对策论、以及各种模型的算法☐(六)其他模型：☐随机模拟模型、等二、十大算法1、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法）2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具）3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现）4、图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备）5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中）6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用）7、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具）8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的）9、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用）10、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理）。

数学建模大作业摘要某公司想用全行业的销售额作为自变量来预测公司的销售额，题目给出了1977—1981此公司的销售额和行业销售额的分季度数据表格。

通过对所给数据的简单分析，我们可以看出：此公司的销售额有随着行业销售额的增加而增加的趋势，为了更加精确的分析题目所给的数据，得出科学的结论，从而达到合理预测的目的。

我们使用时间序列分析法，参照课本统计回归模型例4，做出了如下的统计回归模型。

在问题一中，我们使用MATLB数学软件，画出了数据的散点图，通过观察散点图，发现公司的销售额和行业销售额之间有很强的线性关系，于是我们用线性回归模型去拟合，发现有很好的拟合性。

但是这种情况下，并没有考虑到数据的自相关性，所以我们做了下面几个问题的分析来对这个数学模型进行优化。

在问题二中，通过建立了公司销售额对全行业销售额的回归模型，并使用DW检测诊断随机误差项的自相关性。

通过计算和查DW表比较后发现随即误差存在正自相关，也就是说前面的模型有一定的局限性，预测结果存在一定的偏差，还有需要改进的地方。

在问题三中，因为在问题二中得出随即误差存在正自相关，为了消除随机误差的自相关性，我们建立了一个加入自相关后的回归模型。

并对其作出了分析和验证，我们发现加入自相关后的回归模型更加合理。

通过使用我们建立的模型对公司的销售额进行预测，发现和实际的销售额很接近，也就是说模型效果还不错。

关键词：销售额、回归模型、自相关性一、问题提出某公司想用全行业的销售额作为自变量来预测公司的销售额，下表给出了1977-1981年公司销售额和行业销售额的分季度数据（单位：百万元）.（1）画出数据的散点图，观察用线性回归模型拟合是否合适。

（2）监理公司销售额对全行业销售额的回归模型，并用DW检验诊断随机误差项的自相关性。

二、基本假设假设一：模型中ε（对时间t ）相互独立。

三、符号说明公司销售额：y （百万）行业销售额：x （百万） 概念介绍：1.自相关：自相关（auto correlation ），又称序列相关（serial correlation ）是指总体回归模型的随机误差项之间存在的相关关系。

一、实验目的[1] 通过范例学习建立统计回归的数学模型以及求解全过程；[2] 熟悉MATLAB求解统计回归模型的过程。

二、实验内容(1) 一家技术公司人事部门为研究软件开发人员的薪金与他们的资历、管理责任、教育程度等因素之间的关系，要建立一个数学模型，以便分析公司人事策略的合理性，并作为新聘用人员薪金的参考。

他们认为目前公司人员的薪金总体上是合理的，可以作为建模的依据，于是调查来46名软件开发人员的档案资料，如表4，其中资历一列指从事专业工作的年数，管理一列中1表示管理人员，0表示非管理人员，教育一列中1表示中学程度，2表示大学程度，3表示更高程度（研究生）表1 软件开发人员的薪金与他们的资历、管理责任、教育程度之间的关系分析与假设按照常识，薪金自然随着资历的增长而增加，管理人员的薪金应高于非管理人员，教育程度越高薪金也越高。

薪金记作y ，资历记作x 1，为了表示是否管理人员，定义：210,x ⎧=⎨⎩，管理人员非管理人员.为了表示3种教育程度，定义：31,0,x ⎧=⎨⎩中学其它41,0,x ⎧=⎨⎩大学其它这样，中学用x 3=1，x 4=0表示，大学用x 3=0,x 4=1表示，研究生则用x 3=0，x 4=0表示。

假定资历对薪金的作用是线性的，即资历每加一年，薪金的增长是常数；管理责任、教育程度、资历诸因素之间没有交互作用，建立线性回归模型。

基本模型薪金y 与资历x 1, 管理责任x 2，教育程度x 3，x 4之间的多元线性回归模型为011223344y a a x a x a x a x ε=+++++（1）其中014,,a a a …，是待估计的回归系数，ε是随机误差。

利用MATLAB 编程计算可以得到回归系数及其置信区间（置信水平∝=0.05）、检验统计量R2，F，p结果，见表2：表2 模型（1）的计算结果具体MA TLAB代码如下所示：实际运行结果截图如下所示：结果分析: R 2=0.957，即因变量（薪金）的95.7%可由模型确定，F 值远远超过F 检验的临界值，p 远小于∝，因而模型（1）从整体来看是可用的。

建模建立概念关系、数学或计算机模型的过程,又称模型化,就是为了理解事物而对事物做出的一种抽象，是对事物的一种描述系统的因果关系或相互关系的过程都属于建模,所以实现这一过程的手段和方法也是多种多样的.仿真利用模型复现实际系统中发生的本质过程，并通过对系统模型的实验来研究存在的或设计中的系统，又称模拟.即模型随时间变化的实现方法。

这里所指的模型包括物理的和数学的,静态的和动态的，连续的和离散的各种模型.广义而言, 仿真是采用建模和物理的方法对客观事物进行抽象、映射、描述和复现。

建模与仿真的方法：1时间序列预测法时间序列预测法就是通过编制和分析时间序列，根据时间序列所反映出来的发展过程、方向和趋势,进行类推或延伸，借以预测下一段时间或以后若干年内可能达到的水平。

其内容包括：收集与整理某种社会现象的历史资料；对这些资料进行检查鉴别，排成数列；分析时间数列，从中寻找该社会现象随时间变化而变化的规律，得出一定的模式；以此模式去预测该社会现象将来的情况。

2定性仿真方法基于建立模型框架，对于参数采取定性处理（从一定性的约束集和一个初始状态出发预测系统未来行为）的方法.3归纳推理方法基于黑箱概念，假设对系统结构一无所知，只从系统的行为一级进行建模与仿真,根据系统观测数据，生成系统定性行为模型,用于预测系统行为.4系统动力学方法基于信息反馈及系统稳定性的概念，认为物理系统中的动力学性质及反馈控制过程在复杂系统中同样存在。

系统动力学仿真的主要目的是研究系统的变化趋势，而不注重数据的精确性.5频域建模方法频域建模方法就是从s域的传递函数G（s)，根据相似原理得到与它匹配的z域传递函数G（z)，从而导出其差分模型。

6图解建模图解建模法是一种采用点和线组成的、用以描述系统的图形或称图的建模方法。

图模型属于结构模型，可以用于描述自然界和人类社会中的大量事物和事物之间的关系。

在建模中采用图论作为工具。

按图的性质进行分析，为研究各种系统特别是复杂系统提供了一种有效的方法。

统计回归模型（理论+实例+Matlab 代码）一、一元线性回归回归分析中最简单的形式是x y 10ββ+=，y x ,均为标量，10,ββ为回归系数，称一元线性回归。

这里不多做介绍，在线性回归中以介绍多元线性回归分析为主。

二、多元线性回归（regress ）多元线性回归是由一元线性回归推广而来的，把x 自然推广为多元变量。

m m x x y βββ+++= 110 （1）2≥m ，或者更一般地)()(110x f x f y m m βββ+++= （2）其中),,(1m x x x =，),,1(m j f j =是已知函数。

这里y 对回归系数),,,(10m ββββ =是线性的，称为多元线性回归。

不难看出，对自变量x 作变量代换，就可将（2）化为（1）的形式，所以下面以（1）为多元线性回归的标准型。

1.1 模型在回归分析中自变量),,,(21m x x x x =是影响因变量y 的主要因素，是人们能控制或能观察的，而y 还受到随机因素的干扰，可以合理地假设这种干扰服从零均值的正态分布，于是模型记作⎩⎨⎧++++=),0(~2110σεεβββN x x y m m （3） 其中σ未知。

现得到n 个独立观测数据),,,(1im i i x x y ，m n n i >=,,,1 ，由（3）得⎩⎨⎧=++++=ni N x x y i i im m i i ,,1),,0(~2110 σεεβββ （4） 记⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=nm n m x x x x X 111111， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n y y Y 1 （5） T n ][1εεε =，T m ][10ββββ =（4）表示为⎩⎨⎧+=),0(~2σεεβN X Y （6） 1.2 参数估计用最小二乘法估计模型（3）中的参数β。

由（4）式这组数据的误差平方和为∑=--==ni T i X Y X Y Q 12)()()(ββεβ （7）求β使)(βQ 最小，得到β的最小二乘估计，记作βˆ，可以推出 Y X X X T T 1)(ˆ-=β（8） 将βˆ代回原模型得到y 的估计值mm x x y βββˆˆˆˆ110+++= （9） 而这组数据的拟合值为βˆˆX Y =，拟合误差Y Y e ˆ-=称为残差，可作为随机误差ε的估计，而∑∑==-==n i ni i i iy y e Q 1122)ˆ( （10） 为残差平方和（或剩余平方和），即)ˆ(βQ 。