随机过程(2011.7.2)

白鹏: 随机过程
例 1.2 一醉汉在路上行走, 以概率 p 前进一步, 概率 q 后退一步, p q 1 . 以 X (t ) 表示他在街上的位置, 则 { X (t ), t [0, )} 是直线上的随机游动. 例 1.3 神经细胞在细胞膜的位势达到某一临界值 C 时就要兴奋. 刺激和抑制两种脉冲 以一定的速率(比如 Poisson 过程)抵达细胞. 前者使位势升高, 后者使位势降低. 升降的幅度 服从相同的分布 H ( x) . 神经细胞在兴奋过后位势恢复到 0, 而后过程再度重复. 记 Ti 为两 次兴奋的间隔时间, 并记 X (t ) 为时刻 t 时细胞膜的位势, 则过程 { X (t ), t [0, )} 的一次 实现如图 1.1 所示.
1 n
P{ X (t1 ) x1 , , X (tn ) xn } Ft1 ,,tn ( x1 , , xn ), x1 , , xn (, ).
) (2)相容性: 高维分布函数的边缘分布函数与相应低维分布函数相同. Kolmogorov 相容性定理 若分布函数族 满足对称性和相容性 , 则有随机过程
图 1.1 神经细胞膜的位势 例 1.4 达到总机交换台的呼叫次数为一 Poisson 过程. 每次呼叫是相互独立的, 而间隔 时间服从指数分布. 交换台在同一时间只能接通 K 个呼叫. 人们常要了解在某一时刻的排 队长度以及呼叫的平均等待时间. 这是一种排队模型. 例 1.5 流行病学的研究中有如下模型: 在时刻 0 时易感人群大小为 X (0) , Y (0) 是已 受感染的人数. 假定易感人群被传染的概率为 p , 则经过一段传染周期后(记之为单位时间),
(t ) 代表误差. 真正的信号 X (t ) 并不可能观测到, 所能观测到的是
Y (t ) X (t ) Z (t ),
其中 Z (t ) 为噪声. 从观测值 Y (t ) 出发, 检测出 X (t ) 是通讯工程中的重要课题. 这是过程的 预测与滤波问题. 例 1.7 水库库容调度. 记 Y (t ) 为 [t , t 1) 年间的水库蓄水量, M 为每年年底固定的 清库泄洪量, X (t 1) min{ X (t ) Y (t ), K } min{ X (t ) Y (t ), M } , 其中 K 为大坝的设 计库容. 过程 { X (t ), t 0} 为一 Markov 过程. 例 1.8 记 X (t ) 为时刻 t 的商品价格. 若 X (t ) 适合线性模型
(1.1)
为随机过程 { X (t ), t T } 的 n 维分布函数, t1 , , tn T . 称集合
{Ft1 ,,tn ( x1 , , xn ) : t1 , , tn T , n 1}
(1.2)
为 { X (t ), t T } 的有限维分布函数族. 具有对称性和相容性. (1)对称性: 对 1 n 的任意置换 i1 in , 有
为其自协方差函数, 而称二元函数
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rX (t1 , t2 )
Cov( X (t1 ), X (t2 )) [Var ( X (t1 ))Var ( X (t2 ))]1/2
RX (t1 , t2 ) , t1 , t2 T [ RX (t1 , t1 ) RX (t2 , t2 )]1/ 2
i 1 j 1 i 1 j 1 n n
Cov(bi X (ti ), b j X (t j ))
i 1 j 1
Cov( bi X (ti ), b j X (t j )) 0.
i 1 j 1
n
n
) 一般地, 称 n 元函数
Ft1 ,,tn ( x1 , , xn ) P( X (t1 ) x1 , , X (tn ) xn ), x1 , , xn (, )
{(t , ) : t T , }
上 的 函 数 , 因 此 X (t ) 应 完 整 地 记 为 X (t , ) . 当 取 定 0 ( 即 进 行 一 次 试 作为 t 的函数就是一条样本路径(也称为轨道), 例如在上面的例子中, 随着股
随机过程
讲稿
学者必先立志, 志立则心定, 心定则事成。
白 鹏
白鹏: 随机过程
第一章 引论
1.1 引言
1.1.1 基本概念和例子 在概率论中, 往往是通过随机变量研究随机现象的. 与概率论研究少数随机变量不同的 是, 在随机过程中, 往往需要考虑一族随机变量. 例如, 以 X (t ) 表示某支股票在第 t 个交易 日的最高价, 则得一族随机变量 X (t ), t 1, 2, . 再例如, 以 X (t ) 表示第 t 天达到某商店的 顾客数, 则得一族随机变量 X (t ), t 1, 2, . 定义 1.1 随机过程是一族随机变量 { X (t ), t T } , 其中 t ( T ) 是指标, T 称为指标 集. 由于随机变量是定义在基本事件空间 上的函数, 因此随机过程 { X (t ), t T } 中的随 机变量 X (t ) 是定义在集合
为其一维分布函数, t T , 而称一元函数 为其均值函数, 称一元函数
X (t ) E[ X (t )], t T
Var ( X (t )) E[( X (t ) X (t )) 2 ], t T Ft1 ,t2 ( x1 , x2 ) P( X (t1 ) x1 , X (t2 ) x2 ), x1 , x2 (, )
态空间. 根据随机过程 { X (t ), t T } 指标集 T 及状态空间的不同, 可对随机过程进行分类. 依指 标集, T 为有限集或可数集的 { X (t ), t T } 称为离散参数过程, 否则称为连续参数过程; 依 状态空间, 状态空间为有限集或可数集的 { X (t ), t T } 称为离散状态过程, 否则称为连续状 态过程. 随机过程的一些例子(即实际背景): 例 1.1 英国植物学家 Brown 注意到漂浮在液体表面上的微小粒子不断地进行不规则的 运动, 这是大量液体分子频繁随机碰撞粒子的结果. 若记 ( X (t ), Y (t )) 为粒子在液体表面上 的位置, 则 {( X (t ), Y (t )), t [0, )} 是平面上的 Brown 运动.
bib j RX (ti , t j ) 0,
i 1 j 1 n n n n
n
n
b b r
i 1 j 1 i
n
n
j X
(ti , t j ) 0.
(这是因为(以自协方差函数为例)
bib j RX (ti , t j ) bib jCov( X (ti ), X (t j ))
市 的 开 盘 , 将 X (t ) 逐 日 记 录 , 就 得 到 样 本 路 径 X (t ), t 1, 2, , N . 当 取 定 t0 T 时 ,
X (t0 , ) 是一随机变量, 其值称为随机过程 { X (t ), t T } 在 t0 处的状态, 状态的全体称为状
{ X (t ), t 0, 1, 2,} 服从 ARMA 模型——混合自回归滑动平均模型.
1.1.2 有限维分布和数字特征 在研究随机过程 { X (t ), t T } 的概率统计特性时, 称一元函数
Ft ( x) P( X (t ) x), x (, )
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{ X (t ), t T } 存在, 使 { X (t ), t T } 的有限维分布函数族为 .
例 1.9 设 X (n) 为第 n 次独立地扔一六面骰子的结果, 则 { X (n), n 1, 2,} 为一随机 过 程 , 指 标 集 为 {1, 2,} , 状 态 空 间 为 {1, 2,3, 4,5, 6} . 序 列 3,1, 4, 6,3, 2,5,5,1, 为
为其方差函数. 进而, 称二元函数
为其二维分布函数, t1 , t2 T , 称二元函数
RX (t1 , t2 ) Cov( X (t1 ), X (t2 )) E[( X (t1 ) X (t1 ))( X (t2 ) X (t2 ))], t1 , t2 T
i j j p (1 p) . j
{ X (t ), t 0,1, 2,} 是以上式为状态转移概率的 Markov 过程.
例 1.6 设 X (t ) 为信号流, 满足方程
X (t 1) aX (t ) (t ),
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其中 a 为实参数,
Fti ,,ti ( xi1 , , xin ) Ft1 ,,tn ( x1 , , xn ), x1 , , xn (, ).
1 n
(这是因为
Fti ,,ti ( xi1 , , xin ) P{ X (ti1 ) xi1 , , X (tin ) xin }
{ X (n), n 1, 2,} 的一次可能的实现. 此随机过程的均值函数为
方差函数为
X (n) i·
i 1
6
1 6
1 6(1 6) 7 , 6 2 2
Var ( X (n)) E ( X (n) 2 ) [ E ( X (n))]2
1 7 1 6(6 1)(2·6 1) 7 i · 6 2 6 6 2 i 1 35 , n 1, 2, , 12
为其自相关函数. 自协方差函数和自相关函数具有对称性和非负定性: (1)对称性: RX (t1 , t2 ) RX (t2 , t1 ), rX (t1 , t2 ) rX (t2 , t1 ), t1 , t2 T . (2)非负定性: 对任意正整数 n , 任意 t1 , , tn T 及任意常数 b1 , , bn , 均有