随机过程 第二章

其一维概率密度函数为
F ( x, t ) f ( x, t ) x 相应的一维特征函数为
X ( , t ) E{e
i X
}


f ( x, t )ei x dx
n 维分布律
[定义] 设 XT ={X (t), t T } 是随机过程，对任意 n 1 和
t1, t2, …, tn T ，随机过程 XT 的 n 维分布函数为

证明：B (s, t ) E[( X (s) m (s))( X (t ) m (t ))] X X X
E[ X ( s) X (t )] E[ X ( s)]mX (t ) E[ X (t )]mX ( s ) mX ( s )mX (t )
RX (s, t ) mX (s)mX (t )
度、重量、速度等物理量。随机过程本来通称随机函
数，当参数 T 时间集时称为随机过程，但现在将参数 不是时间集的随机函数也称为随机过程，对参数集 T 不再有时间集的限制。
2.2 随机过程的分布律和数字特征
[定义] 随机过程XT ={X (t), t T }在时刻 t 的一维分布函
数为
F ( x, t ) P{ X (t ) x}
例3

天气预报问题： 在天气预报中， 若以Xt表示某地 区第t次统计所 得到的该天最 高气温，则Xt是 随机变量， {Xt , t =0, 1, … }是随 机过程。
例4
Brown运动：漂浮在液 体表面上的微小粒子 不断进行无规则的运 动，它是大量分子随
机碰撞的结果，若记
（X(t),Y(t))为粒子在平
归一化协方差函数——相关系数：
BX ( s , t ) X ( s, t ) X ( s) X (t )
几种关系
BX (s, t ) RX ( s, t ) mX ( s)mX (t )
2 DX (t ) BX (t , t ) RX (t , t ) mX (t )
（2）随机过程是随机变量的推广。随机变量是在固定时间t
上的试验结果，是一个数的集合。而当随机过程在tT上的 试验结果，是一个时间函数的集合。当t固定时，随机过程 就成为一个随机变量。
疑难解析
（3）随机变量X(e)是定义在Ω 上的函数，对每个e Ω，都有 确定的x与之相对应；而随机过程当e Ω时，对应的X(e,t)
几种关系

均值函数 mX (t) 和相关函数 RX (s, t) 是最基本的两个
数字特征。

“相关理论”——在随机过程理论中，仅研究 mX (t) 和 RX (s, t)有关的理论。


均值函数mX(t)是随机过程在时刻t的平均值。
方差函数DX(t)是随机过程在时刻t对均值mX(t)的偏离 程度。 协方差函数BX(s，t)和相关函数RX(s，t)反映随机过 程在时刻s和t时的线性相关程度。
面坐标上的位置，则
它是平面上的随机过
程{(X(t),Y(t)),t∈T}
例5
海浪分析：在海浪分 析中，需要观测某固 定点处的垂直振动。 设X(t)表示在时刻t该
处的海平面相对于平
均海平面的高度。则 X(t)是随机变量，而
{X(t),t∈[0,∞)}是随
机过程
例6
随机游动：一个 醉汉在路上行走， 以概率P前一步， 以概率1-p后退一 步（假设步长相 同）以X(t)记他 在t时刻在路上的 位置，则X(t)为 随机过程。

若对于任意时刻 t1, t2, …, tn T 和任意 n 1 ，随机过 程 X (t) 的 n维分布函数或概率密度都已知，则认为 该随机过程的统计描述是完全的或者具有全局统计特
征。

通常描述的是随机过程的局部统计特征（n 为有限 值），例如一维、 n维联合分布函数（及以下的数字 特征等）。
F ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 ,, tn ) F ( xi1 , xi2 ,, xin ; ti1 , ti2 ,, tin )
(2) 相容性：当 m<n 时，
F ( x1 , x2 ,, xm ; t1 , t2 ,, tm ) F ( x1 , x2 ,, xm , ,, ; t1 , t2 ,, tn )

例1

已知随机相位正弦波 X (t) = a cos(t + )，其
中 a >0， 为常数，为在（0, 2）内均匀分 布的随机变量。
求随机过程 { X (t), t (0, ) } 的均值函数 mX (t)
和相关函数 RX (s, t) 。
mX (t ) 0 a2 a2 R X ( s, t ) cos[ (t s)] cos , ( t s) 2 2
2 -

DX (t ) E{[ X (t ) m X (t )]2 } [ x m X (t )]2 f ( x, t )dx

标准差：
X (t ) DX (t )
（自）相关函数和协方差函数
相关函数
RX ( s, t ) E{ X ( s) X (t )}



xs xt f ( xs , xt ; s, t )dxs dxt
协方差函数
BX ( s, t ) E{[ X ( s) mX ( s)][ X (t ) mX (t )]}



[ xs mX ( s)][ xt mX (t )] f ( xs , xt ; s, t )dxs dxt

离散随机序列
参数离散，状态离散
疑难解析
1、怎样理解随机过程？它与函数及随机变量有何不同？ 答（1）随机过程将普通函数的概念从实数与实数的对应关系
推广到实数与随机变量的对应关系。对普通函数而言，当
tT时，总有一个确定的实数x与之对应；而对随机过程而 言，当tT时，与之对应的X(e，t）是一个随机变量。
2 随机过程的概念与 基本类型
内容提要
随机过程的基本概念 随机过程的分布律和数字特征 复随机过程 几种重要的随机过程
2.1 随机过程的基本概念

初等概率论——研究的主要对象：一个或有限 个随机变量（或向量），虽然也讨论随机变量 序列，
2.1 随机过程的基本概念
例2

设 X (t) 为信号过程，Y (t) 为噪声过程，令 W (t) = X (t) + Y (t)，
则 W (t) 的均值函数为
其相关函数为
mW (t ) mX (t ) mY (t )
RW (t ) E{[ X ( s ) Y ( s )][ X (t ) Y (t )]} E[ X ( s ) X (t )] E[ X ( s )Y (t )] E[Y ( s ) X (t )] E[Y ( s )Y (t )] RX ( s, t ) RXY ( s, t ) RYX ( s, t ) RY ( s, t )



[ x mX ( s )][ y my (t )] f ( x, s; y , t )dxdy
关系式：
BXY ( s, t ) RXY ( s, t ) mX ( s)mY (t )
当BXY (s,t) =0时，称{X (t), t T }与 {Y (t), t T } 互不相关 当RXY (s,t) =0时，称{X (t), t T }与 {Y (t), t T } 相互正交
2.3 复随机过程
在工程中，常把随机过程表示成复数形式来进行研究。 本节我们来研究复随机过程。 [定义] 两个实随机过程：{ Xt , t T }和 {Yt , t T }，若对 于任意 t T，有
Kolmogorov定理
总结：柯尔莫哥洛夫定理说明：随机过程有限维 分布族是随机过程概率特征的完整描述。柯尔莫
哥洛夫定理是随机过程理论的基本定理。它是证
明随机过程存在性的有力工具。但在实际问题中，
要知道随机过程的全部有限维分布族是不可能的。
因此人们想到用随机过程的某些数字特征来刻画
随机过程。
全局特征与局部特征
示时间。
状态与样本函数
X (t, e) 是定义在 T 上的二元函数

状态——对于固定时刻 t T ，X (t, e) 是 (, F, P) 上
的随机变量，此时把 X (t) 所取的值称为随机过程X (t) 在时刻 t 所处的状态。 X (t) 的所有可能状态所构成的集合称为状态空间或 相空间，记为I。
又是t的函数，称为样本函数或样本曲线。所以随机过程将
随机变量从e与实数对应推广到e与实函数的对应。 （4）随机过程是一族随机变量，T中有多少个元素，X(e,t) 就含有多少个随机变量。随机变量又是一族样本函数，每 一e Ω对应一个样本函数， Ω 含有多少个事件，就有多少 个样本函数。
疑难解析
随机过程对参数集T有何要求？ 随机过程定义中的参数 T 可以是时间集，也可以是长
互相关函数、互协方差函数
设有两个二阶矩过程{X (t), t T }和 {Y (t), t T } ， 互相关函数
RXY ( s, t ) E{ X ( s)Y (t )}


xy f ( x, s; y, t )dxdy
互协方差 函数
BXY ( s, t ) E{[ X (s ) mX (s )][Y (t ) mY (t )]}
随机过程的数字特征
[定义] 设随机过程 XT ={X (t), t T }是二阶矩过程，即对任 意t T，E{X (t)}和E{X2(t)}存在，则其数字特征定义为 均值函数
mX (t ) E{ X (t )} xf ( x, t )dx