启迪教育初二四边形讲义3

四边形的存在性内容分析本节包含两部分，平行四边形的存在性及梯形的存在性，常见题型是存在菱形和正方形，根据题目中的条件及特殊的平行四边形的性质构造等量关系，求出相应的点的坐标；常见的梯形的问题中，经常需要添加辅助线，考察学生的分类讨论思想及逻辑思维能力．知识结构模块一平行四边形的存在性知识精讲平行四边形的问题是近几年来考试的热点，考察学生的分类讨论的思想．常见的题型是在平面直角坐标系中已知三点和第四点构成平行四边形，求第四点；或者已知两点，另外两点在某函数图像上，四点构成平行四边形；利用两点间的距离公式和平移的思想，结合题目中的条件构造等量关系进行求解即可．在几何中，平行四边形的判定方法有如下几条：①两组对边互相平行；②两组对边分别相等；③一组对边平行且相等；④对角线互相平分；⑤两组对角相等。

在压轴题中，往往与函数（坐标轴）结合在一起，运用到④⑤的情况较少，更多的是从边的平行、相等角度来得到平行四边形．- 2 -ABCM 1M 2M 31、 知识内容：已知三点后，其实已经固定了一个三角形（平行四边形的一半），如图ABC ．第四个点M 则有3种取法，过3个顶点作对边的平行线且取相等长度即可（如图中3个M 点）．2、 解题思路：（1） 根据题目条件，求出已知3个点的坐标； （2） 用一点及其对边两点的关系，求出一个可能点； （3） 更换顶点，求出所有可能的点；（4） 根据题目实际情况，验证所有可能点是否满足要求并作答．【例1】 如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90°，AD =24 cm ，BC =26 cm ，动点P 从点A 出发沿AD 方向向点D 以1cm /s 的速度运动，动点Q 从点C 开始沿着CB 方向向点B 以3cm /s 的速度运动．点P 、Q 分别从点A 和点C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．（1）经过多长时间，四边形PQCD 是平行四边形； （2）经过多长时间，四边形PQBA 是矩形．例题解析思路剖析【例2】 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为A (3， 0)，点B 的坐标为B (0， 4)．（1）求直线AB 的解析式；（2）点C 是线段AB 上一点，点O 为坐标原点，点D 在第二象限，且四边形BCOD 为菱形，求点D 坐标；（3）在（2）的条件下，点E 在x 轴上，点P 在直线AB 上，且以B 、D 、E 、P 为顶点 的四边形是平行四边形，请写出所有满足条件的点P 的坐标．【例3】 如图，在平面直角坐标系中，过点(2，3)的直线y ＝kx ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将此直线向下平移3个单位，所得到的直线l 与x 轴交于点C ． （1）求直线l 的表达式；（2）点D 为该平面直角坐标系内的点，如果以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行 四边形，求点D 的坐标．ABOxyAB Oxy【例4】如图，已知直线l1经过点A(－5，－6)且与直线l2：362y x=-+平行，直线l 2与x轴、y轴分别交于点B、C．（1）求直线l1的表达式及其与x轴的交点D的坐标；（2）判断四边形ABCD是什么四边形．并证明你的结论；（3）若点E是直线AB上一点，平面内存在一点F，使得四边形CBEF是正方形，求点E的坐标，请直接写出答案．【例5】直线364y x=-+与坐标轴分别交与点A、B两点，点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿O B A→→运动．（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t秒，△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．（3）当485S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．xOy- 4 -【例6】 已知：如图，四边形ABCD 是菱形，∠B 是锐角，AF ⊥BC 于点F ， CH ⊥AD 于点H ， 在AB 边上取点E ，使得AE ＝AH ，在CD 边上取点G ，使得CG ＝CF ．联结EF 、FG 、GH 、HE ．（1）求证：四边形EFGH 是矩形；（2）当∠B 为多少度时，四边形EFGH 是正方形．并证明．【例7】 如图所示，平面直角坐标系中，O 是坐标原点，正比例函数y =kx （x 为自变量）的图像与双曲线2y x=-交于点A ，且点A 的横坐标为2-．（1）求k 的值；（2）将直线y =kx （x 为自变量）向上平移4个单位得到直线BC ，直线BC 分别交x 轴、y 轴于B 、C ，如点D 在直线BC 上，在平面直角坐标系中求一点，使以O 、B 、D 、P 为顶点的四边形是菱形．ABC OxyABCDEFGH- 6 -【例8】 在直角△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，AB =4，将一个30°角的顶点P 放在AB边上滑动，保持30°角的一边平行于BC ，且交边AC 于点E ，30°的另一边交射线BC 于点D ，连ED ．（1）如图，当四边形PBDE 为等腰梯形时，求AP 长；（2）四边形PBDE 有可能为平行四边形吗．若可能，求出PBDE 为平行四边形时，AP 的长，若不可能，说明理由；（3）若点D 在BC 边上（不与B 、C 重合），试写出线段AP 的取值范围．ABCDE P梯形的分类讨论题多见于各类压轴题中，由于这类题目都与图形的运动有关，需要学生有一定的想象力、分析力和运算力．梯形的主要特征是两底平行，特殊梯形又可分为等腰梯形和直角梯形两大类．常见题型为在直角坐标平面内已知三点求第四点，抓住梯形两底平行的特征，对应的一次函数的解析式的k 相等而b 不相等．若是等腰梯形，常需添设辅助线，过上底的两个顶点作下底的垂线，构造两个全等的直角三角形．若是直角梯形，则需连接对角线或过上底的一顶点作下底的高构造直角三角形．【例9】 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =12cm ，DC =8cm ，且∠C =60°，动点P 以1cm/s的速度从点A 出发，沿AD 方向向点D 移动，同时，动点Q 以2cm /s 的速度从点C 出发，沿C 出发，沿CB 方向向点B 移动，连接PQ ，（1）得四边形ABQP 和四边形PQCD .若设移动的时间为t 秒（0＜t ＜7），四边形PQCD 的面积为ycm ²，求y 与t 的函数关系式；（2）当t 为何值时，四边形QPCD 是等腰梯形．说明理由； （3）当t 为何值时，四边形PQCD 是直角梯形．模块二 梯形的存在性知识精讲例题解析QPBCDA- 8 -【例10】 如图，一次函数33y x b =+的图像与x 轴相交于点A (53，0)、与y 轴相交于点B ． （1）求点B 的坐标及∠ABO 的度数；（2）如果点C 的坐标为（0，3），四边形ABCD 是直角梯形，求点D 的坐标【例11】 如图，在平行四边形ABCD 中，O 为对角线的交点，点G 为BC 的中点，点E 为线段BC 延长线上的一点，且CE ＝12BC ，过点E 作EF //CA ，交CD 于点F ，联结OF ．（1）求证：OF //BC ；（2）如果四边形OBEF 是等腰梯形，判断四边形ABCD 的形状，并给出证明．【例12】 如图，在平面直角坐标系中，直线l 1经过O 、A (1，2)两点，将直线l 1向下平移6AB C OxyABCDEFGO个单位得到直线l 2，交x 轴于点C ，B 是直线l 2上一点，且四边形ABCO 是平行四边形．（1）求直线l 2的表达式及点B 的坐标；（2）若D 是平面直角坐标系内的一点，且以O 、A 、C 、D 四个点为顶点的四边形是等腰梯形，求点D 的坐标．【例13】 已知一次函数142y x =-+的图像与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，梯形AOBC 的边AC =5．（1） 求点C 的坐标；（2） 如果点A 、C 在一次函数y =kx +b （k 、b 为常数，且k <0）的图像上，求这个一次 函数的解析式【例14】 如图1，在平面直角坐标系中，已知点A (0，2)，点P 是x 轴上一动点，以线段APAOC xy为一边，在其一侧作等边三角形APQ．当点P运动到原点O处时，记Q的位置为B．（1）求点B的坐标；（2）当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，求证：∠ABQ＝90°；（3）是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形．若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．ABOPQ xyABO xy图1备用图- 10 -【例15】 在直角平面内，O 为原点，点A 的坐标为（1，0），点C 的坐标为（0，4），直线CM ∥x 轴（如图所示）．点B 与点A 关于原点对称，直线y =x +b （b 为常数）经过点B ，且与直线CM 相交于点D ，连接OD ． （1）求b 的值和点D 的坐标；（2）设点P 在x 轴的正半轴上，若△POD 是等腰三角形，求点P 的坐标；（3）若动点P 在x 轴的正半轴上，以每秒2个单位长的速度向右运动；动点Q 在射线CM 上，且以每秒1个单位长的速度向右运动，若P 、Q 分别由O 点、C 点同时出发，问几秒后，以P 、Q 、O 、D 为顶点的四边形可以成为平行四边形；以P 、Q 、O 、D 为顶点的四边形是否可以成为等腰梯形．写出理由．1AO4CxMy- 12 -【习题1】 如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝2x ＋12的图像分别交x 轴、y 轴于A 、B两点．过点A 的直线交y 轴正半轴于点C ，且点C 为线段OB 的中点． （1）求直线AC 的表达式；（2）如果四边形ACPB 是平行四边形，求点P 的坐标．【拓展】如果以A 、C 、P 、B 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标．【习题2】 如图，在平面直角坐标系中，直线162y x =-+与y 轴交于点A ，与直线12y x =相交于点B ，点C 是线段OB 上的点，且△AOC 的面积为12． （1）求直线AC 的表达式；（2）设点P 为直线AC 上的一点，在平面内是否存在点Q ，使四边形OAPQ 为菱形， 若存在，求点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．随堂检测ABCOxy ABO xy【习题3】 如图，已知在梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B ＝90°，AD ＝24cm ，AB ＝8cm ，BC ＝26cm ，动点P 从A 点开始沿AD 边以1cm /s 的速度向D 运动，动点Q 从C 点开始沿CB 边以3 cm /s 的速度向B 运动，P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动.设运动时间为t 秒，当t 为何值时，线段PQ ＝CD ．【作业1】 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于A 、B两点，点A 的坐标为(2，3)，点B 的横坐标为6． （1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）如果点C 、D 分别在x 轴、y 轴上，四边形ABCD 是平行四边形，求直线CD 的表达式．课后作业ABCDQPAB CDABOxy【作业2】已知一条直线y=kx+b在y轴上的截距为2，它与x轴、y轴的交点分别为A、B，且△ABO的面积为4．（1）求点A的坐标；（2）若k<0，在直角坐标平面内有一点D，使四边形ABOD是一个梯形，且AD∥BO，其面积又等于20，试求点D的坐标．【作业3】定义[p，q]为一次函数y＝px＋q的特征数．（1）若特征数为[3，k－1]的一次函数为正比例函数，求k的值；（2）一次函数y＝kx＋b的图像与x轴交于点A(3-，0)，与y轴交于点B，且与正比例函数43y x=的图像的交点为C (m，4)．求过A、B两点的一次函数的特征数；（3）在（2）的条件下，若点D与A、O、C构成的四边形为平行四边形，直接．．写出所有符合条件的点D的坐标．A BCO x y- 14 -【作业4】 如图所示，直线y =-2x +12，分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，点C 是线段AB 的中点，点D 在线段OC 上，点D 的纵坐标是4． （1） 求点C 的坐标和直线AD 的解析式；（2） P 是直线AD 上的点，请你找出一点Q ，使得以O 、A 、P 、Q 这四个点为顶点的 四边形是菱形，写出所有满足条件的Q 的坐标．BA Cyx。

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平行四边形-—　平行四边形的性质第1课时　平行四边形的边角的特征情景导入　生成问题展示图片：从以上图形中我们能发现哪些几何图形？你能给平行四边形下定义吗?自学互研　生成能力【自主探究】1．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”．2．如图，两张对边平行的纸条，随意交叉叠在一起，转动其中一张，重合的部分构成一个四边形,这个四边形是．【合作探究】如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠1＝∠2。

求证：四边形ABCD是平行四边形．知识模块二　平行四边形的边、角特征【自主探究】1．平行四边形的对边 ,对角__ __，邻角__ __．2．在▱ABCD中，AB＝5 cm，∠A＝55°,则CD＝_ _cm,∠B＝，∠C＝，∠D＝___ _．【合作探究】如图,点G、E、F分别在平行四边形ABCD的边AD、DC和BC上，DG＝DC，CE＝CF，点P是射线GC上一点，连接FP,EP。

求证：FP＝EP.知识模块三　两平行线间的距离【自主探究】1．夹在两条平行线间的平行线段、平行线间的距离．2．如图，直线l1∥l2，点A、E在l1上，点B、C、F在l2上，AD、EG分别是△ABC和△CEF 的高，则AD EG.（选填“＞"“＝”或“＜"）【合作探究】如图，在平行四边形ABCD中,AB＝2AD，M为AB的中点，连接DM、MC，试问直线DM和MC 有何位置关系？请证明．【交流总结】知识一　平行四边形的定义知识二　平行四边形的边、角特征知识三　两平行线间的距离【当堂检测】1．如图，点P在平行四边形ABCD内,过点P作EF∥BC，GH∥AB，则图中共有个平行四边形．2．在平行四边形ABCD中，AD＝4 cm，AB＝2 cm，则平行四边形ABCD的周长等于( ) A．12 cm B．8 cm C．6 cm D．4 cm9；A第2课时　平行四边形的对角线的特征【学习目标】1．理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质．2．能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题和简单的证明问题．【学习重点】平行四边形对角线的性质．【学习难点】平行四边形对角线性质的运用．情景导入　生成问题如图，在平行四边形ABCD中,AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，你能算出图中阴影部分的面积吗？解：S阴＝12.自学互研　生成能力【自主探究】1．平行四边形对角线．平行四边形是对称图形．2．如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的是（ ）　A．AO＝OD B．AO⊥ODC．AO＝OC D．AO⊥AB【合作探究】已知▱ABCD的周长为60 cm,对角线AC、BD相交于点O,△AOB的周长比△DOA的周长长5 cm，求这个平行四边形各边的长．【自主探究】1．如图,P是▱ABCD的边AD上一点．已知S△ABP＝3，S△PDC＝2，那么平行四边形ABCD的面积是( ）A．6 B．8C．10 D．无法确定2．　在▱ABCD中，如图①，O为对角线BD、AC的交点．（1)求证：S△ABO＝S△CBO;（2）如图②，设P为对角线BD上任一点（点P与点B、D不重合），S△ABP与S△CBP仍然相等吗？若相等,请证明；若不相等，请说明理由．Error!【自主探究】如图，已知点A（－4，2）,B(－1,－2）,平行四边形ABCD的对角线交于坐标原点O.（1)请直接写出点C、D的坐标；（2）写出从线段AB到线段CD的变换过程；(3）直接写出平行四边形ABCD的面积．【合作探究】如图，平行四边形ABCD中,AC、BD交于O点,点E、F分别是AO、CO的中点,试判断线段BE、DF 的关系并证明你的结论．【交流总结】知识一　平行四边形的对角线互相平分知识二　平行四边形的面积知识三　判断直线的位置关系【当堂检测】1．在▱ABCD对角线AC、BD相交于点O,若AC＝14，BD＝8，AB＝10，则△AOB的周长为．2．在▱ABCD中,对角线AC、BD相交于点O，如果AC＝14，BD＝8,AB＝x,那么x的取值范围是．3．如图，M、N分别是▱ABCD的对角线AC上两点,AM＝CN，求证:BN＝DM.18．1。

数学学科教师辅导讲义讲义编号：组长签字：签字日期：学员编号：年级：初三课时数：3 学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题四边形授课日期及时段2015年月日教学目标1、平行四边形的定义、性质、判定2、矩形的定义、性质、判定3、菱形的定义、性质、判定4、正方形的定义、性质、判定5、梯形的定义、性质、判定重点、难点四边形的综合运用及与二次函数的综合题教学内容一、疑难讲解二、知识点梳理（一）、平行四边形的定义、性质及判定．1：两组对边平行的四边形是平行四边形．2．性质：(1)平行四边形的对边相等且平行；(2)平行四边形的对角相等，邻角互补；(3)平行四边形的对角线互相平分．3．判定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形：(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形：(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．4·对称性：平行四边形是中心对称图形．（二）、矩形的定义、性质及判定．1-定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2·性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等3．判定：(1)有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；(2)有三个角是直角的四边形是矩形：(3)两条对角线相等的平行四边形是矩形．4·对称性：矩形是轴对称图形也是中心对称图形．（三）、菱形的定义、性质及判定．1·定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．(1)菱形的四条边都相等；。

(2)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角(3)菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形．(4)菱形的面积等于两条对角线乘积的一半：3．判定：(1)有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形(2)四条边都相等的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．4．对称性：菱形是轴对称图形也是中心对称图形．（四）、正方形定义、性质及判定．'1．定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2．性质：(1)正方形四个角都是直角，四条边都相等；(2)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；(3)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；(4)正方形的对角线与边的夹角是45。

四边形证明（讲义）课前预习1.我们在做几何证明题时，如果已知条件中有某个特殊的四边形，往往从其性质着手考虑．而如果要证明某个四边形是特殊的四边形，则需要考虑其判定方法．例如：在四边形ABCD 中，若AB=CD，要证明四边形ABCD 是平行四边形，我们考虑判定方法：对边平行且相等的四边形是平行四边形或两组对边分别相等的四边形是平行四边形．2.请结合下列情景，将你认为可能用到的判定方法填入相应的横线上：①要证明□ABCD 是菱形，若条件与边有关，我们可以考虑：；若条件与对角线有关，我们可以考虑：．②要证明四边形ABCD 是矩形，若条件与角有关，我们可以考虑：或；若条件与对角线有关，我们可以考虑：．知识点睛）（）（）菱形精讲精练1.如图，AE∥BF，AC 平分∠BAD，且交BF 于点C，BD 平分∠ABC，且交AE 于点D，连接CD．求证：四边形ABCD 是菱形．2.如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，∠B=90°．AG∥CD，交BC 于点G，E，F 分别为AG，CD 的中点，连接DE，FG，DG．（1）求证：四边形DEGF 是平行四边形；（2）当点G 是BC 的中点时，求证：四边形ABGD 是矩形．A DEB G CD OE 3. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD 是△ABC 的角平分线，O 为 AB 的中点，连接 DO 并延长至点 E ，使 OE =DO ，连接 AE ， BE ．（1）求证：四边形 AEBD 是矩形；（2）当△ABC 满足什么条件时，矩形 AEBD 是正方形？请说明理由．BEC A4. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，BC 的垂直平分线 DE 交 BC于点 D ，交 AB 于点 E ，点 F 在 DE 上，且 AF =CE =AE ．（1）求证：四边形 ACEF 是平行四边形；（2）当∠B 满足什么条件时，四边形 ACEF 是菱形？请说明理由．BF DA CD EO5. 如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 的中点， 过点 A 作BC 的平行线交 BE 的延长线于点 F ，连接 CF ．若AB ⊥AC ，试判断四边形 ADCF 的形状，并证明你的结论．CFA B6. 如图，在正方形 ABCD 中，点 E ，F 分别在 BC ，CD 边上， 且 AE =AF．（1）求证：BE =DF ；（2）连接 AC ，交 EF 于点 O ，延长 OC 至点 M ，使 OM =OA ， 连接 EM ，FM ，则四边形 AEMF 是什么特殊四边形？请证明你的结论．A DFB E CM【参考答案】课前预习2. ①有一组邻边相等的平行四边形是菱形对角线互相垂直平分的四边形是菱形②有三个角是直角的四边形是矩形 有一个角是直角的平行四边形是矩形对角线相等且互相平分的四边形是矩形知识点睛精讲精练1. （1）证明略菱形提示：先证 AB =AD =BC ，再证四边形 ABCD 是平行四边形， 则四边形 ABCD 是菱形2. （1）证明略提示：先证四边形 AGCD 是平行四边形，得到 AG =CD ， 进而可得 EG =DF ，则四边形 DEGF 是平行四边形（2）证明略提示：先证明四边形 ABGD 是平行四边形，再结合∠B =90°， 进而可得四边形 ABGD 是矩形3. （1）证明略提示：由 OE =DO ，AO =BO 得，四边形 AEBD 是平行四边形， 又因为 AB =AC ，AD 是△ABC 的角平分线，所以 AD ⊥BC ， 进而得证四边形 AEBD 是矩形（2）当△ABC 是等腰直角三角形，即 AB =AC ，∠BAC =90° 时，四边形 AEBD 是正方形，理由略4. （1）证明略提示：先证 AC ∥EF ，∠EAC =∠AEF ，又 AF =CE =AE ，则∠EAF =∠AEC ，AF ∥CE ，即得证四边形ACEF 是平行四边形（2）当∠B =30°时，四边形 ACEF是菱形，理由略5.四边形ADCF 是菱形，证明略6.（1）证明略提示：证明△ABE≌△ADF（2）四边形AEMF 是菱形，证明略。

．1．定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．表示方法：ABCD图形：（即平行四边形的对边平行）2．性质：性质一：平行四边形的对边相等性质二：平行四边形的对角相等性质二：平行四边形的邻角互补性质三：平行四边形的对角线互相平分思考：以上四个性质如何证明？从证明的过程中可以发现什么？平行四边形具有对称性吗？如果有，平行四边形具有哪种对称性？3．平行四边形的性质进一步探究1．性质“平行四边形的对边相等”的推广：任意画两条平行线和夹在这两条平行线之间的平行线段AB、CD，可得平行四边形性质的推论：夹在两条平行线之间的平行线段相等．特殊地，若AB、CD都垂直这两条平行线，我们把垂线段AB或CD的长称为这两条平行线之间的距离．4．平行线之间的距离定义：两条直线平行，其中一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离．由平行线性质的推论得到：平行线之间的距离处处相等．例1．在平行四边形ABCD 中，60A B ︒∠-∠=，求平行四边形的各内角的度数．例2．平行四边形的两条高分别是5cm 和8cm ，较短边长为10cm ，求这个平行四边形周长．例3．平行四边形的内角平分线把一条边分成．4cm 和5cm 两段，求平行四边形的周长．例4．如图，平行四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，平行四边形周长为28，并且AOD 周长比AOB周长多2，求平行四边形ABCD 的各边长．例5．如图，在平行四边形ABCD 中，AE BC ⊥于E ，AF CD ⊥于F ，若4AE =，6AF =，平行四边形的周长为40，求平行四边形的面积．例6．平行四边形ABCD 中，AE BD ⊥于E ，CF BD ⊥于F ，求证：AE CF =．例7．已知：四边形ABCD 是平行四边形，且EAD BAF ∠=∠．（1）找出图中的等腰三角形并说明理由；（2）求证：平行四边形周长CF CE =+；（3）要使AC EF ⊥，平行四边形ABCD 需满足什么条件？1．如图，在平行四边形ABCD 中，AE BC ⊥于点E ，AF CD ⊥于F ，3BE =，4DF =，60EAF ︒∠=，求平行四边形ABCD 的各内角的度数及边长．2．已知：平行四边形ABCD 中，8AB =，60C ︒∠=，A ∠的平分线与B ∠的平分线相交于点E ，EF AB ⊥，求EF 的长．3．如图，在平行四边形ABCD 中，AE BC ⊥于点E ，AF CD ⊥交DC 的延长线于点F ，3AE =cm ，7AF =cm ，30EAF ︒∠=，求平行四边形ABCD各内角的度数和周长．AB ECDFABCDFE判定定理一：两组对边相等的四边形是平行四边形判定定理二：两组对角相等的四边形是平行四边形判定定理三：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定定理四：对角线互相平分的四边形是平行四边形例8．判断下列说法的正误，如果错误请画出反例图1一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．()2一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形.()3一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．()4一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．()5两组邻角互补的四边形是平行四边形．()6相邻两个角都互补的四边形是平行四边形．()7对角互补的四边形是平行四边形()8一条对角线分四边形为两个全等三角形，这个四边形是平行四边形()9两条对角线相等的四边形是平行四边形()例9．如图所示，平行四边形ABCD中，M、N分别为AD、BC的中点，连结AN、DN、BM、CM，且AN、BM交于点P，CM、DN交于点Q.四边形MGNP是平行四边形吗？为什么？变式1．□ABCD中，E在AB上，F在CD上，且AE=CF，求证：FM=NE，ME=NF例10．如图，以ABC △的三边为边，在BC 的同侧分别作三个等边三角形即ABD △、BCE △、ACF △，那么，四边形AFED 是否为平行四边形？如果是，请证明之，如果不是，请说明理由．例11．已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，DE AC ∥交BC 的延长线于点E ，EF AB ⊥交AB 的延长线于点F ．求证：（1）四边形ACED 是平行四边形；（2）AD CF =．ABCDEF练习（一）1．判断一个四边形是平行四边形的条件是（）A ．一组对边相等，另一组对边平行B ．一组邻边相等，一组对边相等C ．一条对角线平分另一条对角线，且一组对边平行D ．一条对角线平分另一条对角线，且一组对边相等2．平行四边形的对角线将它分成四个三角形，则这四个三角形的面积（）A ．都不相等B ．不都相等C ．都相等D ．以上结论都不对3．下列条件能组成一个平行四边形的是（）．A ．相邻的两边分别是5cm 和7cm ，一条对角线长是13cmB ．两组对边分别是3cm 和4cmC ．一条边长是7cm ，两条对角线长分别是3cm 和4cmD ．一组对角都是135°，另一组对角都是40°4．下列给出的条件中，能判断四边形ABCD 是平行四边形的是（）．A ．AB ∥CD ，AD BC =B ．AB AD =，CB CD =C ．AB CD =，AD BC=D ．B C ∠=∠，A D∠=∠5．在平行四边形中,对角线AC 和BD 的和为18，6AB =，则AOB 的周长是．6．已知平行四边形ABCD 的周长为60，对角线AC 、BD 相交于点O ，AOB △的周长比BOC △的周长长8，这个四边形各边长分别为．7．如图，□ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AB ⊥AC ．若AB =4，AC =6，则BD 的长为．8．如图，将□ABCD 绕点A 逆时针旋转30°得到□AB ′C ′D ′，点B ′恰好落在BC 边上，则∠DAB ′=°．练习（二）1．在平行四边形ABCD 中，分别以AD 、BC 为边向内作等边ADE △和等边BCF △，连接BE 、DF ．求证：四边形BEDF 是平行四边形．2．如图所示，平行四边形AECF 的对角线相交于点O ，DB 经过点O ，分别与AE 、CF 交于B 、D ．求证：四边形ABCD 是平行四边形．3．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 交BD 于点O ，四边形AODE 是平行四边形．求证：四边形ABOE 、四边形DCOE 都是平行四边形．4．如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 是对角线BD 上的两点，BE DF =，点G 、H 分别在BA 和DC 的延长线上，且AG CH =，连接GE 、EH 、HF 、FG ．（1）求证：四边形GEHF 是平行四边形；（2）若点G 、H 分别在线段BA 和DC 上，其余条件不变，则（1）中的结论是否成立？1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形．俗称长方形．2．矩形的特征：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形．矩形具有平行四边形的所有特征．矩形的四个内角都是90︒．矩形的对角线相等．例如：,,,,,,1234,5678,,,,Rt Rt ABC Rt BCD Rt ADC Rt ABDAOB BOC COD AODAOB COD AOD BOCABC BCD CDA DABAB CD AD BC OA OB OC OD∠=∠=∠=∠∠=∠=∠=∠∠=∠∠=∠∠=∠=∠=∠=====四个△：△△△△四个等腰△：△△△△相等的角有：相等的边有：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形对角线相等的平行四边形是矩形对角线相等且互相平分的四边形是矩形四个角都相等的四边形是矩形思考：（1）判定2是否有必要说成“四个角都相等的平行四边形是矩形”？（2）判定3改为“对角线相等的四边形是矩形”对吗？为什么？例1．如图，在矩形ABCD 中，两条对角线AC 、BD 相交于O 点，4AB OA ==，求BD 的长和ACB ∠度数．例2．求证：平行四边形四个内角平分线所围成的四边形为矩形．例3．求证：直角三角形斜边中线等于斜边一半．例4．ABC △中，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，O 为BC 中点，连接OE 、OD 、ED ．（1）EOD △为等腰三角形吗？为什么？（2）要使EOD △为等边三角形，则：ABC △需满足什么条件？（3）如果增加条件：N 为ED 中点，则ON ⊥ED ．例5．如图，ABC △中，AB AC =，D 为BC 上任意一点，过D 作DE AB ⊥，DF AC ⊥，且CG AB ⊥，证明：DE DF CG +=．推广延伸：如图，在矩形ABCD 中，P 是AD 边上任一点，PQ AC ⊥于点Q ，PR BD ⊥于点R ，DT AC ⊥于点T ，问：PQ 、PR 、DT 三条线段能否组成三角形？若能，请证明；否则，请说明理由．例6．如图，在ABC △中，90C ︒∠=，AC BC =，AD BD =，PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥于点F ．求证：DE DF =．例7．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，3 AD ．(1)在边CD 上找一点E ，使EB 平分∠AEC ，并加以说明；(2)若P 为BC 边上一点，且BP ＝2CP ，连结EP 并延长交AB 的延长线于F ．①求证：AB ＝BF ；②△PAE 能否由△PFB 绕P 点按顺时针方向旋转而得到?若能，加以证明，并写出旋转度数；若不能，请说明理由。

第18讲平行四边形的判定和性质知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初二，基础一般；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习平行四边形的判定和性质。

平行四边形是在学习了平行线和三角形之后，是平行线和三角形知识的应用和深化，同时也是为了后面学习矩形、菱形、正方形、圆甚至高中的立体几何打基础的，起着承上启下的桥梁作用。

知识梳理讲解用时：20分钟平行四边形的定义和性质1.平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.表示方法：ABDC（按照字母的顺序）注意：ABCDA BOC D2.平行四边形的性质：（1）平行四边形的对边相等，即AB=CD，AC=BD（2）平行四边形的对角相等，即∠A=∠D，∠B=∠C（3）平行四边形的对角线互相平分，即OA=OD，OB=OC3.平行四边形的两条对角线把平行四边形分成面积相等的4个小三角形.平行四边形的判定平行四边形的判定：（1）定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.三角形的中位线：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半课堂精讲精练【例题1】如图，在平行四边形ABCD中，都不一定成立的是（）①AO=CO；②AC⊥BD；③AD∥BC；④∠CAB=∠CAD．A．①和④B．②和③C．③和④D．②和④【答案】D【解析】由四边形ABCD是平行四边形，即可得①和③正确，然后利用排除法即可求得答案．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，故①成立；AD∥BC，故③成立；利用排除法可得②与④不一定成立，∵当四边形是菱形时，②和④成立．故选：D．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了平行四边形的性质．注意掌握平行四边形的对角线互相平分，对边平行是解此题的关键．教学建议：熟练掌握平行四边形的性质.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：肇源县期末年份：2017【练习1.1】若平行四边形的两条对角线长为 6 cm和16 cm，则下列长度的线段可作为平行四边形边长的是（）A．5cm B．8cm C．12cm D．16cm【答案】B【解析】平行四边形的两条对角线互相平分，根据三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，进行判断．解：由题意可知，平行四边形边长的取值范围是：8﹣3＜边长＜8+3，即5＜边长＜11．只有选项B在此范围内，故选B．讲解用时：2分钟解题思路：本题主要考查了平行四边形对角线互相平分这一性质，此类求三角形第三边的范围的题目，解题的关键是根据三角形三边关系定理列出不等式，再求解．教学建议：熟练掌握平行四边形的性质以及三角形的三边关系.难度： 2 适应场景：当堂练习例题来源：方城县期中年份：2017【练习1.2】如图，?ABCD中，AB、BC长分别为12和24，边AD与BC之间的距离为5，则AB 与CD间的距离为．【答案】10【解析】根据平行四边形的面积=AE×BC=CD×AF，即可求出AD与BC之间的距离．解：如图，过点A作AE⊥BC于点E、AF⊥CD于点F．由题意得，S四边形ABCD=AE×BC=CD×AF，∴24×5=12×AF，∴AF=10，即AB与CD间的距离为10．故答案是：10．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是熟练平行四边形的面积公式．教学建议：根据等面积法求出AB与CD之间的距离.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：海珠区校级期中年份：2015【例题2】如图所示，在?ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点，连接DE，EF，FB，则图中共有个平行四边形．【答案】4【解析】根据?ABCD及E，F分别为AB，DC的中点，可推出对边平行且相等的平行四边形有3个，加上?ABCD，共有4个．解：∵在?ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点，AB∥CD∴DF=CD=AE=EB∴四边形AEFD，CFEB，DFBE是平行四边形，再加上?ABCD本身，共有4个平行四边形4．故答案为4．讲解用时：3分钟解题思路：本题利用了平行四边形的性质和判定及中点的性质．教学建议：熟练运用平行四边形的判定和性质.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：江西期末年份：2014【练习2.1】如图在四边形ABCD中，已知AB=CD，AD=BC，AC，BD相交于O，若AC=6，则AO 的长度等于．【答案】3【解析】根据在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，求证四边形ABCD是平行四边形，然后即可求解．解：∵在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=6，∴AO=AC=×6=3．故答案为：3．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查学生对平行四边形的判定与性质的理解和掌握，难度不大，属于基础题．教学建议：熟练运用平行四边形的判定和性质进行解题.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题3】在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OB，OD的中点，四边形AECF 是．【答案】平行四边形【解析】证明四边形AECF的对角线互相平分即可．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO，∵E，F分别是OB，OD的中点，∴EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形．故答案是：平行四边形．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了平行四边形的判定和性质：平行四边形的对角线互相平分；对角线互相平分的四边形是平行四边形．教学建议：熟练运用平行四边形的判定和性质进行解题.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：阳东县期中年份：2015【练习3.1】如图，E、F是?ABCD对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件：，使四边形AECF是平行四边形．【答案】BE=DF【解析】连接AC交BD于O，根据平行四边形性质推出OA=OC，OB=OD，求出OE=OF，根据平行四边形的判定推出即可．解：添加的条件是BE=DF，理由是：连接AC交BD于O，∵平行四边形ABCD，∴OA=OC，OB=OD，∵BE=DF，∴OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形．故答案为：BE=DF．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了对平行四边形的性质和判定的应用，此题是一个开放性的题目，关键是添加一个适合的条件，能推出平行四边形AECF，答案不唯一，题型不错，难度也不大．教学建议：熟练运用平行四边形的判定和性质进行解题.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：商水县期末年份：2016【例题4】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=70°，∠C=40°，DE∥AB交BC于点E．若AD=5cm，BC=12cm，则CD的长是cm．【答案】7【解析】由在四边形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，可判定四边形ABED是平行四边形，即可求得CE的长，又由∠B=70°，∠C=40°，易判定△CDE是等腰三角形，继而求得答案．解：∵在四边形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形，∴BE=AD=5cm，∴CE=BC﹣BE=12﹣5=7（cm），∵∠DEC=∠B=70°，∠C=40°，∴∠CDE=180°﹣∠DEC﹣∠C=70°，∴CD=CE=7cm．故答案为：7．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了平行四边形的性质与判定以及等腰三角形的判定与性质．注意证得四边形ABED是平行四边形，△CDE是等腰三角形是关键．教学建议：熟练运用平行四边形的判定和性质以及等腰三角形的判定和性质.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：句容市校级期中年份：2014【练习4.1】如图，?ABCD中，点E在CD的延长线上，AE∥BD，EC=4，则AB的长是．【答案】2【解析】可根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”证四边形ABDE 是平行四边形，则AB=ED=DC=EC=2．解：如图，在?ABCD中，AB∥CD，且AB=CD．∵点E在CD的延长线上，∴AB∥ED．又∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AB=ED，∴AB=ED=DC=EC=2．故答案为：2．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．教学建议：熟练运用平行四边形的判定和性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：襄州区期中年份：2018【例题5】已知在?ABCD中，∠BDA=90°，AC=10cm，BD=6cm，求AD的长．【答案】4cm【解析】在Rt△ADO中，求出OD、OA，再利用勾股定理即可解决问题；解：∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=AC，OD=BD，∵AC=10cm，BD=6cm，∴OD=3cm，OA=5cm，∵∠BDA=90°，∴AD===4（cm）．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查平行四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．教学建议：熟练运用平行四边形的性质以及勾股定理的应用.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：内乡县期中年份：2018【练习5.1】如图，已知AB∥DE，AB=DE，AF=DC，求证：四边形BCEF是平行四边形．【答案】四边形BCEF是平行四边形【解析】可连接AE、DB、BE，BE交AD于点O，由线段之间的关系可得OF=OC，OB=OE，可证明其为平行四边形．证明：连接AE、DB、BE，BE交AD于点O，∵AB DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∴OB=OE，OA=OD，∵AF=DC，∴OF=OC，∴四边形BCEF是平行四边形．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．教学建议：熟练运用平行四边形的性质和判定.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：庆云县期末年份：2017【例题6】如图，E，F是四边形ABCD对角线AC上的两点，AD∥BC，DF∥BE，AE=CF．求证：（1）△AFD≌△CEB；（2）四边形ABCD是平行四边形．【答案】（1）△AFD≌△CEB；（2）四边形ABCD是平行四边形【解析】（1）根据全等三角形的判定定理ASA证得△AFD≌△CEB；（2）利用（1）中的全等三角形的对应边相等得到AD=CB，则由“有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形”证得结论．证明：（1）如图，∵AD∥BC，DF∥BE，∴∠1=∠2，∠3=∠4．又AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE．在△AFD与△CEB中，，∴△AFD≌△CEB（ASA）；（2）由（1）知，△AFD≌△CEB，则AD=CB．又∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．教学建议：熟练运用平行四边形的判定以及全等三角形的判定和性质.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：淮安区期末年份：2017【练习6.1】如图，E是?ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F．（1）求证：△ADE≌△FCE；（2）若AB⊥AF，BC=12，EF=6，求CD的长．【答案】（1）△ADE≌△FCE；（2）12【解析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，证出∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，由AAS证明△ADE≌△FCE即可；（2）由全等三角形的性质得出AE=EF=3，由平行线的性质证出∠AED=∠BAF=90°，由勾股定理求出DE，即可得出CD的长．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，∵E是?ABCD的边CD的中点，∴DE=CE，在△ADE和△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（AAS）；（2）∵△ADE≌△FCE，∴AE=EF=6，∵AB∥CD，∴∠AED=∠BAF=90°，在?ABCD中，AD=BC=12，∴DE===6，∴CD=2DE=12．讲解用时：4分钟解题思路：此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定方法、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．教学建议：熟练运用平行四边形的性质以及全等三角形的判定和性质.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题7】如图所示，在△ABC中，点D在BC上且CD=CA，CF平分∠ACB，AE=EB，求证：EF=BD．【答案】EF=BD【解析】首先根据等腰三角形的性质可得F是AD中点，再根据三角形的中位线定理可得EF=BD．证明：∵CD=CA，CF平分∠ACB，∴F是AD中点，∵AE=EB，∴E是AB中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF=BD．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了三角形中位线定理，以及等腰三角形的性质，关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．教学建议：掌握等腰三角形“三线合一”的性质以及三角形中位线定理.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：邵阳县期中年份：2017【练习7.1】如图，DE是△ABC的中位线，求证：DE∥BC，且DE=BC．【答案】DE∥BC且DE=BC【解析】延长DE到Q，使DE=EQ，连接CQ，根据SAS证△ADE≌△CQE，推出AD=CQ，∠A=∠ACQ，推出平行四边形DQCB，得出DQ=BC，DQ∥BC，即可推出答案．证明：延长DE到Q，使DE=EQ，连接CQ，∵AE=EC，∠AED=∠CEQ，DE=EQ，∴△ADE≌△CQE，∴AD=CQ，∠A=∠ACQ，∴AB∥CQ，∵AD=BD，∴BD=CQ，∴四边形DBCQ是平行四边形，∴DQ=BC，DQ∥BC，∴DE∥BC，DE=BC．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查对平行四边形的性质和判定，平行线的判定，全等三角形的性质和判定，三角形的中位线等知识点的理解和掌握，能证出四边形DQCB 是平行四边形是解此题的关键．教学建议：掌握证明三角形中位线的方法.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：武安市期末年份：2016【练习7.2】如图，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．求证：∠PMN=∠PNM．【答案】∠PMN=∠PNM【解析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得PM= BC，PN=AD，然后求出PM=PN，再根据等边对等角证明即可．证明：∵P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点，∴PM、PN分别是△BCD和△ABD的中位线，∴PM=BC，PN=AD，∵AD=BC，∴PM=PN，∴∠PMN=∠PNM．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等边对等角的性质，熟记定理与性质是解题的关键．教学建议：熟练地运用三角形中位线定理.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：天水期末年份：2015课后作业【作业1】如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BC=AD，若∠A=110°，则∠C= 度．【答案】110【解析】由AB=CD，BC=AD可以判定四边形ABCD是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可求出∠C．解：∵AB=CD，BC=AD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠C=∠A=110°．故填空答案：110．难度： 3 适应场景：练习题例题来源：河北年份：2006【作业2】四边形ABCD的两条对角线相交于点O，AB∥CD，且AB=CD，S△AOB=5，则四边形ABCD 的面积为．【答案】20【解析】先证明四边形ABCD是平行四边形，得出对角线互相平分，然后得出四个小三角形的面积相等，即可求出四边形ABCD的面积．解：∵AB∥CD，且AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∴S△AOD=S△COD=S△BOC=S△AOB=5，∴四边形ABCD的面积=4×5=20；故答案为：20．难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2017【作业3】已知如图所示，E、F是四边形ABCD对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．（1）求证：△AFD≌△CEB；（2）四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．【答案】（1）△AFD≌△CEB；（2）是【解析】（1）首先根据平行线的性质可得∠DFA=∠BEC，再加上AF=CE，DF=BE 可利用SAS定理证明△AFD≌△CEB；（2）首先根据△AFD≌△CEB可得AD=BC，∠DAC=∠ECB，然后证明AD∥CB，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论．（1）证明：∵DF∥BE，∴∠DFA=∠BEC，在△ADF和△CBE中，，∴△AFD≌△CEB（SAS）；（2）四边形ABCD是平行四边形，∵△AFD≌△CEB，∴AD=BC，∠DAC=∠ECB，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．难度： 3 适应场景：练习题例题来源：李沧区一模年份：2017【作业4】如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线BD上的两点，∠1=∠2．（1）求证：DE=BF；（2）求证：四边形AECF是平行四边形．【答案】（1）DE=BF；（2）四边形AECF是平行四边形【解析】（1）通过全等三角形△CDE≌△ABF的对应边相等证得DE=BF；（2）根据平行四边形的判定定理：对边平行且相等的四边形是平行四边形证得结论．（1）证明：如图：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB，CD∥AB，∴∠3=∠4，∵∠1=∠3+∠5，∠2=∠4+∠6，∠1=∠2∴∠5=∠6在△CDE与△ABF中，，∴△CDE≌△ABF（ASA），∴DE=BF；（2）证明：∵∠1=∠2，∴CE∥AF．又∵由（1）知，△CDE≌△ABF，∴CE═AF，∴四边形AECF是平行四边形．难度： 3 适应场景：练习题例题来源：沈河区二模年份：2017 【作业5】如图，在△ABC中，点D在BC上，且DC=AC，CE⊥AD，垂足为E，点F是AB的中点．求证：EF∥BC．【答案】EF∥BC【解析】根据等腰三角形三线合一的性质求出AE=ED，然后求出EF为△ABD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半证明．证明：∵AC=DC CE⊥AD，∴AE=ED，又∵F为AB中点，∴EF为△ABD中位线，∴EF∥BD，即EF∥BC．难度： 3 适应场景：练习题例题来源：简阳市模拟年份：2012。

八年级数学四边形讲义全面完整版（全六讲）第一讲平行四边形的性质一、【基础知识精讲】1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．用符号“”表示．2．平行四边形的性质：(1) 平行四边形的对边平行且相等．(2) 平行四边形的对角相等，邻角互补。

(3) 平行四边形的对角线互相平分．3．两条平行线间的距离：(1) 定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离．(2) 两平行线间的距离处处相等．(3)平行线间的平行线段相等．4．平行四边形的面积：(1) 如图12-1-2①，．(（2）同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等．如图12-1-2②，有公共边BC，则．二、【例题精讲】例1（1）已知中，∠A比∠B小20°，那么∠C的度数是_______．（2）在中，周长为28，两邻边之比为3︰4，则各边长为_______ _．（3）一个平行四边形的一边长是8，一条对角线长是6，则它的另一条对角线x的取值范围为__________ ．（4）平行四边形邻边长是4 cm和8cm，较短边上的高是5 cm，则另一边上的高是____________．例2．已知：在□ABCD中，过AC与BD的交点O作直线，与BA、DC的两条延长线交于M、N两点，求证：OM＝ON．例3．如图，在□ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且AE∥CF，AE与CF相等吗？说明理由.【练一练】1. 已知□ABCD中，∠B=70°，则∠A=_____，∠C=_____，∠D=______．2．在ABCD中：①∠A: ∠B=5:4，则∠A=_______；②∠A+∠C=200°，则∠A=______，∠B=______；3．在□ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，则□ABCD的周长等于_______．4. 若平行四边形周长为54，两邻边之比为4:5，则这两边长度分别______________；5. 已知ABCD对角线交点为O，AC=24mm,BD=26mm, 若AD=22mm，则△OBC的周长为_________；【探究与拓展】例1、如图，已知ABCD中，若AD=2AB，AB=BF=AE，则EC与FD垂直，试说明其理由。