AC、BC系列

最值系列之瓜豆原理在辅助圆问题中，我们了解了求关于动点最值问题的方式之一——求出动点轨迹，即可求出关于动点的最值．本文继续讨论另一类动点引发的最值问题，在此类题目中，题目或许先描述的是动点P，但最终问题问的可以是另一点Q，当然P、Q之间存在某种联系，从P点出发探讨Q点运动轨迹并求出最值，为常规思路．一、轨迹之圆篇引例1：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，由Q为AP中点可得：AM=1/2AO．Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放．根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系．引例2：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？Q【分析】Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P 点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径．考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．引例3：如图，△APQ是直角三角形，∠P AQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？【分析】考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑AP:AQ=2:1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2．【模型总结】为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”．此类问题的必要条件：两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠P AQ是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．Q【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠P AQ=∠OAM；（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比．按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩．古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”．【思考1】：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为一边作等边△APQ．考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？【分析】Q点满足（1）∠P AQ=60°；（2）AP=AQ，故Q点轨迹是个圆：考虑∠P AQ=60°，可得Q点轨迹圆圆心M满足∠MAO=60°；考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．【小结】可以理解AQ由AP旋转得来，故圆M亦由圆O旋转得来，旋转角度与缩放比例均等于AP与AQ的位置和数量关系．【思考2】如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为斜边作等腰直角△APQ．考虑：当点P在圆O上运动时，如何作出Q点轨迹？【分析】Q点满足（1）∠P AQ=45°；（2）AP:AQ1，故Q点轨迹是个圆．连接AO，构造∠OAM=45°且AO:AM：1．M点即为Q点轨迹圆圆心，此时任意时刻均有△AOP∽△AMQ．即可确定点Q的轨迹圆．【练习】如图，点P（3,4），圆P半径为2，A（2.8,0），B（5.6,0），点M是圆P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是_______．【分析】M点为主动点，C点为从动点，B点为定点．考虑C是BM中点，可知C点轨迹：取BP中点O，以O为圆心，OC为半径作圆，即为点C轨迹．当A、C、O三点共线且点C在线段OA上时，AC取到最小值，根据B、P坐标求O，利用两点间距离公式求得OA，再减去OC即可．【2016武汉中考】如图，在等腰Rt △ABC 中，AC =BC=P 在以斜边AB 为直径的半圆上，M 为PC 的中点，当半圆从点A 运动至点B 时，点M 运动的路径长为________．【分析】考虑C 、M 、P 共线及M 是CP 中点，可确定M 点轨迹：取AB 中点O ，连接CO 取CO 中点D ，以D 为圆心，DM 为半径作圆D 分别交AC 、BC 于E 、F 两点，则弧EF 即为M 点轨迹．当然，若能理解M 点与P 点轨迹关系，可直接得到M 点的轨迹长为P 点轨迹长一半，即可解决问题．【2018南通中考】如图，正方形ABCD 中，AB O 是BC 边的中点，点E 是正方形内一动点，OE =2，连接DE ，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得DF ，连接AE 、CF ．求线段OF 长的最小值．OABCDE F【分析】E 是主动点，F 是从动点，D 是定点，E 点满足EO =2，故E 点轨迹是以O 为圆心，2为半径的圆．F考虑DE⊥DF且DE=DF，故作DM⊥DO且DM=DO，F点轨迹是以点M为圆心，2为半径的圆．直接连接OM，与圆M交点即为F点，此时OF最小．可构造三垂直全等求线段长，再利用勾股定理求得OM，减去MF即可得到OF的最小值．【练习】△ABC 中，AB =4，AC =2，以BC 为边在△ABC 外作正方形BCDE ，BD 、CE 交于点O ，则线段AO 的最大值为_____________．AB CDE O【分析】考虑到AB 、AC 均为定值，可以固定其中一个，比如固定AB ，将AC 看成动线段，由此引发正方形BCED 的变化，求得线段AO 的最大值．根据AC =2，可得C 点轨迹是以点A 为圆心，2为半径的圆．OEDCBA接下来题目求AO 的最大值，所以确定O 点轨迹即可，观察△BOC 是等腰直角三角形，锐角顶点C 的轨迹是以点A 为圆心，2为半径的圆，所以O 点轨迹也是圆，以AB 为斜边构造等腰直角三角形，直角顶点M 即为点O 轨迹圆圆心．连接AM并延长与圆M交点即为所求的点O，此时AO最大，根据AB先求AM，再根据BC与BO的比值可得圆M的半径与圆A半径的比值，得到MO，相加即得AO．此题方法也不止这一种，比如可以如下构造旋转，当A、C、A’共线时，可得AO最大值．A'或者直接利用托勒密定理可得最大值．二、轨迹之线段篇引例：如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？【分析】当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．可以这样理解：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．【引例】如图，△APQ是等腰直角三角形，∠P AQ=90°且AP=AQ，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？【分析】当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形．当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q 点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段．Q2AB CQ1【模型总结】 必要条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠P AQ 是定值）； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP :AQ 是定值）． 结论：P 、Q 两点轨迹所在直线的夹角等于∠P AQ （当∠P AQ ≤90°时，∠P AQ 等于MN 与BC 夹角）P 、Q 两点轨迹长度之比等于AP :AQ （由△ABC ∽△AMN ，可得AP :AQ =BC :MN ）【2017姑苏区二模】如图，在等边△ABC 中，AB =10，BD =4，BE =2，点P 从点E 出发沿EA 方向运动，连结PD ，以PD 为边，在PD 的右侧按如图所示的方式作等边△DPF ，当点P 从点E 运动到点A 时，点F 运动的路径长是________．A【分析】根据△DPF 是等边三角形，所以可知F 点运动路径长与P 点相同，P 从E 点运动到A 点路径长为8，故此题答案为8．【2013湖州中考】如图，已知点A是第一象限内横坐标为AC⊥x轴于点M，交直线y=-x于点N，若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥P A，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O 运动到点N时，点B运动的路径长是________．【分析】根据∠P AB=90°，∠APB=30°可得：AP:AB，故B点轨迹也是线段，且P点轨迹路径长与B，P点轨迹长ON为B点轨迹长为【练习】如图，在平面直角坐标系中，A（-3,0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x正半轴上，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值．【分析】求OP是等边三角形且B点在直线上运动，故可知P点轨迹也是直线．取两特殊时刻：（1）当点B与点O重合时，作出P点位置P1；（2）当点B在x轴上方且AB与x轴夹角为60°时，作出P点位置P2．连接P1P2，即为P点轨迹．根据∠ABP =60°可知：12P P 与y 轴夹角为60°，作OP ⊥12P P ，所得OP 长度即为最小值，OP 2=OA =3，所以OP =32．【2019宿迁中考】如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE =1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为 ．【分析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求CG 最小值，可以将F 点看成是由点B 向点A 运动，由此作出G 点轨迹：考虑到F 点轨迹是线段，故G 点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻G 点在1G 位置，最终G 点在2G 位置（2G 不一定在CD 边），12G G 即为G 点运动轨迹．G 2CG 最小值即当CG ⊥12G G 的时候取到，作CH ⊥12G G 于点H ，CH 即为所求的最小值．GABCDEF根据模型可知：12G G 与AB 夹角为60°，故12G G ⊥1EG ．过点E 作EF ⊥CH 于点F ，则HF =1G E =1，CF =1322CE =，所以CH =52，因此CG 的最小值为52．G 2三、轨迹之其他图形篇所谓“瓜豆原理”，就是主动点的轨迹与从动点的轨迹是相似性，根据主、从动点与定点连线形成的夹角以及主、从动点到定点的距离之比，可确定从动点的轨迹，而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是．【2016乐山中考】如图，在反比例函数2y x=-的图像上有一个动点A ，连接AO 并延长交图像的另一支于点B ，在第一象限内有一点C ，满足AC =BC ，当点A 运动时，点C 始终在函数ky x=的图像上运动，若tan ∠CAB =2，则k的值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【分析】∠AOC=90°且AO:OC=1:2，显然点C的轨迹也是一条双曲线，分别作AM、CN垂直x轴，垂足分别为M、N，连接OC，易证△AMO∽△ONC，∴CN=2OM，ON=2AM，∴ON·CN=4AM·OM，故k=4×2=8．【思考】若将条件“tan∠CAB=2”改为“△ABC是等边三角形”，k会是多少？【练习】如图，A（-1,1），B（-1,4），C（-5,4），点P是△ABC边上一动点，连接OP，以OP为斜边在OP的右上方作等腰直角△OPQ，当点P在△ABC边上运动一周时，点Q的轨迹形成的封闭图形面积为________．【分析】根据△OPQ是等腰直角三角形可得：Q点运动轨迹与P点轨迹形状相同，根据OP:OQ，可得P点轨迹图形与Q，故面积比为2:1，△ABC面积为1/2×3×4=6，故Q点轨迹形成的封闭图形面积为3．【小结】根据瓜豆原理，类似这种求从动点轨迹长或者轨迹图形面积，根据主动点轨迹推导即可，甚至无需作图．【练习】如图所示，AB =4，AC =2，以BC 为底边向上构造等腰直角三角形BCD ，连接AD 并延长至点P ，使AD =PD ，则PB 的取值范围为___________．ABCDP【分析】固定AB 不变，AC =2，则C 点轨迹是以A 为圆心，2为半径的圆，以BC 为斜边作等腰直角三角形BCD ，则D 点轨迹是以点M考虑到AP =2AD ，故P 点轨迹是以N 为圆心，即可求出PB 的取值范围．。

轧东卡州北占业市传业学校数学竞赛辅导系列讲座八——相似形1、在正三角形ABC 的边BC 、AC 上分别有点E 、F ，且满足BE=CF=a ， EC=FA=b 〔a>b 〕，当BF 平分AE 时，那么ab的值为〔 〕 A 、5-12B 、5-22C 、5+12D 、5+222、设AD 、BE 、CF 为△ABC 的三条高，假设AB=6，BC=5，EF=3，那么线段BE 的长为〔 〕A 、185B 、4C 、215D 、2453、O 是△ABC 的外心，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，那么OD ：OE ：OF=〔 〕A 、a ：b ：cB 、1a ：1b ：1cC 、Cos A ：CosB ： CosCD 、SinA ：SinB ：SinC4、如图，△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截， AB 被截成三等分，那么图中阴影局部面积为〔 〕A 、4B 、2 3C 、3 3D 、4 35、在等腰直角三角形ABC 的斜边AB 上取两点M 、N ，使∠MCN=45°， 记AM=m ，MN=x ，BN=n ，那么以x 、m 、n 为边长的三角形形状是〔 〕A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、随x 、m 、n 的变化而变化 6、△ABC 中，D 、F 分别在AC 、BC 上，且AB ⊥AC ，AF ⊥BC ，BD=DC=FC=1，那么AC=〔 〕A 、 2B 、 3C 、32D 、337、Rt △ABC 中，∠C=Rt ∠，CD 是斜边AB 上的高，在BC 和CA 上分别取点E 和F ，使△EFD 和△ABC 相似，这样的△FED 有〔 〕个A 、1B 、2C 、3D 、多于38、设锐角△ABC 的三条高AD 、BE 、CF 相交于H ，假设BC=a ，AC=b ，AB=c ，那么AH ·AC+BH ·BE+CH ·CF 的值是〔 〕FABCEA 、1()2ab bc ca ++ B 、2221()2a b c ++ C 、2()3ab bc ca ++ D 、2222()3a b c ++ 9、设D 是△ABC 的边AB 上的一点，作DE ∥BC 交AC 于点E ，作DF ∥AC 交BC 于点F ，△ADE ，△DBF 的面积为m 和n ，那么四边形DECF 的面积为__________． 10、如图，ABCD 的对角线相交于O ，在AB 的延长线上任取一点E ，连结OE ，交BC 于F ，假设AB=a ，AD=c ，BE=b ，那么BF=___________．11、△ABC 为锐角三角形，其最大边AC 上有一点P 〔P 与A 、C 不重合〕，过P 作直线l ，使l 截△ABC 所得的三角形与原三角形相似，那么这样的直线可以作______条．12、正方形ABCD 边长为1，M 、N 为BD 所在直线上两点，且AM= 5 ，∠MAN=135°，那么四边形AMCN 的面积为________．13、如图，△ABC 的面积为1，D 为BC 的中点，E 、F 分别在AC 、AB 上，且S．14、△ABC 中，∠C=90°，D 、E 分别为BC 上的两点，且∠ABC=12 ∠，那么AC=______． 15、如图，边长为c 的正方形DEFG内接于面积为1的正三角形，其中a 、b 、c 是整数，且b 不能被任何质数的平方整除，那么a cb-=___________． 16AC= 3 ，∠A=∠BCD=4517、设I 1、I 218、如图，在△ABC ，D 、E 分别是AC 、BC 的中点，BF=3AB ，BD 与FC 相交于G ，〔1〕求证：EG ∥AC ；〔2〕求BFGBEGS S ∆∆的比值．19、线段AB ，只用圆规把线段AB 二等分．20、分别以锐角△ABC 的三边为边向外作正△ABC 、正△BCE 、正△CAF ，三个正三角形的中心分别为O 1、O 2、EDBCA CBCO 3，求证：△O 1O 2O 3是正三角形．21、如图，在平行四边形ABCD 中，P 1、P 2、……、P n-1分别是BD 的n 等分点，连结AP 2并延长交BC 于点E ，连结AP n-2并延长交CD 于点F ， 〔1〕求证：EF ∥BD ；〔2〕假设平行四边形ABCD 的面积为S ，且S △AEF =38S ，求n 的值．22、是否存在一个边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角是另一个内角的2倍的△ABC ？证明你的结论． 23、如图，在直角梯形ABCD ，∠ABC=∠BAD=90°，AB=16，对角线AC 与BD 交于点E ，过E 作EF ⊥AB 于点F ，O 为AB 中点，且EF+EO=8，求AD+BC 的值．24、点D 在△ABC 的边BC 上，且与B 、C 不重合，过D 作AC 的平行线DE 交AC 于点F ，又BC=5，①设△ABC 的面积为S ，假设四边形AEDF的面积为25 S ，求BD 的长；②假设AC= 2 AB ，且DF 经过△ABC 的重心G ，求EF 两点间的距离．25、如图，O 是四边形ABCD 对角线交点，∠BAD+∠BCA=180°，AB=5，AC=4，AD=3，BO DO =76 ，求BC ． 26．如图是由四个大小不等的、顶角为120o成．三角形ABC 面积为100，三角形ACD 为35．组成图形的四个等腰三角形27．如图在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=1，AB=2，E 是CD 上一点，且∠EBC=∠ABD ．〔1〕假设BC=x ，CE=y ．求y 关于x 的函数关系式，并求自变量x 的取值范围；〔2〕连结AE ，是否存在x ，使⊿ABE 与⊿DBC 相似．假设存在，求出x 的值；假设不存在，请说明理由．28．29．如图，正方形ABCD 和正方形EFGH 中，O 为BC 、FG 的中点，且点F 在正方形ABCD 内，连AE 、BF ，那么AE ：BF 的值为 ．EBDC D30．如下列图，在⊿ABC 的两侧向形外作正⊿ABP 和⊿ACQ ，点E 、F 是这两个正三角形的中心，再以EF 为一边向上作正三角形DEF ．求证：〔1〕BC=3AD ； 〔2〕AD ⊥BC ．31．如图，射线AM ，BN 都垂直于线段AB ，点E 为AM 上一点，过点A 作BE 的垂线AC 分别交BE ，BN 于点F ，C ，过点C 作AM 的垂线CD ，垂足为D ．假设⊿CDF 为等腰三角形，那么AEAD= ． 32．在⊿ABC 中，∠A=024，∠B=030，在边AB 上有一点D ，使BD=AC ，连结CD ．求∠BDC 的度数．33．〔2021年中考〕如图在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，AB =2，D 是AB 边上的一个动点〔不与点A 、B 重合〕，过点D 作CD 的垂线交射线CA 于点E ．设AD x =，CE y =，那么以下列图象中，能表示y 与x 的函数关系图象大致是( ) 34.等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，BC =42,AD =2，B ∠=45°．直角三角板含45°角的顶点E 在边BC 上移动〔不与点C 重合〕，一直角边始终经过点A 〔如图〕，斜边与CD 交于点F ．设BE=x ，CF=y ，（1） 求y 关于x 的函数解析式，并求出当点E 移动到什么位置时y 的值最大，最大值是多少？ （2） 连结AF ，当⊿AEF 为直角三角形时，求x 的值; （3） 求点E 移动过程中，⊿ADF 外接圆半径的最小值.QPFEDCBADCBA。

A AB C、A BC C、A AB B、A B A B、A B AC 五种结构形式成语汇总AA BC、AB CC、AA BB、AB AB、AB AC五种结构形式成语汇总1、AABC形式的成语共有312个：哀哀父母哀哀欲绝昂昂自若嗷嗷待哺班班可考比比皆然比比皆是彬彬有礼步步登高步步高升步步莲花步步为营草草了事草草收兵察察而明察察为明超超玄著超超玄箸陈陈相因迟迟吾行侈侈不休楚楚不凡楚楚动人楚楚可爱楚楚可怜楚楚可人楚楚有致楚楚作态蠢蠢欲动绰绰有余绰绰有裕刺刺不休蹙蹙靡骋代代相传旦旦而伐喋喋不休鼎鼎大名鼎鼎有名多多益办多多益善咄咄逼人咄咄怪事咄咄书空恶恶从短恩恩相报泛泛而谈泛泛之交泛泛之人泛泛之谈纷纷不一忿忿不平愤愤不平高高在上格格不纳格格不入格格不吐耿耿于怀耿耿于心呱呱堕地呱呱坠地官官相护官官相为官官相卫衮衮诸公好好先生赫赫有名赫赫之功赫赫之光忽忽不乐花花公子花花世界花花太岁惶惶不安恢恢有余昏昏欲睡岌岌可危汲汲顾影济济一堂寂寂无闻戛戛独造蹇蹇匪躬矫矫不群斤斤计较斤斤较量斤斤自守津津乐道津津有味井井有法井井有方井井有条井井有序井井有绪炯炯有神赳赳武夫九九归一九九归原久久不忘踽踽独行眷眷之心侃侃而谈侃侃而言硁硁之愚空空如也口口相传夸夸而谈夸夸其谈款款而谈琅琅上口朗朗乾坤朗朗上口累累如珠历历可辨历历可见历历可考历历可数历历在耳历历在目栗栗危惧恋恋不舍恋恋难舍寥寥可数寥寥无几了了可见碌碌寡合碌碌无能碌碌无奇碌碌无为碌碌无闻荦荦大端荦荦大者落落大方落落寡合落落难合脉脉含情脉脉相通蔓蔓日茂芒芒苦海茫茫苦海没没无闻闷闷不乐靡靡之乐靡靡之声靡靡之音绵绵不断绵绵不绝绵绵瓜瓞面面皆到面面俱到面面俱圆面面厮觑面面相睹面面相看面面相窥面面相觑面面圆到默默无闻默默无言目目相觑喃喃细语喃喃自语呶呶不休念念不忘念念有词袅袅余音诺诺连声喏喏连声翩翩风度翩翩公子翩翩年少翩翩起舞翩翩少年飘飘欲仙仆仆道途仆仆风尘仆仆亟拜戚戚具尔谦谦君子切切此布切切私语切切在心窃窃私议窃窃私语茕茕孑立区区此心区区小事区区之众拳拳服膺拳拳盛意拳拳在念拳拳之枕穰穰满家人人皆知人人自危色色俱全姗姗来迟珊珊来迟善善从长生生不息生生不已施施而行丝丝入扣堂堂一表滔滔不断滔滔不竭滔滔不尽滔滔不绝亭亭玉立头头是道途途是道唯唯连声娓娓不倦娓娓动听娓娓而谈亹亹不倦息息相关息息相通贤贤易色哓哓不休小小不言心心相印欣欣向荣欣欣自得星星之火惺惺相惜惺惺作态行行蛇蚓休休有容栩栩如生栩栩欲活轩轩甚得悬悬而望循循善诱牙牙学语淹淹一息奄奄一息燕燕于归泱泱大风鞅鞅不乐扬扬得意扬扬自得洋洋大观洋洋得意洋洋盈耳洋洋自得怏怏不乐怏怏不悦幺幺小丑峣峣易缺摇摇欲坠遥遥华胄遥遥领先遥遥无期遥遥相对遥遥在望依依不舍依依惜别悒悒不乐翼翼仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2飞鸾翼翼小心龈龈计较英英玉立盈盈秋水盈盈一水永永无穷郁郁不乐郁郁寡欢冤冤相报元元之民源源不断源源不绝源源而来跃跃欲试芸芸众生凿凿可据凿凿有据啧啧称羡啧啧称赞沾沾自好沾沾自满沾沾自喜沾沾自炫湛湛青天昭昭在目振振有词振振有辞铮铮铁骨铮铮铁汉铮铮有声蒸蒸日上正正之旗粥粥无能铢铢较量铢铢校量惴惴不安谆谆不倦谆谆告戒谆谆告诫谆谆诰诫谆谆教导谆谆善诱孜孜不辍孜孜不怠孜孜不倦孜孜不懈孜孜无怠孜孜无倦孜孜以求孳孳不倦字字珠玑字字珠玉足足有余作作有芒2、ABCC形式的成语共有135个：傲骨嶙嶙白发苍苍不过尔尔波光粼粼波光鳞鳞薄暮冥冥板上钉钉不甚了了白雪皑皑此恨绵绵长夜漫漫大才盘盘大才盘盘大腹便便谠论侃侃大名鼎鼎颠毛种种钉头磷磷独行踽踽得意洋洋得意扬扬风尘碌碌风尘仆仆风度翩翩丰度翩翩福寿绵绵风雨凄凄俯仰唯唯负债累累瓜瓞绵绵顾虑重重关情脉脉怪事咄咄鸿飞冥冥含情脉脉虎视眈眈虎视耽耽好善恶恶饥肠辘辘剑戟森森吉祥止止空腹便便苦海茫茫聊复尔尔两手空空来势汹汹路远迢迢泪眼汪汪磨刀霍霍目光炯炯暮气沉沉妙手空空怒气冲冲秋波盈盈气喘吁吁群雌粥粥千里迢迢其势汹汹气势汹汹秋水盈盈气息奄奄情意绵绵人才济济热气腾腾人情汹汹人情汹汹人心惶惶人心皇皇人言藉藉人言籍籍人言啧啧神采奕奕瘦骨嶙嶙生机勃勃书空咄咄生气勃勃死气沉沉杀气腾腾书声琅琅书声朗朗铁板钉钉天理昭昭童山濯濯天网恢恢天下汹汹逃之夭夭桃之夭夭铁中铮铮威风凛凛万里迢迢万目睽睽温情脉脉无所事事文质彬彬文质斌斌兄弟怡怡血迹斑斑心旌摇摇血泪斑斑相貌堂堂喜气洋洋羞人答答想入非非心事重重行色匆匆行色怱怱信誓旦旦小时了了雄心勃勃小心翼翼兴致勃勃血债累累一表堂堂仪表堂堂衣冠楚楚议论纷纷杨柳依依意气扬扬意气洋洋野心勃勃忧心忡忡忧心悄悄言笑晏晏一息奄奄余音袅袅英姿勃勃庸中皦皦庸中佼佼佣中佼佼余子碌碌言之凿凿众口嗷嗷众目睽睽忠心耿耿中心摇摇3、AABB形式的成语共有204个：安安稳稳巴巴急急巴巴劫劫巴巴结结白白朱朱半半拉拉半半路路彬彬济济炳炳烺烺病病歪歪波波碌碌朝朝暮暮抽抽搭搭抽抽噎噎出出律律楚楚谡谡吹吹打打啛啛喳喳搭搭撒撒大大咧咧大大落落眈眈逐逐颠颠倒倒嘟嘟哝哝躲躲闪闪峨峨汤汤峨峨洋洋噩噩浑浑匪匪翼翼沸沸汤汤沸沸扬扬纷纷籍籍纷纷攘攘纷纷扰扰纷纷扬扬纷纷洋洋纷纷拥拥风风火火风风雨雨风风韵韵服服贴贴干干翼翼鼓鼓囊囊鬼鬼祟祟浩浩荡荡浩浩汤汤赫赫巍巍赫赫炎炎赫赫扬扬哼哼唧唧轰轰烈烈花花绿绿慌慌张张恍恍荡荡昏昏沉沉昏昏噩噩昏昏浩浩昏昏默默浑浑沉沉浑浑沌沌仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢3浑浑噩噩混混沌沌混混噩噩混混沄沄汲汲皇皇汲汲忙忙继继承承继继存存继继绳绳家家户户结结巴巴兢兢干干兢兢乾乾兢兢业业兢兢翼翼兢兢战战踽踽凉凉侃侃谔谔侃侃訚訚口口声声哭哭啼啼款款深深拉拉扯扯拉拉杂杂唠唠叨叨磊磊落落离离矗矗历历落落踉踉跄跄两两三三烈烈轰轰林林总总零零星星荦荦确确落落穆穆马马虎虎忙忙碌碌懵懵懂懂迷迷荡荡密密层层渺渺茫茫明明白白明明赫赫暮暮朝朝袅袅娜娜袅袅娉娉袅袅亭亭袅袅婷婷嗫嗫嚅嚅扭扭捏捏婆婆妈妈七七八八栖栖遑遑期期艾艾嘁嘁喳喳千千万万乾乾翼翼勤勤恳恳卿卿我我攘攘熙熙日日夜夜洒洒潇潇三三两两三三四四三三五五善善恶恶生生世世生生死死十十五五是是非非斯斯文文忐忐忑忑堂堂正正滔滔汩汩滔滔滚滚陶陶兀兀忑忑忐忐腾腾兀兀啼啼哭哭条条框框偷偷摸摸吞吞吐吐万万千千巍巍荡荡唯唯否否唯唯诺诺委委佗佗熙熙壤壤熙熙攘攘熙熙融融蝎蝎螫螫心心念念伈伈睍睍星星点点星星落落形形色色虚虚实实絮絮叨叨煦煦孑孑燕燕莺莺洋洋洒洒洋洋纚纚摇摇摆摆业业矜矜业业兢兢隐隐约约营营苟苟营营逐逐影影绰绰庸庸碌碌悠悠荡荡悠悠忽忽鱼鱼雅雅郁郁苍苍郁郁沉沉郁郁葱葱郁郁累累郁郁芊芊元元本本原原本本原原委委源源本本岳岳磊磊岳岳荦荦晕晕沉沉詹詹炎炎战战惶惶战战兢兢战战栗栗战战业业铮铮佼佼整整截截正正经经正正气气正正堂堂支支吾吾支支梧梧逐逐眈眈孜孜汲汲孜孜矻矻孳孳汲汲孳孳矻矻子子孙孙总总林林4、ABAB形式的成语共有15个：修理修理教训教训整顿整顿批评批评雪白雪白努力努力享受享受了解了解打探打探打听打听娱乐娱乐紧张紧张暖和暖和凉快凉快学习学习5、ABAC形式的成语共有867个：阿狗阿猫阿姑阿翁阿家阿翁阿猫阿狗挨家挨户挨门挨户碍手碍脚碍足碍手暗气暗恼傲头傲脑百发百中百举百捷百举百全百伶百俐百顺百依百下百全百下百着百衣百随百依百从百依百顺百依百随百战百败百战百胜百中百发半饥半饱半间半界半梦半醒半青半黄半上半下半生半熟半丝半缕半死半生半吐半露半推半就半吞半吐半文半白半新半旧半信半疑半疑半信半真半假悖入悖出本乡本土笨嘴笨舌必恭必敬必躬必亲毕恭毕敬变脸变色变颜变色卜夜卜昼卜昼卜夜不卑不亢不茶不饭不痴不聋不偢不倸不瞅不睬不存不济不当不正不得不尔不悱不发不愤不启不丰不俭不丰不杀不干不净不尴不尬不古不今不瞽不聋不管不顾不哼不哈不慌不忙不饥不寒不即不离不疾不徐不稼不穑不间不界不骄不躁不今不古不矜不伐不紧不慢不禁不由不揪不采不揪不采不揪不睬不亢不卑不抗不卑不愧不作不愧不怍不郎不秀不稂不莠不冷不热不凉不酸仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢4不了不当不磷不缁不伦不类不蔓不支不蔓不枝不忙不暴不明不白不挠不屈不挠不折不偏不党不偏不倚不破不立不屈不挠不仁不义不日不月不三不四不僧不俗不衫不履不上不落不上不下不生不灭不声不吭不声不气不声不响不识不知不死不活不痛不痒不吐不茹不文不武不闻不问不问不闻不猧不魀不咸不淡不徐不疾不言不语不依不饶不夷不惠不因不由不阴不阳不折不扣不知不觉不忮不求不做不休采葑采菲炒买炒卖彻里彻外彻内彻外彻上彻下彻首彻尾彻头彻尾称王称霸成己成物成名成家成千成万成日成夜成双成对诚惶诚恐诚心诚意乘时乘势楚得楚弓楚弓楚得大本大宗大彻大悟大澈大悟大吹大打大吹大擂大慈大悲大恩大德大风大浪大喊大叫大红大绿大红大紫大吉大利大经大法大开大合大模大样大起大落大请大受大仁大义大是大非大手大脚大行大市大摇大摆大智大勇呆头呆脑代拆代行戴日戴斗得尺得寸得寸得尺敌惠敌怨递胜递负递兴递废吊形吊影调嘴调舌丢魂丢魄独断独行独来独往独清独醒独是独非独往独来独行独断多才多艺多材多艺多愁多病多能多艺多情多感多情多义多言多语多艺多才多灾多难多嘴多舌恶声恶气恶衣恶食恶有恶报而今而后贩夫贩妇非驴非马非亲非故匪石匪席匪夷匪惠吠形吠声吠影吠声风言风语佛眼佛心附影附声改步改玉改玉改步改玉改行敢怒敢言敢为敢做敢作敢当敢作敢为革面革心各就各位各色各样各式各样亘古亘今公才公望公买公卖公事公办公是公非狗心狗行古貌古心古色古香怪模怪样怪声怪气怪形怪状归十归一佹得佹失鬼头鬼脑好模好样好声好气好心好意好言好语合情合理何去何从猴头猴脑呼庚呼癸呼牛呼马忽冷忽热狐埋狐搰狐埋狐扬胡里胡涂胡天胡地胡天胡帝胡作胡为糊里糊涂虎头虎脑滑头滑脑话言话语患得患失慌手慌脚绘声绘色绘声绘影绘影绘声诲盗诲淫诲淫诲盗昏头昏脑活蹦活跳活灵活现活龙活现活神活现活形活现活眼活现火急火燎火烧火燎畸轻畸重畸重畸轻集苑集枯己饥己溺己溺己饥加油加醋夹七夹八佳儿佳妇假痴假呆假门假氏假门假事假人假义假仁假义假仁假意尖言尖语拣精拣肥见羹见墙见墙见羹见仁见智见神见鬼见智见仁将信将疑娇声娇气戒骄戒躁今生今世尽多尽少尽美尽善尽善尽美尽心尽力进贤进能侭多侭少九天九地久而久之救苦救难撅坑撅堑绝子绝孙觉人觉世可歌可泣可泣可歌可有可无克爱克威克逮克容克俭克勤克勤克俭刻肌刻骨肯构肯堂肯堂肯构快人快事快人快性快人快语来回来去乐山乐水楞手楞脚楞头楞脑冷心冷面冷言冷语愣头愣脑离心离德连明连夜连日连夜怜我怜卿良知良能列祖列宗旅进旅退屡试屡验屡战屡败论千论万马去马归买东买西卖官卖爵卖头卖脚瞒天瞒地满打满算满谷满坑满坑满谷谩天谩地漫地漫天毛手毛脚没查没利没颠没倒没法没天没精没彩没里没外没眉没眼没轻没重没日没夜没头没脸没头没脑没完没了美轮美奂面红面赤面红面绿民膏民脂民脂民膏木头木脑拿贼拿赃乃文乃武乃武乃文难弟难兄仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢5难分难解难分难舍难解难分难舍难分难兄难弟难兄难弟能屈能伸能上能下能伸能屈能文能武捻神捻鬼捏脚捏手捏手捏脚蹑脚蹑手蹑手蹑脚蹑手蹑足弄鬼弄神弄神弄鬼弄嘴弄舌怕痛怕痒佩韦佩弦匹夫匹妇偏听偏信偏听偏言拼死拼活平起平坐破罐破摔七擒七纵七生七死七死七生七纵七禽七纵七擒岐出岐入强死强活俏成俏败怯声怯气窃钩窃国擒贼擒王轻口轻舌轻手轻脚轻言轻语倾城倾国倾国倾城去甚去泰去太去甚去泰去甚全能全智全始全终全受全归全心全意全知全能全智全能群策群力群威群胆染苍染黄让三让再让再让三人来人往人千人万人山人海仁心仁术仁心仁闻任劳任怨仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢6。

电气系统图的字母表示的意思电气系统图字母代表一览表AACC：暗敷设在不能进入的顶棚内AC：:沿或跨柱敷设：ACE：在能进入人的吊顶内敷设AB-沿或跨梁（屋架）敷设BB系列归类属于布电线，所以开头用B，电压：300/500V BV 铜芯聚氯乙烯绝缘无护套电线俗称塑铜BVR 铜芯聚氯乙烯绝缘俗称软铜BLV铝芯聚氯乙烯绝缘电线以上电线结构：导体+绝缘(拿2.5mm2为例：BV是1根直径1.78mm和7根0.68两种BLV是1根直径1.78mmBVR是19根直径0.41mmBVVB铜芯聚氯乙烯绝缘聚氯乙烯护套扁型电缆就是2根BV线，在+一层白色的护套)BE：沿屋架或跨屋架敷设BC：暗敷设在梁内CC-穿金属软管敷C-吸顶CC-暗敷设在屋面或顶板内CE：沿天棚面或顶棚面敷设CE-混凝土排管敷设CL-柱上CLC：暗敷设在柱内CLE：沿柱或跨柱敷设CP-金属软管CT-电缆桥架敷设CS-链吊DDB-直接埋设DS-管吊FFC：地板或地面下敷设：FPC：穿阻燃半硬聚氯乙烯管敷设FPC-阻燃塑料硬管FPC-穿阻燃半硬聚氯乙烯管敷设MMT：穿电线管敷设MR：金属线槽敷设M：用钢索敷设NNHBV-耐火型铜芯聚氯乙烯绝缘电线ＫKPC-穿聚氯乙烯塑料波纹电线管敷设ＴTC-电缆沟敷设：TC-电缆沟WW-墙壁安装WS-沿墙面敷设WE-沿墙面敷设WC：暗敷设在墙内SS-支架SR：沿钢线槽敷设SCE：吊顶内敷设,要穿金属管SC-穿焊接钢管敷设RR-嵌入RC-镀锌钢管R就是(软)的意思，要做到软，就是增加导体根数RV铜芯聚氯乙烯绝缘连接软电线它比BVR更软，还是2.5是49根0.25mm铜丝RVV铜芯聚氯乙烯绝缘聚氯乙烯护套连接软电线比RV多了一层塑料护套ＶV就是PVC聚氯乙烯，也就是（塑料）就是铝芯的代码ＰPC-PVC塑料硬管PC—穿硬塑料管敷设：PCPR—塑料线槽敷设：PR另外：我们最常用的“护套线”同轴射频电缆 SYWV SYV75-5 SYWV75-5 (视频线)超五类非屏蔽双绞线 5eUTP 5eFTP（网线）电话线 HYA 10*2*0.5 （表示10对0.5mm的双绞线电缆）电话线 HBV HBVVHSM8-63C/3PDTQ30-32/2P这两个应该是两种塑壳断路器的型号，HSM8-63C/3P 适用于照明回路中，为3极开关，额定电流为63A（3联开关）DTQ30-32/2P 也是塑壳断路器的一种，额定电流32A，2极开关C65N-16A 2P VE-30mA YJV 3X4mm SC25 HDPE50C65N-16A 2P 是指使用C65小规格的断路器，最大分断电流为6000A，额定电流为16A，2P指双极的，VE-30mA指漏电保护电流为30mAYJV 3X4mm SC25 HDPE50 YJV：交联聚乙烯电缆,3*4：三根四平方的。

产品资料03 2014熔断器类产品•Easyline(XLP熔断器式隔离开关(方形•Fastline 熔断器式隔离开关(条形•Inline 熔断器式隔离开关(条形•聚酯电缆分支箱•Slimline(XR隔离开关熔断器组(条形•Fuseline(OFA低压熔断器概述熔断器保护1/1Easyline(XLP 熔断器式隔离开关(方形为您设计的新一代熔断器式隔离开关2/2产品概述2/3技术数据2/5附件2/7订货资料2/9安装方式2/12尺寸图2/13Fastline 熔断器式隔离开关(条形产品概述3/2模块介绍3/5技术数据3/9订货资料3/10尺寸图3/12Inline 熔断器式隔离开关(条形产品概述4/2模块4/3附件4/5技术资料及安装方式4/9订货资料4/10尺寸图4/12聚酯电缆分支箱产品概述5/2订货资料5/3外形尺寸5/4Slimline(XR 隔离开关熔断器组(条形最佳方案是您的明智之选6/2技术数据6/3产品概述6/4附件6/16订货资料6/22外形尺寸图6/33Fuseline(OFA 低压熔断器产品概述7/2订货资料7/6曲线图7/7外形尺寸图 7/8目录1234567ABB | 熔断器类产品 | 1SXF300002C2001 1/11概述熔断器保护高性价比熔断器系统的总成本很低。

熔丝价格低廉,但却可耐受很高等级的故障和故障电流。

熔断器组投入运行后,只有熔丝需更换。

因为熔丝更换简便快速,所以如果采用熔断器组,设备停机时间和维护时间都可大大降低。

因为熔断元件位于圆柱体内,因此操作不受周围环境的影响。

其保护特性稳定可靠,多年不变。

熔断器对网络和设备的动态应力取决于短路时的允通能量(i2t。

短路电流很高时,与其它方案相比,熔断器的保护性能最佳。

因为熔断器本体填充了石英砂,因此短路时既不会释放气体,也不会产生电弧。

因而对电网的影响较小,对人员安全的防护等级也更高。

熔断器保护功能 - 简单可靠- 高性价比- 选型简便快速- 无需计算工具- 当需要提高功率时,无需改变现有结构- 无活动元件- 响应快,动作时间短- 无灭弧室- 短路时无气体释放无论考虑最大允许分断电流(峰值允通电流还是能量值,熔断器都是一种卓越的短路保护元件。

【高中数学解题秘籍系列】————极化恒等式【技巧展示】1．极化恒等式221()()4⎡⎤⋅=+--⎣⎦a b a b a b ． 2．极化恒等式的几何意义在ABC △中，M 为BC 中点，设AB =a ，AC =b ，则有22AM CM ⋅=-a b ，即：“中线方减去底半方”．【证明】1.极化恒等式的证明根据平面向量数量积的有关运算可知：222()2+=+⋅+a b a a b b ①， 222()2-=-⋅+a b a a b b ②，由-①②可得22()()4+--=⋅a b a b a b ，即221()()4⎡⎤⋅=+--⎣⎦a b a b a b ． 2．极化恒等式几何意义的证明在ABC △中，M 为BC 中点，设AB =a ，AC =b ，则有2AB AC AM +=+=a b ③，2AB AC CB CM -=-==a b ④，由22-③④可得22444AM CM ⋅=-a b ，即22AM CM ⋅=-a b ． 即：“中线方减去底半方”．【真题再现】例1．【2012•浙江】在ABC △中，M 是BC 的中点，3AM =，10BC =，则AB AC ⋅=________． 【答案】16-【解析】解法一：设AMB θ∠=，则AMC θ∠=π-．又AB MB MA =-，AC MC MA =-，∴2()()AB AC MB MA MC MA MB MC MB MA MA MC MA ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+2553cos 35cos()916θθ=--⨯-⨯π-+=-，故答案为16-．解法二：极化恒等式2292516A M B AC AM C -=-⋅=-=，故答案为16-．例2．【2014•新课标Ⅱ】设向量a ，b 满足||10+=a b ，||6-=a b ，则(⋅=a b ) A ．1 B ．2C ．3D ．5【答案】A【解析】解法一：||10+=a b ，||6-=a b ，∴分别平方得22210+⋅+=a a b b ，2226-⋅+=a a b b ，两式相减得41064⋅=-=a b ，即1⋅=a b ， 故选：A ．解法二：极化恒等式()2222111()()1061444⎡⎤⎡⎤+--=+--=⨯⋅-==⎣⎦⎣⎦a b b a b a b a a b ， 故选：A ．例3．【2020•天津】如图，在四边形ABCD 中，60B ∠=︒，3AB =，6BC =，且AD BC λ=，32AD AB ⋅=-，则实数λ的值为________，若M ，N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的最小值为________．【答案】16，132． 【解析】解法一：以B 为原点，以BC 为x 轴建立如图所示的直角坐标系，60B ∠=︒，3AB =，333,22A ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭，6BC =，(6,0)C ∴，AD BC λ=，AD BC ∴∥，设032,3D x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，∴03,02AD x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，333,22AB ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭， ∴03330222AD AB x ⎛⎫=--+=- ⎪⎝⎭，解得052x =，533,22D ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭， ∴(1,0)AD =，(6,0)BC =，∴16AD BC =，16λ∴=， ||1MN =，设(,0)M x ，则(1,0)N x +，其中05x ，∴533,22DM x ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，333,22DN x ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，∴22532721134(2)22422DM DN x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-+=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当2x =时取得最小值，最小值为132， 故答案为：16，132．解法二：极化恒等式空一略，设点P 为MN 中点，则()222211133cos60442DM DN DP MP DP ⋅=-=-︒-=≥．例4．【2018•天津】如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==．若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为( )A ．2116B ．32C ．2516D ．3【答案】A ．【解析】解法一：如图所示，以D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴，过点B 做BN x ⊥轴，过点B 做BM y ⊥轴，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==，1cos602AN AB ∴=︒=，3sin 602BN AB =︒=，13122DN ∴=+=，32BM ∴=，3tan302CM MB ∴=︒=，3DC DM MC ∴=+=，(1,0)A ∴，33,22B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，(0,3)C ， 设(0,)E m ，∴(1,)AE m =-，33,22BE m ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，03m ，∴22233333321224216416AE BE m m m m ⎛⎫⎛⎫⋅=+-=-+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当34m =时，取得最小值为2116． 故选：A ．解法二：极化恒等式设AB 中点为P ，则22214A EA EB EP AP EP E BE ⋅=⋅=-=-， 故当EP 取最小时，AE BE ⋅取得最小值，151cos6024EP +︒=≥，故221512144416A E EP EB ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭⋅≥．故选：A ．例5．【2016•江苏】如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=-，则BE CE ⋅的值是________．【答案】78． 【解析】解法一：D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，∴BF BD DF =+，CF BD DF =-+，3BA BD DF =+，3CA BD DF =-+， ∴221BF CF DF BD ⋅=-=-，2294BA CA DF BD ⋅=-=，∴258DF =，2138BD =， 又2BE BD DF =+，2CE BD DF =-+，∴22748BE CE DF BD ⋅=-=， 故答案为：78． 解法二：极化恒等式221BF CF DF BD ⋅=-=-，222294BA CA DA BD DF BD ⋅=--==，∴258DF =，2138BD =， ∴2222748BE CE DE BD DF BD =⋅=--=，故答案为：78．例6．【2017•新课标Ⅱ】已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是( )A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-【答案】B【解析】解法一：建立如图所示的坐标系，以BC 中点为坐标原点， 则(0,3)A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，则(,3)PA x y =--，(1,)PB x y =---，(1,)PC x y =--，则222233()2232224PA PB PC x y y x y ⎡⎤⎛⎫⎢⎥⋅+=-+=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∴当0x =，32y =时，取得最小值33242⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭， 故选B ．解法二：极化恒等式取BC 的中点M ，AM 的中点N ，则222113()2220(3)442PA PB PC PA PM PN AM ⎛⎫⎡⎤⋅+=⋅=--⨯=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，当且仅当P 与N 重合时，取得等号． 故选B ．【变式训练】练1．如图，ABCD 是边长为4的正方形，动点P 在以AB 为直径的圆弧APB 上，则PC PD ⋅的取值范围是________．【答案】[0,16]【解析】解法一：以AB 中点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立如图坐标系， 则圆弧APB 方程为224x y +=(0)y ，(2,4)C ，(2,4)D -， 因此设(2cos ,2sin )P αα，[0,]α∈π，∴(22cos ,42sin )PC αα=--，(22cos ,42sin )PD αα=---，由此可得(22cos )(22cos )(42sin )(42sin )PC PD αααα⋅=---+-- 224cos 41616sin 4sin 1616sin αααα=-+-+=-，化简得1616sin PC PD α⋅=-，[0,]α∈π，sin [0α∈，1]，∴当0α=或π时，PC PD ⋅取最大值为16；当2απ=时，PC PD ⋅取最小值为0． 由此可得PC PD ⋅的取值范围是[0,16]， 故答案为：[0,16]．解法二：极化恒等式取CD 的中点E ，则2221()PC PD PA PB PC PE CE PE ⋅=⋅+=-=-， 故P 取圆弧APB 中点时，PE 最小，PC PD ⋅取最小值，P 与A 或B 重合时，PE 最大，PC PD ⋅取最大值， 故2604444201PC PD AE =--=-⋅=≤≤， 由此可得PC PD ⋅的取值范围是[0,16]， 故答案为：[0,16]．练2．如图，在直角梯形ABCD 中，已知BC AD ∥，AB AD ⊥，4AB =，2BC =，4AD =，若P 为CD 的中点，则PA PB ⋅的值为________．【答案】5【解析】解法一：由题意可得，BC AD ∥，2BC =，4AD =，则2AD BC = 所以CD CB BA AD BA BC =++=+，因为P 为CD 的中点，所以11()22DP PC CD BA BC ==-=-+，因为2PA PD DA PD BC =+=-，PB PC CB =+，且4AB =，2BC =，则(2)()PA PB PD BC PC CB ⋅=-⋅+11(3)(3)22BA BC BA BC ⎛⎫=-⋅-+ ⎪⎝⎭221(9)54BA BC =-⨯-=，故答案为：5． 解法二：极化恒等式取AB 的中点为E ，()2222124252PA PB PE BE ⎡⎤⋅=-=⨯+-=⎢⎥⎣⎦，故答案为：5．。

几何篇梅涅劳斯定理：当直线交三角形ABC三边所在直线BC、AC、A于点D、E、F时，（AF/FB）×（BD/DC）×（CE/EA）=1以及逆定理：在三角形ABC三边所在直线上有三点D、E、F，且（AF/FB）×（BD/DC）×（CE/EA）=1，那么D、E、F三点共线。

角元形式梅捏劳斯定理：（sin∠BAD/sin∠DAC）×(sin∠ACF/sin∠FCB)×(sin∠CBE/sin∠EBA)=1塞瓦定理：指在△ABC内任取一点O，直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则(BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1。

角元塞瓦定理：AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是：(sin∠BAD/sin∠DAC)*(sin∠ACF/sin∠FCB)*(sin∠CBE/sin∠EBA)=1逆定理：在△ABC的边BC，CA，AB上分别取点D，E，F，如果(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1那么直线AD，BE，CF相交于同一点。

”正弦定理：在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的半径为R。

则有：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R余弦定理：，在△ABC中，余弦定理可表示为：c²=a²+b²-2ab cosCa²=b²+c²-2bc cosAb²=a²+c²-2ac cosB托勒密定理：指圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

三弦定理：由圆上一点引出三条弦,中间一弦与最大角正弦的积等于其余每条弦与不相邻角正弦的积之和。

用图表述；圆上一点A,引出三条弦AB(左)、AC(右)、及中间弦AD,BC与AD交于P,根据《三弦定理》,有以下关系, ABsin∠CAP +ACsin∠BAP= ADsin∠BAC。

AA BC、AB CC、AA BB、AB AB、AB AC五种结构形式成语汇总1、AABC形式的成语共有312个：哀哀父母哀哀欲绝昂昂自若嗷嗷待哺班班可考比比皆然比比皆是彬彬有礼步步登高步步高升步步莲花步步为营草草了事草草收兵察察而明察察为明超超玄著超超玄箸陈陈相因迟迟吾行侈侈不休楚楚不凡楚楚动人楚楚可爱楚楚可怜楚楚可人楚楚有致楚楚作态蠢蠢欲动绰绰有余绰绰有裕刺刺不休蹙蹙靡骋代代相传旦旦而伐喋喋不休鼎鼎大名鼎鼎有名多多益办多多益善咄咄逼人咄咄怪事咄咄书空恶恶从短恩恩相报泛泛而谈泛泛之交泛泛之人泛泛之谈纷纷不一忿忿不平愤愤不平高高在上格格不纳格格不入格格不吐耿耿于怀耿耿于心呱呱堕地呱呱坠地官官相护官官相为官官相卫衮衮诸公好好先生赫赫有名赫赫之功赫赫之光忽忽不乐花花公子花花世界花花太岁惶惶不安恢恢有余昏昏欲睡岌岌可危汲汲顾影济济一堂寂寂无闻戛戛独造蹇蹇匪躬矫矫不群斤斤计较斤斤较量斤斤自守津津乐道津津有味井井有法井井有方井井有条井井有序井井有绪炯炯有神赳赳武夫九九归一九九归原久久不忘踽踽独行眷眷之心侃侃而谈侃侃而言硁硁之愚空空如也口口相传夸夸而谈夸夸其谈款款而谈琅琅上口朗朗乾坤朗朗上口累累如珠历历可辨历历可见历历可考历历可数历历在耳历历在目栗栗危惧恋恋不舍恋恋难舍寥寥可数寥寥无几了了可见碌碌寡合碌碌无能碌碌无奇碌碌无为碌碌无闻荦荦大端荦荦大者落落大方落落寡合落落难合脉脉含情脉脉相通蔓蔓日茂芒芒苦海茫茫苦海没没无闻闷闷不乐靡靡之乐靡靡之声靡靡之音绵绵不断绵绵不绝绵绵瓜瓞面面皆到面面俱到面面俱圆面面厮觑面面相睹面面相看面面相窥面面相觑面面圆到默默无闻默默无言目目相觑喃喃细语喃喃自语呶呶不休念念不忘念念有词袅袅余音诺诺连声喏喏连声翩翩风度翩翩公子翩翩年少翩翩起舞翩翩少年飘飘欲仙仆仆道途仆仆风尘仆仆亟拜戚戚具尔谦谦君子切切此布切切私语切切在心窃窃私议窃窃私语茕茕孑立区区此心区区小事区区之众拳拳服膺拳拳盛意拳拳在念拳拳之枕穰穰满家人人皆知人人自危色色俱全姗姗来迟珊珊来迟善善从长生生不息生生不已施施而行丝丝入扣堂堂一表滔滔不断滔滔不竭滔滔不尽滔滔不绝亭亭玉立头头是道途途是道唯唯连声娓娓不倦娓娓动听娓娓而谈亹亹不倦息息相关息息相通贤贤易色哓哓不休小小不言心心相印欣欣向荣欣欣自得星星之火惺惺相惜惺惺作态行行蛇蚓休休有容栩栩如生栩栩欲活轩轩甚得悬悬而望循循善诱牙牙学语淹淹一息奄奄一息燕燕于归泱泱大风鞅鞅不乐扬扬得意扬扬自得洋洋大观洋洋得意洋洋盈耳洋洋自得怏怏不乐怏怏不悦幺幺小丑峣峣易缺摇摇欲坠遥遥华胄遥遥领先遥遥无期遥遥相对遥遥在望依依不舍依依惜别悒悒不乐翼翼飞鸾翼翼小心龈龈计较英英玉立盈盈秋水盈盈一水永永无穷郁郁不乐郁郁寡欢冤冤相报元元之民源源不断源源不绝源源而来跃跃欲试芸芸众生凿凿可据凿凿有据啧啧称羡啧啧称赞沾沾自好沾沾自满沾沾自喜沾沾自炫湛湛青天昭昭在目振振有词振振有辞铮铮铁骨铮铮铁汉铮铮有声蒸蒸日上正正之旗粥粥无能铢铢较量铢铢校量惴惴不安谆谆不倦谆谆告戒谆谆告诫谆谆诰诫谆谆教导谆谆善诱孜孜不辍孜孜不怠孜孜不倦孜孜不懈孜孜无怠孜孜无倦孜孜以求孳孳不倦字字珠玑字字珠玉足足有余作作有芒2、ABCC形式的成语共有135个：傲骨嶙嶙白发苍苍不过尔尔波光粼粼波光鳞鳞薄暮冥冥板上钉钉不甚了了白雪皑皑此恨绵绵长夜漫漫大才盘盘大才盘盘大腹便便谠论侃侃大名鼎鼎颠毛种种钉头磷磷独行踽踽得意洋洋得意扬扬风尘碌碌风尘仆仆风度翩翩丰度翩翩福寿绵绵风雨凄凄俯仰唯唯负债累累瓜瓞绵绵顾虑重重关情脉脉怪事咄咄鸿飞冥冥含情脉脉虎视眈眈虎视耽耽好善恶恶饥肠辘辘剑戟森森吉祥止止空腹便便苦海茫茫聊复尔尔两手空空来势汹汹路远迢迢泪眼汪汪磨刀霍霍目光炯炯暮气沉沉妙手空空怒气冲冲秋波盈盈气喘吁吁群雌粥粥千里迢迢其势汹汹气势汹汹秋水盈盈气息奄奄情意绵绵人才济济热气腾腾人情汹汹人情汹汹人心惶惶人心皇皇人言藉藉人言籍籍人言啧啧神采奕奕瘦骨嶙嶙生机勃勃书空咄咄生气勃勃死气沉沉杀气腾腾书声琅琅书声朗朗铁板钉钉天理昭昭童山濯濯天网恢恢天下汹汹逃之夭夭桃之夭夭铁中铮铮威风凛凛万里迢迢万目睽睽温情脉脉无所事事文质彬彬文质斌斌兄弟怡怡血迹斑斑心旌摇摇血泪斑斑相貌堂堂喜气洋洋羞人答答想入非非心事重重行色匆匆行色怱怱信誓旦旦小时了了雄心勃勃小心翼翼兴致勃勃血债累累一表堂堂仪表堂堂衣冠楚楚议论纷纷杨柳依依意气扬扬意气洋洋野心勃勃忧心忡忡忧心悄悄言笑晏晏一息奄奄余音袅袅英姿勃勃庸中皦皦庸中佼佼佣中佼佼余子碌碌言之凿凿众口嗷嗷众目睽睽忠心耿耿中心摇摇3、AABB形式的成语共有204个：安安稳稳巴巴急急巴巴劫劫巴巴结结白白朱朱半半拉拉半半路路彬彬济济炳炳烺烺病病歪歪波波碌碌朝朝暮暮抽抽搭搭抽抽噎噎出出律律楚楚谡谡吹吹打打啛啛喳喳搭搭撒撒大大咧咧大大落落眈眈逐逐颠颠倒倒嘟嘟哝哝躲躲闪闪峨峨汤汤峨峨洋洋噩噩浑浑匪匪翼翼沸沸汤汤沸沸扬扬纷纷籍籍纷纷攘攘纷纷扰扰纷纷扬扬纷纷洋洋纷纷拥拥风风火火风风雨雨风风韵韵服服贴贴干干翼翼鼓鼓囊囊鬼鬼祟祟浩浩荡荡浩浩汤汤赫赫巍巍赫赫炎炎赫赫扬扬哼哼唧唧轰轰烈烈花花绿绿慌慌张张恍恍荡荡昏昏沉沉昏昏噩噩昏昏浩浩昏昏默默浑浑沉沉浑浑沌沌浑浑噩噩混混沌沌混混噩噩混混沄沄汲汲皇皇汲汲忙忙继继承承继继存存继继绳绳家家户户结结巴巴兢兢干干兢兢乾乾兢兢业业兢兢翼翼兢兢战战踽踽凉凉侃侃谔谔侃侃訚訚口口声声哭哭啼啼款款深深拉拉扯扯拉拉杂杂唠唠叨叨磊磊落落离离矗矗历历落落踉踉跄跄两两三三烈烈轰轰林林总总零零星星荦荦确确落落穆穆马马虎虎忙忙碌碌懵懵懂懂迷迷荡荡密密层层渺渺茫茫明明白白明明赫赫暮暮朝朝袅袅娜娜袅袅娉娉袅袅亭亭袅袅婷婷嗫嗫嚅嚅扭扭捏捏婆婆妈妈七七八八栖栖遑遑期期艾艾嘁嘁喳喳千千万万乾乾翼翼勤勤恳恳卿卿我我攘攘熙熙日日夜夜洒洒潇潇三三两两三三四四三三五五善善恶恶生生世世生生死死十十五五是是非非斯斯文文忐忐忑忑堂堂正正滔滔汩汩滔滔滚滚陶陶兀兀忑忑忐忐腾腾兀兀啼啼哭哭条条框框偷偷摸摸吞吞吐吐万万千千巍巍荡荡唯唯否否唯唯诺诺委委佗佗熙熙壤壤熙熙攘攘熙熙融融蝎蝎螫螫心心念念伈伈睍睍星星点点星星落落形形色色虚虚实实絮絮叨叨煦煦孑孑燕燕莺莺洋洋洒洒洋洋纚纚摇摇摆摆业业矜矜业业兢兢隐隐约约营营苟苟营营逐逐影影绰绰庸庸碌碌悠悠荡荡悠悠忽忽鱼鱼雅雅郁郁苍苍郁郁沉沉郁郁葱葱郁郁累累郁郁芊芊元元本本原原本本原原委委源源本本岳岳磊磊岳岳荦荦晕晕沉沉詹詹炎炎战战惶惶战战兢兢战战栗栗战战业业铮铮佼佼整整截截正正经经正正气气正正堂堂支支吾吾支支梧梧逐逐眈眈孜孜汲汲孜孜矻矻孳孳汲汲孳孳矻矻子子孙孙总总林林4、ABAB形式的成语共有15个：修理修理教训教训整顿整顿批评批评雪白雪白努力努力享受享受了解了解打探打探打听打听娱乐娱乐紧张紧张暖和暖和凉快凉快学习学习5、ABAC形式的成语共有867个：阿狗阿猫阿姑阿翁阿家阿翁阿猫阿狗挨家挨户挨门挨户碍手碍脚碍足碍手暗气暗恼傲头傲脑百发百中百举百捷百举百全百伶百俐百顺百依百下百全百下百着百衣百随百依百从百依百顺百依百随百战百败百战百胜百中百发半饥半饱半间半界半梦半醒半青半黄半上半下半生半熟半丝半缕半死半生半吐半露半推半就半吞半吐半文半白半新半旧半信半疑半疑半信半真半假悖入悖出本乡本土笨嘴笨舌必恭必敬必躬必亲毕恭毕敬变脸变色变颜变色卜夜卜昼卜昼卜夜不卑不亢不茶不饭不痴不聋不偢不倸不瞅不睬不存不济不当不正不得不尔不悱不发不愤不启不丰不俭不丰不杀不干不净不尴不尬不古不今不瞽不聋不管不顾不哼不哈不慌不忙不饥不寒不即不离不疾不徐不稼不穑不间不界不骄不躁不今不古不矜不伐不紧不慢不禁不由不揪不采不揪不采不揪不睬不亢不卑不抗不卑不愧不作不愧不怍不郎不秀不稂不莠不冷不热不凉不酸不了不当不磷不缁不伦不类不蔓不支不蔓不枝不忙不暴不明不白不挠不屈不挠不折不偏不党不偏不倚不破不立不屈不挠不仁不义不日不月不三不四不僧不俗不衫不履不上不落不上不下不生不灭不声不吭不声不气不声不响不识不知不死不活不痛不痒不吐不茹不文不武不闻不问不问不闻不猧不魀不咸不淡不徐不疾不言不语不依不饶不夷不惠不因不由不阴不阳不折不扣不知不觉不忮不求不做不休采葑采菲炒买炒卖彻里彻外彻内彻外彻上彻下彻首彻尾彻头彻尾称王称霸成己成物成名成家成千成万成日成夜成双成对诚惶诚恐诚心诚意乘时乘势楚得楚弓楚弓楚得大本大宗大彻大悟大澈大悟大吹大打大吹大擂大慈大悲大恩大德大风大浪大喊大叫大红大绿大红大紫大吉大利大经大法大开大合大模大样大起大落大请大受大仁大义大是大非大手大脚大行大市大摇大摆大智大勇呆头呆脑代拆代行戴日戴斗得尺得寸得寸得尺敌惠敌怨递胜递负递兴递废吊形吊影调嘴调舌丢魂丢魄独断独行独来独往独清独醒独是独非独往独来独行独断多才多艺多材多艺多愁多病多能多艺多情多感多情多义多言多语多艺多才多灾多难多嘴多舌恶声恶气恶衣恶食恶有恶报而今而后贩夫贩妇非驴非马非亲非故匪石匪席匪夷匪惠吠形吠声吠影吠声风言风语佛眼佛心附影附声改步改玉改玉改步改玉改行敢怒敢言敢为敢做敢作敢当敢作敢为革面革心各就各位各色各样各式各样亘古亘今公才公望公买公卖公事公办公是公非狗心狗行古貌古心古色古香怪模怪样怪声怪气怪形怪状归十归一佹得佹失鬼头鬼脑好模好样好声好气好心好意好言好语合情合理何去何从猴头猴脑呼庚呼癸呼牛呼马忽冷忽热狐埋狐搰狐埋狐扬胡里胡涂胡天胡地胡天胡帝胡作胡为糊里糊涂虎头虎脑滑头滑脑话言话语患得患失慌手慌脚绘声绘色绘声绘影绘影绘声诲盗诲淫诲淫诲盗昏头昏脑活蹦活跳活灵活现活龙活现活神活现活形活现活眼活现火急火燎火烧火燎畸轻畸重畸重畸轻集苑集枯己饥己溺己溺己饥加油加醋夹七夹八佳儿佳妇假痴假呆假门假氏假门假事假人假义假仁假义假仁假意尖言尖语拣精拣肥见羹见墙见墙见羹见仁见智见神见鬼见智见仁将信将疑娇声娇气戒骄戒躁今生今世尽多尽少尽美尽善尽善尽美尽心尽力进贤进能侭多侭少九天九地久而久之救苦救难撅坑撅堑绝子绝孙觉人觉世可歌可泣可泣可歌可有可无克爱克威克逮克容克俭克勤克勤克俭刻肌刻骨肯构肯堂肯堂肯构快人快事快人快性快人快语来回来去乐山乐水楞手楞脚楞头楞脑冷心冷面冷言冷语愣头愣脑离心离德连明连夜连日连夜怜我怜卿良知良能列祖列宗旅进旅退屡试屡验屡战屡败论千论万马去马归买东买西卖官卖爵卖头卖脚瞒天瞒地满打满算满谷满坑满坑满谷谩天谩地漫地漫天毛手毛脚没查没利没颠没倒没法没天没精没彩没里没外没眉没眼没轻没重没日没夜没头没脸没头没脑没完没了美轮美奂面红面赤面红面绿民膏民脂民脂民膏木头木脑拿贼拿赃乃文乃武乃武乃文难弟难兄难分难解难分难舍难解难分难舍难分难兄难弟难兄难弟能屈能伸能上能下能伸能屈能文能武捻神捻鬼捏脚捏手捏手捏脚蹑脚蹑手蹑手蹑脚蹑手蹑足弄鬼弄神弄神弄鬼弄嘴弄舌怕痛怕痒佩韦佩弦匹夫匹妇偏听偏信偏听偏言拼死拼活平起平坐破罐破摔七擒七纵七生七死七死七生七纵七禽七纵七擒岐出岐入强死强活俏成俏败怯声怯气窃钩窃国擒贼擒王轻口轻舌轻手轻脚轻言轻语倾城倾国倾国倾城去甚去泰去太去甚去泰去甚全能全智全始全终全受全归全心全意全知全能全智全能群策群力群威群胆染苍染黄让三让再让再让三人来人往人千人万人山人海仁心仁术仁心仁闻任劳任怨。

切线的判定1．切线的性质：垂直于过切点的半径．（连半径，得垂直）l2．切线的判定：（1）定义法：和圆只有一个交点的直线是圆的切线；（2）距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；l证明d=r即可，常用于已知数据的计算，比如动圆相切问题．（3）判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．换个说法：⎧⎨⎩有交点：连半径,证垂直无交点：作垂直,证半径，多用于几何证明．多为有交点，重点考虑如何证垂直：①证明和已知垂线平行；②证明夹角为直角．3．常见相切图（1）角分+等腰得平行：点C在以AB为直径的圆O上，AH⊥CH，且AC平分∠HAB．连接OC，则OC=OA，∴∠OCA=∠OAC，又∠OAC=∠HAC，∴∠OCA=∠HAC，∴OC∥AH，∴OC⊥CH，∴CH是圆O的切线．（2）证明和已知直角相等．证明△PCO≌△P AO，可得∠PCO=∠P AO=90°．B（3）证明夹角为直角．（弦切角定理）如图，若∠BAC=∠D，则AB是圆O切线．B如图，连接AO并延长交圆O于点P，则∠P=∠D=∠BAC，∵∠P+∠P AC=90°，∴∠BAC+∠P AC=90°，即AB⊥AP，∴AB是圆O的切线．B1．（2018·滨州）如图，AB 为O 的直径，点C 在O 上，AD CD ⊥于点D ，且AC 平分DAB ∠，求证：（1）直线DC 是O 的切线；（2）22AC AD AO =⋅．【分析】（1）连接OC ，∵OA =OC ，∴∠OAC =∠OCA ，又AC 平分∠DAB ，∴∠DAC =∠OAC ， ∴∠OCA =∠DAC ，∴AD ∥OC ， ∵AD ⊥CD ，∴OC ⊥CD ， ∴DC 是圆O 的切线．（2）连接BC ，过点C 作CH ⊥AN 交AB 于H 点，则2AC AH AB =⋅，∵AH =AD ，AB =2AO ， ∴22AC AD AO =⋅．2．（2018·泰州）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，ABC ∠的平分线交O 于点D ，DE BC ⊥于点E ．（1）试判断DE 与O 的位置关系，并说明理由；（2）过点D 作DF AB ⊥于点F，若BE =3DF =，求图中阴影部分的面积．B【分析】 （1）相切．连接OD ，∵BD 平分∠ABE ，∴∠ABD =∠EBD ， ∵OB =OD ，∴∠OBD =∠ODB ， ∴∠EBD =∠ODB ，∴OD ∥BE ， ∵DE ⊥BE ，∴OD ⊥DE ， ∴DE 与圆O 相切．（2）易证△BED ≌△BFD，∴BF =BE =DF =3，∴∠ABD =30°，连接OD ，则∠AOD =60°，易证OD =∴(2113262S ππ=⋅-=， 故阴影部分面积为2π-．【角分+等腰得平行】3．（2018·锦州）如图，在ABC∆中，90C∠=︒，AE平分BAC∠交BC于点E，O是AB 上一点，经过A，E两点的O交AB于点D，连接DE，作DEA∠的平分线EF交O 于点F，连接AF．（1）求证：BC是O的切线．（2）若4sin5EFA∠=，AF=AC的长．【分析】（1）连接EO，则OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，又AE平分∠BAC，∴∠OAE=∠CAE，∴∠OEA=∠CAE，∴OE∥AC，∵AC⊥BC，∴OE⊥BC，∴BC是圆O的切线．（2）EF平分∠AED，则点F是半圆AD中点，连接OF，则△AOF是等腰直角三角形，∴5OA AF===，∴AD=10，4sin sin5EDA EFA∠=∠=，∴AE=8，DE=6，∵AE平分∠BAC，∴4 cos cos5CAE EAD∠=∠=，即45ACAE=，∴44328555AC AE==⨯=，故AC的长为325．4．（2018·毕节市）如图，在△ABC中，以BC为直径的圆C交AC于点E，过点E作AB的垂线交AB于点F，交CB的延长线于点G，且∠ABG=2∠C．（1）求证：EG是圆O的切线；（2）若1tan2C=，AC=8，求圆O的半径．【分析】（1）连接OE，则OE=OC，∴∠OEC=∠OCE，∴∠EOG=2∠C，又∠ABG=2∠C，∴∠EOG=∠ABG，∴OE∥AB，∵EG⊥AB，∴EG⊥OE，∴EG是圆O的切线．（2）连接BE，则BE⊥AC，∵OE∥AB，∴△ABC是等腰三角形，∴E是AC中点，∵AC=8，∴142CE AC==，∵1tan2C=，∴122BE CE==，∴BC=r=OB，故圆O．【有交点，证垂直，全等证明夹角为直角】5．（2019·天水）如图，AB、AC分别是O的直径和弦，OD AC⊥于点D．过点A作O 的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．（1）求证：PC是O的切线；（2）若60ABC∠=︒，10AB=，求线段CF的长．【分析】（1）连接OC，∵OP⊥AC，∴OP平分AC，∴OP是AC的垂直平分线，∴P A=PC，易证△POA≌△POC，∴∠PCO=∠P AO=90°，∴OC⊥PC，∴PC是圆O的切线．（2）若∠ABC=60°则△OBC是等边三角形，∴∠BOC=60°，OC=OB=5，在Rt△OCF中，CF=故CF的长为6．（2016·郴州）如图，OA ，OD 是O 半径，过A 作O 的切线，交AOD ∠的平分线于点C ，连接CD ，延长AO 交O 于点E ，交CD 的延长线于点B （1）求证：直线CD 是O 的切线；（2）如果D 点是BC 的中点，O 的半径为3cm ，求DE 的长度（结果保留)πB【分析】（1）易证△COA ≌△COD ，∴∠ODC =∠OAC =90°，即OD ⊥CD ，∴CD 是圆O 的切线．（2）若点D 是BC 的中点，则△BOC 是等腰三角形，∴∠OBC =∠OCB ，又∠OCB =∠OCA ，∴设∠OBC =∠OCB =∠OCA =α， ∴390α=︒，30α=︒，∴∠BOD =60°，∴1236DE ππ=⋅⋅=cm ，故DE 的长度是πcm ．7．（2018·丹东）如图，直线AD 经过O 上的点A ，ABC ∆为O 的内接三角形，并且CAD B ∠=∠．（1）判断直线AD 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若30CAD ∠=︒，O 的半径为1，求图中阴影部分的面积．（结果保留)πD【分析】 （1）相切．连接AO 并延长交圆O 于点P ，连接CP ，则∠P =∠B ，又∵∠B =∠CAD ，∴∠P =∠CAD ， ∵∠P +∠P AC =90°，∴∠CAD +∠P AC =90°， ∴P A ⊥AD ，∴AD 是圆O 的切线．（2）连接OC ，则∠AOC =2∠APC =2∠CAD =60°，21166S ππ=⋅⋅=扇AOC，21AOCS=∴6S π=阴，故阴影部分的面积为6π-【有交点证垂直，证明夹角为直角】8．（2019·盐城）如图，在Rt△ABC中，90ACB∠=︒，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的O分别交AC、BC于点M、N，过点N作NE AB⊥，垂足为E．（1）若O的半径为52，6AC=，求BN的长；（2）求证：NE与O相切．【分析】（1）∵52r=，∴CD=5，∴AB=10，∴BC=8，连接DN，则DN⊥BC，∴DN∥AC，∴点N是BC中点，∴118422BN BC==⨯=．故BN的长为4．（2）连接NO，∵N、O分别是BC、CD中点，∴NO∥BD，∵NE⊥BD，∴NE⊥NO，∴NE与圆O相切．9．（2018·本溪）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O，D分别为AB，BC的中点，连接OD，作⊙O与AC相切于点E，在AC边上取一点F，使DF＝DO，连接DF．（1）判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）当∠A＝30°，CF时，求⊙O的半径．【分析】（1）相切．连接OE，则OE⊥AC，∴点E是AC边中点，连接OF，过点O作OH⊥DF交DF于H点，∵DO∥AC，∴∠DOF=∠OF A，又DO=DF，∴∠DOF=∠DFO，∴∠OF A=∠OFD，易证△OFE≌△OFH，∴OH=OE，∴DF是圆O的切线．（2）设半径为r，则CD=r，DF=DO，∴CF=，又CF，∴r=1，10．（2018·江西）如图，在△ABC 中，O 为AC 上一点，以点O 为圆心，OC 为半径做圆，与BC 相切于点C ，过点A 作AD ⊥BO 交BO 的延长线于点D ，且∠AOD ＝∠BAD ． （1）求证：AB 为⊙O 的切线； （2）若BC ＝6，tan ∠ABC ＝43，求AD 的长．【分析】（1）∵∠AOD +∠DAO =90°，∠ABD +∠BAD =90°，且∠AOD =∠BAD ，∴∠DAO =∠ABD ，又∠DAO =∠OBC ， ∴∠ABD =∠OBC ，过点O 作OH ⊥AB 交AB 于H 点，易证△BOH ≌△BOC ，∴OH =OC ，∴AB 是圆O 的切线． （2）∵BC =6，4tan 3ABC ∠=，∴AC =8，AB =10， BH =BC =6，AH =4，OH =3，OA =5，∴5OD ===2AD OD ==．故AD 的长为【圆中等腰三角形】11．（2018·鄂尔多斯）如图，O 是ABC ∆的外接圆，AC 是直径，弦BD BA =，EB DC ⊥，交DC 的延长线于点E ． （1）求证：BE 是O 的切线； （2）当3sin 4BCE ∠=，3AB =时，求AD 的长．【分析】（1）连接BO 并延长，分别交AD 、圆O 于点H 、Q ，易证△BDQ ≌△BAQ ，∴DQ =AQ ，又AB =DB ， ∴BQ 是AD 的垂直平分线， ∴BQ ⊥AD ，∵AC 是直径，∴∠ADC =90°，又∠E =90°，∴AD ∥BE ， ∴BQ ⊥BE ，∴BE 是圆O 的切线．（2）∵∠BAC =∠CBE ，∴∠ACB =∠BCE ，∴3sin 4ACB ∠=，∵AB=3，∴AC =4，BC∵3sin 4BE BCE BC ∠===，∴BE =， ∴HD BE ==，∴AD =2HD ．故AD。