专题05 相似三角形的判定(提高)(沪教版)

相似三角形的判定压轴题型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一 相似三角形判定定理的识别】 (1)【考点二 相似三角形中有关直线个数的判断】 (2)【考点三 相似三角形判定定理的应用】 (2)【考点四 相似三角形的拓展提高】 (3)【过关检测】 (4)【典型例题】【考点一 相似三角形判定定理的识别】 ，那么添加一个条件后，仍不能判定ABC 与V A ．C ADE ∠=∠ B ．B D ∠=∠C ． AD DE = D ． AD AE = 【答案】C【分析】根据12∠=∠得到DAE BAC ∠=∠，结合选项根据三角形相似的判定逐个判断即可得到答案；【详解】解：∵12∠=∠，∴DAE BAC ∠=∠，若添加C AED ∠=∠或B D ∠=∠或AB AC AD AE =都可以得到ABC 与ADE V 相似，故A 、B 、D 不符合题意，若添加AB BC AD DE =，不能得到ABC 与ADE V 相似， 故选：C ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．【变式1】下列命题中假命题是（ ） A ．任意两个等腰直角三角形都相似B ．任意两个含36°内角的等腰三角形相似C ．任意两个等边三角形都相似D ．任意两个直角边之比为1:2的直角三角形相似【答案】B【分析】根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．【详解】解：A.任意两个等腰直角三角形中三组对应角均相等，符合相似三角形的判定条件，故相似，都相似B. 任意两个含36°内角的等腰三角形中没有确定顶角或底角，故不一定相似C. 等边三个角都相等，故两三角形相似；D. 任意两个直角边之比为1:2的直角三角形，符合相似三角形判定的条件，故相似故选：B【点睛】本题考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似；（4）如果一个直角三角形的斜边和 【变式2】如图，在ABC 中，72ABC C BDC AED ∠=∠=∠=∠=.则图中相似三角形共有（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对【答案】C 【分析】首先算出三角形中角的度数，即可得到答案．【详解】解：72ABC C BDC AED ∠=∠=∠=∠=，180180727236ABC C A =︒−∠−∠=︒−︒−︒=︒∴∠，180180367272ADE A AED =︒∴∠=︒−∠−∠=︒−︒−︒，180180727236DBC C BDC ∴∠=︒−∠−∠=︒−︒−︒=︒，AED ABC ∠=∠，//ED BC ∴，36EDB DBC ∴∠=∠=︒，1801803636108BED EBD EDB ∴∠=−∠−∠=−︒−︒=︒，180180727236DBC C BDC ∴∠=︒−∠−∠=︒−︒−︒=︒，7236108ADB ADE EDB ∠=∠+∠=︒+︒=︒， AED ABD ∠=∠，ADE ACB ∠=∠，AED ABC \，AED C ∠=∠，ADE BDC ∠=∠，AED BCD ∴，ABD C ∠=∠，ACB BDC ∠=∠，BCD ABC ∴，A EBD ∠=∠，ADB BED ∠=∠，EBD DAB ∴．故相似的三角形对数为4对：故选：C ．【考点二 相似三角形中有关直线个数的判断】 【例题2】如图，P 是Rt ABC △的斜边BC 上异于B 、C 的一点，过点P 作直线截Rt ABC △，使截得的三角形与Rt ABC △相似，则过点P 满足这样条件的直线最多有条（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】过点P 作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以．【详解】解：由于ABC 是直角三角形，过P 点作直线截ABC ，则截得的三角形与ABC 有一公共角，所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与Rt ABC △相似，如图，过点P 可作AB 的垂线、AC 的垂线、BC 的垂线，共3条直线．故选：C ．【点睛】本题主要考查三角形相似判定定理及其运用，运用两角法(有两组角对应相等的两个三角形相似)来判定两个三角形相似是解题关键． 【变式1】ABC 中，D 是AB 上的一点，再在AC 上取一点E ，使得ADE V 与ABC 相似，则满足这样条件的E 点共有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个【答案】C【分析】ADE V 与ABC 中，有公共角A ∠，因此只要作ADE B ∠=∠或ADE C ∠=∠，即可得出两三角形相似．【详解】解：根据题意得：当DE BC ∥时，ADE ABC △△∽；当ADE C ∠=∠时，由A A ∠=∠，可得ADE ACB ∽．所以有2个．故选：C ．【点睛】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似． 【变式2】在三边都不相等的ABC 的边AB 上有一点D ，过点D 画一条直线，与三角形的另一边相交所截得的三角形与ABC 相似，这样的直线最多可以画（ ）A ．5条B ．4条C ．3条D ．2条【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定定理，即可求解．【详解】解：如图，画直线DE BC ∥交AC 于点E ，则ADE ABC △△∽；如图，画直线DE 交AC 于点E ，使AED B ∠=∠，∵A A ∠=∠，∴AED ABC ∽△△； 如图，画直线∥DE A C 交BC 于点E ，则BDE BAC △△∽；如图，画直线DE 交BC 于点E ，使BED A ∠=∠，∵B B ∠=∠，∴BDE BCA ∽；∴这样的直线最多可以画4条．故选：B【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．【考点三 相似三角形判定定理的应用】 【例题3】在ABC 中，90ACB ∠︒＝，用直尺和圆规在AB 上确定点D ，使ACD CBD △∽△，根据作图痕迹判断，正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据ACD CBD △∽△，可得90CDA BDC ∠=∠=︒，即CD 是AB 的垂线，根据作图痕迹判断即可．【详解】解：当CD 是AB 的垂线时，ACD CBD △∽△．CD AB ⊥，90CDA BDC ∴∠=∠=︒，90ACB ∠=︒，90A ACD ACD BCD ∴∠+∠=∠+∠=︒，A BCD ∴∠=∠，ACD CBD ∴△∽△．根据作图痕迹可知，A 选项中，CD 是ACB ∠的角平分线，不符合题意；B 选项中，CD 不与AB 垂直，不符合题意；C 选项中，CD 是AB 的垂线，符合题意；D 选项中，CD 不与AB 垂直，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．【变式1】如图，在ABC 中，78,6,9A AB AC ∠=︒==．将ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据相似三角形的判定定理：有两角对应相等的两个三角形相似；有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，进行求解即可．【详解】A 、有两边对应边成比例但是夹角不相等，故两三角形不相似，符合题意，B 、633972−=−，9362=，A A ∠=∠，两三角形有两边对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，不符合题意，C 、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意，D 、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，，故两三角形相似，不符合题意，故选：A ．【点睛】本题考查相似三角形的判定，两组角对应相等，两个三角形相似；两组边对应成比例及其夹角相等，两个三角形相似；三组边对应成比例，两个三角形相似．【变式2】如图，在ABC 中，AB AC =，点D 为线段BC 上一动点（不与点B ，C 重合），连接AD ，作40ADE B ∠=∠=︒，DE 交线段AC 于点E ．下面是某学习小组根据题意得到的结论：甲同学：ABD DCE △△；乙同学：若AD DE =，则BD CE =；丙同学：当DE AC ⊥时，D 为BC 的中点．则下列说法正确的是（ ）A ．只有甲同学正确B ．乙和丙同学都正确C ．甲和丙同学正确D ．三个同学都正确【答案】D 【分析】在ABC 中，依据三角形外角及已知可得BAD CDE ∠=∠，结合等腰三角形易证ABD DCE △△；结合AD DE =，易证ABD DCE ≌△△，得到BD CE =；当DE AC ⊥时，结合已知求得50EDC ∠=︒，易证AD BC ⊥，依据等腰三角形“三线合一”得BD CD =【详解】解：在ABC 中，AB AC =，40C B ∴∠=∠=︒，B BAD CDE ADE ∠+∠=∠+∠，40ADE B ∠=∠=︒，BAD CDE ∴∠=∠，ABD DCE ∴~，甲同学正确；C B ∠=∠，BAD CDE ∠=∠，AD DE =，ABD DCE ∴≌，BD CE ∴=，乙同学正确；当DE AC ⊥时，90DEC ∴∠=︒，9050EDC C ∴∠=︒−∠=︒，90ADC ADE EDC ∴∠=∠+∠=︒，AD BC ∴⊥，AB AC =，BD CD ∴=，D 为BC 的中点，丙同学正确；综上所述：三个同学都正确故选：D ．【点睛】本题考查了三角形外角、相似三角形的判定、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质；解题的关键是通过“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和”得到BAD CDE ∠=∠．【考点四 相似三角形的拓展提高】【答案】3【分析】根据矩形性质得到OA OB OC ==，利用三角形的三线合一得AE EB =，过O 作OQ AB 交EF 于点Q ，则有OQF AEF ∽，OQP BEP ∽，计算即可．【详解】解：∵ABCD 是矩形，∴OA OB OC ==，∵F 是OC 的中点，∴1122OF OC OA ==，又∵OA OB =，OE AB ⊥∴AE EB =，过O 作OQ AB 交EF 于点Q ，∴OQF AEF ∽，OQP BEP ∽， ∴13OP OQ OQ OF PB BE AE OA ====， 故答案为：13．【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，作辅助线构造三角形相似是解题的关键． A ．22B ．【答案】C 【分析】如图，连接CA '，过点G 作GT AD ⊥于点T ，然后设=AB x ，AD y =， =BF k ， =2GC k ，得出1==2AE DE y ，由翻折的性质知1==2AE EA y '，==BF FB k '，=AEF GEF ∠∠，求出==EG FG y k −3，接着推出CG GA CF FB =''，求出1=2ET k ，532EG k k k ＝﹣＝，最后利用勾股定理求出AB ，即可得出结果． 【详解】如图，连接CA '，过点G 作GT AD ⊥于点T ，设=AB x ，AD y =，12BF GC =，设=BF k ，则=2GC k ，点E 是AD 中点，∴1==2AE DE y ，由翻折的性质知1==2AE EA y'，==BF FB k'，=AEF GEF∠∠，//AD CB，∴=AEF EFG∠∠，∴=GEF GFE∠∠，∴==EG FG y k−3，∴()11=3322GA y y k k y'−−=−，C，A'，B'共线，//GA FB''，∴CG GACF FB=''，∴1322k yky k k−=−，∴227100y y k−+=，∴2y k=（舍去）或=5y k，∴5==2AE DE k，四边形CDTG是矩形，∴==2CG DT k，1=2ET k，∴532EG k k k＝﹣＝，∴==AB CD GT=，∴ADAB=．故答案为：C．【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、平行线分段成比例及勾股定理等知识，学会利用参数构建方程解决问题是解题的关键．【变式2】30．已知：如图，ABC是以AB，BC为腰的等腰直角三角形，现将ABC绕点A逆时针旋一个角度α得到Rt ADE△，连接BD，CE．(1)如图1，当045α︒<<︒时，求证：ABD ACE ∽．(2)如图2，当45α=︒时，点E 在AB 的延长线上，延长DB 交CE 于点F ，求证：BCF FBC ∠=∠．(3)如图3，当4590α︒<<︒时，延长DB 交CE 于点F ，求证：F 是CE 的中点．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据旋转的性质得到AD AB =，AE AC =，BAD CAE ∠=∠，进而得到AD AB AE AC =，问题得证； （2）如图，根据等腰直角三角形性质得到45BAC BCA ∠=∠=︒，根据旋转的性质得到AD AB =，AE AC =，45DAE BAC ∠=∠=︒，进而得到4267.5∠=∠=︒，即可求出45BFE ∠=︒，再求得22.5BCF ∠=︒，22.5FBC ∠=︒即可得证；（3）如图，过点E 作EM DF ⊥于点M ，过点C 作CN DF ⊥，交DF 的延长线于点N ，先证明DEM BCN △≌△，由全等三角形的性质得到EM CN =，进而证明FEM FCN △≌△，即可证明EF CF =．【详解】（1）证明：∵将ABC 绕点A 逆时针旋一个角度α得到Rt ADE △，∴AD AB =，AE AC =，BAD CAE ∠=∠，∴AD AB AE AC =， ∴ABD ACE ∽．（2）证明：如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，AB BC =，则45BAC BCA ∠=∠=︒，由旋转的性质可知：AD AB =，AE AC =，45DAE BAC ∠=∠=︒，∴1267.5∠=∠=︒，367.5ACE ∠=∠=︒，∴2467.5∠=∠=︒，∴1803445BFE ∠=︒−∠−∠=︒，∴135BFC ∠=︒．∵67.54522.5BCF ACE ACB ∠=∠−∠=︒−︒=︒，∴在BFC △中，180********.522.5FBC BFC FCB ∠=︒−∠−∠=︒−︒−︒=︒，∴BCF FBC ∠=∠．（3）证明：如图，过点E 作EM DF ⊥于点M ，过点C 作CN DF ⊥，交DF 的延长线于点N ，∴90DME EMF BNC ∠=∠=∠=︒．由旋转的性质可知：DE BC =，AD AB =，90ADE ABC ∠=∠=︒，∴12∠=∠，1490∠+∠=︒，2318090ABC ∠+∠=︒−∠=︒，∴3=4∠∠，∴()AAS DEM BCN ≌△△，∴EM CN =，又∵56∠=∠，90EMF CNF ∠=∠=︒，∴()AAS FEM FCN ≌△△，∴EF CF =，即F 是CE 的中点．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的判定等知识，综合性较强，熟知相关知识并根据题意添加辅助线是解题关键．【过关检测】 1.如图，根据图中给出的数据，一定能得到（ ）AED CED ∽ B ．ABE ACB ∽ C ．ABC EDC ∽ D ．AED CBA ∽【答案】C【分析】先根据题意，推出BC AC CD CE =，再根据相似三角形的判定条件即可得到答案． 【详解】解：4BE =，18CE = ，21AD =，12CD =，22BC BE CE ∴=+=，33AC AD CD =+=，2211126BC CD ==，3311186AC CE ==，BC AC CD CE ∴=，ACB ECD ∠=∠，ABC EDC ∴∽，故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定条件是解题关键．2.如图，在ABC 中，AG 平分BAC ∠，点D 在边AB 上，线段CD 与AG 交于点E ，且ACD B ∠=∠，下列结论中，错误的是（ ）A ．ACD ABC △△∽B ．ADE ACG ∽C ．ACE ABG ∽△△ D ．ADE CGE ∽△△【答案】D【分析】由ACD B ∠=∠，DAC CAB ∠=∠，可直接证明ACD ABC △△∽，即可判断A ；由角平分线的定义得出DAE CAG ∠=∠，再结合三角形外角的性质即可得出AED AGC ∠=∠，从而可证ADE ACG ∽，即可判断B ；由CAE BAG ∠=∠，ACD B ∠=∠，可直接证明ACE ABG ∽△△，即可判断C ；没有条件证明ADE CGE ∽△△，即可判断D ．【详解】∵ACD B ∠=∠，DAC CAB ∠=∠，∴ACD ABC △△∽，故A 正确，不符合题意；∵AG 平分BAC ∠，∴DAE CAG ∠=∠．∵AED CAG ACD ∠=∠+∠，AGC DAE B ∠=∠+∠，∴AED AGC ∠=∠，∴ADE ACG ∽，故B 正确，不符合题意；∵CAE BAG ∠=∠，ACD B ∠=∠，∴ACE ABG ∽△△， 故C 正确，不符合题意； 在ADE V 和CGE 中只有AED CEG ∠=∠，不能证明ADE CGE ∽△△，故D 错误，符合题意． 故选D ．【点睛】本题考查三角形相似的判定，角平分线的定义，三角形外角的性质．掌握三角形相似的判定定理是解题关键． 3. 如图，ABC 的高AD ，BE 相交于点O ，写出一个与ACD 相似的三角形，这个三角形可以是 ．【答案】AOE △（答案不唯一）【分析】根据已知条件得90ADC AEO ∠=∠=︒，CAD OAE ∠=∠，推出ACD AOE ∼，其他同理.【详解】解： ACD AOE ∼；证明：∵ABC 的高AD ，BE 相交于点O ，∴90ADC AEO ∠=∠=︒，∵CAD OAE ∠=∠，∴ACD AOE ∼；故答案为：AOE △（答案不唯一）.【点睛】本题考查相似三角形的判定，三角形的高的定义，解题的关键是掌握有两角对应的两个三角形相似. 4．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，中线AD BE 、相交于点O ．若4AC =，3CB =，则OB 的长为 ．【分析】先运用勾股定理求出BE ，再根据三角形的中位线得到12DE AB DE AB =，，进而得到ODE OAB ∽解题即可．【详解】解：∵E 为AC 的中点，∴122CE AC ==∴BE =连接ED ，则ED 是ABC 的中位线，∴12DE AB DE AB =，， ∴OED EBA ∠=∠，ODE DAB ∠=∠，∴ODE OAB ∽∴12OE DE OB AB ==，∴23OB BE ==【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 5. 如图，在Rt ABC △中，CD 是斜边AB 上的高，DE BC ⊥于点E ．除Rt ABC △自身外，图中与Rt ABC △相似的三角形的个数是 ．【答案】4【分析】根据CD 是斜边AB 上的高，DE BC ⊥于点E ，得90CDA CDB ∠=∠=︒，90CED BED ∠=∠=︒，再根据相似三角形的判定，即可．【详解】∵CD 是斜边AB 上的高，DE BC ⊥于点E ，∴90CDA CDB ∠=∠=︒，90CED BED ∠=∠=︒，在Rt ABC △和Rt ACD △中，∵90A A ADC ACB ∠=∠⎧⎨∠=∠=︒⎩，∴Rt Rt ABC ACD ；在Rt ABC △和Rt CBD △中，∵B B CDB ACB ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，∴Rt Rt ABC CBD ；∵DE BC ⊥，∴AC DE ∥，∴Rt Rt ABC DBE ；∵A B ∠∠=︒+90，90B DCB ∠+∠=︒，∴A DCB ∠=∠，在Rt ABC △和Rt CDE △中，A DCB ACB CED ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，∴Rt Rt ABC CDE ；∴图中与Rt ABC △相似的三角形有4个．故答案为：4．【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理． 6．在如图所示的格点图中有5个格点三角形，分别是：①ABC ，②ACD ，③ADE V ，④AEF △，⑤AGH ，其中与⑤相似的三角形是 （只填序号）．【答案】①③/③①【详解】解：设每个小正方形的边长为1，则①ABC 的各边长分别为1②ACD 的各边长分别为1③ADE V 的各边长分别为2、④AEF △的各边长分别为6；⑤AGH 2∴ABC AGH V V ∽，ADE AGH V V ∽， 故答案为：①③．【点睛】此题主要考查学生对三组对应边的比相等的两个三角形相似的运用．正确掌握网格中求线段长度的方法及掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．7．如图，在ABC 中，AB AC >，过AC 边上一点D 作直线DE 交AB 边于点E ，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线可以作 条．【答案】2【分析】本题可分2种情况：①作ADE ABC =∠∠，则ADE ABC △△∽，因此DE 符合所求直线的要求；②依据预备定理，过D 作DE BC '∥，那么DE '符合所求直线的要求．【详解】解：如图；①作ADE ABC =∠∠；∵ADE ABC =∠∠，A A ∠=∠，∴ADE ABC △△∽； ②作DE BC '∥．∵DE BC '∥，∵AE D ABC '∠=∠，A A ∠=∠∴AE D ABC '∽因此共有2种作法，故答案为：2．【点睛】此题考查了相似三角形的判定．①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．与CMN 相似【答案】2或4/4或2【分析】根据AE EB =，AED △中2AD AE =，所以在MNC 中，分CM 与AE 和AD 是对应边两种情况利用相似三角形对应边成比例求出CM 与CN 的关系，然后利用勾股定理列式计算即可．【详解】解：AE EB =，2AD AE ∴=，又AED 与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似，∴分两种情况：①CM 与AD 是对应边时，2CM CN =，22220CM CN MN ∴+==，即221204CM CM +=，解得：4CM =；②CM 与AE 是对应边时，1CM CN ，22220CM CN MN ∴+==，即22420CM CM +=，解得：2CM =．综上所述：当CM 为4或2时，AED △与CMN 相似．故答案是：4或2．【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定；利用相似三角形对应边成比例的性质和直角三角形勾股定理求解是解题的关键．9．如图，在ABC 中，P 为AB 上的一点，补充条件，能使APC ACB V :V ，这个条件可以是 ．（写出一个即可）【答案】ACP B ∠=∠（答案不唯一）【分析】APC 和ACB 有公共角A ∠，则根据有两组角对应相等的两个三角形相似解答即可．【详解】解：PAC CAB ∠=∠，∴当ACP B ∠=∠时，APC ACB V :V ，故答案为：ACP B ∠=∠（答案不唯一）【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．充分利用APC ∆和ACB ∆的公共角是关键．．如图，在ABC 中，点中的一个，不能得出ABC 和△【答案】③【分析】根据相似三角形的判定定理可得结论．【详解】解：①2A ∠=∠，C C ∠=∠时，ABC BDC ∆∆∽，故①不符合题意；②1CBA ∠=∠，C C ∠=∠时，ABC BDC ∆∆∽，故②不符合题意；③BC CD AC AB =，C C ∠=∠时，不能推出ABC BDC ∆∆∽，故③符合题意； ④BC CD DB AC BC AB ==，C C ∠=∠时，ABC BDC ∆∆∽，故④不符合题意， 故答案为：③【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握两组对应边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；有两角对应相等的两个三角形相似．11．如图，点E 在▱ABCD 的边CD 的延长线上，连接BE 分别交AD 、AC 于F 、G ．图中相似的两个三角形共有 对．答案】6 【分析】根据平行四边形的性质及相似三角形的判定方法进行分析即可．【详解】解：∵ABCD 是平行四边形∴AD ∥BC ，AB ∥DC∵△ABG ∽△CEG ，△AGF ∽△CGB ，△EFD ∽△EBC ，△ABF ∽△DEF ，△ABF ∽△EBC 五对，还有一对特殊的相似即△ABC ≌△ADC ，∴共6对．故答案为：6．【点睛】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定定理，解题的关键是熟练掌握三角形的判断方法，属于中考常考题型．在ABC 中，【答案】见解析【分析】作BAC ∠的平分线，交BC 边于点M ，此时CMA CAB ∠=∠．【详解】解：点M 即为所作，∵AM 平分BAC ∠，∴BAM CAM ∠=∠，∵2BAC B ∠=∠，∴B CAM ∠=∠，∵MCA ACB ∠=∠，∴~CMA CAB ．【点睛】本题考查了作角平分线，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键． 13．如图，已知正方形ABCD 中，BE 平分DBC ∠且交CD 边于点E ，将BCE 绕点C 顺时针旋转到DCF 的位置，并延长BE 交DF 于点G ．求证：(1)BDG DEG ∽；(2)BG DF ⊥．【分析】（1）先判断出FDC EBC ∠=∠，再利用角平分线判断出FDC EBC ∠=∠，即可得出结论；（2）由三角形的内角和定理可求90DGE BCE ∠=∠=︒，可得结论．【详解】（1）证明：由旋转可知：BCE DCF ≅，FDC EBC ∴∠=∠．BE 平分DBC ∠，DBE EBC ∠=∠∴，FDC DBE ∴∠=∠，DGE DGB ∠=∠，BDG DEG ∴∽；（2）证明：EBC GDE ∠=∠，BEC DEG ∠=∠，90DGE BCE ∴∠=∠=︒．BG DF ∴⊥．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．14．如图，在AEC △中，B 为EC 上一点，且满足ABD C E ∠=∠=∠．(1)求证：AEB BCD ；(2)当AE BD ∥时，30C ∠=︒，10CD =，求AD 的长．【答案】(1)见解析(2)5【分析】（1）由三角形外角的性质和角的和差可得ABC ABD DBC E EAB ∠=∠+∠=∠+∠，再结合ABD E ∠=∠可得DBC EAB ∠=∠，然后结合C E ∠=∠运用两组对应角相等的三角形是相似三角形即可证明结论；（2）先根据直角三角形的性质可得152DH CD ==，再根据平行线的性质、等量代换可得30DBC C ABD ∠=∠=∠=︒，即BD 是ABC ∠的角平分线、60C ABD DBC ︒=+∠=∠∠，进而说明90BAD ∠=︒，最后根据角平分线的判定定理即可解答．【详解】（1）解：∵ABC ABD DBC E EAB ∠=∠+∠=∠+∠，ABD E ∠=∠，∴DBC EAB ∠=∠，∵C E ∠=∠，∴AEB BCD ．（2）解：作 DH BC ⊥ 于 H ．∵30C ∠=︒，10CD =，∴152DH CD ==，∵AE BD ∥，∴ CBD E ∠=∠，∵C E ∠=∠∴30DBC C ABD ∠=∠=∠=︒，即BD 是ABC ∠的角平分线，∴60C ADB DBC ︒=+∠=∠∠，∵30ABD ∠=︒∴90BAD ∠=︒,∵BD 是ABC ∠的角平分线，DA BA ⊥，DH BC ⊥，∴5DA DH ==．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定、三角形外角的性质、平行线的性质、角平分线的判定定理、30度所对的直角边等于斜边的一半等知识点，灵活运用相关判定、性质定理是解答本题的关键． ，ABC 为等边三角形， (1)求证：ABD DCE ∽△△； (2)如图2，当D 运动到BC 的中点时，求线段CE 的值；【答案】(1)见解析(2)5【分析】（1）利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，得到BAD CDE ∠=∠，再利用两角相等的三角形相似求解．（2）由题意易得AD BC ⊥，1102BD CD BC ===，然后可得30∠=︒CDE ，进而根据含30度直角三角形的性质可进行求解．【详解】（1）证明：三角形ABC 是等边三角形， 60B C ∠=∠=︒∴，ADC B BAD ∠=∠+∠，ADC ADE CDE ∠=∠+∠，B BAD ADE CDE ∴∠+∠=∠+∠，ADE B ∠=∠，BAD CDE ∴∠=∠，B C ∠=∠，ABD DCE ∴∽；（2）解：ABC 是等边三角形，点D 是BC 中点，AD BC ∴⊥，1102BD CD BC ===， 90ADC ∴∠=︒，60ADE ∠=︒，30CDE ∴∠=︒，60C ∠=︒，90DEC ∴∠=︒，152CE CD ∴==．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定、等边三角形的性质及含30度直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定、等边三角形的性质及含30度直角三角形的性质是解题的关键． 边上一点，BCE 沿BE (1)求证：ABFDFE ； (2)若2sin 3DFE ∠=，6AF =【答案】(1)见解析(2)9【分析】（1）根据矩形的性质可知90A D ∠=∠=︒，在ABF △中可得90ABF AFB ∠+∠=︒，再由90BFE ∠=︒可得90AFB DFE ∠+∠=︒，进而可得ABF DFE =∠∠即可证明结论；（2）由ABFDFE 可得DFE ABF ∠=∠，然后说明2sin sin 3ABF DFE ∠=∠=可得23AF BF =，然后将6AF =代入计算即可．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴90A D ∠=∠=︒．在ABF △中，90ABF AFB ∠+∠=︒，∵90BFE ∠=︒，∴90AFB DFE ∠+∠=︒，∴ABF DFE =∠∠，∴ABF DFE ．（2）解：∵ABF DFE ， ∴DFE ABF ∠=∠， ∵2sin 3DFE ∠=，6AF =， ∴2sin sin 3ABF DFE ∠=∠=， ∴23AF BF =， ∴623BF =，∴9BF =．【点睛】本题主要考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的概念等知识点，掌握有两个角相等的两个三角形相似是解题的关键． 18．如图1，在ABC 中，AC BC =，将线段CB 绕点C 逆时针旋转90︒，得到线段CD ，连接AD ，BD ．(1)求BAD ∠的度数；【答案】(1)45︒(2)①见解析；②见解析【分析】（1）由等腰三角形的性质及旋转的性质得902BAC α∠=︒−，452CAD α∠=︒−，即可得BAD ∠的度数；（2）①由题意可得45CBD BAD ∠=∠=︒，由等腰三角形的性质可得∠=∠ACE DCE ，CE AD ⊥，进而可得45AEC ∠=︒，可证()SAS ACE DCE △≌△，易得45DEC AEC ∠=∠=︒，可得90AED BCD ∠=∠=︒，可证结论；②延长ED 至G ，使得DG BC =，先证CBE CDG ∠=∠，进而可证()SAS CBE CDG △≌△，可得45BEC G ∠=∠=︒，CEG 是等腰直角三角形，可得结论．【详解】（1）解：设ACB α∠=，∵AC BC =，∴180********ACB BAC ABC αα︒−∠︒−∠=∠===︒−， 由旋转可知，90BCD ∠=︒，AC BC DC ==，∴90ACD α∠=︒+∴1804522DCA CAD CDA α︒−∠∠=∠==︒−，∴45BAD BAC CAD ∠=∠−∠=︒；（2）①证明：∵AC BC DC ==，90BCD ∠=︒，∴45CBD BAD ∠=∠=︒，又∵CE 平分ACD ∠，∴∠=∠ACE DCE ，CE AD ⊥，则90AFE ∠=︒∴45AEC ∠=︒，又∵CE CE =，∴()SAS ACE DCE △≌△，∴45DEC AEC ∠=∠=︒，∴90AED BCD ∠=∠=︒，∴BCD AED ∽；②证明：延长ED 至G ，使得DG BE =，∵AC BC DC ==，∴BAC ABC ∠=∠，由①知ACE DCE ≌，∴EAC EDC ∠=∠，∴ABC EDC ∠=∠，∴CBE CDG ∠=∠，∴()SAS CBE CDG △≌△，∴45BEC G ∠=∠=︒，∴CEG 是等腰直角三角形，∴EG DE DG DE BE =+=+，DE BE =+．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，等腰三角形的性质，旋转的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．。

24.2 相似三角形的判定[知识点1]相似三角形：1、两个三角形，如果各边对应成比例，各角对应相等，则这两个三角形相似。

2、各边对应成比例，各角对应相等是指三组对应角分别相等，三组对应边分别成比例。

3、△ABC与△A′B′C′相似记作“△ABC∽△A′B′C′”，书写时同三角形全等一样，要注意对应字母放在对应位置4、相似三角形的定义揭示了相似三角形的本质特性，即如果两个三角形相似，则各边对应成比例，各角对应相等，∴相似三角形的定义即是性质，又是判定。

5、全等三角形是相似比为1的相似三角形。

[知识点2]相似三角形判定方法：相似三角形的判定方法按照全等三角形的判定方法可记为“AA”、“SAS”、“SSS”和“HL”，只是这里对边要求是对应成比例，对角的要求是对应角相等。

1、“AA”：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等；那么这两个三角形相似。

可简单的说成：两角对应相等的两个三角形相似。

2、“SAS”：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简单的说成：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

3、“SSS”：如果一个三角形的三条边为另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可以简单的说成：三边对应成比例的两个三角形相似。

4、“HL”：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三外形相似。

典型例题点拨例1、已知:如图，ΔABC中,AD＝DB，∠1＝∠2，求证:ΔABC∽ΔEAD。

例2、已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，ΔADQ与ΔQCP是否相似？为什么？例3、如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形。

（1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB？（2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数。

相似三角形的判定与性质教学内容一、知识要点1、相似三角形的判定及性质(1) 相似三角形的判定方法：预备定理、AA 、SSS 、ASA 、HL 、传递性 (2)相似三角形的性质相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比和周长的比都等于相似比，面积比等于相似比的平方。

2、三角形相似的基本模型：(1)平行型：如图，“A”型即公共角对的边平行，“X”型即对顶角对的边平行，都可推出两个三角形相似；常见条件：①//DE BC ，①::AD AB AE AC =，①AD AC AE AB ⋅=⋅，①ADE B ∠=∠(2)相交线型：如图，公共角对的边不平行，即相交或延长线相交或对顶角所对边延长相交.图中几种情况只要配上一对角相等，或夹公共角(或对顶角)的两边成比例，就可以判定两个三角形相似.常见条件：①AD AB AE AC ⋅=⋅①::AD AC AE AB =① ADE C ∠=∠ (3)旋转型：常见条件：已知①BAC①①DAE ， 求证：①BAD①①CAE.EABCDDCB AFEBCD(4)嵌入型：已知①ABC 是等腰直角三角形，①BAC=90°，①DAE=45°.找出相似的三角形. 已知①ABC 是等边三角形，①DAE=120°.找出相似的三角形.常见条件：① 已知①B=①C=①EDF ，找出相似的三角形.② 已知①B=①C=①EDF ，D 为BC 的中点，找出相似的三角形. (5)一线三等角：常见条件：B C EDF ∠=∠=∠ (6)子母三角形：(相交线型推广)常见条件：①，2AC AD AB =⋅①2BC BD BA =⋅①2CD AD BD =⋅(7)双高型推广：左图两对相似三角形：ABD①①①ACE ①OCD①①OBE 中图六对相似三角形：ABD①①①ACE①①OCD①①OBE右图八对相似三角形：ABD①①①ACE①①OCD①①OBE ①ADE①①ABC ①ODE①①OBC (后两个相似写出证明过程)常见条件：①ABD ACE ∠=∠，①，①. 3、常见的三角形面积比(1)如图一：①ABC 中，若BD ：CD=m ：n ， 则S ①ABD ：S ①ACD=m ：n(2)如图二：①ABC 和①BCD 同底，则两个三角形面积之比 等于两个三角形BC 边上的高之比.(3)蝴蝶定理：在梯形ABCD 中，若AO ：OC=m ：n ，则： 1) S ①AOD ：S ①COD=S ①AOB ：S ①BOC=m ：n 2) S ①AOD ：S ①AOB=S ①COD ：S ①BOC=m ：n 3)S ①COD=S ①AOB 4)S ①AOD ：S ①BOC=22:m n二、例题讲解例1.如图，梯形ABCD 中，AD ①BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，2AOD S p ∆=，2BOC S q ∆=，试求梯形ABCD 的面积。