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§1.2 压缩感知理论及其研究现状1.2.1 压缩感知理论的提出背景现实世界的模拟化和信号处理工具的数字化决定了信号采样是从模拟信源获取数字信息的必经之路。
在信号/ 图像处理领域，凡是涉及到计算机作为处理工具的场合，所面临的首要问题就是模拟信号的数字化问题，然后再对得到的离散的样本进行各种处理。
连续信号转化为离散的数字化信号的过程称为采样。
对模拟信号采样所得的离散数字信号能否代表并恢复成原来的连续模拟信号呢？如能恢复应具备什么样的条件呢？这个问题直接关系到是否可以用数字处理工具和数字化的方法处理模拟信号。
奈奎斯特采样定理给我们提供了如何采样的重要理论基础。
它指出，如果信号是带限的，采样速率必须达到信号带宽的两倍以上才能精确重构信号[46]。
事实上，在音频和可视电子设备、医学图像设备、无线接收设备等设备中的所有信号采样协议都隐含了这样的限制。
奈奎斯特采样定理至出现以来一直是数字信号和图像处理领域的重要理论基础，它支撑着几乎所有的信号/ 图像处理过程，包括，信号/ 图像的获取、存储、处理、传输等。
该定理的出现一方面为模拟信号的数字化处理奠定了基础；同时，另一方面，基于该定理的宽带信号处理的困难在日益加剧。
在生物医学图像中，例如核磁共振成像，采集和未知像素数目一样多的观察数目同样是不能想象的。
再例如高分辨率地理资源观测，其巨量数据传输和存储是一个艰难的工作。
近年来，以奈奎斯特采样定理为基础的信号处理框架开始遭遇瓶颈。
具体来讲，主要表现在以下几个方面：（1 ）数据采集方面。
高采样率带来的高成本。
通常，奈奎斯特采样理论只能解决带宽有限信号的采样。
在一些实际应用中，例如，超宽带信号处理，CT成像，核磁共振，空间探测等，奈奎斯特采样率太高会产生太多的采样样本，而且在某些情况下甚至技术上无法实现高速率采样。
在其它一些应用中，如成像系统（临床成像仪或雷达）和高速A/D 转换器，在现有技术工艺基础上提高采样率代价非常高。
形象易懂讲解算法II——压缩感知之前曾经写过一篇关于小波变换的回答，得到很多赞，十分感动。
之后一直说要更新，却不知不觉拖了快一年。
此次更新，思来想去，决定挑战一下压缩感知（compressed sensing, CS）这一题目。
在我看来，压缩感知是信号处理领域进入21世纪以来取得的最耀眼的成果，并在磁共振成像、图像处理等领域取得了有效应用。
压缩感知理论在其复杂的数学表述背后蕴含着非常精妙的思想。
基于一个有想象力的思路，辅以严格的数学证明，压缩感知实现了神奇的效果，突破了信号处理领域的金科玉律——奈奎斯特采样定律。
即，在信号采样的过程中，用很少的采样点，实现了和全采样一样的效果。
正是被它的精妙思想所打动，我选择它作为专栏第二篇的主题。
理解压缩感知的难度可能要比之前讲的小波还要大，但是我们从中依然可以梳理出清晰的脉络。
这篇文章的目标和之前一样，我将抛弃复杂的数学表述，用没有公式的语言讲清楚压缩感知的核心思路，尽量形象易懂。
我还绘制了大量示意图，因为排版问题，我将主要以PPT的形式呈现，并按slice标好了序号。
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------一、什么是压缩感知（CS）？compressed sensing又称compressed sampling，似乎后者看上去更加直观一些。
没错，CS是一个针对信号采样的技术，它通过一些手段，实现了“压缩的采样”，准确说是在采样过程中完成了数据压缩的过程。
因此我们首先要从信号采样讲起：1. 我们知道，将模拟信号转换为计算机能够处理的数字信号，必然要经过采样的过程。
问题在于，应该用多大的采样频率，即采样点应该多密多疏，才能完整保留原始信号中的信息呢？---------------------------------------2. 奈奎斯特给出了答案——信号最高频率的两倍。
