中值定理证明题

中值定理证明例题中值定理（RolleTheorem）是微积分中一个重要的定理，它指出，如果一个函数在定义域的端点上有可导的一阶连续导数，并且在定义域内单调，那么这个函数在定义域内必定存在不小于一个值的可导零点，即在两个不同的端点之间存在某点x，使得函数f(x)在该点处取得零值，而函数f(x)在该点处也取得零值。

它的具体证明如下：给定函数f(x)在定义域[a，b]上连续可导，且单调，假设存在a<c<b，使得f(a)=f(c)=f(b)，则f(c)=0。

证明：令g(x) = f(x) f(a)则g(x)在[a，b]上连续可导，且g(a) = g(b) = 0令h(x) = g(x) (x a)，则h(x)在[a，b]上连续可导，且h(a) = h(b) = 0设h(x)在定义域[a，b]上关于x的连续偏导数为h′(x)又根据中值定理，存在α∈[a,b]使 h′(α) = 0即h′(α) = 0对h′(x)求解：h′(x) = g(x)+ g′(x) (x a)设h′(α) = 0得 g(α) + g′(α) (α a)= 0即g(α)= 0由此可得f(α) = f(a)又由于f(α) = f(a)，而f(α) = f(c)因而可得 f(c) = f(a)再由于f(c) = f(a)，已知f(b) = f(c)所以有f(a) = f(c) = f(b)综上所述，可以得出结论：若函数f(x)在定义域[a,b]上连续可导，且单调，则存在a<c<b，使得f(a)=f(c)=f(b)，并且f′(c)=0。

中值定理的证明归纳出一般情况：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续且有一阶可导，并且单调，则存在x0∈(a,b)，使得f(x0)=0，并且f(x0)=0.根据中值定理，可以给出下面的例题：例题：设函数f(x)在[0，2]上连续且有一阶可导，且f(0) =2,f(2) = 4,试求f(x)在定义域内一阶偏导数等于0的解。

拉格朗日中值定理证明不等式题目拉格朗日中值定理是微积分中的重要定理之一，它描述了实数空间上的函数在某个区间内的导数与函数值之间的关系。

下面将通过证明一个不等式的例子来说明拉格朗日中值定理的应用。

我们来证明当$x>0$时，$1-\cos x<\frac{1}{2}x^2$。

首先，我们定义一个函数$f(x)=1-\cos x-\frac{1}{2}x^2$，我们需要证明当$x>0$时，$f(x)<0$。

由于$f(x)$是连续函数，而且$x>0$时，$f(x)$是可导函数，因此我们可以使用拉格朗日中值定理来证明。

根据拉格朗日中值定理，我们可以找到一个点$c \in (0,x)$，使得$f'(c)=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$。

接下来，我们先求出$f'(x)$，然后再求出$c$的取值范围，最后对$f(c)$进行估计。

首先求导得到$f'(x)=\sin x-x$。

要使$f(c)<0$，则有$f'(c)<0$。

我们来求方程$f'(c)=0$的解，即 $\sin c =c$。

这个方程的解并不容易求出来。

不过我们可以使用图像法来估计这个方程的解。

我们可以画出$f'(c)$和$y=x$在坐标系上的图像。

根据图像，我们可以发现这个方程在$x=0$和$x=π$之间有两个解：$c_1$和$c_2$。

首先我们来估计下$c_1$的取值范围。

当$x \in (0,c_1)$时，根据$f'(x)$与函数$y=x$的关系可以得到$f'(x)<x$。

进一步得到\[f'(c_1)<c_1\]\[ \sin c_1 - c_1 <0\]而当$x\in (0,\frac{\pi}{2})$时，有$\sin x>0$，因此$\sin c_1-c_1<0$。

然后我们来估计下$c_2$的取值范围。

泰勒中值定理证明题【泰勒中值定理证明题】引言：泰勒中值定理是微积分中的一个重要定理，它通过连接函数在某一点和它在一阶导数所确定的切线，来研究函数在某一区间内的性质。

本文将对泰勒中值定理进行全面评估，并展示其深度和广度，希望能为您对该定理的理解提供帮助。

1. 泰勒中值定理的基本概念1.1 定理的表述泰勒中值定理可以表述为：给定一个区间[a, b]上的连续可导函数f(x)，则在[a, b]内至少存在一点c，使得f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)。

该定理为我们研究函数在某一区间内的变化提供了重要依据。

1.2 理解函数的导数在理解泰勒中值定理之前，我们需要明确函数的导数概念。

函数的导数描述了函数在某一点的变化率，是函数增长或减少的速度。

导数为我们揭示了函数曲线的切线和斜率的关系。

2. 泰勒中值定理的证明2.1 一阶泰勒公式的推导我们从一阶泰勒公式开始推导。

根据泰勒中值定理，我们知道f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)，可以将这个表达式进一步拆解为f(b) = f(a) +f'(c)(b - a)。

2.2 使用拉格朗日中值定理为了证明泰勒中值定理，我们可以使用拉格朗日中值定理。

根据拉格朗日中值定理，对于一个连续可导的函数f(x)，在[a, b]区间内至少存在一个点c，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。

将此结果代入一阶泰勒公式中，得到f(b) = f(a) + f'(c)(b - a)。

证明完毕。

3. 泰勒中值定理的应用3.1 函数曲线与切线的关系泰勒中值定理使得我们能够通过函数在某一点的导数，来了解函数曲线在该点附近的变化情况。

通过连接函数在某一点的切线，我们可以推测函数的增长或减少趋势，并进一步研究函数在其他点上的性质。

3.2 近似计算与误差分析泰勒中值定理还可用于近似计算，并进行误差分析。

通过取泰勒级数中的有限项，我们可以近似计算出函数在某一点附近的数值，而可以通过增加级数项来提高精度。

柯西中值定理证明题柯西中值定理是一个非常重要的数学定理，它在微积分中有着广泛的应用。

该定理的内容可以简单地描述为：如果一个函数在闭区间[a，b]上连续，并且在开区间(a，b)上可导，则存在一个点c∈(a，b)，使得函数在点c处的导数等于函数在区间[a，b]上的平均速率，即f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

为了证明柯西中值定理，我们可以使用罗尔定理来帮助我们完成证明。

首先，我们定义一个新的函数g(x)=f(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)*x。

根据柯西中值定理的假设，g(x)在闭区间[a，b]上连续，并且在开区间(a，b)上可导。

接下来，我们需要证明g(x)在区间[a，b]的两个端点处取相同的函数值，也就是g(a)=g(b)。

首先，我们考虑g(a)=f(a)-(f(b)-f(a))/(b-a)*a=f(a)-f(a)+f(a)/(b-a)*a=f(a)/(b-a)*a。

然后，我们考虑g(b)=f(b)-(f(b)-f(a))/(b-a)*b=f(b)-f(b)+f(a)/(b-a)*b=f(a)/(b-a)*b。

由于f(a)/(b-a)*a=f(a)/(b-a)*b，我们可以得出g(a)=g(b)。

根据罗尔定理，由于g(x)在闭区间[a，b]上连续，并且在开区间(a，b)上可导，且g(a)=g(b)，所以存在一个点c∈(a，b)，使得g'(c)=0。

由于g'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)-（f(b)-f(a))/(b-a)=0，我们可以得出f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

综上所述，我们通过使用罗尔定理，证明了柯西中值定理的正确性。

考研数学中值定理证明题考研数学中经常出现定理的证明题，其中中值定理是一个常见的题型。

中值定理是高等数学中一个非常重要的定理，它有着广泛的应用，在计算机科学、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。

中值定理有两种形式：罗尔中值定理和拉格朗日中值定理。

其中罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例，在下文中以罗尔中值定理为例来介绍中值定理的证明方法。

罗尔中值定理是一个非常简单的定理，它的内容是：如果一个函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$上可导，并且$f(a)=f(b)$，那么存在一个$\xi \in (a,b)$, 使得$f'(\xi)=0$。

那么该如何证明罗尔中值定理呢？下面就来介绍一下证明的过程。

证明：首先，根据$f(a)=f(b)$, 可得函数$f(x)$在$[a,b]$上至少存在一个极值点。

如果该极值点在$(a,b)$内，则此极值点即为所求的$\xi$，满足$f'(\xi)=0$；如果该极值点在$\{a,b\}$上，则此时存在一个开区间$(c,d) \subseteq (a,b)$，使得$f(x)$在$(c,d)$上可导，从而可以使用拉格朗日中值定理。

接下来，我们通过反证法来证明假设“不存在这样的$\xi$”是不成立的。

我们假设不存在一个$\xi \in (a,b)$，使得$f'(\xi)=0$。

因为$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$[a,b]$上有最大值和最小值，由于假设不存在$\xi$，使得$f'(\xi)=0$，因此最大值和最小值都不在$(a,b)$内。

那么最大值和最小值只能发生在$a$和$b$处，即$f(a)=f(b)$是$f(x)$的最大值或最小值。

假设$f(x)$在$[a,b]$上为最大值，则有$f(x) \leq f(a) = f(b),\forall x \in [a,b]$。

又因为$f(x)$在$(a,b)$上可导，即$\forall x \in (a,b)$，有$f'(x)$存在，所以$f(x)$在$(a,b)$上单调递减，即$\forall x_1,x_2 \in (a,b)$，如果$x_1 < x_2$，则$f(x_1) >f(x_2)$。

例1设()x f '在[]b a ,上存在,且()()b f a f '<',而r 为()a f '与()b f '之间的任一值,则在()b a ,内存在一点ξ,使得()r f ='ξ[7].例2设()x f 在()+∞,a 内可导,且()()A x f x f x a x ==+∞→→+lim lim ,试证:至少存在一点 ()+∞∈,a ξ,使得()0='ξf [7].例3设函数()x f 在[]b a ,上可导,且()()0_<'⋅'+b f a f ,则在()b a ,内至少存在一个ξ,使得()0='ξf [7].例4()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内二阶可导,且()()()b f c f a f ==,()b c a <<, 试证:至少存在一个()b a ,∈ξ,使得()0=''ξf [2].例5设()x f 在[]1,0上有三阶导数,()()010==f f ,设()()x f x x F 3=,证明:存在 ()1,0∈ξ使得()0='''ξF .例6设()x f 在[]b a ,上可微，且()x f 在a 点的右导数()0<'+a f ，在b 点的左导数 ()0<'-b f ，()()c b f a f ==，证明：()x f '在()b a ,内至少有两个零点.例7设()x f 在R 上二次可导，()0>''x f ，又存在一点0x ，使()00<x f ，且 ()0lim <='-∞→a x f x ，()0lim >='+∞→b x f x ，证明：()x f 在R 上有且仅有两个零点. 例8()[]1,0在x f 上二次可导,()()010==f f ,试证明:存在()1,0∈ξ,使得()()()ξξξf f '-=''211[4].例9设()[]1,0在x f 上连续,在()1,0上可导, ()()010==f f ,121=⎪⎭⎫ ⎝⎛f .证明: 至少存在一点()1,0∈ξ使得()1='ξf .例10设函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续,在开区间()b a ,上二次可微,连结()()a f a ,与()()b f b ,的直线段与曲线()x f y =相交于()()c f c ,,其中b c a <<.证明在()b a ,上至少存在一点ξ,使得()0=''ξf [1].例11设()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,且()()1==b f a f 试证:存在ξ, ()b a ,∈η使得 ()()[]1='+-ηηξηf f e [1].例12 设函数()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,上二阶可微,并且()()b f a f =,证明:若存在点()b a c ,∈,使得()()a f c f >,则必存在点()b a ,,,∈ζηξ,使得()0>'ξf ,()0<'ηf ,()0<''ζf [6].例13设()x f 定义在[]1,0上,()x f '存在且()x f '单调递减,()00=f ,证明: 对于 10≤+≤≤≤b a b a ,恒有()()()b f a f b a f +≤+.例14 设()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,可导,b a <≤0,()()b f a f ≠.证明:存在η,()b a ,∈ξ,使得()()ηηξf b a f '+='2 [6]. 例15 设()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,可导,且()0≠'x f ,试证:存在η,()b a ,∈ξ,使得()()ηηξ---=''e ab e e f f ab [1]. 例16设函数()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,可导,证明:存在()b a ,∈ξ,使得()()()()ξξξf f ab a af b bf '+=--[1]. 例17设()[]b a x f ,在上连续()0>a ,在()b a ,可导,证明:在()b a ,内存在ξ,η,使()()ab f f ηηξ'='2[1].例18 设()[]b a x f ,在上连续,在()b a ,内可微,0>>a b ,证明:在()b a ,内存在321,,x x x ,使得()()()()33223222211ln42x f x a b a b x x f a b x x f '-='+='. (3) 例19设()x f 在()b a ,内二次可微,试用柯西中值定理证明:任意x ,()b a x ,0∈,存在ξ在x 与0x 之间,使()()()()()()2000021x x f x x x f x f x f -''+-'+=ξ成立[6]. (8)。

微分中值定理的证明题1.若在上连续，在上可导，，证明：，使得：。

证：构造函数，则在上连续，在内可导，且，由罗尔中值定理知：，使即：，而，故。

2.设，证明：，使得。

证：将上等式变形得：作辅助函数，则在上连续，在内可导，由拉格朗日定理得：，即，即：。

3.设在内有二阶导数，且，有证明：在内至少存在一点，使得：。

证：显然在上连续，在内可导，又，故由罗尔定理知：，使得又，故，于是在上满足罗尔定理条件，故存在，使得：，而，即证4.设函数在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，，.证明：(1)在(0,1)内存在，使得．(2)在(0,1)内存在两个不同的点，【分析】第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.【证明】（I）令，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在存在使得，即.（II）在和上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点，使得，于是5.设在[0，2a]上连续，，证明在[0,a]上存在使得.【分析】在[0,2a]上连续，条件中没有涉及导数或微分，用介值定理或根的存在性定理证明。

辅助函数可如下得到【证明】令，．在[0,a]上连续，且当时，取，即有；当时，，由根的存在性定理知存在使得，，即．6.若在上可导，且当时有，且，证明：在内有且仅有一个点使得证明：存在性构造辅助函数则在上连续，且有，，由零点定理可知：在内至少存在一点，使得，即：唯一性：（反证法）假设有两个点，且，使得在上连续且可导，且在上满足Rolle定理条件必存在一点，使得：即：，这与已知中矛盾假设不成立，即：在内仅有一个根，综上所述：在内有且仅有一个点，使得7.设在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且==0，=1。

试证至少存在一个(0，1)，使=1。

分析：=1=1=x=0令()=证明：令F()=()在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，(1)=()=由介值定理可知，一个(，1)，使()=0又(0)=0=0对()在[0，1]上用Rolle定理，一个(0，)(0，1)使=0即=18.设在上连续，在内可导，且试证存在和.满足，使。

题目1证明题 一般。

使，内至少存在一点上正值，连续，则在在设⎰⎰⎰==bbdx x f dx x f dx x f b a b a x f aa)(21)()( ),( ],[ )(ξξξ解答_从而原式成立。

又即使在一点由根的存在性定理，存时，由于证：令⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=+===∈>=<-=∴>∈-=ξξξξξξξξξ aaaaaaa xa)(2)()()()()()()(0) F(b)(a, 0)()(0)()(0)( ],[)()()(dxx f dxx f dx x f dxx f dx x f dt t f dtt f dt t f dt t f b F dt t f a F x f b a x dtt f dt t f x F bbb bbbbxQ题目2证明题 一般。

证明且上可导在设2)(2)(:,0)(,)(,],[)(a b Mdx x f a f M x f b a x f b a -≤=≤'⎰解答_。

有由定积分的比较定理又则微分中值定理上满足在由假设可知证明2)(2)()( , )()( ),( M ,(x)f x)(a, ))(( )()()( , ],[)(),(,:a b Mdx a x M dx x f a x M x f b a x a x f a f x f x f x a x f b a x b a b a -=-≤-≤∴∈∀≤'∈-'=-=∈∀⎰⎰ ξξ题目16证明题。

证明：上连续，，在设⎰⎰-+=>aadx x a f x f dx x f a a x f 02 0)]2()([)( )0( ]2,0[ )(解答_。

，则令由于⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+=-+=-=-=+=a aaaaaaadx x a f x f dtt a f dx x f dx x f dtdx t a x dxx f dx x f dx x f 02 02 02 0)]2()([ )2( )( )(2)()()(题目5证明题。