微分中值定理的证明题

理工大学微积分-微分中值定理费马定理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理()()1.()0,(0)0,f x f f f ϕξξξξζξξξ'' <=>><≤[][]''''''[]<<≤１２１２１２１２１２１２１２２１１１２１１１２１１２２１设证明对任何的x ０，ｘ０，有（ｘ＋ｘ）（ｘ）＋ｆ（ｘ）． 解：不妨设ｘｘ，（ｘ）＝f （ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ） ＝ｆ（ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（０） ＝ｆ（）ｘ－ｆ（）ｘ＝ｘｆ（）－ｆ（）＝ｘｆ－．因为，０ｘｘ()ξζϕ''<<<<２１１２ｘ＋ｘ，又ｆ０，所以（ｘ）０，所以原不等式成立。

12n 12n 12n 11221122n 0011000.x b f x .x x x b 1,f )f x f x f x x *,()()()()n n n nni i i i i i i X b b x f x f x f x x x λλλλλλλχλχλχλλλλλ=='' >∀⋯⋯∈<<1++⋯+=++⋯+≤⋯=<=>α.'''=+-+∑∑2设f （）在（a ，）内二阶可导，且（）0，，（a ，），0，，，且则，试证明(（）+（）++（）. 解：设同理可证：()20000i 0011110000111()()()()().x 2!()()()()()(()()().)nn ni i i i i i i nni nniiiiiii i i i i i f x x f x f x x x f x f x f x f x x x f x X X x x f x f x λλλλξξλλλ=======⎛⎫''-'-≥+-<<'≥+-===- ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑注：x()3.)tan.2F ,F 2(0)0,(0)0,((cos02F f xf F F f ππξξπξξππππππξ [0]0'∈=[0]0=∴===[0]∈设f(x)在，上连续，在（，）内可导，且f （0）=0，求证：至少存在（0，），使得2f ( 证明：构造辅助函数：（x)=f(x)tan 则（x)在，上连续，在（，）内可导，且））所以（x)在，上满足罗尔定理的条件，故由罗尔定理知：至少存在（0()()()()()()F 011F x cossin F cos sin 0222222cos0)tan22x x x f f f πξξξξξξξξξπξξ'=''''=- =-='∈≠=，），使得，而f(x)f()又（0，），所以，上式变形即得：2f (，证毕。

与微分中值定理有关的证明题一．利用罗尔定理1．()f x 在[0 ，1]上有二阶导数，且(1)0f = ，又2()()F x x f x = ，求证：在（0 ，1）内至少存在一点x ，使()0F x ⅱ= 2．()f x 在[0 ，1]上连续，在（0 ，1）内可导 ，且(1)0f = ，求证：在（0 ，1）内 至少存在一点x ，使()()0f f x x x ¢+=3．()f x 在[a ，b]上连续，在（a , b ）内可导，且()()0f a f b == ，l 为某个常数，求证：在（a , b ）内至少存在一点x ，使()()0f f l x x ¢+= 4．()f x 在[a ，b]上连续，在（a , b ）内可导，且()()0f a f b == ，l 为某个常数， 求证：在（a , b ）内至少存在一点x ，使()()0f f x x x ¢+=5．()f x ，()g x 在[a ，b]上连续，在（a , b ）内可导，且()()0f a f b ==求证：在（a , b ）内至少存在一点x ，使()()()()0f g f g x x x x ⅱ+= 6．()f x ，()g x 在[a ，b]上连续，在（a , b ）内可导，且()()0f a f b == ， 对于任一点x Î[a , b] ，()0g x ¹ ，求证：在（a , b ）内至少存在一点x ，使()()()()0f g f g x x x x ⅱ-= 7．()f x ，()g x 在[a ，b]上连续，在（a , b ）内可导，且()()0f a f b ==求证：在（a , b ）内至少存在一点x ，使()()()0f f g x x x ⅱ+= 8．()f x 在[a ，b]上连续，在（a , b ）内可导，且()()f a f b = ， 求证：在（a , b ）内至少存在一点x ，使()()()f a f f x x x ¢-= 9．()f x 在[1 ，2]上连续，在（1 ，2）内可导，且1(1)2f = ，(2)2f =，求证：在（1 , 2）内至少存在一点x ，使2()()f f x x x¢=二．利用拉格朗日中值定理1．当1||2x £，证明：23arccos arccos(34)x x x p --=2．02p a b <<<时，证明：22tan tan cos cos b a b a b a ab--<-<3．0x >时，求证：2arctan 1x x x x<<+4．0a b <<，求证：b ab ab ab e ea--<<5．()f x 在[a ，b]上连续，在（a , b ）内可导，()()f a f b =，且()f x 在[a , b]上 不为常数，求证：在（a , b ）内至少存在一点x ，使()0f x ¢>6．()f x 在[a ，b]上连续，在（a , b ）内二阶可导，()()f a f b ==0，()0f c >（a c b <<），求证：在（a , b ）内至少存在一点x ，使()0f x ⅱ<7．0x >，11()42x q <<，并求0lim ()x x q +®与lim ()x x q ?三．利用柯西中值定理1．0a b <<，求证：在（a ，b ）内至少存在一点x ，使(1)()baae be e b a xx -=-- 2．0a b <<，()f x 在[a ，b]上连续，在（a , b ）内可导，求证：在（a ，b ）内至少 存在一点x ，()()()ln b f b f a f ax x ¢-=四．综合题1．()f x 在[0 ，1]上连续，在（0 ，1）内可导 ，且(0)(1)0f f ==，12()1f =， 求证：在（0 ，1）内至少存在一点x ，使()1f x ¢=2．()f x 在[a ，b]上连续，在（a , b ）内有二阶导数，连接点（a , ()f a ） 与点（b ，()f b ）的直线段交曲线()y f x =于点（c ，()f c ），a c b <<，求证：在（a ，b ）内至少存在一点x ，使()0f x ⅱ= 3．()f x ¢在[0 ， c]上单调减少，且(0)0f =，证明：对于满足0a b a b c <<<+<中 的a 与b ，恒有()()()f a f b f a b +<+4．()f x 在[0 ，1]上连续，在（0 ，1）内可导 ，且(0)0,(1)1f f ==， 求证：任给正数a 与b ，在（0，1）内必存在1x 与2x ，使12()()a b a b f x f x +=+ⅱ5．0a b <<，()f x 在[a ，b]上连续，在（a , b ）内可导，证明：在（a ，b ）内分别存在x 和h ，使222()()()3f f a ab b h x h¢¢=++提示：一 . 1. ()F x 在[0 1]上应用罗尔定理，得()0F η'= ，()F x '在[0 η]上应用罗尔定理2．()()x x f x ϕ= 3. ()()x x f x e λϕ= 4. 22()()xx e f x ϕ= 5. ()()()x f x g x ϕ=6. ()()()f x xg x ϕ=7. ()()()g x x f x e ϕ= 8. ()[()()]x x f x f a ϕ=- 9. 2()()f x x xϕ=二. 4. 取对数ln ln b a b ab a ba--<-<令()ln f x x = 5. 至少有一点c (a<c<b) , ()()f c f a ≠ 若()()f c f a >, ()f x 在[a c] 应用拉格朗日中值定理 , 若()()f c f a <, ()f x 在[c b] 应用拉格朗日中值定理 6．()f x 在[]a c 与[]c b 分别应用拉朗日中值定理，得1a c η<<与2c b η<< 且1()0f η'>与2()0f η'<，()f x '在12[]ηη上应用拉格朗日中值定理7. ()f t =在[x 1x +]上用拉格朗日中值定理得,得11()]42x θ=+由1022x x<=<=1111l i m ()l i m ()4422x x x x x θθ+→+∞→+∞→==+=三. 1. ()xef x x =1()g x x = 2 .()()ln ln f b f a b a--四. 1. ()()F x f x x =-在[121]上应用零点定理 , ()0F η=, ()F x 在[0 η]用罗尔定理 2. ()f x 在[a c]和[c d]上应用拉格朗日中值定理 , 得12()()f x f x ''=()f x '在[1x 2x ]应用罗尔定理3. ()()()()()[()(0)]f a b f a f b f a b f b f a f +--=+--- 应用拉格朗日中值定理2112()()0f a f aa b a b ξξξξ''=-<<<<<+21[()()]0a f f ξξ''=-<4. 由于01a a b<<+ 介值定理得()a f a bξ=+ 01ξ<<在[0 ξ] 和[ξ 1]上用拉格朗日中值定理 得11()0()a ab x f x ξξ=+<<' ①22(1)()1()b a bx f x ξξ=-+<<' ② ①+②相加得证5. 拉格朗日中值定理 ()()()f b f a f b a ξ-'=- ① 柯西定理332()()()3f b f a f b aηη'-=- ②②乘22a ab b ++得222()()()()3f b f a f a ab b b aηη'-=++- ③ 比较①③得证。

1柯西中值定理 拉格朗日中值定理 洛尔定理 费马定理 根值（零值）定理 有界定理或最大值与最小值定理 n以下的连续函数在闭区间x ∈[a , b ]的基本定理（只与函数有关）共同条件：闭连续微分中值 8 定理与积分 3 定理及函数的 9 性质的综合证明题型与技巧一) 中值八定理① x ∈[a , b ] ⇒ m ≤ f (x ) ≤ M 。

注意 x ∈[a , b ]是闭区间。

② ●是 介 于 f (a ) 与f (b ) ⎡⎣f (a ) ≠ f (b ), ≠ f (a ),≠ f (b )⎤⎦ 任 一 值 ， 则 必∃ ∈ (a , b ) ⇒ f ( ) = 。

注意 ∈ (a , b ) 是开区间。

● 其推论是：当m ≤ ≤ M ，则必∃ ∈[a , b ]⇒ f ( ) = 。

∈[a , b ]。

注意 ∈[a , b ]是闭区间。

③ f (a ) ⋅ f (b ) < 0 ，则 ∃ ∈ (a , b ) ⇒ f ( ) = 0 。

注意 x ∈ (a , b ) 是开区间。

④ x ∈ ( x 0 - , x 0 + ), f (x ) ≥ f (x 0 )或 ≤ f (x 0 ) ,如果 f '(x 0 ) 存在，则 f '(x 0 ) =0。

⑤ f (a ) = f (b ), 则 ∃ ∈ (a , b ) ⇒ f '( ) = 0⑥ ∃ ∈ (a , b ) ⇒ f (b ) - f (a ) = f '( )(b - a )⑦ ∃ ∈ (a , b ) ⇒f (b ) - f (a ) =g (b ) - g (a ) f '( )g '( )⑧ ∞1 ⎛ ∂ ⎫n12f ( x ) = f ( x 0 + h ) = ∑ n ! h ∂x ⎪ f ( x 0 ) + R n = f ( x 0 ) + f ' ( x 0 )( x - x 0 ) + f ' ( x 0 )( x - x 0 ) 2! + ... + R n其中：• R n =f (n +1)() (n + 1)！n = 0⎝ ⎭h n +1 为拉格朗日余项， 介于 x 0 和 x = x 0 + h 之间， 但不等于它们，x 0 ∈ (a , b ), x ∈ (a , b ),令 ∈ (0, 1) ⇒ = x 0 + ( x - x 0 ) = x 0 + h = x 0 + ( x ) h ； 只要求在开区间(a , b )有直到n + 1阶 导数; 它不要求f ( x )及其n 阶导数在[a , b ]上连续， 而且不要求f (n +1)( x )的连续性。

理工大学微积分-微分中值定理费马定理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理()()1.()0,(0)0,f x f f f ϕξξξξζξξξ'' <=>><≤[][]''''''[]<<≤１２１２１２１２１２１２１２２１１１２１１１２１１２２１设证明对任何的x ０，ｘ０，有（ｘ＋ｘ）（ｘ）＋ｆ（ｘ）． 解：不妨设ｘｘ，（ｘ）＝f （ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ） ＝ｆ（ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（０） ＝ｆ（）ｘ－ｆ（）ｘ＝ｘｆ（）－ｆ（）＝ｘｆ－．因为，０ｘｘ()ξζϕ''<<<<２１１２ｘ＋ｘ，又ｆ０，所以（ｘ）０，所以原不等式成立。

12n 12n 12n 11221122n 0011000.x b f x .x x x b 1,f )f x f x f x x *,()()()()n n n nni i i i i i i X b b x f x f x f x x x λλλλλλλχλχλχλλλλλ=='' >∀⋯⋯∈<<1++⋯+=++⋯+≤⋯=<=>α.'''=+-+∑∑2设f （）在（a ，）内二阶可导，且（）0，，（a ，），0，，，且则，试证明(（）+（）++（）. 解：设同理可证：()20000i 0011110000111()()()()().x 2!()()()()()(()()().)nn ni i i i i i i nni nniiiiiii i i i i i f x x f x f x x x f x f x f x f x x x f x X X x x f x f x λλλλξξλλλ=======⎛⎫''-'-≥+-<<'≥+-===- ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑注：x()3.)tan.2F ,F 2(0)0,(0)0,((cos02F f xf F F f ππξξπξξππππππξ [0]0'∈=[0]0=∴===[0]∈设f(x)在，上连续，在（，）内可导，且f （0）=0，求证：至少存在（0，），使得2f ( 证明：构造辅助函数：（x)=f(x)tan 则（x)在，上连续，在（，）内可导，且））所以（x)在，上满足罗尔定理的条件，故由罗尔定理知：至少存在（0()()()()()()F 011F x cossin F cos sin 0222222cos0)tan22x x x f f f πξξξξξξξξξπξξ'=''''=- =-='∈≠=，），使得，而f(x)f()又（0，），所以，上式变形即得：2f (，证毕。

M 12丿」I 2丿第三章 微分中值定理与导数的应用习题3-11.解：(1)虽然 f(x)在［—1,1］上连续，f(—1) = f(1)，且 f(x)在(—1,1)内可导。

可见，f(x)在［_1,1］上满足罗尔中值定理的条件，因此，必存在一点 匕€(-1,1)，使得f 牡)=0，即:f(X)=cosx, F(X)=1 — sin X 且对任一 x 乏0,—】，F'(X)H 0, ”■. f (x),F (x)满足柯西 I 2丿中值定理条件。

—12©宀2=0，满足、； (2)虽然f(x)在［—1,1］上连续,f(_1)= f (1)，但 f (x)在(—1,1)内 x = 0点不可导。

可 见，f (x)在［ —1,1］上不满足罗尔中值定理的条件，因此未必存在一点 £ £ (_1,1)，使得 f 徉)=0. 2.因为函数是一初等函数，易验证满足条件 3 3 .解：令 y = 3arccos x - arccos(3x - 4x 3), y ‘ = 一 23 —12x 2厂工®®3)2，化简得 y'=0,「. y =c ( C 为常数)，又 y(0.5)=兀，故当-0.5<x<0.5，有 y(x)=兀。

「兀f f 兀、 4 .证明：显然f(x), F(x)都满足在'|0,二I 上连续，在10,二 内可导L 2」 I 2丿 c oxsn ——x、、2丿F Q-F(O)12丿兀--1 2F( x) -1 sixn_c O 弓-x厂(X )_F(x) ZL"2 /兀 X ,，即 tan I - -- U--1，此时l 4 2丿 2f JI「兀X = 2 I — -arctan l — -1L 4l 2显然萨〔0,-〕，即丿」 I 2丿5.解：因为f(0) = f (1)= f (2) = f (3) =0，又因为f(x)在任一区间内都连续而且可导, 所以f (X)在任一区间 0,1 ], 1,2], [2,3]内满足罗尔中值定理的条件， 所以由罗尔定理，得:3" -(0,1), "^(1,2), ©-(2,3),使得：f 徉1 )= 0 r =) &：◎(=), 30 因为6.证明：设f(x) =0的n+1个相异实根为X o V X 1 <X 2 <H( <X n则由罗尔中值定理知：存在J (i =1,2,川n):X0 <：勺1cj ■<X2 vill <-1^Xn ，使得再由罗尔中值定理至少存在So =1,2,川n-1):上11 C 巴21 V ©2 吒 W ©3 V i 11 < J n d W G n ,使得7.解：反证法，倘若 p(X)=0有两个实根，设为X^X 2，由于多项式函数 p(x)在[X 1,X 2]上连续且可导，故由罗尔中值定理存在一点E€(X I ,X 2),使得P 徉)=0,而这与所设p'(x)=0没有实根相矛盾，命题得证。

例1设()x f '在[]b a ,上存在,且()()b f a f '<',而r 为()a f '与()b f '之间的任一值,则在()b a ,内存在一点ξ,使得()r f ='ξ[7].例2设()x f 在()+∞,a 内可导,且()()A x f x f x a x ==+∞→→+lim lim ,试证:至少存在一点 ()+∞∈,a ξ,使得()0='ξf [7].例3设函数()x f 在[]b a ,上可导,且()()0_<'⋅'+b f a f ,则在()b a ,内至少存在一个ξ,使得()0='ξf [7].例4()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内二阶可导,且()()()b f c f a f ==,()b c a <<, 试证:至少存在一个()b a ,∈ξ,使得()0=''ξf [2].例5设()x f 在[]1,0上有三阶导数,()()010==f f ,设()()x f x x F 3=,证明:存在 ()1,0∈ξ使得()0='''ξF .例6设()x f 在[]b a ,上可微，且()x f 在a 点的右导数()0<'+a f ，在b 点的左导数 ()0<'-b f ，()()c b f a f ==，证明：()x f '在()b a ,内至少有两个零点.例7设()x f 在R 上二次可导，()0>''x f ，又存在一点0x ，使()00<x f ，且 ()0lim <='-∞→a x f x ，()0lim >='+∞→b x f x ，证明：()x f 在R 上有且仅有两个零点. 例8()[]1,0在x f 上二次可导,()()010==f f ,试证明:存在()1,0∈ξ,使得()()()ξξξf f '-=''211[4].例9设()[]1,0在x f 上连续,在()1,0上可导, ()()010==f f ,121=⎪⎭⎫ ⎝⎛f .证明: 至少存在一点()1,0∈ξ使得()1='ξf .例10设函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续,在开区间()b a ,上二次可微,连结()()a f a ,与()()b f b ,的直线段与曲线()x f y =相交于()()c f c ,,其中b c a <<.证明在()b a ,上至少存在一点ξ,使得()0=''ξf [1].例11设()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,且()()1==b f a f 试证:存在ξ, ()b a ,∈η使得 ()()[]1='+-ηηξηf f e [1].例12 设函数()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,上二阶可微,并且()()b f a f =,证明:若存在点()b a c ,∈,使得()()a f c f >,则必存在点()b a ,,,∈ζηξ,使得()0>'ξf ,()0<'ηf ,()0<''ζf [6].例13设()x f 定义在[]1,0上,()x f '存在且()x f '单调递减,()00=f ,证明: 对于 10≤+≤≤≤b a b a ,恒有()()()b f a f b a f +≤+.例14 设()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,可导,b a <≤0,()()b f a f ≠.证明:存在η,()b a ,∈ξ,使得()()ηηξf b a f '+='2 [6]. 例15 设()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,可导,且()0≠'x f ,试证:存在η,()b a ,∈ξ,使得()()ηηξ---=''e ab e e f f ab [1]. 例16设函数()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,可导,证明:存在()b a ,∈ξ,使得()()()()ξξξf f ab a af b bf '+=--[1]. 例17设()[]b a x f ,在上连续()0>a ,在()b a ,可导,证明:在()b a ,内存在ξ,η,使()()ab f f ηηξ'='2[1].例18 设()[]b a x f ,在上连续,在()b a ,内可微,0>>a b ,证明:在()b a ,内存在321,,x x x ,使得()()()()33223222211ln42x f x a b a b x x f a b x x f '-='+='. (3) 例19设()x f 在()b a ,内二次可微,试用柯西中值定理证明:任意x ,()b a x ,0∈,存在ξ在x 与0x 之间,使()()()()()()2000021x x f x x x f x f x f -''+-'+=ξ成立[6]. (8)。