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第六讲 中值定理一、罗尔(Rolle)定理1、引理(费马引理) 设函数()f x 在点0x 的某邻域0()U x 内有定义,若()f x 在点0x 可导,且0()x U x ∀∈有0()()f x f x ≤ (或0()()f x f x ≥).则0()0f x '=.2、定理(罗尔定理) 若函数()f x 满足:(1)在闭区间[,]a b 上连续; (2)在开区间(,)a b 内可导; (3)()()=f a f b , 则至少存在一点(,)∈a b ξ,使()0'=f ξ3、几何意义：例1 验证函数3()3=-f x x x在[内至少存在一点ξ,使得()0'=f ξ,并求出ξ的具体位置例 2 设,,a b c 是任意实数,证明32432ax bx cx a b c ++=++在(0,1)内至少有一个实根.二、拉格朗日(Lagrange)中值定理1、定理(拉格朗日中值定理) 如果函数()f x 满足：(1)在闭区间[,]a b 上连续； (2)在开区间(,)a b 内可导,则至少存在一点(,)∈a b ξ,使得： ()()()-'=-f b f a f b a ξ. 2、几何意义：例3 证明不等式ln --<<b a b b a b a a (0)<<a b . 3. 两个重要推论推论 1 如果函数()f x 在区间(,)a b 内可导,则()f x 在(,)a b 内恒等于常数的充要条件是()0'≡f x .推论2 如果函数()f x 、()g x 在区间(,)a b 内可导,且对任意的(,)∈x a b 有()()''=f x g x ,则在区间(,)a b 内()f x 与()g x 只差一个常数C ,即()()=+f x g x C例4 试证明恒等式:arctan arctan ()2x x e e x π-+=-∞<<+∞课堂练习1. 利用微分中值定理证明下列不等式: (1)sin sin b a b a -≤-;(2)1(0)x x x e xe x <-<>.2. 证明恒等式: arcsin arccos (11)2x x x π+=-≤≤.3. 设()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且(1)0f =,证明存在一点(0,1)ξ∈,使 ()()0f f ξξξ'+=.。
中值定理首先我们来看看几大定理：1、 介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B ，那么对于A 与B 之间的任意一个数C ，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ<b).Ps:c 是介于A 、B 之间的，结论中的ξ取开区间。
介值定理的推论：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有最大值M ，最小值m,若m ≤C ≤M,则必存在ξ∈[a,b], 使得f(ξ)=C 。
（闭区间上的连续函数必取得介于最大值M 与最小值m 之间的任何值。
此条推论运用较多）Ps ：当题目中提到某个函数f(x),或者是它的几阶导函数在某个闭区间上连续，那么该函数或者其几阶导函数必可以在该闭区间上取最大值和最小值，那么就对于在最大值和最小值之间的任何一个值，必存在一个变量使得该值等于变量处函数值。
2、 零点定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号，即f(a).f(b)<0,那么在开区间内至少存在一点ξ使得f(ξ)=0.Ps:注意条件是闭区间连续，端点函数值异号，结论是开区间存在点使函数值为0.3、 罗尔定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导; （3）、在区间端点处函数值相等，即f(a)=f(b).那么在(a,b)内至少有一点ξ(<a ξ<b),使得f`(x)=0;4、 拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导;那么在(a,b)内至少有一点ξ(<a ξ<b),使得 f(b)-f(a)=f`(ξ).(b-a).5、 柯西中值定理：如果函数f(x)及g(x)满足（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导; （3）、对任一x(a<x<b),g`(x)≠0,那么在(a,b)内至少存在一点ξ,使得)`()`()()()()(ξξg f a g b g a f b f =--Ps ：对于罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理结论都是开开区间内取值。
高数大一上知识点总结中值定理高等数学（一）知识点总结：中值定理在大一上学期的高等数学课程中，我们学习了许多重要的数学知识和定理，其中之一就是中值定理。
中值定理是微积分中的重要定理之一，它在分析函数的性质以及解决实际问题中扮演着重要的角色。
本文将对中值定理进行总结和讨论。
一、中值定理概述中值定理是微积分的基本定理之一，它包括三个重要的定理：拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理。
这些定理都是以其创立者的名字命名的，它们在解决函数连续性和导数性质相关问题时非常有用。
二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是中值定理中最常见和基础的一个。
它得出的结论是：如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，并且在开区间(a, b)上可导，那么在(a, b)上至少存在一个点c，使得函数的导数等于函数在区间[a, b]上的平均变化率。
换句话说，存在c∈(a, b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
三、柯西中值定理柯西中值定理是在拉格朗日中值定理的基础上进行拓展得到的。
柯西中值定理的条件为：设函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且g'(x)≠0。
那么在(a, b)上至少存在一点c，使得(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a)) = f'(c)/g'(c)。
柯西中值定理的重要性在于它将一个函数的导数和在另一个函数上的值联系在一起。
这个定理可以用于证明其他重要的数学定理，如罗尔定理和拉格朗日定理的推广形式。
四、罗尔中值定理罗尔中值定理是中值定理中的一个特例，它的前提条件是函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且满足f(a)=f(b)。
那么在(a, b)上至少存在一个点c，使得f'(c)=0。
罗尔中值定理的直观理解是：如果一个函数在两个端点处取相同的值，那么在函数曲线上至少存在一个点处的切线斜率为零。
高数中值定理，语句通顺顺畅中值定理是高等数学中的一个重要定理，它指的是一个多项式的极值点（最大值点或最小值点）必须是位于它的表达式和它的一阶导数之间的根点（即零点）。
它建立在极值定理的基础上，是几何分析学的一项重要基础理论。
中值定理的主要应用在几何分析学中，即，如果一个函数f(x)在一段区间上经过最大值点，或者在另一段区间上经过最小值点，那么这两个区间之间，必然存在一个极点，它是函数f(x)和它的一阶导数f'(x)的零点，也就是说，当函数f(x)的值等于f'(x)的值时，函数f(x)在此点取到最大值，或者最小值。
中值定理的原理可以用一个例子简单地表述，假设有一个函数f(x)，它满足条件f(x) >= 0和f'(x) = 0这样的关系，那么说明函数f(x)在点x处取到最大值，这就是中值定理的基本原理。
因此，中值定理为几何学研究者提供了参数估计、函数研究、函数优化和曲线研究等等实用的技术手段，其中，最基本的应用有两个。
一是采用中值定理的思路，可以轻松地求出一个下限，数学上叫最小值；二是采用中值定理的思路，可以求出一个上限，数学上叫最大值。
中值定理的对象也比较广泛，其函数不仅可以是二元函数（一般情况下，指多项式函数），也可以是n元函数（一般情况下，指函数组）。
不管哪种函数，在经过极值点后，它们都可以使用中值定理去验证它们是否达到极值点。
此外，中值定理也可以用于数学研究中求解积分。
例如，当估算函数f(x)在（a,b）内的最小值时，可以使用中值定理求解积分。
总之，中值定理是一个非常有用的定理，它不仅可以用于几何分析，而且可以应用于数学的普遍性研究。
学习和使用中值定理，非常有必要，能使我们更加深入地理解几何学和数学，并有效解决实际问题。
⾼等数学——积分中值定理本⽂始发于个⼈公众号：TechFlow，原创不易，求个关注今天是⾼等数学专题的第12篇，我们继续来看定积分。
之前在讲微分求导内容的时候，介绍过⼀系列微分中值定理的推导。
既然有微分中值定理，那么⾃然也有积分中值定理，我们下⾯就来看看积分中值定理的定义。
极值定理极值定理也叫最⼤最⼩值定理，它的含义⾮常直观：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续的函数，必然存在最⼤值和最⼩值，并且取到最⼤值和最⼩值⾄少⼀次。
这是⼀个⾮常有名的定理，定理的内容很直观，也不难理解。
但是证明它不太容易，是由区间套定理与B-M定理等多个定理推导得到的，这段证明过程⽐较复杂，由于篇幅和⽔平的限制，本⽂当中只能跳过这部分，感兴趣的同学可以⾃⾏了解。
我们假设m和M分别是区间[a, b]上函数f(x)的最⼩值和最⼤值，那么根据极值定理，可以得到以下式⼦成⽴：这个式⼦光看可能会觉得有些复杂，但是我们把图画出来之后⾮常简单：上图当中灰⾊阴影部分就是定积分的结果，蓝⾊的矩形⾯积是m(b-a)，⼤的矩形⾯积是M(b-a)。
通过⼏何⾯积的关系我们可以很容易证明结论。
数学证明也很简单，由于m和M分别是最⼩值和最⼤值，所以我们可以得到。
我们把常数也看成是函数，进⾏积分，于是可以得到：两边积分的结果就是矩形⾯积，于是我们就得到了证明。
积分中值定理极值定理⾮常简单，但是是很多定理的基础，⽐如我们的积分中值定理就和它密切相关。
我们对上⾯的式⼦做⼀个简单的变形，由于b-a是常数并且⼤于0，所以我们在这个不等式两边同时除以b-a，可以得到：我们把这个式⼦看成⼀个整体，它的值位于函数在区间的最⼤值和最⼩值之间。
根据连续函数的介值定理，我们⼀定可以在[a, b]上找到⼀点，使得f(x)在这点的取值与这个数值相等，也就是说：上⾯这个式⼦就是积分中值定理了，这⾥有两点要注意，我们先来说简单的⼀点，就是我们⽤到了连续函数介值定理。
所以限定了这必须是⼀个连续函数，否则的话，可能刚好函数在点处没有定义。
