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LC 回路中电磁振荡的规律及周期和频率Wangqixue@ 邮编222100由自感线圈L 和电容器C 组成的电路，称为LC 回路，又称振荡电路．在LC 回路中，通过电容器的充电和放电及振荡线圈阻碍电流变化的作用，线圈中形成了周期性变化的振荡电流，电容器极板间形成了周期性变化的电荷，与电荷、电流对应的电场及磁场也做周期性变化．这种现象叫做电磁振荡．一、LC 回路的电磁振荡规律1.电荷q 、电流i 随时间t 的变化规律及两者之间的关系图1甲是电容器极板上电荷q 随时间t 做周期性变化的情况．图1乙是线圈中的电流i 随时间t 做周期性变化的情况，若电荷q 是按余弦(或正弦)规律变化的．电流i 则按正弦（或余弦）规律变化．二者之间是互余的的关系（如图1所示）．— 因回路中的电荷一定，故当电容器极板上“聚集”电荷最多时，线圈中“流过”的电荷为零――电流为零，即max q q 0i ==时，；当电容器极板上“聚集”电荷减少（放电）时，线圈中“流过”的电荷增多――电流增大，即q ↓i ⇒↑；反之，当电容器极板上“聚集”电荷最少时，线圈中“流过”的电荷最多――电流最大．m ax q 0i i ==即时,；而当电容器极板上“聚集”的电荷增多（充电）时，线圈中“流过”的电荷减少――电流减小，即q ↑i ⇒↓． 2.电场能与磁场能的变化关系电磁振荡的过程实质上是电容器中的电场能和自感线圈中的磁场能相互转化的过程，若LC 回路中没有能量损失，在能量相互转化时，保持守恒．磁场能最弱时电场能最强，反之亦然．而且，电容器上的电荷q 、电压u 、两极板间的场强及电场能的变化步调一致，同增同减，同时达到最大或同时为零．而线圈中的电流i 、磁感应强度B 及磁场能的变化步调一致，同增同减，同时达到最大或同时为零．例1.LC 回路电容器两端的电压u 随时间t 变化的关系如图2所示，则（ ） A. 在时刻t 1，电路中的 电流最大B. 在时刻t 2 ，电路中的磁场能最大C. 从时刻t 2至 t 3，电路中的电场能不断增大D. 从时刻t 3 至t 4，电容器的带电量不断增多解析：由LC 回路电磁振荡规律及图示可知，t 1时刻电容器两端电压u 最高⇒电容器极板上所带电量q 最大⇒电路中振荡电流i 最小；在t 2时刻电容器极板上两端电压u 为零⇒电容器极板上所带电量q 为零⇒电路中振荡电流i 最强⇒电路中的磁场能最大；在t 2至 t 3过程中，电容器两极板间电压u 在增大⇒电容器极板上所图1甲乙图2带电量q 在增多⇒电场能不断增大；在 t 3 至t 4的过程中，电容器两极板间电压u 在减小⇒电容器极板上所带电量q 在减小．正确选项为B 、C评注：这类问题应根据电荷与电流之间的变化关系判断．当max q q 0;i ==时，且 q ↓i ⇒↑；电容器上的电压u 、两极板间的场强及电场能与电荷q 变化步调一致．反之．当m ax q 0i i ==时；且 q ↑i ⇒↓，而线圈中磁感应强度B 及磁场能与电流i 的变化步调一致． 例2．某时刻LCA. 振荡电流i 在减小B. 振荡电流i 在增大C. 电场能正在向磁场能变化D. 磁场能正在向电场能变化解析：由图3中上极板带正电荷下极板带负电荷荷及电流的方向可判断出正电荷在向正极板聚集，说明电容器极板上电荷在增加，电容器正在充电．电容器充电的过程中电流减小，磁场能向电场能转化．正确选项为A 、D ．评注：要判断电流是在增大还是在减小，可先判断出电容器是在充电还是在放电，而判断电容器是在充电还是在放电，不能单纯地由电流的方向决定，还应结合电容器两极板上电荷的分布情况．若图中电流的方向不变，而上极板带负电荷下极板带正电荷，则电容器是在放电（正、负电荷相互中和）例3.LC 振荡电路中，某时刻磁场方向如图4所示，则下列说法中错误的是（ ） A. 若磁场正在减弱，则电容器上极板带正电 B. 若电容器正在放电，则电容器上极板带负电C. 若电容器上极板带正电，则线圈中电流正在增大D.若电容器正在放电，则自感电动势正在阻碍电流增大解析：由电流的磁场方向根据安培定则可判断出振荡电流在 回路中为顺时针方向，由于电容器极板的带电情况未知，必须 设出电容器带电的两种情况并结合电流的变化情况综合进行讨论．若该时刻电容器上极板带正电，则电容器在充电，电流减小，磁场减弱；若该时刻电容器上极板带负电，则电容器在放电；若电容器正在放电，则电荷减小，电流增大，由愣次定律知自感电动势阻碍电流增大．错误选项为C ．评注：该题考查了安培定则、电磁振荡的规律及愣次定律，且电容器极板的带电情况未标明，故该题具有一定难度．例4.如图5所示电路中，L 是电阻不计的线圈，C 为电容器，R 为电阻，开关S 先是闭合的，现将开关S 断开，并从这一时刻开始计时，设电容器A 极板带正电时电荷为正，则电容器A 极板上的电荷q 随时间t 变化的图像是图6中的哪一个（ ）Ci图3A BL C S R图5 图4解析：开关S 闭合时，线圈中有自左向右的电流通过，由于线圈的电阻为零，线圈及电容器两端的电压为零．LC 回路的起始条件是线圈中电流最大，磁场能最大，电容器两极板的电荷为零，电场能为零．断开开关S 时，线圈中产生与电流方向相同的自感电动势，阻碍线圈中电流的减小，使LC 回路中电流方向沿瞬时针方向流动，从而对电容器充电，B 板带正电，A 板带负电，电荷逐渐增加，经4T 电量达最大，这时LC 回路中电流为零，由此可推知，电容器A 极板上的电荷q 随时间t 变化的图像是B 图．答案为B评注：该题中LC 回路产生电磁振荡的初始条件是线圈中电流最大，磁场能最大，电容器两极板的电荷为零，电场能为零．这种方式是先给回路提供磁场能．如果LC 回路的初始条件为电容器极板上的电量最大，而线圈中的电流为零，则电场能最大，磁场能为零．这种方式是先给回路提供电场能．二、电磁振荡的周期和频率电磁振荡完成一次周期性变化需要的时间叫做周期．一秒钟内完成的周期性变化的次数叫频率．如果没有能量损失，也不受其他外界的影响，这时电磁振荡的周期和频率叫做振荡电路的固有周期和固有频率．简称振荡电路的周期和频率．其公式分别为：T=2πf =两者之间是互为倒数的关系，即T=1f例5.LC 振荡电路的固有频率为f ，则（ ） A. 电容器内电场变化的频率为f B. 电容器内电场变化的频率为2f C. 电场能和磁场能转化的频率为f D. 电场能和磁场能转化的频率为2f解析：电场能和磁场能是标量，只有大小在做周期性变化．所以电场能和磁场能转化的周期是电磁振荡周期的一半，转化的频率为电磁振荡频率的两倍．而电容器内电场变化ABCD图6的频率等于电磁振荡的频率．正确选项为A 、D ．评注：LC 回路中的振荡电流、电压、电场强度、磁感应强度的方向和电容器极板上电荷的电性在电磁振荡的一个周期内改变两次．它们的频率与电磁振荡的固有频率相同．例6.如图7所示，LC 回路中振荡电流的周期为2×10-2s ，自振荡电流沿逆时针方向达最大值时开始计时，当t ＝3.4×10-2s 时，电容器正处于_______状态（填“充电”、“放电”、“充电完毕”或“放电完毕”）．这时电容器的上极板________(填“带正电”、“带负电”或“不带电”)． 解析：设t=3.4×10-2s ＝2×10-2s ＋1.4×10-2s ＝T+t ′， 则2T ＜t ′＜34T ，且t 时刻和t ′时刻电路的振荡状态相同．做出振荡电流i －t 图象如图8，可知在2T ～34T 时间内，电流减小，电容器所带电荷增加，电容器处于充电状态，此时电流方向为顺时针方向，可判断出电容器的上极板带正电．答案：充电、带正电评注：根据电磁振荡具有周期性特点，在分析t ＞T 时刻的振荡情况时，可由变换式t ＝nT+ t ′求得t ′（n 为正整数，0＜t ′＜T ），再分析t ′时刻的振荡状态．L C 图7－图8。
《电磁振荡的周期和频率》知识清单一、电磁振荡的基本概念电磁振荡是在电路中，电容器通过自感线圈不断地充电和放电，电路中的电流和电容器极板上的电荷量发生周期性变化的现象。
在电磁振荡过程中，电场能和磁场能会不断地相互转化。
当电容器充电时，电场能增加，磁场能减少；当电容器放电时，电场能减少，磁场能增加。
二、电磁振荡的周期电磁振荡的周期（T）是指完成一次完整的振荡所需要的时间。
它取决于电路中的电感（L）和电容（C）。
电磁振荡的周期公式为：T ＝2π√（LC)其中，L 表示电感，单位是亨利（H）；C 表示电容，单位是法拉（F）。
这个公式表明，电感越大，周期越长；电容越大，周期也越长。
为了更好地理解周期，我们可以想象一个简单的 LC 振荡电路。
假设电容 C 已经充电，然后开始通过电感 L 放电。
在放电过程中，电流逐渐增大，电感中储存的磁场能也逐渐增加。
当电容上的电荷放完时，电流达到最大值。
此时，电感中的磁场能开始转化为电容中的电场能，电容开始反向充电。
当电容充电到最大值时，电流减小到零，然后电容再次放电，如此循环往复。
三、电磁振荡的频率电磁振荡的频率（f）是指单位时间内完成的振荡次数。
它与周期互为倒数关系，即：f ＝ 1/T频率的单位是赫兹（Hz）。
从公式可以看出，频率与电感和电容的大小成反比。
电感和电容越小，频率越高。
例如，在通信领域，高频信号能够传输更多的信息，但传输距离相对较短；而低频信号传输距离较远，但传输的信息量相对较少。
四、影响电磁振荡周期和频率的因素1、电感（L）电感的大小取决于线圈的匝数、线圈的长度、线圈的横截面积以及线圈中是否有铁芯等因素。
匝数越多、长度越长、横截面积越大，电感通常越大，从而导致电磁振荡的周期变长，频率降低。
2、电容（C）电容的大小与电容器的极板面积、极板间距以及极板间的电介质有关。
极板面积越大、极板间距越小、电介质的介电常数越大，电容越大，电磁振荡的周期变长，频率降低。
3、电阻（R）在实际的电磁振荡电路中，存在电阻会消耗能量，导致电磁振荡逐渐衰减。
第1节 电磁振荡[学习目标要求] 1.知道什么是振荡电流和振荡电路。
2.知道LC 振荡电路中振荡电流的产生过程，知道电磁振荡过程中能量转化情况。
3.知道电磁振荡的周期和频率，知道LC 电路的周期和频率与哪些因素有关，并会进行相关的计算。
一、电磁振荡的产生1．要产生持续变化的电流，可以通过线圈和电容器组成的电路实现。
2．振荡电流：大小和方向都做周期性迅速变化的电流。
3．振荡电路：产生振荡电流的电路。
4．LC 振荡电路：由电感线圈L 和电容C 组成的电路就是最简单的振荡电路。
5．电磁振荡：在整个过程中，电路中的电流i 、电容器极板上的电荷量q 、电容器里的电场强度E 、线圈里的磁感应强度B ，都在周期地变化，这种现象就是电磁振荡。
二、电磁振荡中的能量变化 1．能量变化过程(1)电容器刚放电时：电场最强，电场能最大。
(2)开始放电后：电场能――→转化磁场能。
(3)放电完毕：电场能为零，磁场能最大。
(4)反向充电：磁场能――→转化电场能。
(5)反向充电完毕：电场能最大。
2．等幅振荡振荡电路的能量会逐渐减小，适时地把能量补充到振荡电路中就可以得到振幅不变的等幅振荡。
【判一判】(1)LC振荡电路的电容器放电完毕时，回路中磁场能最小。
(×)(2)LC振荡电路的电容器极板上电荷量最多时，电场能最大。
(√)(3)LC振荡电路中电流增大时，电容器上的电荷一定减少。
(√)(4)LC振荡电路的电流为零时，线圈中的自感电动势最大。
(√)三、电磁振荡的周期和频率1．周期：电磁振荡完成一次周期性变化需要的时间。
LC振荡电路的周期公式T ＝2πLC。
2．频率：电磁振荡完成周期性变化的次数与所用时间之比叫作它的频率。
数值上等于单位时间内完成的周期性变化的次数。
LC振荡电路的频率公式f＝1，式中T、f、L、C的单位分别是秒(s)、赫兹(Hz)、亨利(H)、法拉(F)。
2πLC【判一判】(1)在振荡电路中，电容器充电完毕的瞬间磁场能全部转化为电场能。
电磁感应·电磁振荡的周期和频率一、教学目标．理解LC振荡电路的固有周期(或固有频率)的决定因素．题，并能正确应用公式进行相关的计算．．通过演示实验(改变LC回路的电感L或电容C)，观察振荡电流的周期、频率的变化情况，分析、归纳得到L大、C大周期长的结论，培养学生分析综合能力及理解能力．二、重点、难点分析1．LC振荡电路的周期公式、频率公式是教材的重点内容．通过实验现象的观察得到：电路中振荡电流的周期、频率随着LC回路中的电感L或电容C的改变而改变，并定性地得到电感L大(小)、电容C大(小)周期长(短)的结论．如有条件可用秒表测量周期，进行简单测量、计算，用比例法进行估算T与L、C值的关系，将会更有说服力．．分别从电容器的充放电作用和电感线圈的自感作用，对公式T=2加深对公式的理解，并有利于培养和提高学生的理解能力和分析能力．中各个物理量的单位；各单位都要使用它们的国际单位制中的主单位．三、教具1．LC振荡回路示教板，准备两个以上电感不同的线圈(可拆变压器的220V线圈)和电容器，如有条件可备用电压较高的直流电源(例如45V的干电池等)，演示时阻尼振荡现象更明显．．大屏幕示波器(观察振荡电流周期变化情况)等．四、主要教学过程(一)引入新课在以前研究弹簧振子、单摆在做简谐振动的过程中，已经知道振动的周期(或频率)只与其本身的条件有关，例如弹簧振子的周期只取决于轻弹簧的劲度系数k和振子的质量；单摆的周期只取于摆长l和当地的重力加速度g的大小，而与其它因素无关，那么LC回路中的振荡电流的周期(或频率)又是由什么因素决定的？电感L、电容C的大小对振荡的快慢有怎样的影响？与电容器带电量的多少(或电压的高低)有没有关系？下面就来研究这个问题．(二)主要教学过程设计．提出问题．机械振动中，周期和频率的概念、意义是什么？单摆做简谐振动中，它的周期和频率由什么决定？电磁振荡或振荡电流变化的快慢如何来描述？那么，电磁振荡的周期和频率的意义是什么？在同学回答的基础上，归纳指出：振荡电路里发生无阻尼自由振荡时的周期和频率叫做振荡电路的固有周期和固有频率．对比，联系单摆的振动，初步猜测一下电磁振荡的周期和频率与什么因素有关系？与LC回路中的电感L、电容C有何种关系(定性)？．演示实验．简介图 1所示电路：多抽头带铁心的线圈，L值较大(可用可拆变压器的220V或二个110 V线圈串联而成)；2～3个电解电容器(100μF，500μF，1000μF)．演示电流表(指针在表盘中央)，二个电源(6V、45V)等．操作和观察：观察什么？(电流表指针摆动的快慢)选用不同的L或C值，发生电磁振荡时，电流表指针摆动的快慢程度(周期和频率)与L、C值的初步关系是什么？启发同学根据实验现象，推理、分析得到：①C不变时，电感L越大，振荡周期T就越长，频率变低；②L不变时，电容C越大，振荡周期就越长，频率变低．换用不同电压的电源，当L、C值不变时，表针摆动的快慢程度相同(仅摆动次数不同)．在同学回答的基础上．小结指出：振荡电路的固有周期(T)和固有频率(f)，决定于电路中线圈的电感L和电容器的电容C．提出问题：上述现象如何解释？归纳指出：电容越大，容纳电荷就越多，充放电需要的时间就越长，因而周期就长，频率就低；线圈的电感L越大，阻碍电流变化的延时作用就越强，使放电、充电的时间就越长，因而周期就越长，频率就越低．总而言之，LC电路的周期和频率由电路本身的性质(L、C的值)决定，与电容器的带电量的多少、电流大小无关．．固有周期和固有频率公式．大量精确的实验和电磁学理论都证明：电磁振荡的固有周期T，跟都用国际单位制单位，比例系数为2π则有公式式中T、f、L、C的单位分别是秒、赫兹、亨利和法拉(单位符号是s、Hz、H、F)．上式表明：适当地选择电容C和电感L，就可以使电路的固有周期和频率符合我们的各种需要．通常应用中是用可变电容器和电感线圈组成LC电路．要得到不同周期和频率的振荡电流，可通过简便地改变可变电容器的电容C来实现，如图2所示；亦可通过改变电感L来实现，如图3所示．．巩固练习(含机动内容)．例1 如图4所示的LC振荡电路中，可变电容器C的取值范围为10 pF～360 pF．线圈的电感L=0.10H．求此电路能获得的振荡电流的最高频率多大？最低频率又为多少？当电容C为最大值时(即 C2=360 pF)振荡电流的频率最低．所以由题给条件，即可求得最高和最低频率．计算时注意各量要用相应的国际单位制的主单位；电容C1=10 pF=10×10-12F=1×10-11F，C2=360 pF=360×10-12 F=3.6×10-10 F，则有最高频率f1和最低频率f2分别为例2 有一LC振荡电路，当电容调节为C1=200 pF时，能产生频率为f1=500 kHz 的振荡电流，要获得频率为f2=1.0×103kHz的振荡电流，则可变容器应调至多大？(设电感L保持不变)可求出线圈电感L．再应用频率公式，即可求得f2=1×103kHz时对应的电容C2值：方法对，但较繁，有否更简便些的求法？应用比例法求解较为简捷，例3 在图 5(甲)中，LC振荡电路中规定图示电流方向为电流i的正方向，则振荡电流随时间变化的图像如图5(乙)所示．那么，电路中各物理量在一个周期内的情况是：时刻，电容器上带电量为零；时刻，线圈中的磁场最强；时刻，电容器两板间的电场强度值最大；时刻，电路中电流达到反向最大值；在________时间内是对电容器的充电过程．解析：分析这类问题的关键是要搞清电场能和磁场能相互转化的过程，以及它所对应的物理状态和物理量间的关系．由题图可知电容器C正在放电，当t=0时，C 带电量最多，两板间电压最大，电场能也最大．而此时磁场能最小(为零)．对应的电流i最小(为零)；随着C放电的持续，带电量、电压、电场能将逐渐减小，而磁场能、电流i将逐渐变大．当C放电完毕时，电场能减为零，C带电量、电压也减为零，而磁场能、电流达到最大，之后由于电感L和电容C的作用，将对电容反向充电，直至最大．依此类推，故可得知，A、C时刻电流最大，磁场最强，电场为零，C带电量为零．当电流为零时(对应图中的O、B、D)，电容器上带电量最多，相应的电场强度值为最大．同理可知C时刻电流达到最大，电容经过T/4放电完毕后，紧接着又对电容反向充电，又经T/4，充电到最大值，即带电量、电压、电场能达最大，磁场能、电流变为零，这个过程对应着图中的A→B，类似的道理可知C→D也是对电容的充电过程．(三)课堂小结．LC振荡电路的周期公式、频率公式要理解其物理含义，它只由电路本身的特性(L、C值)决定，所以叫做固有周期和固有频率，应用中，通过改变LC回路中的电感L或电容C，周期和频率也随之改变，满足各种需要．．应用周期公式、频率公式进行计算时，要特别注意各物理量的单位，常用电容器的单位有微法(μF)和皮法(pF)，代入公式时一定要换为法(F)，电感L的单位有时是毫亨或微亨(mH或μH)，代入公式时要换为亨(H)，这样得到的周期和频率的单位才是正确的(秒和赫兹)．(四)布置作业本节书后练习外加一个补充题(计算题或论述题)．五、教学说明1．LC振荡电路的周期公式、频率公式，现阶段不能从其它知识推导出来，所以做好演示实验就显得尤为重要．改变电感L或电容C时，观察指针摆动的快慢，定性得到T、f随L、C值变化的关系．如果实验条件较好，能找到几个有准确值的电容器和电感线圈，再配合以秒表计时，就能得到粗略的函数关系(测4次，用比例法，可归纳得出)．．演示实验后，直接给出周期公式、频率公式后，可由电感和电容器的作用引导同学理解公式的含义：“只由本身的L、C值决定”．．应用公式计算时，一定要注意各量的单位(此处容易出错)，在用比例法解题时，同一物理量的单位相同即可，不一定要换成国际单位制中的主单位．。
