2019年北师版文数高考一轮复习 第2章 第6节 对数与对数函数

第六节 对数与对数函数[考纲传真] (教师用书独具)1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点，会画底数为2,10，12的对数函数的图像.3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数．(对应学生用书第22页)[基础知识填充]1．对数的概念如果a (a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b ＝N ，那么数b 叫作以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数． 2．对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；④log am M n＝nm log a M (m ，n ∈R 且m ≠0)．(2)对数的性质 ①alog a N＝N ；②log a a N ＝N (a ＞0，且a ≠1)．(3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog ab (a ，b ＞0，a ，b ≠1，N ＞0)；②log a b ＝1log ba ，推广log ab ·log bc ·log cd ＝log a d .3．对数函数的定义、图像与性质4.指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y ＝x 对称．[知识拓展] 对数函数的图像与底数大小的比较多个对数函数图像比较底数大小的问题，可通过比较图像与直线y ＝1交点的横坐标进行判定．如图2-6-1，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图像交点的横坐标为相应的底数．故0＜c ＜d ＜1＜a ＜b .图2-6-1 [基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数．( ) (2)log 2x 2＝2log 2x .( ) (3)当x ＞1时，log a x ＞0.( )(4)函数y ＝ln1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( ) (5)对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图像过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1，函数图像不在第二、三象限．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ 2．(log 29)·(log 34)＝( )A ．14 B ．12 C ．2D ．4D [原式＝lg 9lg 2·lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝4.] 3．已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则()A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞bD [∵0＜a ＝2－13＜20＝1，b ＝log 213＜log 21＝0，c ＝log 1213＞log 1212＝1，∴c ＞a＞b .]4．(教材改编)若log a 34＜1(a ＞0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34B ．(1，＋∞)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1C [当0＜a ＜1时，log a 34＜log a a ＝1，∴0＜a ＜34； 当a ＞1时，log a 34＜log a a ＝1，∴a ＞1. 即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)．]5．函数y ＝log a (x －1)＋2(a ＞0，a ≠1)的图像恒过的定点是________． (2,2) [当x ＝2时，函数y ＝log a (x －1)＋2(a ＞0，a ≠1)的值为2，所以图像恒过定点(2,2)．](对应学生用书第23页)(1)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于( ) A ．10 B ．10 C ．20 D ．100(2)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100－12＝________.【导学号：79140049】(1)A (2)－20 [(1)∵2a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2，∴m ＝10. (2)原式＝(lg 2－2－lg 52)×10012＝⎝⎛⎭⎪⎫lg122·52×10＝(lg 10－2)×10＝－2×10＝－20.]3)＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2(2)计算：(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)＝________.(1)D (2)54 [(1)f (3)＋f (－3)＝lg(37－6)＋lg(37＋6)＋2＝lg[(37－6)(37＋6)]＋2＝lg 1＋2＝2，故选D ． (2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2 ＝3lg 22lg 3·5lg 36lg 2＝54.](1)(2017·广东韵关南雄模拟)函数f (x )＝x a 满足f (2)＝4，那么函数g (x )＝|log a (x ＋1)|的图像大致为( )(2)(2017·衡水调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x ＞0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x－a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________.【导学号：79140050】(1)C (2)(1，＋∞) [(1)法一：∵f (2)＝4，∴2a ＝4，解得a ＝2，∴g (x )＝|log 2(x ＋1)|＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ≥0，－log 2(x ＋1)，－1＜x ＜0，∴当x ≥0时，函数g (x )单调递增，且g (0)＝0；当－1＜x ＜0时，函数g (x )单调递减．故选C ．法二：由f(2)＝4，即2a＝4得a＝2，∴g(x)＝|log2(x＋1)|，函数g(x)是由函数y＝|log2x|向左平移一个单位得到的，只有C项符合，故选C．(2)如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图像，其中a表示直线在y轴上截距，由图可知，当a＞1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x 只有一个交点．]a图2-6-2，则下列结论成立的是()图2-6-2A．a＞1，c＞1B．a＞1,0＜c＜1C．0＜a＜1，c＞1D．0＜a＜1,0＜c＜1D [由该函数的图像通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0＜a ＜1，∵图像与x 轴的交点在区间(0,1)之间，∴该函数的图像是由函数y ＝log a x 的图像向左平移不到1个单位后得到的，∴0＜c ＜1.]◎角度1 比较对数值的大小(2016·全国卷Ⅰ)若a ＞b ＞0,0＜c ＜1，则( )A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c bB [∵0＜c ＜1，∴当a ＞b ＞1时，log a c ＞log b c ，A 项错误； ∵0＜c ＜1，∴y ＝log c x 在(0，＋∞)上单调递减，又a ＞b ＞0， ∴log c a ＜log c b ，B 项正确；∵0＜c ＜1，∴函数y ＝x c 在(0，＋∞)上单调递增， 又∵a ＞b ＞0，∴a c ＞b c ，C 项错误； ∵0＜c ＜1，∴y ＝c x 在(0，＋∞)上单调递减， 又∵a ＞b ＞0，∴c a ＜c b ，D 项错误．] ◎角度2 解简单的对数不等式若f (x )＝lg x ，g (x )＝f (|x |)，当g (lg x )＞g (1)时，则x 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，110∪(10，＋∞) [当g (lg x )＞g (1)时，f (|lg x |)＞f (1)，由f (x )为增函数得|lg x |＞1，从而lg x ＞1或lg x ＜－1，解得0＜x ＜110或x ＞10.] ◎角度3 探究对数型函数的性质已知函数f (x )＝log4(ax 2＋2x ＋3)． (1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． [解] (1)∵f (1)＝1，∴log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，a ＝－1， 这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)． 由－x 2＋2x ＋3＞0，得－1＜x ＜3， 函数f (x )的定义域为(－1,3)． 令g (x )＝－x 2＋2x ＋3，则g (x )在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减． 又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增，∴f (x )的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)． (2)假设存在实数a 使f (x )的最小值为0， 则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1， 因此应有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，3a －1a ＝1，解得a ＝12.故存在实数a ＝12使f (x )的最小值为0.[跟踪训练] (1)已知a ＝log 29－log 23，b ＝1＋log 27，c ＝12＋log 213，则( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a(2)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a ＞0，且a ≠1)，若f (x )＞1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．(1)B (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83 [(1)a ＝log 29－log 23＝log 233，b ＝1＋log 27＝log 227，c ＝12＋log 213＝log 226，因为函数y ＝log 2x 是增函数，且27＞33＞26，所以b ＞a ＞c ，故选B ．(2)当a ＞1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数，由于f (x )＞1恒成立，所以f (x )min ＝log a (8－2a )＞1，故1＜a ＜83.当0＜a ＜1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是增函数，由于f (x )＞1恒成立，所以f (x )min ＝log a (8－a )＞1，即a ＞4，且8－2a ＞0，a ＜4，显然这样的a 不存在．故a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83.]。

第六节对数与对数函数[考纲传真] 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点，会画底数为2,10，12的对数函数的图像.3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数．(对应学生用书第18页)[基础知识填充]1．对数的概念如果a(a＞0，a≠1)的b次幂等于N，即a b＝N，那么数b叫作以a为底N的对数，记作log a N＝b，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．2．对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么①log a(MN)＝log a M＋log a N；②log a MN＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M(n∈R)；④log m a M n＝nm log a M(m，n∈R且m≠0)．(2)对数的性质①a log a N＝N；②log a a N＝N(a＞0，且a≠1)．(3)对数的重要公式①换底公式：log b N＝log a Nlog a b(a，b＞0，a，b≠1，N＞0)；②log a b＝1log b a，推广log a b·log b c·log c d＝log a D．3．对数函数的图像与性质4.指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y ＝x 对称． [知识拓展]1．换底公式的两个重要结论 (1)log a b ＝1log b a ；(2)log am b n ＝nm log a B ．其中a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，m ，n ∈R .2．对数函数的图像与底数大小的比较如图2-6-1，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图像交点的横坐标为相应的底数．故0＜c ＜d ＜1＜a ＜B ．由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．图2-6-1 [基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)log 2x 2＝2log 2x .( ) (2)当x ＞1时，log a x ＞0.( )(3)函数y ＝lg(x ＋3)＋lg(x －3)与y ＝lg[(x ＋3)(x －3)]的定义域相同．( )(4)对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图像过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1，函数图像不在第二、三象限．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．已知a ＝2，b ＝log 213，c ＝，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．c ＞b ＞a D ．c ＞a ＞bD [∵0＜a ＝2＜20＝1，b ＝log 213＜log 21＝0，c ＝＞＝1，∴c ＞a ＞B ．]3．已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a ＞0，a ≠1)的图像如图2-6-2，则下列结论成立的是( )图2-6-2A ．a ＞1，c ＞1B ．a ＞1,0＜c ＜1C ．0＜a ＜1，c ＞1D ．0＜a ＜1,0＜c ＜1D [由图像可知y ＝log a (x ＋c )的图像是由y ＝log a x 的图像向左平移c 个单位得到的，其中0＜c ＜1.再根据单调性可知0＜a ＜1.]4．(教材改编)若log a 34＜1(a ＞0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34B ．(1，＋∞)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1C [当0＜a ＜1时，log a 34＜log a a ＝1，∴0＜a ＜34； 当a ＞1时，log a 34＜log a a ＝1，∴a ＞1.即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)．]5．(2018·南昌模拟)计算：2log 510＋log 514＝________，2log 43＝________.【导学号：00090033】23 [2log 510＋log 514＝log 5⎝ ⎛⎭⎪⎫102×14＝2，因为log 43＝12log 23＝log 23，所以2log 43＝2log 23＝ 3.](对应学生用书第19页)(1)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于( ) A ．10 B ．10 C ．20D ．100(2)(2018·太原模拟)已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x －12等于( ) A ．13 B ．36 C ．33D ．24(1)A (2)D [(1)∵2a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2，∴m ＝10.(2)由log 7[log 3(log 2x )]＝0得log 3(log 2x )＝1， 即log 2x ＝3，所以x ＝8， 所以x －12＝24.][规律方法] 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并． 2．先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．3．a b ＝N ⇔b ＝log a N (a ＞0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．[变式训练1] (1)(2017·东城区综合练习(二))已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x，x ≥4，f (x ＋1)，x ＜4，则f (2＋log 23)的值为( ) A ．24 B ．16 C ．12D ．8(2)(2015·浙江高考)计算：log 222＝________，2log 23＋log 43＝________. (1)A (2)－12 33 [(1)∵3＜2＋log 23＜4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝ 23＋log 23＝8×3＝24，故选A ．(2)log 222＝log 22－log 22＝12－1＝－12；2log 23＋log 43＝2log 23·2log 43＝3×2log 43＝3×2log 23＝3 3.]{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图像大致是( )A BC D(2)(2017·衡水调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x ＞0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．(1)B (2)(1，＋∞) [(1)若函数y ＝a |x |(a ＞0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则a ＞1，故函数y ＝log a |x |的大致图像如图所示．故选B ．(2)如图，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图像，其中a 表示直线在y 轴上截距，由图可知，当a ＞1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝log 2x 只有一个交点．][规律方法] 1.在识别函数图像时，要善于利用已知函数的性质、函数图像上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项． 2．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．[变式训练2] (1)(2018·邵阳模拟)若函数f (x )＝a x －k ·a －x (a ＞0且a ≠1)在(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，则函数g (x )＝log a (x ＋k )的大致图像是( )(2)(2018·合肥模拟)当0＜x ≤12时，4x ＜log a x ，则a 的取值范围是( )【导学号：00090034】A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1C ．(1，2)D ．(2，2)(1)B (2)B [(1)由题意函数f (x )＝a x －k ·a －x (a ＞0且a ≠1)在(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，∴有f (0)＝0，即0＝1－k ， ∴k ＝1，根据增＋增＝增，∴y ＝a x 是增函数，∴a ＞1.那么函数g (x )＝log a (x ＋1)(a ＞1)的图像单调递增，恒过(0,0)，故选B ．(2)构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ，当a ＞1时不满足条件，当0＜a ＜1时，画出两个函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的图像，可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即2＜log a 12，则a ＞22，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.]角度1 (1)(2016·全国卷Ⅰ)若a ＞b ＞0,0＜c ＜1，则( )A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b(2)(2018·榆林模拟)设a ＝60.4，b ＝log 0.40.5，c ＝log 80.4，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a(1)B (2)B [(1)∵0＜c ＜1，∴当a ＞b ＞1时，log a c ＞log b c ，A 项错误； ∵0＜c ＜1，∴y ＝log c x 在(0，＋∞)上是减少的，又a ＞b ＞0， ∴log c a ＜log c b ，B 项正确；∵0＜c ＜1，∴函数y ＝x c 在(0，＋∞)上是增加的， 又∵a ＞b ＞0，∴a c ＞b c ，C 项错误； ∵0＜c ＜1，∴y ＝c x 在(0，＋∞)上是减少的， 又∵a ＞b ＞0，∴c a ＜c b ，D 项错误．(2)因为a ＝60.4＞1，b ＝log 0.40.5∈(0,1)，c ＝log 80.4＜0，所以a ＞b ＞C ．] 角度2 解简单的对数不等式(1)(2018·哈尔滨模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3＋log 2x ，x ＞0x 2－x －1，x ≤0，则不等式f (x )≤5的解集为( )A ．[－1,1]B ．(－∞，－2]∪(0,4)C ．[－2,4]D ．(－∞，－2]∪[0,4](2)(2016·浙江高考)已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( ) A ．(a －1)(b －1)<0 B ．(a －1)(a －b )>0 C ．(b －1)(b －a )<0D ．(b －1)(b －a )>0(1)C (2)D [(1)由于f (x )＝⎩⎨⎧3＋log 2x ，x ＞0x 2－x －1，x ≤0，当x ＞0时，3＋log 2x ≤5，即log 2x ≤2＝log 24，解得0＜x ≤4，当x ≤0时，x 2－x －1≤5，即(x －3)(x ＋2)≤0，解得－2≤x ≤0， ∴不等式f (x )≤5的解集为[－2,4]，故选C ． (2)法一：log a b ＞1＝log a a ， 当a ＞1时，b ＞a ＞1；当0＜a ＜1时，0＜b ＜a ＜1.只有D 正确． 法二：取a ＝2，b ＝3，排除A ，B ，C ，故选D ．] 角度3 探究对数型函数的性质已知函数f (x )＝log4(ax 2＋2x ＋3)．(1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.【导学号：00090035】[解] (1)因为f (1)＝1，所以log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，a ＝－1，这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)． 由－x 2＋2x ＋3＞0，得－1＜x ＜3， 函数f (x )的定义域为(－1,3)． 令g (x )＝－x 2＋2x ＋3，则g (x )在(－1,1)上是增加的，在(1,3)上是减少的． 又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上是增加的， 所以f (x )的单调递增区间是(－1,1)， 单调递减区间是(1,3)．(2)假设存在实数a ，使f (x )的最小值为0， 则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，3a －1a＝1，解得a ＝12.故存在实数a ＝12使f (x )的最小值为0.[规律方法] 利用对数函数的性质研究对数型函数性质，要注意以下四点：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是如果需将函数解析式变形，一定确保其等价性；四是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．。

第六节对数与对数函数【考纲下载】1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．2．理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．3．知道对数函数是一类重要的函数模型．4．了解指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数(a>0，且a≠1)．1．对数的概念(1)对数的定义：如果a b＝N(a>0，且a≠1)，那么数b叫作以a为底N的对数，记作b＝log a N，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．(2)两种常见对数：对数形式特点记法常用对数底数为10lg x自然对数底数为e ln x2．对数性质、换底公式及运算性质性质log a1＝0，②log a a＝1，③a log a N＝N(a>0且a≠1)换底公式log b N＝log a Nlog a b(a，b>0，a，b≠1，N>0)运算性质条件a>0，且a≠1，M>0，N>0结论①log a(M·N)＝log a M＋log a N，②log aMN＝log a M－log a N，③log a M n＝n log a M(n∈R).a>10<a<1图像定义域 (0，＋∞) 值域 R 定点 过点(1,0)单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 函数值 正负当x >1时，y >0； 当x >1时，y <0；当0<x <1，y <0 当0<x <1时，y >0a >1 0<a <1图像定义域 (0，＋∞) 值域 R 定点 过点(1,0)单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 函数值 正负 当x >1时，y >0； 当x >1时，y <0；当0<x <1，y <0 当0<x <1时，y >04.反函数指数函数y ＝a x(a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．1．试结合换底公式探究log a b 与log b a ，log a m b n与log a b 之间的关系？ 提示：log a b ＝1log b a ，log am b n＝n mlog a b .2．对数log a b 为正数、负数的条件分别是什么？提示：当⎩⎪⎨⎪⎧a >1，b >1或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，0<b <1时，log a b 为正数；当⎩⎪⎨⎪⎧a >1，0<b <1或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，b >1时，log a b 为负数．3．如何确定图中各函数的底数a ，b ，c ，d 与1的大小关系？你能得到什么规律？提示：图中直线y ＝1与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数，∴0<c <d <1<a <b ，在x 轴上方由左到右底数逐渐增大，在x 轴下方由左到右底数逐渐减小．1．(2013·浙江高考)已知x ，y 为正实数，则( ) A ．2lg x ＋lg y＝2lg x＋2lg yB ．2lg(x ＋y )＝2lg x·2lg yC ．2lg x ·lg y ＝2lg x ＋2lg yD ．2lg(xy )＝2lg x·2lg y解析：选D 2lg(xy )＝2lg x ＋lg y ＝2lg x·2lg y.2．函数y ＝log 0.54x －3的定义域为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >34 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪34<x <1 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪34<x ≤1 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪34≤x ≤1 解析：选C 要使函数y ＝log 0.54x －3有意义，则需log 0.5(4x －3)≥0，即0<4x －3≤1，解得34<x ≤1.3．计算：2log 510＋log 50.25＝( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选C 2log 510＋log 50.25＝log 5100＋log 50.25＝log 525＝2. 4．如果log 12x ＜log 12y ＜0，那么( )A ．y ＜x ＜1B ．x ＜y ＜1C ．1＜x ＜yD ．1＜y ＜x解析：选D 由log 12x ＜log 12y ＜0，得log 12x ＜log 12y ＜log 121.所以x ＞y ＞1.5．计算：log 23·log 34＋(3)log 34＝________.解析：log 23·log 34＋(3)log 34＝lg 3lg 2·2lg 2lg 3＋312log 34＝2＋3log 32＝2＋2＝4.答案：4考点一对数式的化简与求值[例1] (1)已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，求a 2m ＋n；(2)计算1－log 632＋log 62·log 618log 64；(3)计算(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)．[自主解答] (1)法一：∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m ＝2，a n ＝3，∴a 2m ＋n＝(a m )2·a n ＝22×3＝12.法二：∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a 2m ＋n＝(a m )2·a n ＝(a log a 2)2·a log a 3＝22×3＝12.(2)原式＝1－2log 63＋log 632＋log 663·log 66×3log 64＝1－2log 63＋log 632＋1－log 631＋log 63log 64＝1－2log 63＋log 632＋1－log 632log 64＝21－log 632log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.(3)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2＝3lg 22lg 3·5lg 36lg 2＝54. 【互动探究】在本例(1)的条件下，求log a 36的值．解：log a 36＝log a 4＋log a 9＝2()log a 2＋log a 3＝2(m ＋n )．【方法规律】 对数运算的一般思路(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．1．计算⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg25÷100－12＝________； 解析：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 1100÷110＝－20.答案：－202．设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝________.解析：∵2a ＝5b＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2.∴m 2＝10，∴m ＝10.答案：10考点二对数函数的图象及其应用[例2] (1)函数y ＝ax 2＋bx 与y ＝log|b a|x (ab ≠0，|a |≠|b |)在同一直角坐标系中的图象可能是( )A BC D(2)已知函数f (x )＝log a (2x＋b －1)(a >0，a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是 ( )A ．0<a －1<b <1 B ．0<b <a －1<1 C ．0<b －1<a <1 D ．0<a －1<b －1<1 [自主解答] (1)令ax 2＋bx ＝0，得x ＝0或x ＝－b a.对于A 、B 项，由抛物线知，0＜⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a＜1，此时，对数函数图象不合要求，故A 、B 项不正确；对于C 项，由抛物线知⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＞1，此时，对数函数图象不合要求，故C 不正确；对于D 项，由抛物线知0＜⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＜1，此时对数函数的图象符合要求，故选D.(2)令g (x )＝2x＋b －1，这是一个增函数，而由图象可知函数f (x )＝log a g (x )是单调递增的，所以必有a >1.又由图象知函数图象与y 轴交点的纵坐标介于－1和0之间，即－1<f (0)<0，所以－1<log a b <0，故a －1<b <1，因此0<a －1<b <1.[答案] (1)D (2)A【方法规律】对数函数与指数函数的图象特征(1)底数与1的大小关系决定了图象的升降，即a ＞1时，图象上升；0＜a ＜1时，图象下降．(2)底数的大小决定了图象的高低，即在y 轴右边，指数函数y ＝a x的图象“底大图高”；在x 轴上方，对数函数y ＝log a x 的图象“底大图低”．1．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝lg x ，h (x )＝log 3x ，直线y ＝a (a ＜0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( )A ．x 2 ＜x 3＜x 1B ．x 1＜x 3＜x 2C ．x 1 ＜x 2＜x 3D ．x 3＜x 2＜x 1解析：选A 在同一坐标系中画出三个函数的图象及直线y ＝a (a ＜0)(图略)，易知x 1＞x 3＞x 2，故选A.2．函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为________，单调递增 区间为________．解析：作出函数y ＝log 2x 的图象，将其关于y 轴对称得到函数y ＝log 2|x |的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y ＝log 2|x ＋1|的图象(如图所示)．由图知，函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)．答案：(－∞，－1) (－1，＋∞)高频考点考点三 对数函数的性质及其应用1．对数函数的性质及其应用是每年高考的必考内容之一，多以选择题或填空题的形式考查，难度低、中、高档都有．2．高考对对数函数的性质及其应用的考查主要有以下两个命题角度： (1)考查对数函数的定义域；(2)考查对数函数的单调性在比较大小、解不等式、求最值等问题中的应用． [例3] (1)(2013·广东高考)函数y ＝lg x ＋1x －1的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．[－1,1)∪(1，＋∞)(2)(2013·新课标全国卷Ⅱ)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则 ( )A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c (3)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12－x ，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)(4)(2014·榆林模拟)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a ＞0，a ≠1)，若f (x )＞1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．[自主解答] (1)要使lg x ＋1x －1有意义，需满足x ＋1＞0且x －1≠0，得x ＞－1且x ≠1.(2)由对数运算法则得a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝1＋log 52，c ＝1＋log 72，由对数函数图象得log 32＞log 52＞log 72，所以a ＞b ＞c .(3)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，log 2a >－log 2a ，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，log 12－a >log 2－a .解得a ＞1或－1＜a ＜0.(4)当a ＞1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数，由f (x )＞1恒成立，则f (x )min＝log a (8－2a )＞1，解得1＜a ＜83.若0＜a ＜1时，f (x )在x ∈[1,2]上是增函数，由f (x )＞1恒成立，则f (x )min ＝log a (8－a )＞1，且8－2a ＞0，∴a ＞4，且a ＜4，故不存在．综上可知，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83. [答案] (1)C (2)D (3)C (4)⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83对数函数的性质及其应用问题的常见类型与解题策略(1)求函数的定义域．要注意对数函数的底数和真数的取值范围，列出对应的不等式(组)求解即可．(2)比较对数式的大小．①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论；②若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较；③若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．(3)解对数不等式．形如log a x ＞log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论；形如log a x ＞b 的不等式，需先将b 化为以a 为底的对数式的形式．1．已知a ＝5log 23.4，b ＝5log 43.6，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15log 30.3，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．a ＞c ＞b D ．c ＞a ＞b解析：选C a ＝5log 23.4，b ＝5log 43.6，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15log 30.3＝5log 3103.又∵log 23.4＞log 3103＞1,0＜log 43.6＜1，∴5log 23.4＞⎝ ⎛⎭⎪⎫15log 30.3＞5log 43.6，即a ＞c ＞b .2．已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)∵a >0且a ≠1，设t ＝3－ax ，则t ＝3－ax 为减函数，x ∈[0,2]时，t 最小值为3－2a .当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义，即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立．∴3－2a >0，即a <32.又a >0且a ≠1，∴a ∈(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (2)t ＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )在R 上为减函数．∵f (x )在区间[1,2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数．∴a >1，x ∈[1,2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a 3－a＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32，a ＝32，故这样的实数a 不存在．——————————[课堂归纳——通法领悟]———————————————— 1种关系——指数式与对数式的互化 a b＝N ⇔log a N ＝b (a ＞0，a ≠1，N ＞0)． 2个注意点——解决对数问题应注意的两点解决与对数有关的问题时：(1)务必先研究函数的定义域；(2)对数函数的单调性取决于底数a ，应注意底数的取值范围．3个关键点——对数函数图象的画法画对数函数y ＝log a x 的图象应抓住三个关键点：(a,1)，(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，－1.4种方法——对数值的大小比较方法(1)化同底后利用函数的单调性；(2)作差或作商法；(3)利用中间量(0或1)；(4)化同真数后利用图象比较．数学思想(三)利用数形结合思想解决恒成立问题若不等式恒成立问题无法用分离参数等常规解法求解时，常用数形结合的方法求解．解决此类问题的关键是正确画出函数在给定区间上的图象，使之符合要求，然后根据图象找出不等关系．[典例] (2012·新课标全国卷)当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2)[解题指导] 在同一个坐标系中画出函数y ＝4x和y ＝log a x 的图象求解．[解析] 由0<x ≤12且log a x >4x>0，得0<a <1，在同一坐标系中画出函数y ＝4x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ≤12和y ＝log a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜a ＜1，0＜x ≤12的图象，如图所示：由图象知，要使当0＜x ≤12，4x ＜log a x ，只需log a 12＞412，即log a 12＞log a a 2，则a 2＞12，解得a ＞22或a ＜－22，又0<a <1，所以22＜a ＜1.[答案] B[题后悟道] 1.本题无法分离参数，若没有数形结合的思想意识，则本题无法求解． 2．解决本题的关键是在同一坐标系内正确画出函数y ＝4x及y ＝log a x 的图象．不等式log a x >(x －1)2恰有三个整数解，则a 的取值范围为( ) A ．[165，94 ] B ．[165，94 ) C ．(1，165 ] D ．(1，94 ]解析：选B 不等式log a x >(x －1)2恰有三个整数解，画出示意图可知a >1，其整数解集为{2,3,4}，则应满足⎩⎪⎨⎪⎧log a 4>4－12，log a 5≤5－12，得165≤a <94.[全盘巩固] 1．若f (x )＝1log 122x ＋1，则f (x )的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．(0，＋∞) 解析：选A 根据题意得log 12(2x ＋1)＞0，即0＜2x ＋1＜1，解得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0.2．已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＝b <c B ．a ＝b >c C ．a <b <c D ．a >b >c解析：选B 因为a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23>1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a ，c ＝log 32<log 33＝1，所以选B.3．已知函数f (x )＝lg 1－x1＋x ，若f (a )＝b ，则f (－a )等于( )A.1b B ．－1bC ．－bD ．b解析：选C 易知f (x )的定义域为(－1,1)，则f (－x )＝lg 1＋x 1－x ＝－lg 1－x1＋x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．所以f (－a )＝－f (a )＝－b .4．函数y ＝log 2(x 2＋1)－log 2x 的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．(－∞，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析：选C y ＝log 2(x 2＋1)－log 2x ＝log 2x 2＋1x ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≥log 22＝1(x >0)．5．函数f (x )＝log a |x |＋1(0＜a ＜1)的图象大致为( )解析：选A 由函数f (x )的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y 轴对称．设g (x )＝log a |x |，先画出x ＞0时，g (x )的图象，然后根据g (x )的图象关于y 轴对称画出x ＜0时g (x )的图象，最后由函数g (x )的图象向上整体平移一个单位即得f (x )的图象，结合图象知选A.6．已知函数f (x )＝|log 2x |，正实数m ，n 满足m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，则m ，n 的值分别为( )A.12，2B.12，4C.22， 2D.14，4 解析：选A f (x )＝|log 2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >1，－log 2x ，0<x <1，根据f (m )＝f (n )(m <n )及f (x )的单调性，知mn ＝1且0<m <1，n >1. 又f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，由图象知：f (m 2)>f (m )＝f (n )， 所以f (x )max ＝f (m 2)，x ∈[m 2，n ]．故f (m 2)＝2，易得n ＝2，m ＝12.7．定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，则不等式f (log 18x )＞0的解集是________．解析：定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0，由f (x )＞0可得x ＞13，或x ＜－13，不等式f (log 18x )＞0等价于log 18x ＞13，或log 18x ＜－13，即log 18x ＞13log 1818，或log 18x ＜－13log 1818，所以0＜x ＜12，或x ＞2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0＜x ＜12，或x ＞28．函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a 的值为________．解析：(1)当a >1时，函数y ＝log a x 在[2,4]上是增函数，所以log a 4－log a 2＝1，即log a42＝1，所以a ＝2.(2)当0<a <1时，函数y ＝log a x 在[2,4]上是减函数，所以log a 2－log a 4＝1，即log a 24＝1，所以a ＝12.由(1)(2)知a ＝2或a ＝12.答案：2或129．已知实数a ，b 满足等式log 2a ＝log 3b ，给出下列五个关系式：①a ＞b ＞1；②b ＞a ＞1；③a ＜b ＜1；④b ＜a ＜1；⑤a ＝b .其中可能的关系式是________．解析：由已知得log 2a ＝log 3b ，在同一坐标系中作出y ＝log 2x ，y ＝log 3x 的图象，当纵坐标相等时，可以得到相应横坐标的大小关系，从而得出②④⑤可能．答案：②④⑤10．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值． 解：(1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a ＞0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，得x ∈(－1,3)，∴函数f (x )的定义域为(－1,3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]， ∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2.11．若函数f (x )＝a log 2x 8·log 2(4x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，4上的最大值是25，求实数a 的值． 解：f (x )＝a log 2x8·log 2(4x )＝a [(log 2x －3)(log 2x ＋2)]＝a [(log 2x )2－log 2x －6]，令t ＝log 2x ，则f (x )＝a (t 2－t －6)，且t ∈[－3,2]．由于h (t )＝t 2－t －6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－254，所以当t ＝12时，h (t )取最小值－254；当t ＝－3时，h (t )取最大值6.若a ＝0，显然不合题意；若a ＞0，则f (x )的最大值为6a ，即6a ＝25，所以a ＝256；若a ＜0，则f (x )的最大值为 －254a ，即－254a ＝25，所以a ＝－4. 综上，实数a 的值为256或－4.12．已知f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2都有|f (x )|≤1成立，求a 的取值范围．解：由已知f (x )＝log a x ，当0<a <1时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－|f (2)|＝log a 13＋log a 2＝log a 23>0，当a >1时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－|f (2)|＝－log a 13－log a 2＝－log a 23>0，故⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13>|f (2)|总成立．则y ＝|f (x )|的图象如图．要使x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2时恒有|f (x )|≤1，只需⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤1，即－1≤log a 13≤1，即log a a －1≤log a 13≤log a a ，当a >1时，得a －1≤13≤a ，即a ≥3；当0<a <1时，得a －1≥13≥a ，得0<a ≤13.综上所述，a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13∪[3，＋∞)．[冲击名校]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( )A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)解析：选C 作出f (x )的大致图象．不妨设a ＜b ＜c ，因为a 、b 、c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，由函数的图象可知10<c <12，且|lg a |＝|lg b |，因为a ≠b ，所以lg a ＝－lg b ，可得ab ＝1，所以abc ＝c ∈(10,12)．2．函数f (x )的定义域为D ，若存在闭区间[a ，b ]⊆D ，使得函数f (x )满足：(1)f (x )在[a ，b ]内是单调函数；(2)f (x )在[a ，b ]上的值域为[2a,2b ]，则称区间[a ，b ]为y ＝f (x )的“和谐区间”．下列结论错误的是( )A ．函数f (x )＝x 2(x ≥0)存在“和谐区间” B ．函数f (x )＝e x(x ∈R )不存在“和谐区间” C ．函数f (x )＝4xx 2＋1(x ≥0)存在“和谐区间” D ．函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎪⎫a x －18(a ＞0，a ≠1)不存在“和谐区间”解析：选D 对于A ，在函数的单调递增区间上问题等价于方程f (x )＝2x 至少有两个不相等的实数根，可得[0,2]为函数f (x )＝x 2(x ≥0)的“和谐区间”；对于B ，构造函数g (x )＝e x －2x ，令g ′(x )＝e x－2＝0，得x ＝ln 2，此时x ＝ln 2是函数g (x )的极小值点也是最小值点，故g (x )min ＝g (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＝2－2ln 2＞0，即g (x )＞0，故方程g (x )＝0无实数根，所以函数f (x )＝e x(x ∈R )不存在“和谐区间”；对于C ，易知函数f (x )＝4xx 2＋1(x ≥0)在[0,1]上单调递增，且其值域是[0,2]，故函数f (x )＝4xx 2＋1(x ≥0)也存在“和谐区间”；对于D ，易知函数f (x )＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a x －18(a ＞0，a ≠1)在其定义域内单调递增，定义域是满足a x＞18的自变量的取值范围，由方程f (x )＝2x ，得a 2x －a x ＋18＝0，解得a x ＝1－222或a x＝1＋222.由于1－222－18＝3－228＞0，故a x的两个根都在函数的定义域内，因此函数f (x )＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a x －18(a ＞0，a ≠1)也存在“和谐区间”．[高频滚动] 1．函数f (x )＝ax －b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a ＞1，b ＜0B ．a ＞1，b ＞0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜0解析：选D 由函数f (x )的图象特征知，0＜a ＜1，又f (0)＝a －b＜1＝a 0，所以－b ＞0，即b ＜0.2．已知函数f (x )＝|2x－1|，a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是( )A ．a <0，b <0，c <0B ．a <0，b ≥0，c >0C ．2－a<2c D ．2a ＋2c<2解析：选D 作出函数f (x )＝|2x－1|的图象如右图中实线所示，∵a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，结合图象知a <0，0＜c ＜1，∴0<2a <1,1＜2c ＜2，∴f (a )＝|2a －1|＝1－2a ，f (c )＝|2c －1|＝2c －1，又f (a )>f (c )，即1－2a >2c －1，∴2a ＋2c <2，故选D.。

第二章 第六节一、选择题1．(文)函数y ＝log 2x 的图像大致是( )A B C D[答案] C[解析] 考查对数函数的图像．(理)函数f (x )＝2|log 2x |的图像大致是( )[答案] C[解析] ∵f (x )＝2|log 2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥1，1x ，0<x <1，∴选C ．2．(文)若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，其图像经过点(a ，a )，则f (x )＝( )A ．log 2xB ．12xC ．log 12xD ．x 2[答案] C[解析] 由题意知f (x )＝log a x ，∴a ＝log a a 12 ＝12，∴f (x )＝log 12x ，故选C ．(理)若点(a ，b )在y ＝lg x 图像上，a ≠1，则下列点也在此图像上的是( ) A ．(1a ，b )B ．(10a,1－b )C ．(10a ，b ＋1)D ．(a 2,2b )[答案] D[解析] 该题考查对数的运算性质，将横坐标看成自变量，看函数值是不是纵坐标，假设是，则点在图像上，若不是，则点不在图像上．由题意知b ＝lg a ，对于A 选项，lg 1a ＝－lg a ＝－b ≠b ，对B 选项lg(10a )＝1＋lg a ＝1＋b ≠1－B ． 对C 选项lg 10a ＝1－lg a ＝1－b ≠b ＋1，对D ，lg a 2＝2lg a ＝2b ，故(a 2,2b )在图像上．3．(2015·营口调研)函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)，若f (x 1)－f (x 2)＝1，则f (x 21)－f (x 22)等于( )A ．2B ．1C ．12D ．log a 2[答案] A[解析] x 1>0，x 2>0，f (x 21)－f (x 22)＝log a x 21－log a x 22＝2(log a x 1－log a x 2)＝2[f (x 1)－f (x 2)]＝2.4．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( )A ．10B ．10C ．20D ．100[答案] A[解析] 由2a ＝5b ＝m ，则a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，代入1a ＋1b ＝2得1log 2m ＋1log 5m ＝2，则lg2lg m ＋lg5lg m ＝2，即lg2＋lg5lg m ＝2，即lg m ＝12，则m ＝10. 5．已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝( )A ．124B ．112C ．18D ．38[答案] A[解析] ∵2<3<4＝22，∴1<log 23<2，∴3<2＋log 23<4， ∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝f (log 224)＝⎝⎛⎭⎫12log 224＝2－log 224＝2 log 2124 ＝124. 6．(文)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[1,2]B ．(0，12]C ．[12，2]D ．(0,2][答案] C[解析] 因为log 12a ＝－log 2a 且f (－x )＝f (x )，则f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)⇒f (log 2a )＋f (－log 2a )≤2f (1)⇒f (log 2a )≤f (1)．又f (log 2a )＝f (|log 2a |)且f (x )在[0，＋∞)上单调递增，∴|log 2a |≤1⇒－1≤log 2a ≤1，解得12≤a ≤2，选C ．(理)若函数f (x )＝log 2(x ＋1)且a >b >c >0，则f (a )a 、f (b )b 、f (c )c 的大小关系是( )A ．f (a )a >f (b )b >f (c )cB ．f (c )c >f (b )b >f (a )aC ．f (b )b >f (a )a >f (c )cD ．f (a )a >f (c )c >f (b )b[答案] B[解析] ∵f (a )a 、f (b )b 、f (c )c 可看作函数图像上的点与原点所确定的直线的斜率，结合函数f (x )＝log 2(x ＋1)的图像及a >b >c >0可知f (c )c >f (b )b >f (a )a.故选B ．二、填空题7．(2014·陕西高考)已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________. [答案]10[解析] 本题考查指数与对数运算． 4a ＝2，∴a ＝12，lg x ＝a ＝12，∴x ＝10.8．(2015·东营质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1，x ≤0log 2x ，x >0，则使函数f (x )的图像位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是________．[答案] {x |－1<x ≤0或x >2}[解析] 当x ≤0时，由3x ＋1>1，得x ＋1>0，即x >－1. ∴－1<x ≤0.当x >0时，由log 2x >1，得x >2. ∴x 的取值范围是{x |－1<x ≤0或x >2}．9．函数y ＝log 3(x 2－2x )的单调减区间是________． [答案] (－∞，0)[解析] (等价转化法)令u ＝x 2－2x ，则y ＝log 3u .∵y ＝log 3u 是增函数，u ＝x 2－2x >0的单调减区间是(－∞，0)， ∴y ＝log 3(x 2－2x )的单调减区间是(－∞，0)． 三、解答题10．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性，并予以证明； (3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的取值范围． [解析] (1)f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1.故所求定义域为{x |－1<x <1}． (2)f (x )为奇函数．证明如下：由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，且 f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )] ＝－f (x )． 故f (x )为奇函数．(3)因为当a >1时，f (x )在定义域{x |－1<x <1}上是增函数，所以f (x )>0⇔x ＋11－x>1.解得0<x <1.所以使f (x )>0的x 的取值范围是{x |0<x <1}.一、选择题1．(2014·四川高考)已知b >0，log 5b ＝a ，lg b ＝c,5d ＝10，则下列等式一定成立的是( ) A ．d ＝ac B ．a ＝cd C ．c ＝ad D ．d ＝a ＋c[答案] B[解析] B 本题考查指对互化、指对运算性质等．可逐项验证．A 中，d ＝log 510，而ac ＝log 5b ·lg b ＝lg b lg5·lg b ＝(lg b )2lg5，∴A 错．B 中，cd ＝lg b ·log 510＝lg b ·lg10lg5＝lg b lg5＝log 5b ＝a ，选B ．解题时要灵活应用换底公式等．2．(文)函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为( ) A ．14B ．12C ．2D ．4 [答案] B[解析] ∵y ＝a x 与y ＝log a (x ＋1)具有相同的单调性． ∴f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上单调， ∴f (0)＋f (1)＝a ，即a 0＋log a 1＋a 1＋log a 2＝a ， 化简得1＋log a 2＝0，解得a ＝12.(理)已知x ＝lnπ，y ＝log 52，z ＝e －12，则( )A ．x <y <zB ．z <x <yC ．z <y <xD ．y <z <x [答案] D[解析] 本小题主要考查了对数、指数的性质的运用． ∵y ＝log 52＝1log 25，z ＝e －12＝1e 且e<2<log 25∴y <z <1，又lnπ>1，∴y <z <x ，故选D ． 二、填空题3．已知lg x ＋lg y ＝2lg(2x －3y )，则log 32xy 的值为________．[答案] 2[解析] 依题意，可得lg(xy )＝lg(2x －3y )2， 即xy ＝4x 2－12xy ＋9y 2， 整理得4(x y )2－13(xy )＋9＝0，解得x y ＝1或x y ＝94.∵x >0，y >0,2x －3y >0， ∴x y ＝94， ∴log 32x y＝2.4．(2014·兰州、张掖联考)函数f (n )＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N *)，定义使f (1)·f (2)·f (3)·…·f (k )为整数的数k (k ∈N *)叫做企盼数，则在区间[1,2013]内这样的企盼数共有________个．[答案] 9[解析] ∵log n ＋1(n ＋2)＝ln (n ＋2)ln (n ＋1)，∴f (1)·f (2)·f (3)·…·f (k )＝ln3ln2·ln4ln3·ln5ln4·…·ln (k ＋2)ln (k ＋1)＝ln (k ＋2)ln2＝log 2(k ＋2)．∵1 024＝210,2 048＝211，且log 24＝2，∴使f (1)·f (2)·f (3)·…·f (k )为整数的数有10－1＝9个． 三、解答题5．已知函数f (x )＝log a (2－ax )，是否存在实数a ，使函数f (x )在[0,1]上是x 的减少的，若存在，求a 的取值范围．[分析] 参数a 既出现在底数上，又出现在真数上，应全面审视对a 的取值范围的制约． [解析] ∵a >0，且a ≠1， ∴u ＝2－ax 是x 的减函数．又f (x )＝log a (2－ax )在[0,1]是减少的，∴函数y ＝log a u 是u 的增函数，且对x ∈[0,1]时， u ＝2－ax 恒为正数．其充要条件是⎩⎨⎧a >12－a >0 即1<a <2.∴a 的取值范围是(1,2)．6．(文)已知定义域为R 的函数f (x )为奇函数，且满足f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x －1.(1)求f (x )在[－1,0)上的解析式； (2)求f (log 1224)的值．[解析] (1)令x ∈[－1,0)，则－x ∈(0,1]， ∴f (－x )＝2－x －1.又∵f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝f (－x )＝2－x －1， ∴f (x )＝－⎝⎛⎭⎫12x＋1.(2)∵log 1224＝－log 224∈(－5，－4)，∴log 1224＋4∈(－1,0)，∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (x )是以4为周期的周期函数， ∴f (log 1224)＝f (log 1224＋4)＝－⎝⎛⎭⎫12log 1224＋4＋1＝－24×116＋1＝－12. (理)若f (x )＝x 2－x ＋b ，且f (log 2a )＝b ，log 2f (a )＝2(a ≠1)． (1)求f (log 2x )的最小值及对应的x 值； (2)x 取何值时，f (log 2x )>f (1)，且log 2f (x )<f (1)． [解析] (1)∵f (x )＝x 2－x ＋b ， ∴f (log 2a )＝(log 2a )2－log 2a ＋b ， 由已知(log 2a )2－log 2a ＋b ＝b ，∴log 2a (log 2a －1)＝0.∵a ≠1，∴log 2a ＝1，∴a ＝2.又log 2f (a )＝2，∴f (a )＝4. ∴a 2－a ＋b ＝4，∴b ＝4－a 2＋a ＝2. 故f (x )＝x 2－x ＋2.从而f (log 2x )＝(log 2x )2－log 2x ＋2＝(log 2x －12)2＋74.∴当log 2x ＝12，即x ＝2时，f (log 2x )有最小值74.(2)由题意⎩⎪⎨⎪⎧(log 2x )2－log 2x ＋2>2，log 2(x 2－x ＋2)<2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x >2或0<x <1，－1<x <2⇒0<x <1. ∴x 的取值范围为(0,1)．。