幂函数、指数函数、对数函数比较大小

指数函数、对数函数、幂函数作者：来源：《数学金刊·高考版》2013年第03期指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位. 从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题. 题目多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考查函数的性质. 若它们与其他知识点交汇命题，则难度会加大.■指数函数与对数函数互为反函数，运算可相互转化，性质可相互理解，方法可相互借鉴.（1）学会指数式与对数式的相互转化；（2）结合指数、对数的“互反”性质记忆有关的概念、图象和性质. （3）若底是参数时，则一定要区分底是大于1还是小于1的情况，与对数有关的问题还要紧扣对数函数的定义域.■■ 若已知函数f（x）=ax，xA. 0，■B. （0，1）C. ■，1D. （0，3）破解思路本题的考查意图：一是解决指数函数的相关问题时，要对底数a进行讨论；二是考虑分段函数的单调性问题，这是学习的一个难点，应紧扣定义理解.经典答案由条件知， f（x）在R上为减函数，则0■ 若已知函数f（x）=log■1-■，其中0（1）证明：f（x）是（a，+∞）上的减函数；（2）解不等式f（x）>1.破解思路证明函数单调性的常用方法有定义法：一般是作差、分解、判断；导数法：若f （x）在某个区间A内有导数，则f ′（x）≥0（x∈A）？圳f（x）在A内为增函数；f ′（x）≤0（x∈A）？圳f（x）在A内为减函数.经典答案（1）任取x1，x2∈（a，+∞），且x10，因此有f（x1）>f（x2），所以f（x）是（a，+∞）上的减函数.（2）由已知01可得log■1-■>logaa，则0■1. 设集合A={x0≤xA. log■■，1B. （log32，1）C. ■，1D. 0，■2. 已知函数f（x）=xlnx.（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数F（x）=■在[1，e]上的最小值为■，求a的值.。

指数函数、幂函数和对数函数是高中数学中的重要概念，它们在数学和现实生活中都有着重要的应用。

在本篇文章中，我们将深入探讨这三种函数的性质，以及它们之间的比较大小关系。

通过本文的阅读，你将能够更全面地理解这些函数的特点，并从中获得更深入的数学启发。

1. 指数函数指数函数是数学中常见的一种函数，其一般形式可表示为 y = a^x，其中a为常数且不等于1。

指数函数的特点是随着自变量x的增大，函数值y以指数方式增长或者下降。

指数函数在自然科学、工程技术以及金融领域都有着广泛的应用，例如放射性衰变、人口增长模型等都可以使用指数函数来描述。

在指数函数中，底数a的大小决定了函数的增长速度，当a大于1时，函数呈现增长趋势；当a在0和1之间时，函数呈现下降趋势。

2. 幂函数幂函数是指数函数的一种特殊形式，其一般形式可以表示为y = x^a，其中a为常数。

幂函数的特点是自变量x的次幂影响了函数值y的大小，不同的a值会导致函数曲线的形状发生变化。

当a为正数时，幂函数呈现增长趋势；当a为负数时，幂函数呈现下降趋势。

幂函数在物理学、生物学以及经济学中都有着重要的应用，例如牛顿定律中的物体受力情况、生物种群数量增长模型等都可以用幂函数来描述。

3. 对数函数对数函数是幂函数的逆运算，常见的对数函数有以10为底的常用对数函数和以e为底的自然对数函数。

对数函数的一般形式可以表示为 y= loga(x)，其中a为底数。

对数函数的特点是能够将幂函数转化为线性函数，便于进行求解和分析。

对数函数在科学领域、信息论以及计算机科学中有着广泛的应用，例如信噪比的计算、数据压缩算法等都离不开对数函数的运算。

指数函数、幂函数和对数函数各自具有独特的特点和应用，它们在数学领域和现实生活中都扮演着重要的角色。

在比较大小方面，一般来说，指数函数增长速度最快，其次是幂函数，对数函数增长速度最慢。

在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的函数来进行建模和求解。

.指数对数幂函数比拟大小学校 :___________ 姓名： ___________班级： ___________考号： ___________一、单项选择题111．设 alog 11 1 2c1 3〕， b2， 3 ，那么 a, b, c 的大小关系是〔23A.a b cB. c b aC. b c aD. c a b12．设 a=lo g 1 3,b=1,c= 2 3 ,那么()23A. a<b<cB. c<b<aC. c<a<bD. b<a<c3．正数 a 、b 、c 满足 log 2 a log 3blog 5 c 0 ，那么〔〕A.a b cB. a c bC.c a bD. c b a4． 0 a b 1, pa b , q b a , r log b a , 那么p, q, r 的大小关系是A.p q rB.p r qC. r p qD. q p r5． m log 5 ， n 5.1 3 ， p，那么实数 m ， n ， p 的大小关系为 〔〕．A.m n pB. m p nC. n m pD. n p m2221，那么 a, b, c 的大小关系是〔6 ． alog 2 ,b, c log 〕3 3 21 3A.a b cB. b c aC. c a bD. c b a7． a 2 ， b 2 ， c2log 5 2 ，那么a,b,c 的大小关系为〔〕A. c b aB. c a bC. b a cD. b c a8．三个数 a 2， b log 2 0.3 ， c 2 之间的大小关系是〔〕A. a c bB. a b cC. b a cD. b c a19． 9． alog 2 3 ， b log 1 3 ， c 3 2 ，那么2A. c b aB. c a bC. a b cD. a c b110． alog 5 2, b log 2 3, c 42，那么〔〕A. a b cB. a c bC. c a bD. c b a'.11． a2 ,b3 , c log 1 3 , 那么 a,b, c 的大小为〔 〕2A.b c a B. a c b C. b a cD. a b c12．假设 a 210 , b log 3, clog 2sin，那么〔〕5A.a b cB. b a cC. c a bD. b c a1 1 11 313．设 a32〕2,b3 , cln，那么〔A.c a b B. c b a C. a b cD. b a c14．假设幂函数的图像过点1, 4 ，那么fx =()2A. 16xB. x 1C. x 2D. x 215． f xlog 2 4 ax 在区间1,3 上是增函数，那么 a 的取值范围〔 〕A.,0B.,0C.4,0D.4,016．函数 y log 1x 2 3x 2 的单调递增区间是〔〕3A.,1B.,3 D.3C. 2,,2217．函数 f xlog 1 x 2 4x 的单调递增区间为3A.,2B.2,C.,0D.4,18．函数 fxlog 1 x 1 ， afsin5， b f log 23 ， cf2log 2，36那么 a, b, c 的大小关系是〔 〕A.a b c B. b a c C. c b a D. a c b二、填空题19．假设幂函数ym 2 3m 3 x m 2 m 1 的图象不过原点，那么 m 是 __________．20．函数 f xlgx 2 2x 3 的单调递减区间是 __________ ．.参考答案1． B【解析】由对数函数的性质可知：11a log213log12 21，0 ，且： b6131 , c 6 21 ， 很明显 b0, c12839b 6c 6 , 0 c b 1 ，综上可得：c b a .此题选择 B 选项 .点睛：对于指数幂的大小的比拟， 我们通常都是运用指数函数的单调性， 但很多 时候，因幂的底数或指数不相同， 不能直接利用函数的单调性进行比拟． 这就必 须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比拟时，假设底数不同， 那么首先考虑将其转化成同底数， 然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比 较，利用图象法求解，既快捷，又准确．2． A1【解析】∵ alog 1 3 log 1 1 0 ， 0 b1 1 1 ，c23 2012233∴ a b c 应选 A点睛： 此题考查了指数函数的性质和对数函数的性质及其应用， 属于根底题， 解答此题的关键熟记指数函数与对数函数的图象与性质， 利用指数函数与对数函数的性质， 判定 a, b, c 的范围，不明确用中间量“ 1〞， “0〞进行传递比拟，从而得到a,b, c 的大小关系．3． C【解析】给定特殊值，不妨设 log 2 a log 3b log 5c 1 ，那么：a 2,b3,c1, cab .5此题选择 C 选项 .4． A【解析】ab1balogb a ，函数ya xba a， p a ， q b ， r 递减，那么a, 函数 y x b 递 增 ， 那么 a a b a 1 , 函 数 ylog b x 递 减 , 那么 log b a log b b 1 ， 故'.a b b a log b a ,即 p q r ，应选 A. 5． A【解析】∵ m log 5log 10 ，0n 5.1 3p ，∴ m n p ，应选 A．6． D【解析】试题分析：0 ，0 b 1，c 11，故c b a.a log 21log122考点：比拟大小. 7． B【解析】B.8． C【解析】∵a 2 1,b 2 22, c 2log5 2 log 5 4 1 ， b a c ，应选20.09 1 ， b log 2 0.3 log 21 0 ， c 2 201∴ b a c应选 C点睛：此题考查了指数函数的性质和对数函数的性质及其应用，属于根底题，解答此题的关键熟记指数函数与对数函数的图象与性质，利用指数函数与对数函数的性质，判定a, b, c的范围，不明确用中间量“1〞，“0〞进行传递比拟，从而得到a,b, c 的大小关系．9． D1【解析】由题意可得： a log2 3 1,b log1 3 0,c 3 20,1 ，2那么： a c b .此题选择 D 选项 .10． B1【解析】∵ a log 5 2, b log 2 3,c 4 21， log 2 31又∵log 51 log5 2 log 55log 2 2 1 ， 4 221 2.∴0 a1， b 1， c122∴ a c b应选 B 11． D【解析】 a20,b 30,c log 1 3 0 , a 22,b 30.6 5 33 5 32 2 .2所以 a b c .应选 D. 12． A【解析】∵ a 2100 πππ ＜ log 2 1=0 ，＞ 2 =1 ， 0=log 1＜ b=log 3＜log π =1， c log 2sin5∴a＞ b ＞c ． 应选 A ． 13． B【解析】由 3 1可得 c ln30 ，很明显 a 0, b 0 ，很明显函数 f xlnx 0, e 上单调递增，在区间x1 1ln1ln1故 f f ，即：23 ，231 1 231 1 1那么：11 1 ln 13 ln2 2，据此有：lnln33231 2，1 1131 2b ，结合对数函数的单调性有：3，即 a2综上可得：a b c .此题选择 B 选项 .点睛：对于指数幂的大小的比拟， 我们通常都是运用指数函数的单调性， 但很多时候，因幂的底数或指数不相同， 不能直接利用函数的单调性进行比拟． 这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比拟时，假设底数不同， 那么首先考虑将其转化成同底数， 然后再根据指数函数的单调性进行判断． 对于不同底而同指数的指数幂的大小的比拟，利用图象法求解，既快捷，又准确．14． D【解析】设幂函数f x x ,'.图像过点1 , 4 2所以f11 4 ，解得 2 .22所以 f x x 2.应选 D.15． D【解析】令 t4ax ，那么原函数由y f t和 t4ax 复合而成的复合函数，函数f x log24ax 在1,3 上是增函数，{a04 a 0， a 的取值a，解得40范围是4,0，应选 D.16． A【解析】函数的定义域为,12,令 t x23x 2 ，那么y log 1 t3t x23x2在,1上单调递减，在2,上单调递增，y log 1 t 为减函数，3根据“同增异减〞可知：函数 y log 1x2 3x 2 的单调递增区间是,13应选： A点睛：：复合函数的单调性的判断口诀为“同增异减〞，即内外层单调性一致为增函数，内外层单调性相反为减函数，易错点忽略了函数的定义域，单调区间必然是定义域的子集. 17． C【解析】函数的定义域为，04，令 t x24x ，那么y log 1t3t x24x 在，0上单调递减，在 4,上单调递增，又 y log 1 t 在定义域上单调递减，根据“同增异减〞可知：3.函数 fxlog 1 x 2 4x 的单调递增区间为,03应选： C点睛： 复合函数的单调性的判断口诀为“同增异减〞， 即内外层单调性一致为增函数，内外层单调性相反为减函数，易错点忽略了函数的定义域，单调区间必然是定义域的子集.18． A【解析】函数 fxlog 1 x 1 关于直线 x1 轴对称，且在,1 上单调递增， 在 1,3上单调递减，afsin5f1 = f3， bf log 23f log 2 3 ，622cf2log 2f π又3log 2 3 πf xlog 1 x 1在1,上单调递减，2，3∴ ab c应选： A19． 1【解析】幂函数ym23m 3 x m 2m 1 的图象不过原点，{ m 2m 1 0 ，解得m 23m 3 1m 1，故答案为 1.20． 1,3【解析】由 x 2 2x 30 ，解得 1 x 3又 x 2 2x 3x 124所以减区间是1,3'.。

指数函数概念：一般地，函数y=a^x(a＞0，且a≠1）叫做指数函数,其中x是自变量，函数的定义域是R.注意:⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。

⒉指数函数的定义仅是形式定义.指数函数的图像与性质：规律:1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。

2。

当a＞1时,底数越大,图像上升的越快，在y轴的右侧,图像越靠近y轴；当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧,图像越靠近y轴.在y轴右边“底大图高"；在y轴左边“底大图低”。

3.四字口诀:“大增小减"。

即:当a＞1时,图像在R上是增函数；当0＜a＜1时，图像在R上是减函数。

4。

指数函数既不是奇函数也不是偶函数。

比较幂式大小的方法:1.当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；2. 当底数中含有字母时要注意分类讨论；3. 当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较;4. 对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较底数的平移：在指数上加上一个数，图像会向左平移;减去一个数,图像会向右平移。

在f(X)后加上一个数,图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。

对数函数1.对数函数的概念由于指数函数y=a x 在定义域(—∞,+∞)上是单调函数，所以它存在反函数,我们把指数函数y=a x （a ＞0，a ≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=log a x(a ＞0，a ≠1）.因为指数函数y=a x 的定义域为（-∞,+∞）,值域为（0，+∞），所以对数函数y=log a x 的定义域为(0，+∞)，值域为（-∞，+∞）。

2.对数函数的图像与性质对数函数与指数函数互为反函数,因此它们的图像对称于直线y=x 。

据此即可以画出对数函数的图像,并推知它的性质.为了研究对数函数y=log a x(a ＞0,a ≠1）的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数y=log 2x,y=log 10x ，y=log 10x ，y=log 21x ，y=log101x 的草图由草图，再结合指数函数的图像和性质，可以归纳、分析出对数函数y=log a x（a＞0，a≠1)的图像的特征和性质。