专题08 利用指数函数、对数函数、幂函数的性质解决大小比较问题

指数函数幂函数对数函数的比较1. 引言嘿，大家好！今天我们来聊聊一些数学里的“明星”——指数函数、幂函数和对数函数。

这三位可不是普通的数学函数，它们在生活中扮演着重要的角色，像是在演一场大戏，各自有各自的风格和特点。

别看它们名字听起来很高大上，其实咱们可以用简单易懂的方式来理解它们，今天就让我们轻松愉快地把这些数学概念捋一捋！2. 指数函数的魅力2.1 指数函数是什么先来看看指数函数，简单来说，它的形式就是 ( f(x) = a^x )，其中 ( a ) 是一个正数，比如 2、3、甚至更大。

这个函数的特征就是，随着 ( x ) 的增加，函数值会迅速飞涨，简直就像是火箭发射！想象一下，当你用 ( a=2 ) 时，( x ) 从 1 增加到 10，结果就从 2 跑到了 1024，哇哦，真是个“数”字飞人！2.2 日常应用这玩意儿在哪用呢？比如说，利息计算就是个典型的例子。

银行给你存款利息，随着时间的推移，利息就像坐上了直升机，飞速增长。

这让人觉得，哦，时间就是金钱，没错！而且在科学和工程领域，指数函数也经常被用到，比如放射性衰变、人口增长等，简直无处不在。

3. 幂函数的风采3.1 幂函数是什么再说说幂函数，它的形式是 ( f(x) = x^n )，其中 ( n ) 是个常数。

你可以把它想象成在做一些小型的数学“杂技”，当 ( n ) 是正整数时，随着 ( x ) 的增加，函数值也是在慢慢上涨，但没那么快。

就像爬山一样，虽然一路上坡，但总有些缓冲。

3.2 常见场景幂函数在生活中也常常见到，比如说，物体的体积和边长的关系就是个典型的例子。

如果你有一个立方体，边长增加一倍，体积可是翻了八倍哦，真是让人惊掉下巴！而且在物理学中，许多公式，比如牛顿的引力定律，也都涉及到幂函数的运算，可以说是非常“靠谱”的小伙伴。

4. 对数函数的智慧4.1 对数函数是什么接下来我们要聊的是对数函数，形式为 ( f(x) = log_a(x) )。

指数函数幂函数对数函数比较大小指数函数、幂函数和对数函数是数学中常见的函数类型，它们在许多领域都有重要的应用。

在本文中，我们将对指数函数、幂函数和对数函数进行全面评估，比较它们之间的大小关系，并分享个人观点和理解。

1. 指数函数指数函数是以底数为常数的指数幂的形式表示的函数。

一般形式为f(x) = a^x，其中a为底数，x为指数，a>0且a≠1。

指数函数的特点是随着自变量x的增大而迅速增大或迅速减小。

当底数a大于1时，函数呈现增长趋势；当底数a在0和1之间时，则呈现衰减趋势。

指数函数具有许多重要的性质。

当指数为0时，函数的值为1；当指数为正无穷大时，函数的值趋近于无限大；当指数为负无穷大时，函数的值趋近于0。

指数函数的图像通常表现出一条平滑的曲线，上升或下降的趋势明显。

2. 幂函数幂函数是以自变量的某个常数次幂为形式的函数。

一般形式为f(x) = x^a，其中x为自变量，a为常数。

幂函数的特点是在低次幂下增长缓慢，在高次幂下增长迅速。

幂函数的性质取决于幂指数a的值。

当a为正数时，函数呈现增长趋势；当a为负数时，函数呈现衰减趋势；当a为奇数时，函数的值与自变量的正负关系一致；当a为偶数时，函数的值始终为正。

幂函数的图像通常是一个类似于开口塔尖或开口塔底的曲线，随着幂指数的变化，图像形状也会发生明显的改变。

3. 对数函数对数函数是指以一个正数为底数，对底数取幂后得到真数的函数。

一般形式为f(x) = log_ax，其中a为底数，x为真数。

对数函数的特点是将指数运算转化为对数运算，通过求解x在底数a下的幂指数得到结果。

对数函数的底数a通常选择为常见的数学常数e或者常用的底数10。

当底数a为e时，对数函数也称为自然对数函数，通常表示为ln(x)。

对数函数的性质包括：log_a1 = 0；log_aa = 1；对数函数与指数函数是互逆运算。

幂函数、指数函数与对数函数知识方法扫描一、指数函数及其性质形如y =a x (a >0,a ≠1)的函数叫作指数函数，其定义域为R ，值域为(0,+∞)．当0<a <1时，y =a x 是减函数，当a >1时，y =a x 为增函数，它的图像恒过定点(0,1)．二、分数指数幂a 1n=na ,a m n=n a m ,a -n=1an ,a -mn =1na m三、对数函数及其性质对数函数y =log a x (a >0,a ≠1)的定义域为(0,+∞)，值域为R ，图像过定点(1,0)．它是指数函数y =a x (a >0,a ≠1)的反函数，所有性质均可由指数函数的性质导出．当0<a <1时，y =log a x 为减函数，当a >1时，y =log a x 为增函数．四、对数的运算性质(M >0,N >0)(1)a log M a =M (这是定义)；(2)log a (MN )=log M a +log a N ；(3)log a MN=log a M -log a N ；(4)log a M n =n log a M ；(5)log a b =log c blog c a (a ,b ,c >0,a ,c ≠1)(换底公式)．由以上性质(4)、(5)容易得到以下两条推论：1)log a mb n =n m log a b ；2)log a b =1log b a．典型例题剖析1已知x 1是方程x +lg x =10的根，x 2是方程x +10x =10的根，求x 1+x 2的值．【解法1】由题意得lg x 1=10-x 110x 2=10-x 2，表明x 1是函数y =lg x 与y =10-x 的交点的横坐标，x 2是函数y =10x 与y =10-x 的交点的横坐标．因为y =lg x 与y =10x 互为反函数，其图像关于y =x 对称，由y =10-x y =x 得，x =5y =5 ，所以x 1+x 22=5，所以x 1+x 2=10．【解法2】构造函数f (x )=x +lg x ，由x 1+lg x 1=10知f x 1 =10，x 2+10x 2=10即10x 2+lg10x 2=10，则f 10x 2 =10，于是f x 1 =f 10x 2 ，又f (x )为(0,+∞)上的增函数，故x 1=10x 2，x 1+x 2=10x 2+x 2=10．【解法3】由题意得x 1=1010-x 110-x 2=10x 2，两式相减有x 1+x 2-10=1010-x 1-10x 2．若x 1+x 2-10>0，则1010-x 1-10x 2>0，得10-x 1>x 2，矛盾；若x 1+x 2-10<0，则1010-x 1-10x 2<0，得10-x 1<x 2，矛盾；而当x 1+x 2=10时，满足题意．【评注】解法1巧妙地利用了数形结合的方法，解法2巧妙地利用了函数的单调性，解法3巧妙地利用了反证法的技巧．2已知a >0，b >0，log9a =log 12b =log 16(a +b )，求ba的值．【解法1】设log 9a =log 12b =log 16(a +b )=k ，则a =9k ，b =12k ，a +b =16k ．由于9k ×16k =12k 2故(a +b )a =b 2，解得：b a =1+52(负根舍去)．【解法2】设log 9a =log 12b =log 16(a +b )=k ，则a =9k ，b =12k ，a +b =16k ．b a =12k 9k =43 k ，而9k +12k =16k，故1+12k 9k =16k 9k ，即43 k 2-43 k -1=0，故b a =43 k =1+52(负根舍去)．【评注】对数运算和指数运算互为逆运算，有关对数的运算和处理，往往可以转化为指数的运算和处理．3已知函数f (x )=1x +1+log 13x 2-x，试解不等式f x x -12 >12．【分析】本题为分式不等式与对数不等式混合．初看不易解决，但可以发现该函数在其定义域内单调递减，这是本题的解题关键．【解】易证函数y =f (x )在其定义域(0,2)内是单调减函数．并且f (1)=12，所以原不等式即为f x x -12 >f (1)等价于x x -12 <10<x x -12 <2⇒ x 12<x <1+174或1-174<x <0 ．【评注】利用函数单调性解决不易入手的不等式是一种常用方法．4设方程lg (kx )=2lg (x +1)仅有一个实根，求k 的取值范围．【分析】本题要注意函数的定义域．【解法1】当且仅当kx >0①x +1>0②x 2+(2-k )x +1=0③时原方程仅有一个实根，对方程③使用求根公式，得x 1,x 2=12k -2±k 2-4k ④Δ=k 2-4k ≥0⇒k <0或k ≥4．当k <0时，由方程③，得x 1+x 2=k -2<0,x 1x 2=1>0,所以x 1，x 2同为负根．又由方程程④知x 1+1>0,x 2+1<0,所以原方程有一个解x 1．当k =4时，原方程有一个解x =k2-1=1．当k >4时，由方程③，得x 1+x 2=k -2>0,x 1x 2=1>0. 所以x 1，x 2同为正根，且x 1≠x 2，不合题意，舍去．综上所述可得k <0或k =4为所求．【解法2】由题意，方程kx =(x +1)2，也即方程k =x +1x+2在满足关于x 的不等式kx >0x +1>0 的范围内有唯一实数根，以下分两种情况讨论：(1)当k >0时，k =x +1x +2在x >0范围内有唯一实数根，则有k =4；(2)当k <0时，k =x +1x+2在-1<x <0范围内有唯一实数根，则有k <0．综上可得k <0或k =4为所求．【评注】本题实质上是一道一元二次方程问题．5解不等式：log 12(x +3x )>log 64x ．【分析】若考虑到去根号，可设x =y 6(y >0)，原不等式变为log 12y 3+ y 2 >log 6446=log 2y ，即2log 12y +log 2(y +1)>log 2y ，陷入困境．原不等式即6log 12(x +3x )>log 2x ⇒2log 12x +log 121+x166>log 2x ，设t =log 2x ，则log 12x =1log x12=12log x 2+log x 3，同样陷入困境．下面用整体代换y =log 64x ．【解】设y =log 64x ，则x =64y，代人原不等式，有log 128y +4y >y ，8y +4y >12y，23 y +13 y >1，由指数函数的单调性知y =log 64x <1，则0<x <64．故原不等式的解集为(0,64)．6已知1<a ≤b ≤c 证明：log a b +log b c +log c a ≤log b a +log c b +log a c ．【证法1】注意到log a b +log b c +log c a -log b a +log c b +log a c=ln b ln a +ln c ln b +ln a ln c -ln a ln b+ln b ln c +ln c ln a =ln 2b ln c +ln 2c ln a +ln 2a ln b -ln 2b ln a +ln 2c ln b +ln 2a ln c ln a lnb ln c=-(ln a -ln b )(ln b -ln c )(ln c -ln a )ln a ln b ln c．【证法2】设log b a =x ，log c b =y ，则log a c =1xy ，于是原不等式等价于x +y +1xy ≤1x +1y+xy ，即x 2y +xy 2+1≤y +x +x 2y 2，即xy (x +y )-(x +y )+1-x 2y 2 ≤0，也即(x +y -1-xy )(xy -1)≤0也即(x -1)(y -1)(xy -1)≥0，由1<a ≤b ≤c 知x ≥1,y ≥1，所以(x -1)(y -1)(xy -1)≥0，得证．因为1<a ≤b ≤c ，所以ln a ln b ln c >0，(ln a -ln b )(ln b -ln c )(ln c -ln a )≥0所以log a b +log b c +log c a -log b a +log c b +log a c ≤0即log a b +log b c +log c a ≤log b a +log c b +log a c °【评注】若令x =ln a ，y =ln b ，z =ln c 则原不等式等价于：设0<x ≤y ≤z ，求证：x 2y +y 2z +z 2x ≤xy 2+yz 2+zx 2．7设函数f (x )=|lg (x +1)|，实数a ，b (a <b )满足f (a )=f -b +1b +2，f (10a +6b +21)=4lg2，求a 、b 的值．【分析】利用已知条件构建关于a 、b 的二元方程组进行求解．【解】因为f (a )=f -b +1b +2 ，所以|lg (a +1)|=lg -b +1b +2+1 =lg 1b +2=|lg (b +2)|所以，a +1=b +2或(a +1)(b +2)=1，又因为a <b ，所以a +1≠b +2，所以(a +1)(b +2)=1又由于0<a +1<b +1<b +2，于是0<a +1<1<b +2，所以(10a +6b +21)+1=10(a +1)+6(b +2)=6(b +2)+10b +2>1，从而f (10a +6b +21)=lg 6(b +2)+10b +2=lg 6(b +2)+10b +2，又f (10a +6b +21)=4lg2，所以lg 6(b +2)+10b +2 =4lg2，故6(b +2)+10b +2=16．解得b =-13或b =-1(舍去)．把b =-13代故(a +1)(b +2)=1，解得a =-25．所以，a =-25,b =-13．同步训练一、选择题1已知a 、b 是方程log 3x 3+log 27(3x )=-43的两个根，则a +b =()．A.1027B.481C.1081D.2881【答案】C ．【解析】原方程变形为log 33log 3(3x )+log 3(3x )log 327=-43，即11+log 3x +1+log 3x 3=-43．令1+log 3x =t ，则1t +t 3=-43，解得t 1=-1,t 2=-3．所以1+log 3x =-1或1+log 3x =-3，方程的两根分别为19和181，所以a +b =1081．故选C ．2已知函数f (x )=1a x -1+12x 2+bx +6(a ,b 为常数，a >1)，且f lglog 81000 =8，则f (lglg2)的值是()．A.8 B.4 C.-4 D.-8【答案】B ．【解析】由已知可得f lglog 81000 =f lg33lg2=f (-lglg2)=8，又1a -x -1+12=a x 1-a x +12=-1+11-a x +12=-1a x -1-12，令F (x )=f (x )-6，则有F (-x )=-F (x )．从而有f (-lglg2)=F (-lglg2)+6=-F (lglg2)+6=8，即知F (lglg2)=-2，f (lglg2)=F (lglg2)+6=4．3如果f (x )=1-log x 2+log x 29-log x 364，则使f (x )<0的x 的取值范围为()．A.0<x <1 B.1<x <83C.x >1D.x >83【答案】B ．【解析】显然x >0，且x ≠1．f (x )=1-log x 2+log x 29-log x 364=1-log x 2+log x 3-log x 4=log x 38x ．要使f (x )<0．当x >1时，38x <1，即1<x <83；当0<x <1时，38x >1，此时无解．由此可得，使得f (x )<0的x 的取值范围为1<x <83．应选B ．4若f (x )=lg x 2-2ax +a 的值域为R ，则a 的取值范围是()．A.0<a <1 B.0≤a ≤1 C.a <0或a >1 D.a ≤0或a ≥1【答案】D ．【解析】由题目条件可知，(0,+∞)⊆y |y =x 2-2ax +a ，故Δ=(-2a )2-4a ≥0，解得a ≤0或a ≥1．选D ．二、填空题5设f (x )=log 3x -4-x ，则满足f (x )≥0的x 的取值范围是．【答案】[3,4]．【解析】定义域(0,4]．在定义域内f (x )单调递增，且f (3)=0．故f (x )≥0的x 的取值范围为[3,4]．6设0<a <1，0<θ<π4，x =(sin θ)log asin θ，y =(cos θ)log atan θ，则x 与y 的大小关系为．【答案】x <y ．【解析】根据条件知，0<sin θ<cos θ<1，0<sin θ<tan θ<1，因为0<a <1，所以f (x )=log a x 为减函数，所以log a sin θ>log a tan θ>0，于是x =(sin θ)log a sin θ<(sin θ)log a tan θ<(cos θ)log a tan θ=y .7设f (x )=12x +5+lg 1-x 1+x ，则不等式f x x -12<15的解集为．【答案】1-174,0 ∪12,1+174．【解析】原不等式即为f x x -12<f (0)．因为f (x )的定义域为(-1,1)，且f (x )为减函数．所以-1<x x -12 <1x x -12 >0.解得x ∈1-174,0∪12,1+174．8设f (x )=11+2lg x +11+4lg x +11+8lg x ，则f (x )+f 1x =．【答案】3．【解析】f (x )+f 1x =11+2lg x +11+4lg x +11+8lg x +11+2-lg x +11+4-lg x +11+8-lg x =3．三、解答题9已知函数f (x )=a x +3a (a >0,a ≠1)的反函数是y =f -1(x )，而且函数y =g (x )的图像与函数y =f -1(x )的图像关于点(a ,0)对称．(1)求函数y =g (x )的解析式；(2)若函数F (x )=f -1(x )-g (-x )在x ∈[a +2,a +3]上有意义，求a 的取值范围．【解析】(1)由f (x )=a x +3a (a >0,a ≠1)，得f -1(x )=log a (x -3a )．又函数y =g (x )的图像与函数y =f -1(x )的图像关于点(a ,0)对称，则g (a +x )=-f -1(a -x )，于是，g (x )=-f -1(2a -x )=-log a (-x -a )，(x <-a )．(2)由(1)的结论，有F (x )=f -1(x )-g (-x )=log a (x -3a )+log a (x -a )．要使F (x )有意义，必须满足x -3a >0,x -a >0. 又a >0，故x >3a ．由题设F (x )在x ∈[a +2,a +3]上有意义，所以a +2>3a ，即a <1．于是，0<a <1．10设f (x )=log a (x -2a )+log a (x -3a )，其中a >0且a ≠1．若在区间[a +3,a +4]上f (x )≤1恒成立，求a 的取值范围．【解析】f (x )=log a x 2-5ax +6a 2=log a x -5a 2 2-a 24．由x -2a >0x -3a >0, 得x >3a ，由题意知a +3>3a ，故a <32，从而(a +3)-5a 2=-32(2-a )>0，故函数g (x )=x -5a 2 2-a 24在区间[a +3,a +4]上单调递增．若0<a <1，则f (x )在区间[a +3,a +4]上单调递减，所以f (x )在区间[a +3，a +4]上的最大值为f (a +3)=log a 2a 2-9a +9 ．在区间[a +3,a +4]上不等式f (x )≤1恒成立，等价于不等式loglog a 2a 2-9a +9 ≤1恒成立，从而2a 2-9a +9≥a ，解得a ≥5+72或a ≤5-72．结合0<a <1，得0<a <1．若1<a <32，则f (x )在区间[a +3,a +4]上单调递增，所以f (x )在区间[a +3,a +4]，上的最大值为f (a +4)=log a 2a 2-12a +16 ．在区间[a +3,a +4]上不等式f (x )≤1恒成立，等价于不等式log a 2a 2-12a +16 ≤1恒成立，从而2a 2-12a +16≤a ，即2a 2-13a +16≤0，解得13-414≤a ≤13+414．易知13-414>32，所以不符合．综上所述，a 的取值范围为(0,1)．11解方程组x x +y=y 12y x +y =x 3，(其中x ,y ∈R * ．【解析】两边取对数，则原方程组可化为(x +y )lg x =12lg y ①(x +y )lg y =3lg x ②把式①代入式②，得(x +y )2lg x =36lg x ，所以(x +y )2-36 lg x =0．由lg x =0，得x =1；代入式①，得y =1．由(x +y )2-36=0x ,y ∈R * 得x +y =6．代入式①得lg x =2lg y ，即x =y 2，所以y 2+y -6=0．又y >0，所以y =2,x =4．所以方程组的解为x 1=1y 1=1 ，x 2=4y 2=2 ．12已知f (x )=lg (x +1)-12log 3x ．(1)解方程f (x )=0；(2)求集合M =n f n 2-214n -1998 ≥0,n ∈Z 的子集个数．【解析】(1)任取0<x 1<x 2，则f x 1 -f x 2 =lg x 1+1 -lg x 2+1 -12log 3x 1-log 3x 2=lgx 1+1x 2+1-12log 3x 1x 2=lg x 1+1x 2+1-log 9x 1x 2，因为x 1+1x 2+1>x 1x 2，所以lg x 1+1x 2+1>lg x 1x 2．故f x 1 -f x 2 =lg x 1+1x 2+1-log 9x 1x 2>lg x 1x 2-lg x1x 2lg9，因为0<lg9<1，lg x 1x 2<0，所以f x 1 -f x 2 >lg x 1x 2-lg x1x 2=0，f (x )为(0,+∞)上的减函数，注意到f (9)=0，当x >9时，f (x )<f (9)=0；当<x <9时，f (x )>f (9)=0，所以f (x )=0有且仅有一个根x =9．(2)由f n 2-214n -1998 ≥0⇒f n 2-214n -1998 ≥f (9)所以n 2-214n -1998≤9n 2-214n -1998>0 ⇔n 2-214n -2007≤0n 2-214n -1998>0⇔(n -223)(n +9)≤0(n -107)2>1998+1072=13447>1152⇔-9≤n ≤223n >222或n <-8 ⇔⇔-9≤n ≤223n ≥223或n ≤-9 ，所以n =223或n =-9,M ={-9,223},M 的子集的个数是4．13已知a >0，a ≠1，试求使得方程log a (x -ak )=log a x 2-a 2 有解的k 的取值范围．【解析】由对数性质知，原方程的解x 应满足(x -ak )2=x 2-a 2x -ak >0x 2-a 2>0(1)(2)(3)若式(1)、式(2)同时成立，则式(3)必成立，故只需要解(x -ak )2=x 2-a 2x -ak >0.由式(1)可得2kx =a 1+k 2(4)当k =0时，式(4)无解；当k ≠0时，式(4)的解是x =a 1+k 2 2k ，代人式(2)，得1+k 22k>k ．若k <0，则k 2>1，所以k <-1；若k >0，则k 2<1，所以0<k <1．综上所述，当k ∈(-∞,-1)∪(0,1)时，原方程有解．14已知0.301029<lg2<0.301030，0.477120<lg3<0.477121，求20001979的首位数字．【解析】lg20001979=1979lg2000=1979(3+lg2)．所以6532.736391<lg20001979<6532.73837．故20001979为6533位数，由lg5=1-lg2,lg6=lg2+lg3，得0.698970<lg5<0.6989710.778149<lg6<0.778151⇒lg5<0.736391<0.73837<lg6,说明20001979的首位数字是5．15已知3a +13b =17a ，5a +7b =11b ，试判断实数a 与b 的大小关系，并证明之．【解析】令a =1，则13b =14,5+7b =11b ，可见b >1．猜想a <b ．下面用反证法证明：若a ≥b ，则13a ≥13b ,5a ≥5b ，所以17a =3a +13b ≤3a +13a ,11b =5a +7b ≥5b +7b ，即317 a +1317 a ≥1,511 b +711 b ≤1，而函数f (x )=317 x +1317 x和g (x )=511 x +711 x在R 上均为减函数，且f (1)=317+1317=1617<1≤f (a ),g (1)=511+711=1211>1≥g (b )．所以a <1,b >1．这与a ≥b 矛盾，故a <b ．16解不等式log 2x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1 <1+log 2x 4+1 ．【解析】原不等式等价于log 2x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1 <log 22x 4+2 ．由于y =log 2x 为单调递增函数，于是x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1<2x 4+2，两端同时除以x 6，并整理得2x2+1x 6>x 6+3x 4+3x 2+1+2x 4+2=x 2+1 3+2x 2+1 构造函数g (t )=t 3+2t ，则上述不等式转化为g1x2>g x 2+1 .显然g (t )=t 3+2t 在R 上为增函数．于是以上不等式等价于1x2>x 2+1，即x 2 2+x 2-1<0，解得x 2<5-12．故原不等式的解集为-5-12,5-12．。

专题02 指数、对数及幂的大小比较问题--------真题演练指数、对数及幂的大小比较问题方法灵活，常常给人以“乱花渐欲迷人眼”的感觉，而对其问题进行归纳总结，会发现这类问题的解法往往可以从代数和几何两方面加以探寻，即利用函数的性质及图象解答。

体现对数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算及直观想象等核心素养的考查，也是高考命题的热点。

本专题以一些典型例题来说明此类问题的方法与技巧。

希望大家以后解决此类问题时有“浅草才能没马蹄”的轻盈之感。

1.常用的指对数变换公式：（1）nm mn a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）log log log a a a M N MN += ； log log log a a a M M N N-=； （3）()log log 0,1,0na a N n N a a N =>≠>；（4）换底公式：log log log c a c bb a=； 进而有两个推论：1log log a b b a=（令c b =）； log log m n a a n N N m =；2.比较大小的基本思路：（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性， 判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况 例如：1113423,4,5，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同()()()11111143634212121233,44,55===，从而只需比较底数的大小即可；（2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“-1，0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如2log 3，可知2221log 2log 3log 42=<<=，进而可估计2log 3是一个1点几的数，从而便于比较；（3）利用函数单调性比较大小；例：()f x 在[],a b 单调递增，则[]()()121212,,,x x a b x x f x f x ∀∈<⇔<(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁）；总之：比较数式的大小，若同底，考虑指数函数（或对数函数）；若同指，则考虑幂函数，再利用函数的单调性比较大小；若不同底，也不同指，则其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决，或者利用中间量法。

专题8 利用指数函数、对数函数、幂函数的性质解决大小比较问题一、选择题1．【山东寿光现代中学2018届高三开学考】已知实数，那么它们的大小关系是（）A. B. C. D.2．【安阳市第三十五中学2018届高三开学考】设，，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.3．【山东省寿光现代中学2018届高三开学考】若，则下列不等式错误的是（）A. B. C. D.4．【南阳市一中2018届高三第一次考】设，则（）A. B. C. D.5．【河北省正定中学2016-2017学年月考】已知，，，则（）A. B. C. D.6．【安徽省亳州市2016—2017学年高一期中】如图①，②，③，④，根据图象可得a、b、c、d与1的大小关系为（）A. a＜b＜1＜c＜dB. b＜a＜1＜d＜cC. 1＜a＜b＜c＜dD. a＜b＜1＜d＜c7．【甘肃省天水市一中2016-2017学年期末】已知a0.3b＝0.32，0.2c ，则a，b，c三者的大0.3小关系是（）A . b >c >aB . b >a >cC . a >b >cD . c >b >a8．【赣州市2016-2017学年期末】设log a = 0.013b =，ln 2c =，则( ) A . c a b << B . a b c << C . a c b << D . b a c <<9．【宁夏石嘴山市三中2016-2017学年期末】已知ln x π=， 5log 2y =， 12z e -=，则（ ）A z x y <<B y z x <<C z y x <<D x y z << 10．【梅河口五中2016-2017学年期末】设0.13592,ln,log 210a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A . a b c >> B . a c b >> C . b a c >> D . b c a >>11．【山东寿光现代中学2016-2017学年模块监测】下列关系式中，成立的是（ ）．A . 03131log 4log 105⎛⎫>> ⎪⎝⎭B . 01331log 10log 45⎛⎫>> ⎪⎝⎭C . 03131log 4log 105⎛⎫>> ⎪⎝⎭D . 01331log 10log 45⎛⎫>> ⎪⎝⎭12．【烟台市2016-2017学年期末】已知1a b >>， 01c <<，则下列不等式正确的是（ ） A . c c a b < B . a b c c > C . log log a b c c > D . log log c c a b >13．【山东菏泽一中、单县一中2016-2017学年期末】若0.633log 0.6,3,0.6a b c ===，则（ ）A . c a b >>B . a b c >>C . b c a >>D . a c b >>14．【山东省潍坊寿光市2016-2017学年期末】若0.633log 0.6,3,0.6a b c ===，则（ ）A . c a b >>B . a b c >>C . b c a >>D . a c b >> 15．【河南南阳一中2018届第一次考】已知132a -=， 21log 3b =， 121log 3c =，则( )A . a b c >>B . a c b >>C . c a b >>D . c b a >> 16．【甘肃省天水一中2016-2017学年期末】已知a =， 0.32b =， 0.20.3c =，则,,a b c 三者的大小关系是（ ）A . b c a >>B . b a c >>C . a b c >>D . c b a >>17．【四川省南充高级中学2016-2017学年期末】设log a =， 0.013b =，c =( )A . c a b <<B . a b c <<C . a c b <<D . b a c << 18．【吉林省梅河口五中2016-2017学年期末】设0.13592,ln,log 210a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A . a b c >>B . a c b >>C . b a c >>D . b c a >> 19．【安徽亳州二中2017届检测】若1012a ⎛⎫=⎪⎝⎭， 1215b -⎛⎫= ⎪⎝⎭， 15log 10c =，则,,a b c 大小关系为（ ） A . a b c >> B . a c b >> C . c b a >> D . b a c >> 20．【2017新课标1】设xyz 为正数，且235x y z ==，则 A . 2x <3y <5z B . 5z <2x <3y C . 3y <5z <2x D . 3y <2x <5z 21．【山西三区八校2017届高三二模】设，，，则，，的大小关系为（ ）A .B .C .D .22．【山东省日照市2017届高三三模】已知0.21.2512,,2log 22a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为A . b a c <<B . c a b <<C . c b a <<D . b c a <<23．【广西南宁市马山县金伦中学2016-2017学年期末】设352log 2,log 2,log 3a b c ===，则（ ） A . a c b >> B . b c a >> C . c b a >> D . c a b >>24．【河北省邢台市2016-2017学年期末】若 1.2 1.155, 1.2,lg6a b c -=== 则下列结论正确的是（ ） A . a c b << B . c b a << C . 1ln 3b a ⎛⎫< ⎪⎝⎭ D . 132ba ⎛⎫< ⎪⎝⎭25．【广西桂林,百色,梧州,北海,崇左五市2017届高三5月联考】若1π1log 3a =， π3e b =， 31log cos π5c =，则（ ）A . b c a >>B . b a c >>C . a b c >>D . c a b >> 26．【福建省泉港一中2016-2017学年期中】实数20.2a = 2log b =， 0.22c =的大小关系正确的是( )A . a c b <<B . a b c <<C . b a c <<D . b c a <<27．【宁夏银川一中2017届高三二模】已知31log 2a =， 121log 3b =， 1312c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则A . c b a >>B . b c a >>C . b a c >>D . c a b >>二、填空题28．【河北省张家口市2016-2017学年期末】若1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设ln a x =， 1ln 2x b =， ln x c e =，把,,a b c 从大到小排列为________．学@科网29．【山西省孝义市2018届高三入学摸底考】已知 3.313a ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 3.913b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,a b 的大小关系是__________．(用“<”连接)30．【抚州市金溪一中等七校2016-2017学年联考】若，则大顺序是__________（由大到小）．。

指数函数对数函数大小比较的要点指数函数和对数函数是数学中常见的两种函数，了解它们之间的大小关系非常重要。

本文将介绍指数函数和对数函数大小比较的要点。

1. 指数函数的特点指数函数的一般形式为$y=a^x$，其中$a>0$且$a\ne1$。

指数函数以底数$a$为底，$x$为指数。

其特点如下：- 当$a>1$时，随着$x$的增大，$y$的值也会增大。

因此指数函数是递增的。

- 当$0<a<1$时，随着$x$的增大，$y$的值会减小且趋近于0。

因此指数函数在$x$增大时会趋近于0。

2. 对数函数的特点对数函数的一般形式为$y=\log_a{x}$，其中$a>0$且$a\ne1$。

对数函数以底数$a$为底，$x$为真数。

其特点如下：- 当$a>1$时，随着$x$的增大，$y$的值也会增大。

因此对数函数是递增的。

- 当$0<a<1$时，随着$x$的增大，$y$的值会减小且趋近于负无穷。

因此对数函数在$x$增大时会趋近于负无穷。

3. 指数函数和对数函数的对比指数函数和对数函数是互为反函数的。

因此，它们之间的大小比较可以通过比较指数函数和对数函数的值来进行。

- 当$a>1$时，$y=a^x$和$y=\log_a{x}$是递增的函数，且对于$x>0$，指数函数的值始终大于对数函数的值。

- 当$0<a<1$时，$y=a^x$和$y=\log_a{x}$是递减的函数，且对于$x>0$，指数函数的值始终小于对数函数的值。

4. 注意事项在比较指数函数和对数函数时，需要注意以下事项：- 确保指数函数和对数函数中的底数$a$不为1，且为正数。

- 函数的定义域和值域需要符合函数的特点和限制。

结论指数函数和对数函数在数值上是互为反函数，但在图像上呈现出不同的走势。

了解它们的特点及大小比较的要点，有助于在数学问题中使用和分析这两种函数。

一、选择题1．下列各式比较大小正确的是( ) A． B．C． D．【-=-=答案=-=-】B【解析】2．若，是任意非零实数，且，则（）．A． B． C． D．【-=-=答案=-=-】B【解析】3．设,则的大小顺序是( ) A． B． C． D．【-=-=答案=-=-】D【解析】，因为，所以.故-=-=答案=-=-为：D4．已知实数，则的大小关系为（）A． B． C． D．【-=-=答案=-=-】D【解析】因为,所以a＜b.因为,所以c>b，故-=-=答案=-=-为：D5．若满足，则A． B． C． D．【-=-=答案=-=-】A【解析】6．下列大小关系正确的是（）A． 0.43＜30.4＜log40.3 B． 0.43＜log40.3＜30.4C． log40.3＜0. 43＜30.4 D． log40.3＜30.4＜0.43【-=-=答案=-=-】C【解析】因为且，故，选C.7．已知,,,则的大小关系是( ) A． B． C． D．【-=-=答案=-=-】B【解析】由题意得，∴．故选B．8．已知函数的图像如图所示,则A． B． C． D．【-=-=答案=-=-】A【解析】由图象，得在上单调递增，即，在上单调递增，且增加得越来越慢，即，则.故选A.9．设，则（）A． B． C． D．【-=-=答案=-=-】D【解析】,故，故选D.10．若＝＝＝1，则a，b，c的大小关系是（）A． a＞b＞c B． b＞a＞c C． a＞c＞b D． b＞c＞a【-=-=答案=-=-】D【解析】11．若函数在区间上递增，且，则（）A． B． C． D．【-=-=答案=-=-】B【解析】由，得，又函数的对称轴方程为，复合函数的增区间，函数在区间上递增，，则，而，所以，故选B.12．已知，则的大小关系为A． B． C． D．【-=-=答案=-=-】D【解析】13．若，，，则，，的大小关系是（）．A． B． C． D．【-=-=答案=-=-】C【解析】故选C.14．已知，则的大小关系为（）A． B． C． D．【-=-=答案=-=-】D【解析】15．已知，，，则的大小关系是( )A． B． C． D．【-=-=答案=-=-】B【解析】由题意可得，所以，选B. 16．已知，，，则的大小关系为( )．A． B． C． D．【-=-=答案=-=-】A【解析】显然，，，，因此最大，最小，故选：A.17．已知函数的图象如图所示,则的大小关系为（）A． B． C． D．【-=-=答案=-=-】A【解析】由图像可知，，得.故选A.18．若实数，满足，，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．【-=-=答案=-=-】A【解析】19．如图①，②，③，④，根据图象可得a、b、c、d与1的大小关系为（）A. a＜b＜1＜c＜dB. b＜a＜1＜d＜cC. 1＜a＜b＜c＜dD. a＜b＜1＜d＜c【-=-=答案=-=-】B【解析】由图，直线x=1与四条曲线的交点坐标从下往上依次是（1，b），（1，a），（1，d），（1，c）故有b＜a＜1＜d＜c故选B20．已知实数，，，，则（）A． B． C． D．【-=-=答案=-=-】Cc是y=（）x与y=的交点的横坐标，在同一个平面直角坐标系中，作出函数y=2x，y=log x，y=（）x，y=log2x，y=的图象，结合图象，得：b＞a＞c．故选：C．21．已知，，，则、、的大小关系是（）A． B． C． D．【-=-=答案=-=-】D【解析】22．已知实数，则的大小关系为A． B． C． D．【-=-=答案=-=-】D【解析】由对数函数的性质可得，由指数函数的性质可得，所以，故选D.23．若，则当时，的大小关系是( ) A． B． C． D．【-=-=答案=-=-】A【解析】当时，24．函数，，，的图象如图所示，则的大小顺序是( )A． c＜d＜1＜a＜b B． 1＜d＜c＜a＜bC． c＜d＜1＜b＜a D． d＜c＜1＜a＜b【-=-=答案=-=-】A【解析】令4个函数取同样的函数值1，即，解得，作出的图象从左到右依次与交于，，故选A.25．已知函数，，的零点分别为，则的大小关系为( )A． B． C． D．【-=-=答案=-=-】A【解析】【分析】26．设则A． B． C． D．【-=-=答案=-=-】A【解析】27．已知,则a,b,c的大小关系正确的一项是=A． a<c<b B． c<a<b C． b<a<c D． a<b<c【-=-=答案=-=-】D【解析】由，可得，所以，由指数函数的性质可得，所以，故选D．28．已知偶函数f(x)在[0,2]上是减函数，若，，，则之间的大小关系式（）A． B． C． D．【-=-=答案=-=-】B【解析】由题函数为偶函数，在内单调递减，，即.故选B.二、填空题29．与的大小关系是__________（用“”或“”表示）．【-=-=答案=-=-】【解析】30．函数在(0，)上单调递减，则_______（填“＜”，“＝”，“＞”之一）．【-=-=答案=-=-】＜【解析】解：因为函数在上单调递增，且为偶函数，因此f（-2）=f（2）则底数a>1，那么a+1>2，因此<31．已知幂函数，若，则的取值范围为________．【-=-=答案=-=-】【解析】∵幂函数单调递减，定义域为，所以由，得，解得，故-=-=答案=-=-为.32．把，，从大到小的顺序排列_____________________【-=-=答案=-=-】a,b,c;【解析】．即-=-=答案=-=-为.33．已知，，，则，，的大小关系是__________（用“”连接）．【-=-=答案=-=-】【解析】三、解答题34．比较下列各组数的大小．（1）；（2）；（3）；（4）．【-=-=答案=-=-】（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】。

指数函数、幂函数和对数函数是高中数学中的重要概念，它们在数学和现实生活中都有着重要的应用。

在本篇文章中，我们将深入探讨这三种函数的性质，以及它们之间的比较大小关系。

通过本文的阅读，你将能够更全面地理解这些函数的特点，并从中获得更深入的数学启发。

1. 指数函数指数函数是数学中常见的一种函数，其一般形式可表示为 y = a^x，其中a为常数且不等于1。

指数函数的特点是随着自变量x的增大，函数值y以指数方式增长或者下降。

指数函数在自然科学、工程技术以及金融领域都有着广泛的应用，例如放射性衰变、人口增长模型等都可以使用指数函数来描述。

在指数函数中，底数a的大小决定了函数的增长速度，当a大于1时，函数呈现增长趋势；当a在0和1之间时，函数呈现下降趋势。

2. 幂函数幂函数是指数函数的一种特殊形式，其一般形式可以表示为y = x^a，其中a为常数。

幂函数的特点是自变量x的次幂影响了函数值y的大小，不同的a值会导致函数曲线的形状发生变化。

当a为正数时，幂函数呈现增长趋势；当a为负数时，幂函数呈现下降趋势。

幂函数在物理学、生物学以及经济学中都有着重要的应用，例如牛顿定律中的物体受力情况、生物种群数量增长模型等都可以用幂函数来描述。

3. 对数函数对数函数是幂函数的逆运算，常见的对数函数有以10为底的常用对数函数和以e为底的自然对数函数。

对数函数的一般形式可以表示为 y= loga(x)，其中a为底数。

对数函数的特点是能够将幂函数转化为线性函数，便于进行求解和分析。

对数函数在科学领域、信息论以及计算机科学中有着广泛的应用，例如信噪比的计算、数据压缩算法等都离不开对数函数的运算。

指数函数、幂函数和对数函数各自具有独特的特点和应用，它们在数学领域和现实生活中都扮演着重要的角色。

在比较大小方面，一般来说，指数函数增长速度最快，其次是幂函数，对数函数增长速度最慢。

在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的函数来进行建模和求解。

指数式和对数式比较大小五法方法一：利用函数单调性同底的指数式和对数式以及同指数的指数式的大小,可以利用函数的单调性来比较. 核心解读：1.比较形如m a 与n a 的大小,利用指数函数x y a =的单调性.2.比较形如log a m 与log a n 的大小,利用对数函数log a y x =的单调性.3.比较形如m a 与m b 的大小,利用幂函数m y x =的单调性.例1：比较下列各组数的大小（1）0.30.3,30.3（2）2log 0.8,2log 8.8（3）0.30.3,0.33[解]（1）利用函数0.3xy =的单调性. 因为函数0.3x y =在R 上单调递减,0.3<3,所以0.30.3>30.3.（2）利用函数2log y x =的单调性.因为函数2log y x =在(0,)+∞单调递增,0.8<8.8,所以2log 0.8<2log 8.8.（3）利用函数0.3y x=的单调性. 因为函数0.3y x =在(0,)+∞单调递增,0.3<3,所以0.30.3<0.33.方法二：中间桥梁法既不同底又不同指的指数式、对数式比较大小,不能直接利用函数的单调性来比较,可利用特殊数值作为中间桥梁,进而可比较大小.（1）比较形如m a 与n b 的大小,一般找一个“中间值c ”,若m a c <且m c b <,则m n a b <；若m a c >且n c b >,则m n a b >.常用到的特殊值有0和1.(0log 1a =，1log a a =，01a =)（2）比较形如m a 与n b 的大小,一般可以取一个介于两值中间且与题目中两数都能比较大小的一个中间值,即n a 或者m b ,进而利用中间值解决问题.例2：比较下列各组数的大小（1）0.41.9, 2.40.9（2）124()5,139()10[解]（1）取中间值1.因为0.401.91.91>=,2.400.90.91<=,所以0.4 2.41.90.9>.（2）取中间值129()10. 利用函数910x y =（）的单调性比较139()10和129()10的大小,易知139()10>129()10.利用函数12y x =单调性比较124()5和129()10的大小,易知124()5<129()10.所以139()10>124()5. （补充:对于指数相同底数不同的两指数式比较大小,也可以通过做比与1比较大小的方法比较两数的大小.）方法三：特值代入法对于在给定的区间上比较指数式和对数式的大小的问题,可在这个区间上取满足条件的特殊值,代入后通过计算化简或避免复杂的变形与讨论,是问题简捷获解.例3：（2008年全国卷理4文5）若1(,1)x e -∈,ln a x =,2ln b x =,3ln c x =,则（）.A.a<b<cB.c<a<bC.b<a<cD.b<a<c[解]在区间1(,1)e -上取12x e -=,通过计算知：121ln 2a e -==-,122ln 1b e -==-,313211ln ()28c e -==-=-,故b<a<c,选C. 方法四：估值计算法估值计算是指通过估值、合理猜想等手段,准确、迅速地选出答案.例4：（2007年全国卷理4文4）下列四个数中最大的是（）.A.2(ln 2)B.ln(ln 2)C.ln 2D.ln 2[解]因为lg 20.3010ln 20.7lg 0.4343e =≈≈, 所以2(ln 2)0.49≈,ln(ln 2)ln 0.70≈<,1ln 2ln 20.352=≈,故四个数中最大的是ln 2,选D.[点评]本题按普通比较法求解,可以预见运算量不小,恐怕很难心算而得到结果,但通过估值,合情推理,几乎一望而答,这就是估算法的魅力.方法五：数形结合法画出指数函数、对数函数和幂函数的图像,利用直观的图像往往能得到更简捷的解法. 例5：（2009年全国卷理7）设3log a π=,2log 3b =,3log 2c =,则（）.A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a[解]在同一直角坐标系内画出对数函数3log y x =和2log y x =的图像,如下图所示：由图像观察得a>b>c ,故选A.[点评]本题也可以利用比较法求解.因为322log 2log 2log 3<<所以b>c,因为2233log 3log 21log 3log π<==<,所以 a>b,所以a>b.但图像法解决问题比较直观、明了、容易比较出大小.。

指、对、幂、及三角值比较大小的方法总结基础知识储备1直接利用函数基本单调性比较大小例1.已知a =log 23，b =log 46利用指数对数单调性比较大小；当底数一样或者可以化成一样，直接利用单调性比较即可，c =log 89，则a 、b 、c 的大小顺序为()A.a <b <cB.a <c <bC.c <b <aD.b <c <a先利用对数运算法则进行化简，再用函数单调性比较大小.【解答】b =log 46=log 26，又c =log 89=log 239，∵3>6>39，y =log 2x 单调递增，∴c <b <a .课堂练兵1．下列选项正确的是()A.log 25.3<log 24.7 B.log 0.27<log 0.29C.log 3π>log π3D.log a 3.1<log a 5.2(a >0且a ≠1)2．已知a =log 23，b =ln2，c =log 2π，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a >b >cB.c >a >bC.a >c >bD.c >b >a3.已知1a=ln3，b =log 35-log 32，c =2ln 3，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a >c >bB.b >c >aC.c >a >bD.c >b >a4.已知x =90.91，y =log 20.1，z =log 20.2，则()A.x >y >zB.x >z >yC.z >x >yD.z >y >x比较与0,1的大小关系，此类题目一般会放在单选题靠前位置，比如0<0.20.3<0.20=1， 0=log 0.21<log 0.20.3<log 0.20.2=2比较与0,1的大小关系1例2.若a =23 12，b =ln 12，c =0.6-0.2，则a ，b ，c 的大小关系为()A.c >b >aB.c >a >bC.b >a >cD.a >c >b分别根据y =23x、y =ln x 、y =0.6x 的单调性，比较a ，b ，c 与0、1的大小，即可.【解答】y =23 x 在-∞,+∞ 上是减函数，0<a =23 12<23=1；y =ln x 在0,+∞ 上是增函数，b =ln 12<ln1=0；y =0.6x 在-∞,+∞ 上是减函数，c =0.6-0.2>0.60=1，故c >a >b 例3.已知a =log 132,b =log 23,c =2-0.3，则a ，b ，c 的大小关系是()A.a >b >cB.b >a >cC.c >a >bD.b >c >a利用函数的单调性判断出a <0，b >1，0<c <1，即可得到正确答案.【解答】∵y =log 13x 为减函数，∴a =log 132<log 131=0，即a <0；∵y =log 2x 为增函数，∴b =log 23>log 22=1，即b >1；∵y =2x 为增函数，∴0<c =2-0.3<20=1，即0<c <1；∴b >c >a .例3.已知a=20.7，b=130.7，c=log213，则()A.a>c>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出a、b、c的大小关系.【解答】∵20.7>13 0.7>0=log21>log213，∴a>b>c.课堂练兵1.若a=100.1，b=lg0.8，c=log53.5，则()A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.a>c>b2.已知a=lg0.2,b=log56,c=ln2，则a，b，c的大小关系为()A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.c<b<a3.已知a=20.6，b=e-0.6，c=log20.6，则a，b，c的大小关系为()A.b>a>cB.b>c>aC.a>b>cD.a>c>b取中间值，比如遇到两个数都在0到1之间，我们可以比较它们与(0,1)之间的某个数进行大小比较，常用的中间值是13取中间值比较大小2例4.已知a=log323，b=log23，c=913，则()A.c>a>bB.b>a>cC.b>c>aD.c>b>a 利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出a、b、c的大小关系.【解答】∵a=log323<log31=0，1=log22<b=log23<log24=2，c=913>813=2，∴c>b>a.例5.已知a=log52，b=log83，c=12，则下列判断正确的是()A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c 利用对数函数的单调性可比较a、b与c的大小关系，由此可得出结论.【解答】a=log52<log55=12=log822<log83=b，即a<c<b.例6.已知a=log62，b=log0.50.2，c=0.60.3，则a，b，c的大小关系为()A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b 根据指数函数、对数函数的性质计算可得.【解答】log0.50.2=log2-15-1=log25>log24=2，即b>2，0=log61<log62<log66=12，即0<a<12，1=0.60>0.60.3>0.50.3>0.51=12，即12<c<1，∴b>c>a；课堂练兵1.已知a=log34，b=log45，c=32，则有()A.a>b>cB.c>b>aC.a>c>bD.c>a>b2.设a=0.61，b=lg90.6，c=log328，则有()A.b<a<cB.c<b<aC.a<c<bD.b<c<a3．已知a =2log 54，b =12log 37，c =2log 45，则a ，b ，c 的大小关系是()A.b <c <aB.b <a <cC.c <a <bD.a <b <c当真数一样我们考虑用换底公式，换为底数一样，再比较分母，如a =ln2和b =log 324利用换底公式比较大小，a =ln2=1log 2e，b =log 32=1log 23，∵log 23>log 2e ，∴a >b 例7.设x ，y ，z 为正数，且3x =4y =5z ，则()A.x <y <zB.y <x <zC.y <z <xD.z <y <x令3x =4y =5z =k >1，用k 表示出x ，y ，z ，再借助对数函数的性质即可比较大小.【解答】因x ，y ，z 为正数，令3x =4y =5z =k ，则k >1，因此有：x =log 3k =1log k 3，y =log 4k =1log k 4，z =log 5k =1log k 5，又函数f (t )=log k t 在(0,+∞)上单调递增，而1<3<4<5，则0<log k 3<log k 4<log k 5，于是得1log k 3>1log k 4>1log k 5，所以z <y <x .例8.设a =log 32，b =ln2，c =512，则a ､b ､c 三个数的大小关系是()A.a >b >cB.b >a >cC.c >a >bD.c >b >a根据对数函数与指数函数性质，结合中间值0、1比较即可．【解答】∵0<ln2<ln e =1，ln3>1，∴log 32=ln2ln3<ln2，∴a <b <1，∵c =512>50=1，∴c >b >a例9.设a =log 32，b =ln2，c =512，则a ､b ､c 三个数的大小关系是()A.a >b >cB.b >a >cC.c >a >bD.c >b >a根据对数函数与指数函数性质，结合中间值0、1比较即可．【解答】∵0<ln2<ln e =1，ln3>1，∴log 32=ln2ln3<ln2，∴a <b <1，∵c =512>50=1，∴c >b >a 课堂练兵1.设a =log 0.14，b =log 504，则()A.2ab <2a +b <ab B.2ab <a +b <4ab C.ab <a +b <2abD.2ab <a +b <ab2.设a =log 2π，b =log 6π，则()A.a -b <0<ab B.ab <0<a -b C.0<ab <a -bD.0<a -b <ab 3.设0.2a =0.3，2b =0.3，则()A.a +b <ab <0 B.ab <a +b <0C.a +b <0<abD.ab <0<a +b 4．已知正数x ，y ，z 满足3x =4y =6z ，则下列说法中正确的是()A.1x +12y =1zB.3x >4y >6zC.xy >2z 2D.x +y >32+2z 去常数再比大小当底数和真数出现了倍数关系时，需要将对数进行分离常数再比较．这是对数值所独有的技巧，类似于分式型的分离常数，借助此法可以把较复杂的数值，转化为某一单调区间，或者某种具有单调性的形式，以利于比较大小 例如：log a ma =log a m +1；log a ma n =log a m +n 5分离常数再比较大小．例10.已知a =log 63，b =log 84，c =log 105，则()．A.b <a <cB.c <b <aC.a <c <bD.a <b <c结合对数的运算公式以及对数函数的单调性进行转化求解即可．【解答】由题意得：a =log 63=log 662=1-log 62=1-1log 26，b =log 84=log 882=1-log 82=1-1log 28，a =log 105=log 10102=1-log 102=1-1log 210，∵函数y =log 2x 在(0,+∞)上单调递增，∴log 26<log 28<log 210，则1log 26>1log 28>1log 210，所以a <b <c 课堂练兵1．设a =log 36，b =log 510，c =log 714，则()A.c >b >aB.b >c >aC.a >c >bD.a >b >c例11.a 6利用均值不等式比较大小=73，b =log 420，c =log 32+log 36，则a ，b ，c 的大小关系是()A.a >b >cB.a >c >bC.c >b >aD.c >a >b根据对数函数的性质结合基本不等式分析比较即可【解答】a =73=1+43，b =log 420=log 44+log 45=1+log 45，c =log 32+log 36=1+log 34，∵43=log 3343=log 3381>log 3364=log 34，∴a >c ，∵log 45log 34=lg5lg4⋅lg3lg4<lg3+lg52 2(lg4)2=lg152 2(lg4)2<lg162 2(lg4)2=2lg422(lg4)2=1，log 45>1,log 34>1，∴log 45<log 34，所以c >b ，综上a >c >b ,故选B 例12.若a =lg2⋅lg5，b =ln22，c =ln33，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a <b <cB.b <c <aC.b <a <cD.a <c <b由基本不等式可判断a <14，由对数的性质可得b >14，再作差可判断c ,b 大小.【解答】a =lg2⋅lg5<lg2+lg5 24=14,b =2ln24=ln44>14c -b =ln33-ln22=2ln3-3ln26=ln 986>0， 则c >b .所以a <b <c .课堂练兵1.已知9m =10,a =10m -11,b =8m -9，则()B.a >b >0C.b >a >0D.b >0>ab =20.6，c =-log 0.26，则实数a ，b ，c 的大小关系为()B.a >b >cC.b >a >cD.b >c >a乘倍数后再进行大小比较，比如a =log 23和b =log 34，则3a =3log 23=log 227∈4,5 A.a >0>b2.已知a =log 25，A.a >c >b 7乘倍数比较大小， 3b =3log 34=log 364∈3,4 ，∴3a >3b ，∴a >b例13.已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则()A.a <b <cB.b <a <cC.b <c <aD.c <a <b题意可得a 、b 、c ∈0,1 ，利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系，由b =log 85，得8b =5，结合55<84可得出b <45，由c =log 138，得13c =8，结合134<85，可得出c >45，综合可得出a 、b 、c 的大小关系【解答】由题意可知a 、b 、c ∈0,1 ，a b =log 53log 85=lg3lg5⋅lg8lg5<1lg52⋅lg3+lg82 2=lg3+lg82lg52=lg24lg252<1，∴a <b ；由b =log 85，得8b =5，由55<84，得85b <84，∴5b <4，可得b <45；由c =log 138，得13c =8，由134<85，得134<135c ，∴5c >4，可得c >45.综上所述，a <b <c .课堂练兵1.已知a =log 23，b =log 34，c =log 45，则实数a ，b ，c 的大小关系为()A.a <b <cB.a >b >cC.b >a >cD.b >c >a8初等型双元变量构造函数比大小构造简单函数，利用函数的单调性比较大小例14.设a >0，b >0，则下列叙述正确的是()A.若ln a -2b >ln b -2a ，则a >b B.若ln a -2b >ln b -2a ，则a <b C.若ln a -2a >ln b -2b ，则a >b D.若ln a -2a >ln b -2b ，则a <b构造函数，利用函数的单调性分析判断即可【解答】∵y =ln x 和y =2x 在(0,+∞)上均为增函数，∴f (x )=ln x +2x 在(0,+∞)上为增函数，∴f (a )>f (b )时，得a >b >0，反之也成立，即ln a +2a >ln b +2b 时，a >b >0，反之也成立，∴ln a -2b >ln b -2a 时，a >b >0，反之也成立例15.若2x -e -x <2y -e -y ，则()A.ln y -x +1 <0B.ln y -x +1 >0C.ln x -y >0D.ln x -y <0先构造函数f x =2x -e -x ，通过观察导函数得到f x 单调性，从而得到x <y ，故可通过函数单调性判断出ln y -x +1 >ln1=0，而x -y 的可能值在[1,+∞)⋃0,1 ，故CD 均错误.【解答】令f x =2x -e -x ，则f x =2x ln2+e -x >0恒成立，故f x =2x -e -x 单调递增，由2x -e -x <2y -e -y 可得：x <y ，故ln y -x +1 >ln1=0，A 错误，B 正确；x -y 的可能值在[1,+∞)⋃0,1 ，故不能确定ln x -y 与0的大小关系，CD 错误.课堂练兵1.若a >b >1，且a x -a y >b -x -b -y ，则()A.ln x -y +1 >0B.ln x -y +1 <0C.ln x -y >0D.ln x -y <02.已知正实数x ，y 满足log 2x +log 12y <12 x -12 y，则()A.1x <1yB.x 3<y 3C.ln y -x +1 >0D.2x -y <12例16.设a ≠0，若x =a 为函数f x 9利用导数研究函数的单调性比较大小=a x -a 2x -b 的极大值点，则()A.a <b B.a >bC.ab <a 2D.ab >a 2【解答】若a =b ，则f x =a x -a 3为单调函数，无极值点，不符合题意，故a ≠b .∴f x 有x =a 和x =b 两个不同零点，且在x =a 左右附近是不变号，在x =b 左右附近是变号的.依题意，x =a 为函数f (x )=a (x -a )2(x -b )的极大值点，∴在x =a 左右附近都是小于零的.当a <0时，由x >b ，f x ≤0，画出f x 的图象如下图所示：由图可知b <a ，a <0，故ab >a 2.当a >0时，由x >b 时，f x >0，画出f x 的图象如下图所示：由图可知b >a ，a >0，故ab >a 2.故选：D .课堂练兵1．(多选题)已知正数x ，y ，z 满足x ln y =ye z =zx ，则x ，y ，z 的大小关系为()A.x >y >z B.y >x >z C.x >z >y D.以上均不对2．设a =2021ln2019，b =2020ln2020，c =2019ln2021，则()A.a >b >cB.c >b >aC.a >c >bD.b >a >c一般情况下，作差或者做商，可处理底数不一样的的对数比较大小10差比法与商比法作差或者做商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见解题技巧和方法例17.已知实数a ､b ､c 满足a =613,b =log 23+log 64,5b +12b =13c ，则a ､b ､c 的关系是()A.b >a >cB.c >b >aC.b >c >aD.c >a >b利用幂函数的性质知a <2，利用对数的运算性质及差比法可得b -2>0，再构造13c -13b ，根据指数的性质判断其符号，即可知b ,c 的大小.【解答】a =613<813=2；b =log 23+log 64=log 23+21+log 23，b -2=log 23⋅log 23-1 1+log 23>0，b >2；13c =5b +12b >52+122=132，c >2；13c -13b =5b +12b -13b =52⋅5b -2+122⋅12b -2-132⋅13b -2<52⋅12b -2+122⋅12b -2-132⋅13b -2=12b -2(52+122)-132⋅13b -2=132(12b -2-13b -2)<0，∴b >c ，综上，b >c >a .课堂练兵1.已知a =0.8-0.4，b =log 53，c =log 85，则()A.a <b <cB.b <c <aC.c <b <aD.a <c <b2.已知a =5log 23.4,b =5log 43.6,c =15log 30.3，则()A.a >b >cB.b >a >cC.a >c >bD.c >a >b 3.已知3a =6b =10，则2，ab ，a +b 的大小关系是()A.ab <a +b <2B.ab <2<a +bC.2<a +b <abD.2<ab <a +bf x 11构造函数：ln x /x 型函数 =ln xx出现的比较大小问题:①f x =ln x x 在区间(0，e )上单调递增，在区间(e ，+∞)单调递减；当x =e 时，取得最大值1e;②注意：f 2 =ln22=2ln24=f 4 例18.设a =4-ln4e2，b =1e ，c =ln22，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a <c <bB.c <a <bC.a <b <cD.b <a <c设f x =ln x x ，利用导数判断单调性，利用对数化简a =f e 22 ，b =f e ，c =f 2 =f 4 ，再根据单调性即可比较a ，b ，c 的大小关系.【解答】设f x =ln x x ，则f x =1x⋅x -ln xx 2=1-ln x x 2，当x ∈1,e ，f x >0，f x 单调递增，当x ∈e ,+∞ ，f x <0，f x 单调递减，因为a =4-ln4e 2=2ln e 2-ln2 e 2=ln e 22e 22=f e 22 ，b =1e =ln e e =f e ，c =ln22=f 2 ，所以b =f e 最大， 又因为c =f 2 =f 4 ，e <e 22<4，所以a =f e 22 >f 4 =c ，所以b >a >c课堂练兵1.已知a =3ln2π，b =2ln3π，c =3ln π2，则下列选项正确的是()A.a >b >c B.c >a >b C.c >b >aD.b >c >a2.以下四个数中，最大的是()A.ln 33 B.1e C.ln ππD.15ln15303.下列命题为真命题的个数是()①ln3<3ln2；②ln π<πe；③215<15；④3e ln2<42B.2D.4A.1C.312放缩①对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数，指数和幂函数结合来放缩。

“十大方法”，玩转指对幂比较大小目录一、重难点题型方法方法一：单调性法方法二：“媒介值”法方法三：作差法方法四：作商法方法五：构造函数法方法六：乘方法方法七：对数法方法八：零点法方法九：特殊值法方法十：放缩法二、针对性巩固练习重难点题型方法方法一：单调性法【典例分析】例1.(2023·全国·高三专题练习)设a=30.9，b=90.5，c=13-12，则( )．A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.b>c>a 【答案】C【分析】将三个指数幂化成同底指数幂，利用指数函数的单调性即可得解.【详解】因为a=30.8，b=90.5=(32)0.5=31，c=13-12=3-1 -12=312=30.5，又函数y=3x在R上单调递增，1>0.8>0.5，所以31>30.8>30.5所以b>a>c，故选：C例2.(2022秋·四川广安·高一统考期末)a=0.20.3，b=0.20.4，c=log0.20.1，则( )A.a>b>cB.b>c>aC.a>c>bD.c>a>b 【答案】D【分析】利用指数函数和对数函数的单调性来比较大小即可.【详解】根据函数y=0.2x在R上单调递减得1=0.20>a=0.20.3>0.20.4=b>0，根据函数y=log0.2x在0,+∞上单调递减得c=log0.20.1>log0.20.2=1，故c>a>b.故选：D.【方法技巧总结】1.指、对、幂大小比较的常用方法：①底数相同，指数不同时，如a x 1和a x 2，利用指数函数y =a x 的单调性；②指数相同，底数不同，如x a 1和x a 2利用幂函数y =x a单调性比较大小；③底数相同，真数不同，如log a x 1和log a x 2利用指数函数log a x 单调性比较大小；2.除了指对幂函数，其他函数(比如三角函数，对勾函数等)也都可以利用单调性比较大小。

对数函数.指数函数,幂函数如何比较大小比较大小主要有三种方法：1、利用函数单调性。

2、图像法。

3、借助有中介值-1、0、1。

举例说明如下：（1/2）的2/3次方与（1/2）的1/3次方大小比较：2/3>1/3 ，利用y=(1/2)^x为单调递减所以1/2的2/3次方小于（1/2）的1/3次方。

扩展资料对数函数性质：值域：实数集R，显然对数函数无界；定点：对数函数的函数图像恒过定点（1，0）；单调性：a>1时，在定义域上为单调增函数；0<a<1时，在定义域上为单调减函数；奇偶性：非奇非偶函数周期性：不是周期函数对称性：无最值：无零点：x=1可以根据指对函数的单调性和找中间量两中方法。

先说单调性方法，如果是底数一样可以用此方法，底数大于一，函数单增，指数越大，值越大，底数大于零小于一，函数单减，指数越小，值越大。

对于对数函数，也是如此。

对于指数函数，如果指数相同，底数不同，实质上应用的是幂函数的单调性。

对于对数函数，如果真数相同，底数不同，如果底数都大于一，那么，告诉你一个规律，对数函数的图像，在x轴以上底数小的在上面，底数大的在下面，在X轴以下相反。

这样，画出图像，竖着画一条平行于Y 轴的线，就一目了然了。

其实，总结一下的话，就是真数相同，底数大于一，底数越小，对数值越大。

相反，底数小于一，在x轴以上底数小的在下面，底数大的在上面。

还有一种计算的方法，对于底数不同，真数相同的，可以很快的化同底，运用了一个结论：logm n=1/logn m9可用换底公式推。

比如log2 5和log7 5，log2 5=1/log 5 2,log7 5=1/log5 7因为log5 7>log 5 2所以1/log5 7<1/log 5 2即log7 5<log2 5.找中间值法，一般是对于对数函数而言的，先看正负，若一正一负，自然好，比如lg2和lg0.5.若为同号，就和1比，如lg8(＜1）和lg12（＞1）还有，有时可以先化简再比较，原则是化为同底数，什么样的对数可以化为同底？这里不要使用换底公式的话，一般是底数或真数同为某个数的幂次才行。

指数函数、对数函数比较大小
指数函数对数函数的比较大小问题，在教材上有大量的直接考察习题，而且考点层次要求高，因而高考中已经多次直接进行考察，这一点内容可以不合其他知识点发生关联的情况下直接进行命题，足以可见其重要性。

一般来说，指数、对数比较大小我们采取的思路是：
首先，尽量将不同底数的指数、对数或幂函数，通过公式化成同一底数的，底数相同的指数函数或者对数函数，然后根据底数相同情况下的单调性，进行比较大小；
其次，对于确实不能化成同一底数的，我们尽量将真数或指数化成相同的，然后我们做出图像，也就是说同取一个x值，看不同指数式或者对数式所对应的函数值的大小，主要依据是：
根据指数函数在第一象限内底数越大图像越高；
对数函数在第一象限内绕（1，0）点顺时针排序底数增大（水平向右底数增大）；
最后，如果全都不能化成相同的，我们一般先做出图像，观察图像，判断大小，如果图像仍然不能解决问题，那么我们就应该考虑找中间值进行比较，中间值一般取0，-1,1，比如能否确定所要进行比较的数的正负、与1或-1的大小关系。

通过上述方式一般能解决所有比较大小问题。