例斯托克斯公式举例

斯托克斯公式
斯托克斯公式(Stokes' formula)是一种用于计算物体在流体中的沉降速度的公式。

这个公式常用于计算圆柱形物体、球体或椭圆体在流体中的沉降速度。

斯托克斯公式的通常形式是：
v = gd^2(ρs - ρf)/18μ
其中：
v是物体的沉降速度(m/s)；
g是重力加速度(9.8 m/s^2)；
d是物体的直径(m)；
ρs是物体的密度(kg/m^3)；
ρf是流体的密度(kg/m^3)；
μ是流体的粘度(Pa·s)。

注意：斯托克斯公式仅适用于流体的流动是静态的、流动是匀速的、流体的流动是无流速场的情况。

例如，如果有一个圆柱形物体直径为0.1 m，密度为800 kg/m^3，流体密度为1000 kg/m^3，粘度为0.001 Pa·s，则其沉降速度为约0.15 m/s。

斯托克斯公式成立的条件 斯托克斯公式的物理意义
1 1 1 3 3 3 ∂ ∂ ∂ ds ∂x ∂y ∂z y2 − z2 z2 − x2 x2 − y2
Dxy
x+ y= 1 2
x+ y= 3 2
∴ I = ∫∫
Σ
4 =− ( x + y + z )ds ∫∫ 3 Σ
3 ( 在Σ上x + y + z = ) 2
4 3 9 =− ⋅ ∫∫ ds = −2 3 ∫∫ 3dxdy = − . 3 2Σ 2 D
x
f ( x, y)
o
y
Dxy
C
思路 曲面积分 1 二重积分 2 曲线积分
∂P ∂P ∂P ∂P ∫∫ dzdx − dxdy = ∫∫ ( cos β − cos γ )ds ∂y ∂z ∂y Σ ∂z Σ
又 cos β = − f y cos γ , 代入上式得
∂P ∂P ∂P ∂P + dzdx − dxdy = − ∫∫ ( f y ) cos γds ∫∫ ∂y ∂y ∂z Σ ∂z Σ
定理设为分段光滑的空间有向闭曲线是以为边界的分片光滑的有向曲面的正向与的侧符合右手规则函数在包含曲面在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数则有公式dxdyrdzqdypdx斯托克斯公式证明设与平行于z轴的直线相交不多于一点如图思路曲面积分二重积分曲线积分coscoscoscos根椐格林公式平面有向曲线rdzqdypdxrdzqdypdxdxdydzdxdydzrdzqdypdxdscoscoscos另一种形式其中便于记忆形式stokes公式的实质
xy
1
根椐格林公式
− ∫∫
D xy
∂ P[ x , y , f ( x , y )]dxdy = ∫ P[ x , y , f ( x , y )]dx c ∂y

（3）若 是 xoy 面上的平面区域 D， 则
z 0, cos cos 0, cos 1
0 Pdx Qdy x P 0 y Q 1 Q P dS ( ) dxdy z y D x R
dydz dzdx dxdy Pdx Qdy Rdz x y z P Q R cos Pdx Qdy Rdz x P cos y Q cos dS z R

Pdx Qdy Rdz
该等式称为斯托克斯公式
R Q P R ( )dydz ( )dzdx ( Q P )dxdy z z x x y y
（1）在公式中， 的侧向与 的方向要符合右手规则 （2）为帮助记忆，引入如下行列式记号



P 由格林公式 P[ x , y , f ( x , y )]dx (0 )dxdy y D xy C
C
( Py Pz z y )dxdy
D xy

P ( x , y , z )dx ( Py Pz z y )dxdy
D xy
在 xoy 面上的投影区域记为 Dxy
相应地， 在 xoy 面上的投影为 C C 的方向为逆时针方向。
x
0 C

y
Dxy
（1） 取上侧。 首先，可以证明 P ( x , y , z )dx P[ x , y , f ( x , y )]dx 因为若 ( x , y ) C , ( x , y , z ) 是 上对应的点， 则必有 P ( x , y , z ) P[ x , y , f ( x , y )] 且对于 上的一个小弧段 ds 它在 xoy 面上的投影记为 ds 则 ds C , ds 和 ds 在 x 轴上的投影 完全一样，都为 d x 所以上面等式两边的被积表达 式相等。

Q Q 同理可证 Q d y d xd y d yd z L x z R R L R d x y d y d z x d z d x
三式相加, 即得斯托克斯公式。
定理1 目录 上页 下页 返回 结束
情形2：
曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个，则可 通过作辅助曲线把 分成与 z 轴只交于一点的几 部分，在每一部分上应用斯托克斯公式，然后相 加，由于沿辅助曲线方向相反的两个曲线积分相 加刚好抵消，所以对这类曲面斯托克斯公式仍成 立。 证毕
R Q P R Q P ( )dydz ( )dzdx ( )dxdy y z z x x y
Pdx Qdy Rdz
L
——斯托克斯公式
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n

右手法则
L是有向曲面 的 正向边界曲线
z
L
证明： 情形1：如右图
第七节
第十章
斯托克斯公与旋度
一、斯托克斯公式 二、空间曲线积分与路径 无关的条件 三、环流量与旋度
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一、斯托克斯(stokes)公式
定理 1： 设 L 为分段光滑的空间有向闭曲线， 是以 L 为边界的分片光滑的有向曲面， L 的正向与 的侧符 合右手规则，函数 P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R( x , y , z ) 在包 含曲面 在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有公式：
( 4 ) (1 ) 由斯托克斯公式可知结论成立.
定理2 目录
证毕
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说明： 同平面曲线一样，当曲线积分

r2
∂ ∂z
(
z r
)
=
r2−z2 r3
i
=
r 2 −x2 r3
,
∂ ∂y
(
y) r
=
r2 − y2 r3
三式相加即得div (grad r)
jk
rot (grad r) =
∂ ∂x
∂ ∂y
∂ ∂z
= (0, 0, 0)
xyz
rrr 22
作业
P223 2, 3
补充题:
u和
JG A
有连续的二阶连续偏导数，证明
方向向外的任一闭曲面 , 记Σ 所围域为Ω,
在③式两边同除以Ω 的体积 V, 并令Ω 以
M
任意方式缩小至点 M (记作Ω → M ),则有
∫∫∫ lim Φ = lim 1 ⎜⎛ ∂P + ∂Q + ∂R ⎟⎞ d x d y d z
Ω→M V Ω→M V Ω⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
= lim ⎜⎛ ∂P + ∂Q + ∂R ⎟⎞
cosα
Байду номын сангаас
= ∫∫
∂ ∂x
∑P
cos β
∂ ∂y
Q
cosγ
∂ ∂z
dS
R
20
3. 场论中的三个重要概念
G
设 u = u (x, y, z),
A
=
(P,
Q,
R),
∇
=
(
∂ ∂x
,
∂ ∂y
,
∂ ∂z
),
则
梯度:
grad u
=(
∂u ∂x
,
∂ ∂
u y
,

斯托克斯公式例题斯托克斯公式是一种用于解决带约束的最优化问题的算法。

它通过迭代求解来寻找最优解。

下面是一个使用斯托克斯公式的例题：有一个公司要生产两种产品 A 和 B，它有 $X$ 小时的生产时间和 $Y$ 元的生产成本。

每小时生产 A 产品能赚到 $p_A$ 元的利润，每小时生产 B 产品能赚到 $p_B$ 元的利润。

同时，生产 A 产品需要消耗 $c_A$ 小时的生产时间，生产 B 产品需要消耗$c_B$ 小时的生产时间。

问公司应该生产多少 A 产品和 B 产品，才能使得利润最大。

解题步骤：建立数学模型：设 A 产品的生产数量为 $x$，B 产品的生产数量为 $y$，则有：最大利润 = $p_A \times x + p_B \times y$生产时间约束：$c_A \times x + c_B \times y \le X$生产成本约束：$p_A \times x + p_B \times y \le Y$使用斯托克斯公式求解：令 $\lambda$ 为时间约束的松弛变量，$\mu$ 为成本约束的松弛变量。

则有：$\begin{cases} \frac{\partial}{\partial x} (p_A \times x + p_B \times y + \lambda \times c_A \times x + \mu \times p_A \times x) = 0\ \frac{\partial}{\partial y} (p_A$\begin{cases} p_A + \lambda \times c_A + \mu \times p_A = 0\ p_B + \lambda \times c_B + \mu \times p_B = 0\ c_A \times x + c_B \times y - X \le 0\ p_A \times x + p_B \times y - Y \le 0 \end{cases}$解得 $\lambda = \frac{p_B - p_A}{c_A \times p_B - c_B \times p_A}$，$\mu =\frac{Y - p_A \times x - p_B \times y}{p_A \times x + p_B \times y}$。

y
1
Dxy如图
3 zdx xdy ydz 2
D xy
o
1
x
E-mail: xuxin@
例 2 计算曲线积分
(y

2
z )dx ( z x )dy ( x y )dz
2 2 2 2 2
3 其中 是平面 x y z 截立方体:0 x 1 , 2 0 y 1 ,0 z 1 的表面所得的截痕,若从 ox
P P P P dzdx dxdy ( cos cos )ds y z y z
又 cos f y cos , 代入上式得
P P P P dzdx dxdy ( f y ) cosds y y z z
R Q P R Q P ＝ ( ) cos ( ) cos ( ) cos dS y z z x x y
E-mail: xuxin@
n

右手法则

正向边界曲线
z
是有向曲面 的
n
z
解 按斯托克斯公式, 有
1
zdx xdy ydz
dydz dzdx dxdy

n
y
0
D xy
1
x
1
E-mail: xuxin@
由于的法向量的三个方向余弦都为正，
再由对称性知：
dydz dzdx dxdy 3 d
Dxy
的侧符合右手规则, 函数 P ( x , y , z ) ,Q ( x , y , z ) ,
R( x , y , z ) 在包含曲面 在内的一个空间区域内具

z
P y P zfyco d sS
o x
D
x
y
y C
cos 1 ,
1fx2fy2
cos fy ,
1fx2fy2
fy
cos cos
3
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因此 P d x P y P zc c o oc s so d S s
P zco s P yco sdS P zdzdx P ydxdy
2(1),(3) ; 3(1);
4 (2) ;
6
补充题: 证明
(1 ) ( u)0 (即 rot(g u)ra0)d
(2 ) ( A ) 0(即 d(irv o A ) t0 )
24
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同理可证 Q d y Q xdxdy Q zdydz R d x R ydydz R xdzdx
三式相加, 即得斯托克斯公式 ;
4
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情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个, 则可 通过作辅助线面把 分成与z 轴只交于一点的几部分, 在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿辅助 曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消, 所以对这 类曲面斯托克斯公式仍成立. 证毕
(P c o Q sc o R sc o )d s s
13
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令 A(P ,Q ,R ), 引进一个向量
i jk
( R y Q z)( , P z R x )( , Q x P y )
x
y
z
记作 rotA
PQ R
于是得斯托克斯公式的向量形式 :
:z f(x ,y ),(x ,y ) D x y

R Q P R Q P )dydz ( )dzdx ( )dxdy ( z z x x y y
Pdx Qdy Rdz
例1 利用斯托克斯公式计算 zdx xdy ydz

其中 为平面 x y z 1 被三个坐标平面
§7 斯托克斯公式
一、斯托克斯公式 设 为分段光滑的有向闭曲线， 为分片光滑的且以 为边界的有向曲面， 定理 的方向与 的侧符合右手螺旋法则. P ( x , y , z ),
Q( x, y, z )、R( x, y, z ) 在包含 在内的一个空间 则有 区域内具有一阶连续偏导数，
1 1 1 6 (1 1 2 ) 2 2 2 6 3 4 9 2 x
3 2
z
D xy

y
y
Dxy
x 1
x y
1 1 2
y 1
3 2
2 1 2
x
3 x y 2
练习题： 利用斯托克斯公式计算

x yzdx ( x y )dy ( x y z )dz
2
2
取上侧 cos 0

1 n （ 1， 1） 1， z 3 1 1 1 1 n ( , , ) 3 3 3 y
0
1
(cos , cos , cos )
x
1
1 1 1 cos , cos , cos 3 3 3
cos zdx xdy ydz x P cos x z

1 ( 1) ( 1)
2
2
取上侧 cos 0
n
0

Pdx Qdy Rdz

P P dzdx dxdy y z
P P f y ) cos dS P161 ( y z
P P f y )dxdy ( z y z
n
P P 即 dzdx dxdy z y
有一阶连续偏导数, 则有公式 Q P R Q P R )dxdy ( )dydz ( )dzdx ( x y y z z x
Pdx Qdy Rdz

斯托克斯公式
一、斯托克斯公式 R Q P R Q P ) dydz ( ) dzdx ( ) dxdy ( y z z x x y Pdx Qdy Rdz 斯托克斯公式



cos cos cos ds Pdx Qdy Rdz x y z P Q R 其中n {cos , cos , cos }

一、斯托克斯公式
R Q P R Q P )dxdy ( )dydz ( )dzdx ( y z z x x y
:
f ( x, y )

R R o D dydz dzdx R ( x , y , z ) dz C x y x R Q P R Q P ( )dydz ( )dzdx ( )dxdy y z z x x y
Pdx Qdy Rdz

思路
曲面积分
P P dxdy dzdx y z
1
二重积分
2
曲线积分
P P ( cos cos )dS z y
z f ( x , y ) 法向量为： ( f x , f y , 1)

称为 A( x, y,z) 的旋度，记为 rotA .
旋度可形式地表示为
i rotA x P j y Q k . z R
故斯托克斯公式又可表 示为
C
Pdx Qdy Rdz
rotA d S .

例 3.设一刚体绕过原点的轴L 转 动 ( L 轴 与 z 轴 重 合) 其角速度为常向量 {1 ,2 ,3 } ， 求 rotv .
若R( x, y, z ) 0, 位于oxy面上, 取上侧 则得 ,
z
Q P Pdx Qdy x y dxdy. C
O
n

y
C
格林公式
x
例 1．计算曲线积分
C ( z y)dx ( x z)dy ( x y)dz ，
1 1 3 y z2 x2 1 3 4 ( x y z )dS dS z 3 x2 y2
3 x y2 z2

3 3 2
4
dS 2 3 D

3dxdy
xy
6

D xy
1 9 dxdy 6 (1 2 ) . 8 2
C
C
C 为向量场A 沿有向闭曲线 的 环量.
二、旋 度
定义 设向量场 A( x, y,z ) { P( x, y,z ),Q( x, y,z),R( x, y,z )}
在空间区域 上 具有一阶连续偏导数.向量
R Q P R Q P ( ) i ( ) j ( )k y z z x x y
1
例 2．计算 I
C
( y 2 z 2 )dx ( z 2 x 2 )dy ( x 2 y 2 )dz ，

x
D xy
小结:
一 . Gauss 公式 :
P Q R x y z d v P d y d z Q d z d x R d x d y



P cos Q cos R cos d S

如果 div v 0 则称 v 为无源场,(管形场).



v 为无源场
P Q R 0 x y z
任意闭曲面 上通量
v dS 0 .

二 . Stokes 公式 :
R Q P R Q P y z d y d z z x d z d x x y d x d y
z x y
1 3
d S


Dx y
2 1 zx
2 zy
dx dy
xy
3dxdy
Dx y
2
3
z 2x 2 y 1
D
的面积为 1

例2. I
y

2
z d x z x d y x y d z
分片光滑的有向曲面, 法向量为 n ___ z 的全部边界, 分段光 滑的有向闭曲线 ___
的侧与的 正向符合右手法则,

n


即 : 右手握住 n , 拇指与n同方向, 与四指同方向.
o x
y
记
则
v P ( x , y , z) , Q ( x , y , z) , R( x , y , z) i j k v , , x y z x y z P Q R

解:按斯托克斯公式：
Γ
zdx xdy ydz dydz dzdx dxdy

由于 的 法向量的三个方向余弦都为正, 又由于对称性，上式右端为: 3 d 其中Dxy为xOy面上由直线x y 1及
Dxy
两条坐标轴围成的三角形闭区域.
故
3 zdx xdy ydz 2 Γ
( P cos Q cos R cos )dS .
Γ
设有向量场 A( x,y,z ) P( x,y,z )i Q( x,y,z ) j R( x,y,z )k 在坐标轴上的投影分别为
R Q P R Q P , , y z z x x y
曲面Σ的通量，这里Γ的正向与曲面Σ的侧应 符合右手规则.
rot A 的表达式可利用行列式记号形式地表示为
i rot A x P j y Q k . z R
P P 即 : dzdx dxdy P( x, y, z )dx 成立 y Γ z (此时, Px, y, f ( x, y )在C上点( x, y )处的值与P( x, y, z ) 在Γ上对应点( x, y, z )处的值是一样的，且两曲线上的 对应小弧段在x轴上的投影也一样.)
第七节 斯托克斯公式
一、斯托克斯公式 二、环流量与旋度
一、斯托克斯公式
定理1 设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线， 是以Γ为
边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与 的侧符合 右手规则，函数P( x, y, z )、Q( x, y, z )、R( x, y, z )在曲面
(连同边界Γ )上具有在一阶连续偏导数，则有：
注意：
斯托克斯公式 若 是xoy面上的一平面闭区域，

cos cos cos
I
x y
y2 xy
z
dS
xz
o x
2y
0
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利用斯托克斯公式得
d ydz
I
x
y2
dzd x y xy
dxd y z xz
例3. 求 其中 是用平面 方向。
截立方体 所得截痕的表面，取逆时针
例4. 求
其中 是球面
在第一卦限部分与三
证略 注意: 如果 是 xoy 面上的一块平面区域,则斯托克斯 公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.
简介 目录 上页 下页 返回 结束
为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:
d ydz dzdx dxd y
x
y
z P d x Q d y R d z
P
Q
R
或用第一型曲面积分表示:
cos cos cos
x
y
z
d S P d x Q d y R d z
PQR
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例1. 利用斯托克斯公式计算积分
其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整个
边界, 方向如图所示.
z
1
解: 记三角形域为, 取上侧, 则
d ydz dzdx dxd y
沿有向闭曲线 的环流量. 向量 rot A 称为向量场 A 的 旋度 .
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内容小结
1. 斯托克斯公式
d yd z
P d x Q d y R d z
x
P
dzdx
y
Q
dxd y

例斯托克斯公式举例斯托克斯公式是向量微积分中的一个重要定理，用于计算曲面与闭合路径的积分关系。

该公式为我们提供了计算曲面积分的有效方法，通过将曲面积分转化为路径积分，进而简化了计算过程。

下面，我将通过一些具体的例子来说明斯托克斯公式的应用。

1.二维情况下的斯托克斯公式：假设有一个平面区域D，边界为C。

现在我们要计算沿逆时针方向的路径积分，即顺着边界C的曲线积分。

根据斯托克斯公式，这个路径积分等于通过D内部的顶点的曲面积分。

具体而言，如果我们定义一个向量场F=(P,Q)，其中P和Q是D上的实值函数，并且P和Q的偏导数在D上是连续的，则斯托克斯公式可以写成以下形式：∮CF·dr = ∬D(curl F)·dS其中，curl F是向量场F的旋度，dS是曲面元素的面积。

假设曲线C为单位圆，向量场F=(x,y)，那么我们可以计算F在路径C上的曲线积分：∮CF·dr = ∮C(x, y)·dr根据斯托克斯公式的推导，我们可以将这个二维曲线积分转化为二维曲面积分：∮CF·dr = ∬D(curl F)·dS首先，计算向量场F的旋度：curl F = (∂Q/∂x - ∂P/∂y) = (1 - 1) = 0然后，计算曲面D的面积：dS = dxdy因此，二维情况下的斯托克斯公式可以写成：∮CF·dr = ∬D0·dxdy = 02.三维情况下的斯托克斯公式：在三维空间中，斯托克斯公式的表述略有不同。

假设有一个曲面S，边界为C。

现在我们要计算沿逆时针方向的路径积分，即顺着边界C的曲线积分。

根据斯托克斯公式，这个路径积分等于通过S内部的曲面积分。

具体而言，如果我们定义一个向量场F=(P,Q,R)，其中P、Q和R是S上的实值函数，并且P、Q和R的偏导数在S上是连续的，则斯托克斯公式可以写成以下形式：∮CF·dr = ∬S(curl F)·dS其中，curl F是向量场F的旋度，dS是曲面元素的面积。

第6卷　第4期中　专　物　理　教　学V ol.6N o.4 1998年12月PHYSICS T EACHIN G IN T HE SECO N DA RY SPECIA L IZED SCHO O L Dec.1998问题讨论斯托克斯公式的应用玉　花(内蒙古锡林浩特牧业学校　026000) 斯托克斯公式具有广泛的用途.本文就两个具体实例来加以讨论:1　斯托克斯公式由于流体的粘滞性,固体在流体中运动会受到两种阻力,一种是由于层流体附着在固体表面,层流体和邻层流体间的内摩擦力;另一种是为压强阻力,压强阻力的实质是尾随运动着的固体后面的流体中,有涡旋产生.固体相对于流体的速度小时涡旋还未形成,压强阻力可被忽略,这时,阻力可视为只有前一种.半径为r的球形物体,在粘滞系数为Z的流体中,以速度v运动时,所受阻力为:f=6πZ rv(1)……………………………这就是斯托克斯公式.2　斯托克斯公式的应用实例例1,有一半径为r,密度为d的小球,在密度为d’(d’<d)、粘滞系数为Z的静止流体中下落,若所受阻力遵从斯托克斯公式,试求小球的最大速度.解:最初小球在重力G=43πr3d g和浮力F=43πr3d’g的作用下加速下落,速度逐渐增加,阻力按式(1)逐渐增大,直到三力平衡(图a)时速度达到最大,小球匀速下落.由平衡条件,得:F+f=G即　43πr 3d’g+6πZ rv0=43πr3d g故　v0=29(d-d’)Z gr2(2)………………例2,求牛奶加热使奶油分离时,奶油油滴匀速上升的速度,已知奶油油滴直径d=2μm,牛奶的粘滞系数Z= 1.1×10-3Pa·s,奶油的密度为d=0.94×103kg/m3,牛奶的密度为d’= 1.034×103kg/m3.解:奶油油滴在牛奶中上升时,克服重力G=43πr3d g和阻力f=6πZ rv的作用,最后奶油油滴所受的浮力F=43πr3d’g与G、f三者平衡(图b),奶油匀速上升,由平衡条件,得:F=G+f即　43πr3d’g=43πr3d g+6πZ rv故　v=2=9(d’-d)Z gr2代入数据得:v= 1.86×10-7m/s利用(2)式,若r为已知,可测流体的粘滞系数Z,若Z、v、d、d’为已知,可求小球的半径或质量,用油滴法第一次测电子电量,就是用这个方法测油滴质量的.收稿日期:1998-08-19谈谈“放大镜”的教学苏振和(江苏南京市江宁县职教中心　211100)放大镜角放大率定义为:M=TT0df(如图1)·19·。

斯托克斯公式例题∮_C (F · dr) =∬_S (curl F) · dS其中，∮_C 表示曲线C的环流积分，F表示一个三维向量场，dr表示沿曲线C的微小位移，∬_S 表示曲面S的面积分，curl F表示F的旋度，dS表示曲面S的面积元素。

下面我们来看一个斯托克斯公式的例题。

例题：计算向量场F = (2xy, x^2 + z, -yz) 在曲线C : x = t, y = t^2, z = t^3, 0 ≤ t ≤ 1 上的环流积分。

解答：首先我们需要计算向量场F的旋度curl F。

∇ × F = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z) × (2xy, x^2 + z, -yz)= ((∂/∂y)(-yz) - (∂/∂z)(x^2 + z), (∂/∂z)(2xy) - (∂/∂x)(-yz), (∂/∂x)(x^2 + z) - (∂/∂y)(2xy))=(-z,z,2x-2y)所以，向量场F的旋度为curl F = (-z, z, 2x - 2y)。

接下来，我们需要计算曲线C的环流积分∮_C (F · dr)。

首先可以将曲线C的参数方程和向量场F带入到环流积分中。

∮_C (F · dr) = ∫_C (2xy, x^2 + z, -yz) · (dx, dy, dz)= ∫_C (2xy dx + (x^2 + z) dy - yz dz)= ∫_0^1 (2t(t^2) dt + (t^2 + t^3) (2t dt) - (t^2)(t^3)(3t^2 dt))= ∫_0^1 (2t^3 dt + 2t^3 dt + 2t^4 dt - 3t^7 dt)= ∫_0^1 (4t^3 - 3t^7) dt=(t^4-t^8)，_(0到1)=1-1^8-(0-0^8)=1-1+0=0因此，向量场F = (2xy, x^2 + z, -yz) 在曲线C : x = t, y =t^2, z = t^3, 0 ≤ t ≤ 1 上的环流积分为0。