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第三章 样本均数的抽样误差与置信区间 ★ 联系：3.1 样本均数的分布·从同一总体中独立抽取多份样本, 他们的均数常大小不一, 这说明样本均数存在变异。
通过电脑实验来认识样本均数的变异规律一、正态总体样本均数的分布实验 3.1 从正态分布总体抽样的实验 假定正常男子的红血球计数服从正态分布N(4.6602, 0.57462)，随机抽取1000份样本, 每份含n ＝5个个体。
样本均数依然是一个随机变量, 且(1)(2)(3) 样本均数的分布很有规律,围绕着总体均数,中间多、两边少, 左右基本对称(对称、正态？)；(4)(5) 随着样本量的增大,表3.1 从N(4.6602, 0.57462)中随机抽样, 样本量为5, 100份独立 12图3.1 从正态分布总体抽样的实验结果 23.7 4.1 4.5 4.9 5.3 5.7 3.7 4.1 4.5 4.9 5.3 5.7 3.7 4.1 4.5 4.9 5.3 5.7(a) (b) (c)* 由这份样本估计的95%置信区间实际上并未复盖总体均数表3.2 从N(4.6602, 0.57462)中随机抽取1000份独立样本, 其均数的频数分布组段下限(1012 /L) 频数 频率(%) 累积频率(%)3.60- 1 0.1 0.13.80- 5 0.5 0.64.00- 32 3.2 3.84.20- 117 11.7 15.54.40- 229 22.9 38.44.60- 304 30.4 68.84.80- 218 21.8 90.65.00- 76 7.6 98.25.20- 15 1.5 99.75.40- 3 0.3 100.0合计 1000 100.0·理论上可以证明, 从正态分布N(μ, σ2)的总体中随机抽取含量为n 的样本，其样本均数X ～N(μ, σ2 /n)。
·样本均数的标准差习惯上又称为样本均数的标准误(standard error)，简称标准误。
统计学中的抽样误差和误差估计在统计学中，抽样误差和误差估计是两个重要的概念。
抽样误差是指由于从一个总体中选取样本而引起的误差，而误差估计则是通过对样本进行统计推断来估计总体参数的误差。
本文将对这两个概念进行详细的探讨。
一、抽样误差抽样误差是由于样本选择不完全代表总体而导致的误差。
在实际研究中，我们很难对整个总体进行研究，通常只能通过选取样本来进行研究和推论。
然而，由于样本的选取可能带来一定的偏差，这就引入了抽样误差。
抽样误差可以分为两种类型：随机抽样误差和非随机抽样误差。
随机抽样误差是指由于样本本身的随机性导致的误差，而非随机抽样误差则是由于样本选择过程中的偏好或错误引起的误差。
为了减小抽样误差，我们可以采用一些抽样技术和方法，如简单随机抽样、分层抽样和整群抽样等。
这些方法可以使得样本更好地代表总体，从而减小抽样误差的影响。
二、误差估计误差估计是通过对样本的统计推断来对总体参数进行估计的过程。
由于我们无法对总体进行直接观察，所以只能通过样本来对总体进行估计。
然而，由于样本只是总体的一部分，所以估计值往往与总体参数存在差异，即误差。
误差估计是通过样本统计量来估计总体参数，并给出一个区间估计或点估计。
常见的误差估计方法有置信区间估计和均方误差估计。
置信区间估计通过构建一个区间来估计总体参数的真值范围，而均方误差估计则是通过计算样本估计值与总体参数的差异平方和来估计误差的大小。
误差估计可以帮助我们评估样本估计的可靠性和准确性，并提供对总体参数的一定程度的推断。
通过对误差的估计，我们可以对统计结果的可信度进行评估，并对决策或结论的合理性进行判断。
总结：在统计学中，抽样误差和误差估计是两个非常重要的概念。
抽样误差是由于样本选择不完全代表总体而引起的误差，而误差估计则是通过对样本进行统计推断来估计总体参数的误差。
通过减小抽样误差和进行误差估计，我们可以提高统计结果的准确性和可靠性，从而做出更为科学和合理的结论或决策。
抽样误差抽样误差是抽样区间估计中的一个重要的条件。
它是由于随机抽样的偶然因素使样本各单位的结构不足以代表总体各单位的结构，而引起抽样指标和全及指标之间的绝对离差，因此，又称为随机误差。
影响抽样误差的因素有：总体各单位标志值的差异程度；样本的单位数；抽样的方法;抽样调查的组织形式。
我们在进行总体参数的区间估计时，涉及到的抽样误差指标有以下几个：1．抽样平均误差抽样平均误差是反映抽样误差一般水平的指标，它的实质含义是指抽样平均数（或成数）的标准差。
即它反映了抽样指标与总体指标的平均离差程度。
抽样平均误差的作用首先表现在它能够说明样本指标代表性的大小。
平均误差大，说明样本指标对总体指标的代表性低；反之，说明样本指标对总体指标的代表性高。
抽样平均误差的计算：重复抽样： n x σμ= n p p p )1(-=μ不重复抽样： )1(2N n n x -=σμ)1()1(N n n p p p --=μ 2．抽样极限误差抽样极限误差是指用绝对值形式表示的样本指标与总体指标偏差的可允许的最大范围。
它表明被估计的总体指标有希望落在一个以样本指标为基础的可能范围。
它是由抽样指标变动可允许的上限或下限与总体指标之差的绝对值求得的。
由于总体平均数和总体成数是未知的，它要靠实测的抽样平均数成数来估计。
因而抽样极限误差的实际意义是希望总体平均数落在抽样平均数的范围内，总体成数落在抽样成数的范围内。
3．抽样误差的概率度基于理论上的要求，抽样极限误差需要用抽样平均误差x μ或p μ为标准单位来衡量。
即把极限误差 △x 或 △p 相应除以x μ或p μ，得出相对的误差程度t倍，t 称为抽样误差的概率度。
于是有：x x t μ=∆抽样平均误差反映了样本指标与总体指标误差的一般水平，抽样极限误差给出了由样本指标估计总体指标时的一个最大的误差范围，抽样误差的概率度则可以测定抽样估计的可靠程度。
数据统计中的抽样误差与置信区间数据统计是一门研究通过收集、整理和分析数据来获取有关群体特征和趋势的学科。
在进行数据统计时，抽样是一个十分重要的步骤。
然而，由于取样过程的随机性和限制性，抽样误差是无法避免的。
为了对抽样误差做出准确的估计，统计学家们常常使用置信区间来量化结果的可靠性。
本文将详细探讨数据统计中的抽样误差与置信区间的概念和应用。
一、抽样误差的定义和影响因素抽样误差是指由于样本选取的随机性而导致的样本统计量与总体参数之间的差异。
当我们从总体中抽取一个样本并根据样本的统计量来推断总体的参数时，由于样本数量的限制以及样本抽取的随机性，样本统计量与总体参数之间的差异会产生抽样误差。
抽样误差的大小受到多种因素的影响。
首先，样本容量是影响抽样误差大小的重要因素。
样本容量越大，抽样误差越小，因为较大的样本容量能够更准确地代表总体的特征。
其次，总体的变异性也会影响抽样误差的大小。
当总体变异性较大时，即使样本容量很大，抽样误差仍可能较大。
另外，样本的抽取方式和样本的分布特征也会对抽样误差产生影响。
二、置信区间的定义和计算方法置信区间是用于估计总体参数的一种统计技术。
在数据统计中，我们通常无法获得整个总体的数据，因此需要通过样本推断总体参数的取值范围。
置信区间提供了一个参数估计的区间范围，表示我们对总体参数的估计值的不确定性。
置信区间由一个下限和一个上限组成，两个边界分别称为置信下限和置信上限。
在进行置信区间估计时，我们需要选择一个置信水平，通常常用的是95%或99%。
置信水平表示我们在重复抽样的情况下，有多大的可能性得到的置信区间包含了总体参数的真实值。
计算置信区间的方法根据不同的总体参数类型有所不同。
对于均值的置信区间估计，我们可以使用样本均值与样本标准差的组合来计算。
对于比例的置信区间估计，我们可以使用样本比例和二项分布的性质来计算。
三、置信区间的应用置信区间在数据统计中具有广泛的应用。
首先，置信区间可以用于估计总体参数的范围。
抽样与估计知识点抽样与估计是统计学中的重要概念，它们在数据分析和统计推断中起着关键作用。
通过合适的抽样方法和有效的估计技术，我们可以从一个总体中获取有关特征的信息，并对未知参数进行推断。
本文将介绍抽样与估计的基本概念和相关知识点。
一、抽样方法1. 简单随机抽样简单随机抽样是最基本的抽样方法之一。
它要求从总体中随机地选择样本，每个样本有相同的机会被选中。
简单随机抽样可以保证样本的代表性和独立性，但其实施过程相对繁琐。
2. 系统抽样系统抽样是指按照一定的规则和顺序从总体中选择样本。
例如，我们可以按照每隔k个元素选取一个样本的原则进行抽样。
系统抽样是一种简便有效的抽样方法，在满足一定条件下可以得到具有代表性的样本。
3. 分层抽样分层抽样是将总体划分为若干个相似的层次，然后分别从每个层次中进行简单随机抽样或系统抽样。
通过分层抽样，我们可以充分考虑总体的异质性，提高估计的准确性和可靠性。
二、估计方法1. 点估计点估计是根据样本数据，通过某种统计量来估计总体参数的值。
常见的点估计方法包括样本均值估计总体均值、样本比率估计总体比率等。
点估计给出了参数的一个具体值，但其估计结果可能存在偏差和不确定性。
2. 区间估计区间估计是利用抽样数据，通过构造一个置信区间来估计总体参数的范围。
置信区间表示总体参数落在一定范围内的概率，通过选择合适的置信水平和估计方法，我们可以得到较为准确的参数估计结果。
3. 假设检验假设检验是根据样本数据，对总体参数的某个假设进行推断和判断。
通过设置假设和选择适当的检验统计量，我们可以判断总体参数的真实情况。
假设检验可用于检验差异、关联和拟合等方面的假设。
三、误差与效应1. 抽样误差抽样误差是指抽取样本所引入的随机误差，它是由样本本身的随机变动和抽样方法的影响所引起的。
抽样误差是不可避免的，但可以通过增大样本容量和改善抽样方法来减小。
2. 非抽样误差非抽样误差是指除抽样误差外的其他误差源所引起的误差。
（二）区间估计区间估计是指用样本指标、抽样误差和概率所构造的区间以估计总体指标存在的可能范围。
在进行区间估计的时候，根据所给定的条件不同，总体平均数和总体成数的估计有两条模式可供选择： 第一套：给定置信度要求，去推算抽样误差的可能范围。
第二套：根据已给定的抽样误差范围，求出概率保证程度。
1. 总体平均数的区间估计按照第一套模式，根据置信度F t ()的要求，估计极限抽样误差的可能范围)(∆∆∆或p x ，并指出估计区间（置信区间）。
具体步骤是：（1）抽取样本，并根据调查所得的样本单位标志值，计算样本平均数x ；计算样本标准差；在大样本下用以代替总体标准差推算抽样平均误差μ。
（2）根据给定的置信度F t ()的要求，查《正态分布概率表》，求得概率度t 值。
（3）根据概率度t 和抽样平均误差μx 计算极限抽样误差的可能范围μxx t =∆，并据以计算置信区间的上下限。
例14 麦当劳餐馆在7周内抽查49位顾客的消费额（元）如下，求在概率95%的保证下，顾客平均消费额的置信区间。
15 24 38 26 30 42 1830 25 26 34 44 20 3524 26 34 48 18 28 4619 30 36 42 24 32 4536 21 47 26 28 31 4245 36 24 28 27 32 3647 35 22 24 32 46 26第一步：根据样本计算样本平均数和标准差：x x n ==∑32 （元） S n x x ==-∑2945().（元），用样本标准差代替总体标准差σ=945.（元） 样本平均误差 x n μσ===94549135..（元）第二步：根据给定的置信度F t ()=95%，查概率表得t =196. 第三步：根据概率度t 和抽样平均误差推算抽样极限误差的可能范围。
65.235.196.1=⨯==∆μxx t （元） 将μxx ,的值代入区间估计公式 )(65.34)(35.2965.23265.232元元≤≤+≤≤-+≤≤-∆∆X X x X x xx计算结果表明，以95%的概率保证，麦当劳餐馆顾客消费额在29.35~34.65元之间。
临床试验中率差及其置信区间的估计方法(一)临床试验中率差及其置信区间的估计方法1. 引言临床试验中，率差（rate difference）是指两个疗法或处理组之间某种结果的差异。
对于临床研究者来说，准确估计率差及其置信区间是非常重要的，因为它们可以帮助判断新疗法的效果和安全性。
本文将介绍几种常用的率差估计方法及其计算公式。
2. 绝对率差（Absolute Rate Difference）绝对率差是最直接的估计方法，它简单地计算两个组之间的差异。
假设试验中有两个组A和B，分别表示新疗法和对照疗法。
计算绝对率差的公式如下：Absolute Rate Difference = Rate in Group A - Rate in Group B绝对率差的优点是简单易懂，直观性强。
但是，它不考虑样本量以及其方差，因此无法提供一个精确的置信区间估计。
3. 抽样误差法（Sampling Error Method）抽样误差法通过计算每个组的抽样误差，然后将其相加得到率差的估计值。
具体步骤如下：1.对于每个组，计算相应事件的标准误差（standard error），记为SE。
2.计算绝对率差的估计值，记为ADE（Estimated Absolute RateDifference），公式如下：ADE = Rate in Group A - Rate in Group B3.计算绝对率差的标准误差，记为SE(ADE)，公式如下：SE(ADE) = sqrt(SE(A)^2 + SE(B)^2)4.构建95%的置信区间，公式如下：95% Confidence Interval = ADE ± * SE(ADE)抽样误差法考虑了抽样误差及其方差，因此提供了一个更精确的估计结果。
4. 逆方差法（Inverse Variance Method）逆方差法是一种常用的率差估计方法，它结合了样本量和方差的信息。
具体步骤如下：1.对于每个组，计算相应事件的方差，记为Var。
第四章抽样误差与区间估计
(中大.公卫学院.医学统计与流行病学系.骆福添.020-********)
第一节均数的抽样误差
·统计推断：用样本的信息去推断总体特征的方法称为统计推断(statistical inference)。
·抽样误差(sampling error)：样本指标与总体指标(参数)的差别要点：由个体变异引起的、不可避免的、有规律性的
·抽样实验：表4-1，图4-1
表4-1 从总体N(4.83, 0.522)中抽出100个样本(n=10)的
X、S、t值与 的95%的可信区间tCI
tCI
·抽样实验结果提示：
（1）样本均数X 以μ为中心呈正态分布
（2）离样本均数X 的散程度为
·
标准误(standard error)：度量抽样误差大小的指标（统计量），
其实质是样本指标的变异程度，（联系抽样实验：样本均数的标准差称为样本均数的标准误）
可推导出计算公式为：
此公式几乎不实用，不妨称之为理论标准误
用样本S 代替σ，得样本标准误为： ·标准误意义：
（1）标准误小表示样本均数可靠性越大
（2）样本均数结合标准误，对总体作统计推断（后述）
例4-1随机抽取某地200名成年男性的红细胞数均数为4.95×
1012/L ，标准差为0.57×1012/L ，估计其抽样误差。
040.020057
.0===n S S X (1012/L)
所以该样本的抽样误差为0.04×1012/L 。
样本均数 图4-1 100个样本均数的直方图
第二节 均数的抽样误差的分布－t 分布
·标准化变换：()X X σμ
-
·标准化值的分布：
（1）已知总体标准差σ时，()X X u σ
μ
-=，服从标准正态分布 （2）未知总体标准差σ时，)X S X t μ-=，服从t 分布
（3）大样本时，()X S X u μ-≈，近似服从标准正态分布
·t 分布：
ν为自由度(degree of freedom)，每个自由度都对应一条分布曲线
·t 分布的特征：
①以0为中心，左右对称的单峰分布；（外观：…）
②t 分布曲线是一簇曲线，其形态变化与自由度ν的大小有关。
自由度ν越小，则t 值越分散，曲线越低平；自由度ν逐渐增大时，t 分布逐渐逼近u 分布(标准正态分布)；（参数：+ν）
③当ν趋于∞时，t 分布即为u 分布。
（面积：尾巴较大、界值较大） ·t 分布界值表（Page406）
双侧t 0.10(30) ＝ 单侧t 0.05(30) ＝ 1.679
第三节 总体均数的可信区间估计 ·点估计：估计总体参数在某一点上，如μ
ˆ=X ·区间估计·可信度/置信度/把握度：区间估计时，估计正确的概率
约定α＝错误概率，则可信度为（1－α） t4_1
常用可信度为95%，99%；往后仅以95%可信度为例
一、σ未知且n 较小：按t 分布的原理用式(4-4)估计可信区间 图4-2不同自由度下t 分布
例4-2由随机抽查某地30名20岁男大学生身高均数资料得，
X =172.01cm ，S =4.20cm ，试估计该地20岁男大学生身高总体均数的95％可信区间。
本例n =30,则ν＝29，查附表2，t 界值表，双侧t 0.05(29)=2.045，按式(4-4)计算：
)60.173,42.170()2920.4045.201.1722920.4045.201.172(=⨯+⨯-，
所以该地20岁男大学生身高均数的95％可信区间
为170.42cm~173.60cm 。
二、σ未知但n 足够大： 这时t 分布近似服从标准正态分布
例4-3根据例4-1资料，估计该地正常成年男子红细胞数的总体均数的95%可信区间。
本例n =200, X ＝4.95，X S =0.57, 双侧2/05.0u ＝1.96，
本资料的n 较大，所以可按式(4-5)计算：
)03.5,87.4()20057.096.195.420057.096.195.4(=⨯+⨯-，
该地正常成年男性红细胞数的总体均数的95％可信区间为4.87 ×
1012/L ～5.03×1012/L 。
三、σ已知（不论样本大小）：按正态分布原理
·正确与精确问题：
区间越大，可信度越大——正确率越高，精确度越小
区间越小，可信度越小——正确率越低，精确度越大
第四节 方差的抽样误差与可信区间估计（略）
n X X X ,,,21 是正态总体),(2σμN 的一个样本，样本方差为2S ，则
2
2
)1(σS n -～2)1(-n χ 并且分布2)1(-n χ与2σ无关，故有
P(<--2)1(2/1n αχ2
2)1(σS n -<2)1(2/-n αχ)=1-α 由此得，当总体),(
2σμN 的参数2,σμ都为未知时，方差2σ的
100(1－α)％可信区间为
例4-4随机抽查了某地区80名血吸虫病人，测得血红蛋白均数为95g/L ，标准差为15g/L ，试估计总体方差。
本例n=80，2S =225,若求总体方差95％可信区间，05.0=α，
查2χ界值表得63.1062)180(025.0=-χ，15.57
2)180(975.0=-χ，按式(4-7)得 )03.311,70.166(15.57225)180(,63.106225)180(=⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯-⨯- 故该地区血吸虫感染者的血红蛋白的总体方差的点估计值为
225g/L ，95%区间估计值为166.70～311.02g/L 。
第五节 率的抽样误差与可信区间估计
·大样本才计算率
·率的可信区间用正态近似法
一、率的抽样误差
率的抽样误差可用率的标准误来表示
·理论公式：
式中p σ为率的标准误，π为总体率，n 为样本例数。
总体率π在 ·应用公式：
例4-5如抽样调查某地40~60岁的成年男性高血压患病得P =0.1410，n =780，估计抽样误差。
根据式(4-9)，求得 标准误为 0125.0780
)1410.01(1410.0=-=p S ·率的标准误意义：类似均数标准误的意义
二、总体率的可信区间估计
1.查表法：n ≤50，且P 接近0或1的资料
例4-6某新药的毒理研究中，用20只小白鼠作急性毒性实验，死亡3只，估计该药急性致死率的95%可信区间。
解：从附表7查得，在n =20与X =3纵列交叉处的数值为3~38，即该药急性致死率的95%的可信区间为3%~38%。
注意附表7中的X 值只列出了2n X ≤部分，当2
n X >，应以X n -值查表，求总体阴性率的可信区间，然后用1减去阴性率可信区间，即得阳性率的可信区间。
如要估计例4-6资料的生存率的95%可信区间，就不能从附表7中直接查得，应先按例4-6求出急性致死率的95%可信区间，然后计算(1-38%，1-3%)=(62%，97%)，即该药急性毒性实验的生存率95％可信区间为62%~97%。
2.正态近似法
当n 足够大，且nP 和n (1-P )均大于5时
(p S u p ⨯-2/α，p S u p ⨯+2/α) (4-10)
例4-7 例4-5资料，估计该地40～60岁成年男性高血压病患病率。
可信区间计算如下：
(0.1410-1.96⨯0.0125，0.1410＋1.96⨯0.0125)＝(0.1165，0.1655) 所以，该地区40～60岁成年男性高血压患病率的95％可信区间为11.65％～16.55％。
★ 联系：
∙ H 0：μ=μ0
∙ P 值是样本信息支持H 0的概率
∙ P(Z ≥k |μ=μ0)= 在H 0: μ=μ0条件下，误差不小于当前统计量值k 的概率
例如，单侧：P(Z ≥1.96|μ=μ0)=0.025，双侧：P(|Z|≥1.96|μ=μ0) =0.05
假设检验注意事项要点：
（1）可比性：病情是干扰(混杂)因素，例如A 组轻病人多B 组重
病人多，无可比性
（2）P 小≠差别大：
∙“差别大or 疗效大”即离差（|21x x -|）大
∙ “标准误
离差↔P ”，当n 大时，标准误可能很小，即使离差不大，也可能获得很小的P 值
∙ 分类变量资料通常采用比例∕频率进行统计学描述。
预祝。
