第四讲 抽样误差与区间估计的SPSS过程

利用SPSS对期望进行区间估计和单样本假设检验
一、启动SPSS
二、在数据窗中建立数据文件
定义变量x，输入样本观测值。

三、单击Analyze菜单，选择Compare Means中的One-Sample T Test
打开单样本T检验主对话框：
（1）将变量x放入Test栏。

（2）在下方的Test栏中，输入要检验的期望值。

如只对期望进行区间估计，则不必输入待检验期望值μ0。

（3）击活Option框确定检验的显著性水平α的值，系统默认值为0.05，单击continue返回单样本T检验主对话框。

其
他选项默认即可。

（4）单击Ok可得结果清单。

四、（1）当进行区间估计时，可在结果清单中找到置信区间；
（2）当进行假设检验时，可在结果清单中找到Sig的值。

若Sig 大于检验的显著性水平α，则接受假设μ=μ0；若Sig小于或等于检验的显著性水平α，则拒绝假设μ=μ0。

如果小概率事件发生了，即 p<α ,则表明样本 不支持原来的假设，应拒绝原假设而接受备择 假设；如果该事件发生的概率（或可能性）较 大，即 p<α ，则不拒绝原假设。我们用 α 来 控制犯第一类错误的概率，即犯该类错误的概 率最大为α 。
..分割..
4
假设检验的步骤
1. 确定恰当的原假设和备择假设； 2. 选择检验统计量； 3. 计算检验统计量观测值发生的概率，即p 值； 4. 给定显著性水平α，并作出决策。
分析变量中是否含有离群值。可以用箱图来检 查离群值的情况。
可以先计算配对样本的差值变量，然后进行单 样本的T检验。
..分割..
33
动手练习
数据文件GSS2004_Mod.sav中记录了男性或 者女性每周上网浏览网页的时间（变量 WWWHR，单位小时）和每天观看电视的时 间（变量TVHOURS，单位小时）。用本章学 习的技巧分析男性和女性在观看电视的时间和 上网的时间上分别就什么区别。
采用T检验对该饮食方案的效果进行分析。
..分割..
30
配对T检验操作
选择【分析】→【比较均值】→【配对样本T 检验（P）】
..分割..
31
T检验结果解释
..分割..
32
配对T检验注意事项
需要先检查两个样本是否服从正态分布。应用 直方图、Q-Q图或者K-S检验等方法来检验差 值变量的正态性。
两配对样本T检验用来检验来自两配对总体的 均值是否在统计上有显著性差异。常见的配对 设计方法有以下几种:
同一受试对象处理前后的数据，例如服用某种药物 前和服用之后的血压变化；
同一受试对象两个部位的数据， 同一样本用两种方法测量的数据； 配对的两个受试对象分别接受两种处理后的数据。

均数之差可信区间的计算
正常组
肝炎组
1＝？
2＝？ 1- 2 ＝？
均 数:273.18ug/dL 标准差:9.77ug/dL
均 数: 231.86ug/dL 标准差:12.17ug/dL
X1X242.32
合并方差与均数之差的标准误
❖ 合并方差(方差的加权平均)
sC 2 (n11n)1s 12 n2(n 221)s22
❖ 每一自由度下的t分布曲线都有其自身分布规律。t界值 表。
t分布曲线下的面积
f (x)
nn21n1
x2 n
n12
2
-t 0 t
t界值表
单侧：
P(t <-tα,ν)= α或 P(t >tα,ν)= α 双侧：
-t 0 t
P(t <-tα/2,ν)+ P(t >tα/2,ν)= α 即:P(-tα/2,ν<t <tα/2,ν)= 1-α [例] 查t界值表得t值表达式
可信区间的定义
❖ 按一定的概率或可信度(1-α)用一个区间 来估计总体参数所在的范围，该范围通 常称为参数的可信区间或者置信区间 (confidence interval，CI),预先给定的概 率(1-α)称为可信度或者置信度 (confidence level),常取95%或99%。
❖ 可信区间(CL, CU )是一开区间 CL、CU 称 为可信限
❖ 这里的95%，指的是方法本身！而不
是某个区间！ ❖ 总体参数虽未知，但却是固定的值，
而不是随机变量值 。
95%可信区间的含义
按这种方法 构建的可信区 间，理论上平 均每100次，有 95 次 可 以 估 计 到总体参数。

Z X
Z变换
标准正态分布
N（0，12）
均数 X
N(, 2 n)
Z X n
标准正态分布
N（0，12）
Student t分布
t X X ,
S n SX
v n 1 自由度：n-1
2020-11-9
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10
f(t)
ν─>∞(标准正态曲线)
ν=5
ν=1
f (t) ( 1) 2 (1 t 2 / )( 1) 2
0.1580
250
200
150
100
50
0 3.71 3.92 4.12 4.33 4.54 4.74 4.95 5.15 5.36 5.57 5.77 5.98 6.19
均数
n 30; SX 0.0920
感谢你的观看
频数
450 400 350 300 250 200 150 100
50 0 3.71 3.92 4.12 4.33 4.54 4.74 4.95 5.15 5.36 5.57 5.77 5.98 6.19 均数
第四章 抽样误差与区间估计
2020-11-9
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1
第一节 均数的抽样误差与标准误
例如，从总体均数 =4.83×1012/L、标准差 =0.52×1012/L 的正态分布总体
N(4.83, 0.522)中，随机抽取 10 人为一个样本（n=10），并计算该样本的均数、标
准差。如此重复抽取 100 次（ g =100），可得到 100 份样本，可得到 100 对均数
( 2)
-5.0
-4.0
-3.0
-2.0
-1.0
0.0

spss 标准误差SPSS标准误差。

标准误差（Standard Error，SE）是统计学中常用的一个概念，它是用来衡量样本均值与总体均值之间的差异性的一种指标。

在SPSS中，标准误差是一个重要的统计量，它可以帮助我们评估样本均值的可靠性，进而对总体均值进行推断。

本文将对SPSS中标准误差的计算方法和应用进行详细介绍。

一、标准误差的计算方法。

在SPSS中，标准误差的计算方法主要包括标准误差的公式和计算步骤。

标准误差的公式为：SE = SD / √n。

其中，SE表示标准误差，SD表示样本标准差，n表示样本容量。

在SPSS中，可以通过计算得到标准误差，具体步骤如下：1. 打开SPSS软件，并导入需要进行标准误差计算的数据文件；2. 选择“分析”菜单中的“描述统计”选项；3. 在弹出的对话框中，选择需要计算标准误差的变量，并勾选“标准误差”选项；4. 点击“确定”按钮，SPSS将自动计算所选变量的标准误差，并将结果输出到输出窗口中。

二、标准误差的应用。

标准误差在统计学中有着广泛的应用，主要包括以下几个方面：1. 参数估计，在进行参数估计时，标准误差可以帮助我们衡量样本均值与总体均值之间的差异性，从而对总体参数进行估计；2. 假设检验，在进行假设检验时，标准误差可以作为标准差的估计量，用于计算t值和进行显著性检验；3. 可靠性分析，在进行可靠性分析时，标准误差可以帮助我们评估测量工具的稳定性和一致性；4. 抽样分布，在抽样分布中，标准误差可以帮助我们理解样本均值的分布规律，从而进行抽样误差的估计。

三、标准误差的解释。

在SPSS的输出结果中，标准误差通常会以“SE”或“Std. Error”表示。

标准误差的值越小，表示样本均值与总体均值之间的差异性越小，样本均值的可靠性越高；反之，标准误差的值越大，表示样本均值与总体均值之间的差异性越大，样本均值的可靠性越低。

在进行标准误差的解释时，需要注意以下几点：1. 标准误差并不是一个具体的数值，而是一个用来衡量样本均值可靠性的指标；2. 标准误差的大小与样本容量和样本标准差有关，样本容量越大、样本标准差越小，标准误差越小，样本均值的可靠性越高；3. 标准误差的解释需要结合具体的研究背景和研究问题，不能简单地以数值大小来进行评判。

实验5--抽样估计的SPSS应用实验5 抽样估计的SPSS应用5.1实验目的根据随机抽样资料，掌握对总体指标做出具有一定可靠性的估计或推断的SPSS实验，并对实验结果做出解释。

5.2相关知识5.2.1. 抽样方法：重复抽样和不重复抽样。

SPSS软件中所采用的抽样方法为不重复抽样，本实验采用不重复抽样方法。

5.2.2. 抽样组织：按照抽取样本单位时是否遵循随机原则，抽样技术可以分为概率抽样和非概率抽样。

其中，概率抽样又称为随机抽样，即按照随机原则抽取样本。

随机抽样的组织形式有：简单随机抽样、类型抽样、等距抽样、整群抽样等，本实验采用简单随机抽样形式。

5.2.3抽样估计方法：点估计和区间估计1. 点估计：用样本统计量的值直接作为总体参数的估计值。

如用样本均值直接作为总体均值的估计值，用样本比率（或成数）直接作为总体比率（或成数）的估计值，用样本方差直接作为总体方差的估计值等。

常用的点估计方法包括：（1）矩估计法；（2）极大似然估计法（3）稳健估计法，本文采用矩估计法。

2. 区间估计：是在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个范围，所以区间估计相对于点估计更加精确，要优于点估计。

5.3 实验内容5.3.1建立SPSS数据文件5.3.2利用SPSS软件抽取随机样本，抽样比率为30%。

5.3.3运用SPSS软件，对总体均值进行点估计和区间估计。

5.3.4运用SPSS软件，对各个班级成绩的均值进行点估计和区间估计5.3.5 运用SPSS软件，对总体比率（成数）进行点估计和区间估计。

5.3.6 撰写实验报告。

5.4 实验要求5.4.1准备实验数据2009级财管专业111名学生的概率论课程成绩，见“表5-1 2009级财管学生概率课成绩.xls”。

5.4.2 完成实验任务，对实验结果做出简要分析。

1．依据样本学生的概率论成绩，采用点估计和区间估计的方法，推断学生总体概率论课程的平均成绩，置信水平为90%。

2．依据样本信息，推断该课程成绩80分及以上的学生比率，置信水平为90%。

x ± t 0.01(ν ) S x
�
实际中以S x 估计σ x,简记为: x ± 1.96 S x
:指这个范围内包括总体均数μ的可能性有95%. 指这个范围内包括总体均数μ的可能性有95%. 用各样本计算得到的可信区间并不是固定不变. 若仅知样本均数及标准误的估计值,且样本较小 时,用标准误的估计值来代替标准误,误差较大, 需要改用t 需要改用t值来推算可信区间.
均数标准误的计算:
σx = σ
n 实际应用中,总体标准差未知,常用样本标准差来估计均数抽样误差的估计值为: SX = S n
为了说误的数值(常为标准误的估计值),表示为:
x ± Sx
第2节 总体均数的可信区间 与t分布
一,大样本资料均数的可信区间 从均数为μ 标准差为σ 从均数为μ,标准差为σ的正态总体中,随机抽取 许多个样本量为n 许多个样本量为n的样本,则这样本均数近似地以 总体均数为中心呈正态分布.故95%的样本均数在 总体均数为中心呈正态分布.故95%的样本均数在 的范围内.
第四章 均数的抽样误差 与t分布
第1节 均数的抽样误差
一,抽样与抽样误差 抽样:从总体中随机抽取样本进行研究来 推论总体. 抽样误差sampling error: 抽样误差sampling error:由个体变异产生的,
抽样造成的样本统计量与总体参数间差异,称～. 抽样研究中不可避免,但可估计其大小.而系统 误差可以避免.
degree of freedom: ν=n-1 (读:nu) =n- (读:nu)
t分布曲线不是一条曲线而是一簇曲线 t 分布曲线与横轴间的面积有规律: 两侧外部面积为5%及1%的界限的t值常用t 两侧外部面积为5%及1%的界限的t值常用t0.05(ν), t0.01(ν)表示 自由度趋于∞时,t分布趋向于均数为0 自由度趋于∞时,t分布趋向于均数为0,标准差为 1的标准正态分布.一般情况下t分布曲线较正态 的标准正态分布.一般情况下t 分布低平,因而t 分布低平,因而t0.05(ν)≥1.96, t0.01(ν)≥2.58 1.96, t值与P值呈反向关系:t越大,则P越小;反之亦 值与P值呈反向关系:t越大,则P 然.|t|≥ 然.|t|≥ t0.05(ν),P≤0.05

若 X ~ N(μ,σ2) , 则
X ~ N (0,1)。
因 X ~ N(, X 2 ),
则
u X ~ N (0,1)
。
X
19 魏永越
t 分布的概念
实际工作中，总体方差未知。所以，用样本
方差代替总体方差， 且当样本含量较小时
X 的分布如何？
s X
20 魏永越
t分布起源
魏永越
http://www.economics.soton.ac. uk/staff/aldrich/fisherguide/raffra21 me.htm
x = 118.4cm
S =4.41cm
3
魏永越
μ＝119.41cm σ= 4.38cm
X 118.21cm s=4.45cm
X 120.18cm s=4.90cm
X 117.78cm s=3.98cm
X 120.81cm s=4.33cm
X 119.87m s=5.15cm
4
导致总体均数与样本均数、样本均数之间有 差别的可能原因是？
27 魏永越
从连续性变量X中反复随机抽样，随样本含量n增
大，x 将趋于（ ）
s x
A X的原始分布
B 正态分布
C 均数的抽样分布
D 标准正态分布
28 魏永越
下面关于标准误的四种说法中，哪一种最不 正确（ ）
A 标准误是样本统计量的标准差 B 标准误反映了样本统计量的变异 C 标准误反映了总体参数的变异 D 标准误反映了抽样误差的大小
Sampling Distribution of sample means
Sampling Distribution
of sample means 14

抽样误差 中心极限定理 标准误 抽样分布 参数估计
standard
标准误(standard error)
样本统计量的标准差称为标准误。样本均数的标准 差称为均数的标准误。
均数的标准误表示样本均数的变异度。
104 105 90 106 101.2 6.4
90
106 1.2
104 92 103 83 95.6 8.6
83
104 -4.4
99 107 94 97 99.4 4.9
94
107 -0.6
100 103 96 92 97.9 4.1
92
103 -2.1
92 97 94 94 94.3 1.9
92
2.82 10 1
9
结论 1
各样本均数未必等于总体均数； 样本均数间存在差异；
10
由抽样实验所得的1000个样本作出其均数 分布直方图。曲线是对抽样得到的1000个X 数 据拟合的分布曲线。
11
.15
样本均数服从正态分布
.1
.05
0
正态总体分布
80.0
90.0
Samp1l0e0.M0ean
Case 2:
从非正态(nonnormal)分布总体(均数为，方差 为2)中随机抽样(每个样本的含量为n)，可得 无限多个样本，每个样本计算样本均数，则只要 样本含量足够大(n>50),样本均数也近似服从正 态分布。
■样本均数的均数为 μ;
■样本均数的标准差为 x

n
。
21
3.标准误
error
15
2.中心极限定理
theorem
central limit
抽样误差 中心极限定理 标准误 抽样分布 参数估计

④样本均数的标准差为： x / n
15
中心极限定理和正态分布推理
中心极限定理：也称大数定理，从正态分布 N (, 2 )
总体中以固定 n 抽样时，样本均数 X 的分布仍服从正态
分布 N(, 2 ) 。 X
X
~
N
,
2
n
正态分布推理：当样本含量 n 足够大时，即使从偏态分
布总体中以固定 n 抽样，其样本均数的分布也近似服从
在实际工作中，可通过适当增加样本含量和 减少观察值的离散程度（选择同质性较好的 样本）来减少抽样误差。
18
§2 t 分布和总体均数的估计
一、t分布的概念
为了应用方便，常将正态变量进行变换，即，
u X
可将一般的正态分布变换为标准正态分布。
根据中心极限定理，在正态分布总体N (, 2 ) 中以固定
样本个数
4500 4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500
0
149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161
样本均数(cm) 从正态总体N(1554,53)中以n=30抽样10000次
样本均数的分布
从正态总体N(155.4,5.3)中以样本量n=30抽样10000次样本均数 X 的描述结果
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
图 6 从正态总体 N（，2）中 n=10 抽样时的 t 分布
2000
1800
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
-6.5
-6

数据的抽样误差与置信区间估计的实际问题数据的抽样误差与置信区间估计是统计学中的两个重要概念，它们可以帮助我们更好地理解数据收集和分析中的不确定性。

在实际问题中，正确地理解和应用这些概念对于数据分析的准确性和可靠性至关重要。

一、数据的抽样误差抽样误差是指在得到一个样本之后，样本的特征与总体特征之间的差异。

由于我们无法对整个总体进行调查，所以只能通过抽取样本进行研究。

然而，由于样本的随机性质，抽取到的样本可能无法完全代表总体。

因此，抽样误差是不可避免的。

为了减小抽样误差，我们可以采用随机抽样的方法来选择样本。

随机抽样可以确保每个个体都有相同的机会被选入样本。

此外，大样本量能够降低抽样误差的影响，因为它能更好地代表总体的特征。

二、置信区间估计置信区间估计是一种统计方法，用于估计总体参数的范围。

它能够用一个区间给出总体参数的估计结果，同时还给出了这个估计结果的可信程度。

置信区间由一个下限和上限组成。

置信区间估计的步骤通常如下：1. 选择一个适当的置信水平，比如95%。

2. 计算样本得到的统计量，比如均值或比例。

3. 根据样本大小和抽样分布的特征，确定标准误差。

4. 根据置信水平和样本的特征，计算置信区间。

置信区间估计告诉我们，如果我们再次从总体中抽取样本，有95%的可能性，样本均值会落在置信区间内。

三、实际问题中的应用抽样误差和置信区间估计在许多实际问题中都有着重要的应用。

例如，在市场调查中，我们可能通过问卷调查的方式来了解消费者对某个产品的满意度。

由于调查样本是从总体中选取的，所以抽样误差是存在的。

通过计算置信区间，我们可以对所有消费者的满意度做出估计，并给出这个估计结果的置信程度。

在医学研究中，抽样误差和置信区间估计也十分重要。

例如，在临床试验中，我们可能需要比较两种不同药物对某种疾病的治疗效果。

通过对两个样本的均值进行置信区间估计，我们可以确定这两种药物的效果是否有显著差异，并根据置信区间的范围来做出决策。

0.15
0.10
0.05 0.32
0.48
0.64
0.80
抽样分布
0.30
0.25
s 的分布
0.20
0.15
0.10
0.05
2600
3400
4200
s2 服从卡方分布，但其分布函 数不便于用数学式直接表达。可以 得出与其相联系的一个服从自由度 为 n-1的卡方分布的统计量。
若总体X～N, 2 ,
自正态总体抽样时，总体均值与总体中位数相同，而中位数的 标准误差大约比均值的标准误差大25%。因此，样本均值更有效。
x 的抽样分布
M e的抽样分布
____
X
有效性
一致性
如果 lim
P
1(为任意小数，n
为样本容量）
n
则称 为的满足一致性标准的点估计量
ˆ1的抽样分布 ˆ2的抽样分布
x s 2 p 均为一致性估计量
参数 估计
用SPSS作参数估计
抽样与抽样分布 点 估 计 区间估计
参数 估计
抽样与抽样分布
抽样方法 抽样分布 样本容量与抽样分布
总体容量（population size） N=45
抽样方法
总体（population）
为推断总体的某些特征，而 从总体中按一定方法抽取若干个 体，这一过程称为抽样，所抽取 的个体称为样本。
D 1 n
n xi i1
1 n2
n
D
i 1
xi
2 n
抽样分布
若总体X～N , 2 , x1, x2 , xn 是取自总体的随机样本，
x 1 n
n
xi
i 1
，则
x～

(2)指定检验值: 在test后的框中输入检验值
• 应用举例
人均住房面积的平均值是否为20平方米 注意书写步骤
6 - 34
精品教材
统计学
SPSS单样本t检验
(3)option选项:
Missing values: 缺失值的处理(单样本检验时以下选项没 有差别)
exclude cases analysis by analysis:当分析时 涉及到有缺失值变量时再剔除相应的个案
6 -5
精品教材
统计学
三种不同性质的分布
总体
•抽样分布
样 本
6 -6
计算样本统计量
例如：样本均值 、比例、方差
精品教材
统计学
样本均值的抽样分布
• 容量相同的所有可能样本的样本均值的概率分布
• 推断总体均值的理论基础
【例】设一个总体，含有4个元素(个体) ，即总体单位数N=4。4
个个体分别为x1=1、x2=2、x3=3 、x4=4 。总体的均值、方 差及分布如下
基本信念：利用小概率原理进行反证明。小概率事 件在一次实验中不可能发生。
例如：对人民大学男生平均身高进行推断
H0：平均身高为173 样本平均身高为178，由于存在抽样误差，不能直接拒绝H0。而需要考
虑：在H0成立的条件下，一次抽样得到平均身高为178的可能性有多大。 如果可能性较大，是个大概率事件（与相比较），则不能认为H0不正 确。否则，如果可能性较小，是个小概率事件，但确实发生了 ，则只能认为H0不正确。
总体分布
6 - 11
n=4 x 5
n =16
x 2.5
x 50
X
抽样分布
精品教材
统计学
样本均值的抽样分布

X
t 3.056
df 10
Sig. (2-tailed) .012
Mean Difference .9836
SPSS统计分析-07选修
练习4-3 已知某地区12岁男孩平均身高为 142.3cm。1973年某市测量120名12岁男孩身高资 料，（数据文件：练习data4-3，）分析该市12 岁男孩的身高与该地区12岁男孩的平均身高有无 显著性差异？
单击Analyze/Compare Means/IndependentSamples T Test打开独立样本t检验对话框，选 择计算。
SPSS统计分析-07选修
SPSS统计分析-07选修
独立样本t检验对话框
选择检验变量
选择总体标志变 量，即分组变量
定义分组标志
分别输入两个，对应 两个不同总体的变量值
F age Equal variances assumed Equal variances nБайду номын сангаасt assumed .917
Sig. .348
t -1.142 -1.150
df 23 22.792
Sig. (2-tailed) .265 .262
Mean Difference -4.76 -4.76
SPSS统计分析-07选修
2、σ未知但样本容量n足够大（n 50）时 置信度为 1 总体均数的双侧置信区间为:
( X u / 2 S n , X u / 2 S n )
X u / 2 S n
( X u / 2 S X , X u / 2 S X )
95%的双侧置信区间： X 1.96 S X , X 1.96 S X 99%的双侧置信区间： X 2.58S X , X 2.58 S X

第4章抽样分布与参数估计4.1 复习笔记一、抽样分布（一）抽样分布与抽样误差估计1．抽样分布的定义（1）定义抽样分布是指样本统计量的概率分布。

如果用字母x指代某一统计量，抽样分布就是指X的概率分布，即样本统计量的概率分布。

（2）形态抽样分布的形态因统计量的不同而不同，常见的有正态分布、t分布、F分布、x2分布等。

2．抽样误差（1）含义样本统计量的标准差反映了抽样过程中随机误差的大小，即抽样误差的大小。

此类标准差反映的是样本统计量之间的差异性，统计学将其称为“标准误差”，简称“标准误”。

（2）性质标准误越小，抽样误差越小，用该样本统计量来估计或推断相应总体参数的可靠性就越高。

（二）样本平均数的抽样分布1．抽样分布的影响因素（1）总体的分布形态（是否正态分布）；（2）样本容量n的大小（大样本或小样本）；（3）要计算的统计量类型（平均数或方差／标准差等）。

2．正态分布的条件当下列条件之一成立时，的抽样分布为正态或趋于正态：（1）原数据总体为正态分布，且总体方差δ2已知此时不管样本容量n是大还是小，的抽样分布都为正态：①样本平均数的平均数；②样本平均数的标准差；③正态分布的转化可通过公式4-1将样本平均数的抽样分布转换为标准正态分布即Z分布。

（2）原数据总体为正态分布，但总体方差δ2未知此时平均数的抽样分布不完全符合正态分布。

但样本容量足够大（一般n>30）时，该分布趋于正态，可将其看作正态分布：①样本平均数的标准误②正态分布的转化可运用公式4-1进行转化。

（3）原数据总体为非正态分布此时只有当样本容量足够大（一般n>30）时，平均数的抽样分布才会趋于正态。

①样本平均数的平均数a．，（未知的情况）；b．，（未知的情况，用样本的标准差估计标准误）。

②正态分布的转化可运用公式4-1进行转化。

（三）t分布1．t分布的概述t分布是戈赛特于1908年提出来的。

当原始数据总体为正态分布，但δ2未知时，的抽样分布为t分布。

区间估计
【例4.1】 随机抽取某地25名正常成年 男子，测得该样本的脉搏均数为73.6 次/分，标准差为6.5次/分，估计正常 成年男子脉搏总体均数。
区间估计的实质
❖ 假设某个总体的均数为µ ，需要找到两 个量A和B，使得在一个比较高的可信 度下(如95%)，区间(A,B)能包含µ 。 即
P(A<µ <B)=0.95
❖ 样本统计量的标准差反映了从某个总体中随机 抽样所得样本之均数分布的离散程度。
标准误的计算
❖ 计算公式为 X
n
❖ 其中，σ为总体标准差，n为抽样的样
本例数
❖ 在研究工作时，由于总体标准差常常 未知，可以利用样本标准差近似估计
sX
s n
标准误的意义
❖ 反映了样本统计量（样本均数，样本率）分布的 离散程度，体现了抽样误差的大小。
❖ 均数之差的标准误
s X1X2
sC2
(
1 n1
1 n2
)
与均数之差有关的抽样分布
“均数之差”与“均数之差的标准误”之 比，
服从自由度 = n1+n2 -2的 t 分布。
t X1 X2 sX1X2
~ tn1n22
样本含量较t 大X时1 ，X服2 从~标N准(正0,1态) 分布。
sX1X2
计算
sC2
11 9.77 2 12 12.17 2 12 13 2
122.93
11
s X 1 X 2
122.93 ( ) 4.439 12 13
双 侧 t0.05,23 2.069
(273.18 231.86) 2.069 4.439 32.14, 50.50
可信区间的两个要素
抽样研究的目的是要用样本信息推断总 体特征，称统计推断

统计 推断
知
风险
3
抽样误差
假如事先知道某地七岁男童的平均身高为119.41cm。为了 估计七岁男童的平均身高（总体均数），研究者从所有符 合要求的七岁男童中每次抽取100人，共计抽取了三次。
μ＝119.41cm σ= 4.38cm
X 118.21cm s=4.45cm
X 120.18cm s=4.90cm
设从正态分布N(，2)中随机抽取含量为n的样本，
样本均数和标准差分别为 X和s，设：
t X
s X
则t值服从自由度为n-1的t分布(t-distribution)。
记为：
X
t s
~ t(n1)
X
31
t分布图形
f(t)
0.3
=∞(标准正态曲线) =5 =1
0.2
X s

值的
分布(n=4)
X
.35
均数为 0.05696
标准差为 1.55827
.3
.25
Fraction
.2
.15
.1
.05
0
-8 -6 -4 -2
0
2
4
6
8
t
29
t 分布的概念
用样本方差代替总体方差，此时
X
s X
不服从正态分布。
30
t 分布的概念
1908 年 ， W.S.Gosset (1876-1937) 以 笔 名 Student发表了著名的t分布，证明了：
X 120.81cm s=4.33cm
4
抽样误差
sampling error，sampling variability 由抽样引起的样本统计量与总体参数间的 差别。 原因：个体变异＋抽样 表现：