医学统计学：04 抽样误差与区间估计

统计学中的抽样误差和误差估计在统计学中，抽样误差和误差估计是两个重要的概念。

抽样误差是指由于从一个总体中选取样本而引起的误差，而误差估计则是通过对样本进行统计推断来估计总体参数的误差。

本文将对这两个概念进行详细的探讨。

一、抽样误差抽样误差是由于样本选择不完全代表总体而导致的误差。

在实际研究中，我们很难对整个总体进行研究，通常只能通过选取样本来进行研究和推论。

然而，由于样本的选取可能带来一定的偏差，这就引入了抽样误差。

抽样误差可以分为两种类型：随机抽样误差和非随机抽样误差。

随机抽样误差是指由于样本本身的随机性导致的误差，而非随机抽样误差则是由于样本选择过程中的偏好或错误引起的误差。

为了减小抽样误差，我们可以采用一些抽样技术和方法，如简单随机抽样、分层抽样和整群抽样等。

这些方法可以使得样本更好地代表总体，从而减小抽样误差的影响。

二、误差估计误差估计是通过对样本的统计推断来对总体参数进行估计的过程。

由于我们无法对总体进行直接观察，所以只能通过样本来对总体进行估计。

然而，由于样本只是总体的一部分，所以估计值往往与总体参数存在差异，即误差。

误差估计是通过样本统计量来估计总体参数，并给出一个区间估计或点估计。

常见的误差估计方法有置信区间估计和均方误差估计。

置信区间估计通过构建一个区间来估计总体参数的真值范围，而均方误差估计则是通过计算样本估计值与总体参数的差异平方和来估计误差的大小。

误差估计可以帮助我们评估样本估计的可靠性和准确性，并提供对总体参数的一定程度的推断。

通过对误差的估计，我们可以对统计结果的可信度进行评估，并对决策或结论的合理性进行判断。

总结：在统计学中，抽样误差和误差估计是两个非常重要的概念。

抽样误差是由于样本选择不完全代表总体而引起的误差，而误差估计则是通过对样本进行统计推断来估计总体参数的误差。

通过减小抽样误差和进行误差估计，我们可以提高统计结果的准确性和可靠性，从而做出更为科学和合理的结论或决策。

概率与统计中的抽样误差与置信区间在概率与统计学中，抽样误差和置信区间是两个重要的概念。

抽样误差是指由于采样过程中的随机性所导致的估计值与真实值之间的差异。

而置信区间则是用于估计参数真值的一种统计区间。

一、抽样误差在统计学中，我们往往无法对总体所有个体进行观察和测量，而是通过从总体中抽取样本来进行研究。

抽样误差是由于所选样本的随机性而引起的估计误差。

当我们从总体中抽取不同的样本时，得到的样本统计量（如样本均值、样本比例）会有所不同，这种差异就是抽样误差。

抽样误差是概率性的，它会导致估计值偏离真实值。

为了评估估计值的精确性，我们需要考虑抽样误差的大小。

通常，抽样误差的大小与样本容量相关，样本容量越大，抽样误差越小，估计值越接近真实值。

二、置信区间抽样误差与置信区间密切相关。

在统计推断中，当我们根据样本统计量对总体参数（如总体均值、总体比例）进行估计时，往往需要给出一个估计值的范围，这个范围就是置信区间。

置信区间提供了一个估计值的范围，表示我们对真实参数值的信心程度。

一般来说，置信区间具有两个边界，下界和上界。

置信区间的计算需要考虑样本容量、抽样误差和置信水平等因素。

置信水平表示我们对估计值落在置信区间内的程度的信心。

常用的置信水平有95%和99%。

以估计总体均值为例，假设我们从总体中抽取了一个样本，计算得到样本均值为x，样本标准差为s，样本容量为n。

若假设总体服从正态分布或样本容量较大（满足中心极限定理），那么我们可以使用正态分布来计算置信区间。

根据置信水平和抽样误差，我们可以通过公式计算出置信区间的下界和上界。

三、示例假设我们想要估计某城市成年人的平均身高。

我们从该城市中随机抽取了100个成年人进行测量，得到样本均值为170cm，样本标准差为5cm。

我们希望以95%的置信水平估计该城市成年人的平均身高。

根据样本数据和公式，可以计算出置信区间的下界和上界：下界 = 样本均值 - 抽样误差上界 = 样本均值 + 抽样误差首先，计算抽样误差：抽样误差 = 1.96 * （样本标准差/ √样本容量）然后，代入样本数据计算下界和上界：下界 = 170 - 1.96 * （5 / √100）上界 = 170 + 1.96 * （5 / √100）计算结果为：下界≈ 168.04cm上界≈ 171.96cm因此，我们可以以95%的置信水平得出结论，该城市成年人的平均身高的置信区间为（168.04cm，171.96cm）。

●【抽样误差】由抽样引起的样本统计量与总体参数间的差别。

原因：个体变异＋抽样 表现：样本统计量与总体参数间的差别、不同样本统计量间的差别。

抽样误差是有规律的 ●【可信区间CI 】区间估计是按一定的概率或者可信度1-α，用一个区间估计总体参数所在的范围CI ，这个范围成为可信度为1-α的可信区间，置信区间。

影响：可信度、个体差异、样本含量 两要素：可信度1-α、可靠性；精确性可信度为95%的CI 涵义：每100个样本计算95%的CI ，平均有95%的CI 包含了总体参数。

95%，指方法本身，而非某个区间。

该区间包含总体参数，可信度为95%●【总体和样本】根据研究目的确定的同质的所有观察单位的某种变量值的集合。

样本是指在研究总体中随机抽出一部分个体进行观察或测量，这些个体的测量值构成的集 ●【参数和统计量】描述总体特征的指标，不变的，固定的，未知的统计量：描述样本特征的指标，变化的，已知的，有误差的●【概率和小概率原理】描述某随机事件发生可能性大小的度量，记做P ，取值0＜P ＜1 小概率原理：P ≤0.05，该事件发生的可能性很小，进而认为在一次抽样中不可能发生 ●【随机】机会均等、随机抽样、随机分组、实验顺序随机●【变异系数CV 】离散系数，标准差S 、均数之比。

用来衡量单位不同的多组资料的变异度、比较均数相差悬殊的多组资料的变异度●【相关系数】两个有直线关系的变量间相关关系的密切程度与相关方向的指标，记做r ，-1≤r ≤1，正、负相关，其绝对值越大表示关系越密切，越接近于0相关越不密切 ●【回归系数】b 回归直线的斜率,自变量增加一个单位，应变量的平均改变量●【标准误】样本统计量的标准差，衡量抽样误差的大小 ●【偏倚】实验中某些非实验因素的干扰所形成的系统误差，歪曲了处理因素的真实效应 ●【一类错误、二类错误】【检验效能】1－β 就是对真实的H 1作出肯定结论之概率●【假设检验中的P 值】从 H0 总体中随机获得等于或大于现有统计量值的概率。

数据的抽样误差与置信区间估计在统计学中，数据的抽样误差是指由于从总体中抽取样本，而使得样本估计值与总体真实值之间存在差异的问题。

为了解决这个问题，统计学家们引入了置信区间估计的概念，用于对总体参数进行估计，并给出一个具有一定置信水平的区间。

一、抽样误差的产生原因抽样误差是由于从总体中随机抽取样本导致的。

在理想情况下，如果我们能够对总体中每一个个体进行测量，那么得到的结果将是总体参数的准确值。

然而，由于时间、成本和其他限制因素的存在，我们通常只能从总体中选取一部分样本进行研究。

这样一来，样本的结果就可能与总体的真实情况存在差异，这就是抽样误差的产生原因。

二、置信区间估计的概念为了解决数据的抽样误差问题，统计学家们引入了置信区间估计的方法。

置信区间是对总体参数进行估计的一种方法，其中包含了总体参数的真实值可能位于其内的一定区间。

这个区间称为置信区间。

置信区间估计的核心思想是通过对样本数据的分析，构建一个区间，该区间有一定的置信水平包含了总体参数的真实值。

例如，我们可以说我们对于总体平均值有95%的置信水平，它位于构建的置信区间内。

置信水平通常使用95%或者99%。

三、置信区间估计的计算方法置信区间估计的计算方法主要有两种：参数估计法和非参数估计法。

参数估计法是在假设总体分布形式已知或者对其做出某种特定假设的前提下，通过对样本数据进行参数估计，建立置信区间。

常见的参数估计法有Z检验和T检验。

非参数估计法则是在对总体分布形式不做任何假设的情况下，通过样本数据的排序、秩次和分布特征等进行推断，建立置信区间。

四、置信区间估计的应用置信区间估计在实际应用中非常广泛。

它可以用于估计总体参数的范围，帮助我们对样本结果进行合理解释，并提供决策依据。

在市场调研中，我们可以利用置信区间估计来估计消费者对某个产品的满意度范围，并据此调整和改进产品。

在医学研究中，置信区间估计可以帮助我们估计某种药物的有效性，并进行相应的临床试验和改良。

（二）区间估计区间估计是指用样本指标、抽样误差和概率所构造的区间以估计总体指标存在的可能范围。

在进行区间估计的时候，根据所给定的条件不同，总体平均数和总体成数的估计有两条模式可供选择： 第一套：给定置信度要求，去推算抽样误差的可能范围。

第二套：根据已给定的抽样误差范围，求出概率保证程度。

1. 总体平均数的区间估计按照第一套模式，根据置信度F t ()的要求，估计极限抽样误差的可能范围)(∆∆∆或p x ，并指出估计区间（置信区间）。

具体步骤是：（1）抽取样本，并根据调查所得的样本单位标志值，计算样本平均数x ；计算样本标准差；在大样本下用以代替总体标准差推算抽样平均误差μ。

（2）根据给定的置信度F t ()的要求，查《正态分布概率表》，求得概率度t 值。

（3）根据概率度t 和抽样平均误差μx 计算极限抽样误差的可能范围μxx t =∆，并据以计算置信区间的上下限。

例14 麦当劳餐馆在7周内抽查49位顾客的消费额（元）如下，求在概率95%的保证下，顾客平均消费额的置信区间。

15 24 38 26 30 42 1830 25 26 34 44 20 3524 26 34 48 18 28 4619 30 36 42 24 32 4536 21 47 26 28 31 4245 36 24 28 27 32 3647 35 22 24 32 46 26第一步：根据样本计算样本平均数和标准差：x x n ==∑32 （元） S n x x ==-∑2945().（元），用样本标准差代替总体标准差σ=945.（元） 样本平均误差 x n μσ===94549135..（元）第二步：根据给定的置信度F t ()=95%，查概率表得t =196. 第三步：根据概率度t 和抽样平均误差推算抽样极限误差的可能范围。

65.235.196.1=⨯==∆μxx t （元） 将μxx ,的值代入区间估计公式 )(65.34)(35.2965.23265.232元元≤≤+≤≤-+≤≤-∆∆X X x X x xx计算结果表明，以95%的概率保证，麦当劳餐馆顾客消费额在29.35~34.65元之间。