二次函数2抛物线

二次函数与抛物线二次函数与抛物线是高中数学中一个重要的概念。

在数学中，二次函数是一种形式为 f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b、c 是常数，并且a ≠ 0。

而抛物线则是二次函数图像的一种特殊形式，具有对称轴。

本文将就二次函数和抛物线的定义、性质以及应用进行探讨。

一、二次函数的定义和性质二次函数是一种函数形式简单但却非常重要的数学模型。

二次函数的定义如上所述，其中 a、b、c 是常数，a ≠ 0。

我们来看一下二次函数的一些性质。

1. 对称性：二次函数的图像关于直线 x = -b/2a 对称。

这条对称轴也被称为二次函数的轴线。

轴线将二次函数图像分为两部分，左右对称。

2. 函数值：对于给定的 x 值，代入二次函数的公式 f(x) 中可以得到相应的 y 值。

二次函数的函数值随 x 值的变化而变化。

3. 零点和顶点：二次函数与 x 轴相交的点称为零点，即使得 f(x) = 0 的点。

而二次函数的顶点则是图像的最高或最低点。

顶点的 x 坐标可通过公式 x = -b/2a 计算得到。

二、抛物线的定义和性质抛物线是二次函数图像的一种特殊形式，也是二次函数的一种特殊情况。

抛物线的定义可简单描述为一条对称轴，两侧开口且形状如同一个“U”。

1. 开口方向：抛物线开口的方向由二次函数中的系数 a 决定。

当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。

2. 顶点坐标：抛物线的顶点坐标即为二次函数的顶点坐标，其 x 坐标可通过公式 x = -b/2a 计算得到，y 坐标则为顶点在二次函数中的函数值。

3. 对称性：抛物线是关于轴线 x = -b/2a 对称的。

轴线将抛物线图像分为两部分，左右对称。

三、二次函数与抛物线的应用二次函数和抛物线在现实生活中具有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 物理学中的自由落体：当一个物体自由落体时，其下落的高度和时间之间的关系可以用二次函数来描述。

二次函数与抛物线的性质二次函数和抛物线是数学中非常重要的概念，它们在代数学和多个其他领域中都发挥着重要作用。

本文将探讨二次函数和抛物线的性质，包括定义、图像、方程、顶点、对称轴、焦点、直线的切线以及解析几何应用等内容。

一、二次函数的定义二次函数是一个以x的二次方为最高次数的代数函数，其一般形式为f(x)=ax^2+bx+c，其中a、b、c是实数且a不等于零。

二次函数的图像是一条抛物线。

二、抛物线的定义抛物线是一个平面曲线，其形状类似于抛物体的横截面，因此得名。

抛物线可以通过平移和缩放二次函数的图像得到，具有对称性。

三、二次函数和抛物线的图像二次函数的图像是一条平滑的曲线，而抛物线则是曲线的一种特殊形式。

它们都具有对称性，即关于y轴或x轴对称。

四、二次函数和抛物线的方程二次函数的一般方程为f(x)=ax^2+bx+c，其中a、b、c是实数。

抛物线的一般方程为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是实数。

五、二次函数和抛物线的顶点二次函数的顶点是图像的最高点或最低点，可以通过解析几何的方法求解。

抛物线的顶点是曲线的转折点，也就是对称轴与抛物线的交点。

六、二次函数和抛物线的对称轴二次函数的对称轴是图像的对称轴，也就是通过顶点并垂直于x轴的一条直线。

抛物线的对称轴是图像的对称轴，也就是通过顶点的垂直于x轴的一条直线。

七、二次函数和抛物线的焦点焦点是一条抛物线上到定点距离与到定直线距离之比为常数的点。

对于二次函数和抛物线来说，焦点的坐标可以通过求解方程得到。

八、二次函数和抛物线的切线二次函数和抛物线的切线是曲线在某点的切线，它与曲线仅有一个交点。

切线的斜率可以通过求导得到。

九、解析几何应用二次函数和抛物线在解析几何中有广泛的应用。

例如，通过研究二次函数和抛物线的方程、顶点、对称轴以及切线等性质，可以帮助解决与曲线相关的几何问题。

综上所述，二次函数和抛物线是数学中重要的概念，其性质包括定义、图像、方程、顶点、对称轴、焦点、切线等。

二次函数知识回顾1、二次函数的三种形式（1）一般式：y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0，a 、b 、c 均为常数）；（2）顶点式：y=a(x －h)2＋k [a ≠0，对称轴为x=h,（h ，k ）为顶点坐标]；（3）交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2) [a ≠0；(x 1，0)和(x 2，0)为抛物线与x 轴的两个交点]。

注：这种形式可以作为了解内容，重点是前两种。

2、二次函数的性质：（1）、二次函数的图象：总平行于y=ax 2的一条抛物线。

（2）、开口方向：a>0， 抛物线开口向上，并向上无限延伸。

a<0， 抛物线开口向下，并向下无限延伸； 开口大小由a 决定，a 大开口小，a 小开口大。

（3）、对称轴：x=ab 2- （4）、顶点坐标：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22。

（5）、抛物线与坐标轴的交点坐标：可总结为公式，也可按照与y 轴有交点x=0，与x 轴有交点y=0 ,然后 解方程即可。

（6）、增减性：以对称轴为界限，左右两部分增减性不相同，增减性可看右方箭头。

3、最值（1）a>0时，当4ab 4ac y 22-=-=最小时，a b x （2）a<0时，当4ab -4ac y 22=-=最大时，a b x 特别地当c=0时，抛物线过原点，反之也成立。

4．抛物线与x 轴的位置关系（1）Δ=b 2-4ac<0，抛物线与x 轴无交点。

（2）Δ=b 2-4ac=0，抛物线与x 轴只有一个交点，交点坐标为（ab 2-，0） （3）Δ=b 2-4ac>0,抛物线与x 轴有两个交点，交点坐标为（a ac b b 242-±-，0） 5、抛物线与x 轴两交点之间的距离若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个 根，故a c x x a b x x =⋅-=+2121, ()()a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=4442221221221216、抛物线与一次函数或反比例函数相交一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组⎩⎨⎧++=+=cbx ax y b kx y 2 的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点；②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点。

一、 定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数二、 图像二次函数的图像是一条关于abx 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

三、 性质1，对称轴是直线a b x 2-=，顶点是），（ab ac a b 4422--.2，a 、b 、c 系数与图像抛物线的关系① 当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点； 当当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.a 越大，抛物线的开口越小；a 越小，抛物线的开口越大；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.② b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.记忆方法：左同右异③ c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）：①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴.四、解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.（已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. ）（2）顶点式：()k h x a y +-=2.（已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. ）a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++= （一般式配方法可得顶点。

）（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. （4）对称点式：已知图像上两对称点（1x ，y ），（2x ，y ） 那么解析式为()()21x x x x a y --=+y要熟练运用，明白什么情况下用什么样的解析式。

《二次函数抛物线的性质》知识点整理1.抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线x=-b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为P/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b^2-4ac=0时，P在x 轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a&lt;0,所以b/2a 要大于0，所以a、b要同号当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是-b/2a&gt;0,所以b/2a 要小于0，所以a、b要异号可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y 轴右。

事实上，b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。

可通过对二次函数求导得到。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于（0，c）6.抛物线与x轴交点个数Δ=b^2;-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ=b^2;-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

_______Δ=b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。

X的取值是虚数（x=-b±√b^2－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）当a&gt;0时，函数在x=-b/2a处取得最小值f=4ac-b?/4a；在{x|x&lt;-b/2a}上是减函数，在{x|x&gt;-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c7.特殊值的形式①当x=１时y=a+b+c②当x=-1时y=a-b+c③当x=2时y=4a+2b+c④当x=-2时y=4a-2b+c8.定义域：R值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[/4a，正无穷）；②[t，正无穷）奇偶性：偶函数周期性：无解析式：①y=ax^2+bx+c[一般式]⑴a≠0⑵a＞0，则抛物线开口朝上；a＜0，则抛物线开口朝下；⑶极值点：（-b/2a，/4a）；⑷Δ=b^2-4ac,Δ＞0，图象与x轴交于两点：（[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；Δ＝0，图象与x轴交于一点：（-b/2a，0）；Δ＜0，图象与x轴无交点；②y=a^2+k[顶点式]此时，对应极值点为（h，k），其中h=-b/2a，k=/4a；③y=a[交点式（双根式）]（a≠0）对称轴X=/2当a&gt;0且X≧/2时，y随X的增大而增大，当a&gt;0且X≦（X1+X2）/2时y随X的增大而减小此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连用）。

练习一1．二次函数的图像开口向＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿，顶点坐标是＿＿＿＿，图像有最＿＿＿点，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而增大，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而减小。

2．关于，，的图像，下列说法中不正确的是（ ） A ．顶点相同 B ．对称轴相同 C ．图像形状相同 D ．最低点相同 3．两条抛物线与在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（ ） A ．顶点相同 B ．对称轴相同 C ．开口方向相反 D ．都有最小值 4．在抛物线上，当y ＜0时，x 的取值范围应为（ ） A ．x ＞0 B ．x ＜0 C ．x ≠0 D ．x ≥0 5．对于抛物线与下列命题中错误的是（ ） A ．两条抛物线关于轴对称 B ．两条抛物线关于原点对称 C ．两条抛物线各自关于轴对称 D ．两条抛物线没有公共点 6．抛物线y=－b ＋3的对称轴是＿＿＿，顶点是＿＿＿。

7．抛物线y=－－4的开口向＿＿＿，顶点坐标＿＿＿，对称轴＿＿＿，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而增大，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而减小。

8．抛物线的顶点坐标是（ ）A ．（1，3）B ．（1，3）C ．（1，3）D ．（1，3）9．已知抛物线的顶点为（1，2），且通过（1，10），则这条抛物线的表达式为（ ） A ．y=3－2 B ．y=3＋22y ax =213y x =2y x =23y x =2y x =2y x =-2y x =-2y x =2y x =-x y 2x 21(2)2x +22(1)3y x =+-------2(1)x -2(1)x +C ．y=3－2D ．y=－3－210．二次函数的图像向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得新函数表达式为（ ）A ．y=a ＋3B ．y=a －3C ．y=a ＋3D ．y=a －3 11．抛物线的顶点坐标是（ ）A ．（2，0）B ．（2，-2）C ．（2，-8）D ．（-2，-8）12．对抛物线y=－3与y=－＋4的说法不正确的是（ ） A ．抛物线的形状相同 B ．抛物线的顶点相同 C ．抛物线对称轴相同 D ．抛物线的开口方向相反13．函数y=a ＋c 与y=ax ＋c(a ≠0)在同一坐标系内的图像是图中的（ ）14．化为y=为a 的形式是＿＿＿＿，图像的开口向＿＿＿＿，顶点是＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿。

二次函数与抛物线知识点二次函数与抛物线是高中数学学科中的一个重要知识点。

在学习这个知识点之前，我们首先需要了解什么是二次函数和抛物线。

一、二次函数二次函数是指形如f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b和c是实数且a≠0。

二次函数的图像是一条平滑的曲线，通常呈现出对称的形状。

在二次函数中，x的平方项是关键，它使得函数的图像不再是一条直线，而是弯曲的曲线。

二次函数的图像可以分为以下几种情况：1. 当a>0时，函数的图像开口向上，称为上凹的抛物线。

2. 当a<0时，函数的图像开口向下，称为下凹的抛物线。

二、抛物线抛物线是一种特殊的曲线，具有对称性。

它的图像可以是上开口或下开口的形状。

在二次函数中，抛物线是二次函数图像的特例，即a≠0的二次函数。

抛物线的图像可以分为以下几种情况：1. 上开口的抛物线，即顶点向上的抛物线。

2. 下开口的抛物线，即顶点向下的抛物线。

3. 横向的抛物线，通常称为平行于坐标轴的抛物线。

三、二次函数与抛物线的性质1. 二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点。

顶点的坐标可以用一些特定的公式进行计算。

2. 如果二次函数的a值为正数，则函数的图像开口向上，顶点为最低点；如果二次函数的a值为负数，则函数的图像开口向下，顶点为最高点。

3. 抛物线在y轴上有一个焦点，可以通过计算得到。

此外，焦点对于描述抛物线的几何性质很重要，也是解决与抛物线相关问题的关键。

4. 对于二次函数和抛物线来说，对称轴是很重要的概念，它是抛物线图像的对称轴，可以通过计算得到。

总结：二次函数与抛物线是数学中的重要概念，它们在数学中有着广泛的应用和意义。

通过学习二次函数和抛物线，我们可以更好地理解和解决与它们相关的各种数学问题。

因此，掌握二次函数与抛物线的知识点对于我们的学业和数学素养的提升至关重要。

二次函数与抛物线二次函数与抛物线在数学中是两个非常重要的概念。

它们都属于二次曲线的一种，具有许多相似的性质和特点。

本文将从定义、图像、性质和应用等方面来介绍二次函数与抛物线。

一、二次函数的定义与图像二次函数是指一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a不等于零。

二次函数的图像是一条平滑的曲线，形状可以是开口向上或开口向下。

开口向上的二次函数在顶点处取得最小值，开口向下的二次函数在顶点处取得最大值。

二、抛物线的定义与图像抛物线是指平面上一类特殊的曲线，具有横轴对称性。

它的一般形式可以表示为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数且a不等于零。

抛物线的图像可以是开口向上或开口向下，具体形状取决于a的正负。

开口向上的抛物线在顶点处取得最小值，开口向下的抛物线在顶点处取得最大值。

三、二次函数与抛物线的性质1. 顶点：对于二次函数和抛物线而言，顶点是最重要的点之一。

它代表了函数的最值所在位置。

顶点的横坐标可以通过x = -b/2a来求得，纵坐标可以将横坐标代入函数表达式中求得。

2. 对称轴：二次函数和抛物线都具有关于对称轴对称的性质。

对称轴是垂直于横轴并通过顶点的一条直线，方程为x = -b/2a。

3. 开口方向：二次函数和抛物线的开口方向由二次项系数a的正负来决定。

当a大于零时，开口向上；当a小于零时，开口向下。

4. 零点：对于一般的二次函数和抛物线来说，求解零点对应于函数的解或者交点的横坐标值。

可以通过将函数表达式置零然后求解得到。

5. 判别式：二次函数和抛物线的判别式D是指b^2-4ac的值，它可以用来判断函数的图像和性质。

当D大于零时，函数有两个不同的实根，图像与横轴有两个交点；当D等于零时，函数有一个重根，图像与横轴有一个交点；当D小于零时，函数无实根，图像与横轴无交点。

四、二次函数与抛物线的应用1. 物理学：二次函数和抛物线可以描述物体的运动轨迹、抛物线的飞行轨迹等。