二次函数抛物线型问题

1. （2011河北，8，3分）一小球被抛出后，距离地面的高度h （米）和飞行时间t （秒）满足下列函数关系式：61t 5h 2+--=）（，则小球距离地面的最大高度是（ ）A ．1米B ．5米C ．6米D ．7米 【答案】C 【思路分析】在二次函数61t 5h 2+--=）（中，顶点坐标为（1,6），∵a=-5<0，∴当t=1时，h 取得最大值6.∴小球距离地面的最大高度是6米。

【方法规律】在二次函数顶点式2()y a x h k =-+中，顶点坐标为（h ，k ）。

当a>0时，开口向上，当x h =时，y 取得最小值k ；当a<0时，开口向下，当x h =时，y 取得最大值k 。

【易错点分析】不能够正确的应用二次函数的顶点式，将其化成一般式，再计算，从而引起计算性的错误。

【关键词】二次函数、最大值【推荐指数】★★☆☆☆【题型】常规题，好题，易错题2. （2011株洲，8，3分）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-x 2+4x （单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是( )A ．4米B ．3米C ．2米D ．1米【答案】A【思路分析】直接根据二次函数的顶点坐标公式计算即可，最大高度为2244(1)04444(1)ac b a -⨯-⨯-==⨯-. 【方法规律】在二次函数求最值的问题，一般是直接代入顶点公式计算即可．【易错点分析】弄不清在函数解析式中a 、b 、c 的值各是什么，造成计算错误．【关键词】二次函数的最值 【难度】★★☆☆☆3. （2011山东聊城，12，3分）某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的．为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m （如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ）A ．50mB ．100mC ．160mD ．200m【答案】C【思路分析】建立如图所示的坐标系，设抛物线的解析式为y ＝a x 2＋05，将（1，0）代入得a ＝－05，所以抛物线的解析式为y ＝－0.5x 2＋0.5，分别将x ＝0.2和0.6代入，求得y 值为048，032，所以一个防护栏需不锈钢支柱长为2（048＋032）＝16，所以则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度为16×100＝160【方法规律】先计算一个抛物线左边或右边需要不锈钢支柱的长度，根据抛物线的对称性来解【易错点分析】1、不能正确求出抛物线的解析式；2、不能利用抛物线的对称性【关键词】抛物线 【难度】★★★☆☆ 【题型】好题4. （2011广西梧州，11，3分）2011年5月22日—29日在美丽的青岛市举行了苏迪曼杯羽毛球混合团体锦标赛．在比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线21b c 4y x x =-++的一部分，其中出球点B 离地面O 点的距离是1m ，球落地点A 到O 点的距离是4m ，那么这条抛物线的解析式是（ ） A ． 213144y x x =-++ B ．213144y x x =-+- C ．213144y x x =--+ D ．213144y x x =---【答案】A【思路分析】根据出球点B 离地面O 点的距离是1m ，球落地点A 到O 点的距离是4m ，所以A ，B 两点坐标分别为（4，0），（0，1），在抛物线抛物线y ＝－14x 2＋bx ＋c 上．将A（4，0），（0，1）代入抛物线解析式，得c ＝1，b ＝43，故选A ． 【方法规律】首先把实际问题转化为二次函数的数学问题，求二次函数解析式，表达式中有几个待定系数，就需要几个点代入函数解析式，然后在接方程组，求出待定系数，从而求出函数解析式．【易错点分析】一是不能数形结合看出点B 、点A ．坐标，二是计算错误．【关键词】二次函数解析式 【难度】★★☆☆☆ 【题型】常规题，易错题5. （2011青海西宁，7，3分）西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为12米，在如图3所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是A ．y =﹣（x ﹣12 ）2+3B ．y =﹣（x +12）2+3 C ．y =﹣12（x ﹣12 ）2+3 D ．y =﹣12（x +12）2+3 【答案】C【思路分析】根据题意知，抛物线的顶点坐标为（12，3）可设抛物线的解析式为1()32y a x =-+，又抛物线经过点（0，0）代入可求得a=12-，所以抛物线的解析式为y =﹣12（x ﹣12）2+3． 【方法规律】待定系数法求函数解析式．【易错点分析】颠倒横纵坐标．【关键词】待定系数法【推荐指数】★☆☆☆☆【题型】常规题6. （2011山东济南，13，3分）竖直向上发射的小球的高度h (m )关于运动时间t (s )的函数表达式为h ＝at 2＋bt ，其图象如图所示，若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是A ．第3秒B ．第3.5秒C ．第4.2秒D ．第6.5秒【答案】C【思路分析】由题意知，当t ＝4时小球的高度最高，当t ＝3与t ＝5时小球高度相等，当t ＜4时，h 随t 的增大而增大；当t ＞4时，h 随t 的增大而减小，∴四个选项中，当t ＝4.2时，小球高度最高．【方法规律】本题考查二次函数图象的对称性，这类问题最好结合图象来解决．【易错点分析】学生不易想到利用对称性来判断点的位置．【关键词】二次函数【推荐指数】★★★☆☆【题型】常规题，新题，好题．7. （2011山东济南，13，3分）竖直向上发射的小球的高度h （m ）关于运动时间t （s ）的函数表达式为h =at 2+bt ，其图象如图所示，若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是（ ）A ．第3秒B ．第3.5秒C ．第4.2秒D ．第6.5秒【答案】C 【思路分析】由题意可知：h （2）=h （6），即4a +2b =36a +6b ，解得b =﹣8a ，函数h =at 2+bt 的对称轴t =﹣2b a=4，故在t =4s 时，小球的高度最高，题中给的四个数据只有C 第4.2秒最接近4秒，故在第4.2秒时小球最高．故选C ．【方法规律】本题主要考查了二次函数的实际应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．【易错点分析】不能根据二次函数图象的对称性得到函数的性质【关键词】二次函数的应用【推荐指数】★★★☆☆【题型】好题，难题．8.9.8. （2011山东滨州，25，12分）如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O 落在水平面上，对称轴是水平线OC ．点A 、B 在抛物线造型上，且点A 到水平面的距离AC =4米，点B 到水平面距离为2米，OC =8米．(1)请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；(2)为了安全美观，现需在水平线OC 上找一点P ，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA 、PB 对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省h /mt /s O 2 6（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P？（无需证明）(3)为了施工方便，现需计算出点O、P之间的距离，那么两根支柱用料最省时点O、P之间的距离是多少？（请写出求解过程）【解】（1）以点O为原点、射线OC为y轴的正半轴建立直角坐标系，……………1分设抛物线的函数解析式为y＝ax2，………………2分由题意知点A的坐标为（4，8），且点A在抛物线上．………………3分所以8=a×42，解得a=12，故所求抛物线的函数解析式为212y x=．………………4分（2）找法：延长AC，交建筑物造型所在抛物线于点D，………………5分则点A、D关于OC对称．连接BD交OC于点P，则点P即为所求．………………6分（3）由题意知点B的横坐标为2，且点B在抛物线上，所以点B的坐标为（2，2）．………………7分又知点A的坐标为（4，8），所以点D的坐标为（－4，8）．………………8分设直线BD的函数解析式为 y=kx+b，………………9分则有2248k bk b+=⎧⎨-+=⎩………………10分解得k=－1，b=4．故直线BD的函数解析式为 y=－x+4．………………11分把x=0代入y=－x+4，得点P的坐标为（0，4）．两根支柱用料最省时，点O、P之间的距离是4米．………………12分【思路分析】(1)以点O为原点，OC为y轴的正半轴建立坐标系，则可以设二次函数的解析式为y＝ax2，同时易确定A点的坐标为(4，8)，代入即可求出二次函数的解析式．(2)由用料最省，可确定点A关于y轴的对称点D，连结对称点D和点B，连线与y轴的交点就是点P的位置．(3)用待定系数法求出直线BD的解析式，把x＝0代入求得的解析式，求出点P的坐标，即求出O、P之间的距离．【方法规律】建立适当的坐标系时，可以以顶点为原点，对称轴为y轴，则二次函数的解析式为最简单的y＝ax2的形式，求解析式较为方便．两个点在直线的同侧，在直线上求一个点到两个点的距离之和最小，确定动点的方法是轴对称．【易错点分析】确定点P位置时，不能联系轴对称知识是导致错误的最根本原因．【关键词】二次函数，一次函数，待定系数法，轴对称【推荐指数】★★★★★【题型】新题，好题，难题，压轴题16. （2011山东滨州，25，12分）如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O 落在水平面上，对称轴是水平线OC 。

初中数学二次函数应用题型分类——抛物线形物体问题5（附答案）1．一同学推铅球，铅球高度y(m)关于时间x(s)的函数表达式为y=ax 2+bx(a≠0)．若铅球在第7秒与第14秒时的高度相等，则在第m 秒时铅球最高，则m 的值为（ ） A ．7B ．8C ．10．5D ．212．一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m 处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m 时，达到最大高度3.5m ，然后准确落入篮筐内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m ，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）A ．篮圈中心的坐标是()4,3.05B ．此抛物线的解析式是21 3.55y x =-+ C ．此抛物线的顶点坐标是()3.5,0 D ．篮球出手时离地面的高度是2m3．如图，以40m/s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有函数关系h ＝20t ﹣5t 2．下列叙述正确的是（ ）A ．小球的飞行高度不能达到15mB ．小球的飞行高度可以达到25mC ．小球从飞出到落地要用时4sD ．小球飞出1s 时的飞行高度为10m4．一学生推铅球，铅球行进的高度()y m 与水平距离()x m 之间的关系为21251233y x x =-++，则学生推铅球的距离为（ ） A ．35m B ．3mC ．10mD ．12m飞行的高度()h m 与发球后球飞行的时间()t s 满足关系式22 1.5h t t =-++，则该运动员发球后1s 时，羽毛球飞行的高度为（ ） A ．1.5mB ．2mC ．2.5mD ．3m6．铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为y ＝－112x 2＋23x ＋53.则该运动员此次掷铅球的成绩是( ) A ．6 mB ．12 mC ．8 mD ．10 m7．从地面竖直向上先后抛出两个小球，小球的高度h (单位：)m 与小球运动时间t (单位：)s 之间的函数关系式为240(3)409h t =--+，若后抛出的小球经过2.5s 比先抛出的小球高103m ，则抛出两个小球的间隔时间是（ ）s A ．1 B ．1.5 C ．2 D ．2.58．一个运动员打高尔夫球，若球的飞行高度y (m )与水平距离x (m )之间的函数表达式为：y 150=-(x ﹣25)2+12，则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为( )m ． A ．12B ．25C ．13D ．149．如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y （m ）与运行的水平距离x （m ）满足关系式y ＝a （x ﹣k ）2+h ．已知球与D 点的水平距离为6m 时，达到最高2.6m ，球网与D 点的水平距离为9m ．高度为2.43m ，球场的边界距O 点的水平距离为18m ，则下列判断正确的是（ ）A ．球不会过网B ．球会过球网但不会出界C ．球会过球网并会出界D ．无法确定10．如图，一位运动员推铅球，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系是y ＝﹣22531312x x ++，则此运动员把铅球推出多远( )11．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系为21(4)312y x =--+，由此可知铅球推出的距离是______m ．12．如图，是一学生掷铅球时，铅球行进高度()y cm 的函数图象，点B 为抛物线的最高点，则该同学的投掷成绩为________米．13．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是21251233y x x =-++，则他将铅球推出的距离是__________m ．14．校运会上，小明参加铅球比赛，若某次试掷，铅球飞行的高度()y m 与水平距离(m)x 之间的函数关系式为21251233y x x =-++，小明这次试掷的成绩是__________．15．从地面竖直向上抛出一小球，小球离地面的高度h （米）与小球运动时间t （秒）之间关系是h=30t ﹣5t 2（0≤t≤6），则小球从抛出后运动4秒共运动的路径长是______米． 16．如图，池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m 处达到最高，高度为3m ，水柱落地处离池中心3m ，水管的长为_____．17．广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y （米）关于水珠与喷头的水平距离x （米）的函数解析式是()2510042y x x x =-+≤≤．水珠可以达到的最大高度是________（米）．18．某运动员对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y (米)与水平距离x (米)之间的关系为21251233y x x =-++，由此可知该运动员此次实心球训练的成绩为____米．19．如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y (单位：m )与飞行时间x (单位：s )之间具有函数关系y ＝﹣5x 2+20x ，在飞行过程中，当小球的行高度为15m 时，则飞行时间是_____．20．如图，铅球运动员掷铅球的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的函数关系式是y=﹣112x 2+23x+53，则该运动员此次掷铅球的成绩是_____ m ．21．一个斜抛物体的水平运动距离为x （m ），对应的高度记为h （m ），且满足h ＝ax 2+bx ﹣2a （其中a≠0）．已知当x ＝0时，h ＝2；当x ＝10时，h ＝2． （1）求h 关于x 的函数表达式；（2）求斜抛物体的最大高度和达到最大高度时的水平距离．22．如图是甲、乙两人进行羽毛球练习赛时的一个瞬间，羽毛球飞行的高度y （m ）与水平距离x （m ）的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O 点正上方1m 的P 处发出一球，已知点O 与球网的水平距离为5m ，球网的高度为1.55m ．羽毛球沿水平方向运动4m 时，达到羽毛球距离地面最大高度是53m ． （1）求羽毛球经过的路线对应的函数关系式； （2）通过计算判断此球能否过网；（3）若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为3124m 的Q 处时，乙扣球成功求此时乙与球网的水平距离．23．杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体(看成一点)的路线是抛物线23315y x x =-++的一部分，如图所示． ()1求演员弹跳离地面的最大高度；()2已知人梯高 3.4BC =米，在一次表演中，人梯到起跳点A 的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．24．小明跳起投篮，球出手时离地面m ，球出手后在空中沿抛物线路径运动，并在距出手点水平距离4m 处达到最高度4m .已知篮筐中心距地面3m ，与球出手时的水平距离为8m ，建立如图所示的平面直角坐标系. （1）求此抛物线对应的函数关系式；（2）此次投篮，球能否直接命中篮筐中心？若能，请说明理由；若不能，在出手的角度和力度都不变的情况下，球出手时距离地面多少米可使球直接命中篮筐中心？25．在一次篮球比赛中，如图队员甲正在投篮.已知球出手时离地面209m ，与篮圈中心的水平距离为7 m ，球出手后水平距离为4 m 时达到最大高度4 m ，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3 m.(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？(2)此时，对方队员乙在甲面前1 m 处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1 m ，那么他能否获得成功？26．某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，如果每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球从发射出到第一次落在桌面的运行过程中，设乒乓球与端点A的水平距离为x（米），距桌面的高度为y （米），运行时间为t（秒），经多次测试后，得到如下部分数据：t（秒）0 0.16 0.2 0.4 0.6 0.64 0.8 …x（米）0 0.4 0.5 1 1.5 1.6 2 …y（米）0.25 0.378 0.4 0.45 0.4 0.378 0.25 …（1）如果y是t的函数，①如图，在平面直角坐标系tOy中，描出了上表中y与t各对对应值为坐标的点．请你根据描出的点，画出该函数的图象；②当t为何值时，乒乓球达到最大高度？（2）如果y是关于x的二次函数，那么乒乓球第一次落在桌面时，与端点A的水平距离是多少？27．在一场篮球比赛中，一名球员在关键时刻投出一球，已知球出手时离地面高2米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，已知篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3.19米．（1）以地面为x轴，篮球出手时垂直地面所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求篮球运行的抛物线轨迹的解析式；（2）通过计算，判断这个球员能否投中？28．如图，在某场足球比赛中，球员甲从球门底部中心点O的正前方10m处起脚射门，足球沿抛物线飞向球门中心线；当足球飞离地面高度为3m时达到最高点，此时足球飞行的水平距离为6m．已知球门的横梁高OA为2.44m．()1在如图所示的平面直角坐标系中，问此飞行足球能否进球门？（不计其它情况）()2守门员乙站在距离球门2m处，他跳起时手的最大摸高为2.52m，他能阻止球员甲的此次射门吗？如果不能，他至少后退多远才能阻止球员甲的射门？29．初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高209m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m．（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？（2）此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功？30．如图，某足球运动员站在点O处练习射门．将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系y＝at2+5t+c，己知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m．（1）a＝，c＝；（2）当足球飞行的时间为多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？（3）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？参考答案1．C 【解析】 【分析】由由第7秒和第14秒的高度相同，知道这两个点是关于抛物线的对称轴对称的，从而求出抛物线的对称轴，知道顶点的横坐标，得到答案． 【详解】解：由第7秒和第14秒的高度相同，知道抛物线的对称轴为7142122x +==， 所以顶点的横坐标为212，即函数取得最大值，铅球最高时的时间，所以10.5m =． 故选C ． 【点睛】本题考查的是抛物线的性质，掌握抛物线上纵坐标相等的两个点是关于抛物线对称轴对称的是关键． 2．A 【解析】 【分析】设抛物线的表达式为y=ax 2+3.5，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a 的值，可判断A ；根据函数图象可判断B 、C ；设这次跳投时，球出手处离地面hm ，因为求得21 3.55y x =-+，当x=-2，5时，即可判断D ． 【详解】解：A 、∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5）， ∴可设抛物线的函数关系式为y=ax 2+3.5．∵篮圈中心（1.5，3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得 3.05=a×1.52+3.5， ∴a=15-， ∴21 3.55y x =-+，故本选项正确； B 、由图示知，篮圈中心的坐标是（1.5，3.05），故本选项错误； C 、由图示知，此抛物线的顶点坐标是（0，3.5），故本选项错误； D 、设这次跳投时，球出手处离地面hm ，因为（1）中求得y=-0.2x2+3.5，∴当x=-2.5时，h=-0.2×（-2.5）2+3.5=2.25m．∴这次跳投时，球出手处离地面2.25m，故本选项错误．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，体现了数学建模的数学思想，难度不大，能够结合题意利用二次函数不同的表达形式求得解析式是解答本题的关键．3．C【解析】【分析】直接利用h＝15以及结合配方法求出二次函数最值分别分析得出答案．【详解】A、当h＝15时，15＝20t﹣5t2，解得：t1＝1，t2＝3，故小球的飞行高度能达到15m，故此选项错误；B、h＝20t﹣5t2＝﹣5（t﹣2）2+20，故t＝2时，小球的飞行高度最大为：20m，故此选项错误；C、∵h＝0时，0＝20t﹣5t2，解得：t1＝0，t2＝4，∴小球从飞出到落地要用时4s，故此选项正确；D、当t＝1时，h＝15，故小球飞出1s时的飞行高度为15m，故此选项错误；故选C．此题主要考查了二次函数的应用，灵活运用所学知识是解题关键．4．C【解析】【分析】铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x 的值．【详解】 令函数式21251233y x x =-++中，y =0， 即21251233x x -++=0， 解得1210,2x x ==- (舍去)，即铅球推出的距离是10m.故选C.【点睛】考查二次函数的应用以及函数式中自变量与函数表达式的实际意义，需要结合题意. 5．C【解析】【分析】根据函数关系式，求出t=1时的h 的值即可．【详解】22 1.5h t t =-++∴t=1s 时，h=-1+2+1.5=2.5故选C.【点睛】本题考查了二次函数的应用，知道t=1时满足函数关系式是解题的关键.6．D【解析】【分析】依题意，该二次函数与x 轴的交点的x 值为所求．即在抛物线解析式中．令y=0，求x 的正【详解】把y=0代入y=-112x 2+23x+53得： -112x 2+23x+=0， 解之得：x 1=10，x 2=-2．又x ＞0，解得x=10．故选D ．7．B【解析】【分析】把t=2.5代入240(3)409h t =--+，求得3509h =，当35010320939h =-=时，解方程即可得出结论.【详解】解：把t=2.5代入240(3)409h t =--+，得3509h =， 当35010320939h =-=时，即240320(3)4099t --+=， 解得 t=4或t=-2（不合题意，舍去）∴抛出两个小球间隔的时间是4-2.5=1.5.故选B.【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，正确理解题意是解题的关键.8．A【解析】【分析】直接根据二次函数的图象及性质即可得出答案．【详解】解：∵y 150=-(x ﹣25)2+12， 顶点坐标为(25，12)， ∵150-＜0， ∴当x ＝25时，y 有最大值，最大值为12．故选：A ．【点睛】本题主要考查二次函数的最大值，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．9．C【解析】分析：（1）将点A (0,2)代入2(6) 2.6y a x =-+求出a 的值；分别求出x =9和x =18时的函数值，再分别与2.43、0比较大小可得．详解：根据题意,将点A (0,2)代入2(6) 2.6y a x =-+，得：36a +2.6=2， 解得：160a ，=- ∴y 与x 的关系式为21(6) 2.660y x =--+； 当x =9时,()2196 2.6 2.45 2.4360y =--+=>， ∴球能过球网， 当x =18时,()21186 2.60.2060y =--+=>， ∴球会出界.故选C.点睛：考查二次函数的应用题，求范围的问题，可以利用临界点法求出自变量的值，根据题意确定范围.10．B【解析】【分析】令y ＝﹣22531312x x ++＝0，解得符合题意的x 值，则该值为此运动员把铅球推出的距离，据此可解.【详解】解：令y ＝﹣22531312x x ++＝0 则：x 2﹣8x ﹣20＝0∴(x+2)(x ﹣10)＝0∴x 1＝﹣2(舍)，x 2＝10由题意可知当x ＝10时，符合题意故选：B.【点睛】本题考查二次函数的实际应用，利用数形结合思想解题是本题的关键.11．10【解析】【分析】要求铅球推出的距离，实际上是求铅球的落脚点与坐标原点的距离，故可直接令0y =，求出x 的值，x 的正值即为所求．【详解】 在函数式21(4)312y x =--+中，令0y =，得 21(4)3012x --+=，解得110x =，22x =-（舍去）， ∴铅球推出的距离是10m.【点睛】 本题是二次函数的实际应用题，需要注意的是21(4)312y x =--+中3代表的含义是铅球在起始位置距离地面的高度；当0y =时，x 的正值代表的是铅球最终离原点的距离．12．(4+【解析】【分析】根据函数的顶点B 的坐标设解析式为y =a (x −4)2+3，把（0，2）代入得出2=a (0−4)2+3，求出a ，得出函数的解析式是21(4)316y x =--+，把y =0代入解析式，求出方程的解即可． 【详解】∵函数的图象的最高点是B ,B 的坐标是(4,3)，∴设函数的解析式是y =a (x −4)2+3，∵图象过(0,2)点，∴代入得：2=a (0−4)2+3， 解得：116a =-， ∴函数的解析式是21(4)316y x =--+， 把y =0代入解析式得：210(4)316x =--+，解得：1244x x =+=-∴(4A +，故答案为(4+【点睛】考查二次函数在实际问题中的应用，掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键.. 13．10【解析】【分析】令y=0时求出x 的值，保留正值，即为该男生将铅球推出的距离．【详解】解：当y=0时，2125=01233x x -++， 解方程得，x 1=10，x 2=-2（负值舍去），∴该男生把铅球推出的水平距离是10 m ．故答案为：10.【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，可以用配方法写成顶点式求得；同时本题还考查了二次函数与一元二次方程的关系及解一元二次方程，本题属于中档题．14．10米【解析】【分析】根据题意，将y=0代入解析式中，求出x 的值即可．【详解】解：将y=0代入21251233y x x =-++中，得 212501233x x -++= 解得：1210,2x x ==-（不符合实际，舍去）∴小明这次试掷的成绩是10米故答案为：10米．【点睛】此题考查的是二次函数的应用，掌握x 和y 的实际意义和一元二次方程的解法是解决此题的关键．15．50【解析】【分析】根据题目中的函数解析式可以求得h 的最大值，从而可以求得小球从抛出后运动4秒共运动的路径长．【详解】解：∵h ＝30t−5t 2＝−5（t−3）2＋45（0≤t≤6），∴当t ＝3时，h 取得最大值，此时h ＝45，∴小球从抛出后运动4秒共运动的路径长是：45＋[45−（30×4−5×42）]＝50（米）， 故答案为：50．【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的路径的长．16．2.25m ．【解析】【分析】设抛物线的解析式为：y ＝a （x ﹣1）2+3（0≤x ≤3），将（3，0）代入求得a 值，则x=0时得y 值即为水管的长.【详解】解：由于在距池中心的水平距离为1m 时达到最高，高度为3m ，则设抛物线的解析式为：y ＝a （x ﹣1）2+3（0≤x ≤3），代入（3，0）求得：a ＝34-， 将a 值代入得到抛物线的解析式为：y ＝34-（x ﹣1）2+3（0≤x ≤3）， 令x ＝0，则y ＝94＝2.25． 则水管长为2.25m ．故答案为：2.25m ．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，掌握二次函数的应用是解题的关键.17．10【解析】【分析】将一般式转化为顶点式，依据自变量的变化范围求解即可.【详解】 解：()()222555104210222y x x x x x =-+=--=--+，当x=2时，y 有最大值10， 故答案为：10.【点睛】利用配方法将一般式转化为顶点式，再利用顶点式去求解函数的最大值.18．10【解析】【分析】根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x 的值即可．【详解】当y=0时，212501233x x -++= 解得，x=-2（舍去），x=10．故答案为：10．【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．19．1s 或3s【解析】【分析】根据题意可以得到15=﹣5x 2+20x ，然后求出x 的值，即可解答本题．【详解】∵y=﹣5x 2+20x ，∴当y=15时，15=﹣5x 2+20x ，得x 1=1，x 2=3，故答案为1s 或3s ．【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和一元二次方程的知识解答．20．10【解析】【分析】根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x 的值即可．【详解】 解：在21251233y x x =-++中，当y=0时， 212501233x x -++= 整理得：x 2-8x-20=0，（x-10）（x+2）=0，解得x 1=10，x 2=-2（舍去），即该运动员此次掷铅球的成绩是10m ．故答案为：10．【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．21．（1）h ＝﹣x 2+10x+2；（2）斜抛物体的最大高度为27，达到最大高度时的水平距离为5．【解析】【分析】（1）将当x ＝0时，h ＝2；当x ＝10时，h ＝2，代入解析式，可求解；（2）由h ＝−x 2＋10x ＋2＝−（x−5）2＋27，即可求解．【详解】（1）∵当x ＝0时，h ＝2；当x ＝10时，h ＝2．∴222100102a a b a =-⎧⎨=+-⎩解得：110a b =-⎧⎨=⎩ ∴h 关于x 的函数表达式为：h ＝﹣x 2+10x+2；（2）∵h ＝﹣x 2+10x+2＝﹣（x ﹣5）2+27，∴斜抛物体的最大高度为27，达到最大高度时的水平距离为5．【点睛】本题考查了二次函数的应用，求出二次函数的解析式是本题的关键．22．（1）215(4)243y x =--+；（2）此球能过网，见解析；（3）2m 【解析】【分析】（1）依题意，函数图象的顶点坐标为（4，53），则可设函数的解析式为：25(4)3y a x =-+，再由点（0，1）在抛物线上，代入求得a 即可（2）将x ＝5代入所求的函数解析式，求得y 即可判断；（3）将y ＝3124代入函数解析式求得x ，即可求出乙与球网的水平距离． 【详解】解（1）依题意，函数图象的顶点坐标为54,3⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故设函数的解析式为：25(4)3y a x =-+，∵点(0,1)在抛物线上，∴代入得251(04)3a =-+， 解得124a =-， 则羽毛球经过的路线对应的函数关系式为：215(4)243y x =--+； （2）由（1）知羽毛球经过的路线对应的函数关系式为215(4)243y x =--+， 则当5x =时，21513(54) 1.6252438y =-⨯-+==， ∵1.625 1.55>，∴此球能过网；（3）由（1）知羽毛球经过的路线对应的函数关系式为215(4)243y x =--+， 当3124y =时，有23115(4)24243x =--+， 解得11x =（舍去），27x =，∴此时乙与球网的水平距离为：752m -=.【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，利用待定系数法求出羽毛球经过的路线对应的函数关系式是解题的关键．23．(1) 194；（2）能成功；理由见解析. 【解析】【分析】（1）将抛物线解析式整理成顶点式，可得最大值，即为最大高度；（2）将x=4代入抛物线解析式，计算函数值是否等于3.4进行判断.【详解】 (1)y=-35x 2+3x+1=-35252x ⎛⎫- ⎪⎝⎭+194 ∵-35＜0，∴函数的最大值是194．答：演员弹跳的最大高度是194米．(2)当x=4时，y=-35×42+3×4+1=3.4=BC，所以这次表演成功．【点睛】此题将用待定系数法求二次函数解析式、动点问题和最小值问题相结合，有较大的维跳跃，考查了同学们的应变能力和综合思维能力，是一道好题．24．（1）y=；(2）不能正中篮筐中心；3米.【解析】试题分析：（1）根据顶点坐标（4，4），设抛物线的解析式为：y=，由球出手时离地面m，可知抛物线与y轴交点为（0，），代入可求出a的值，写出解析式；（2）先计算当x=8时，y的值是否等于3，把x=8代入得：y=，所以要想球经过（8，3），则抛物线得向上平移3﹣=个单位，即球出手时距离地面3米可使球直接命中篮筐中心．试题解析：（1）设抛物线为y=，将（0，）代入，得=，解得a=，∴所求的解析式为y=；（2）令x=8，得y==≠3，∴抛物线不过点（8，3），故不能正中篮筐中心；∵抛物线过点（8，），∴要使抛物线过点（8，3），可将其向上平移个单位长度，故小明需向上多跳m再投篮（即球出手时距离地面3米）方可使球正中篮筐中心．考点：二次函数的应用．25．（1）能准确投中（2）能获得成功【解析】【分析】（1）根据条件先确定抛物线的解析式，然后令x=7，求出y的值，与3m比较即可作出判断；（2）将x=1代入抛物线的解析式，求出y的值与3．1比较大小即可．【详解】解：（1）由题意可得抛物线的顶点为（4,4），出手点为（0，209），设2()y a x h k=-+，则h=4，k=4，然后把点（0，209）代入解析式得19a=-，所以()21449y x=--+，当x＝7时，y＝3，所以此球能准确投中．（2）当x＝1时，y＝3＜3．1，他能获得成功．考点：二次函数的应用26．（1）①见解析；②t=0.4（秒），乒乓球达到最大高度；（2）52 m．【解析】【分析】（1）①根据描出了上表中y与t各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象即可；②利用网格中数据直接得出乒乓球达到最大高度时的时间；（2）首先求出函数解析式，进而求出乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离．【详解】解：（1）①如图所示，②由表格中数据可得，t=0.4（秒），乒乓球达到最大高度；（2）由表格中数据，可设y=a（x﹣1）2+0.45，将（0，0.25）代入，可得：a=﹣15，则y=﹣15（x﹣1）2+0.45，当y=0时，0=﹣15（x﹣1）2+0.45，解得：x1=52，x2=﹣12（舍去），即乒乓球与端点A 的水平距离是52m ．【点睛】考点：二次函数的应用．27．（1）21(4)48y x =-+；（2）不能投中 【解析】【分析】（1）根据题意可得抛物线的顶点，设函数的顶点式，再将（0，2）代入，求得二次项系数，从而可得抛物线的解析式；（2）判断当x ＝7时，函数值是否等于3.19即可．【详解】（1）依题意得抛物线顶点为（4，4），则设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣4）2+4依题意得抛物线经过点（0，2）∴a （0﹣4）2+4＝2解得18a =- ∴抛物线的解析式为21(4)48y x =-+ （2）当x ＝7时，21(4)48y x =-+=23 3.198≠ ∴这个球员不能投中．【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法以及实际应用，关键是求得函数的解析式，借助二次函数解决实际问题.28．（1）能射中球门；（2）他至少后退0.4m，才能阻止球员甲的射门．【解析】【分析】(1)、根据条件可以得到抛物线的顶点坐标是（4，3），利用待定系数法即可求得函数的解析式；(2)、求出当x=2时，抛物线的函数值，与2.52米进行比较即可判断，再利用y=2.52求出x的值即可得出答案．【详解】(1)、抛物线的顶点坐标是（4，3），设抛物线的解析式是：y=a（x-4）2+3，把（10，0）代入得36a+3=0，解得a=-112，则抛物线是y=-112（x-4）2+3，当x=0时，y=-112×16+3=3-43=53＜2.44米，故能射中球门；（2）当x=2时，y=-112（2-4）2+3=83＞2.52，∴守门员乙不能阻止球员甲的此次射门，当y=2.52时，y=-112（x-4）2+3=2.52，解得：x1=1.6，x2=6.4（舍去），∴2-1.6=0.4（m），答：他至少后退0.4m，才能阻止球员甲的射门．【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的应用，属于中等难度的题型．根据题意得出函数的顶点坐标，求得函数解析式是解题的关键．29．（1）y=−19(x−4)2+4；能够投中；（2）能够盖帽拦截成功．【解析】【分析】（1）根据题意可知：抛物线经过（0，209），顶点坐标是（4，4），然后设出抛物线的顶点式，将（0，209）代入，即可求出抛物线的解析式，然后判断篮圈的坐标是否满足解析式即可；（2）当1x 时，求出此时的函数值，再与3.1m比较大小即可判断. 【详解】解：由题意可知，抛物线经过（0，209），顶点坐标是（4，4）．设抛物线的解析式是()244y a x =-+， 将（0，209）代入，得()2200449a =-+ 解得19a =-， 所以抛物线的解析式是()21449y x =--+； 篮圈的坐标是（7，3），代入解析式得()2174439y =--+=， ∴这个点在抛物线上，∴能够投中 答：能够投中．（2）当1x =时，()2114439y =--+=<3.1， 所以能够盖帽拦截成功.答：能够盖帽拦截成功.【点睛】此题考查的是二次函数的应用，掌握二次函数的顶点式和利用二次函数解析式解决实际问题是解决此题的关键.30．（1）2516-，12；（2）当足球飞行的时间85s 时，足球离地面最高，最大高度是4.5m ；（3）能．【解析】【分析】（1）由题意得：函数y ＝at 2+5t +c 的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），代入函数的表达式即可求出a ，c 的值；（2）利用配方法即可求出足球飞行的时间以及足球离地面的最大高度；（3）把x ＝28代入x ＝10t 得t ＝2.8，把t ＝2.8代入解析式求出y 的值和2.44m 比较大小即可得到结论．【详解】（1）由题意得：函数y ＝at 2+5t +c 的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），∴20.53.50.850.8c a c =⎧⎨=+⨯+⎩， 解得：251612a c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线的解析式为：y ＝﹣2516t 2+5t +12， 故答案为：﹣2516，12； （2）∵y ＝﹣2516t 2+5t +12， ∴y ＝﹣2516（t ﹣85）2+92， ∴当t ＝85时，y 最大＝4.5， ∴当足球飞行的时间85s 时，足球离地面最高，最大高度是4.5m ； （3）把x ＝28代入x ＝10t 得t ＝2.8，∴当t ＝2.8时，y ＝﹣2516×2.82+5×2.8+12＝2.25＜2.44， ∴他能将球直接射入球门．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的应用，正确求得解析式是解题的关键．。

中考专项突破课 二次函数第15课 二次函数的应用(3)——抛物线型问题一、典例分析例1：羽毛球运动是一项非常受人喜欢的体育运动．某运动员在进行羽毛球训练时，羽毛球飞行的高度()h m 与发球后球飞行的时间()t s 满足关系式22 1.5h t t =-++，则该运动员发球后1s 时，羽毛球飞行的高度是多少？【解析】22 1.5h t t =-++Q ， 1t ∴=时，12 1.5 2.5h m =-++=.例2：如图，一位运动员推铅球，铅球行进高度()y m 与水平距离()x m 之间的关系是21251233y x x =-++，则此运动员把铅球推出多远？【解析】令212501233y x x =-++= 则：28200x x --= (2)(10)0x x ∴+-= 12x ∴=-（舍)，210x =由题意可知当10x =时，符合题意.例3：一位运动员在距篮下4m 处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m 时，达到最大高度3.5m ，然后准确落入篮圈．如图所示，建立平面直角坐标系，已知篮圈中心到地面的距离为3.05m ，该运动员身高1.9m ，在这次跳投中，球在头顶上方0.25m 处出手球出手时，他跳离地面的高度是？【解析】Q 当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，∴抛物线的顶点坐标为(0,3.5)， ∴设抛物线的表达式为2 3.5y ax =+．由图知图象过以下点：(1.5,3.05)． 2.25 3.5 3.05a ∴+=，解得：0.2a =-，∴抛物线的表达式为20.2 3.5y x =-+．设球出手时，他跳离地面的高度为hm ， 因为20.2 3.5y x =-+，则球出手时，球的高度为 1.90.25( 2.15)h h m ++=+，22.150.2( 2.5) 3.5h ∴+=-⨯-+， 0.1()h m ∴=．二、知识点小结：适当建立平面直角坐标系求解与二次函数相关的抛物线型问题的步骤： (1)恰当地建立直角坐标系； (2)将已知条件转化为点的坐标； (3)合理地设出所求函数的关系式； (4)代入已知条件或点的坐标，求出表达式； (5)利用表达式求解问题． 三、知识点检测1．一学生推铅球，铅球行进的高度()y m 与水平距离()x m 之间的关系为21251233y x x =-++，则学生推铅球的距离为( ) A ．35mB ．3mC ．10mD ．12m【解析】令函数式21251233y x x =-++中，0y =， 即212501233x x -++=， 解得110x =，22x =-（舍去）， 即铅球推出的距离是10m ． 故选：C ．2．一个运动员打高尔夫球，若球的飞行高度()y m 与水平距离()x m 之间的函数表达式为：21(25)1250y x =--+，则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为( )m ． A ．12B ．25C ．13D ．14【解析】21(25)1250y x =--+Q ， 顶点坐标为(25,12)， 1050-<Q ， ∴当25x =时，y 有最大值，最大值为12．故选：A ．3．如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线20.2 3.5y x =-+的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮圈底的距离l 是( )A ．3mB ．3.5mC ．4mD ．4.5m【解析】如图，把C 点纵坐标 3.05y =代入20.2 3.5y x =+中得： 1.5x =±（舍去负值），即 1.5OB =，所以 2.5 1.54l AB ==+=． 故选：C ．4．如图，铅球的出手点C 距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球运行路线的解析式为( )A ．2316h t =-B ．2316h t t =-+ C ．2118h t t =-++D ．21213h t t =-++【解析】根据题意，设二次函数的表达式为2(4)3h a t =-+， 抛物线过(0,1)即代入，解得18a =-．这个二次函数的表达式为：21(4)38h t =--+2118t t =-++．故选：C ．5．一运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线，点(4,3)为该抛物线的顶点，则该抛物线所对应的函数式为 21(4)332y x =--+ ．【解析】根据题意，得设抛物线对应的函数式为2(4)3y a x =-+ 把点5(0,)2代入得：51632a +=，解得132a =-， ∴抛物线对应的函数式为21(4)332y x =--+. 6．铅球行进高度()y m 与水平距离()x m 之间的关系为21251233y x x =-++，铅球推出后最大高度是 3 m ，铅球落地时的水平距离是 m ． 【解析】21251233y x x =-++Q ，21(4)312y x ∴=--+ 因为1012-< 所以当4x =时，y 有最大值为3． 所以铅球推出后最大高度是3m ． 令0y =，即210(4)312x =--+， 解得110x =，22x =-（舍去） 所以铅球落地时的水平距离是10m ． 故答案为3、10．7．根据牛顿发现的有关自由落体运动的规律，我们知道竖直向上抛出的物体，上升的高度()h m 与时间()t s的关系式为212h v t gt =-，一般情况下，29.8/g m s =．如果09.8/v m s =，那么经过 1 s 竖直向上抛出的小球的上升高度为4.9m ． 【解析】由题意，得当 4.9h =时， 214.99.89.82t t =-⨯，解得：121t t ==．故答案为：1．8．如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y （米)关于水平距离x （米)的函数解析式2113822y x x =-++，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 2 米．【解析】Q 函数解析式为：2113822y x x =-++，223114()428221448ac b y a ⎛⎫⨯⨯-- ⎪-⎝⎭∴===⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭最值．故答案为：2．9．一斜坡上有一高尔夫球场．斜坡的坡度为1:10i =．一球从斜坡底部O 点被击起，飞行轨道是一条抛物线，轨迹最高点H 离开O 点的水平面高度是8米，离O 点的水平距离是4米．则该球落地点A 与O 点的距离为3910150（结果保留根号）【解析】Q 抛物线顶点坐标为(4,8)，∴设抛物线解析式为2(4)8y a x =-+，把(0,0)代入得：1680a +=，解得：12a =-，∴抛物线解析式为2211(4)8422y x x x =--+=-+，Q 斜坡的坡度为1:10i =，∴设A 的坐标为(10,)b b ，代入抛物线得：21100402b b b -⨯+=，解得：3950b =或0b =（舍去）， 由勾股定理得：2239101(10)101OA b b b =+==； 故答案为：39101． 10．如图，足球场上守门员徐杨在O 处抛出一高球，球从离地面1m 处的点A 飞出，其飞行的最大高度是4m ，最高处距离飞出点的水平距离是6m ，且飞行的路线是抛物线一部分．以点O 为坐标原点，竖直向上的方向为y 轴的正方向，球飞行的水平方向为x 轴的正方向建立坐标系，并把球看成一个点．（参考数据：437)≈ （1）求足球的飞行高度()y m 与飞行水平距离()x m 之间的函数关系式；（2）在没有队员干扰的情况下，球飞行的最远水平距离是多少？（精确到个位）（3）若对方一名1.7m 的队员在距落点3C m 的点H 处，跃起0.3m 进行拦截，则这名队员能拦到球吗？【解析】（1）当4h =时，2(6)4y a x =-+， 又(0,1)A ，21(06)4a ∴=-+， 112a ∴=-，21(6)412y x ∴=--+； （2）令0y =，则210(6)412x =--+， 解得：143613x =≈，2360x =-<（舍去）∴球飞行的最远水平距离是13米；（3）当13310x =-=时，81.70.323y =>+=， ∴这名队员不能拦到球．11．小明将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度()y m 与它的飞行时间()x s 满足二次函数关系，y 与x 的几组对应值如下表所示： ()x s0 0.5 1 1.5 2⋯()y m0 8.75 15 18.75 20⋯（Ⅰ）求y 关于x 的函数解析式（不要求写x 的取值范围）； （Ⅱ）问：小球的飞行高度能否达到22m ？请说明理由． 【解析】（Ⅰ）0t =Q 时，0h =，∴设h 与t 之间的函数关系式为2(0)h at bt a =+≠，1t =Q 时，15h =；2t =时，20h =， ∴154220a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得520a b =-⎧⎨=⎩，h ∴与t 之间的函数关系式为2520h t t =-+；（Ⅱ）225205(2)20h t t t =-+=--+，∴小球飞行的最大高度为20m ，2220>Q ，∴小球的飞行高度不能达到22m ．12．在一场篮球比赛中，一名球员在关键时刻投出一球，已知球出手时离地面高2米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，已知篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3.19米．（1）以地面为x 轴，篮球出手时垂直地面所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，求篮球运行的抛物线轨迹的解析式；（2）通过计算，判断这个球员能否投中？ 【解析】（1）依题意得抛物线顶点为(4,4)， 则设抛物线的解析式为2(4)4y a x =-+ 依题意得抛物线经过点(0,2)2(04)42a ∴-+= 解得18a =-∴抛物线的解析式为21(4)48y x =--+（2）当7x =时，2123(74)4 3.1988y =--+=≠ ∴这个球员不能投中．13．在一次高尔夫球的练习中，小成在O 处击球，其飞行路线满足抛物线21855y x x =-+，其中()y m 是球的飞行高度，()x m 是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m ． （1）请写出抛物线的顶点坐标． （2）请求出球洞离击球点的距离．（3）若小成再一次从O 处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式．【解析】（1）2218116(4)5555y x x x =-+=--+∴抛物线21855y x x =-+的顶点为16(4,)5；（2）令0y =，得：218055x x -+=解得：10x =，28x =，∴球飞行的最大水平距离是8m ， ∴球洞离击球点的距离为8210m +=；（3）要让球刚好进洞而飞行最大高度不变，则球飞行的最大水平距离为10m∴抛物线的对称轴为直线5x =，顶点为16(5,)5 设此时对应的抛物线解析式为216(5)5y a x =-+又Q 点(0,0)在此抛物线上，162505a ∴+=，16125a =-， 21616(5)1255y x ∴=--+，即其解析式为2163212525y x x =-+．。

初中数学二次函数应用题型分类——抛物线形物体问题2（附答案）1．如图，池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管的长为（）A．2.1m B．2.2m C．2.3m D．2.25m2．烟花厂某种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h＝﹣2t2+20t+1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（）A．3s B．4s C．5s D．10s3．某建筑物，从10m高的窗口A，用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直），如图所示，如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面403m，则水流落地点B离墙的距离OB是（）A．2m B．3m C．4m D．5m4．如图，公园中一正方形水池中有一喷泉，喷出的水流呈抛物线状，测得喷出口高出水面0.8m，水流在离喷出口的水平距离1.25m处达到最高，密集的水滴在水面上形成了一个半径为3m的圆，考虑到出水口过高影响美观，水滴落水形成的圆半径过大容易造成水滴外溅到池外，现决定通过降低出水口的高度，使落水形成的圆半径为2.75m，则应把出水口的高度调节为高出水面（）A．0.55米B．1130米C．1330米D．0.4米5．如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型(抛物线所在平面与墙面垂直)，如果抛物线的最高点M 离墙1米，离地面3米，则水流下落点B 离墙的距离OB 是( )A ．2.5米B ．3米C ．3.5米D ．4米6．广场上水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y （米）关于水珠和喷头的水平距离x （米）的函数解析式是()236042y x x x =-+≤≤，那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是（ ）A ．1米B ．2米C ．5米D ．6米 7．同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）．于是好奇的小王同学进行了实地测量研究．当小王用一定的力按住顶部A 下压如图②位置时，洗手液从喷口B 流出，路线近似呈抛物线状，且a ＝﹣118．洗手液瓶子的截面图下部分是矩形CGHD ．小王同学测得：洗手液瓶子的底面直径GH ＝12cm ，喷嘴位置点B 距台面的距离为16cm ，且B 、D 、H 三点共线．小王在距离台面15.5cm 处接洗手液时，手心Q 到直线DH 的水平距离为3cm ，若学校组织学生去南京进行研学实践活动，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距DH 的水平距离是（ ）cm ．A ．3B ．2C ．3D ．2 8．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y ＝－x 2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( )A ．4米B ．3米C ．2米D ．1米9．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流的高度h (单位：m)与水流运动时间t (单位:s)之间的关系式为2305h t t =-，那么水流从喷出至回落到地面所需要的时间是( ) A ．6 s B ．4 s C ．3 s D ．2 s10．某公园一喷水池喷水时水流的路线呈抛物线（如图）．若喷水时水流的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的函数关系式是y=﹣x 2+2x+1.25，则水池在喷水过程中水流的最大高度为（ ）A ．1.25米B ．2.25米C ．2.5米D ．3米11．市政府大楼前广场有一喷水池，水从地面喷出，喷出水的路径是一条抛物线．如果以水平地面为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y ＝－x 2＋4x(单位：米)的一部分．则水喷出的最大高度是____米．12．如图，在喷水池的中心A 处竖直安装一个水管AB ，水管的顶端安有一个喷水池，使喷出的抛物线形水柱在与池中心A 的水平距离为1m 处达到最高点C ，高度为3m ，水柱落地点D 离池中心A 处3m ，以水平方向为x 轴，建立平面直角坐标系，若选取A 点为坐标原点时的抛物线的表达式为()()2313034y x x =--+≤≤，则选取点D 为坐标原点时的抛物线表达式为______，水管AB 的长为______m ．13．某市民广场有一个直径16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头(喷水头高度忽略不计)，各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物OA 的顶端A 处汇合，水柱离中心3米处达最高5米，如图所示建立直角坐标系．王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的他站立时必须在离水池中心O________米以内．14．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线，水流的高度h （单位：m ）与水流喷出时间t （单位：s ）之间的关系式为2305h t t =-，那么水流从喷出至回落到水池所需要的时间是__________s ．15．如图，是某公园一圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管OA ＝1.25m ，A 处是喷头，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，水落地后形成一个圆，圆心为O ，直径为线段CB ．建立如图所示的平面直角坐标系，若水流路线达到最高处时，到x 轴的距离为2.25m ，到y 轴的距离为1m ，则水落地后形成的圆的直径CB ＝_____m ．16．如图，公园里喷水池中的水柱的形状可以看成是抛物线，小明想知道水柱的最大高度，于是画出示意图，并测出了一些数据：水柱上的点C,D 到地面的距离都是1.6米，即 1.6BC OD ==米，1AB =米，5AO =米，则水柱的最大高度是______米.17．消防员的水枪喷出的水流可以用抛物线212y x bx =-+来描述，已知水流的最大高度为20m ，则b 的值为________． 18．某体育公园的圆形喷水池的水柱如图①所示，如果曲线APB 表示落点B 离点O 最远的一条水流(如图②)，其上的水珠的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数解析式为y ＝－x 2＋4x ＋94，那么圆形水池的半径至少为_______米时，才能使喷出的水流不落在水池外．19．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线是抛物线y ＝﹣x 2+4x （单位：米）的一部分．则水喷出的最大高度是_____米．20．两幢大楼的部分截面及相关数据如图，小明在甲楼A 处透过窗户E 发现乙楼F 处出现火灾，此时A ,E ,F 在同一直线上.跑到一楼时，消防员正在进行喷水灭火，水流路线呈抛物线，在1.2m 高的D 处喷出，水流正好经过E ,F . 若点B 和点E 、点C 和F 的离地高度分别相同，现消防员将水流抛物线向上平移0.4m ，再向左后退了____m ，恰好把水喷到F 处进行灭火．21．要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷头，使喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离中心3m．（1）在给定的坐标系中画出示意图；（2）求出水管的长度．22．如图1，已知水龙头喷水的初始速度v0可以分解为横向初始速度v x和纵向初始速度v y，θ是水龙头的仰角，且v02=v x2+v y2．图2是一个建在斜坡上的花圃场地的截面示意图，水龙头的喷射点A在山坡的坡顶上（喷射点离地面高度忽略不计），坡顶的铅直高度OA为15米，山坡的坡比为13．离开水龙头后的水（看成点）获得初始速度v0米/秒后的运动路径可以看作是抛物线，点M是运动过程中的某一位置．忽略空气阻力，实验表明：M与A的高度之差d（米）与喷出时间t（秒）的关系为d=v y t-5t2；M与A 的水平距离为v x t米．已知该水流的初始速度v0为15米/秒，水龙头的仰角θ为53°．（1）求水流的横向初始速度v x和纵向初始速度v y；（2）用含t的代数式表示点M的横坐标x和纵坐标y，并求y与x的关系式（不写x 的取值范围）；（3）水流在山坡上的落点C离喷射点A的水平距离是多少米？若要使水流恰好喷射到坡脚B处的小树，在相同仰角下，则需要把喷射点A沿坡面AB方向移动多少米？（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）23．如图，斜坡AB长10米，按图中的直角坐标系可用y=3+5表示，点A，B分别在x轴和y轴上．在坡上的A处有喷灌设备，喷出的水柱呈抛物线形落到B处，抛物线可用y =13-x 2+bx +c 表示．（1）求抛物线的函数关系式（不必写自变量取值范围）；（2）求水柱离坡面AB 的最大高度；（3）在斜坡上距离A 点2米的C 处有一颗3.5米高的树，水柱能否越过这棵树？ 24．游乐园新建的一种新型水上滑道如图，其中线段PA 表示距离水面（x 轴）高度为5m 的平台（点P 在y 轴上）.滑道AB 可以看作反比例函数图象的一部分，滑道BCD 可以看作是二次函数图象的一部分，两滑道的连接点B 为二次函数BCD 的顶点，且点B 到水面的距离2BE m =，点B 到y 轴的距离是5m.当小明从上而下滑到点C 时，与水面的距离3m 2CG =，与点B 的水平距离2m CF =.（1）求反比例函数的关系式及其自变量的取值范围；（2）求整条滑道ABCD 的水平距离；（3）若小明站在平台上相距y 轴1m 的点M 处，用水枪朝正前方向下“扫射”，水枪出水口N 距离平台3m 2，喷出的水流成抛物线形，设这条抛物线的二次项系数为p ，若水流最终落在滑道BCD 上（包括B 、D 两点），直接写出p 的取值范围.25．如图，在喷水池的中心A 处竖直安装一个水管AB ．水管的顶端安有一个喷水管、使喷出的抛物线形水柱在与池中心A 的水平距离为1m 处达到最高点C ．高度为3m ．水柱落地点D 离池中心A 处3m ．建立适当的平面直角坐标系，解答下列问题．（1）求水柱所在抛物线的函数解析式；（2）求水管AB 的长．26．某小区有一半径为8m 的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线．在距水池中心3m 处达到最高，高度为5m ，且各个方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．以水平方向为x 轴，喷水池中心为原点建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求水柱所在抛物线对应的函数关系式；（2）王师傅在喷水池维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8m 的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？27．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个柱子OA ，点O 恰好在水面中心，安装在柱子顶端A 处的圆形喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA 的任意平面上，水流喷出的高度()y m 与水平距离()x m 之间的关系如图所示，建立平面直角坐标系，右边抛物线的关系式为2y x 2x 3=-++.请完成下列问题：（1）将2y x 2x 3=-++化为()2y a x h k =-+的形式，并写出喷出的水流距水平面的最大高度是多少米；（2）写出左边那条抛物线的表达式；（3）不计其他因素，若要使喷出的水流落在池内，水池的直径至少要多少米？ 28．现代城市绿化带在不断扩大，绿化用水的节约是一个非常重要的问题．如图1、图2所示，某喷灌设备由一根高度为0.64 m 的水管和一个旋转喷头组成，水管竖直安装在绿化带地面上，旋转喷头安装在水管顶部（水管顶部和旋转喷头口之间的长度、水管在喷灌区域上的占地面积均忽略不计），旋转喷头可以向周围喷出多种抛物线形水柱，从而在绿化带上喷灌出一块圆形区域．现测得喷的最远的水柱在距离水管的水平距离3 m 处达到最高，高度为1 m ．（1）求喷灌出的圆形区域的半径；（2）在边长为16 m 的正方形绿化带上固定安装三个该设备，喷灌区域可以完全覆盖该绿化带吗？如果可以，请说明理由；如果不可以，假设水管可以上下调整高度，求水管高度为多少时，喷灌区域恰好可以完全覆盖该绿化带．（以上需要画出示意图，并有必要的计算、推理过程）29．某广场喷泉的喷嘴安装在平地上．有一喷嘴喷出的水流呈抛物线状，喷出的水流高度y （m ）与喷出水流喷嘴的水平距离x （m ）之间满足2122y x x =-+ （l ）喷嘴能喷出水流的最大高度是多少？（2）喷嘴喷出水流的最远距离为多少？30．图1是一个倾斜角为α的斜坡的横截面，1tan 2α=．斜坡顶端B 与地面的距离BC 为3米．为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A ，喷头A喷出的水珠在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分．设喷出水珠的竖直高度为y （单位：米）（水珠的竖直高度是指水珠与地面的距离），水珠与喷头A 的水平距离为x （单位：米），y 与x 之间近似满足函数关系2y ax bx =+（a ，b 是常数，0a ≠），图2记录了x 与y 的相关数据．（1）求y关于x的函数关系式；（2）斜坡上有一棵高1.8米的树，它与喷头A的水平距离为2米，通过计算判断从A 喷出的水珠能否越过这棵树．参考答案1．D【解析】【分析】设抛物线的解析式为y= a(x-1)2+3(0≤x≤3)，将(3，0)代入求得a值，则x=0时得的y值即为水管的长．【详解】解：由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m，则设抛物线的解析式为：y=a(x-1)2+3(0≤x≤3)，代入(3，0)得，0=a×(3-1)2+3，求得：a=34．将a值代入得到抛物线的解析式为：y=-34(x-1)2+3(0≤x≤3)，令x=0，则y=94=2.25．则水管长为2.25m，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．2．C【解析】【分析】将h关于t的函数关系式变形为顶点式，即可得出升到最高点的时间，从而得出结论．【详解】解：∵h＝﹣2t2+20t+1＝﹣2（t﹣5）2+51，∴当t＝5时，礼炮升到最高点．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是将二次函数的关系式变形为顶点式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，将函数的关系式进行变换找出顶点坐标即可．3．B【解析】【分析】以OB为x轴，OA为y轴建立平面直角坐标系，A点坐标为（0，10），M点的坐标为（1，403），设出抛物线的解析式，代入解答球的函数解析式，进一步求得问题的解．【详解】解：设抛物线的解析式为y＝a(x﹣1)2+403，把点A（0，10）代入a(x﹣1)2+403，得a(0﹣1)2+403＝10，解得a＝﹣103，因此抛物线解析式为y＝﹣103(x﹣1)2+403，当y＝0时，解得x1＝3，x2＝﹣1（不合题意，舍去）；即OB＝3米．故选B．【点睛】本题是一道二次函数的综合试题，考查了利用待定系数法求函数的解析式的运用，运用抛物线的解析式解决实际问题．解答本题是时设抛物线的顶点式求解析式是关键．4．B【解析】【分析】如图，以O为原点，建立平面直角坐标系，由题意得到对称轴为x＝1.25＝54，A（0，0.8），C（3，0），列方程组求得函数解析式，即可得到结论．【详解】解：如图，以O为原点，建立平面直角坐标系，由题意得，对称轴为x＝1.25＝54，A（0，0.8），C（3，0），设解析式为y＝ax2+bx+c，∴9305240.8a b cbac++=⎧⎪⎪-=⎨⎪=⎪⎩，解得：8154345abc⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以解析式为：y＝815-x2+43x+45，当x＝2.75时，y＝13 30，∴使落水形成的圆半径为2.75m，则应把出水口的高度调节为高出水面08﹣1330＝1130，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意建立合适的坐标系，找到点的坐标，用待定系数法解出函数解析式是解题的关键5．B【解析】【分析】由题意可以知道M（1，3），A（0，2.25），用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，当y=0时就可以求出x的值，这样就可以求出OB的值．【详解】解：设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+3，把A（0，2.25）代入，得2.25=a+3，a=-0.75．∴抛物线的解析式为：y=-0.75（x-1）2+3．当y=0时，0=-0.75（x-1）2+3，解得：x1=-1（舍去），x2=3．OB=3米．故选：B．【点睛】本题是一道二次函数的综合试题，考查了利用待定系数法求函数的解析式的运用，运用抛物线的解析式解决实际问题，解答本题是求出抛物线的解析式．6．B【解析】【分析】先把函数关系式配方，即可求出函数取最大值时自变量的值．【详解】解：∵y=-32x2+6x=-32（x2-4x）=-32[（x-2）2-4]=-32（x-2）2+6，∴当x=2时，y有最大值，∴水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2．故选B．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，关键是把二次函数变形，求出当函数取最大值时自变量的值，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．7．B【解析】【分析】根据题意得出各点坐标，利用待定系数法求抛物线解析式进而求解．【详解】解：如图：根据题意，得Q （9，15.5），B （6，16），OH ＝6，设抛物线解析式为y ＝﹣118x 2+bx +c ， 12×81915.5,,183114.×36616,18b c b c b c ⎧-++=⎧⎪=⎪⎪⎨⎨⎪⎪=-++=⎩⎪⎩解得， 所以抛物线解析式为y ＝﹣118x 2+23x +14． 当y ＝0时，即0＝﹣118x 2+23x +14， 解得：x ＝2（负值舍去），又OH=6， 所以洗手液落在台面的位置距DH 的水平距离是2cm ．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是明确待定系数法求二次函数的解析式及准确进行计算．8．A【解析】）∵y=－x 2＋4x=2x-24-+（），∴当x=2时，y 有最大值4，∴最大高度为4m9．A【解析】由于水流从抛出至回落到地面时高度h 为0，把h =0代入h =30t -5t 2即可求出t ，也就求出了水流从抛出至回落到地面所需要的时间．解：水流从抛出至回落到地面时高度h 为0，把h =0代入h =30t −5t 2得：5t 2−30t =0，解得：t 1=0(舍去),t 2=6.故水流从抛出至回落到地面所需要的时间6s.故选A.10．B【解析】试题分析：直接利用二次函数解析式得出水流离地面的最大高度．解：∵y=﹣x 2+2x+1.25=﹣（x ﹣1）2+2.25，∴水池在喷水过程中水流的最大高度为2.25米．故选B ．考点：二次函数的应用．11．4【解析】【分析】根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线24y x x =-+的顶点坐标的纵坐标，利用配方法或公式法求得其顶点坐标的纵坐标即为本题的答案.【详解】水在空中划出的曲线是抛物线24y x x =-+， ∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线24y x x =-+的顶点坐标的纵坐标， ∴()22424y x x x =-+=--+，∴顶点坐标为：()2,4， ∴喷水的最大高度为4米.故答案为：4.【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决此类问题的关键是从实际问题中整理出函数模型，利用函数的知识解决实际问题.12．()()2323304y x x =-++-≤≤ 2.25． 【解析】【分析】直接利用二次函数的平移规律进而得出答案，再由题意可得，3x =-时得到的y 值即为水管的长．【详解】以喷水池中心A 为原点，竖直安装的水管为y 轴，与水管垂直的为x 轴建立直角坐标系． 抛物线的解析式为：()23134y x =--+， 当选取点D 为坐标原点时，相当于将原图象向左平移3个单位， 故平移后的抛物线表达式为：()()2323304y x x =-++-≤≤； 令3x =-，则33 2.254y =-+=． 故水管AB 的长为2.25m ． 故答案为：()()2323304y x x =-++-≤≤；2.25． 【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的平移性质是解题关键．13．7【解析】【分析】根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点（8，0），求出a 值，求出函数解析式，利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y=1.8时x 的值，由此即可得出结论；【详解】设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=a （x －3）2+5（a≠0），将（8，0）代入y=a （x －3）2+5，得：25a+5=0，解得：a=－15，∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=－15（x－3）2+5（0＜x＜8）．当y=1.8时，有－15（x－3）2+5=1.8，解得：x1=－1（舍去），x2=7，∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．故答案为：7【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：根据点的坐标，用利用待定系数法求出二次函数表达式并利用二次函数图象上点的坐标特征求出当y=1.8时x的值．14．6【解析】【分析】由于水流从抛出至回落到地面时高度h为0，把h=0代入h=30t-5t2即可求出t，也就求出了水流从抛出至回落到地面所需要的时间．【详解】水流从抛出至回落到地面时高度h为0，把h=0代入h=30t-5t2得：5t2-30t=0，解得：t1=0（舍去），t2=6．故水流从抛出至回落到地面所需要的时间6s．故答案为：6【点睛】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是正确理解题意，利用函数解决问题，结合实际判断所得出的解．15．5【解析】【分析】设y轴右侧的抛物线解析式为：y＝a（x−1）2＋2.25，将A（0，1.25）代入，求得a，从而可得抛物线的解析式，再令函数值为0，解方程可得点B 坐标，从而可得CB 的长．【详解】解：设y 轴右侧的抛物线解析式为：y ＝a （x ﹣1）2+2.25∵点A （0，1.25）在抛物线上∴1.25＝a （0﹣1）2+2.25解得：a ＝﹣1∴抛物线的解析式为：y ＝﹣（x ﹣1）2+2.25令y ＝0得：0＝﹣（x ﹣1）2+2.25解得：x ＝2.5或x ＝﹣0.5（舍去）∴点B 坐标为（﹣2.5，0）∴OB ＝OC ＝2.5∴CB ＝5故答案为：5．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数的相关性质及正确的解方程，是解题的关键．16．7225【解析】【分析】设解析式为2y ax bx c =++，由题意可知点D 为（0，1.6），点C 为（4，1.6），点A 为（5，0），代入后得到三元一次方程组，解方程组即可求出抛物线解析式，再求顶点坐标即可．【详解】解：设解析式为2y ax bx c =++，由题意可知点D 为（0，1.6），点C 为（4，1.6），点A 为（5，0）， ∴ 1.6164 1.62550c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得825322585a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩， ∴解析式为：2832825255y x x =-++， ∴当3225282()25x =-=⨯-时，y 有最大值为7225. ∴水柱的最大高度是7225米. 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，用待定系数法求出二次函数的解析式是解题关键． 17．±【解析】【分析】利用二次函数的性质列出关于b 的方程，求出方程的解即可得到b 的值．【详解】解：抛物线y =12-x 2+bx ， 根据题意得： 2b a - =122b -⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=b ，当x =b 时，取得最大值为20，21202b b b -+=， 12b 2=20， b =±． 故答案为：b =±． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解决本题的关键是要熟练掌握二次函数的性质． 18．92【解析】【详解】当y=0时，即-x2+4x+94=0，解得x1=92，x2=-12（舍去）．答：水池的半径至少92米时，才能使喷出的水流不落在水池外．故答案是：92．19．4米【解析】【分析】根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=﹣x2+4x的顶点坐标的纵坐标，利用配方法或公式法求得其顶点坐标的纵坐标即为本题的答案．【详解】解：∵水在空中划出的曲线是抛物线y=﹣x2+4x，∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=﹣x2+4x的顶点坐标的纵坐标，∴y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，∴顶点坐标为：（2，4），∴喷水的最大高度为4米，故选A．【点睛】考点：二次函数的应用．理解二次函数性质是关键.2010【解析】设直线AE的解析式为:y=kx+21.2.把E（20,9.2）代入得，20k+21.2=9.2,∴k=-0.6,∴y =-0.6x +21.2. 把y =6.2代入得， -0.6x +21.2=6.2， ∴x =25, ∴F (25,6.2).设抛物线解析式为：y=ax 2+bx +1.2, 把E （20,9.2）, F (25,6.2)代入得，40020 1.29.262525 1.2 6.2a b a b ++=⎧⎨++=⎩解之得0.041.2a b =-⎧⎨=⎩ ， ∴y =-0.04x 2+1.2x +1.2，设向上平移0.4m ，向左后退了h m, 恰好把水喷到F 处进行灭火由题意得 y =-0.04(x +h )2+1.2(x+h )+1.2+0.4, 把F (25,6.2)代入得，6.2=-0.04×(25+h )2+1.2(25+h )+1.2+0.4， 整理得 h 2+20h -10=0, 解之得110x =-,210x =-（舍去）.∴向后退了10)m点睛：本题考查了二次函数和一次函数的实际应用，设直线AE 的解析式为:y =kx +21.2. 把E （20,9.2）代入求出直线解析式，从而求出点F 的坐标.把E （20,9.2）, F (25,6.2)代入y=ax 2+bx +1.2求出二次函数解析式.设向左平移了h m ，表示出平移后的解析式，把点F 的坐标代入可求出k 的值.21．（1）详见解析；（2）水管长为2.25m ． 【解析】 【分析】（1）以池中心为原点，竖直安装的水管为y 轴，与水管垂直的为x 轴建立直角坐标系； （2）设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣1）2+3（0≤x ≤3），将（3，0）代入求得a 值，则x ＝0时得的y 值即为水管的长． 【详解】解：（1）建立以池中心为原点，竖直安装的水管为y 轴，与水管垂直的为x 轴建立直角坐标系；（2）由于在距池中心的水平距离为1m 时达到最高，高度为3m ， 则设抛物线的解析式为： y ＝a （x ﹣1）2+3（0≤x ≤3）， 代入（3，0）求得：a ＝﹣34． 将a 值代入得到抛物线的解析式为： y ＝﹣34（x ﹣1）2+3（0≤x ≤3）， 令x ＝0，则y ＝94＝2.25． 故水管长为2.25m ．【点睛】此题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据图形建立合适的直角坐标系. 22．（1）水流的横向初始速度v x 是9米/秒，纵向初始速度v y 是12米/秒；（2）y=-2581x +43x+15；（3）水流在山坡上的落点C 离喷射点A 的水平距离是27米，需要把喷射点A 沿坡面AB 方向移动610 【解析】【分析】（1）根据题意利用θ的正弦和余弦定义可得结论；（2）由（1）的表示出v x 表示出x ，OA 已知，利用y=d+OA ，代入OA 的值和d 与t 的函数关系式，可以得解；（3）先求得点A 和点B 的坐标，进而写出其直线解析式，再将其与（2）中抛物线解析式联立，从而求得落点C 的坐标，再利用平移知识及勾股定理可以求解． 【详解】解：（1）∵v 0为15米/秒，水龙头的仰角θ为53°，∴cosθ=0xv v ，sinθ=0y v v ，∴v x =15cos53°=15×35=9，v y =15sin53°=15×45=12；答：水流的横向初始速度v x 是9米/秒，纵向初始速度v y 是12米/秒； （2）x=v x t=9t ， ∴t=9x ， 又M 与A 的高度之差d （米）与喷出时间t （秒）的关系为d=v y t-5t 2∴y=d+OA=12t-5t 2+15=-5×2()9x +12×9x +15=-2581x +43x+15；∴y 与x 的关系式为：y=-2581x +43x+15．（3）∵坡顶的铅直高度OA 为15米，山坡的坡比为13，∴OB=45米，点A （0，15）点B （45，0）∴直线AB 的解析式为：y=13x -+15，将其与抛物线解析式联立得：254158131153y x x y x ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩， 解得015x y =⎧⎨=⎩（舍）或276x y =⎧⎨=⎩，∴水流在山坡上的落点C 坐标为（27，6），喷射点A 沿坡面AB 方向移动的距离等于BC 的距离，而答：水流在山坡上的落点C 离喷射点A 的水平距离是27米，需要把喷射点A 沿坡面AB 方向移动 【点睛】本题考查了二次函数的应用以及坡度问题和解直角三角形的应用等知识，正确构造出直角三角形是解题关键． 23．（1）y =-13x 2+3x +5；（2）当x=2时，水柱离坡面的距离最大，最大距离为254；（3）水柱能越过树，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意先求出A,B 的坐标，再把其代入解析式即可 （2）由（1）即可解答（3）过点C 作CD ⊥OA 于点D ，求出ODOD 代入解析式即可 【详解】（1）∵AB =10、∠OAB =30°， ∴OB =12AB =5、OA则A （0）、B （0，5），将A 、B 坐标代入y =-13x 2+bx +c，得：175035c c ⎧-⨯++=⎪⎨⎪=⎩，解得：5b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为y =-13x 2+5； （2）水柱离坡面的距离d =-13x 2+3x +5-（-3x +5）=-13x 2+533x =-13（x 2-53x ） =-13（x -532）2+254， ∴当x =532时，水柱离坡面的距离最大，最大距离为254； （3）如图，过点C 作CD ⊥OA 于点D ，∵AC =2、∠OAB =30°， ∴CD =1、AD 3 则OD 3， 当x 3时，y =-13×（32+33×3＞1+3.5， 所以水柱能越过树． 【点睛】此题考查二次函数的应用，解题关键在于求出A,B 的坐标 24．（1）10y x=，25x ≤≤；（2）7m ；（3）91332128p -≤≤-. 【解析】 【分析】（1）在题中，BE=2，B 到y 轴的距离是5，即反比例函数图象上一点的横坐标和纵坐标都已告知，则可求出比例系数k ；（2）根据B ，C 的坐标求出二次函数解析式，得到点D 坐标，即OD 长度再减去AP 长度，可得滑道ABCD 的水平距离；（3）由题意可知点N 为抛物线的顶点，设水流所成抛物线的表达式为213(1)2y p x =-+，通过计算水流分别落到点B 和点D 可以得出p 的取值范围.。