1.位置矢量 位移 速度 加速度

大学物理1(上)知识点总结一维运动学参考系是用来确定物体位置的物体。

为了进行定量描述，需要在参考系上建立坐标系。

位置矢量（位矢）是从坐标原点引向质点所在位置的有向线段，用矢量r表示。

位矢用于确定质点在空间中的位置。

位矢与时间t的函数关系为：r = r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k其中i、j、k是坐标轴的单位向量。

运动方程是指位移矢量Δr = r(t+Δt) - r(t)。

位移矢量是质点在时间Δt内的位置改变。

轨道方程是质点运动轨迹的曲线方程。

速度是质点位矢对时间的变化率。

平均速度定义为单位时间内的位移，即Δr/Δt。

速率是质点路程对时间的变化率，即v = ds/dt。

加速度是质点速度对时间的变化率，即a = dv/dt。

在圆周运动中，有法向加速度和切向加速度。

法向加速度的方向沿半径指向曲率中心（圆心），反映速度方向的变化。

切向加速度的方向沿轨道切线，反映速度大小的变化。

角速度的方向沿轨道切线，反映速度方向的变化。

对于两个相互作平动的参考系，有r'pk = rpk + rkk'，vpk= vpk' + vkk'，apk = apk' + akk'。

掌握位置矢量、位移、速度、加速度、角速度、角加速度等描述质点运动和运动变化的物理量，明确它们的相对性、瞬时性和矢量性。

理解法向加速度和切向加速度的物理意义；掌握圆周运动的角量和线量的关系，并能灵活运用计算问题。

理解XXX坐标、速度变换，能分析与平动有关的相对运动问题。

功是力和位移的标积，即dA = F·dr = Fds·cosθ。

对质点在力作用下的有限运动，力作的功为A = ∫F·dr。

在直角坐标系中，此功可写为。

角动量定理指出，质点所受的合外力矩等于它的角动量对时间的变化率。

其中，质点的角动量可以表示为L=r×p=r×mv，其中r为质点到某一固定点的位置矢量，p为质点的动量。

第一章 质点运动学一、 基本要求1．掌握位矢、位移、速度、加速度，角速度和角加速度等描述质点运动和运动变化的物理量。

2． 能借助于直角坐标计算质点在平面内运动时的速度、加速度。

3．能计算质点作圆周运动时的角速度和角加速度，切向加速度和法向加速度。

4．理解伽利略坐标，速度变换。

二、 基本内容1．位置矢量（位矢）位置矢量表示质点任意时刻在空间的位置，用从坐标原点向质点所在点所引的一条有向线段r 表示。

r 的端点表示任意时刻质点的空间位置。

r同时表示任意时刻质点离坐标原点的距离及质点位置相对坐标系的方位。

位矢是描述质点运动状态的物理量之一。

注意：（1）瞬时性：质点运动时，其位矢是随时间变化的，即()t r r=；（2）相对性：用r描述质点位置时，对同一质点在同一时刻的位置，在不同坐标系中r 可以是不相同的。

它表示了r的相对性，也反映了运动描述的相对性；（3）矢量性：r为矢量，它有大小，有方向，服从几何加法。

在直角坐标系Oxyz 中k z j y i x r++=222z y x r r ++==r z r y r x ===γβαcos ,cos ,cos质点运动时， ()t r r= （运动方程矢量式）()()()⎪⎩⎪⎨⎧===t z z t y y t x x （运动方程标量式）。

２．位移()(),j y i x t r t t r r ∆+∆=-∆+=∆ r∆的模()()22y x r ∆+∆=∆ 。

注意：（１）r∆与r ∆：前者表示质点位置变化，是矢量，同时反映位置变化的大小和方位；后者是标量，反映质点位置离开坐标原点的距离的变化。

（２）r∆与s ∆：s ∆表示t —t t ∆+时间内质点通过的路程，是标量，只有质点沿直线运动时两者大小相同或0→∆t 时，s r ∆=∆。

3. 速度dtrd v =是描述位置矢量随时间的变化。

在直角坐标系中k v j v i v k dtdz j dt dy i dt dx dt r d v z y x++=++==222222z y x v v v dt dz dt dy dt dx v v ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛==v的方向：在直线运动中，v>0表示沿坐标轴正向运动，v <0表示沿坐标轴负向运动。

速度加速度和位移的关系在物理学中，速度、加速度和位移是描述物体运动状态和变化的关键概念。

它们之间存在着紧密的关系，这种关系对于理解物体在空间中的运动轨迹和运动特性非常重要。

本文将探讨速度、加速度和位移之间的关系，并深入介绍它们在物理学中的应用。

一、速度、加速度和位移的定义在开始讨论它们之间的关系之前，我们先来看一下它们的定义。

1. 速度（velocity）：速度是物体在单位时间内所移动的距离。

它是一个矢量量，既有大小也有方向。

速度的单位通常是米每秒（m/s）。

2. 加速度（acceleration）：加速度是物体在单位时间内速度的变化率。

它也是一个矢量量，既有大小也有方向。

加速度的单位通常是米每平方秒（m/s²）。

3. 位移（displacement）：位移是指物体从一个位置到另一个位置所经过的路径长度的变化量。

它是一个矢量量，有大小和方向。

位移的单位通常也是米（m）。

二、速度加速度和位移之间的关系速度、加速度和位移之间的关系可以通过微积分的概念来理解。

根据微积分的定义，速度是位移对时间的导数，加速度是速度对时间的导数。

换言之，速度和加速度可以分别表示为位移和时间的一阶导数和二阶导数。

1. 速度和位移的关系根据速度的定义，速度等于位移除以时间。

数学表达式为：速度 = 位移 / 时间即v = ∆x / ∆t这个公式告诉我们，速度可以通过位移和时间来计算。

例如，一个物体从位置A移动到位置B，所经过的位移为∆x，所花费的时间为∆t，那么它的速度就等于∆x除以∆t。

2. 加速度和速度的关系根据加速度的定义，加速度等于速度除以时间。

数学表达式为：加速度 = 速度 / 时间即a = v / ∆t同样，这个公式告诉我们，加速度可以通过速度和时间来计算。

例如，一个物体在某一瞬间的速度为v，经过的时间为∆t，那么它的加速度就等于v除以∆t。

三、速度、加速度和位移的应用速度、加速度和位移是物理学中的重要概念，它们在许多实际应用中都有广泛的应用。

直线运动中速度与加速度的关系直线运动是物体在直线上以匀速或变速运动的一种形式。

在力学中，我们常常关注物体的速度和加速度，它们是直线运动的重要参数。

速度是描述物体位置随时间变化的物理量，加速度是描述速度随时间变化的物理量。

本文将探讨直线运动中速度与加速度的关系。

一、速度的定义与性质速度是物体在单位时间内所经过的距离。

用物理学的语言来描述，速度是位置矢量对时间的导数。

所谓位置矢量，是指物体在某一时刻相对于某一参考点的位置表示。

在直线运动中，速度可以分为平均速度和瞬时速度。

平均速度是指物体在某一时间段内所经过的总距离除以时间的比值。

用公式表示为：v平均= Δx / Δt。

其中，Δx表示位移，Δt表示时间间隔。

瞬时速度是指物体在某一时刻的速度，即在瞬间时间内位移的变化率。

用公式表示为：v瞬时= dx / dt。

其中，dx表示位移的微小增量，dt表示时间的微小增量。

速度的性质有两个重要的特点：1. 速度与位移成正比：速度的大小与物体的位移成正比，即位移越大，速度越高。

这是因为速度是刻画位移变化的物理量；2. 速度与时间成反比：速度的大小与时间成反比，即时间越短，速度越高。

这是因为速度是刻画时间变化的物理量。

二、加速度的定义与性质加速度是物体在单位时间内速度的变化。

用物理学的语言来描述，加速度是速度矢量对时间的导数。

所谓速度矢量，是指物体在某一时刻的速度表示。

在直线运动中，加速度可以分为平均加速度和瞬时加速度。

平均加速度是指物体在某一时间段内速度的总变化除以时间的比值。

用公式表示为：a平均= Δv / Δt。

其中，Δv表示速度差，Δt表示时间间隔。

瞬时加速度是指物体在某一时刻的加速度，即在瞬间时间内速度的变化率。

用公式表示为：a瞬时 = dv / dt。

其中，dv表示速度的微小增量，dt表示时间的微小增量。

加速度的性质有两个重要的特点：1. 加速度与速度成正比：加速度的大小与物体的速度成正比，即速度越快，加速度越大。

加速度求位置矢量的公式
加速度、位移公式是什么
vt=v0+at
(t2-v02)=2as
s=vOt+at2/2
s=(vO+vt)t/2
s2-s1=aT2
加速度相关公式
1、平均速度：V平=s/t（定义式），有用推论Vt2-Vo2=2as
2、中间时刻速度：Vt/2=V平=Vt+Vo)/2
3、末速度：Vt=Vo+at
4、位移：s=V平t=Vot+at2/2=Vt/2t
6、加速度：a=Vt-Vo)/t{以Vo为正方向，a与Vo同向加速南a>0;反向则a<0}
7、实验用推论：△s=aT2{△s为连续相邻相等时间D内位移之差}
位移计算公式
物体在某一段时间内，如果由初位置移到末位置，则由初位置到末位置的有向线段叫做位移。

它的大小是运动物体初位置到末位置的直线距离：方向是
1
从初位置指向末位置。

位移只与物体运动的始末位置有关，而与运动的轨迹无关。

如果质点在运动过程中经过
一段时间后回到原处，那么，路程不为零而位移则为零。

△X=X2-X1（未位置减初位置）要注意的是位移是直线距离，不是路程。

匀变速运动的
位移公式：x=v0t+1/2at2。

匀变速运动速度与位移的推论：X=Vot+2at2。

注：v0指初速度指末速度。

2。

《大学物理》考试大纲 2015.9第一部分力学（一）质点运动学1．掌握位置矢量、位移、速度、加速度等描述质点机械运动和特征的物理量。

能借助于直角坐标系计算质点在平面内运动时的速度、加速度。

能借助于极坐标计算质点作圆周运动时的角速度、角加速度、切向加速度和法向加速度。

2．理解质点运动的瞬时性、矢量性和相对性。

3．掌握运动学两类问题的求解方法：运动学的第一类问题：由运动方程求质点的速度和加速度；运动学的第二类问题：由质点的速度或加速度及初始条件，求运动方程。

（二）质点动力学1．掌握牛顿运动三定律及其适用范围。

能求解一维变力情况下质点的动力学问题。

2．理解力学单位制和量纲。

3．掌握功的概念及变力做功的表达式，能计算一维变力的功。

掌握质点的动能定理，理解保守力做功的特点及势能概念。

会计算重力、弹性力和万有引力势能，掌握机械能守恒定律。

4．掌握质点的动量定理及质点系的动量守恒定律，理解质点的角动量和角动量守恒定律。

掌握运用守恒定律分析力学问题的思路和方法，能求解简单系统在平面内运动的力学问题。

（三）刚体力学基础1．理解描述转动的角量（角位移、角速度和角加速度）与线量的关系。

2．理解力矩、力矩的功、转动惯量、刚体的角动量和转动动能等物理量。

3．理解转动定律和角动量守恒定律，会分析处理包括质点和刚体、平动和转动的简单系统的力学问题。

第二部分电磁学（一）真空中的静电场1．理解库仑定律和电学单位制。

2．掌握电场强度的概念和电场的叠加原理。

根据电荷的分布能计算电场强度的空间分布，理解电偶极子和电偶极矩的概念，能计算电偶极子在均匀电场中的力矩。

3．理解静电场的高斯定理。

理解用高斯定理计算电场强度的条件和方法。

4．理解静电场力做功的特点及静电场的环路定理，掌握电势能和电势的概念及电场强度和电势的关系。

由电荷的分布，根据电势叠加原理会计算空间电势的分布。

（二） 静电场中的导体和电介质1．理解处于静电平衡条件下导体中的电场强度、电势和电荷的分布。

物理学中的矢量位移速度与加速度物理学中的矢量位移、速度与加速度物理学是一门研究物质的运动规律和属性的科学。

在物理学中，矢量位移、速度和加速度是三个重要的概念，它们有着密切的联系。

本文将深入剖析这三个概念的定义、计算以及它们之间的关系。

一、矢量位移矢量位移是一个物体从初始位置移动到最终位置的直线距离的有向量表示。

用符号Δr表示，Δr = r2 - r1，其中r2表示物体的最终位置矢量，r1表示物体的初始位置矢量。

二、速度速度是描述物体运动变化率的物理量，它是位移关于时间的导数。

速度的定义是v = Δr / Δt，其中Δr表示位移矢量，Δt表示时间变化的量。

速度是一个矢量量，它既有大小，又有方向。

在国际单位制中，速度单位为米每秒（m/s）。

三、加速度加速度是描述物体速度变化率的物理量，它是速度关于时间的导数。

加速度的定义是a = Δv / Δt，其中Δv表示速度矢量的变化量，Δt表示时间变化的量。

加速度也是一个矢量量，它既有大小，又有方向。

在国际单位制中，加速度单位为米每秒平方（m/s²）。

通过分析位移、速度和加速度的定义，我们可以看出它们之间的关系。

速度是位移的导数，表示单位时间内物体位置的变化率。

而加速度是速度的导数，表示单位时间内速度的变化率。

因此，加速度也可以看作是位移关于时间的二阶导数。

在一维运动中，我们可以用函数的导数来计算速度和加速度。

对于位移函数x(t)，我们可以通过求导得到速度函数v(t)，再次求导得到加速度函数a(t)。

在多维运动中，我们可以将位移、速度和加速度分别看作是矢量的分量，对每个方向进行独立计算。

除了函数法，我们还可以通过图像法来分析位移、速度和加速度之间的关系。

通过绘制位移-时间、速度-时间、加速度-时间的图像，我们可以直观地了解它们的变化规律。

需要特别注意的是，位移、速度和加速度的方向是相对于某个参考点或参考系统而言的。

选择合适的参考点和参考系对于矢量的描述非常重要。

第1章质点运动学基本要求1.掌握描述质点运动的基本物理量 位置矢量㊁位移㊁速度和加速度等概念及其主要性质(矢量性㊁瞬时性和相对性)㊂2.理解运动方程和轨道方程的意义,能应用直线运动方程和运动叠加原理求解简单的质点运动学问题㊂(1)已知质点运动方程,求质点的位移㊁速度和加速度等物理量;(2)已知速度或加速度及初始条件,求质点的运动方程;(3)熟练掌握匀变速直线运动㊁抛体运动的规律㊂3.掌握圆周运动中角速度㊁角加速度㊁切向加速度和法向加速度等概念㊂基本概念和基本规律1.质点在所研究的问题中,物体的大小和形状可忽略不计时,我们把它看作只具有质量而无大小㊁形状的理想物体,称为质点㊂质点是物理学中物体的理想模型㊂2.位置矢量(或矢径)r在直角坐标系中点P的位置矢量(如图1.2.1所示)表示为r=x i+y j+z k位置矢量的大小为r=|r|=x2+y2+z2位置矢量的方向用方向余弦表示为c o sα=x r,c o sβ=y r,c o sγ=z r在二维运动中(如图1.2.2所示)r=x i+y jr=|r|=x2+y2θ=a r c t a n y x式中θ是r与x轴正向间夹角㊂Ң2大学物理学习指导图 1.2.1图 1.2.23.位移位移是描述质点在t ~t +Δt 时间内位置矢量变化的物理量(如图1.2.3所示)㊂质点在Δt 内由P 1到P 2的位移等于同一时间内位置矢量的增量Δr:图 1.2.3Δr =r 2-r 1=(x 2-x 1)i +(y 2-y 1)j +(z 2-z 1)k 位移的大小|Δr |=(x 2-x 1)2+(y2-y 1)2+(z 2-z 1)2位移的方向:c o s α=Δx |Δr |, c o s β=Δy |Δr |, c o s γ=Δz |Δr | 注意:①位移Δr 与位置矢量r 的物理意义不同,r 与时刻t 对应,Δr 与Δt 对应;②|Δr |ʂΔr =r 2-r 1,Δr =x 22+y 22+z 22-x 21+y21+z 21;③位移与参照系的选择有关,具有相对性;④直线运动中的位移Δx =x 2-x 1,Δx 的正负表示位移的方向沿x 轴的正向或负向㊂4.速度速度是描述质点的位置随时间变化快慢和方向的物理量㊂(1)平均速度췍-=Δr Δt =Δx Δt i +Δy Δt j +Δz Δtk =v -x i +v -y j +v -z k 췍-称为质点在t ~t +Δt 这段时间内的平均速度㊂(2)瞬时速度췍=d r d t =d x d t i +d y d t j +dz d tk =v x i +v yj +v z k 췍称为质点在时刻t 的瞬时速度,简称速度㊂注意:①v =|췍|=v 2x +v 2y +v 2z =d x d æèçöø÷t 2+d y d æèçöø÷t 2+d z d æèçöø÷t 2ʂd r d t;②直线运动中v =d x d t,v 的正负表示速度的方向沿x轴正向㊁负向㊂(3)平均速率v -=Δs Δt式中Δs 是质点在t ~t +Δt 时间内走过的路程,v -称质点在t ~t +Δt 时间内的平均速率㊂第1章 质点运动学Ң3(4)瞬时速率v =d s d tv 称为质点在t 时刻的瞬时速率,简称速率㊂同一瞬间的瞬时速率和瞬时速度的大小是相同的㊂5.加速度加速度是描述质点运动速度变化的物理量㊂(1)平均加速度a -=Δ췍Δt =Δv x Δt i +Δv y Δt j +Δv zΔtk a -称为质点在t ~t +Δt 这段时间内的平均加速度㊂(2)瞬时加速度a =d 췍d t =d v x d t i +d v y d t j +d v z d t k =d 2x d t 2i +d 2y d t 2j +d 2z d t2k =a x i +a yj +a z k a 称为质点在t 时刻的瞬时加速度,简称加速度㊂(3)质点作平面曲线运动时的加速度,亦可用自然坐标系中的法向加速度和切向加速度表示:法向加速度a n =v 2ρ,方向指向该处的曲率中心;切向加速度a τ=d v d t,正㊁负表示切向加速度的方向与该处速度方向 同 ㊁ 反 ㊂总加速度a =a n +a τ式中,v 为质点所在处的速率;ρ为质点所在处曲率半径㊂注意:①a 的方向是速度变化的方向,即Δ췍的极限方向,一般不代表质点的运动方向㊂②区分췍和a 概念:췍=0,a 不一定为零;췍大,a 不一定大㊂③曲线运动中a n ʂ0;直线运动中a n =0,a τ=d v d t;直线运动a 的正㊁负表示加速度的方向沿选定轴的正向㊁负向㊂6.圆周运动的角量描述设质点作圆周运动,t 时刻质点在A 点,t +Δt 时刻质点运动到B 点,如图1.2.4所示㊂则质点的运动亦可用下述角量描述㊂图 1.2.4θ为半径O A 与x 轴间夹角,θA 是质点在A 点的角位置,则Δθ=θB -θAΔθ称为质点在t ~t +Δt 内对O 点的角位移㊂ω=l i mΔt ң0ΔθΔt =d θd tω称为质点在t 时刻对O 点的瞬时角速度(简称角速度)㊂α=l i mΔt ң0ΔωΔt =d ωd tα称为质点在t 时刻对O 点的瞬时角加速度(简称角加速度)㊂Ң4大学物理学习指导角量与线量间的关系:v =R ωa n =v 2R , a τ=d v d t=R α7.运动方程r (t)质点的位置矢量r (t)(或角位置θ)随时间的变化规律称为质点的运动方程,可表示为r (t )=x (t )i +y (t )j +z (t )k 或θ=θ(t)质点的运动方程在直角坐标系中亦可用分量式表示为x =x (t )y =y (t )z =z (tìîíïïï) 运动方程反映了质点的空间位置随时间的变化过程㊂从运动方程的分量式中消去t,得到x ㊁y ㊁z 间的关系式,称为质点的轨道方程㊂8.运动叠加原理一个运动可看成几个各自独立进行的运动叠加而成,这称为运动叠加原理或运动独立性原理㊂例如,抛体运动可看成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动的叠加㊂9.几种简单的运动规律(1)直线运动的规律(假设运动发生在x 轴上)匀速直线运动方程:x =x 0+v t 匀变速直线运动方程:x =x 0+v 0t +12a t 2变速直线运动方程:x =x 0+ʏt 0v d t v =v 0+ʏt 0a dt式中x 0㊁v 0分别是t=0时质点的初始位置㊁初始速度㊂(2)圆周运动的角量描述规律匀速圆周运动:θ=θ0+ωt a n =R ω2, a τ=0 匀变速圆周运动:θ=θ0+ω0t +12αt 2a n =R ω2, a τ=d vd t=Rα第1章 质点运动学Ң5 式中θ0㊁ω0分别是t=0时质点的角位置㊁初角速度㊂(3)抛体运动规律图 1.2.5抛体运动(如图1.2.5所示)方程为x =v 0c o s θ0t y =h +v0s i n θ0t -12g t 2讨论:θ0=0时为平抛运动;θ0=π2时为竖直上抛运动;θ0=-π2且v 0=0,则为自由落体运动㊂10.运动的相对性由于位置矢量㊁速度和加速度的大小和方向都与参照系的选择有关,具有相对性,因此同一质点的运动对不同参照系的描述是不同的㊂设坐标系O x ᶄy ᶄz ᶄ相对于坐标系O x yz 的平动速度为u ,则位移Δr =Δr ᶄ+u Δt 速度췍=췍ᶄ+u或表示为췍A 对C =췍A 对B +췍B 对C上式称速度变换原理或速度合成定理㊂加速度a A 对C =a A 对B +a B 对C上式称加速度交换原理或加速度合成定理㊂解题指导本章的重点是深刻理解位置矢量㊁位移㊁速度和加速度等概念,注意其矢量性与相对性㊂本章习题一般分两大类:第一类是已知质点的运动方程,利用微分法求各物理量(速度㊁加速度等);第二类是已知速度或加速度及初始条件,利用积分法求运动方程㊂第二类问题和学会用速度合成定理处理运动的矢量性和相对性问题是本章的难点㊂在直线运动中,位移㊁速度和加速度的方向均在一直线上,建立坐标后,这些矢量可作为标量来处理㊂位移Δx ㊁速度v 和加速度a 的正负,表示其方向与选定坐标轴的正向一致或相反㊂应特别注意的是,中学阶段定量研究的是匀变速直线运动,加速度是常量㊂但大学物理中讨论的是具有普遍意义的运动,加速度不一定是常量,必须用高等数学中的微积分解题㊂由中学的 常量 到大学的 变量 ,这是学习的一个飞跃㊂质点运动学问题的一般解题程序为:(1)审清题意,确定研究对象,分析研究对象的运动情况㊂(2)选择适当的参照系,建立坐标系㊂(3)根据所求物理量的定义,列式并求解㊂或根据运动的特点和题设条件,列方程求解㊂Ң6大学物理学习指导(4)必要时进行分析讨论㊂ʌ例题1.1ɔ有一物体作直线运动,其运动方程为x=6t2-2t3,式中x的单位为m,t 的单位为s㊂求:(1)速度和加速度的表达式;(2)t=0,1,2,3,4s时物体的位置x㊁速度v和加速度a;(3)第2s内的平均速度;(4)最初4s内物体的位移㊁路程㊁平均速度和平均速率;(5)讨论物体的运动情况㊂ʌ解ɔ(1)物体的运动方程x=6t2-2t3速度v=d x d t=12t-6t2(m/s)加速度a=d v d t=12-12t(m/s2)(2)将t的各值代入上述三式,可得各时刻的x㊁v和a,见表1.3.1:表1.3.1t/s01234x/m0480-32v/(m/s)060-18-48a/(m/s2)120-12-24-36(3)第2s内平均速度v-1 2=x2-x1t2-t1=8-42-1=4(m/s)但这不能用下式来计算:v-1 2=v1+v22为什么不行?请读者自己思考㊂(4)位移Δx=x4-x0=-32-0=-32(m)式中负号表示位移的方向沿x轴负向㊂路程Δs是否等于位移Δx通常ΔsʂΔx,只有在直线运动中速度不改变方向的那段时间内,路程才与位移的大小相等㊂今由d x d t=12t-6t2=0得t=2s时开始速度改变方向,所以路程为Δs=Δs1+Δs2=|x2-x0|+|x4-x2|=|8-0|+|-32-8|=48(m)平均速度为v-0 4=x4-x0t4-t0=-324=-8(m/s)式中负号表示平均速度的方向沿x轴负向㊂第1章质点运动学Ң7平均速率为v-0 4=ΔsΔt=484=12(m/s)(5)由v=12t-6t2,可见t<2s,v>0;t=2s,v=0;t>2s,v<0㊂而由a=12-12t得t<1s,a>0;t=1s,a=0;t>1s,a<0㊂因此:t在0~1s内,v>0,a>0,物体作加速运动;t在1~2s内,v>0,a<0,物体作减速运动;t>2s,v<0,a<0,物体沿x轴负向作加速运动㊂应注意:a>0,并不表示物体作加速运动;a<0也不一定是减速运动㊂如何判断物体作加速还是减速运动呢?这应从a和v的方向是否一致来判断㊂a与v同号(即同方向),则为加速运动;a与v异号(即反向),则为减速运动㊂ʌ例题1.2ɔ已知质点的运动方程为x=3t,y=t2+t式中x㊁y以m计,t以s计㊂试求:(1)t=1s和2s时质点的位置矢量,并计算这1s内质点的位移和平均速度;(2)2s末质点的速度和加速度;(3)质点的轨道方程㊂ʌ解ɔ(1)质点的位置矢量为r=3t i+(t2+t)jt=1s时,r1=3i+(1+1)j=3i+2j(m)t=2s时,r2=6i+6j(m)根据位移的定义,这1s内的位移为Δr=r2-r1=(6-3)i+(6-2)j=3i+4j(m)或用位移的大小和方向表示为|Δr|=(Δx)2+(Δy)2=(6-3)2+(6-2)2=5(m)θ=a r c t a nΔyΔx=a r c t a n6-26-3=53ʎ式中θ是位移与x轴正向间夹角㊂根据平均速度的定义,这1s内的平均速度为췍-=ΔrΔt=3i+4j2-1=3i+4j(m/s)(2)根据速度的定义,可得速度的两个分量v x和v y:v x=d x d t=3(m/s)v y=d y d t=(2t+1)|t=2=2ˑ2+1=5(m/s)所以质点在2s末的速度为췍2=3i+5j(m/s)或用췍2的大小和췍2与x轴正向间夹角来表示为v2=v2x+v2y=32+52=5.83(m/s)Ң8大学物理学习指导θ=a r c t a n v y v x =a r c t a n 53=59ʎ式中θ是速度췍2与x 轴正向间夹角㊂根据加速度的定义,它的两个分量a x ㊁a y 分别为a x =d v xd t=0a y =d v y d t =2(m /s 2)所以a =a x i +a yj =2j (m /s 2)即加速度的大小为a =2m /s2,方向沿y 轴正向㊂由于加速度不随时间变化,所以本题中质点作匀加速运动㊂(3)从质点的运动方程中消去t ,即得轨道方程y =x æèçöø÷32+x 3即x 2+3x -9y =0ʌ例题1.3ɔ 一质点沿x 轴运动㊂已知加速度a =4t (S I ),t =0时,初速度v 0=0,初始位置x 0=10m ㊂试求质点的运动方程㊂ʌ解ɔ 根据加速度的定义a =d v d t,得a d t =4t d t =d v 对上式两边积分,得速度v 随时间t 的变化规律ʏt 04t d t =ʏv 0d v积分后代入上下限得v =2t2又根据速度的定义v =d xd t得d x =v d t =2t 2d t对上式两边积分后得质点的运动方程ʏxx 0d x =ʏt 02t 2d tx =x 0+23t 3将x 0=10m 代入上式得x =10+23t 2(m)本题属已知加速度及初始条件(即t =0时的x 0㊁v 0)求运动方程的问题,主要根据加速度和速度的定义,通过积分解决㊂需注意初始条件的运用和定积分的计算方法㊂ʌ例题1.4ɔ 一物体沿x 轴运动,开始时物体位于坐标原点,初速度v 0=3m /s ㊂若加第1章 质点运动学Ң9速度a =4x (S I),求:(1)物体经过x =2m 时的速度;(2)物体的运动方程㊂ʌ解ɔ (1)本题中加速度随x 而变化,所以物体作变速直线运动㊂根据加速度和速度的定义v =d x d t ,a =d v d t,得v d t =d xa d t =d v =ad xv所以v d v =a d x =4x d x两边积分:ʏvv 0v d v =ʏxx 04x dxv 2-v 20=4(x 2-x 20)将x 0=0,v 0=3m /s 及x =2m 代入上式得v =v 20+4x 2=32+4ˑ22=5(m /s ) (2)再根据速度的定义得d x =v d t =v 20+4x 2d t 所以ʏx 0d xv 20+4x 2=ʏt 0d t由积分公式ʏd x a 2+x2=l n (x +a 2+x 2),将上式积分,则有12l n (2x +v 20+4x 2)|x0=t2x +v 20+4x2v 0=e2t化简后得运动方程x =v 04(e 2t -e -2t )=34(e 2t -e -2t )(m )图 1.3.1需注意:通常解题时应先用文字式运算,求得结果的文字表达式后,再代入数据进行计算,得出最后的结果㊂ʌ例题1.5ɔ 如图1.3.1所示,在离水面高度h 的岸边上,有人用绳子拉船靠岸㊂船位于离岸的水平距离s 处㊂当人以v 0的匀速率收绳时,试求船的速度和加速度㊂ʌ解ɔ 本题要求췍和a ,但船的运动方程未知,因此须先根据已知条件,建立坐标后写出船的运动方程,然后根据定义求췍和a ㊂以人的收绳点为坐标原点,建立坐标系如图1.3.1所Ң10大学物理学习指导示,则船的位置矢量即运动方程为r =x i -h j式中h 是常量,x 随时间而变㊂根据速度和加速度的定义得췍=d r d t =d xd ti a =d 2r d t 2=d 2xd t2i 根据题意,人的收绳速率为v 0=-d r d t =-d d t x 2+h 2=-x x 2+h 2d x dt 这里因r =|r |随时间减小,所以d r d t<0,而v 0>0㊂由上式得v x =d x d t =-v 0x 2+h 2x所以船的速度为췍=-v 0s 2+h 2si 而a x =d v x d t =d d t -v 0x 2+h 2æèçöø÷x =d d x -v 0x 2+h 2æèçöø÷xd x dt =-h 2v 20x 3所以船的加速度为a =-h 2v 20x3i当船在x =s 处的速度和加速度为췍=-v 0s 2+h 2si a =-h 2v 20s3i讨论:(1)췍和a 的方向均沿x 轴负向,所以船向岸边作加速运动㊂(2)由a 的表达式,h 和v 0不变,s 随时间减小,|a |随时间增大,所以船作变加速运动㊂(3)船的速率v >v 0(人的收绳速率),这是严格按速度的定义求得的㊂显然v 不等于v 0在水平方向的分量㊂图 1.3.2ʌ例题1.6ɔ 一石子从倾角为α=30ʎ的斜面上的O 点抛出㊂已知初速度v 0=9.8m /s ,췍0与水平面的夹角θ=30ʎ,如图1.3.2所示㊂若忽略空气阻力,试求:(1)石子落到斜面上的B 点离O 点的距离l ;(2)石子所到达的最大高度;(3)t =1.5s 时石子的速度㊁切向加速度和法向加速度㊂ʌ解ɔ (1)石子的运动可看作水平方向的匀速直线运动和竖直方向的加速度为g 的匀变速直线运动的叠加㊂今以O 点为原点,建立坐标如图,则石子的加速度分量为。