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解析法作速度加速度分析

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解析法总结

解析法总结

t d 2l e l 2 e e e t dl l 2 dt dt
对于同一个构件，l为常数,有： ar=0 ak=0
an
θ
L
L
2.平面机构的运动分析
已知图示四杆机构的各构件尺寸和ω 1 , 求θ2、θ3、ω2、ω3 、 α2、α3 。 y C 2 B θ 2 3 1 ω1 θ 3 θ 1 A 4 D x
1 1 1
cosθ
2
- sinθ
sinθ
2
)―2 l1 l2cosθ
1
1
(2)速度分析 将方程（5）对时间求导得： L3 ＝ L1+ L2 －L4 l3θ
3
(5) (9)
e3 t = l 1 θ
1
e1 t + l 2 θ
2
e2 t
用e2点积(9)式，可得： l3θ
3
e3 t · 2 = l 1 θ e
- l2 ω 2 cosθ - l 2 ω 2 sinθ
2
3
3
α α
2 3
=
3
2
l3 ω 3 cosθ l3 ω 3 sinθ
3
ω 2 +ω l1 ω 1 sinθ 1 l1 ω 3 cosθ ω3
1 1
(18)
[A]{α } = [A] {ω } + ω 1[B]
将（17）式对时间求导得以下矩阵方程：
3
(11)
e3 t = l 1 θ
1
e1 t + l2 θ
2
e2 t
(9)
将（9）式对时间求导得：
l3 θ
3
2
e3 n + l 3 θ

（完整版）机械原理笔记

（完整版）机械原理笔记

（完整版）机械原理笔记第⼀章平⾯机构的结构分析1.1 研究机构的⽬的⽬的：1、探讨机构运动的可能性及具有确定运动的条件2、对机构进⾏运动分析和动⼒分析3、正确绘制机构运动简图1.2 运动副、运动链和机构1、运动副：两构件直接接触形成的可动联接（参与接触⽽构成运动副的点、线、⾯称为运动副元素）低副：⾯接触的运动副（转动副、移动副），⾼副：点接触或线接触的运动副注：低副具有两个约束，⾼副具有⼀个约束2、⾃由度：构件具有的独⽴运动的数⽬（或确定构件位置的独⽴参变量的数⽬）3、运动链：两个以上的构件以运动副联接⽽成的系统。

其中闭链：每个构件⾄少包含两个运动副元素，因⽽够成封闭系统；开链：有的构件只包含⼀个运动副元素。

4、机构：若运动链中出现机架的构件。

机构包括原动件、从动件、机架。

1.3 平⾯机构运动简图1、机构运动简图：⽤简单的线条和规定的符号来代表构件和运动副并按⼀定的⽐例表⽰各运动副的相对位置。

机构⽰意图：不按精确⽐例绘制。

2、绘图步骤：判断运动副类型，确定位置；合理选择视图，定⽐例µｌ；绘图（机架、主动件、从动件）1.4 平⾯机构的⾃由度1、机构的⾃由度：机构中各活动构件相对于机架的所能有的独⽴运动的数⽬。

F=3n - 2p L - p H（n指机构中活动构件的数⽬，p L指机构中低副的数⽬，p H指机构中⾼副的数⽬)⾃由度、原动件数⽬与机构运动特性的关系：1）：F≤0时，机构蜕化成刚性桁架，构件间不可能产⽣相对运动2）：F > 0时，原动件数等于F时，机构具有确定的运动; 原动件数⼩于机构⾃由度时，机构运动不确定; 原动件数⼤于机构⾃由度，机构遭到破坏。

2、计算⾃由度时注意的情况1）复合铰链：m个构件汇成的复合铰链包含m-1个转动副（必须是转动副，不能多个构件汇交在⼀起就构成复合铰链，注意滑块和盘类构件齿轮容易漏掉，另外机架也是构件。

2) 局部⾃由度：指某些构件（如滚⼦）所产⽣的不影响整个机构运动的局部运动的⾃由度。

机械臂的运动学与逆运动学分析

机械臂的运动学与逆运动学分析

机械臂的运动学与逆运动学分析机械臂是一种能够模拟人类手臂运动的自动化机器人。

它广泛应用于工业领域，用于完成各种复杂的操作任务。

机械臂的运动控制是实现其功能的关键，其中运动学和逆运动学分析是研究机械臂运动的基础。

一、机械臂的运动学分析运动学分析主要关注机械臂的位置、速度和加速度等运动参数的计算。

机械臂主要由关节连接的刚性杆件组成，每个关节可以沿特定方向进行旋转或平移运动。

在机械臂运动学中，我们关注的是机械臂末端执行器的位置和姿态。

1. 正运动学分析正运动学分析指的是根据机械臂各关节的运动参数，计算机械臂末端执行器的位置和姿态。

通常，我们采用坐标变换矩阵的方法来进行计算。

通过将各个关节的运动连续相乘，可以得到机械臂末端执行器相对于机械臂基座标系的位姿矩阵。

以一个3自由度的机械臂为例，设第一关节绕Z轴旋转角度为θ1，第二关节绕Y轴旋转角度为θ2，第三关节绕X轴旋转角度为θ3。

则机械臂末端执行器相对于基座标系的位姿矩阵可以表示为：[cos(θ2+θ3) -sin(θ2+θ3) 0 a1*cos(θ1)+a2*cos(θ1+θ2)+a3*cos(θ1+θ2+θ3)][sin(θ2+θ3) cos(θ2+θ3) 0 a1*sin(θ1)+a2*sin(θ1+θ2)+a3*sin(θ1+θ2+θ3)][0 0 1 d1+d2+d3][0 0 0 1]其中，a1、a2、a3和d1、d2、d3分别为机械臂的长度和位移参数。

通过这个矩阵，我们可以得到机械臂末端执行器的位置和姿态。

2. 速度和加速度分析除了机械臂末端执行器的位置和姿态，机械臂的速度和加速度也是非常重要的运动参数。

通过对机械臂运动学模型的导数运算，我们可以得到机械臂的速度和加速度表达式。

机械臂的速度可以表示为：v = J(q) * q_dot其中，v为机械臂末端执行器的速度向量，J(q)为机械臂的雅可比矩阵，q为机械臂各关节的角度向量，q_dot为各关节的角速度向量。

机械原理第七版第三章

机械原理第七版第三章

（二）、用解析法对平面连杆机构进行运动分析 用解析法对平面连杆机构进行运动分析又可分为：矢 量方程解析法、杆组法和矩阵法等。 矢量方程法是将机构中各种构件视为矢量，并构成封 闭矢量多边形，列出矢量方程，进而推导出未知量的表达 式。
复数矢量法 图示四杆机构，已知机构各构 件尺寸及原动件1的角位移θ 1和 角速度ω 1 ，现对机构进行位置、 速度、加速度分析 1、位置分析 矢量方程式：
第三章
平面机构的运动分析
§3-1 机构运动分析的任务、目的和方法 §3-2 用速度瞬心法作机构的速度分析
§3-3 用矢量方程图解法作机构的速度及 加速度分析
§3-4 综合运用瞬心法和矢量方程图解法 对复杂机构进行速度分析 §3-5 用解析法作机构的运动分析 返回
§3-1 机构运动分析的任务、目的和方法
i
2
l33e
i
3
l11 cos 1 l22 cos 2 l33 cos 3 l11 sin 1 l22 sin 2 l33 sin 3
3l3 sin( 3 2 ) 1l1 sin( 1 2 )
1L1 sin( 1 2 ) 3 L3 sin( 3 2 )
1L1 sin( 1 3 ) 2 L2 sin( 2 3 )
1L1 sin( 1 3 ) 2 L2 sin( 2 3 )
3、加速度分析
l11e i l22e i l33e i
1 2
3
2 i il1 1 e1

1
i l2 2e 2
1．任务 根据机构的尺寸及原动件已知运动规律，求构件中从动件上 某点的轨迹、位移、速度及加速度和构件的角位移、角速度及角 加速度。 2．目的 了解已有机构的运动性能，设计新的机械和研究机械动力性 能的必要前提。 3．方法 主要有图解法和解析法。图解法又有速度瞬心法和矢量方程 图解法（又称相对运动图解法）。 图解法： 形象、直观，用于平面机构简单方便，但精度 和求解效率较低。 解析法： 计算精度和求解效率高。可借助计算机计算。

用解析法进行机构的运动分析

用解析法进行机构的运动分析
杆组法的主要特点：
不要针对每一个具体的机构列方程，而是对组成机构的杆组列 方程（杆组的类型是有限的，可先编好子程序）。所以此法具有较 大的通用性和适用性，且简便。但采用此法的前提条件是要利用计 算机。
二）杆组法运动分析的数学模型
1、构件（或原动件）的运动分析——同一构件上点的运动分析 已知该构件上一点的运动参数（位置、速度、加速
t1、2=
A
A2 B2 C2 BC
∴ θ3=2arctg t1、2 =2arctg
A A2B2C2 BC
同理可求θ2=？
θ3=2arctg t1、2 =2arctg
A A2B2C2 BC
说明：
1）“±”——取决于机构的初始安装模式： “+”号适用于图示机构ABCD位置的安装方案； “-”号适用于机构ABC′D位置的安装方案。 2）θ31、θ32——取决于从动件运动的连续性：
•
•
•
y B = y A +ψ i Licosψ i
••
对时间t再求导，得：x B =？
图b-1
••
y B =？
若A为固定转动副，即xA、yA为常数，则
•
x A
、y•A
、 、 • • • •
度），构件的角位置、角速度、角加速度，以及已知点到 所求点的距离。求同一构件上任意点的位置、速度、加速 度。
如 图 b-1 所 示 的 构 件 AB ， 已 知 ：
运动副A的（xA、yA、x•A
、y•A
、x• • A
、y• • A
）和
构件AB的（ψ i 、ψ • i、ψ• • ）i 及AB的长度Li。
(
••
re iθ
) = -(
r

第3章机构的运动分析-1

第3章机构的运动分析-1
E
an EB
C 3 4
ω3
aE e'
b'
ω2
A
2
aB
1
w4
D
a
t EB
a
n EB
(P12 )
以曲柄滑块机构为例，进一步说明用矢量方程图 解法作机构的速度分析和加速度分析的具体步骤。
例 : 已知曲柄滑块机构原动件 AB 的运动规律和各构件尺寸。求： (1)图示位置连杆BC的角速度和 其上各点速度。 (2)连杆BC的角加速度和其上C点 加速度。 ω2 2
极点
C
vEC
vCB vEB
b
bc 代表 vCB 。
e
3）在速度多边形中,极点p 代表机构中速 度为零的点。 4）已知某构件上两点的速度 ,可用速度影 像法求该构件上第三点的速度。
速度多边形
E B
A
C
vC x
p
极点
C
vEC e
vCB
vB
vEB
b
△bce ~ △BCE
已知连杆上两点的速度vB 、vC 用速度影像法可以确定vE 。
④确定点的轨迹（连杆曲线）。
V型发动机运动简图
D
E
C B
A
3-1
机构运动分析的任务、目的及方法
1.机构运动分析的任务与目的
（2）速度分析
5 4
①掌握从动件的度变化规律 是否满足工作要求。如牛 头刨床； ②为加速度分析作准备。
2
1 3
6
3-1 机构运动分析的任务、目的及方法
1.机构运动分析的任务与目的
用三心定理可以确定ω3、ω4 的大小。
平面铰链四杆机构
例2：用三心定理分析凸轮机构速度 (v3)。 1

解析法作速度加速度分析

解析法作速度加速度分析解析法（analytical method）是一种用数学工具对物体的速度和加速度进行分析的方法。

它基于牛顿力学和微积分的原理，在数学上对物体的运动进行建模和计算。

解析法可以帮助我们深入了解物体的运动特性，并为工程和科学应用提供定量的分析和预测。

首先，我们需要了解解析法中使用的一些基本概念和公式。

根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用在物体上的力以及物体的质量成正比。

这可以用以下公式表示：F = ma其中，F是作用在物体上的力，m是物体的质量，a是物体的加速度。

速度（v）是物体在单位时间内移动的距离，可以用以下公式表示：v = ds/dt其中，ds是位移的微小变化量，dt是时间的微小变化量。

位移（s）是物体从一个位置到另一个位置的距离。

加速度（a）是物体速度的变化率，可以用以下公式表示：a = dv/dt其中，dv是速度的微小变化量，dt是时间的微小变化量。

有了以上的基本概念和公式，我们可以开始应用解析法来对物体的速度和加速度进行分析。

解析法主要包括以下几个步骤：1.建立坐标系：选择一个适当的坐标系来描述物体的运动。

通常情况下，我们可以选择直角坐标系，其中x轴和y轴与物体的运动方向垂直。

2.确定力的方向和大小：根据物体的受力情况，确定作用在物体上的力的方向和大小。

可以根据物体所处的具体情境，如重力、摩擦力等来确定。

3.列出力的方程：利用牛顿第二定律，将力与加速度之间的关系表示为一个方程。

代入已知的力和物体的质量，求解出加速度。

4.求解速度：利用速度公式，将加速度与时间的关系表示为一个微分方程。

根据已知的初始条件，求解出速度关于时间的表达式。

5.求解位移：利用速度公式，将速度与时间的关系表示为一个微分方程。

根据已知的初始条件，求解出位移关于时间的表达式。

通过以上步骤，我们可以得到关于物体的速度和位移关于时间的表达式，从而对物体的运动进行定量的分析。

此外，解析法还可以用于计算物体在不同位置的加速度，以及求解物体的运动特性，如最大速度、最大加速度等。

连杆机构,位置分析

连杆机构的位置分析序言：一旦一个实验性的机构合成以后就能够被分析。

确信那个机构中所有运动部件的加速度是运动学分析的原那么性目标。

依照牛顿第二定律动力和加速度成正比。

为了计算各组成部件的压力咱们第一要明白其受力。

设计师们要确保他们所设计的机械装置或机械在它的工作条件下能正常运转不发生故障，因此材料中的压力必然要维持在其许诺压力以下。

咱们只有明白机构所受的静态力和动态力才能计算其所受压力。

只有先得出加速度才能计算静态力。

为了计算加速度，咱们必需先确信对应每一个输入量所有部件在机构中的位置增量，然后依照与其对应的时刻增量计算速度，最后取得计算加速度的数学表达式。

例如在一个简单的四杆机构中咱们可能要计算输入件曲柄每转动2度输出件（连杆或摇杆）对应的位移，速度，加速度。

上面所说的问题有几种解决方式。

咱们能用图解法确信输出件在180个相关位置的位移，速度，加速度，或咱们能得出对每一个位置都适用的位移，速度，加速度的运动方程式，通过解这些解析表达式取得所有位置的位移，速度，加速度。

运算性能够使这些后期工作变的简单快捷。

由于由图解法取得的前一个位置的位移等所有信息不适用与第二个或任何其他一个位置，咱们需要对每一个相关位置做独立的图解分析若是咱们选择图解法来分析那个问题。

相较之下，一个机构只要用解析法分析，它的所有位置的位移，速度，加速度都能专门快取得（在运算机的帮忙下）。

若是你想取得多于180个位置的信息只意味着你要多稍等片刻以便运算机产生数据，你能一边喝咖啡一边等。

在那个地址咱们将介绍用解析法分析几种不同机构的位移问题，同时也将讨论对咱们判定解析法取得的结果是不是正确有效的图解法。

让咱们感到有趣的是用图解法解决位移问题超级琐碎，而代数法却又复杂的多。

按比例将连杆机构画下来就能够用图解法解决位移问题。

这只要你用量角器在按比例画好的图上测量连杆的角度。

可是速度和加速度的分析正好相反，专门是加速度的分析。

用解析法分析速度，加速度比分析位移要简单的多。

第2章-平面机构运动分析(解析法)


复数矢量法
复数矢量法是将机构看成一封闭矢量 多边形，并用复数形式表示该机构的封闭 矢量方程式，再将矢量方程式分别对所建 立的直角坐标系取投影。
Hale Waihona Puke 1、铰链四杆机构2、曲柄滑块机构
3、导杆机构
§2-4 用解析法求机构的 位置、速度和加速度
图解法的缺点：
1、分析结果精度低； 2、作图繁琐、费时，不适用于一个运动周期的分析。 3、不便于把机构分析与综合问题联系起来。 随着计算机应用的普及，解析法得到了广泛的应用。 方法：复数矢量法、矩阵法、杆组法等。 思路： 由机构的几何条件，建立机构的位置方程，然后就位置方程对 时间求一阶导数，得速度方程，求二阶导数得到机构的加速度方 程。

机械原理-机构的运动分析


3、加速度分析
aC aB aCB
a C a C aB a CB a CB
n t n t
a B 12l AB
F
1
1 A B 2 E C
大小 lCD32
?
→A
lCB22 C→B
? ⊥CB
·
G
3
方向 C→D ⊥CD
取极点p’ ，按比例尺a作加速度图
1
4
D
' aC a p 'c ' aCB a b 'cc´
思考题：
P44 3-1
作业：
P44 3-3、3-6、3-8（b)
§3-3 用矢量方程图解法作机构的运动分析
一、矢量方程图解法的基本原理及作图法
1、基本原理 —— 相对运动原理 B（B1B2） 1
B
A
同一构件上两点间的运动关系
2
两构件重合点间的运动方程
vB v A vBA
aB a A aBA aA a
c´
aC a G e´
aCB
n2 ´ n2
p´
n3
aF
b´
加速度图分析小结： 1）p‘点代表所有构件上绝对加速度为零的影像点。 2）由p‘点指向图上任意点的矢量均代表机构图中对应点 的绝对加速度。 3）除 p′点之外，图中任意两个带“ ′”点间的连线 均代表机构图中对应两点间的相对加速度，其指向与加 速度的角标相反。 4）角加速度可用构件上任意两点之间的相对切向加速度 除于该两点之间的距离来求得，方向的判定采用矢量平 aCB b ' c ' 移法。 5）加速度影像原理：在加速度图上，同一构件上各点的 绝对加速度矢量终点构成的多边形与机构图中对应点构 成的多边形相似且角标字母绕行顺序相同。 6）加速度影像原理只能用于同一构件。
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2
)/ l3sin(θ 3-θ
3
2
)
（3）求ω 2，用 e3 点积上式，消去θ
ω 2=-ω 1l1sin(θ 1-θ
3） 进行加速度分析
3
)/ l2sin(θ 3-θ 2 )
t t
由速度方程：ω 1l1 e 1 +ω 2l2 e 2
=ω 3l13e 3
t
(1) 将速度方程对时间再进行一次微分解得：
ε 1l1 et1 +ω 12 l1 en1+ε 2l2 et2 +ω 22 l2 en2 =ε 3l3 et3 + ω 3 2 l 3 e n3
t
青 岛 滨 海 学 院 教 师 教 案
练习：
e1 • et2=cos[(θ
2
+ 90゜)-θ 1]=-sin(θ 2 -θ 1)
e1 • en2=
cos[(θ 2 + 180゜)-θ 1] =-cos(θ 2 -θ 1)
3) 单位矢量的运算--------微分运算 （1）对θ 的微分： （对θ 微分一次转 90゜）
l1 cos(θ 1-θ 3) + ω 32 l3 -ω 22 l2 cos(θ 2-
θ 3)] / l2 sin(θ 2-θ 1)
四、矩阵法 用矩阵法作机构运动分析的关键是把机构的位置、速度及加速度方程表示 成矩阵的形式，然后再借助于标准运算程序和计算机进行计算求解。其方程建 立的方法及步骤如下： 1)首先建立直角坐标系，并将各构件表示为杆矢量； 2)根据机构各杆矢量构成的封闭形，写出机构的矢量封闭方程式，并写成 等式左边均为含未知参数项，而右边均已知参数项的的坐标投影方程式；
t t t n t
d″e/d″t = (de/dt)′=d(ω e )/dt=ε e + ω e
t
2
n
(单位矢量的切向加速度+单位矢量的法向加速度)
(3)对定长矢量的微分 dL/dt = d( Le )/dt= Lω e
t t t
de /dt= (de /dθ )(dθ /dt)=ω e d″L/d″t = d (L ω e
e
-----单位矢量；
et -----切矢（切向矢量：反时针转 90゜） ； en -----法矢（法向矢量：反时针转 180゜） ；
e
L=L
=i cosθ +j sinθ
(i 、j 代表与 X、Y 轴同向的单位矢量)；
e
=L∠θ =L（i cosθ + j sinθ ） 。
2） 单位矢量的运算--------点积运算 (1)点积运算：a • b = a b cosθ (标量运算：数量积，与次序无关，θ 两矢量间的夹角) (2)e1 • (3)e1 • (4)e1 • (5)e •
3)进行速度分析 由位置方程：l1 e1 + l2e2
= l3 e3 + l4 e 4
t t t
（1）对时间进行一次微分；
ω 1l1 e 1 +ω 2l2 e 2 =ω 3l13e 3 +ω 4l4e 4
t
青 岛 滨 海 学 院 教 师 教 案
（2）求ω 3，用 e2 点积上式，消去θ
2
ω 3=ω 1l1sin(θ 1-θ
青 岛 滨 海 学 院 教 师 教 案
3)将机构的坐标投影方程对时间求一次导数，得机构的速度分析方程式， 并写成矩阵形式； 4)在将上述速度方程对时间再求一次导数，即可得机构的矩阵形式的加速 度方程式。
小结：本节内容主要讲解了矢量的基本知识，如何用矢量方程解析的方法 来求解机构的运动分析。重点是矢量封闭方程的建立，具体的求解过程应用数 学的公司就可以解决。通过本节的学习，使同学们对解析法求解机构的运动分 析有更深层次的理解。 作业：补充作业
青 岛 滨 海 学 院 教 师 教 案 课 题 教 学 目 的 要 求 教 学 重 点 教 学 难 点
§3-5 用解析法作机构的运动分析
需 2 课时
1、了解矢量的基本知识 2、能够利用解析法对平面机构进行运动分析 1、矢量的基本知识 2、解析法中矢量方程的建立 教案编写日期 解析法中速度和加速度的求解 年 月 日
e′=
- i sinθ + j cosθ = - i cos（90゜+θ ）+ jsin（90゜+θ ）
et″= et′= - i cosθ - j sinθ = - （i cosθ + jsinθ ）= - e
= e
n
（2）矢量 e 对时间 t 的微分： （e 对θ 微分,θ 再对 t 微分） de/dt = (de/dθ )(dθ /dt) = ω e de /dt= (de /dθ )(dθ /dt)=ω e
青 岛 滨 海 学 院 教 师 教 案
5)最后再运用各自矢量点积消元法，依次求出各未知的速度及加速度 参数。
三、用矢量方程解析法进行机 构的运动分析 如右图所示：
1） 建立坐标系和封闭矢量图
L1
大小 方向 √ √
+
L2 =
√ ？
L3 +
√ ？
L4
√ √
2） 进行位置分析 （1）求解θ
3
L2 = L3 + L4 -L1
教
一、 二、 三、 组织课堂
学
内
容
与
教
学
过
程
提示与补充
复习上次课内容 讲授新课
1、 矢量的基本知识 2、 矢量方程解析法 3、 用矢量方程解析法进行机构的运动分析 4、 矩阵法 5、 小结 6、 作业
青 岛 滨 海 学 院 教 师 教 案
§3-5 用解析法作机构的运动分析
用解析法作机构的运动分析，首先建立机构的位置方程式，然后将位置方 程式对时间求一次和二次导数，即可求得机构的速度和加速度方程，进而求出 所需的位移、速度及加速度，完成机构的运动分析。 由于在建立和推导机构的位置、速度和加速度方程时所采用的数学工具不 同，所以有很多解析的方法。 一、矢量的基本知识 1）矢量的表示方法
e2 =1 i= j= e
cos(θ 2-θ 1)-----(理解：投影)；
cosθ -----(在 X 轴上的投影) sinθ -----(在 Y 轴上的投影) =1-----(自身点积为 1，用于消去θ )
(6)e1 • en =-1-----(反向点积)
(7)e1 •e =0(在⊥方向的投影为零，用于消去该矢量)
t
n
)/dt
= L ε
et + L ω 2 en
(定长矢量的切向加速度+定长矢量的法向加速度)
二、矢量方程解析法 矢量方程解析法用矢量方程解析法作机构运动分析的方法及步骤如下： 1)首先建立直角坐标系，并将各构件表示为杆矢量； 2)根据机构各杆矢量构成的封闭形，写出机构的矢量封闭方程式； 3)运用各自矢量点积消元法，依次求出各未知的位置参数； 4)将机构的位置方程依次对时间求一次、二次导数，可得机构的速度 及加速度矢量方程；
方程两端各自点积（消去θ 2） ：
L2 •L2 =（ L3 + L4 -L1） • （L3 + L4 -L1） •
整理后，得：A
Sinθ 3+ B Cosθ
1
3
+ C =0
式中：A=2l1l3sinθ
;
B=2l3(l1cos-l4) ;
1Байду номын сангаас
C = l=22 - l=12 - l=32 - l=42+ 2l1l3 cosθ
求ε
3，用
e2 点积上式，消去θ 2（ e 2 •e2 = 0；e 2 •e2 = -1）
2
t
n
得：ε 3=[ω 1
2
l1 cos(θ 1-θ 2)+ ω 22 l2 -ω 32 l3 cos(θ 3-θ
2
) ] / l3 sin(θ 3-θ
求ε
2，用
)
3
e3 点积上式，消去θ
2
得：ε 2=[-ω 1