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收稿日期：2003-07-01修订日期：2003-08-08作者简介：高金凤：（1978-），女，助教，主要研究方向为不确定时滞系统的鲁棒控制与NCS 稳定性分析。
MATLAB LMI 工具在鲁棒稳定性分析中的应用高金凤，潘海鹏（浙江工程学院自动化所，浙江杭州310033）摘要：针对一类普遍存在的不确定时滞系统，基于线性矩阵不等式（LMI ）的描述进行系统的稳定性分析，得到了用一个线性矩阵不等式系统的可行性表示的鲁棒稳定性滞后依赖型条件。
介绍了如何利用MATLAB 软件中的LMI 工具箱进行分析与设计，据此计算出最大的允许时滞界。
针对此类系统的鲁棒稳定性分析给出了数值算例。
关键词：线性矩阵不等式；稳定性；鲁棒控制；时滞中图分类号：TP13；TP319文献标识码：A文章编号：1001-4551（2003）05-0106-03Application of MATLAB L MI for Rob st Stability AnalysisGAO Jin-feng ，PAN Hai-peng（Department of Automation ，Zhejiang Institute of Science and Technology ，Hangzhou 310033，China ）Abstract ：This paper is concerned about the robust stabiiity probiem of a ciass of time-deiay systems with norm-bounded uncer-tainties.A deiay-dependent sufficient condition for the robust stabiiity is derived and is expressed as the feasibiiity probiem of a certain iinear matrix ineguaiity（LMI ）system.The LMI tooibox is introduced in detaii ，and a maximum deiay bound is obtained by soiving a corresponding convex optimization probiem.Furthermore ，a numericai exampie is given to iiiustrate the proposed resuits.Key words ：LMI ；stabiiity ；robust controi ；deiay1引言在线性矩阵不等式使用之前，许多控制问题是用Riccati不等式方法来解决的［1~3］，而Riccati 不等式的求解带有一定的保守性。
Matlab如何解不等式方程介绍在数学中，不等式方程是一种包含不等式（如大于、小于、大于等于、小于等于等）的方程。
解不等式方程是找到满足不等式条件的变量的取值范围。
Matlab是一种功能强大的数值计算软件，可以用于解决各种数学问题，包括解不等式方程。
本文将详细介绍如何使用Matlab解不等式方程。
解不等式方程的基本步骤解不等式方程的基本步骤如下： 1. 将不等式方程转化为Matlab可识别的形式。
2. 使用Matlab的求解函数来求解不等式方程。
3. 根据求解结果得到不等式方程的解。
下面将详细介绍每个步骤。
步骤一：将不等式方程转化为Matlab可识别的形式在使用Matlab求解不等式方程之前，我们需要将不等式方程转化为Matlab可识别的形式。
Matlab中常用的不等式符号包括：“>”（大于）、“<”（小于）、“>=”（大于等于）和”<=“（小于等于）。
例如，我们有一个不等式方程：2x + 3 > 7。
我们可以将其转化为Matlab可识别的形式：2*x + 3 > 7。
步骤二：使用Matlab的求解函数求解不等式方程Matlab提供了一些专门用于求解不等式方程的函数，如solve和fsolve。
这些函数可以帮助我们求解不等式方程，并得到满足不等式条件的变量的取值范围。
使用solve函数求解不等式方程solve函数是Matlab中常用的求解方程的函数，它可以用于求解不等式方程。
solve函数的基本用法如下：syms xeqn = 2*x + 3 > 7;sol = solve(eqn, x);上述代码中，我们首先定义了一个符号变量x，然后定义了不等式方程2*x + 3 > 7，最后使用solve函数求解该不等式方程，并将结果存储在变量sol中。
使用fsolve函数求解不等式方程fsolve函数是Matlab中用于数值求解方程的函数，它也可以用于求解不等式方程。
收稿日期：2020-01-11修回日期：2020-03-11基金项目：2019年辽宁省教育厅科学研究经费资助项目（L201906）作者简介：孙延修（1981-），男，河北邯郸人，硕士，副教授。
研究方向：非线性系统观测器。
*摘要：现代控制系统的安全性与可靠性是各领域研究的热点之一，系统故障诊断与估计的方法越来越引起人们的重视。
针对一类含有外部扰动的非线性系统，研究了系统执行器故障估计问题。
通过设计一种增广系统观测器对原系统中的执行器故障进行估计；考虑到系统中的非线性扰动项，利用线性矩阵不等式（LMI ）方法给出了观测器存在的充分条件并保证误差系统渐近稳定。
同时，通过设定性能指标减少了外部扰动对执行器故障估计的影响；通过数值算例验证了执行器故障估计方法的有效性，表明该估计方法能够较好的对系统中的执行器故障进行鲁棒估计。
关键词：外部扰动，非线性系统，执行器故障，线性矩阵不等式，状态观测器中图分类号：TP391.9文献标识码：ADOI ：10.3969/j.issn.1002-0640.2021.03.007引用格式：孙延修.一种含扰动项的非线性系统执行器故障估计方法［J ］.火力与指挥控制，2021，46（3）：38-42.一种含扰动项的非线性系统执行器故障估计方法*孙延修（沈阳工学院基础课部，辽宁抚顺113122）A Method of Actuator Fault Estimation forNonlinear System With Disturbance TermSUN Yan-xiu（Basic Course Department ，Shenyang Institute of Technology ，Fushun 113122，China ）Abstract ：The safety and reliability of modern control system is one of the hotspots in variousfields ，more and more attention has been paid to the fault diagnosis and estimation of the system.For a class of nonlinear systems with external disturbances ，the problem of actuator fault estimation is studied.Firstly ，an augmented system observer is designed to estimate actuator faults in the original system ；Secondly ，considering the nonlinear disturbance term in the system ，the sufficient conditions for the existence of the observer are given by using the LMI method to ensure the asymptotic stability of the error system ，at the same time ，the influence of external disturbance on actuator fault estimation is reduced by setting performance index.Finally ，the effectiveness of the actuator fault estimation method is verified by a numerical example ，which shows that the method can estimate the actuator fault in thesystem robustly.Key words ：external disturbance ，nonlinear system ，actuator failure ，linear matrix inequality ；state observerCitation format ：SUN Y X.A method of actuator fault estimation for nonlinear system with disturbance term ［J ］.Fire Control &Command Control ，2021，46（3）：38-42.0引言目前，控制系统对稳定性及可靠性的要求越来越高。
Matlab中的LMI工具箱的研究与使用Matlab中的LMI工具箱的研究与使用摘要：由于内点算法可以利用计算机求解高阶矩阵不等式，使得线性矩阵不等式（LMI）在控制理论得以应用，因而线性矩阵不等式在控制系统分析、设计中扮演着越来越重的角色。
在毕业设计中，我学习了LMI理论，Matlab中LMI工具箱的使用，研究了常见的控制问题与LMI关系以及其表达式，并研究了基于LMI方法的鲁棒控制器设计问题，推导了如何将鲁棒控制器设计问题转化为LMI形式，给出了通过求解LMI方程构造控制率的算法。
LMI是一种较新的方法，可以在控制系统的许多领域得以应用，如鲁棒控制、非线性控制预测控制等有着巨大的潜力。
关键词：线性矩阵不等式；LMI工具箱；控制系统The research and use of the Matlba LMI toolboxStudent majoring in Automation SUN Peng-kunTutorAbstract：Due to the interior point algorithm can use computer to solve high order matrix inequality,It makes the linear matrix inequality (LMI) in the control theory to application and linear matrix inequality (LMI) played more and more heavy role in the control system analysis and design. At the graduation design, I studied the LMI theory, in the use of Matlab LMI toolbox, and studies the problem of common control with LMI relations and its expression,and I studied the problem of the robust contoeller design that based on lmi method, how totransform the robust controller design problem into the LMI form, and given by solving the LMI equation of tectonic control algorithm. LMI is a new method, it can be used in many control system fields, such as robust control, nonlinear control predictive control, and it has great potential.Key words: linear matrix inequality; LMI toolbox; control system;robust control引言线性矩阵不等式（LMI）工具箱是求解一般线性矩阵不等式问题的一个高性能软件包。
Matlab中不等式组的解法不等式组的解法线性规划（LP,Linear Programming）是优化问题的一种工具Matlab中最优化工具箱中线性规划函数——linprogLinprog函数的用法Linprog 函数的用法提出问题Finds the minimum of a problem specified by ,min ,,T A x b f x such that Aeq x beq lb x ub ⋅≤ ⋅= ≤≤ are vectors, A and Aeq are matrices,,,,,f x b beq lb ubLinpro函数的用法分析问题主要形式:x = linprog(f,A,b)x = linprog(f,A,b,Aeq,beq)x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) x = linprog(problem)[x,fval] = linprog(...)[x,fval,exitflag] = linprog(...)[x,fval,exitflag,output] = linprog(...)[x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(...)Linpro 函数的用法x = linprog(f,A,b) solves min f*x such that A*x ≤b.x = linprog(f,A,b,Aeq,beq) solves the problem above while additionally satisfying the equality constraints Aeq*x =beq. Set A =[ ] and b =[ ] if no inequalities exist.x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) defines a set of lower and upper bounds on the design variables, x, so that the solution is always in the range lb ≤x ≤ub. Set Aeq =[ ] and beq =[ ] if no equalities exist.x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) sets the starting point to x0. This option is only available with the medium-scale algorithm (the LargeScale option is set to 'off' using optimset). The default large-scale algorithm and the simplex algorithm ignore any starting point. x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) minimizes with the optimization options specified in the structure options. Use optimset to set these options.分析问题问题的描述Linpro 函数的用法解决问题Example ：Find x that minimizes 目标函数subject to约束条件12312312123203244232300, 0, 0x x x x x x x x x x x −+≤++≤+≤≤≤≤123()546f x x x x =−−−Linpro函数的用法输入下列指令：>> f = [-5; -4; -6]；>> A = [1 -1 13 2 43 2 0];>> b = [20; 42; 30];>> lb = zeros(3,1);x= linprog(f,A,b,[],[],lb);输出结果：x =0.000015.00003.0000。
MATLAB（Matrix Laboratory）是一款广泛应用于科学计算和工程领域的专业软件，其功能强大、灵活性高，并且具有丰富的工具箱支持。
LMI（Linear Matrix Inequality）工具箱是MATLAB中的一种工具箱，用于解决线性矩阵不等式相关的问题。
本文将介绍LMI工具箱的基本使用方法，并结合具体实例进行详细讲解。
一、LMI工具箱的安装1.确保已经安装了MATLAB软件，并且软件版本是R2015b及以上版本。
只有在这些版本中，LMI工具箱才会被自动安装。
2.在MATLAB的命令行中输入“ver”，可以查看当前安装的工具箱列表，确认LMI工具箱是否已经成功安装。
二、LMI工具箱的基本功能1. LMI工具箱主要用于解决线性矩阵不等式问题，例如矩阵的稳定性分析、最优控制问题等。
2. LMI工具箱提供了一系列的函数和工具，能够方便地构建和求解线性矩阵不等式问题，同时也包括了一些经典的稳定性分析方法和控制器设计方法。
三、LMI工具箱的基本使用方法1. 定义变量：在使用LMI工具箱时，首先需要定义相关的变量。
可以使用“sdpvar”函数来定义实数变量，使用“sdpvar”函数和“size”函数可以定义矩阵变量。
2. 构建约束：在定义变量之后，需要构建线性矩阵不等式的约束条件。
可以使用“sdpvar”变量的线性组合来构建约束条件，使用“>=”来表示大于等于关系。
3. 求解问题：构建好约束条件之后，即可使用“optimize”函数来求解线性矩阵不等式问题。
在求解问题时，可以指定优化的目标函数和一些额外的约束条件。
四、LMI工具箱的实例应用下面我们通过一个具体的实例来演示LMI工具箱的使用方法。
假设有一个线性时不变系统，其状态方程可以表示为：$\dot{x} = Ax + Bu$其中，A和B分别为系统的状态矩阵和输入矩阵。
我们希望设计一个状态反馈控制器K，使得系统在闭环下能够保持稳定。
一、线性矩阵不等式的LMI 工具箱求解 （一）可行性问题（LMIP ）1、可行性问题描述系统状态方程：[]1122331000210-414x x x x u x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦在判断系统的稳定性时，根据线性定常系统的李雅普诺夫稳定性判据，需要判断是否存在实对称矩阵P ，使得：TA P +P A =Q -成立，其中Q 为正定矩阵。
那么判断系统稳定性的问题，可以转化为下面不等式是否存在解的问题：TA P +P A <0这种不等式解是否存在的问题可以用MATLAB 的LMI 工具箱进行判断。
2、仿真所需要用到的命令setlmis([]) ：开始一个线性矩阵不等式系统的描述； X= lmivar(TYPE,STRUCT)：定义一个新的矩阵变量；lmiterm(TERMID,A,B,FLAG)：确定线性矩阵不等式的一个项的内容； LMISYS = getlmis ：结束一个线性矩阵不等式系统的描述，返回这个现行矩阵不等式系统的内部表示向量LMISYS ；X = dec2mat(LMISYS,DECV ARS,XID)：由给定的决策变量得到相应的矩阵变量值。
[tmin,xfeas]=feasp(lmisys)：可行性问题的求解器函数，tmin 大于0时，表明LMI 系统不可行，P 阵无解，系统不稳定，tmin 小于0时，便可以用dec2mat 函数求解出P矩阵。
3、仿真结果可以看到，仿真结果tmin＜0，因此P阵存在，系统是稳定的。
进一步用dec2mat函数求解出P矩阵。
得：（二）特征值问题(EVP)1、EVP 问题描述该问题对应矩阵工具箱中的LMI 约束的线性目标函数最小化优化问题。
一般采用mincx 求解器求解。
考虑这样一个优化问题：m in ().. 0TTT ra c e X s t A X X A X B B X Q +++<其中：5342154067; 3; 562.78314228A B Q -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪===-- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭2、仿真用到的命令DECV ARS = mat2dec(LMISYS,X1,X2,X3,...) ：由给定的矩阵变量得到相应的决策变量值；[copt,xopt]=mincx(LMIs,c,options)：用于给定的特征值问题求解，copt 返回全局最优的决策变量,xopt 返回决策变量的最优解。
LMI：Linear Matrix Inequality，就是线性矩阵不等式。
在Matlab当中，我们可以采用图形界面的lmiedit命令，来调用GUI接口，但是我认为采用程序的方式更方便（也因为我不懂这个lmiedit的GUI）。
对于LMI Lab，其中有三种求解器（solver）： feasp，mincx和gevp。
每个求解器针对不同的问题：feasp：解决可行性问题（feasibility problem），例如：A(x)<B(x)。
mincx：在线性矩阵不等式的限制下解决最小化问题（Minimization of a linear objective under LMI constraints），例如最小化c'x，在限制条件A(x) < B(x)下。
gevp：解决广义特征值最小化问题。
例如：最小化lambda，在0<B(x),A(x)<lamba*B(x)限制条件下。
要解决一个LMI问题，首要的就是要把线性矩阵不等式表示出来。
对于以下类型的任意的LMI问题N' * L(X1, . . . , XK) * N < M' * R(X1, . . . , XK) * M其中X1, . . . , XK是结构已经事先确定的矩阵变量。
左侧和右侧的外部因子（outer factors）N和M是给定的具有相同维数的矩阵。
左侧和右侧的内部因子（inner factors）L(.)和R(.)是具有相同结构的对称块矩阵。
每一个块由X1, . . . , XK以及它们的转置组合而成形成的。
解决LMI问题的步骤有两个：1、定义维数以及每一个矩阵的结构，也就是定义X1, . . . , XK。
2、描述每一个LMI的每一项内容（Describe the term content of each LMI）此处介绍两个术语：矩阵变量（Matrix Variables）：例如你要求解X满足A(x)<B(x)，那么X就叫做矩阵变量。
