线性矩阵不等式3

控制论常用的矩阵不等式控制论是一门研究如何通过控制手段来实现系统稳定、优化和鲁棒性的学科，而矩阵不等式则是控制论中常用的数学工具之一。

本文将介绍控制论中常用的几种矩阵不等式，并讨论其在控制系统设计中的应用。

1. 线性矩阵不等式(LMI)线性矩阵不等式是控制论中最常用的矩阵不等式之一。

它的形式为：$$A(x)X+B(x)Y+C^{T}(x)YC(x)<0$$其中，$A(x)$、$B(x)$、$C(x)$均为实系数矩阵函数，$X$、$Y$均为矩阵变量。

该不等式表示的是矩阵函数$A(x)$、$B(x)$、$C(x)$构成的线性系统对应的闭环系统是渐进稳定的，即对任意的初值$x_0$，系统的输出$y(t)$都会收敛到零。

2. Lyapunov矩阵不等式Lyapunov矩阵不等式是控制论中另一种常用的矩阵不等式。

它的形式为：$$A^{T}P+PA<-Q$$其中，$A$为系统的状态转移矩阵，$P$为对称正定矩阵，$Q$为对称正定矩阵。

该不等式表示的是系统的Lyapunov函数$V(x)=x^{T}Px$满足$V(x)leqslant-alpha x^{T}x$，其中$alpha$是正常数。

3. Riccati矩阵不等式Riccati矩阵不等式也是控制论中常用的矩阵不等式之一。

它的形式为：$$A^{T}P+PA-PBR^{-1}B^{T}P<-Q$$其中，$A$、$B$为系统的状态转移矩阵和输入矩阵，$P$为对称正定矩阵，$R$为对称正定矩阵。

该不等式表示的是系统的最优控制输入满足线性方程$u=-R^{-1}B^{T}Px$。

4. Schur矩阵不等式Schur矩阵不等式是控制论中最基本的矩阵不等式之一。

它的形式为：$$Mprec N$$其中，$M$、$N$为两个对称矩阵，$prec$表示矩阵的部分序。

该不等式表示的是矩阵$N-M$是正定的。

总之，矩阵不等式在控制论中具有广泛的应用，可以用于系统稳定性分析、最优控制设计和鲁棒性分析等领域。

LMI：Linear Matrix Inequality，就是线性矩阵不等式。

在Matlab当中，我们可以采用图形界面的lmiedit命令，来调用GUI接口，但是我认为采用程序的方式更方便（也因为我不懂这个lmiedit的GUI）。

对于LMI Lab，其中有三种求解器（solver）： feasp，mincx和gevp。

每个求解器针对不同的问题：feasp：解决可行性问题（feasibility problem），例如：A(x)<B(x)。

mincx：在线性矩阵不等式的限制下解决最小化问题（Minimization of a linear objective under LMI constraints），例如最小化c'x，在限制条件A(x) < B(x)下。

gevp：解决广义特征值最小化问题。

例如：最小化lambda，在0<B(x),A(x)<lamba*B(x)限制条件下。

要解决一个LMI问题，首要的就是要把线性矩阵不等式表示出来。

对于以下类型的任意的LMI问题N' * L(X1, . . . , XK) * N < M' * R(X1, . . . , XK) * M其中X1, . . . , XK是结构已经事先确定的矩阵变量。

左侧和右侧的外部因子（outer factors）N和M是给定的具有相同维数的矩阵。

左侧和右侧的内部因子（inner factors）L(.)和R(.)是具有相同结构的对称块矩阵。

每一个块由X1, . . . , XK以及它们的转置组合而成形成的。

解决LMI问题的步骤有两个：1、定义维数以及每一个矩阵的结构，也就是定义X1, . . . , XK。

2、描述每一个LMI的每一项内容（Describe the term content of each LMI）此处介绍两个术语：矩阵变量（Matrix Variables）：例如你要求解X满足A(x)<B(x)，那么X就叫做矩阵变量。

lmi的用法
LMI（Linear Matrix Inequality）是一种用于分析和解决线性矩阵不等式问题的工具。

LMI常用于控制系统分析和设计中，可以用于描述和求解线性时不变系统中的各种问题，如稳定性、无源性和最优性等。

LMI的使用方法包括以下步骤：
1. 将系统的约束条件表示为矩阵不等式。

2. 将矩阵不等式转换为标准形式，即将其转换为半正定矩阵的形式。

可以使用Schur补引理或LMI形式进行转换。

3. 使用数值求解算法求解半正定矩阵的解，并进一步得到系统的控制器参数。

在MATLAB中，可以使用LMI工具箱来执行以上步骤。

具体命令包括：lmiinbr(lmisys)用于求系统中线性矩阵不等式的个数，
matnbr(lmisys)用于求系统中矩阵变量的个数，decnbr(lmisys)用于求系统中决策变量的个数，mat2dec(lmisys,x1,x2,x3,...)用于由给定的矩阵变量得到相应的决策变量值，dec2mat(lmisys,decvars,xid)用于由给定的决策变量得到相应的矩阵变量值，
evallmi(lmisys,decvars)用于求出线性矩阵不等式系统中所有变量项的值，[lhs,rhs]=showlmi(lmisys,n)用于给出特定线性矩阵不等式的
左边和右边。

1、2H H ∞、状态观测估计和2H H ∞、滤波器估计的区别。

为什么有了状
态观测估计，还要有滤波器估计呢？
因为2H 和H ∞的仿真结果基本相同，所以图中只给出了H ∞状态观测器（高斯白噪声10dB ）和H ∞滤波器(高斯白噪声10dB)的仿真结果，从图中以看出状态观测器和滤波器都可以对系统的状态进行估计，衰减干扰对期望输出的影响。

但二者还是有区别的，状态观测器是用于当系统内部的状态变量并不能被直接测量，导致无法进行系统状态反馈控制器设计等情况下的。

滤波器则是针对系统中存在高分贝噪声情况下，对系统所有状态进行的估计。

比较图1和图3，可以看出白噪声从10dB 增加到250dB 观测误差增大了12
10倍，比较图2和图4，可以看出白噪声从10dB 增加到200dB 但系统实际输出和滤波输出误差在同一数量级上。

因此，可以知道2H H ∞、在状态观测估计一般用在无噪声或噪声较小，和2H H ∞、在滤波器一般用于噪声影响较大的情况。

=
图1 H ∞状态观测器误差（高斯白噪声10dB ）
图2 系统实际输出和H∞滤波器输出(高斯白噪声10dB)
图3 H∞状态观测器误差（高斯白噪声250dB）
图4 系统实际输出和H∞滤波器输出(高斯白噪声200dB)。

LMI 工具箱介绍线性矩阵不等式（LMI ）工具箱是求解一般线性矩阵不等式问题的一个高性能软件包。

由于其面向结构的线性矩阵不等式表示方式，使得各种线性矩阵不等式能够以自然块矩阵的形式加以描述。

一个线性矩阵不等式问题一旦确定，就可以通过调用适当的线性矩阵不等式求解器来对这个问题进行数值求解。

LMI 工具箱提供了确定、处理和数值求解线性矩阵不等式的一些工具，它们主要用于：z 以自然块矩阵形式来直接描述线性矩阵不等式； z 获取关于现有的线性矩阵不等式系统的信息； z 修改现有的线性矩阵不等式系统； z 求解三个一般的线性矩阵不等式问题； z 验证结果。

本附录将详细介绍LMI 工具箱提供的用于解决以上各个问题的相关函数和命令。

A.1 线性矩阵不等式及相关术语一个线性矩阵不等式就是具有以下一般形式的一个矩阵不等式：0<+++=N N x x L L L x L "110)( (1)其中：是给定的对称常数矩阵，是未知变量，称为决策变量，N L L L ,,,10"N x x ,,1"∈=T 1],,[N x x "x N R 是由决策变量构成的向量，称为决策向量。

尽管表达式（1）是线性矩阵不等式的一个一般表示式，但在大多数实际应用中，线性矩阵不等式常常不是以一般表示式（1）的形式出现，而是具有以下形式：),,(),,(11n n X X R X X L ""<其中的和是矩阵变量的仿射函数，通过适当的代数运算，上式可以写成线性矩阵不等式的一般表示式（1）的形式。

例如，在系统稳定性问题中经常遇到的Lyapunov 矩阵不等式)(⋅L )(⋅R n X X ,,1"0<+XA X A T (2)也是一个线性矩阵不等式，其中的是一个矩阵变量。

我们以一个二阶矩阵为例，将矩阵不等式（2）写成一般表示式（1）的形式。

针对二阶矩阵不X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=2021A等式（2），对应的矩阵变量是一个二阶的对称矩阵，，不等式（2）中的决策变量是矩阵中的独立元。

线性矩阵不等式是一种数学关系，它可以用来描述矩阵之间的线性关系。

它把一个矩阵的元素和另一个矩阵的元素比较，以表达它们之间的线性关系。

它可以用来比较两个矩阵之间的差异，也可以用来比较两个矩阵之间的相似度。

线性矩阵不等式的具体形式是：A，B两个矩阵，其中A和B的元素之间的比较关系可以写成a_ij ≤ b_ij，其中i表示A矩阵的行号，j表示A矩阵的列号，a_ij表示A矩阵第i行第j列的元素，b_ij表示B矩阵第i行第j列的元素。

线性矩阵不等式的应用非常广泛，它可以用来求解矩阵的最大值和最小值，可以用来解决线性规划问题，也可以用来求解矩阵的最优解。

总之，它是一种重要的数学工具，在线性代数中有着重要的应用。

离散代数riccati方程 lmi离散代数Riccati方程与LMI引言离散代数Riccati方程（Discrete Algebraic Riccati Equation）是控制论和系统科学中的一个重要问题。

它可以通过线性矩阵不等式（Linear Matrix Inequality，LMI）来表示和求解。

在本文中，我们将介绍离散代数Riccati方程与LMI之间的关系，探讨其应用和解决方法。

离散代数Riccati方程简介离散代数Riccati方程是一类特殊的代数方程，形式如下：X=A T XA−A T XB(R+B T XB)−1B T XA+Q其中，X是未知矩阵，A和B是已知矩阵，Q和R是给定的对称矩阵。

Riccati方程的求解对于控制系统的稳定性和性能分析具有重要意义。

线性矩阵不等式（LMI）线性矩阵不等式是描述矩阵约束条件的不等式。

LMI的一般形式如下：F(X)≼0其中，X 是待求矩阵，F (X ) 是关于 X 的线性函数。

LMI 的解集合可以表示为一组矩阵的集合。

Riccati 方程与LMI 的关系Riccati 方程和LMI 之间存在紧密的关系。

事实上，离散代数Riccati 方程可以转化为一个LMI 问题。

通过引入新的变量和约束，可以将Riccati 方程重新表述为LMI 形式，进而可以使用现有的LMI 求解方法来求解Riccati 方程。

具体而言，我们定义下面的矩阵和变量：X =[X 11X 12X 21X 22], Z =[X 11X 12X 21X 22]T F (X )=[X 11−A T X 11A +Q X 11A −X 12+A T X 21⋆X 22−R] 其中，⋆ 表示可以任意取值的元素。

通过对矩阵 F (X ) 的约束条件进行推导和求解，可以得到Riccati 方程的解。

Riccati 方程的求解方法Riccati 方程是一个重要的非线性方程，其求解是一个复杂的问题。

线性矩阵不等式在控制工程中的应用线性矩阵不等式（Linear Matrix Inequality，简称LMI）是一种常见且重要的数学工具，它在控制工程领域中得到广泛应用。

本文将着重介绍LMI的基本概念、应用场景以及在控制工程中的具体应用。

一、LMI的基本概念LMI是一种线性约束条件下的矩阵不等式，一般形式为：P > 0（表示矩阵P是正定的），或F(A, B, C) > 0（表示关于矩阵A、B、C的函数F大于零）。

LMI的解集是所有满足该矩阵不等式条件的矩阵组成的集合。

LMI问题通常可以通过利用凸优化方法进行求解。

二、LMI的应用场景LMI广泛应用于控制工程领域，其中最主要的应用场景包括：1. 系统稳定性分析与设计：通过构建LMI来分析系统的稳定性，并设计稳定控制器，以确保系统在不同工况下具有良好的稳定性。

2. 鲁棒控制设计：在存在不确定性或测量噪声的情况下，通过LMI技术设计鲁棒控制器，使系统具有鲁棒性能。

3. 最优控制设计：通过最小化LMI问题的目标函数，优化控制设计，实现系统的最优性能。

4. 过程控制与优化：利用LMI技术设计控制器，通过对系统的状态变量、输入变量进行优化，实现过程控制与优化。

5. 非线性控制器设计：通过线性化方法将非线性系统线性化，并将其表示为LMI形式，从而设计出最优的线性控制器。

三、LMI在控制工程中的具体应用1. 鲁棒控制：对于具有不确定性的系统，通过建立LMI，设计鲁棒控制器，以提高系统的稳定性和鲁棒性能。

2. H∞控制：利用LMI方法设计H∞控制器，使系统对不确定性和噪声具有良好的鲁棒性能，同时最小化系统对外界干扰的敏感度。

3. 状态反馈控制：通过LMI技术设计状态反馈控制器，实现系统状态的稳定性和快速响应。

4. 参数估计：利用LMI方法设计参数估计器，对系统的未知参数进行在线估计，以提高系统的自适应性能。

5. 面向网络控制系统的设计：通过LMI技术，设计满足网络控制系统带宽约束的控制器，以保证系统的稳定性和性能。

矩阵不等式feasp,gevp,mincx求解
(1)可行性求解器feasp
求解器feasp一般表达式
[tmin,xfeas]=feasp(lmis,options,target)
即求解如下的凸优化问题
mint
s.t A(x)-B(x)<=tI
这个凸优化的全局最优解用tmin表示，需要满足tmin<0,求得的结果才是可行解，求解过程中若无可行解，可检查是否将变量取成常量进行计算了，若这样会增加保守性，使得LMI求解不可行。

(2)广义特征值优化求解器gevp
一般表达式
[lopt,xopt]=gevp(lmisys,nlfc,options,linit,xinit,target)
这个求解器优化求解时我个人认为可以直接求解，求解系统中各参数的优化值，也可以进行LMI的变换，变换成gevp求解的标准形式，如求解时滞系统的最大允许时延等，后一种方法比较好。

(3)LMI约束的线性目标函数最小化优化问题mincx
一般表达式
[lopt,xopt]=mincx(lmisys,c,options,xinit,target)
这个优化求解器使用方便，用处比较广泛，如求解Hinf问题的扰动抑制指标gamma，但要配合下面的程序求解c
n=decnbr(lmis)
c=zeros(n,1)
for j=1:n;
[Xj,Pj]=defcx(lmis,j,X,P)
c(j)=trace(Xj)+x0'*Pj*x0;
end
[copt,xopt]=mincx(lmis,c,[1e-5 0 0 0 0]) //此程序仅做参考矩阵不等式求解方便而灵活，具体问题具体分析。