关于矩阵范数的几个不等式

矩阵范数三角不等式证明1. 引言矩阵范数是衡量矩阵的大小的一种方法。

在线性代数和数值分析中，矩阵范数是一个重要的概念，它可以用来描述矩阵的特性和性质。

其中，矩阵范数三角不等式是一条关于矩阵范数的重要定理，它在分析和证明中起到了关键作用。

本文将详细介绍矩阵范数三角不等式的定义、性质以及证明过程。

我们将从基本概念开始，逐步推导出矩阵范数三角不等式，并通过实例加深理解。

2. 矩阵范数2.1 定义给定一个n×m的实或复矩阵A，其元素为a ij。

矩阵范数是一个函数∥⋅∥，它满足以下条件： - ∥A∥≥0，当且仅当A=0时取等号。

- ∥cA∥=|c|∥A∥，其中c为常数。

- ∥A+B∥≤∥A∥+∥B∥。

常见的矩阵范数有：1-范数、2-范数和无穷大范数等。

2.2 三角不等式对于任意的n×m矩阵A,B，有以下三角不等式成立：∥A+B∥≤∥A∥+∥B∥3. 矩阵范数三角不等式证明为了证明矩阵范数的三角不等式，我们需要引入以下引理：引理1对于任意的n×m矩阵A,B,C，有以下不等式成立：∥A+B∥≤∥A+C∥+∥C+B∥证明由矩阵范数的定义可知：∥X+Y∥=max∥u∥=1∥(X+Y)u∥=max∥u∥=1∥Xu+Yu∥我们可以将max展开为sup，得到：∥X+Y∥=supu≠0∥(X+Y)u∥∥u∥=supu≠0∥(X+Y)u−Xu−Xv+vXv+vYu−YvYu+vYu−vYu+vYu−vYv+vYv−vvYv+vYv−∥u∥=supu,v,∈R n,u T u=1,v T∥Xu∥+∥Yu∥+∥Yv∥+∥Xv∥−2|(Xu)T(Yv)|√u T u由于sup是取最大值，我们可以只考虑上式中的每一项的最大值，即：supu,v,∈R n,u T u=1,v T max(∥Xu∥,∥Yu∥,∥Yv∥,∥Xv∥−2|(Xu)T(Yv)|)√u T u其中，|(Xu)T(Yv)|表示内积(Xu)T(Yv)的绝对值。

矩阵逆的范数不等式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：矩阵逆的范数不等式是线性代数中的重要概念，它帮助我们衡量矩阵逆的大小以及逆矩阵和原矩阵之间的关系。

在实际问题中，矩阵逆的范数不等式也经常被用来分析矩阵的性质和解决实际问题。

让我们从矩阵的逆的定义开始。

给定一个n×n的矩阵A，如果存在一个n×n的矩阵B，使得AB=BA=I（其中I是单位矩阵），则称B 是矩阵A的逆矩阵，记作A^{-1}。

对于实数矩阵而言，如果A的逆存在且唯一，则称A是可逆矩阵。

而当A不可逆时，我们称A是奇异矩阵。

在实际问题中，可逆矩阵有很多重要的应用，比如在线性方程组的求解、最小二乘法、数据压缩等方面。

接下来，我们来讨论矩阵逆的范数不等式。

对于一个n×n的矩阵A，我们定义矩阵A的1-范数、2-范数和∞-范数如下：1-范数：定义为矩阵A的每一列元素绝对值之和的最大值，记作||A||_1；2-范数：定义为矩阵A的特征值平方和的平方根，记作||A||_2；∞-范数：定义为矩阵A的每一行元素绝对值之和的最大值，记作||A||_∞。

矩阵逆的1-范数、2-范数和∞-范数之间有如下不等式成立：||A^{-1}||_1 ≤ n * ||A||_∞ / det(A)，||A^{-1}||_2 ≤ 1 / ||A||_2，||A^{-1}||_∞ ≤ n * ||A||_1 / det(A)。

这些不等式告诉我们，矩阵逆的大小和原矩阵的范数之间存在着一定的关系。

在求解矩阵逆的时候，我们可以通过估计原矩阵的范数来估计逆矩阵的范数，从而更好地分析和处理问题。

除了矩阵逆的范数不等式外，还有一些其他和矩阵逆相关的不等式也十分重要。

谱条件数是描述矩阵A的特征值之间大小关系的重要指标。

对于一个可逆矩阵A，其谱条件数定义为：κ(A) = ||A|| * ||A^{-1}||。

谱条件数越大，说明矩阵A的特征值之间的差异越大，反之则越小。

矩阵行范数矩阵行范数一、引言在线性代数中，矩阵是一个非常重要的概念。

而矩阵的范数则是研究矩阵的一个重要方面。

本文将着重介绍矩阵的行范数。

二、定义矩阵的行范数是指将每一行上的元素绝对值相加，然后取最大值，即：$$\|A\|_{\infty}=\max_{1\leq i \leq m}\sum_{j=1}^{n}|a_{ij}|$$其中 $A$ 是一个 $m\times n$ 的矩阵。

三、性质1. 非负性由定义可知，每个元素都是取绝对值之后相加，所以$\|A\|_{\infty}\geq 0$。

2. 齐次性对于任意标量 $k$，有 $\|kA\|_{\infty}=|k|\cdot \|A\|_{\infty}$。

3. 三角不等式对于任意两个矩阵 $A,B$，有 $\|A+B\|_{\infty}\leq\|A\|_{\infty}+\|B\|_{\infty}$。

4. 子多项式不等式设$A$ 是一个 $n\times n$ 的实或复方阵，则对于任意整数$k>0$，有$$\|A^k\|_{\infty}\leq \|A\|_{\infty}^k$$5. 逆矩阵不等式设 $A$ 是一个 $n\times n$ 的实或复方阵，则对于任意非零的向量$x$，有$$\frac{\|Ax\|_{\infty}}{\|x\|_{\infty}} \leq \|A^{-1}\|_{\infty}$$四、计算方法矩阵的行范数可以通过以下方法进行计算：1. 直接计算根据定义，可以直接计算每一行上的元素绝对值之和，然后取最大值即可。

2. 列向量求和法将矩阵 $A$ 看作是 $n$ 个列向量的组合，即$A=[a_1,a_2,\cdots,a_n]$，则 $\|A\|_{\infty}$ 可以表示为：$$\max_{1 \leq j \leq n}\sum_{i=1}^{m}|a_{ij}|$$即每个列向量中元素绝对值之和的最大值。

矩阵的范数矩阵的范数是线性代数中的一个概念，它是用来衡量矩阵大小的一种方式。

范数是一种将矩阵（或向量）映射到非负实数的函数，反映矩阵（或向量）的大小。

在实际应用中，矩阵的范数被广泛用于求解线性方程组、矩阵分解、数据压缩等各种问题中。

矩阵范数的定义比较抽象，但其有严格的数学定义。

在此先介绍一下向量范数，然后再拓展到矩阵范数的定义。

1. 向量范数向量范数是将一个向量映射到其大小的非负实数函数。

向量范数必须满足以下性质：（1）非负性：对于所有向量x，有||x||>=0。

（2）同一性：当且仅当x=[0,0,...,0]时，有||x||=0。

（3）绝对值：||x||=|-x|。

（4）三角不等式：对于所有向量x和y，有||x+y||<=||x||+||y||。

常见的向量范数有：（2）L2范数：||x||2=√(∑xi^2)。

矩阵范数类似于向量范数，也是将一个矩阵映射到其大小的非负实数函数。

矩阵范数也必须满足向量范数的四个性质（非负性、同一性、绝对值、三角不等式），同时还需要满足以下性质：（5）齐次性：对于所有矩阵A和实数t，有||tA||=|t|||A||。

（2）谱范数：||A||2=max|λi|，其中λi为A的特征值。

（5）核范数：||A||*=\sigma_1(A)+\sigma_2(A)+...+\sigma_r(A)，其中\sigma_1(A)≥\sigma_2(A)≥...≥\sigma_r(A)≥0是A的奇异值。

其中，Frobenius范数是最常用的矩阵范数，它等价于将矩阵展开成一个向量，然后计算向量的L2范数。

谱范数可以被视为矩阵的最大奇异值。

一范数和∞范数则是适用于稀疏矩阵的范数，它们可以度量矩阵的行或列中的非零元素个数。

核范数可以被视为对矩阵进行低秩近似的一种方式。

总之，矩阵范数是一种十分有用的工具，它不仅可以度量矩阵的大小，而且可以用于求解许多数学问题，如线性方程组、矩阵分解、最小二乘问题、数据压缩等。

矩阵论范数知识点总结一、概述矩阵论是线性代数的一个分支，它研究矩阵及其性质。

矩阵的范数是矩阵的一种性质的度量，它在矩阵分析、数值线性代数、优化理论等领域中有着广泛的应用。

本文将对矩阵范数的定义、性质、应用以及相关的其他知识点进行总结和介绍。

二、矩阵的定义在数学中，矩阵是一个按照矩形排列的复数或实数集合。

也可以看成是一个数域上的矩形阵列。

矩阵的元素可以是实数、复数或者是其他的数学对象。

一个n×n矩阵A是一个由n×n个元素（a_ij）组成的矩形数组。

三、范数的定义在数学中，范数是定义在向量空间中的一种函数，它通常被用来衡量向量的大小或长度。

对于矩阵来说，范数是一种度量矩阵大小的方法。

对于一个矩阵A，它的范数通常记作||A||。

矩阵的范数满足以下性质：1. 非负性：||A|| ≥ 0，并且当且仅当A = 0时，||A|| = 02. 齐次性：对于任意标量c，||cA|| = |c| * ||A||3. 三角不等式：||A+B|| ≤ ||A|| + ||B||四、矩阵范数的种类矩阵范数一般有几种不同的类型。

1. Frobenius范数：矩阵A的Frobenius范数定义为||A||_F = sqrt(Σ_(i=1)^m Σ_(j=1)^n|a_ij|^2)2. 1-范数：矩阵A的1-范数定义为||A||_1 = max(Σ_(i=1)^n |a_ij|)3. 2-范数：矩阵A的2-范数定义为||A||_2 = max(Σ_(i=1)^m Σ_(j=1)^n |a_ij|^2)^(1/2)4. ∞-范数：矩阵A的∞-范数定义为||A||_∞ = max(Σ_(j=1)^n |a_ij|)五、矩阵范数的性质矩阵范数具有一些重要的性质，下面将介绍其中一些主要性质。

1. 非负性：||A|| ≥ 0，并且当且仅当A = 0时，||A|| = 02. 齐次性：对于任意标量c，||cA|| = |c| * ||A||3. 三角不等式：||A+B|| ≤ ||A|| + ||B||4. 乘法范数：||AB|| ≤ ||A|| * ||B||5. 谱半径：对于任意矩阵A，它的谱半径定义为rho(A) = max|λ_i(A)|6. 对称矩阵：对于对称矩阵A，其2-范数定义为rho(A)，即||A||_2 = rho(A)，其中rho(A)是A的最大特征值六、矩阵范数的应用矩阵范数在数学和工程领域有着广泛的应用，下面将介绍一些主要的应用。

矩阵的几个不等式1. 矩阵的不等式定义：矩阵的不等式指的是一组矩阵的元素之间的比较，它可以是大于、小于或等于关系。

矩阵的不等式可以表示为A≤B，其中A和B分别是两个矩阵，A≤B表示A中的每个元素都小于等于B中的对应元素。

## 2. 矩阵的不等式性质1. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≥A；2. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≤2A；3. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≠A；4. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≠2A；5. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≥2A；6. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≤A；7. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≠0；8. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≠-A；9. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≥0；10. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≤-A。

3. 矩阵的不等式应用矩阵的不等式应用可以用于多种情况，如矩阵的范数估计、矩阵的特征值估计、矩阵的迹估计、矩阵的奇异值估计、矩阵的乘积估计等。

此外，矩阵的不等式应用还可以用于求解线性方程组、求解矩阵的逆等问题。

此外，矩阵的不等式应用还可以用于矩阵的正定性判断、矩阵的正交性判断等。

#### 4. 矩阵的不等式推导1. 对于矩阵A，若A的行列式不为零，则有A的逆矩阵存在；2. 若A的行列式为零，则A的逆矩阵不存在；3. 对于任意矩阵A，有A+A的逆矩阵存在；4. 对于任意矩阵A，有A*A的逆矩阵存在；5. 对于任意矩阵A，有A*A+A的逆矩阵存在；6. 对于任意矩阵A，有A*A*A的逆矩阵存在；7. 对于任意矩阵A，有A*A*A+A的逆矩阵存在；8. 对于任意矩阵A，有A*A*A*A的逆矩阵存在；9. 对于任意矩阵A，有A*A*A*A+A的逆矩阵存在。

5. 矩阵的不等式变换：矩阵的不等式变换是指将一个矩阵中的不等式变换为另一个矩阵，这样可以更容易地解决矩阵的不等式问题。

变换的方法有很多，比如可以使用行列式，矩阵乘法，矩阵加法，矩阵转置等。

矩阵范数定义矩阵范数是矩阵理论中的一个重要概念，它是用来衡量矩阵的大小的一种方法。

在实际应用中，矩阵范数被广泛应用于信号处理、图像处理、机器学习等领域。

本文将介绍矩阵范数的定义、性质以及应用。

矩阵范数的定义矩阵范数是一种将矩阵映射到实数的函数，它可以用来衡量矩阵的大小。

矩阵范数有多种定义方式，其中比较常见的有以下几种：1. Frobenius范数Frobenius范数是矩阵中所有元素的平方和的平方根，即：$$\left\|A\right\|_F=\sqrt{\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n|a_{ij}|^ 2}$$其中，$A$是一个$m\times n$的矩阵，$a_{ij}$表示矩阵$A$中第$i$行第$j$列的元素。

2. 1-范数1-范数是矩阵中每一列元素绝对值之和的最大值，即：$$\left\|A\right\|_1=\max_{1\leq j\leqn}\sum_{i=1}^m|a_{ij}|$$3. 2-范数2-范数是矩阵的最大奇异值，即：$$\left\|A\right\|_2=\sigma_{\max}(A)$$其中，$\sigma_{\max}(A)$表示矩阵$A$的最大奇异值。

4. 无穷范数无穷范数是矩阵中每一行元素绝对值之和的最大值，即：$$\left\|A\right\|_{\infty}=\max_{1\leq i\leq m}\sum_{j=1}^n|a_{ij}|$$矩阵范数的性质矩阵范数具有以下性质：1. 非负性：对于任意矩阵$A$，其范数$\left\|A\right\|$都是非负的。

2. 齐次性：对于任意矩阵$A$和标量$c$，有$\left\|cA\right\|=|c|\left\|A\right\|$。

3. 三角不等式：对于任意矩阵$A$和$B$，有$\left\|A+B\right\|\leq\left\|A\right\|+\left\|B\right\|$。

向量和矩阵的范数一、引言向量和矩阵是线性代数中最基本的概念之一，而范数则是线性代数中一个非常重要的概念。

范数可以用来度量向量或矩阵的大小，也可以用来衡量它们之间的距离。

在本文中，我们将讨论向量和矩阵的范数。

二、向量范数1. 定义向量范数是一个函数，它将一个向量映射到一个非负实数。

它满足以下条件：（1）非负性：对于任意的向量x，有||x||≥0；（2）齐次性：对于任意的标量α和向量x，有||αx||=|α|·||x||；（3）三角不等式：对于任意的向量x和y，有||x+y||≤||x||+||y||。

2. 常见范数（1）L1范数：也称为曼哈顿距离或城市街区距离。

它定义为所有元素绝对值之和：||x||1=∑i=1n|xi| 。

（2）L2范数：也称为欧几里得距离。

它定义为所有元素平方和再开平方根：||x||2=(∑i=1nxi^2)1/2 。

（3）p范数：它定义为所有元素p次方和的p次方根：||x||p=(∑i=1n|xi|^p)1/p 。

（4）无穷范数：它定义为所有元素绝对值中的最大值：||x||∞=ma xi|xi| 。

三、矩阵范数1. 定义矩阵范数是一个函数，它将一个矩阵映射到一个非负实数。

它满足以下条件：（1）非负性：对于任意的矩阵A，有||A||≥0；（2）齐次性：对于任意的标量α和矩阵A，有||αA||=|α|·||A||；（3）三角不等式：对于任意的矩阵A和B，有||A+B||≤||A||+||B||。

2. 常见范数（1）Frobenius范数：也称为欧几里得范数。

它定义为所有元素平方和再开平方根：||A||F=(∑i=1m∑j=1naij^2)1/2 。

（2）一范数：它定义为每列元素绝对值之和的最大值：||A||1=maxj(∑i=1m|aij|) 。

（3）二范数：它定义为矩阵A的最大奇异值：||A||2=σmax(A) 。

（4）∞范数：它定义为每行元素绝对值之和的最大值：||A||∞=maxi(∑j=1n|aij|) 。

常见的矩阵范数1. 矩阵范数的概念及意义矩阵范数是对矩阵的一个度量方法，可以衡量矩阵的大小、特征和性质，广泛应用于线性代数、数值分析、信号处理、数据挖掘等领域。

矩阵范数是一种将矩阵映射到实数的函数，通常表示为 ||A||，其中A表示矩阵。

不同的矩阵范数对矩阵的度量不同，因此它们各自具有一些重要的数学特性和应用意义。

2. 矩阵范数的分类矩阵范数按照矩阵性质和数学定义的不同可以分为以下几种类型：2.1 1 范数1范数也称为列和范数或曼哈顿范数，表示矩阵的所有元素的绝对值之和，即||A||1 = max{||Ax||1/||x||1}，其中Ax表示矩阵A乘以向量x，而||x||1表示向量x的范数。

1范数的应用领域较广，主要用于衡量矩阵的稀疏性或在信号处理中，对信号进行压缩或降噪时常会使用到该范数。

2.2 2 范数2范数也称为谱范数，表示矩阵的特征值的最大值的平方根，即||A||2 = max{||Ax||2/||x||2}，其中Ax表示矩阵A乘以向量x，而||x||2表示向量x的范数。

2范数在线性代数和数值分析中经常被使用，可以衡量矩阵对于矩阵向量空间中单位球的收缩程度。

同时，2范数也被应用于矩阵的奇异值分解（SVD）和矩阵的伪逆运算等方面。

2.3 F范数F范数也称为欧几里得范数或矩阵二范数，是矩阵元素的平方和的平方根，即||A||F = sqrt{sum{|a_ij|^2}}。

F范数广泛应用于矩阵的分解过程中，比如利用奇异值分解和QR 分解来计算矩阵的F范数，还可以用于矩阵的稳定性分析和矩阵的相似性判定。

2.4 ∞ 范数∞ 范数也称为行和范数或列最大和范数，表示矩阵每一行元素的和绝对值的最大值，即||A||∞ = max{||Ax||∞/||x||∞}，其中Ax 表示矩阵A乘以向量x，而||x||∞表示向量x的范数。

∞ 范数被广泛应用于信号处理中的滤波和去噪，可以衡量信号的最大振幅和偏移。

3. 矩阵范数的性质矩阵范数具有一些重要的性质和特点，如：3.1 非负性任何矩阵范数都满足非负性，即||A||≥0，当且仅当A为零矩阵时，有||A||=0。

高校应用数学学报2018, 33(3): 373-378关于矩阵加权几何均值与范数的几个不等式刘新，杨晓英(四川信息职业技术学院基础教育部，四川广元510631)摘要：利用一组新的标量不等式，得到关于矩阵的加权几何均值不等式和矩阵H ilb e rt-S c h m id t范数不等式.新不等式改进了相关文献中的结果.关键词：几何均值；H ilb e rt-S c h m id t范数；半正定矩阵中图分类号：O151.21文献标识码：A文章编号：1000-4424(2018)03-0373-06§1引言设财…表示n x n复矩阵集合.记A i(A)，A2(A)，...，A…(A)是矩阵A e M…的所有特征值.表示具有n个复数分量的列向量集合，用〈.，.〉表示上的标准内积.如果矩阵A G财…满 足〈A x，x〉20,x e则称A为半正定矩阵.设H e rm ite矩阵e M…，偏序A2B表示A-B是半正定的.设矩阵A，B e财…是正定的，且0 S r S 1,矩阵A与B的加权几何均值定义为：A#v B=A2(A-1 B A-2 )v A2.当r=2时，简称为几何均值，记为A#B.对于矩阵A e财…的奇异值定义为A*A的特 征值的非负平方根.用s i(A)2S2(A)2…2s…(A)表示A e财…的奇异值，记s(A)= (S i(A)，S2(A)，.+.，S…(A)).用H I表示M…上任意的酉不变范数，即对于所有矩阵A e M…和酉 矩阵e M…，都有||^A V||=||A||成立.这其中包括H ilb e rt-S c h m id t范数||.||2，即||A||2 =(f J〜|2) = (^2(A)).详见文献[1-2].设矩阵A，B e M"n是正定的，K itta n e h和M anasrah在文献[3]中证明了：若0 S r S 1,则2r〇(A十B-2A#B)十A#v B十A#i—v BS A十B S2s〇(A十B-2A#B)十A#v B十A#i—v B,其中r〇 =m in{r,1 -r},s〇 =m a x{r,1 -r}.2012年，邹黎敏改进了上述不等式，得到2r〇(A十B-2A#B)十A#vB十A#\—vB收稿日期：2018-04-08 修回日期：2018-05-23基金项目：四川省教育厅自然科学基金(18ZB0521)374高校应用数学学报第33卷第3期<A+B(1)<p(v)(A+B-2A#B)+A#vB+B< 2s〇(A+B—2A#B)+A#vB+A#i-v B,其中;3(v) =2(1-2(v-v2)).关于酉不变范数不等式的研究由来已久[3-9].B h a tia和D a vis在文献[5]中得到如下结论：设A，B，X e M…，且A,B是半正定矩阵，若0 < v < 1,贝丨J2 A1 X B1 < ||A VX B1-v+A1-VX B V|| <||A X+X B|| .其中第二个不等式称为H e in z不等式.K itta n e h和M anasrah在文献[3]中以及何传江和邹黎敏在文献[6]中分别证明了 ：||A X+X B||2 < ||A VX B1-V+A1-VX B V||2+2s〇||A X-X B||2,(2)其中 s〇 =m a x{v，1 —v}.2012年，邹黎敏改进了不等式(2),得出||A X+X B||2 <HAVX B1-V+A1-VX B V^+0(v)||A X-X B||2,(3)其中;3(v) =2(1-2(v-v2)).K itta n e h和M anasrah在文献[7]中证明了：若0 <v < 1,贝丨J||A VX B1-V+A1-VX B V||2+2r。

第２７卷第４期　２０１０年８月　贵州大学学报（自然科学版）　

Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｇｕｉｚｈｏｕ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ）　Ｖｏｌ＿２７　Ｎｏ．４　

Ａｕｇ．２０１０　

文章编号１０００—５２６９（２０１０）０４—００１５—０４　・　关于分块矩阵的一些范数不等式　

蒋玲，何淦瞳　，杨剑锋　（贵州大学理学院，贵阳５５００２５）　摘要：本文建立了两个其子矩阵都为非负对角阵的分块矩阵关于Ｓｃｈａｔｔｅｎ　ｐ－范数的一些新的　范数不等式。　关键词：分块矩阵；半正定矩阵；Ｓｃｈａｔｔｅｎ　ｐ－范数；范数不等式　中图分类号：Ｏ１５１．２１　文献标识码：Ａ　

在文献［５］中作者证明了，对一个２×Ｎ阶分　块矩阵　，在满足４种情形之一时，有下述范数不　等式成立，当１≤Ｐ≤２时：Ｉ　Ｊ　≥Ｉｌ　ｔ　；Ｐ≥　２时，『Ｉ　ｆＩＤ≤ｔｖ，其中　／Ａｌ　Ａ２　…　ＡⅣ＼　一Ｉ　…　Ｂ　Ｊ’　＼　１　２　…　ＢⅣ／　

。　ｆ　ｌＩ　Ａ－Ｉｌ，　ｌｌ　ｚ『】，　…　ｌＩ　Ａ　Ｉｌ，＼　＼ｌｌ　ｌＩ　ｌｌ　Ｉｌ　…　ｌｌ　ＩＩ　／　当Ｎ＝２，矩阵　为半正定矩阵或子分块阵Ａ　，Ｂ　都为对角阵时，上述范数不等式也是成立的，在文　献［２］、［３］中已给出了证明。本文讨论了分块矩　阵　的每个子分块阵Ａ　，日　都为非负对角矩阵时　的两个新的Ｓｃｈａｔｔｅｎ　ｐ－范数不等式。　１　预备知识　定义１．１　对任意一个矩阵或算子Ａ，将Ｓｃｈａｔｔｅｎ　ｐ一范数定义为：ｌｌ　＝（Ｔｒ　ｌ　Ａ　Ｉ，）言，其中ｌＡ　Ｉ＝　（Ａ‘Ａ）１／＇２．当矩阵Ａ是一个半正定矩阵时，Ｓｃｈａｔｔｅｎ　ｐ一范数又可以表示为Ｉｌ　＝（　）　１。　引理１．２ｔｓ　设２×２阶矩阵Ａｉ：ｆ　ａｉ：‘１是一个　＼Ｃｉ　ｂｉ，　半正定矩阵，其中ａ　，ｃ　，ｂ　为非负元素，若ａ。≤　ａ　，ｂ　≤ｂ：，ｃ　≤ｃ：，则对酉不变范数　．『Ｊ　ｌ，　都有ｌ　Ｊｌ　Ａ　ＩＪ　ｌ≤ｌｌＩ　Ａ：ｌＩ　１．　引理１．３　ｒ　设２　ｘ２阶矩阵Ａ＝ｆⅡ　１，其中口，　ｆ（耋　）Ｊ　，则对任意２×２阶非负矩阵Ａ、Ｂ，　当１≤Ｐ≤２时ｇ（Ａ＋Ｂ）≤ｇ（Ａ）＋ｇ（Ｂ），当ｐ≥　２时不等式反号．　引理１．４　设Ａ、Ｂ是正算子，若函数　）为凸　函数，当　∈　【Ｏ．＋ｏ。），　０）≤０，有：　：　Ａ＋　）≥Ｔｒｆ（Ａ）＋Ｔｒｆ（Ａ）　若函数　）为凹函数，当　∈【Ｏ，＋∞），有：　Ａ＋Ｂ）≤Ｔｒｆ（Ａ）＋Ｔｒｆ（Ａ）　２主要结论　定理２．１设Ａ　，Ｂ　为凡×ｎ阶非负对角矩阵，当２　≤Ｐ≤４时有：