圆轴扭转应力

圆轴扭转时的强度计算和刚度计算 下次课预习要 点
实施情况及分 析
m A = mB
（a）
此题属于一次超静定。 （2）由变形协调方程（可解除 B 端约束） ，用变形叠加法有
11-14
φB = φB − φB + φB = 0
1 2 3
（b）
（3）物理方程
φB =
1
− m0 ⋅ a + m0 ⋅ 2 a − m B ⋅ 3a ， φ B2 = ， φ B3 = GI p GI p GI p
令
I p = ∫ ρ 2 dA
A
（11-9）
此处 d φ /dx 为单位长度上的相对扭角，对同一横截面，它应为不变量。
I p 为几何性质量，只与圆截面的尺寸有关，称为极惯性矩；单位为 m4
或 cm4。 则
T =G dφ Ip dx
或
dφ T = dx GI p
（11-10）
（11-10）式代回（c）式，得
2． 变形几何关系 ． 从图 11-9a 取出图 11-9b 所示微段 dx , 其中两截面 pp,qq 相对转动了扭 转角 d φ ,纵线 ab 倾斜小角度 γ 成为 ab’，而在半径 ρ ( od )处的纵线 cd 根据平面假设，转过 d φ 后成为 cd’（其相应倾角为 γ ρ ，见图 11-9c）
) 由于是小变形，从图 11-9c 可知： dd ' = rρ dx = ρdφ 。于是
γρ = ρ
dφ dx dφ dx
（a）
对于半径为 R 的圆轴表面（见图 11-9b） ，则为
γ =R
3． 物理关系 ．
（b）
与受扭薄壁圆筒相同，在半径为 ρ 处截出厚为 d ρ 的薄圆筒（图 11-9b） ，用一对相距 dy 而相交于轴线的径向面取出小方块（正微六面 体）如图 11-9c 此为受纯剪切单元体。 由剪切胡克定理和式（a）得
授 课 日 期 授 课 班 级
学时 授课教师
2
课次
．． ．． ．． ．． ．． ．． ．． ．． ．． ．． ．． ． 装
第十一章
授 课 题 目 （教学章、节或主题）
扭转
第二节 扭转时横截面上的应力 第四节 圆轴扭转时的变形
掌握圆轴扭转时横截面上的应力和变形 教学目的、要求
． ．． ．． ．． ．． ．． ．． 订
4．静力平衡关系 ． 在图 11-11 所示平衡对 象的横截面内，有
dA = 2πρ ⋅ dρ ，扭矩 扭矩
11-11
T = ∫ ρτ ρ dA ，由力偶矩平衡条件 ∑ mo = 0 ，得
A
T = m = ∫ ρτ ρ dA = ∫ ρ 2 G
A A
dφ dφ dA = G dx dx
∫
A
ρ 2 dA
ϕ max =
T GI p
（rad/m） ）
扭转的刚度条件：
T ≤ [ϕ ] （rad/m） GI P
（11-18）
或 例 11-3
ϕ max =
T 180 × ≤ [ϕ ] （°/m） GI P π
（11-19）
如图 11-14 所示等直圆杆，
已知 m0 = 10 KN·m，试绘扭矩图。 设两端约束扭转力偶为 m A ， B m 解： （1）由静力平衡方程 ∑ m x = 0 得 m A − m0 + m0 − mB = 0
dA = 2πρ ⋅ dρ
11-12
D πD 4 I p = ∫ ρ 2 dA = ∫ 2 ρ 2 ⋅ 2πρdρ = A 0 32 3 Ip πD = Wt = D 16 2
（11-15）
对空心圆轴
D π D 4 − d 4 πD 4 (1 − α 4 ) I p = ∫ ρ 2 dA = ∫d 2 ρ 2⋅2πρdρ = = A 32 32 2 Ip π D 4 − d 4 πD3 Wt = = = (1 − α 4 ), [ α = d D D2 16D 16
τρ =
Tρ Ip
（11-11）
则在圆截面边缘上， ρ 为最大值 R 时，得最大剪应力为
τ max =
此处 Wt =
TR T = I p Wt
（11-12）
Ip （11-13） R
Wt 称为抗扭截面系数，单位为 m3 或 cm3。
二、圆轴扭转时横截面上的剪应力 5. I p 、 Wt 计算
对实心圆轴 对实心圆轴
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基础部主任签字 教研室组长签字： 年 月 日 年 月 日
轴所受的外力偶矩为
N 7 .5 = 9550 = 199 N⋅ m n 360
m = 9550
由截面法
T = m = 199 N⋅ m
（2）计算极惯性矩
AC 段和 CB 段轴横截面的极惯性矩分别为 I P1 =
πD 4
32
= 7.95 cm 4
I P2 =
(D 32
π
4
− d 4 = 6.38 cm 4
课时 分配
教 学 内 容、方 法、步 骤
附 记
§11-2 圆轴扭转时的应力
一、圆轴扭转时横截面上的剪应力 1． ． 平面假设
如图 11-9a 所示 受扭圆轴， 与薄圆筒 相似， 如用一系列平 行的纵线与圆周线 将圆轴表面分成一 个个小方格， 可以观 察到受扭后表面变 形有以下规律：
11-9
(1) 各圆周线绕轴线相对转动一微小转角，但大小，形状及相互间 距不变； (2) 由于是小变形，各纵线平行地倾斜一个微小角度 γ ，认为仍为 直线；因而各小方格变形后成为菱形。 平面假设：变形前横截面为圆形平面，变形后仍为圆形平面，只 是各截面绕轴线相对“刚性地”转了一个角度。
所以
φ = ∫ dφ = ∫
l
T Tl dx = （rad） 0 GI GI p p
l
（11-17）
式中 GI p 称为圆轴的抗扭刚度， 它为剪切模量 极惯性矩 剪切模量与极惯性矩 剪切模量 极惯性矩乘积。GI p 越 大，则扭转角 φ 越小。
让
ϕ = dφ dx
ϕ=
为单位长度相对扭角， 则有 ， 为单位长度相对扭角，
CB CB τ max= τ 外 =
T D ⋅ = 46.8 × 10 6 Pa = 46.8 MPa I P2 2
§11-4 圆轴扭转时的变形 11-
扭转角是指受扭构件上两个横截面绕轴线的相对转角。 扭转角是指受扭构件上两个横截面绕轴线的相对转角。
对于圆轴，由式（11-10）
dφ =
Tdx GI p
(
)
(
)
（11-16）
例 11-2
AB 轴传递的功率为 N = 7.5 kW ，转速 n = 360 r/ min 。如
图 11-12 所示，轴 AC 段为实心圆截面，CB 段为空心圆截面。已知
D = 3 cm ， d = 2 cm 。试计算 AC 以及 CB 段的最大与最小剪应力。
（ 解： 1）计算扭矩
（c）
由式（c）（b）得 ，
− m0 ⋅ a m0 ⋅ 2 a m B ⋅ 3a + − =0 GI p GI p GI p
即
− m0 + 2 m0 − 3m B = 0
并考虑到（a） ，结果
m A = mB = m0 3
假设的力偶转向正确，绘制扭矩图如图 11-14c 所示。
1. 极惯性矩和抗扭截面系数 小 结 2. 圆轴扭转时横截面上的应力计算 3. 相对扭转角和单位长度扭转角 1. 扭转的概念 复习思考题、 2. 扭矩的正负号规定及扭矩图的绘制规律 作业题 11－3，4，5
)
（3）计算应力
AC 段轴在横截面边缘处的剪应力为
AC AC τ max= τ 外 = AC τ min= 0
T D ⋅ = 37.5 × 10 6 Pa = 37.5 MPa I P1 2
CB 段轴横截面内、外边缘处的剪应力分别为
CB CB τ min= τ 内 =
T d ⋅ = 31.2 × 10 6 Pa = 31.2 MPa I P2 2
（分掌握、熟悉、了解三 个层次） 重点与难点：圆轴扭转时横截面上的应力和变形
． ．． ．． ．． ．． ． 线 ．． ．． ．． ．． ．． ．． ．． ．． ．． ．． ．．
教学重、难点
参 考 资 料 （含参考书、文献等）
河南省高等职业技术学院教材 《工程力学》徐广民 中国铁道 出版社 21 世纪高职高专系列教材《工程力学》杨玉贵 机械工业出版 社
dφ dx
τ ρ = γ ρ G = Gρ
（c）
这表明横截面上任意点的剪应力 τ ρ 与该点到圆 剪应力 心的距离 ρ 成正比，即
τρ ∝ ρ
11-10
当 ρ = 0, τ ρ = 0 ；当 ρ = R ，τ ρ 取最大值。由剪应力互等定理 剪应力互等定理，则在径 剪应力互等定理 向截面和横截面上，沿半径剪应力的分布如图 11-10。