微积分第2版-朱文莉第7章 多元函数微分学习题祥解

微积分第二版课后习题答案【篇一：微积分(上册)习题参考答案】0.11.（a）是（b）否（c）是（d）否2.（a）否（b）否（c）否（d）是（e）否（f）否（g）是（h）否（i）是1,2,3},{1,2,4},{1,3,4}, 3.f,{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{{2,3,4},{1,2,3,4}.4. a?b5. a?b6~15. 略。

16. 证明：先证a-(b-c)?(ab)惹(ac).若x?a(b-c)，则x蜗a,x①如果x?c，则x蜗a,②如果x?c，则x?b，所以x?aa-(b-c)?(ab)惹(ac).再证a-(b-c)惹(ac)?a(b-c).若x￠?(ab)惹(ac)，则，x￠?ab或x￠吻ac.①如果x￠吻ac，有x￠?c，所以，x￠?bc，又x￠?a，于是x￠?a(b-c) ②如果x￠锨ac，x￠?ab，则有x￠?a，x￠?c，x￠?b，所以，x￠?bc，于是x￠?a(b-c). 因此有(a-b)惹(ac)?a(b-c).综上所述，a-(b-c)=(a-b)惹(ac)，证毕. 17~19. 略。

20. cda.21. a?b{(1,u),(1,v),(2,u),(2,v),(3,u),(3,v)};禳1镲xx?r,睚2镲铪参考答案禳禳11镲镲，，a?d-1,-,0,1,2,3,?a-c=睚0,-1,-睚镲镲44铪铪禳1镲a=睚-1,-,0,1,2,7.镲4铪xx危r,1x 2}x3，a?b={，a-b={xx?r,2x3}.b-cb-c;(ac)，因此有b，也有x?(ab)惹a2={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)};b2={(u,v),(u,v),(v,u),(v,v)}22. a={(x,y,z)}x,y,z危?.0323~25. 略。

第七章习题解答1.求下列函数的定义域。

()(){}1,:112222≤+--=y x y x D y x z 解：()()(){}1,4,:14ln 222222≥<+-+--=x y x y x D x y x z 解：()()()(){} ,2,1,0,122,:sin 32222±±=+≤+≤+=k k y x k y x D y x z ππ解：()()()[](){}164,:1416ln 422222222<+<---+--=y x y x D yx y x y x z 解：()(){}0,,:115><<--++=x x y x y x D yx yx z 解：()(){},0,:62>≤≤-=x x y y x D yx z 解：()()(){}222222,42,:3arcsin 7y x y x y x D y x y x z >≤+≤---=解：()()()(){}(){}94,11,1410,1,:410ln ln arcsin 82222222<+≤-≤-=>--≤---+-=y x y x y x y x y x y x D y x y x z 解：2.求下列函数的极限。

()()()()()1sin lim 1sin lim 1sin lim 10222222022220==+++++→→→→→uu u y x y x y x y x y x u x x y y 解：()()()()()001lim1lim lim lim limlim 222222222220000=+=+++=+++=++++∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→y yx xy x y x yy x x y x y x y x y x y y y y y y x x x x x x 解：()221sin lim sin lim sin limsin lim 322220000=⋅=⋅=⋅=→→→→→→→→y u uu xy y xy xy x xy xxy y y y y u x x x 解：()022lim limlim4220222222000=⋅+=++→→→→→→yy x xy y x xy y x xy y y y x x x 解：3求下列函数的一阶偏导数。

《微积分第二篇》第七章习题解答【习题7.1】（解答）1、用二重积分表示由圆柱面x 2 + y 2 = 1, 平面z =0, z =2 所围成的平顶柱体的体积.22{(,)|1},2d 2d .DDD x y x y V σσ=+≤==⎰⎰⎰⎰解:设那么所求体积2、用二重积分表示以下列曲面为顶,区域D 为底的曲顶柱体的体积. (1) 曲面 z =x +y +1, 区域D 是长方形：0≤x ≤1, 1≤y ≤2;{(,)|01,12},(++1)d .DD x y x y V x y σ=≤≤≤≤=⎰⎰解:设那么所求体积(2) 曲面 z =x +y , 区域D 是由圆x 2 + y 2 = 1 在第一象限部分与坐标轴所围成.22{(,)|01,0,0},(+)d .DD x y x y x y V x y σ=≤+≤≤≤=⎰⎰解:设那么所求体积3、利用二重积分的性质 (1) 比较()⎰⎰+Dd y x σ2与()⎰⎰+Dd y x σ3的大小,其中D 是由x 轴、y 轴与直线 x + y = 1所围成;()()()()2323,01,,.DDD x y x y x y x y d x y d σσ∀∈≤+≤+≥++≥+⎰⎰⎰⎰解:因故所以(2) 比较()ln d Dx y σ+⎰⎰与()2ln d Dx y σ+⎡⎤⎣⎦⎰⎰的大小,其中 {(,)|35,01}.D x y x y =≤≤≤≤()()()()22,36,1ln ln ,ln d ln d .DDD x y x y x y x y x y σσ∀∈≤+≤≤+≤+⎡⎤⎣⎦+≤+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰解:因故所以(3) 估计()⎰⎰++Dd y x σ1的值,其中D 是长方形区域：0≤x ≤1, 0≤y ≤2 ；(),114,2,211d ln 1d 4d 48.D D D DDDD x y D S S x y S σσσ∀∈≤++≤==⋅=≤++≤=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰解:因而的面积故【习题7.2】（解答）1、画出积分区域D 的图像再计算二重积分:(1)()dxdy y x D⎰⎰+,其中区域D 是由直线x y x y x x 3,,2,1====所围成的闭区域.解： 画出积分区域D ,如图 5.6 所示,区域D 是-x 型的,区间[1,2]上任意取定一()()2313222211d d d d 6d 14.2xxDxx x y x y x x y yy xy dx x x +=+⎡⎤=+==⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰x个值.过点作垂直轴的直线,与区域的边界相交,因此解：积分区域D 取为X型：110d d d Dx yσ=⎰⎰⎰{(,)|01,1}.D x y x y =≤≤≤≤那么(3)dy dx e Dy⎰⎰-2,其中区域D 是由直线y x y y 及,,1==轴所围成的闭区域. 解： 如图5.6 所示, D 既是-x 型,也是-y 型的,若先对y 积分,后对x 积分,则dy dx e Dy ⎰⎰-2=dy e dx xy⎰⎰-1102. 由于函数e y 的原函数无法用初等函数表示, 因此累次积分无法进行. 若先对x 积分,再对y 积分,则()2222211110d d d d d 111d 1.22yy y y y Dy ye x y y e x e x yye y e e -----==⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)，设 D 由曲线与直线 x =0, y=1 所围成的区域.Dσy (17116000111131d (1.2222714yy x x x x ⎡⎤====-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰22514632211[(2)]d 2145[2]5.24368y y y y y y y y --=+-=++-=⎰222222211d d d d 2y y yDy xxy y xy x y y σ++--⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰解：将D 作 Y 型: 2{(,)|12,2}.D x y y y x y =-≤≤≤≤+2d ,2Dxy D y x y x σ==-⎰⎰计算其中是由抛物线及所围成的闭区域.(4) cot cos()d Dx x xy σ⎰⎰2、计算二重积分: , 其中D 是由直线x =1,y =1和x 轴y 轴所围成闭区域.(1)解：将D 作 型区域 D={(x,y )| 0≤x ≤1, 0≤y ≤1 }, 于是()111111111000d cot cos()d cot dcos()d()cotsin()d cot cos d cos d sin |sin1.y y x x x xy y x x xy xy x xy x x x x x x x =========⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式e d x xy x σ+⎰⎰，(2)其中D 是由直线x =1,y =1和x 轴y 轴所围成闭区域.解：将D 作 型区域 D={(x,y )| 0≤x ≤1, 0≤y ≤1 }, 于是111110001100d e d 1)2e d 2e 21)(e 1)|e 1.x xy xxyxx x x y x x x +⎫==-=⎪⎭==-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式解：D 取为X 型： 3{(,)|01,1}.D x y x y x =≤≤≤+3,0,11,.DD x x y x y σ===+=其中由直线和曲线(3).420697517232213221d )21(21d ])1()1[(21d 1131d 1d d 110527322310425221122210132122102223=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++=+++++=++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+=-+=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x y x x y x x x y x x x x D σ3ln ln332ln 2ln 2ed (,)d d (,)d y xx f x y y y f x y x =⎰⎰⎰⎰211d (,)d d (,)d .xyxy f x y x x f x y y =⎰⎰⎰解：(1) 积分区域D 可表为：(2) 积分区域D 可表为：{(,)|23,ln 2ln }{(,)|ln 2ln3,e 3}.y D x y x y x x y y x =≤≤≤≤=≤≤≤≤所以2{(,)|01,{(,)|01,}.D x y y y x x yx x y x =≤≤≤≤=≤≤≤≤所以3. 设 f (x ,y ) 为二元可积函数，交换下列积分次序： 3ln 2ln 2d (,)d ;x x f x y y ⎰⎰10d (,)d .y y f x y x ⎰ (1) (2)圆周 及其内部.r =1y2r =15π4=.4.,sin ,cos θθr y r x ==解：令则D 的边界线方程分别为r =2R cos ө,ө=0, ө=π/2. 积分区域D 可表示为22{(,)|2,0},0.D x y x y Rx y R =+≤≥>常数⎰⎰=Dy x f σd ),(⎰⎰θθθθcos 202π0d )sin ,cos (d R r r r r f 于是得到.π{(,)|0,02cos },2D r r R θθθ=≤≤≤≤将二重积分⎰⎰Dy x f σd ),(化为极坐标系下的累次积分，其中。

第7章 多元函数及其微积分学第一节 空间解析几何初步【基础作业题】1、在空间直角坐标系中画出点(1,2,3)P -，并求它关于下列对称的点的坐标.图： 如左图，观察可得（1）关于原点对称；（-1，-2,3） （2）关于y 轴对称；（-1,2,3） （3）关于yOz 平面对称；（-1,2，-3）2、求球心在点(2,1,3)M -，且通过点(1,0,0)的球面方程. 解：因为球心在点(2,1,3)M -，所以球面方程可设为2222(2)(1)(3)x y z R ++-+-=由题意，球面过点(1,0,0)，所以2222(12)(01)(03)19R R ++-+-=⇒=故所求的球面方程为222(2)(1)(3)19x y z ++-+-=。

3、指出下列方程在空间中各表示什么图形，并作出其草图.(1) 221x y += (2 ) 22z x y =+解： 解：这表示圆柱面 这表示旋转抛物面第二节 多元函数的概念【基础作业题】1、求下列函数的定义域，并在平面直角坐标系中画出定义域的图形.(1)22z y x =- (2) 2ln()z y x =- 解：由题意，220y x -≥ 解：由题意，20y x -> 所以定义域为2{(,)|2}x y y x ≥ 所以定义域为2{(,)|}x y y x >2、设22(,,)cos g x y z x y z =⋅+，求(1)(2,0,2)g ；(2)(1,,3)2g π.解：由题意，(2,0,2)g =222cos026⋅+=(1,,3)2g π221cos392π=⋅+=3、求下列二元函数的极限.(1)(,)(0,4)2limx y x y → (2)(,)(0,0)lim 24x y xy xy →-+解：(,)(0,4)2limx y xy→ 解：原极限(,)(0,0)(24)lim (24)(24)x y xy xy xy xy →⋅++=-+⋅++2004⨯== (,)(0,0)(24)lim x y xy xy xy →⋅++=-(,)(0,0)lim (24)x y xy →=-++(204)4=-++=-【提高练习题】1．证明极限(,)(0,0)limx y x yx y →+-不存在.证： 当(,)x y 沿射线y kx =趋于(0,0)时，有(,)(0,0)(,)(0,0)1l i ml i m1x y x y x yx k x kx yx k x k→→+++==---， 由于k 值不同，极限值不一样，由此可知，当(,)x y 按不同的方式趋于(0,0)，所得的极限值不同，故原二重极限不存在.第三节 偏导数【基础作业题】1、求下列函数关于各自变量的一阶偏导数.（1）2(,)321f x y x y =+- （2）(,)3y xf x y x y =++解：6x f x '= 解：1ln y x x f yxy y -'=+2y f '= 1ln yx y f x x xy -'=+2、设11()x yz e-+=，求证222z z xy z x y∂∂+=∂∂. 解：由题意，1111()()221111[()]x yx y z e e z x x x y x x -+-+∂∂=⋅-+=⋅=⋅∂∂同理，11()2211x y z e z y y y-+∂=⋅=⋅∂所以，222222112z z xy x z y z z x y x y∂∂+=⋅⋅+⋅⋅=∂∂ 3、求下列函数的所有二阶偏导数.(1) 22442z x y x y =-- (2 ) 2ln()z x y =解：因为2344z xy x x∂=-∂， 解：因为222112()2z x y xy x x y x x y x ∂∂=⋅=⋅=∂∂2344z x y y y ∂=-∂， 2222111()z x y x y x y y x y y∂∂=⋅=⋅=∂∂所以2222412z y x x ∂=-∂，28z xy x y ∂=∂∂ 所以 2222z x x ∂=-∂，20z x y∂=∂∂2222412z x y y ∂=-∂，28z xy y x ∂=∂∂ 2221z y y ∂=-∂，20z y x∂=∂∂【提高练习题】1、设ln()z x xy =，求22zx∂∂与32z x y ∂∂∂.解：因为1ln()ln()ln()ln()1z xy x xy xy x y xy x x xy∂∂=+⋅=+⋅⋅=+∂∂ 所以 ()2211ln()1z z xy y x x x x xy x ∂∂∂∂⎛⎫==+=⋅= ⎪∂∂∂∂⎝⎭， 2210z y x y x ⎛⎫∂∂∂⎛⎫== ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭2、设222(,,)f x y z xy yz zx =++，求''(0,0,1)xx f ，''(0,1,0)yz f -，'''(2,0,1)zzx f .解：因为 222,2,x y f y zx f xy z ''=+=+ 22z f yz x '=+所以 2,2,xx yz f z f z ''''== 2,zz f y ''= 0zzx f '''=故 (0,0,1)212,xx f ''=⨯= (0,1,0)200,yz f ''-=⨯= (2,0,1)0zzx f '''=第四节 多元复合函数的偏导数【基础作业题】1、求下列复合函数的偏导数或全导数. （1）设 22,,z u v u x y v x y =+=+=-，求,z z x y∂∂∂∂. 解:21212()2()4z z u z vu v x y x y x x u x v x∂∂∂∂∂=⋅+⋅=⋅+⋅=++-=∂∂∂∂∂212(1)2()2()4z z u z v u v x y x y y y u y v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅=⋅+⋅-=+--=∂∂∂∂∂（2）设 arctan(),xz xy y e ==，求d d zx. 解:全导数 2222d d 11d d 1()1()1x xz z z y y xe y x e x x y x xy xy x y∂∂+=+⋅=⋅+⋅⋅=∂∂+++ （3）设 222ln(1),,sin tz x y x e y t =++==，求d d zt. 解:全导数22222d d d 11222cos d d d 11tz z x z y x e y t t x t y t x y x y ∂∂=⋅+⋅=⋅⋅+⋅⋅∂∂++++ 44424242sin cos 4sin 21sin 1sin t t t t e t t e te t e t+⋅+==++++ 2、求函数22(,)xyz f x y e =-的一阶偏导数.解:设22,xyu x y v e =-=，则(,)z f u v = 所以1222xy xy u v z z u z vf x f e y x f ye f x u x v x∂∂∂∂∂''''=⋅+⋅=⋅+⋅⋅=⋅+⋅∂∂∂∂∂12(2)2xy xy u v z z u z v f y f e x y f xe f y u y v y∂∂∂∂∂''''=⋅+⋅=⋅-+⋅⋅=-⋅+⋅∂∂∂∂∂ 【提高练习题】1、设()z xy xF u =+，其中()F u 可导，yu x=，试证明z z x y z xy x y ∂∂+=+∂∂. 解:由题意，2()()()()()z u yy F u x F u y F u x F u x x x∂∂''=++⋅⋅=++⋅⋅-∂∂1()()z u x x F u x x F u y y x∂∂''=+⋅⋅=+⋅⋅∂∂ 所以 21[()()()][()]z z y xy x y F u x F u y x x F u x y x x∂∂''+=++⋅⋅-++⋅⋅∂∂ ()()()xy xF u yF u xy yF u ''=+-++ z xy =+2、设()f x ''连续，1()()z f xy yf x y x =++，求2zx y ∂∂∂.解:由题意，211()()()1z f xy f xy y yf x y x x x∂''=-+⋅++⋅∂ 2211()[()()][()()1]z f xy x f xy xy f xy f x y yf x y x y x x∂'''''''=-⋅+⋅+++++⋅∂∂ 11()()()()()f xy f xy y f xy f x y yf x y x x'''''''=-+⋅+++++ ()[()()]f x y y f xy f x y '''''=++++第五节 隐函数的偏导数【基础作业题】1、求下列隐函数的导数或偏导数。

微积分第2版-朱文莉第7章定积分及其应用习题详解1. 引言在微积分学中，定积分是一个非常重要的概念。

定积分可以用于求解曲线下面的面积、物体的质量和重心等问题，是微积分中的核心内容之一。

本章将重点介绍定积分的定义、性质以及应用。

2. 定积分的定义定积分的定义为：$$ \\int_{a}^{b} f(x)dx = \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\sum_{i = 1}^{n} f(x_i^*)\\Delta x_i $$其中，f(f)是被积函数，f和f是积分的下限和上限。

3. 定积分的性质定积分具有以下几个基本性质：3.1 线性性质$$ \\int_{a}^{b}(c_1f(x) + c_2g(x))dx =c_1\\int_{a}^{b}f(x)dx + c_2\\int_{a}^{b}g(x)dx $$3.2 区间可加性$$ \\int_{a}^{b}f(x)dx + \\int_{b}^{c}f(x)dx =\\int_{a}^{c}f(x)dx $$3.3 固定上限与下限交换积分$$ \\int_{a}^{b}f(x)dx = -\\int_{b}^{a}f(x)dx $$3.4 积分上下限相同，结果为0$$ \\int_{a}^{a}f(x)dx = 0 $$4. 定积分的应用定积分在实际问题中具有广泛的应用，下面将介绍几个常见的应用。

4.1 曲线下面的面积定积分可以用于求解曲线下面的面积问题。

设函数f(f)在区间[f,f]上连续，则曲线f=f(f)和f轴所围成的图形的面积可以表示为：$$ S = \\int_{a}^{b}f(x)dx $$4.2 物体的质量和重心假设物体的质量分布在直线上，密度函数为$\\rho(x)$，物体的质量可以通过定积分来计算：$$ m = \\int_{a}^{b}\\rho(x)dx $$物体的重心可以通过下面的公式来计算：$$ \\bar{x} = \\frac{1}{m}\\int_{a}^{b}x\\rho(x)dx $$4.3 函数的平均值函数f(f)在区间[f,f]上的平均值可以通过定积分来计算：$$ \\bar{f} = \\frac{1}{b - a}\\int_{a}^{b}f(x)dx $$5. 总结本章介绍了定积分的定义、性质以及应用。