习题7.1(A)
1、求点(2,1,3)A -关于(1)各坐标面；(2)各坐标轴；(3)坐标原点的对称点的坐标。
解 (1)(2,1,3)--,(2,1,3)--, (2,1,3)；
(2)x 轴：(2,1,3)-，y 轴：(2,1,3)---，z 轴：(2,1,3)-； (3) (2,1,3)--。
2、在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？
(4,3,5)A -，(2,3,4)B -，(2,3,4)C --，(2,3,1)D --
并求点(4,3,5)A -分别到(1)坐标原点；(2)各坐标轴；(3)各坐标面的距离。
解 A 点在第4卦限； B 点在第5卦限；
C 点在第8卦限；
D 点在第3卦限。
(1) A =(4,3,5)-
(2) A 到x =
A 到y =
A 到z 5=；
(3) A 到坐标面xy 5=；
A 到坐标面yz 4=；
A 到坐标面xz 3=。
3、在z 轴上求一点M ，使该点与点(4,1,7)A 和(3,5,2)B 的距离相等。
解 因为所求点在z 轴上, 所以设该点为(0,0,)M z , 由题意有MA MB , 即
22
222
2(4)1(7
)35(2
)z z
两边平方, 解得149z
, 于是所求点为14(0,0,)9
M . 4、写出球心在点(1,3,2)--处，且通过点(1,1,1)-的球面方程。
解 由2
2
2
2000()()()x
x y
y z
z R ，得
2
222(1())(113())(12)R
则3R ，从而球面方程为
2
2
2
2(1)(3)(2)3x y
z
5、下列各题中方程组各表示什么曲线？
(1)
2248,
8;
x y z z
(2)
22
25,
3;x y z x
(3)
22
2
4936,
1;
x y z y (4)
2244,
2.
x y z y
解 (1) 双曲线；(2) 圆；(3) 椭圆；(4) 抛物线。 6、描绘下列各组曲面在第一卦限内所围成的立体的图形。
(1) 0,0,0,1x y z x y z ===++=；
(2) 2
2
2
2
2
2
0,0,0,,x y z x y R y z R ===+=+=。 解 (1)、(2)题的图如下：
(1)题图 (2)题图
7、由上半球面
224
z
x y 和圆锥面223()z x y 围成一个立体，求它在xy 面上
的投影区域。
解 将上半球面和圆锥面的方程联立得到方程组
2
22
2
43()
z x y z
x
y
在该方程组中, 消去z , 得到2
2
1x
y . 这是准线为
221
x y z
, 母线平行于z 轴
的柱面, 且它在xy 面上的投影是xOy 坐标平面上的一个圆. 故题设中两个已知曲面所围成立体在xy 面上的投影区域为: 2
21x
y .
习题7.1(B)
1、指出下列各题中平面位置的特点，并画出各平面。
(1) 0y =； (2) 1z =； (3) 23x y +=； (4) 20x y +=；
第九章 多元函数微分学 内容复习 一、基本概念 1、知道：多元函数的一些基本概念（n 维空间，n 元函数，二重极限，连续等）；理解：偏导数；全微分. 2、重要定理 （1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系 偏导数连续?可微???函数偏导数存在 ?连续 （2）（二元函数）极值的必要、充分条件 二、基本计算 （一） 偏导数的计算 1、 偏导数值的计算（计算),(00y x f x '） （1）先代后求法 ),(00y x f x '＝0),(0x x y x f dx d = （2）先求后代法（),(00y x f x '＝00),(y y x x x y x f =='） （3）定义法（),(00y x f x '＝x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000）（分段函数在分段点处的偏导数） 2、偏导函数的计算（计算(,)x f x y '） （1） 简单的多元初等函数——将其他自变量固定，转化为一元函数求导 （2） 复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则（画树形图，写求导公式） （3） 隐函数求导 求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y ???? ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''???=-=-?''????? 公式法：（地位平等）直接法：方程两边同时对或求导（地位不平等） 注：若求隐函数的二阶导数，在一阶导数的基础上，用直接法求。 3、高阶导数的计算 注意记号表示，以及求导顺序 （二） 全微分的计算 1、 叠加原理
高等数学教案 、
第一章 函数、极限与与连续 本章将在分别研究数列的极限与函数的极限的基础上，讨论极限的一些重要性质以及运算法则，函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。具体的要求如下： 1． 理解极限的概念（理解极限的描述性定义,对极限的N -ε、δε-定义可在学习过程中 逐步加深理解，对于给出ε求N 或δ不作过高要求）。 2． 掌握极限四则运算法则。 3． 了解极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。 4． 了解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念。能够正确运用等价无穷小求极限。 5. 理解函数在一点连续的概念，理解区间内（上）连续函数的概念。 6. 了解间断点的概念，会求函数的间断点并判别间断点的类型。 7. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（最大、最小值定理、零点定理、介值定理）。 第一章共12学时，课时安排如下 绪论 §1.1、函数 §1.2初等函数 2课时 §1.4数列极限及其运算法则 2课时 §1.4函数极限及其运算法则 2课时 §1.4两个重要极限 无穷小与无穷大 2课时 §1.4函数的连续性 2课时 第一章 习题课 2课时 绪论 数学：数学是研究空间形式和数量关系的一门学科，数学是研究抽象结构及其规律、特性的学科。数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性。 关于数学应用和关于微积分的评价： 恩格斯：在一切理论成就中，未必再有像17世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正是这里。 华罗庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之迷，日用之繁，无处不用数学。 张顺燕：微积分是人类的伟大结晶，它给出了一整套科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强和加深了数学的作用。……有了微积分，人类才有能力把握运动和过程；有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产，也就有了现代的社会。航天飞机，宇宙飞船等现代化交通工具都是微积分的直接后果。数学一下子到了前台。数学在人类社会的第二次浪潮中的作用比第一次浪潮要明显多了（《数学通报》数学与文化2001.1.封二） 初等数学与高等数学的根本区别：用初等数学解决实际问题常常只能在有限的范围内孤立的静止的观念来研究，有很多问题不能得到最终答案，甚至无法解决。高等数学用运动的辨正观点研究变量及其依赖关系，极限的方法是研究变量的一种基本方法，贯穿高等数学的始终。用高等数学解决实际问题，计算往往比较简单，且能获得最终的结果。
第7章 多元函数微积分 测试题 一、单项选择题。 1．设23)12(++=y x z ，则 =??y z （ D ）。 A ．13)12)(23(+++y x y B ．13)12)(23(2+++y x y C ．)12ln()12(23+++x x y D ．)12ln()12(323+++x x y 2．设)ln(y x z +=，则=) 0,1(d z （ B ） 。 A ．y x d d +- B ．y x d d + C ．y x d d - D ．y x d d -- 3．下列说法正确的是（ A ）。 A ．可微函数),(y x f 在),(00y x 处达到极值，则必有),(00y x f x 0),(00==y x f y ； B ．函数),(y x f 在),(00y x 处达到极值，则必有),(00y x f x 0),(00==y x f y ； C ．若),(00y x f x 0),(00==y x f y ，则函数),(y x f 在点),(00y x 处达到极值。 D ．若),(00y x f x 或),(00y x f y 有一个不存在，则函数),(y x f 在点),(00y x 处一定没有极值。 4．设uv z =，v u x +=，v u y -=，若把z 看作y x ,的函数，则 =??x z （ A ） 。 A ．x 21 B ．)(21 y x - C ．x 2 D ．x 5．下列各点中（ B ）不是函数x y x y x z 9332233-++-=的驻点。 A ．)0,1( B ．)1,0( C ．)2,1( D ．)0,3(- 6．二元函数?????=≠+=)0,0(),( 0)0,0(),( ),(2 2y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处（ C ）。 A ．连续，偏导数存在 B ．连续，偏导数不存在 C ．不连续，偏导数存在 D ．不连续，偏导数不存在 7．函数xy y x z ++=22的极值点为（ A ）。 A ．)0,0( B ．)1,0( C ．)0,1( D ．不存在
第二章 一元函数微分学 一、 导数 （一）、导数概念 1、导数的定义： 设函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，当自变量在点0x 处取得改变量x ?时，函数)(x f 取得相应的改变量，)()(00x f x x f y -?+=?，如果当0→?x 时，x y ??的极限存在，即x y x ??→?0lim x x f x x f x ?-?+=→?)()(lim 000存在，则此极限值为函数)(x f 在点0x 的导数，可记作)(0x f '或|0x x y ='或|0x x dx dy =或|0 )(x x dx x df = 2、根据定义求导数的步骤（即三步曲） ①求改变量)()(x f x x f y -?+=? ②算比值 x y ??x x f x x f ?-?+=)()( ③取极限x y x f y x ??='='→?0lim )(x x f x x f x ?-?+=→?)()(lim 0 例1：根据定义求2 x y =在点3=x 处的导数。 解：223)3(-?+=?x y 2)(6x x ?+?= x x y ?+=??6 6)6(lim lim 0 0=?+=??→?→?x x y x x 3、导数定义的几种不同表达形式 ①x x x x x f x x f x f x ?+=??-?+='→?00000) ()(lim )(令 ②000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→ 时 ＝当0)()(lim )(0000x x x f x f x f x ??-='→? ③x f x f f x )0()(lim )0(0-='→ 4、左右导数的定义： 如果当)0(0-+→?→?x x 时，x y ??的极限存在，则称此极限为)(x f 在点0x 为右导数（左
1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限： A (2，1,-6)， B (0，2，0)， C (-3，0,5)， D (1，-1，-7). 解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平面上，D 在VIII 卦限。 2. 已知点M (-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则 (1) 由x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3). (3)由x =-1，y =2，z +3=0，得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3). 同理，M 关于yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2，3). 3. 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B (3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即 (-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2. 解之得z =11，故所求的点为M (0，0， 149 ). 4. 证明以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得2 12 14M M =，2 2 13236,6M M M M == 所以以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =－3,c =5,求这个平面的方程. 解：所求平面方程为1y x z ++=。 6. 求通过x 轴和点(4,－3,－1)的平面方程. 解：因所求平面经过x 轴，故可设其方程为 Ay +Bz =0. 又点(4,－3,－1)在平面上，所以-3A -B =0.即B=-3 A 代入并化简可得 y -3z =0. 7. 求平行于y 轴且过M 1(1,0,0)，M 2(0,0,1)两点的平面方程. 解：因所求平面平行于y 轴，故可设其方程为 Ax +Cz +D =0. 又点M 1和M 2都在平面上，于是 0A D C D +=?? +=? 可得关系式：A =C =－D ,代入方程得：－Dx －Dz +D =0. 显然D ≠0,消去D 并整理可得所求的平面方程为x +z －1=0. 8. 方程x 2+y 2+z 2－2x +4y =0表示怎样的曲面？ 解：表示以点（1，-2，0 9. 指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形？ (1) x －2y =1； (2) x 2+y 2=1； (3) 2x 2+3y 2=1； (4) y =x 2. 解：(1)表示直线、平面。(2)表示圆、圆柱面。(3)表示椭圆、椭圆柱面。 (4)表示抛物线、抛物柱面。
第二部分 一元函数微分学 [选择题] 容易题 1—39，中等题40—106，难题107—135。 1．设函数)(x f y =在点0x 处可导，)()(00x f h x f y -+=?，则当0→h 时，必有( ) (A) y d 是h 的同价无穷小量. (B) y y d -?是h 的同阶无穷小量。 (C) y d 是比h 高阶的无穷小量. (D) y y d -?是比h 高阶的无穷小量. 答D 2．已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数，且当0
)(x f 的（ ） （A ）间断点。 （B ）连续而不可导的点。 （C ）可导的点，且0)0(='f 。 （D ）可导的点，但0)0(≠'f 。 答C 6．设函数f(x)定义在[a ，b]上，判断何者正确？（ ） （A ）f （x ）可导，则f （x ）连续 （B ）f （x ）不可导，则f （x ）不连续 （C ）f （x ）连续，则f （x ）可导 （D ）f （x ）不连续，则f （x ）可导 答A 7．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的导数的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的切向量 （B ）0x 点的法向量 （C ）0x 点的切线的斜率 （D ）0x 点的法线的斜率 答C 8．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的自向量的增量 （B ）0x 点的函数值的增量 （C ）0x 点上割线值与函数值的差的极限 （D ）没意义 答C 9．x x f = )(，其定义域是0≥x ，其导数的定义域是（ ） （A ）0≥x
第六章多元函数微分学 ［单选题］ 1、 设积分域在 D由直线x+y二0所围成，则 | dxdy 如图: ［单选题］ 2、 A 9 B、4 C 3
【从题库收藏夹删除】 【正确答案】A 【您的答案】您未答题 【答案解析】 ［单选题］ 3、 设H 二才，则y=() A V 皿2-1) B 、xQnx-1) D 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】C 【您的答案】您未答题 【答案解析】 首先设出-,J ' 二一；，然后求出 最后结果中把二】用’’次方代换一下就可以得到结果. ［单选题］ 4、 Ft F'y,尸空二 dx F f y
［% I 设Z = 则去九￡ |（） km ，（心+& J D ）L 『（也几） AK^*° A'X ?■ 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】D 【您的答案】您未答题 【答案解析】本题直接根据偏导数定义得到 ［单选题］ 5、 设z=ln （x+弄），示=（） A 1 B 、 X+旷" C 1-2妒 盂+沙 D X + 帘 一" 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】A 【您的答案】您未答题 【答案解析】 B 、 lim U m /侃+山+ 3) — / (险用) Ay 了0+山』0）—/（兀 几） Ar lim /(x+Ax.y)-/^) 4y
|"S 1 I 对x求导，将y看做常数，小门?八 ［单选题］ 6、 设U 了：,；_丁；：￡=() 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】A 【您的答案】您未答题 【答案解析】<■■-?■■■■■：川［单选题］ 7、 设f(x r x+y) = ^ + x2t则￡0,卩)+ ￡(尽刃二() A丨； B、… C : D ', 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】B 【您的答案】您未答题 【答案解析】 f(x,兀+y)=砂+ F二疏》+兀) /fcy) = ^y X '(^y)=y 二兀 ￡(2)+另(“)=曲 ［单选题］ 8
习题课：多元函数求偏导，多元函数微分的应用 多元复合函数、隐函数的求导法 (1) 多元复合函数 设二元函数),(v u f z =在点),(00v u 处偏导数连续，二元函数),(),,(y x v v y x u u ==在点 ),(00y x 处偏导数连续, 并且),(),,(000000y x v v y x u u ==, 则复合函数 )),(),,((y x v y x u f z = 在点),(00y x 处可微，且 ()()()() x y x v v v u f x y x u u v u f x z y x ?????+?????= 00000000) ,(,,,,00??()()()() y y x v v v u f y y x u u v u f y z y x ?????+?????= 00000000) ,(,,,,00?? 多元函数微分形式的不变性：设),(),,(),,(y x v v y x u u v u f z ===，均为连续可微， 则将z 看成y x ,的函数，有 dy y z dx x z dz ??+??= 计算 y v v f y u u f y z x v v f x u u f x z ????+????=??????+????=??,，代人， dv v f du u f dy y v dx x v v f dy y u dx x u u f dy y v v f y u u f dx x v v f x u u f dy y z dx x z dz ??+??= ???? ????+????+???? ????+????=???? ??????+????+??? ??????+????=??+??= 我们将dv v f du u f dy y z dx x z dz ??+??=??+??= 叫做微分形式不变性。 例1 设??? ??=x y xy f x z , 3 ，求y z x z ????,。
§7.1 空间解析几何基本知识 教学内容提要 1. 空间直角坐标系； 2. 空间两点间的距离公式与两点连线的中点坐标公式； 3. 简单的曲面方程。 教学目的与要求 1. 了解空间直角坐标系和空间两点间的距离公式及两点连线的中点公式； 2. 了解常用二次曲面的方程及其图形。 教学重点与难点 常用二次曲面的方程及其图形的简单描绘. 教学时数 4 教学过程： 一、空间直角坐标系 1．空间直角坐标系的建立 过空间定点0，作三条互相垂直的数轴，他们都以0为原点 且一般具有相同的长度单位。这三条轴分别称为x 轴，y 轴， z 轴，统称坐标轴。通常把x 轴和y 轴配置在水平面上，z 轴 z 在铅垂方向，他们的指向符合右手法则. 2、空间两点间的距离公式 空间任意两点),,(1111z y x M 和),,(2222z y x M 21221221221)()()(z z y y x x M M -+-+-= 特殊地，点),,(z y x M 与坐标原点)0,0,0(O 的距离为222z y x OM ++= 。 例1 在z 轴求与两点)7,1,4(-A 和)25,3(-B 等距离的点的坐标。 二、曲面及其方程的概念 1．曲面方程 在空间解析几何中，任何曲面都可以看作满足一定条件的点的几何轨迹 ，如果曲面S 上任一点的坐标都满足方程0),,(=z y x F ，不在曲面S 上的点的坐标都不满足该方程，则称此方程0),,(=z y x F 为曲面的方程，而曲面S 就叫做方程的图形。 例2 动点),,(z y x P 与两定点)1,3,2(),0,2,1(21-P P 的距离相等，求此动点P 的轨迹。 三、几种常见的曲面及其方程 1、平面的一般方程 任一平面都可以用三元一次方程来表示 .任一三元一次方程Ax +By +Cz +D =0的图形总是一个平面. 例3 求通过x 轴和点(4, -3, -1)的平面的方程. 解 平面通过x 轴, 一方面表明它的法线向量垂直于x 轴, 即A =0; 另一方面表明 它必通过原点, 即D =0. 因此可设这平面的方程为
第8章 多元函数微分学及其应用 参考解答 1、设22 , y f x y x y x ??+=- ??? ，求(),f x y ，(),f x y xy -。 解：()()()()2 21, 1y y x y x f x y x y x y x y x y y x x y x - -??+=+-=+=+ ?+? ? + ，故得 ()2 1,1y f x y x y -=+，()()21,1xy f x y xy x y xy --=-+ 2、求下列各极限： 2242222 2220000 cos sin 1(1) lim lim lim sin 204x r r y x y r r x y r θθθ→→→→===+ 注意：在利用极坐标变换cos , sin x r y r θθ==来求极限时，θ也是变量。本题中，0r →时，2r 为无穷小量，而2 sin 2θ为有界变量，故所求极限为零。 ()00sin sin (2) lim lim 1x t y a xy t xy t →→→== 3、证明极限2 2400 lim x y xy x y →→+不存在。 证明：当2 y kx =时，()2242,1xy k f x y x y k ==++，故2 22420 lim 1y kx x xy k x y k =→=++与k 有关。可见，(),x y 沿不同的路径趋于()0,0时，函数极限不同，故极限不存在。（两路径判别法） 4、讨论下列函数在()0,0点处的连续性： （1）()()()222222 22 ln , 0 ,0, 0 x y x y x y f x y x y ?+++≠?=?+=?? 解： ()() ()()() ()()()2 222,0,0,0,0 lim ,lim ln lim ln 00,0x y x y t f x y x y x y t t f →→→= ++=== 故原函数在()0,0点处连续。
多元函数微积分复习题 一、单项选择题 1．函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可微分的 ( B ) (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 2．设函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可偏导的 （ D ) (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 3．函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B ). (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 4．对于二元函数(,)z f x y =, 下列结论正确的是 ( ). C A. 若0 lim x x y y A →→=, 则必有0lim (,)x x f x y A →=且有0 lim (,)y y f x y A →=; B. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??都存在, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; C. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??存在且连续, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; D. 若22z x ??和22z y ??都存在, 则. 22z x ??=22 z y ??. 5．二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处满足关系( ). C A. 可微(指全微分存在)?可导(指偏导数存在)?连续; B. 可微?可导?连续; C. 可微?可导, 或可微?连续, 但可导不一定连续; D. 可导?连续, 但可导不一定可微. 6.向量()()3,1,2,1,2,1a b =--=-，则a b = （ A ） (A) 3 (B) 3- (C) 2- (D) 2
第七章 多元函数微积分学 第一部分：多元函数微分学 一、二元函数的极限专题练习： 1.求下列二元函数的极限: (1) ()2 1 1(,)2,2lim 2;y xy x y xy +? ? →- ? ? ?+ (2) () ()2222 (,),3 lim sin ;x y x y x y →∞∞++ (3) ()(,)0,1sin lim ;x y xy x → (4) ( (,)0,0lim x y → 2．证明：当()(,)0,0x y →时，() 44 3 4 4(,)x y f x y x y =+的极限不存在。 二、填空题 3. 若22),(y x y y x f -=+，则=),(y x f ； 4. 函数22(,)ln(1)f x y x y =+-的定义域是D = ； 5. 已知2 (,)x y f x y e = ，则 '(,)x f x y = ； 6. 当23(,)5f x y x y =,则 '(0,1)x f = ； 7. 若2yx e z xy +=，则=??y z ； 8. 设)2ln(),(x y x y x f + =，则'(1,0)y f =； 9. 二元函数xy xe z =的全微分=dz ；
10.arctan()Z xy =设，则dz= . 三、选择题 11.设函数 ln()Z xy =，则 Z x ?=? ( ) A 1y B x y C 1x D y x 12.设2sin(),Z xy = 则 Z x ?=? ( ) A 2cos()xy xy B 2cos()xy xy - C 22cos()y xy - D 22cos()y xy 13.设 3xy Z =，则 Z x ?=? ( ) A 3xy y B 3ln 3xy C 13xy xy - D 3ln 3xy y
第六章 多元函数微分学 答案及评分标准 一、1、B 解：原式6)11(3lim )11(3lim 0 000=++=++=→→→→xy xy xy xy y x y x . 2、A 解：2R D =，当022≠+y x 时，),(y x f 连续；当022=+y x 时 22222221)(210),(y x y x y x y x f +=++≤-.即)0,0(0),(lim 0 0f y x f y x ==→→. 3、B 4、D 解：)0,0()0(111222?>≥?≥++≥z z y x z 是最小值点，由于)0,0(为定义域内点，所以)0,0(也是极小值点. 5.C 解：由方向导数的定义可得. 二、1、 2ln 2、xy xyz xyz yz -- 3、21f z f '+'，2212 2f xz f x f ''+''+' 解：21211f z f z f f x u '+'=?'+?'=??， 故22122222122f xz f x f x f z f x f z x u ''+''+'=?''+'+?''=???. 4、{2x －4,4y －6,6z －8} 解：grad f ={2x －4,4y －6,6z －8}；grad f |(2,1,2)={0,－2,4}， |grad f |(2,1,2)=，即f 在点(2，1，2)处方向导数 的最大值为. 5、 dy dx +2ln 2 三、解：1cos sin ?+?=????+????=??v e y v e x v v z x u u z x z u u )]cos()[sin(y x y y x e xy ++?+= ……………5分 1cos sin ?+?=????+????=??v e x v e y v v z y u u z y z u u )]cos()[sin(y x x y x e xy ++?+= ……………10分 四、解：xy x z 2=?? y x y z cos 2+=?? （4分） x y x z 22=??? （7分） y y z sin 22-=?? （10分）
第五部分 多元函数微分学（1） [选择题] 容易题1—36，中等题37—87，难题88—99。 1．设有直线? ??=+--=+++031020 123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L ( ) (A) 平行于π。 (B) 在上π。(C) 垂直于π。 (D) 与π斜交。 答：C 2．二元函数??? ??=≠+=)0,0(),(, 0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处 ( ) (A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在 答：C 3．设函数),(),,(y x v v y x u u ==由方程组? ??+=+=2 2v u y v u x 确定，则当v u ≠时，=??x u ( ) (A) v u x - (B) v u v -- (C) v u u -- (D) v u y - 答：B 4．设),(y x f 是一二元函数，),(00y x 是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若),(y x f 在点),(00y x 连续，则),(y x f 在点),(00y x 可导。 (B) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 (C) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 答：D 5．函数2223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是( ) (A) )32,31, 31(- (B) )32,31,31(2- (C) )92,91,91(- (D) )9 2 ,91,91(2- 答：A
高等数学第一章函数与极限试题 一. 选择题 1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有 （A ） F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. （C ） F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. （D ） F(x)是单调函数?f(x)是单调函数 2．设函数,1 1 )(1 -= -x x e x f 则 （A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点 （C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. 3．设f (x)=x x 1-，x ≠0,1,则f [)(1 x f ]= ( D ) A ） 1－x B ） x -11 C ） X 1 D ） x 4．下列各式正确的是 ( C ) A ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =1 B ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =e C ） lim ∞ →x )x 1 1－(x =-e D ） lim ∞ →x )x 1 +1(x -=e
5．已知9)( lim =-+∞→x x a x a x ，则=a ( C )。 A.1； B.∞； C.3ln ； D.3ln 2。 6．极限：=+-∞→x x x x )1 1(lim ( C ) A.1； B.∞； C.2-e ； D.2e 7．极限：∞ →x lim 332x x +=（ A ） A.1； B.∞； C.0； D.2． 8．极限：x x x 11lim 0 -+→ =（ C ） A.0； B.∞； C 2 1； D.2． 9. 极限：)(lim 2x x x x -+∞ +→=（ D ） A.0； B.∞； C.2； D. 2 1 ． 10．极限: x x x x 2sin sin tan lim 30-→=（ C ） A.0； B.∞； C. 16 1； D.16． 二. 填空题 11．极限1 2sin lim 2+∞ →x x x x = 2 . 12. lim 0 →x x arctanx =_______________. 13. 若)(x f y =在 点 x 连续，则 f )]()([lim 0→-0 x f x f x x =______f ’(xo)_________； 14. =→x x x x 5sin lim 0_________0.2__； 15. =-∞→n n n )2 1(lim _______e*e__________； 16. 若函数2 31 22+--=x x x y ，则它的间断点是___________2___1_____
多元函数微分学练习题 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
第五章（多元函数微分学） 练习题 一、填空题 1. (,)(0,0)sin()lim x y xy y →= ． 2. 22 (,)(0,0)1lim ()sin x y x y x y →+=+ ． 3. 1 (,)(0,0)lim [1sin()]xy x y xy →+= ． 4. 设21sin(), 0,(,)0, 0x y xy xy f x y xy ?≠?=??=? 则(0,1)x f = ． 5. 设+1(0,1)y z x x x =>≠，则d z = ． 6. 设22ln(1)z x y =++，则(1,2)d z = ． 7. 设u =d u = ． 8. 若(,)f a a x ?=? ，则x a →= ． 9. 设函数u =0(1,1,1)M -处的方向导数的最大值为 ． 10. 设函数23u x y z =++，则它在点0(1,1,1)M 处沿方向(2,2,1)l =-的方向导数为 ． 11. 设2z xy =，3l i j =+，则21x y z l ==?=? ． 12. 曲线cos ,sin ,tan 2 t x t y t z ===在点(0,1,1)处的切线方程是 ． 13. 函数z xy =在闭域{(,)0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤上的最大值是 ． 14. 曲面23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为 ． 15. 曲面2:0x z y e -∑-=上点(1,1,2)处的法线方程是 ． 16. 曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程是 ．
第六章多元函数微积分复习要点 一、基本概念及相关定理 1.多元函数的极限定义：函数(,)z f x y =在区域D 内有定义，当点P(x ,y )D ∈沿任意路径无限趋于点000(,)P x y (0P P ≠)时, (,)f x y 无限趋于一个确定的常数 A,则称常数A 是函数(,)z f x y =当P(x ,y )趋于 000(,)P x y 时的极限.记作0 lim (,)x x y y f x y A →→=,或00(,)(,) lim (,)x y x y f x y A →=,或(,)f x y A →,00(,)(,)x y x y →,或 lim (,)f x y A ρ→=,或 (,)f x y A →,0ρ→.其中 ， ρ= 2.二元函数连续的定义：函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 内有定义，如果对任意 0(,)()P x y U P ∈，都有 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=（或 0lim ()()P P f P f P →=），则称函数(,)z f x y =在点000(,) P x y 处连续. 3.偏导数的定义：函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 内有定义. （1）函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对x 的偏导 数定义为00000 (,)(,)lim x f x x y f x y x ? →+?-?，记作 00 x x y y z x ==??，或 00 x x y y f x ==??， 或00(,)x z x y '，或00(,)x f x y '，即 x x y y z x ==??=00000 (,)(,) lim x f x x y f x y x ? →+?-?. （2）函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对 y 的偏导
第四章多元函数微分学一、本章知识脉络框图
二、本章重点及难点 本章需要重点掌握以下几个方面容： ● 偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数 与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor 公式. ● 隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换. ● 几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线. ● 极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange 乘数法. 三、本章的基本知识要点 (一)平面点集与多元函数 1.任意一点A 与任意点集E 的关系. 1) 点. 若存在点A 的某邻域()U A ，使得()U A E ?，则称点A 是点集E 的点。 2) 外点. 若存在点A 的某邻域()U A ，使得()U A E ?=?，则称点A 是点集E 的外点。 3) 界点（边界点）. 若在点A 的任何邻域既含有属于E 得的点，又含有不属于E 的点，则称点A 是点集E 的界点。 4) 聚点. 若在点A 的任何空心邻域()o U A 部都含有E 中的点，则称点A 是点集E 的 聚点。 5) 孤立点. 若点A E ∈，但不是E 的聚点，则称点A 是点集E 的孤立点。 2. 几种特殊的平面点集. 1) 开集. 若平面点集E 所属的每一点都是E 的点，则称E 为开集。 2）闭集. 若平面点集E 的所有聚点都属于E ，则称E 为闭集。 3) 开域. 若非空开集E 具有连通性，即E 中任意两点之间都可用一条完全含于E 得有限折线相连接，则称E 为开域。 4）闭域. 开域连同其边界所成的点集称为闭域。 5）区域. 开域、闭域或者开域连同某一部分界点所成的点集，统称为区域。 3.2 R 上的完备性定理. 1) 点列收敛定义：设{}2 n P R ?为平面点列，2 0P R ∈为一固定点。若对任给的正数ε，存在正整数N ，使得当n N >时，有()0,n P U P ε∈，则称点列{}n P 收敛于点0P ，记作 0lim n n P P →∞ = 或 ()0,n P P n →→∞.
高等数学下册复习提纲 第八章 多元函数微分学 本章知识点(按历年考试出现次数从高到低排列): 复合函数求导（☆☆☆☆☆） 条件极值---拉格朗日乘数法（☆☆☆☆） 无条件极值（☆☆☆☆） 曲面切平面、曲线切线（☆☆☆☆） 隐函数（组）求导（☆☆☆） 一阶偏导数、全微分计算（☆☆☆） 方向导数、梯度计算（☆☆） 重极限、累次极限计算（☆☆） 函数定义域求法（☆） 1. 多元复合函数高阶导数 例 设),,cos ,(sin y x e y x f z +=其中f 具有二阶连续偏导数，求x y z x z ?????2及. 解 y x e f x f x z +?'+?'=??31cos ， y x y x y x y x e e f y f f e x e f y f y x z x y z ++++?''+-?''+'+?''+-?''=???=???])sin ([cos ])sin ([333231312 22析 1）明确函数的结构(树形图) 这里y x e w y v x u +===,cos ,sin ，那么复合之后z 是关于y x ,的二元函数.根据结构 图，可以知道：对x 的导数，有几条线通到“树梢”上的x ，结果中就应该有几项，而每一 项都是一条线上的函数对变量的导数或偏导数的乘积.简单的说就是，“按线相乘，分线相加”. 2）31,f f ''是),cos ,(sin ),,cos ,(sin 31y x y x e y x f e y x f ++''的简写形式，它们与z 的结构 相同，仍然是y x e y x +,cos ,sin 的函数.所以1f '对y 求导数为 z u v w x x y y
第六章 多元函数微积分 一、单项选择题 二、填空题 1.设z=22y x +，则)2,1(dz =___________. 2.设z =x y cos ，则全微分d z =___________. 3.设z=x e xy ,则y x z ???2=______________________. 4．设z =(2x +y )2y ，则x z ??=________. 5.设z=y x 322e -,则y x z ???2=_______________. 6．设函数v u w w v u w v u f ++-=)(),,(，则=-+),,(xy y x y x f ． 7.设函数z =22y x +,则偏导数 =??x z _________. 三、计算题 1．设z=arctan x y ，求y x z 2???. 2．设隐函数z （x,y ）由方程x+2y+z=2xyz 所确定，求 x z ??. 3．计算二重积分I=??+D 22dxdy )y x (x ，其中D 是由直线x=0, y=0及x+y=3所围成的闭区域. 4.设z =z (x ,y )是由方程e xyz +z -sin(xy )=1所确定的隐函数，求 x z ??,y z ??. 5.计算二重积分I = ??D y x xy x d d )cos(2，其中D 是由直线x =1,y =x 及x 轴所围成的平面区域. 6.计算二重积分??D y x y x d d 2，其中D 是由直线y =x ,x =1以及x 轴所围的区域. 7．计算二重积分??=D y x x I d d ，其中区域D 由曲线x y = ，直线x =2以及x 轴围成. 8.方程xyz -ln(xyz )=1确定了隐函数z =z (x,y ),求y z x z ????,.