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2020届金丽衢十二校第二次联考生物试卷命题人：浦江中学李奋生蒋英俊李锦山2020.06考生注意：请将答案写在答题卷上，写在试卷上无效；考试时间90分钟，满分100分。
选择题部分一、选择题（本大题共25小题，每题2分，共50分。
每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．下列关于细胞内物质的叙述，错误的是（）A．水能缓和温度变化是由于水分子之间的氢键能形成和断裂B．人体内的各种无机盐离子在维持神经肌肉兴奋性中都能发挥作用C．有机物种类的多样性是由碳原子的结构决定的D．不同的蛋白质分子中的肽键结构相同2、下面关于肺炎双球菌与新型冠状病毒共同特征的叙述，错误的是（）A．都是人类肺炎的病原体B．都有核酸作为遗传物质C．都没有细胞核和线粒体D．都是形体微小的单细胞生物3．下面关于人类活动致使臭氧减少危及地球生物的叙述，正确的是（）A．大气圈对流层的臭氧可以保护地球生物免遭长波辐射的伤害B．人类大量使用氟利昂使臭氧的分解作用大于生成作用C．臭氧减少会改变全球降雨格局，影响农作物产量D．大气圈上层的臭氧层空洞会使地球的俘获热增加4．下列关于细胞结构的叙述，正确的是（）A．经内质网加工的蛋白质，都通过高尔基体分泌到细胞外B．线粒体相当于细菌的大小，只能在电子显微镜下可见C．分生区的植物细胞可观察到明显的液泡D．溶酶体的存在保证了细胞其它结构的完整性5．下列有关微生物培养与分离的操作叙述中正确的是（）A．G6玻璃砂漏斗用完后用0.1 mol/L HCl浸泡，并抽滤去酸B．在将培养基转移到三角瓶和试管时使用取样器C．在超净台操作时需打开紫外灯和过滤风D．玻璃刮刀在涂布前后都要进行灼烧处理6．下列有关人类遗传病的叙述，错误的是（）A．单基因遗传病在患者后代中的发病率要远高于多基因遗传病B．“选择放松”对人群中的致病基因频率影响很小C．多基因遗传病的发病风险随年龄的增加而升高D．对胎儿细胞的染色体组型进行分析，就可确定其患遗传病的情况7．下列关于细胞生命历程中的细胞分裂、分化、衰老和凋亡的叙述，正确的是（）A．所有的动物细胞都一直在进行有丝分裂B．通过体外培养至今的海拉细胞，与起初从其宫颈癌组织中分离出来的海拉细胞相同C．细胞的衰老和凋亡使体内碎渣增多，不利于个体生长发育D．细胞分裂、分化、衰老和凋亡过程中，都发生了基因的选择性表达8．下列关于原核细胞生命活动的叙述，正确的是（）A．细菌的荚膜也是一种生物膜B．拟核中裸露的DNA不与蛋白质结合，有利于基因的表达C．原核细胞不存在由膜构成的复杂细胞器，因此不能作为独立的生命单位存在D．蓝细菌的质膜向内折叠，有利于细胞进行光合作用9．下列有关基因的叙述正确的是（）A．基因是由四种含氮碱基组成的核酸分子片段B．等位基因A和a控制不同的性状C．细胞分化过程中核酸种类可发生变化D．非等位基因的遗传遵循自由组合定律10．神经元是神经系统结构和功能的基本单位，下列有关叙述正确的是（）A．一个神经元的轴突可与骨骼肌形成多个突触B．神经元的轴突末梢有大量突起，有利于附着更多的神经递质受体C．一个完整的反射活动可以由一个神经细胞来完成D．神经元的轴突就是由许多神经纤维被结缔组织包围而成的神经11．下列实验使用了假说--演绎法，且相关描述为“演绎推理”步骤的是（）A．孟德尔认为在两对相对性状杂交实验中不同对的遗传因子在形成配子时发生了自由组合B．遗传的染色体学说认为体细胞内基因成对存在，染色体也成对存在C．摩尔根的果蝇实验中F1红眼雌雄果蝇自由交配后，F2中的白眼果蝇全为雄性D．探究DNA复制方式的活动中，若DNA是半保留复制，则从第一代DNA开始连续复制两代，第三代会出现两种密度不同的DNA分子12．下列关于种群和群落的叙述，正确的是（）A．在群落演替过程中，各个种群数量变化均符合“S型”曲线B．指数增长的种群各阶段的增长率一定大于1C．群落演替过程中生物的种间关系会发生改变D．增加出生率或降低死亡率可增加种群的环境容纳量13．下图是人体细胞与内环境进行物质交换的示意图，①处箭头表示血流方向，下列说法正确的（）A．若②为胰岛细胞，饥饿时⑤处胰岛素/胰高血糖素的比值高于①处B．若②为肺泡细胞，⑤处的O2/CO2的比值低于①处C．④处的水可来自于⑤和②D．④是人体内新陈代谢的主要场所14．植物体内存在多种植物激素。
2020届金丽衢十二校第二次联考生物试卷命题人：浦江中学李奋生蒋英俊李锦山2020.06考生注意：请将答案写在答题卷上，写在试卷上无效；考试时间90分钟，满分100分。
选择题部分一、选择题（本大题共25小题，每题2分，共50分。
每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．下列关于细胞内物质的叙述，错误的是（）A．水能缓和温度变化是由于水分子之间的氢键能形成和断裂B．人体内的各种无机盐离子在维持神经肌肉兴奋性中都能发挥作用C．有机物种类的多样性是由碳原子的结构决定的D．不同的蛋白质分子中的肽键结构相同2、下面关于肺炎双球菌与新型冠状病毒共同特征的叙述，错误的是（）A．都是人类肺炎的病原体B．都有核酸作为遗传物质C．都没有细胞核和线粒体D．都是形体微小的单细胞生物3．下面关于人类活动致使臭氧减少危及地球生物的叙述，正确的是（）A．大气圈对流层的臭氧可以保护地球生物免遭长波辐射的伤害B．人类大量使用氟利昂使臭氧的分解作用大于生成作用C．臭氧减少会改变全球降雨格局，影响农作物产量D．大气圈上层的臭氧层空洞会使地球的俘获热增加4．下列关于细胞结构的叙述，正确的是（）A．经内质网加工的蛋白质，都通过高尔基体分泌到细胞外B．线粒体相当于细菌的大小，只能在电子显微镜下可见C．分生区的植物细胞可观察到明显的液泡D．溶酶体的存在保证了细胞其它结构的完整性5．下列有关微生物培养与分离的操作叙述中正确的是（）A．G6玻璃砂漏斗用完后用0.1 mol/L HCl浸泡，并抽滤去酸B．在将培养基转移到三角瓶和试管时使用取样器C．在超净台操作时需打开紫外灯和过滤风D．玻璃刮刀在涂布前后都要进行灼烧处理6．下列有关人类遗传病的叙述，错误的是（）A．单基因遗传病在患者后代中的发病率要远高于多基因遗传病B．“选择放松”对人群中的致病基因频率影响很小C．多基因遗传病的发病风险随年龄的增加而升高D．对胎儿细胞的染色体组型进行分析，就可确定其患遗传病的情况7．下列关于细胞生命历程中的细胞分裂、分化、衰老和凋亡的叙述，正确的是（）A．所有的动物细胞都一直在进行有丝分裂B．通过体外培养至今的海拉细胞，与起初从其宫颈癌组织中分离出来的海拉细胞相同C．细胞的衰老和凋亡使体内碎渣增多，不利于个体生长发育D．细胞分裂、分化、衰老和凋亡过程中，都发生了基因的选择性表达8．下列关于原核细胞生命活动的叙述，正确的是（）A．细菌的荚膜也是一种生物膜B．拟核中裸露的DNA不与蛋白质结合，有利于基因的表达C．原核细胞不存在由膜构成的复杂细胞器，因此不能作为独立的生命单位存在D．蓝细菌的质膜向内折叠，有利于细胞进行光合作用9．下列有关基因的叙述正确的是（）A．基因是由四种含氮碱基组成的核酸分子片段B．等位基因A和a控制不同的性状C．细胞分化过程中核酸种类可发生变化D．非等位基因的遗传遵循自由组合定律10．神经元是神经系统结构和功能的基本单位，下列有关叙述正确的是（）A．一个神经元的轴突可与骨骼肌形成多个突触B．神经元的轴突末梢有大量突起，有利于附着更多的神经递质受体C．一个完整的反射活动可以由一个神经细胞来完成D．神经元的轴突就是由许多神经纤维被结缔组织包围而成的神经11．下列实验使用了假说--演绎法，且相关描述为“演绎推理”步骤的是（）A．孟德尔认为在两对相对性状杂交实验中不同对的遗传因子在形成配子时发生了自由组合B．遗传的染色体学说认为体细胞内基因成对存在，染色体也成对存在C．摩尔根的果蝇实验中F1红眼雌雄果蝇自由交配后，F2中的白眼果蝇全为雄性D．探究DNA复制方式的活动中，若DNA是半保留复制，则从第一代DNA开始连续复制两代，第三代会出现两种密度不同的DNA分子12．下列关于种群和群落的叙述，正确的是（）A．在群落演替过程中，各个种群数量变化均符合“S型”曲线B．指数增长的种群各阶段的增长率一定大于1C．群落演替过程中生物的种间关系会发生改变D．增加出生率或降低死亡率可增加种群的环境容纳量13．下图是人体细胞与内环境进行物质交换的示意图，①处箭头表示血流方向，下列说法正确的（）A．若②为胰岛细胞，饥饿时⑤处胰岛素/胰高血糖素的比值高于①处B．若②为肺泡细胞，⑤处的O2/CO2的比值低于①处C．④处的水可来自于⑤和②D．④是人体内新陈代谢的主要场所14．植物体内存在多种植物激素。
保密★考试结束前金丽衢十二校2019学年高三第二次联考英语试题本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)。
第I卷1至6页，第II卷7至8页。
满分150分，考试用时120分钟。
考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷(选择题)注意事项:1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在本试卷上，否则无效。
第一部分听力(共两节，满分30分)做题时，先将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节(共5小题:每小题1.5分，满分7.5分)听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10 秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1 What color are Julice's shoes?A. Black.B. Brown.C. Dark blue.2. Who dies in the story?A. The dragon.B. The soldier.C. The princess.3. Which animal is in the field?A. A sheep.B. A cow.C. A horse.4.What is the woman going to do this evening?A. Go on a trip.B. Attend a concert.C. Look after her brother.5. What is the homework for next Tuesday?A. Writing an essay.B. Reading the textbook.C. Listening to some radio programs.第二节(共15小题;每小题15分，满分225分)听下面5段对话或独白。
浙江省金丽衢十二校2019届高三第二次联考数学试题一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1. 设集合M={x| }，N={x|0＜x＜2}，则M∪N=（）A. [0，1）B. （0，1）C. [0，2）D. （0，2）【答案】C【解析】分析：解分式不等式得集合M,再根据集合的并集定义得结果.详解：因为，所以,因此M∪N= [0，2），选C.点睛：集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．2. 若双曲线的两条渐近线相互垂直，则它的离心率是（）A. B. C. 2 D.【答案】A【解析】双曲线两条渐近线互相垂直, ,计算得出.即为等轴双曲线.因此，本题正确答案是.3. 某四面体的三视图如图所示，正视图、左视图都是腰长为2的等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正方形，则此四面体的最大面的面积是（）A. 2B.C.D. 4【答案】C【解析】分析：先还原几何体，再根据锥体体积公式得结果.详解：因为几何体为一个四面体，六条棱长分别为，所以四面体的四个面的面积分别为因此四面体的最大面的面积是，选C.点睛：1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．4. 函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图，则φ=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先根据图确定半个周期，得ω，再根据最大值求φ.详解：因为，所以因为|φ|＜因此，选B.点睛：已知函数的图象求解析式(1). (2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.5. 已知（﹣1+3i ）（2﹣i ）=4+3i （其中i 是虚数单位，是z 的共轭复数），则z 的虚部为（ ） A. 1 B. ﹣1 C. i D. ﹣i 【答案】A【解析】分析：根据复数除法得，再得z ，根据复数概念得结果. 详解：因为（﹣1+3i ）（2﹣i ）=4+3i ， 所以因此，虚部为1,选A............................... 6. 已知正项数列{a n }中，a 1=1，a 2=2，（n ≥2），则a 6=（ ）A.B. 4C. 16D. 45【答案】B【解析】分析：先根据等差数列定义及其通项公式得，再根据正项数列条件得a n ，即得a 6.详解：因为，所以所以公差等差数列，，因为，因此，选B.点睛：证明或判断为等差数列的方法：(1)用定义证明：为常数）；(2)用等差中项证明：；(3)通项法：为的一次函数；(4)前项和法：7. 用0，1，2，3，4可以组成的无重复数字的能被3整除的三位数的个数是（）A. 20B. 24C. 36D. 48【答案】A【解析】分析：先根据能被3整除的三位数字组成为012，024，123，234四种情况，再分类讨论排列数，最后相加得结果.详解：因为能被3整除的三位数字组成为012，024，123，234四种情况，所以对应排列数分别为因此一共有，选A.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.8. 如果存在正实数a，使得f（x+a）为奇函数，f（x﹣a）为偶函数，我们称函数f（x）为“Θ函数”．给出下列四个函数：①f（x）=sinx ②f（x）=cosx ③f（x）=sinx﹣cosx ④f（x）=sin2（x+）．其中“Θ函数”的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】分析：根据奇偶性求出对应a的值，若存在就是“Θ函数”．详解：若f（x）=sinx是“Θ函数”，则，若f（x）=cosx是“Θ函数”，则，若f（x）=sinx﹣cosx =是“Θ函数”，则，若f（x）= sin2（x+）是“Θ函数”，则，因此“Θ函数”的个数为2，选B.点睛：函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.9. 设a＞b＞0，当取得最小值c时，函数f（x）=|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|的最小值为（）A. 3B.C. 5D.【答案】A【解析】分析：根据基本不等式求最值c，并确定a,b取值，再根据绝对值定义去掉绝对值，结合分段函数图像确定最小值.详解：因为，所以当且仅当时取等号，此时因为，所以因此当时，f（x）取最小值为3.选A.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.10. 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=0.6，则当E、F移动时，下列结论中错误的是（）A. AE∥平面C1BDB. 四面体ACEF的体积为定值C. 三棱锥A﹣BEF的体积为定值D. 异面直线AF、BE所成的角为定值【答案】D【解析】分析：先证面AB1D1平行面C1BD，即得AE∥平面C1BD，通过计算四面体ACEF的体积、三棱锥A﹣BEF的体积以及异面直线AF、BE所成的角确定命题的真假.详解：因为B1D1// BD，C1D// AB1，所以面AB1D1平行面C1BD，因此AE∥平面C1BD，所以A正确，因为为定值，所以B正确，因为为定值，所以C正确，当E,F交换后，异面直线AF、BE所成的角发生变化，因此D错，选D.点睛：立体几何中定值或定位置问题，其基本思想方法是以算代证，或以证代证，即从条件出发，计算所求体积或证线面平行与垂直关系，得到结果为定值或位置关系为平行或垂直.二、填空题（共7小题，每小题6分，满分36分）11. 若f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=x（1﹣x），则当x＜0时，f（x）=_____；方程[5f（x）﹣1][f（x）+5]=0的实根个数为_____．【答案】 (1). (2). 6【解析】分析：根据偶函数性质求对偶区间解析式，结合函数图像与确定交点个数.详解：因为f（x）为偶函数，所以当x＜0时，f（x）=,因为[5f（x）﹣1][f（x）+5]=0，所以研究与交点个数，如图：因此有6个交点.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．12. 在的展开式中，常数项为_____；系数最大的项是_____．【答案】 (1). (2).【解析】分析：先根据二项展开式通项公式得项的次数与系数，再根据次数为零，算出系数得常数项，根据系数大小比较，解得系数最大的项.详解：因为，所以由得常数项为因为系数最大的项系数为正，所以只需比较大小因此r=2时系数最大，项是，点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.13. 已知向量满足的夹角为，则 =_____；与的夹角为_____．【答案】 (1). (2).【解析】分析：根据向量模的性质以及向量数量积求以及||，再根据向量数量积求向量夹角.详解：因为的夹角为，所以，，所以因此.点睛：求平面向量夹角方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是几何方法，从图形判断角的大小.14. 函数f（x）=x2+acosx+bx，非空数集A={x|f（x）=0}，B={x|f（f（x））=0}，已知A=B，则参数a的所有取值构成的集合为_____；参数b的所有取值构成的集合为_____．【答案】 (1). (2).【解析】分析：根据条件A=B，得f（0）=0，解得a;再根据f（-b）=0，得f（x）=-b无解或仅有零根，解得b的取值范围.详解：因为A=B，所以f（x）=0成立时f（f（x））=0也成立，因此f（0）=0，，即参数a的所有取值构成的集合为，因为f（x）=x2+ bx，所以由f（x）=0得当-b=0时, f（f（x））= x4=0,满足A=B，当时,由f（f（x））=0得f（x）=0或f（x）=-b，因此f（x）=-b无解或仅有零根，因为，即方程无解，，综上b的取值范围为点睛：已知函数有零点或方程有解求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的方程或不等式，再通过解方程或不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数交点或函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．15. 已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α∥β④若m∥l，则α⊥β其中正确的命题的序号是_____．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）．【答案】①④【解析】分析：因为m⊥α，则m垂直与α平行所有平面中的直线；若m∥l，则β过垂直于α一条垂线，所以α⊥β；对于不成立的可以举反例说明.详解：因为m⊥α，则m垂直与α平行所有平面中的直线；所以若m⊥α，l⊂β，α∥β，则m⊥l；若m∥l，m⊥α，l⊂β，则β过垂直于α一条垂线，所以α⊥β；若α⊥β，m⊥α，l⊂β，则m,l位置关系不定；若m⊥l，m⊥α，l⊂β，则α，β也可相交，因此命题的序号是①④.点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.16. 从放有标号为1、2、4、8、16、32的6个球的口袋里随机取出3个球（例如2、4、32），然后将3个球中标号最大和最小的球放回口袋（例子中放回2和32，留下4），则留在手中的球的标号的数学期望是_____．【答案】7.2【解析】分析：先确定随机变量的取法2，4，8，16，再分别求对应概率，最后根据数学期望公式求期望.详解：因为留在手中的球的标号可以为2，4，8，16，所以,,,因此点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，第二步是“探求概率”，第三步是“写分布列”，第四步是“求期望值”.17. 设直线2x+y﹣3=0与抛物线Γ：y2=8x交于A，B两点，过A，B的圆与抛物线Γ交于另外两点C，D，则直线CD的斜率k=_____．【答案】2【解析】分析：根据圆以及抛物线的对称性可得直线AB与直线CD关于x轴对称，所以斜率和相反，即得结果.详解：因为根据圆以及抛物线的对称性可得直线AB与直线CD关于x轴对称，所以直线AB与直线CD斜率和相反，因为直线AB斜率为-2，所以直线CD斜率为2.点睛：研究解几问题，一是注重几何性，利用对称性减少参数；二是巧记一些结论，简约思维、简化运算，如利用关于原点对称，为椭圆上三点).三、解答题（共5小题，满分74分）18. 已知函数f（x）=sin（x+）+sin（x﹣）+cosx．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，f（A）=，△ABC的面积为，AB=，求BC的长．【答案】（1）（2）2或【解析】分析：（1）先根据两角和与差正弦公式展开，再根据配角公式得基本三角函数形式，最后根据正弦函数周期公式求结果，（2）先求A,再根据面积公式求不，最后根据余弦定理求a.详解：解：函数f（x）=sin（x+）+sin（x﹣）+cosx．化简可得：f（x）=2sinxcos+cosx=sinx+cosx=2sin（x+）（Ⅰ）f（x）的最小正周期T=；（Ⅱ）由f（A）=，即2sin（A+）=，∴sin（A+）=，∵0＜A＜π，∴＜（A+）．可得：（A+）=或则A=或A=．当则A=时，△ABC的面积为=bcsinA，AB=c=，∴b=AC=2余弦定理：BC2=22+（2）2﹣2××cos，解得：BC=2当A=时，△ABC的面积为=bc，AB=c=，∴b=AC=1直角三角形性质可得：BC2=22+（2）2，解得：BC=．点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.19. 四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，则棱SB垂直于底面．（Ⅰ）求证：平面SBD⊥平面SAC；（Ⅱ）若SA与平面SCD所成角为30°，求SB的长．【答案】（1）见解析（2）1【解析】分析：（1）由正方形性质得AC⊥BD，由已知线面垂直关系得AC⊥SB，由线面垂直判定定理得AC⊥面SBD，再根据面面垂直判定定理得结论，（2）先将四棱锥补成正四棱柱ABCD ﹣A′SC′D′，作AE⊥A′D于E，则根据线面垂直判定定理得AE⊥面SCD，即得∠ASE即为SA与平面SCD所成角的平面角，最后根据解三角形得结果.详解：证明：（Ⅰ）连结AC，BD，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵SB⊥底面ABCD，∴AC⊥SB，∴AC⊥面SBD，又由AC⊂面SAC，∴面SAC⊥面SBD．解：（Ⅱ）将四棱锥补成正四棱柱ABCD﹣A′SC′D′，连结A′D，作AE⊥A′D于E，连结SE，由SA′∥CD，知平面SCD即为平面SCDA′，∵CD⊥侧面ADD′A′，∴CD⊥AE，又AE⊥A′D，∴AE⊥面SCD，∴∠ASE即为SA与平面SCD所成角的平面角，设SB=x，在直角△ABS中，SA=，在直角△DAA′中，∴=，解得x=1，∴SB的长为1．点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.20. 已知函数f（x）=a x﹣xlna（a＞0且a≠1）．（Ⅰ）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）单调区间；（Ⅲ）若对任意x1，x2∈R，有|f（sinx1）﹣f（sinx2）|≤e﹣2（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．【答案】（1）y=1（2）在[0，+∞）递增，在（﹣∞，0]递减；（3）【解析】分析：（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程，（2）根据a与1大小分类讨论导函数符号，再根据导函数符号确定单调区间，（3）先将恒成立问题转化为对应函数最值，再根据单调性确定函数最值，通过构造函数解不等式，可得实数a的取值范围．详解：解：（Ⅰ）∵f′（x）=a x lna﹣lna=（a x﹣1）lna，∴f′（0）=0，又∵f（0）=1，∴所求切线方程是：y=1；（Ⅱ）当a＞1时，令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，当0＜a＜1时，令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，故对∀a＞0，且a≠1，f（x）在[0，+∞）递增，在（﹣∞，0]递减；（Ⅲ）记f（x）在x∈[﹣1，1]上的最大值是M，最小值是m，要使对任意x1，x2∈R，有|f（sinx1）﹣f（sinx2）|≤e﹣2，只需M﹣m≤e﹣2即可，根据f（x）的单调性可知，m=f（0）=1，M为f（﹣1），f（1）的最大值，f（﹣1）=+lna，f（1）=a﹣lna，f（﹣1）﹣f（1）=﹣a+2lna，令g（x）=﹣x+2lnx，g′（x）=﹣≤0，故g（x）在（0，+∞）递减，又∵g（1）=0，∴a＞1时，g（a）＜g（1）=0，即f（﹣1）＜f（1），此时M=a﹣lna，要使M﹣m≤e﹣2，即有a﹣lna﹣1≤e﹣2，再令h（x）=x﹣lnx，由h′（x）=可知h（x）在（1，+∞）递增，不等式a﹣lna≤e﹣1可化为h（a）≤h（e），解得：1＜a≤e，当0＜a＜1时，g（a）＞g（1）=0，即f（﹣1）＞f（1），此时M=+lna，要使M﹣m≤e﹣2，即有+lna﹣1≤e﹣2，再令l（x）=+lnx，由l′（x）=，可知l（x）在（0，1）递减，不等式+lna≤e﹣1可化为l（a）≤l（），解得：≤a＜1，综上，a的范围是[，1）∪（1，e]．点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.21. 已知椭圆T的焦点在x轴上，一个顶点为A（﹣5，0），其右焦点到直线3x﹣4y+3=0的距离为3．（Ⅰ）求椭圆T的方程；（Ⅱ）设椭圆T的长轴为AA'，P为椭圆上除A和A'外任意一点，引AQ⊥AP，A'Q⊥A'P，AQ 和A'Q的交点为Q，求点Q的轨迹方程．【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）根据条件列关于a,b,c方程组，解方程组可得a,b，（2）交轨法求轨迹，先设P,Q坐标,根据垂直关系得斜率乘积为-1，两式对应相乘，利用椭圆方程化简可得Q点轨迹方程，最后根据根据纯粹性去掉两点.详解：解：（Ⅰ）设椭圆的方程为：（a＞b＞0），设椭圆的右焦点为（c，0），则=3，解得：c=4，由题意的焦点在x轴上，则a=5，b2=a2﹣c2=3，∴椭圆的标准方程：；（Ⅱ）设P（5cosθ，3sinθ），A'（5，0），θ≠kπ，k∈Z，设Q（x，y），x≠5且x≠﹣5，于是，×=﹣1，×=﹣1，两式相乘：×=1，化简，所求轨迹方程为：，x≠5且x≠﹣5，∴点Q的轨迹方程，x≠5且x≠﹣5．点睛：求轨迹方程，一般有以下方法，一是定义法，动点满足圆或圆锥曲线定义；二是直接法，化简条件即得；三是转移法，除所求动点外，一般还有已知轨迹的动点，寻求两者关系是关键；四是交轨法或参数法，如何消去参数是解题关键，且需注意消参过程中的等价性.22. 已知数列{an}的首项a1=1，前n项和为Sn，且an+1=Sn+n+1（n∈N+）（Ⅰ）求证数列{an+1}为等比数列；（Ⅱ）设数列{ }的前n项和为Tn，求证：．（Ⅲ）设函数，令，求数列{bn}的通项公式，并判断其单调性．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】分析：（1）先根据和项与通项关系得项之间递推关系，再利用等比数列定义证数列{an+1}为等比数列；（2）先根据等比数列通项公式求an +1，解得an，再放缩利用等比数列求和公式得结论，（3）先求导数，得，再利用错位相减法求其中部分和，即得，最后根据相邻两项差的关系判断数列单调性,这时可利用数学归纳法证明.详解：解：（Ⅰ）证明：an+1=Sn+n+1，可得当n≥2时，an =Sn﹣1+n，两式相减可得，an+1﹣an=an+1，可得an+1+1=2（an+1），n≥2，由a1+1=2，a2+1=4，可得数列{an+1}为公比为2的等比数列；（Ⅱ）an+1=2•2n﹣1=2n，即有an=2n﹣1，当n=1时，T1=1，当n=2时，T2=1+，当n=3时，T3=1++=显然有；n＞3时，Tn=1++++…+＜1+++（++…+）=1+++＜1+++=1++＜1++=；（Ⅲ）设函数，令，f′n（x）=an +2an﹣1x+…+na1x n﹣1，则bn=f′n（1）=an +2an﹣1+…+na1=（2n﹣1）+2（2n﹣1﹣1）+3（2n﹣2﹣1）+…+n（21﹣1）=2n+2•2n﹣1+3•2n﹣2+…+n•21﹣．令A=2n+2•2n﹣1+3•2n﹣2+…+n•21，A=2n﹣1+2•2n﹣2+3•2n﹣3+…+n•20，两式相减可得，A=2n+2n﹣1+2n﹣2+…+2﹣n=2n+1﹣n﹣2，即A=2n+2﹣2n﹣4，bn=2n+2﹣2n﹣4﹣=2n+2﹣n2﹣n﹣4，{bn}递增，只需证明当n为自然数时，bn+1﹣bn=2n+2﹣n﹣3＞0．当n=1时，2n+2﹣n﹣3=4＞0，假设n=k时，2k+2﹣k﹣3＞0，则当n=k+1时，2k+3﹣k﹣4=（2k+2﹣k﹣3）+（2k+2﹣1）＞0恒成立，综上可得，当n为一切自然数时，bn+1＞bn．即数列{bn}为递增数列．点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.。
金丽衢十二校2019学年高三第二次联考数学试题第Ⅰ卷（共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{0,1,2,3,}I =集合{0,1},{0,3},M N ==则()I N M =I ð（ ）A. {0}B. {3}C. {0，2，3}D. ∅ 【答案】B【解析】【分析】根据交集、补集的定义计算可得；【详解】解：因为集合}{0,1,2,3I =，集合{0,1},{0,3}M N ==，所以{}2,3I M =ð，{}()3I N M =I ð故选：B【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.2.双曲线2231x y -=的渐进线方程为（ ）A. y =B. 2y x =±C. y =D. 3y x =±【答案】C【解析】【分析】先将双曲线的方程化为标准方程，求得,a b ，写出其渐进线方程. 【详解】因为双曲线的标准方程为：22113x y -=，所以1a b ==，所以双曲线的渐进线方程为b y x a=±=. 故选：C 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3.若实数x ，y 满足约束条件236021x y y x -+⎧⎨-⎩……，则z =3x +y 的最小值为（ ） A. 13 B. 3 C. 2D. 1 【答案】C【解析】【分析】画出不等式表示的平面区域，根据z 的几何意义求解即可.【详解】22,12|1|22,1x x y x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩Q∴该不等式组对应的平面区域，如下图所示3z x y =+可化为3y x z =-+平移直线3y x =-，当直线过点(0,2)A 时，z 取最小值即min 3022z =⨯+=故选：C【点睛】本题主要考查了线性规划求最值的应用，属于中档题.4.已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A. 2B. 23C. 1D. 4 【答案】A【解析】【分析】将三视图还原可得一个以俯视图为底面直三棱柱，代入棱柱体积公式，可得答案.【详解】解：将三视图还原可得一个以俯视图为底面的直三棱柱， 所以112222V Sh ==⨯⨯⨯=. 故选：A.【点睛】本题考查由三视图求体积，根据已知分析出几何体形状，是解答的关键.5.设m ∈R ，已知圆1:C 221x y +=和圆2C ：2268300x y x y m +--+-=，则“21m >”是“圆C 1和圆C 2相交”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 的【解析】【分析】根据题意先求出两圆心的距离12C C ，再利用圆C 1和圆C 2相交列不等式121212||r r C C r r -<<+求出m 的范围，即可得答案.【详解】解：由已知圆2C ：()()22345x y m -+-=-，若圆C 1和圆C 2相交，则121||5C C <==<，解得2141m <<，“21m >”是“2141m <<”的必要而不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查圆和圆的位置关系，考查充分性和必要性的判断，关键是熟练判断圆与圆的位置关系，是基础题.6.已知函数f （x ）的定义域为D ，其导函数为()f x '，函数'sin ()()y x f x x D =⋅∈的图象如图所示，则f （x ）（ ）A. 有极小值f （2），极大值f （π）B. 有极大值f （2），极小值f （0）C. 有极大值f （2），无极小值D. 有极小值f （2），无极大值【答案】D【解析】【分析】 通过sin x 的正负取值以及'sin ()x f x ⋅的正负取值，可判断函数()f x 在定义域D 上的单调性，进而可判断极值的取值情况．【详解】解：当()0,x π∈，sin 0x >，当()(),0,2x πππ∈-U ，sin 0x <则由图像可得当(),2x π∈-时，()0f x '≤，当()2,2x π∈时，()0f x '≥，故函数()f x 在(),2π-上单调递减，在()2,2π上单调递增，则由图像可得函数f （x ）在定义域D 上，先减后增，有极小值f （2），无极大值.故选：D.【点睛】本题考查导函数的图像和原函数单调性之间的关系，考查函数在某点取得极值的条件，考查学生识图用图能力，是基础题.7.设01,a n R <<∈，随机变量X 的分布列是则随机变量X 的方差D （X ）（ ）A. 既与n 有关，也与a 有关B. 与n 有关，但与a 无关C. 既与a 无关，也与n 无关D. 与a 有关，但与n 无关【答案】D【解析】【分析】根据分布列计算()E X n a =+，再计算()2D X a a =-，得到答案. 【详解】根据分布列得到()()()11E X n a n a n a =-++=+，故()()()()()()2223232112D X a n E X a n E X a a a a a a a =--++-=-+-+=-. 故选：D.【点睛】本题考查了根据分布列求方差，意在考查学生的计算能力和应用能力.8.设正数数列{}n a 满足12n n a a a S +++=L ，21n n S S S T =L ，1n n S T +=，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和属于（ ）A. (0,500)B. (500,1000)C. (1000,2000)D. (2000,3000) 【答案】A【解析】【分析】由已知可得211n n S S S S =-L ，对n 赋值分别求出123,,S S S ，猜想n S ，然后验证，进而可求出n a ，从而可求得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和.【详解】因为21n n S S S T =L ，1n n S T +=，所以211n n S S S S =-L ，当1n =时，111S S =-，所以112S =， 当2n =时，1221S S S =-，即22112S S =-，所以223S =， 当3n =时，12331S S S S =-，即33113S S =-，所以334S =， 猜想：1n n S n =+，则11n T n =+，代入已知检验等式21n n S S S T =L ，1n n S T +=成立， 所以当2n ≥时，2211111(1)(1)n n n n n n n a S S n n n n n n ---+=-=-==+++，又1112a S ==， 所以1(1)n a n n =+，所以1(1)n n n a =+， 所以12101111223910330(0,500)a a a +++=⨯+⨯++⨯=∈L L . 故选：A.【点睛】本题主要考查数列和的概念及知n S 求n a ，属于中档题.9.在三棱锥P ABC -中，平面PBC ⊥平面ABC ，PCB ∠为钝角，D ，E 分别在线段AB ，AC 上，使得,AE PE AD PD ==，记直线PD ，PE ，PA 与平面ABC 所成角的大小分别为α，β，γ则（ ）A. 2αβγ<<B. 2βαγ<<C. 2αγβ<<D. 2βγα<<【答案】A【解析】【分析】根据题意，画出三棱锥P ABC -，作PH ⊥平面ABC ，即可得直线PD ，PE ，PA 与平面ABC 所成角，由三角形边角关系即可判断大小.【详解】三棱锥P ABC -中，平面PBC ⊥平面ABC ，PCB ∠为钝角，D ，E 分别在线段AB ，AC 上，使得,AE PE AD PD ==，作出几何关系如下图所示：作PH ⊥平面ABC ，连接,,DH EH AH ，则PDH ∠即为直线PD 与平面ABC 所成角α,即sin sin PH DPDH P α∠==， 则PEH ∠即为直线PE 与平面ABC 所成角β,即sin sin PH EPEH P β∠==， 则PAH ∠即为直线PA 与平面ABC 所成角γ,即sin sin PH A PAH P γ∠==， 且α，β，γ0,2π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.因为PCB ∠为钝角，,AD PD =所以PE PD <，则PH PH PD PE<，所以sin sin αβ<，即αβ<， 由E 在线段AC 上，平面PBC ⊥平面ABC ，所以EAP V 为钝角三角形，AEP ∠为钝角；AEH △为钝角三角形，AEH ∠为钝角； 由余弦定理可知222cos 02EA EP PA AEP EA EP+-∠=<⋅，因为AE PE =， 所以222EP PA <. 而22sin 22sin cos 2PH AH PH AH PA PA PAγγγ⨯==⨯⨯= 22sin sin 2PH AHPH AH AH AH PE PE PE AEPE ββ⨯<=⨯=⋅=⋅， 即sin 2sin AH AEγβ<⋅，因AEH ∠为钝角，所以1AH AE >，所以sin 2sin γβ>，即2γβ>， 综上可知2αβγ<<，故选：A【点睛】本题考查了直线与平面夹角的作法与大小比较，关键是找到直线与平面夹角，再由边角关系比较即可，属于难题.10.设t ∈R ，已知平面向量,a b r r 满足：||2||2a b ==r r ，且1a b ⋅=r r ，向量()c xa t x b =+-r r r ，若存在两个不同的实数[0,]x t ∈，使得2230c a c -⋅+=r r r ，则实数t （ ）A. 有最大值为2，最小值为32 B. 无最大值，最小值为32 C. 有最大值为2，无最小值D. 无最大值，最小值为0 【答案】B【解析】【分析】利用向量的数量积公式得出2223,3a c x t c x t ⋅=+=+r r r ，从而将方程2230c a c -⋅+=r r r 化为2236230x x t t -+-+=，利用二次函数零点的分布求出t 的范围，即可得出答案. 【详解】设向量,a b r r 的夹角为θ ||||cos 2cos 1a b a b θθ⋅===r r r r Q ，1cos 2θ∴= [0,]θπ∈Q ，3πθ∴= ()2()()43a c xa t x b a xa t x b a x t x x t ⋅=+-⋅=+-⋅=+-=+r r r r r r r r 222222[()]2()()c xa t x b x a x t x a b t x b =+-=+-⋅+-⋅r r r r r r r 22222242223x xt x t xt x x t =+-+-+=+ 存在两个不同的实数[0,]x t ∈，使得2230c a c -⋅+=r r r即存在两个不同的实数[0,]x t ∈，使得2236230x x t t -+-+= 即22()3623f x x x t t =-+-+在[0,]t 内有两个不同的零点 .22(0)0230()048300026016f t t f t t t t t t ⎧⎧-+≥⎪⎪⎪-+≥⎪⎪⇒∆>⎨⎨<<⎪⎪-⎪⎪<-<>⎩⎪⎩……，解得3,22t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ 则实数t 的最小值为32，无最大值 故选：B【点睛】本题主要考查了数量积公式的应用，利用二次函数零点分布求参数范围，属于中档题. 第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（本大题7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.）11.复数z满足：1,z i ⋅=+其中i 为虚数单位，则z 对应的点位于复平面的第______象限；|z |=______.【答案】 (1). 四 (2). 2【解析】【分析】根据条件得到z =，根据复数的除法运算整理为z a bi =+的形式，即可求解.【详解】因为1,z i ⋅=所以z i === 所以z对应的点的坐标为)1-， 故z 对应的点位于复平面的第四象限，因为z i =，所以2z =.故答案为：四；2.【点睛】本题考查复数的运算及几何意义，复数模长的计算，考查运算能力，属于基础题.12.若二项式23()nx x -展开式中各项系数之和为64，则n =______；其展开式的所有二项式系数中最大的是______（用数字作答）【答案】 (1). 6 (2). 20【解析】【分析】取1x =得到264n =，解得6n =，再计算二项式系数最大值得到答案.【详解】取1x =得到(13)64-=n ，解得6n =；故二项式系数为6r C ，当3r =时，二项式系数最大为3665420321C ⨯⨯==⨯⨯. 故答案为：6；20.【点睛】本题考查了二项式定理，意在看考查学生的计算能力和应用能力. 13.设R,0,a b ∈>已知函数()21,12,1x a x f x b x x x π+-≤=⎨⎪+>⎪⎩是奇函数，则a =______；若函数()f x 是R 上的增函数，则b 的取值范围是______.【答案】 (1).12(2). 1,1⎤⎦ 【解析】【分析】由()00f =可算出12a =，由函数()f x 是R 上的增函数可得b y x x =+在()1,+∞上单调递增且2x y π=在1x =处的函数值要小于或者等于b y x x =+在1x =处的函数值，然后即可求出b 的取值范围.【详解】因为()f x 是奇函数，定义域为R所以()0210f a =-=，解得12a =因为函数()f x 是R 上的增函数 所以b y x x=+在()1,+∞上单调递增，所以1b ≤且2x y π=在1x =处的函数值要小于或者等于b y x x =+在1x =处的函数值12b π≤+，解得1b ≥-综上：b的取值范围是1,1⎤⎦ 故答案为：12；1,1⎤⎦ 【点睛】本题考查的是分段函数的奇偶性和单调性，考查了学生的转化能力和计算能力，属于中档题. 14.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b =4，C =2A ，3a =2c ，则cosA =______；a =______.【答案】 (1).34(2). 165 【解析】【分析】 由正弦定理可知3sin 2sin 2A A =，结合二倍角的正弦公式可求出3cos 4A =；由余弦定理结合32a c =可得22316323482a a a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⋅，从而可求出165a =或4，由22C A π=<可排除4a =这一情况，进而可得正确答案. 【详解】解：由正弦定理知，sin sin a c A C=，因为32a c =，2C A =， 所以3sin 2sin24sin cos A A A A ==，即3cos 4A =； 由余弦定理知，2222216cos 28b c a c a A bc c+-+-==，因为32a c =， 所以22316323482a a a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⋅，整理得，2536640a a -+=，解得165a =或4.因为3cos 42A =>，所以4A π<，则22C A π=<.当4a =时，6c =， 则2222224461cos 22448a b c C ab +-+-===-⨯⨯，此时2C π>不符合题意，因此165a =. 故答案为: 34;165【点睛】本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了二倍角公式.本题的关键是由正弦定理边角互化求出cos A .本题的易错点是未对a 的结果进行取舍.15.设F 是椭圆22143x y +=上右焦点，P 是椭圆上的动点，A 是直线34120x y --=的动点，则PA PF -的最小值为______.【答案】1-【解析】【分析】根据椭圆方程可知()1,0F ，设F '是椭圆22143x y +=上的左焦点，则()1,0F '-.根据椭圆的定义可知24PF PF a '+==，则()44PA PF PA PF PA PF ''-=--=+-， 即PA PF -的最小值即求PA PF '+的最小值即可，利用图象可知，PA PF '+的最小值，即当AF '垂直于直线34120x y --=时AF '的值，利用点到直线的距离公式求出AF '的值，进而可得出结论.【详解】解：Q F 是椭圆22143x y +=上的右焦点， 24a =，23b =， ∴2221c a b =-=，即()1,0F ，设F '是椭圆22143x y +=上的左焦点，则()1,0F '-. 根据椭圆的定义可知24PF PF a '+==. ∴4PF PF '=-，()44PA PF PA PF PA PF ''-=--=+-. 则PA PF -的最小值即求PA PF '+的最小值，根据图象可知，PA PF '+的最小值，即当AF '垂直于直线34120x y --=时AF '的值，则3AF '==. 则此时44341PA PF AF ''+-=-=-=-.所以PA PF -的最小值为1-.故答案为：1-.【点睛】本题考查椭圆的定义与性质，考查点到直线的距离公式，考查数形结合能力，属于中档题. 16.两个同样的红球、两个同样的黑球和两个同样的白球放入下列6个格中，要求同种颜色的球不相邻，则可能的放球方法共有______种.（用数字作答）【答案】30【解析】【分析】对于不相邻的问题，运用插空的方法，先排出红球，再将黑球插空在红球的空隙之中，再将白球插在红球和黑球的空隙中可得答案.【详解】第一步：先将两个相同红球，排成一排，只有一种排法，第二步：情况1:再在两个红球的空隙中插入一个黑球，剩下的一个黑球有122C =种排法， 再将两个相同的白球插在红球和黑球的空隙中有2510C =种排法，所以由分步乘法原理得共有21020⨯=种排法，所以情况1共有20种排法；情况2：两个黑球分别放在红球的两侧，有1种方法，再将1个白球放于两个红球之间，剩下的1个白球再在红球和黑球之间插空，有14C 4=种方法，因此对于情况2共有4种排列方法；情况3：两个黑球一起放在红球的一侧，有2种方法，再分别在相邻的红球和相邻的黑球之间各放一个白球，只有一种放法，因此情况3共有2种放法；情况4：两个黑球一起放在红球之间，有1种放法，再在两个黑球之间放一白球，红球和黑球的空隙中再插入1个白球，共有4种放法，因此情况4共有4种放法；根据分类计数原理可得：所有的放球方法共有20+4+2+430=种方法；故答案为：30.【点睛】本题考查排列、组合的运用，注意本题中同色的球是相同的,对于较难问题，我们可以采取分步来做,不相邻的问题运用插空法，属于中档题.17.已知函数()()()()ln ,3f x x x a g x ff x =-+=+有4个零点，则实数a 的取值范围为______. 【答案】()21,2e -【解析】【分析】利用导数求得函数()f x 的单调性与最值，得到10a ->，设函数()f x 的两个零点分别为12,x x ，则1201x x <<<，得出()13f x x +=有两个零点，再结合()23f x x +=，得出22x a <+，代入即可求解. 【详解】由题意，函数()ln f x x x a =-+，可得()111x f x x x-'=-=， 当01x <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当1x >时，()0f x '<，函数()f x 单调递递减， 所以当1x =时，函数()f x 取得最大值，最大值为()11f a =-，要使函数()f x 有零点，则10a ->，可得1a >，设函数()f x 的两个零点分别为12,x x ，则1201x x <<<，令()0g x =，即()()30f f x +=，则()13f x x +=，即()13f x x =-，则()13(3,1)f x x =-∈--有两个零点，又由()23f x x +=，即()23f x x =-，只需231x a -<-，即22x a <+，即(2)ln(2)20f a a +=+-<，解得22a e <-，综上可得：实数a 的取值范围是()21,2e -.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的零点问题，以及函数与方程的综合应用，其中解答中利用导数求得函数的单调性，以及合理应用函数性质是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力. 三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.已知函数()()()4sin 0,02x x f ϕωϕπω=+><<的部分图象如图所示(),f x 经过()1,0，当2x =-时(),f x 取到最小值.（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）求函数()()()2g x f x f x =++的单调递增区间.【答案】（Ⅰ）6π=ω，116πϕ=. （Ⅱ）[]123,123k k -+，k Z ∈.【解析】【分析】（Ⅰ）根据图像中特殊点的位置，先求周期，进而求出ω的值，再代入特殊点，根据特殊点的对应关系可求出ϕ的值. （Ⅱ）根据题意求出()g x 的解析式，然后利用整体思想的应用求出函数的单调区间.【详解】解：（Ⅰ）由图像可知，34T =，∴ 12T =，则2=126ωππ=； 又()4s =16in 0f πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴5+k 6πϕπ=.因为在1x =处为上升零点，且02ϕπ<<，所以116πϕ=. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，()6114sin 6x x f ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，11()4sin 4sin 6666x x g x ππππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8sin cos 666x x πππ==， 解22262x k k πππππ-≤≤+得：123123k x k -≤≤+， 所以()g x 的单调递增区间是[]123,123k k -+，k Z ∈.【点睛】本题考查根据三角函数的图像求解析式，考查三角函数式的恒等变换以及正弦函数性质的应用，考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题.19.如图，三棱锥P ABC -的底面是边长为3的等边三角形，侧棱3,4,5,PA PB PC ===设点M ，N 分别为PC ，BC 的中点.（Ⅰ）求证：BC ⊥面AMN ；（Ⅱ）求直线AP 与平面AMN 所成角.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）30°【解析】【分析】（Ⅰ）根据边长关系可以计算PB BC ⊥，由传递性可得MN BC ⊥，再根据等边三角形的性质可知AN BC ⊥，由此可证明. （Ⅱ）利用BC ⊥面AMN 的关系，过P 做面AMN 的垂线PQ ，则PAQ ∠为所求角，根据长度关系可求出角的正弦值，进而求出角的大小.【详解】（Ⅰ）因为3BC =，4,5,PB PC ==所以PBC ∆为直角三角形，由勾股定理逆定理可知PB BC ⊥，所以MN BC ⊥，在等边三角形ABC 中，N 为BC 中点，所以AN BC ⊥，又PB BC B ⋂=，所以BC ⊥面AMN .（Ⅱ）延长NM 到Q ，使NM MQ =，连接PQ ，AQ ，于是四边形PQNB 为平行四边形.所以PQ BN P ， 根据前一问的结论可知PQ ⊥面AMN ，所以PAQ ∠直线直线AP 与平面AMN 所成角.在直角三角形PAQ 中，312sin 32PQ PAQ AP ∠===，所以30PAQ ∠=︒.【点睛】本题考查线面垂直的判定定理和线面角的求法，考查线面角的定义，熟练掌握线面角的定义是解题的关键，本题属于中档题.20.设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足：()*21N n n n a S n n n -+∈+=.（Ⅰ）求证：数列1(1)n a n n ⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭为等比数列； （Ⅱ）求S n ，并求S n 的最大值. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）1112n n S n =-+，1180. 【解析】【分析】（Ⅰ）由题得21n n n a S n n -+=+，①，1122n n n a S n n---+=-，(2)n ≥ ②，两式相减得1112(1)(1)n n a a n n n n -⎛⎫+=+ ⎪+-⎝⎭，即得数列1(1)n a n n ⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭为等比数列； （Ⅱ）求出11121n n a n n ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭，再利用分组求和裂项相消法求出n S ；分析得到当5n ≥时，1n n S S ->，当4n ≤时，1n n S S -≤，即得n S 的最大值为4S 得解.【详解】解：（Ⅰ）因为21n n n a S n n-+=+，① 1122n n n a S n n---+=-，(2)n ≥， ② 由①-②可得， 当2n ≥时，122122n n n n a a n n n n ----=-+-， 所以122122(1)n n n n a a n n n n --++--=-+-， 所以1222122(1)n n n n a a +n n n n n n --+--=-++-， 所以1222212(11)(1)(1)n n n a a +=+n n n n n n n n n -----=-+-+- 整理得，1112(1)(1)n n a a n n n n-⎛⎫+=+ ⎪+-⎝⎭， 所以11(1)112(1)n n a n n a n n-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=+-， 又11122a +=，所以1(1)n a n n ⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭为首项公比均为12的等比数列； （Ⅱ）由（Ⅰ）得11(1)2n n a n n +=+， 所以111112(1)21n n n a n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭， 所以1111111122231n n S n n ⎛⎫=---+-++- ⎪+⎝⎭L ， 故有1112n n S n =-+， 因为111(1)12(1)(1)2n n n n n a n n n n +⎛⎫=-=- ⎪++⎝⎭， 令(1)()12n n n f n +=-，则1(1)(2)(1)()2n n n f n f n ++-+-=， 所以(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f <=>>L ，又()10f =，()40f >，()50f <，所以当5n ≥时，0n a <即1n n S S ->，当4n ≤时，0n a ≥即1n n S S -≤，因此n S 的最大值为4111151680S =-=. 【点睛】本题主要考查数列性质的证明，考查分组求和裂项相消法求和，考查公式法求和，考查数列n S 的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.已知抛物线2y ax =上一点()0,5M x 到焦点的距离为214，过()1,0P -作两条互相垂直的直线1l 和2l ，其中斜率为()0,k k >1l 与抛物线交于A ，B ，2l 与y 轴交于C ，点Q 满足：,.AP PB QA QB λλ==u u u r u u u r u u u r u u u r（1）求抛物线的方程；（2）求三角形PQC 面积的最小值.【答案】（1）2y x =； （2）12【解析】【分析】 （1）根据抛物线定义，()0,5M x 到焦点的距离等于到其准线的距离，求得抛物线方程；（2）应用设而不解，联立方程组，根与系数的关系，以及向量式，将点,Q C 的纵坐标均用k 表示出来，再表示出,PQ PC ，从而表示出三角形的面积，再求最值.【详解】解：（1）抛物线2y ax =化为标准方程为：21x y a=，其准线为14y a =-， 则1215()44a --=，得1a =,故抛物线的方程为2y x =. （2）由题1:(1)l y k x =+,21:(1)l y x k =-+，则1(0,)C k -， 设112200(,),(,),(,)A x y B x y Q x y ，则2(1)y k x y x =+⎧⎨=⎩，得20x kx k --=， 则12x x k +=，12x x k =-.由AP PB λ=u u u r u u u r ,则1122(1,)(1,)x y x y λ---=+,得12y y λ=-, QA QB λ=u u u r u u u r ,则10102020(,)(,)x x y y x x y y λ--=--,得1020y y y y λ-=-, 故101220y y y y y y --=-,得120122y y y y y =+ 又221212()y y x x k ==,21212(2)2y y k x x k k +=++=+,则20222k y k k=+,0||PQ ==2222k k k =+,||PC = 又PQC S ∆12PQ PC =⋅⋅2212k k k +=+, 令()g k =2212k k k++，0k > 则2222(1)()(2)k k g k k k --+'=+=22112(22(2)k k k k +---+则()g k在递减，在1()2++∞递增，故当12k +=时，()g k的最小值为12g ⎛+= ⎝⎭12， 故三角形PQC【点睛】本题考查了抛物线定义，直线与抛物线的位置关系，考查了设而不解，联立方程组，根与系数的关系，以及向量式化简等常用技巧，表示出三角形的面积公式后，表达式较复杂，可利用导数工具求最值. 22.已知函数())0f x a =>有两个不同的极值点. （Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若对任意R,m ∈存在[),,x e ∈+∞使得()f x m k -≥成立，证明：k < 【答案】（Ⅰ）1,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）求得'()f x ，令()'0f x =，得到2ln 20a x x --+=，设2()ln 2a g x x x=--+， 利用导数求得函数()g x 的单调性与最值，列出不等式组，即可求解；（Ⅱ）由（Ⅰ）知1,2e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得到()210a g e e=->，把对任意m R ∈，存在[)3,x ∈+∞，使得()f x m k -≥成立，转化为()()0022f x b f x k -≤≤，化简()0f x == 令()2ln ()x h x e x e x=<<，利用导数求得函数()h x 的单调性与极值，即可求解. 【详解】（Ⅰ）由函数())0f x a =>，则'2ln 2())a x f x x a --+=>， 令()'0f x =，可得2ln 20a x x--+=， 设2()ln 2a g x x x =--+，则'22()a x g x x -=，令()'0g x =，解得2x a =， 列表如下：所以()g x 的极大值为()()21ln 2g a a =-，又因为()2220a g e e =-<， 所以函数()f x 有两个不同的极值点等价于()0(2)0g a g a <⎧⎨>⎩，解得12e a <<， 因此实数a 的取值范围为1,2e ⎛⎫⎪⎝⎭； （Ⅱ）由（Ⅰ）知1,2e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故()210a g e e =->， 设()g x 的较大零点为0x ，则()20,x e e∈， 且()0,x e x ∈，()'0f x >；()0,x x ∈+∞，()'0f x <，所以()f x 在()0,e x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，从而()f x 有最大值为()0f x ，又当x e ≥时，()0f x >，故可设函数()f x 的值域为()(0,b f x ⎤⎦，其中0b ≥，由题意：对任意m R ∈，存在[)3,x ∈+∞，使得()f x m k -≥成立， 等价于()()0022f x b f x k -≤≤， 而()0f x =，且()000022ln 2x a a x x x -=-=，所以()0f x ==20e x e <<， 令()2ln ()x h x e x e x=<<，则'21ln ()0x h x x -=<， 所以()h x 在()2,e e 上单调递减， 所以1()()h x h e e <=，故()0f x < 因此()02f x k ≤<. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。
