【平煤高中学案必修二】34 空间两点间的距离

空间两点间的距离[适用章节]数学②中的2.4.2空间两点之间的距离。

[使用目的]使学生通过自己操作体会空间直角坐标怎样确定了空间中点的位置，并理解怎样由已知空间两点的坐标求出这两点间的距离。

[操作说明]初始界面上的图形和主要按钮如图2206-1：其中A、B两点的坐标由界面下方可拖动标尺来控制，通过改变坐标、观察图形可以加深对空间坐标和点的对应关系的认识，使用“转动”按钮可以观察动态的图形。

“帮助1”按钮可以显示如图2206-2的辅助线，结合对图形的动态观察应该能够找出求A、B两点距离的思路。

如果还有困难可以使用“帮助2”按钮，它可以显示计算距离的表达式和两组闪动按钮，使用它们可以很清楚的看出计算中使用了那个直角三角形、哪些线段及它们和点的坐标间的关系。

“手控”和它后面的“隐藏”按钮可以显示和隐去几个可拖动点，拖动它们可以改变单位长或转动图形。

图2204-1图2204-2“计算”和它后面的“隐藏”按钮可以显示或隐去距离的计算结果，供学生和自己的计算结果进行对照。

活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。

活动过程：1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”主持人口述谜语：“双手抓不起，一刀劈不开，煮饭和洗衣，都要请它来。

”主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。

听大家说，我的用处可大了，是真的吗？”主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。

水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。

”甲：如果没有水，我们人类就无法生存。

小熊说：我们动物可喜欢你了，没有水我们会死掉的。

花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能为美化环境做贡献了。

主持人：下面请听快板《水的用处真叫大》竹板一敲来说话，水的用处真叫大；洗衣服，洗碗筷，洗脸洗手又洗脚，煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。

课题：2.4.3.2 空间两点间的距离公式（2）教材分析：距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常设计距离，如飞机和轮船的航线的设计，它虽不是直线距离，但也涉及两点之间的距离，一些建筑设计也要计算两点之间的距离，所以本节内容为解决实际问题提供了方便． 课 型： 新授课教学要求：使学生熟练掌握空间两点的距离公式及应用． 教学重点：空间两点的距离公式的应用． 教学难点：空间两点的距离公式的应用． 教学过程：一．复习提问：1．两点间的距离公式． 二．例题讲解：1．例题1．在四面体P-ABC 中，PA 、PB 、PC 两两垂直，设PA=PB=PC=a ，求点P 到平面ABC 的距离．解：根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系P-xyz ，则P(0,0，0)，A （a,0,0），B （0,a,0），C （0,0,a ）.过P 作PH ⊥平面ABC ，交平面ABC 于H ，则PH 的长即为点P 到平面ABC 的距离．PA=PB=PC,∴H 为∆ABC 的外心，又∆ABC 为正三角形，∴H 为∆ABC 的重心．由定比分点公式，可得H 点的坐标为)3,3,3(aa a ∴|PH|=a aaa33)30()30()30(222=-+-+-．∴点P 到平面ABC 的距离为a 33． 2．例题2．在棱长为a 的正方体ABCD -1111D C B A 中，求异面直线11CC BD 与间的距离．解：以D 为坐标原点，从D 点出发的三条棱所在直线为坐标轴，建立如图所求的空间直角坐标系．设P 、Q 分别是直线1BD 和1CC 上的动点，其坐标分别为(x, y, z)、(0，1,z a )，则由正方体的对称性，显然有x=y ．要求异面直线11CC BD 与间的距离，即求P 、Q 两点间的最短距离．xHA BCD xyz1A 1B 1C 1D P Q H设P 在平面AC 上的射影是H ，由在∆!BDD 中，BD BH D D PH =1，所以axa a z -=，∴x=a-z ， ∴P 的坐标为(a-z, a-z, z) ∴|PQ|=2122)()(z z z z a -++-=2)2(2)(2221a a z z z +-+-∴当21az z ==时，|PQ|取得最小值，最小值为a 22． ∴异面直线11CC BD 与间的距离为a 22． 3．例题3．点P 在坐标平面xOy 内，A 点的坐标为(-1,2，4)，问满足条件|PA|=5的点P 的轨迹是什么？分析：因点P 一方面在坐标平面xOy 内，另一方面满足条件|PA|=5，即点P 在球面上，故点P 的轨迹是坐标平面xOy 与球面的交线． 解：设点P 的坐标为(x, y, z)． 点P 在坐标平面xOy 内，∴z=0|PA|=5，∴5)4()2()1(222=-+-++z y x ，即2)1(+x 2)2(-+y 2)4(-+z =25，∴点P 在以点A 为球心，半径为5的球面上，∴点P 的轨迹是坐标平面xOy 与以点A 为球心，半径为5的球面的交线，即在坐标平面xOy 内的圆，且此圆的圆心即为A 点在坐标平面xOy 上射影A '(-1,2，0)．点A 到坐标平面xOy 的距离为4，球面半径为5， ∴在坐标平面xOy 内的圆A '的半径为3．∴点P 的轨迹是圆2)1(+x 2)2(-+y =9，z=0．小结：对于空间直角坐标系中的轨迹问题，可用平面直角坐标系中的轨迹问题的求解方法类比解决． 三：巩固练习：1．课本139P 习题4.3 B 组 第2题2．点P 在坐标平面xOz 内，A 点的坐标为(1,3，-2)，问满足条件|PA|=5的点P 的轨迹方程．答案：点P 的轨迹方程是2)1(-x 2)2(++z =16，y=0． 四．小结１．空间两点的距离公式的应用． 五．作业１．课本139P 习题4.3 Ｂ组 第3题课后记:以下为赠送文档：选修4_5 不等式选讲课 题： 第01课时 不等式的基本性质 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入：不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。

3.3.2 两点间的距离整体设计教学分析距离概念，在日常生活中经常遇到，学生在初中平面几何中已经学习了两点间的距离、点到直线的距离、两条平行线间的距离的概念,到高一立体几何中又学习了异面直线距离、点到平面的距离、两个平面间的距离等.其基础是两点间的距离，许多距离的计算都转化为两点间的距离.在平面直角坐标系中任意两点间的距离是解析几何重要的基本概念和公式.到复平面内又出现两点间距离，它为以后学习圆锥曲线、动点到定点的距离、动点到定直线的距离打下基础，为探求圆锥曲线方程打下基础.解析几何是通过代数运算来研究几何图形的形状、大小和位置关系的，因此，在学习解析几何时应充分利用“数形”结合的数学思想和方法.在此之前，学生已学习了直线的方程、两直线的交点坐标，学习本节的目的是让学生知道平面坐标系内任意两点距离的求法公式，以及用坐标法证明平面几何问题的知识，让学生体会到建立适当坐标系对于解决问题的重要性.课堂教学应有利于学生的数学素质的形成与发展，即在课堂教学过程中，创设问题的情境，激发学生主动地发现问题、解决问题，充分调动学生学习的主动性、积极性；有效地渗透数学思想方法，发展学生个性思维品质，这是本节课的教学原则.根据这样的原则及所要完成的教学目标，下的教学方法：主要是引导发现法、探索讨论法、讲练结合法.三维目标1.使学生掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程；通过具体的例子来体会坐标法对于证明简单的平面几何问题的重要性.2.能灵活运用此公式解决一些简单问题；使学生掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题，培养学生勇于探索，善于发现，独立思考的能力以及不断超越自我的创新品质.重点难点教学重点：①平面内两点间的距离公式.②如何建立适当的直角坐标系.教学难点：如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|?思路2.(1)如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们的坐标分别是x A、x B、y C、y D，那么|AB|、|CD|怎样求?(2)求B(3，4)到原点的距离.(3)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，求|AB|. 推进新课新知探究提出问题①如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们坐标分别是x A、x B、y C、y D，那么|AB|、|CD|怎样求?②求点B(3，4)到原点的距离.③已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|.④同学们已知道两点的距离公式，请大家回忆一下我们怎样知道的(回忆过程).讨论结果：①|AB|=|x B-x A|,|CD|=|y C-y D|.②通过画简图，发现一个Rt△BMO，应用勾股定理得到点B 到原点的距离是5.③图1在直角坐标系中，已知两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)，如图1,从P 1、P 2分别向x 轴和y 轴作垂线P 1M 1、P 1N 1和P 2M 2、P 2N 2，垂足分别为M 1(x 1，0)、N 1(0，y 1)、M 2(x 2，0)、N 2(0，y 2)，其中直线P 1N 1和P 2M 2相交于点Q.在Rt△P 1QP 2中，|P 1P 2|2=|P 1Q|2+|QP 2|2.因为|P 1Q|=|M 1M 2|=|x 2-x 1|,|QP 2|=|N 1N 2|=|y 2-y 1|，所以|P 1P 2|2=|x 2-x 1|2+|y 2-y 1|2.由此得到两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：|P 1P 2|=212212)()(y y x x -+-. ④(a)我们先计算在x 轴和y 轴两点间的距离.(b)又问了B(3,4)到原点的距离，发现了直角三角形.(c)猜想了任意两点间距离公式.(d)最后求平面上任意两点间的距离公式.这种由特殊到一般，由特殊猜测任意的思维方式是数学发现公式或定理到推导公式、证明定理经常应用的方法.同学们在做数学题时可以采用!应用示例例1 如图2，有一线段的长度是13，它的一个端点是A(-4，8)，另一个端点B 的纵坐标是3，求这个端点的横坐标.图2解:设B(x ，3)，根据|AB|=13，即(x+4)2+(3-8)2=132，解得x=8或x=-16.点评：学生先找点，有可能找不全，丢掉点，而用代数解比较全面.也可以引至到A(-4，8)点距离等于13的点的轨迹(或集合)是以A 点为圆心、13为半径的圆上与y=3的交点，应交出两个点.例2 已知点A(-1，2)，B(2，7)，在x 轴上求一点，使|PA|=|PB|,并求|PA|的值. 解:设所求点P(x ，0)，于是有2222)70()2()20()1(-+-=-++x x .由|PA|=|PB|,得x 2+2x+5=x 2-4x+11,解得x=1.即所求点为P(1，0),且|PA|=22)20()11(-++=22.知能训练课本本节练习.拓展提升已知0＜x ＜1,0＜y ＜1,求使不等式222222)1()1(y x y x y x +-+-+++ 22)1()1(y x -+-+≥22中的等号成立的条件.答案：x=y=21. 课堂小结通过本节学习，要求大家:①掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程；②能灵活运用此公式解决一些简单问题；③掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题.作业课本习题3.3 A 组6、7、8；B 组6.设计感想通过本节课的教学，教师应引导学生学会思考、尝试、猜想、证明、归纳.这样更有利于学生掌握知识.为了加深知识理解、掌握和运用所学知识去主动地发现问题、解决问题，从而更系统地掌握所学知识，形成新的认知结构和知识网络，让学生真正地体会到在问题的解决中学习，在交流中学习.本节课处理过程力求达到解决如下问题：知识是如何产生的？又如何从实际问题抽象成为数学问题，并赋予抽象的数学符号和表达式？如何反映生活中客观事物之间简单的和谐关系？特点：以知识为载体，思维为主线，能力为目标的设计原则，突出多媒体这一教学技术手段在本节课辅助知识产生、发展和突破重难点的优势.。

§3.3.2 两点间的距离一、教材分析距离概念，在日常生活中经常遇到，学生在初中平面几何中已经学习了两点间的距离、点到直线的距离、两条平行线间的距离的概念,到高一立体几何中又学习了异面直线距离、点到平面的距离、两个平面间的距离等.其基础是两点间的距离，许多距离的计算都转化为两点间的距离.在平面直角坐标系中任意两点间的距离是解析几何重要的基本概念和公式.到复平面内又出现两点间距离，它为以后学习圆锥曲线、动点到定点的距离、动点到定直线的距离打下基础，为探求圆锥曲线方程打下基础.解析几何是通过代数运算来研究几何图形的形状、大小和位置关系的，因此，在学习解析几何时应充分利用“数形”结合的数学思想和方法.在此之前，学生已学习了直线的方程、两直线的交点坐标，学习本节的目的是让学生知道平面坐标系内任意两点距离的求法公式，以及用坐标法证明平面几何问题的知识，让学生体会到建立适当坐标系对于解决问题的重要性.课堂教学应有利于学生的数学素质的形成与发展，即在课堂教学过程中，创设问题的情境，激发学生主动地发现问题、解决问题，充分调动学生学习的主动性、积极性；有效地渗透数学思想方法，发展学生个性思维品质，这是本节课的教学原则.根据这样的原则及所要完成的教学目标，下的教学方法：主要是引导发现法、探索讨论法、讲练结合法.二、教学目标1．知识与技能：掌握直角坐标系两点间的距离，用坐标证明简单的几何问题。

2．过程与方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。

；3．情态和价值：体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题。

三、教学重点与难点教学重点：①平面内两点间的距离公式.②如何建立适当的直角坐标系.教学难点：如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题.四、课时安排1课时五、教学设计（一）导入新课思路1.已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|?思路2.(1)如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们的坐标分别是x A、x B、y C、y D，那么|AB|、|CD|怎样求?(2)求B(3，4)到原点的距离.(3)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，求|AB|.（二）推进新课、新知探究、提出问题①如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们坐标分别是x A、x B、y C、y D，那么|AB|、|CD|怎样求?②求点B(3，4)到原点的距离.③已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|.④同学们已知道两点的距离公式，请大家回忆一下我们怎样知道的(回忆过程).讨论结果：①|AB|=|x B -x A |,|CD|=|y C -y D |. ②通过画简图，发现一个Rt△BMO，应用勾股定理得到点B 到原点的距离是5. ③图1在直角坐标系中，已知两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)，如图1,从P 1、P 2分别向x 轴和y 轴作垂线P 1M 1、P 1N 1和P 2M 2、P 2N 2，垂足分别为M 1(x 1，0)、N 1(0，y 1)、M 2(x 2，0)、N 2(0，y 2)，其中直线P 1N 1和P 2M 2相交于点Q.在Rt△P 1QP 2中，|P 1P 2|2=|P 1Q|2+|QP 2|2.因为|P 1Q|=|M 1M 2|=|x 2-x 1|,|QP 2|=|N 1N 2|=|y 2-y 1|，所以|P 1P 2|2=|x 2-x 1|2+|y 2-y 1|2.由此得到两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：|P 1P 2|=212212)()(y y x x -+-.④(a)我们先计算在x 轴和y 轴两点间的距离. (b)又问了B(3,4)到原点的距离，发现了直角三角形.(c)猜想了任意两点间距离公式.(d)最后求平面上任意两点间的距离公式.这种由特殊到一般，由特殊猜测任意的思维方式是数学发现公式或定理到推导公式、证明定理经常应用的方法.同学们在做数学题时可以采用!（三）应用示例例1 如图2，有一线段的长度是13，它的一个端点是A(-4，8)，另一个端点B 的纵坐标是3，求这个端点的横坐标.图2解:设B(x ，3)，根据|AB|=13，即(x+4)2+(3-8)2=132，解得x=8或x =-16.点评：学生先找点，有可能找不全，丢掉点，而用代数解比较全面.也可以引至到A(-4，8)点距离等于13的点的轨迹(或集合)是以A 点为圆心、13为半径的圆上与y=3的交点，应交出两个点.例2 已知点A(-1，2)，B(2，7)，在x 轴上求一点，使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.解:设所求点P(x ，0)，于是有2222)70()2()20()1(-+-=-++x x .由|PA|=|PB|,得x 2+2x+5=x 2-4x+11,解得x=1.即所求点为P(1，0),且|PA|=22)20()11(-++=22.（四）知能训练课本本节练习.（五）拓展提升已知0＜x ＜1,0＜y ＜1,求使不等式222222)1()1(y x y x y x +-+-+++ 22)1()1(y x -+-+≥22中的等号成立的条件.答案：x=y=21.（六）课堂小结通过本节学习，要求大家:①掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程；②能灵活运用此公式解决一些简单问题；③掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题.（七）作业课本习题3.3 A 组6、7、8；B 组6.。

总 课 题 空间直角坐标系 总课时 第38课时 分 课 题空间两点间的距离 分课时 第 2 课时 教学目标 通过具体到一般的过程，让学生推导出空间两点间的距离公式，通过类比方式得到两点构成的线段的中点公式．重点难点 空间两点间的距离公式的推导及其应用．引入新课问题1．平面直角坐标系中的许多公式能推广到空间直角坐标系中去吗？问题2．平面直角坐标系中两点间距离公式如何表示？试猜想空间直角坐标系中两点的距离公式．问题3．平面直角坐标系中两点)(111y x P ，，)(222y x P ，的线段21P P 的中点坐标是什么？空间中两点)(1111z y x P ，，，)(2222z y x P ，，的线段21P P 的中点坐标又是什么？例题剖析例1 求空间两点)523(1 - ，，P ，)106(2- ，，P 间的距离21P P ．例2 平面上到坐标原点的距离为1的点的轨迹是单位圆，其方程为122=+y x ．在空间中，到坐标原点的距离为1的点的轨迹是什么？试写出它的轨迹方程．例3 证明以)134( ，，A )217( ，，B ，)325( ，，C 为顶点的ABC ∆是等腰三角形．例4 已知)133( ，，A ，)501( ，，B ，求： （1）线段AB 的中点和线段AB 长度；（2）到A ，B 两点距离相等的点)(z y x P ，，的坐标满足什么条件．巩固练习1．已知空间中两点)32(1 ，，x P 和)745(2 ，，P 的距离为6，求x 的值．2．试解释方程36)5()3()12(222=-+++-z y x 的几何意义．3．已知点)652(- ，，A ，在y 轴上求一点P ，使7=PA ．4．已知平行四边形ABCD 的顶点)314( ，，A ，)152( - ，，B ，)573(- ，，C ． 求顶点D 的坐标．课堂小结空间两点间距离公式；空间两点的中点的坐标公式．课后训练一 基础题1．在空间直角坐标系中，已知ABC ∆的顶点坐标分别是)321( -，，A ，)322( - ，，B ，)32521( ，，C ，则ABC ∆的形状是 ． 2．若)133( ，，A ，)501( ，，B ，)010( ，，C ，则AB 的中点M 到点C 的距离是 ．3．点)011( ，，A 与点)121( -，，B 之间的距离是 ．4．在x 轴上有一点P ，它与点)214(1 ，，P 之间的距离为30， 则点P 的坐标是 ．二 提高题5．已知：空间三点)101( -，，A ，)342( ，，B ，)585( ，，C ，求证：A ，B ，C 在同一条直线上．6．（1）求点)734( - ，，P 关于xOy 平面的对称点的坐标；（2）求点)412( ，，P 关于坐标原点的对称点的坐标；（3）求点)423( - ，，P 关于点)310( ，，A 的对称点的坐标；三 能力题7．已知点A ，B 的坐标分别为)11(t t t ，，- -，)2(t t ，，， 当t 为何值时，AB 的值最小．最小值为多少？8．在xOy 平面内的直线1=+y x 上确定一点M ，使M 到点)156( ，，N 的距离最小．。

4.3.2 空间两点间的距离公式【学习目标】1.掌握空间两点间的距离公式,会用空间两点间的距离公式解决问题.2.能应用坐标法解决一些简单的立体几何问题3.通过探究空间两点间的距离公式,意识到将空间问题转化为平面问题是解决问题的基本思想方法,【学习重点】空间两点间的距离公式.【知识链接】距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常涉及距离, 如一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离,那么如何计算空间两点之间的距离呢?这就是我们本堂课的主要内容.【基础知识】.空间中两点间的距离公式 1.221221)()(y y x x -+- 2.22122122121)()()(z z y y x x P P -+-+-=①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=212212)()(y y x x -+-,它是利用直角三角形和勾股定理来推导的.图1②如图1,设A(x,y,z)是空间任意一点,过A 作AB⊥xOy 平面,垂足为B,过B 分别作BD⊥x 轴,BE⊥y 轴,垂足分别为D,E.根据坐标的含义知,AB=z,BD=x,B E=OD=y,由于三角形ABO 、BOD是直角三角形,所以BO 2=BD 2+OD 2,AO 2=AB 2+BO 2=AB 2+BD 2+OD 2=z 2+x 2+y 2,因此A 到原点的距离是d=222z y x ++.【例题讲解】图2例1.如图2,设P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)是空间中任意两点,我们来计算这两点之间的距离. 我们分别过P 1P 2作xOy 平面的垂线,垂足是M,N,则M(x 1,y 1,0),N(x 2,y 2,0),于是可以求出|MN|=212212)()(y y x x -+-.再过点P 1作P 1H⊥P 2N,垂足为H,则|MP 1|=|z 1|,|NP 2|=|z 2|,所以|HP 2|=|z 2-z 1|.在Rt△P 1HP 2中,|P 1H|=|MN|=212212)()(y y x x -+-,根据勾股定理,得|P 1P 2|=2221||||HP H P +=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.因此空间中点P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)之间的距离为|P 1P 2|=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.于是空间两点之间的距离公式是d=212212212)()()(z z y y x x -+-+-.它是同名坐标的差的平方的和的算术平方根.【达标检测】1．点M (3,4,1)到点N (0,0,1)的距离是( A )A ．5B ．0C ．3D ．12．空间直角坐标系中，x 轴上到点P (4,1,2)的距离为30的点有( A )A ．2个B ．1个C ．0个D ．无数个3.设点B 是点A (2，－3,5)关于xOy 面的对称点，则|AB |等于( A )A ．10B ．4C ．6D ．25．到两点A (3,4,5)，B (－2,3,0)距离相等的点M (x ，y ，z )的坐标满足的条件是( B )A ．10x ＋2y ＋10z －37＝0B ．5x －y ＋5z －37＝0C ．10x －y ＋10z ＋37＝0D ．10x －2y ＋10z ＋37＝06.正方体不在同一平面上的两顶点A(－1,2,－1),B(3,－2,3),则正方体的体积是( C )A.16B.192C.64D.48 二、填空题7．已知P (32，52，z )到直线AB 中点的距离为3，其中A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，则z ＝0或－4.8．在空间直角坐标系下，点P (x ，y ，z )满足x 2＋y 2＋z 2＝1，则动点P 表示的空间几何体的表面积是 _ 4π ．三、解答题9．已知A (1,2，－1)，点C 与点A 关于平面xOy 对称，点B 与点A 关于x 轴对称，求B ，C 两点的距离．由已知得C (1,2,1)、B (1，－2,1)∴d (B ，C )＝ 1－1 2＋ 2＋2 2＋ 1－1 2＝4，即B ，C 两点间的距离为4.10．试在坐标平面yOz 内的直线2y －z ＝1上确定一点P ，使点P 到点Q (－1,0,4)的距离最小．设P (0，y,2y －1)，则|PQ |＝ 0＋1 2＋y 2＋ 2y －5 2＝5y 2－20y ＋26.当y ＝2时，|PQ |min ＝6，此时P (0,2,3)．【问题与收获】。