人教A版高中数学选修2-1课件 空间向量运算的坐标表示课件

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互动探究 将本例中条件“若向量ka＋b与ka－2b互相垂直”改为 “若向量ka＋b与a＋kb互相平行”，其他条件不变，求k的值． 解： a ＝ ( － 1 ＋ 2,1 － 0,2 － 2) ＝ (1,1,0)， b ＝ ( － 3 ＋ 2,0 － 0 ， 4 － 2) ＝ ( － 1,0,2)，
知新益能 1．空间向量的坐标运算 若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) ； (1)a＋b＝_______________________ (a1－b1，a2－b2，a3－b3) ； (2)a－b＝_______________________ (λa1，λa2，λa3) (λ∈R)； (3)λa＝________________ a1b1＋a2b2＋a3b3 ； (4)a· b＝________________ a1 ＝ a2＝λb2 ,_________ a3＝λb3 (λ∈R)； (5)a∥b⇔________,________ λb a11 b1＋a2b2＋a3b3＝0 ； (6)a⊥b⇔___________________
→ 根据模列出关系式 → 求λ → 求C 写出ka＋b， 利用垂直 (2) → → 求k ka－2b的坐标 列关系式
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→ → 【解】 (1)∵BC＝(－2，－1,2)且 c∥BC， → ∴设 c＝λBC＝(－2λ，－λ，2λ)，λ∈R. ∴|c|＝ －2λ ＋－λ ＋2λ ＝3|λ|＝3. 解得 λ＝± 1. ∴c＝(－2，－1,2)或 c＝(2,1，－2)．
例一
→ → → → → 【思路点拨】 (1)AB－AC＝CB⇒CB坐标⇒OP坐标 → → ⇒点 P 坐标；(2)A，B，C，D 坐标⇒AB，DC坐标 → → → → → ⇒AB－DC的坐标⇒3(AB－DC)坐标⇒AP坐标⇒点 P 坐标．
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【解】 －4)， → ∴OP＝2(5,1，－4)＝(10,2，－8)， ∴点 P 的坐标为(10,2，－8)． → (2)设 P(x，y，z)，则AP＝(x－2，y＋4，z－1)． → → 又AB＝(1,6，－1)，DC＝(－8，－2,2)， → → ∴AB－DC＝(9,8，－3)，
∵ka＋b 与 a＋kb 平行， ∴ka＋b＝λ(a＋kb)(λ∈R)， 即(k－1，k,2)＝λ(1－k,1,2k)．
∴ ka ＋ b ＝ (k ， k,0) ＋ ( － 1,0,2)
＝(k－1，k,2)， a＋kb＝(1,1,0)＋(－k,0,2k)＝ (1 －k,1,2k)，
k－1＝λ1－k k＝－1 k＝ 1 1 ∴k＝λ· ，∴ 或 ， λ＝－1 λ＝1 2＝λ· 2k
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坐标形式下平行与垂直条件的应用 利用空间向量的坐标运算来解题，要熟练掌握以下两
个常用的充要条件，若 a ＝ (x1 ， y1 ， z1) ， b ＝ (x2 ， y2 ，
z2) ， 则 a ∥ b ⇔ x1 ＝ λx2 ， y1 ＝ λy2 ， z1 ＝ λz2(λ ∈ R) ；
2．关于空间直角坐标系的建立
建系时，要根据图形特点，充分利用图形中的垂直 关系确定原点和各坐标轴．同时，使尽可能多的点 在坐标轴上或坐标平面内．这样可以较方便的写出 点的坐标．
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课后作业
P98
A组 5、10、11
2 2 2
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→ → (2)∵a＝AB＝(1,1,0)，b＝AC＝(－1,0,2)， ∴ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)． ∵(ka＋b)⊥(ka－2b)， ∴(ka＋b)· (ka－2b)＝0. 即(k－1，k,2)· (k＋2，k，－4) ＝2k2＋k－10＝0. 5 解得 k＝2 或 k＝－ . 2
→ → → (1)AB－AC＝CB＝(3,2,0)－(－2,1,4)＝(5,1，
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∴(x－2，y＋4，z－1)＝(9,8，－3)， x－2＝9 x＝11
∴y＋4＝8 ，解得y＝4 ， z－1＝－3 z＝－2
∴点 P 的坐标为(11,4，－2)．
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问题探究
→ 1．在空间直角坐标系 Oxyz 中，向量AB的坐标与向 → → 量OB－OA的坐标相同．这一判断是否正确？
提示：正确．
2 ．如何理解空间向量的坐标运算与平面向量的 坐标运算之间的关系？
提示：空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算类似，仅多了一 项竖坐标，其法则与横、纵坐标一致．
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1 1 1 → → 1 1 ∴EF· CF＝ × ＋(－ )× ＋－2×0＝0. 2 2 2 2 → → ∴EF⊥CF，即 EF⊥CF. 1 → (2)由(1)知CE＝(0，－1， )， 2 → ∴|CE|＝ 12 5 0 ＋－1 ＋ ＝ . 2 2
例三 如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1
【思路点拨】
建系
→ 确定所需点的坐标 → 求出相关向量的坐标 → 利用向量的夹角、距离公式求解 → 结论
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【解】 (1)证明：建立如图所示的空间直角坐 标系 Dxyz， 1 则 D(0,0,0)，E0，0，2，C(0,1,0)， 1 1 1 F2，2，0，G1，1，2. 1 → 1 1 ∴EF＝2，2，－2， 1 → 1 CF＝ ，－ ，0. 2 2
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第三章 空间向量与立体几何
3.1.5空间向量运算的坐标表示
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温故夯基
若平面向量 a＝ (x 1 ，y 1)， b ＝(x 2 ， y2) ，则 a± b＝ (x 1± x 2，y 1± y2 )；a· b＝x 1 x 2＋y 1y2 ；λa＝(λx 1 ，λy1 )(λ
2 ∈R)； |a|＝ x 2 ＋ y 1 1 ；a ∥b⇔ x 1y2 －x 2 y1 ＝0 ；a⊥b a· b ⇔ x 1 x 2 ＋ y1y 2 ＝ 0 ； cos 〈 a ， b 〉 ＝ ＝ |a||b| x 1 x 2 ＋y1y 2 2 2 2 x2 1 ＋y1· x 2 ＋y2
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|a|· |b| 2．空间中向量的坐标及两点间的距离公式 若 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 → (x2－x1，y2－y1，z2－z1) ； (1)AB＝________________________ 2 2 2 x － x ＋ y － y ＋ z － z (2)dAB＝________________________________. 2 1 2 1 2 1
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空间向量的坐标运算 向量的坐标即终点坐标减去起点坐标对应的坐标．求
点的坐标时，一定要注意向量的起点是否在原点，在
原点时 ,向量的坐标与终点坐标相同；不在原点时，向
量的坐标加上起点坐标才是终点坐标．
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知 O 为原点，A，B，C，D 四点的坐标分 别为： A(2， －4,1)， B(3,2,0)， C(－2,1,4)， D(6,3,2)． 求满足下列条件的点 P 的坐标． → → → → → → (1)OP＝2(AB－AC)；(2)AP＝3(AB－DC)．
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(7)|a|＝ a· a＝____________；
2 2 a1 ＋a2 ＋ a 2 3
a1b1＋a2b2＋a3b3 2 2 2 2 2 2 a· b a ＋ a ＋ a b ＋ b ＋ b 1 2 3 1 2 3 (8)cos〈a，b〉＝ ＝_______________________.
∴k 的值为±1.
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利用向量的坐标表示求夹角和距离 利用空间直角坐标系解立体几何中的题，需首先建立空 间直角坐标系，选取图中有公共起点且互相垂直的三条 线段所在直线为坐标轴；再利用公式解决夹角、模等问 题．
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中，E、F、G分别是DD1、BD、BB1的中点． (1)求证：EF⊥CF； (2)求CE的长．
2 2

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方法感悟
1．空间向量在几何中的应用
有了向量的坐标表示，利用向量的平行、垂直判定
几何中线线、线面的平行与垂直；利用向量长度公
式、夹角公式求两点间的距离和两异面直线所成的
角，只需通过简单运算即可．在此处，要认真体会
向量的工具性作用．
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a⊥b⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.
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例二 已知空间三点 A(－2,0,2)、 B(－1,1,2)、 C(－
→ → 3,0,4)．设 a＝AB，b＝AC. → (1)若|c|＝3，c∥BC，求 c； (2)若 ka＋b 与 ka－2b 互相垂直，求 k.
【思路点拨】 → → (1) 根据c与BC共线，设c＝λBCλ∈R