2018届北京市朝阳区高三上学期期末考试文科数学试题及答案

12018届北京各区高三上期末文科数学汇编——平面向量部分（含答案）1.(东城) 已知向量(1,2),(0,2),(1,)λ==-=-a b c ，若(2)-a b ∥c ，则实数λ=（ ）A（A ）3- （B ）13（C ）1 （D ）32. （朝阳）已知菱形ABCD 的边长为2，60BAD ∠=，则AB BC ⋅= ．2 3.（通州） 已知向量a ，b ，若3=a，-=a b 6⋅=a b ，则a ，b 夹角的度数为_______.3π4. （大兴）已知D 为ABC ∆的边BC 的中点，ABC ∆所在平面内有一个点P ，满足PA PB PC =+ ，则||||PD AD 的值为（ ）C （A ）13 （B ）12（C ） 1 （D ）25.（大兴） 已知向量(sin ,1)θ=a ，(1,cos )θ=b ，其中0πθ<<，若⊥a b ，则θ=________.3π46. （西城）向量,a b 在正方形网格中的位置如图所示．如果小正方形网格的边长为1，那么⋅=a b ____．47.（顺义）设向量)(),2,2a b ==- ,若()()a b a b λλ+⊥- ,则实数λ8. （石景山）平面向量a r 与b r 的夹角为o 60，(2,0)a =r ，1b =r ，则2a b +=r r _______ . 9.（昌平）已知Rt ABC ∆，1AB AC ==,点E 是AB 边上的动点，则CE AC ⋅uu r uu u r 的值为 ；CE CB ⋅uu r uu r 的最大值为 1- ; 210.(房山) 已知△ABC 是边长为1的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+ 的最小值是( )B(A) 81- (B) 83- (C) 43- (D) 1- 11. (丰台)已知向量=(1,1)a ，4+=(4,2)a b ，则向量a 与b 的夹角为（ ）D2 (A) π4(B) π3 (C) 2π3 (D)3π4 12.(海淀)在∆ABC 中，1==AB AC ，D 是AC 边的中点，则⋅ BD CD 的取值范围是（ ）A (A) 31(,)44- (B) 1(,)4-∞ （C ）3(,+)4-∞ （D ）13()44，。

北京市朝阳区2018年高三年级第一学期期末统一考试第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，1P ，2P 分别为线段AB ，1BD （不包括端点）上的动点，且线段12P P 平行于平面11A ADD ，则四面体121PP AB 的体积的最大值是 A ．124 B ．112 C ．16 D ．122“1k =”是“直线0x y k -+=与圆1x y += 相交”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3. 执行如图所示的程序框图．若输入3x =，则输出k 的值是 A ． 3 B ．4 C ． 5 D ． 64. 已知0x >，0y >，且21x y +=，则xy 的最大值是A.14 B. 18 C. 4 D. 85. 已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为A ．34B ．32C ．34D ．16. 设集合{02}A x x =<<，集合2{log 0}B x x =>，则A B I 等于 A ．{}|2x x < B ．{}|x x >0 C ．{}|02x x << D ．{}|12x x << 7．已知i 是虚数单位，若复数(1i)(2i)a ++是纯虚数，则实数a 等于开始0k = 5x x =+1k k =+结束输入x是 否输出k23?x >31正视图A ．2B ．12C ．12-D ．2-8. 已知函数e ,0,()21,0x a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩（a ∈R ），若函数()f x 在R 上有两个零点，则a 的取值范围是A ．(),1-∞-B ．(),0-∞C ．()1,0-D ．[)1,0-第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9. 已知数列1,,9a 是等比数列，数列121,,,9b b 是等差数列，则12ab b +的值为 .10.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且222b c a bc +-=，则A = ． 11.若关于x ，y 的不等式组10,10,10x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩（a 为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为 .12.已知双曲线中心在原点，一个焦点为)0,5(1-F ，点P 在双曲线上，且线段1PF 的中点坐标为（0，2），则此双曲线的方程是 ，离心率是 . 13.在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则CP CB CP CA ⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r．14. 将连续整数1,2,,25L 填入如图所示的5行5列的表格中，使每一行的数字从左到右都成递增数列，则第三列各数之和的最小值为 ，最大值为 .A 1B 1CBD 1C 1ADE三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分）已知函数2()sincos cos 1222x x xf x =+-. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间； （Ⅱ）求函数()f x 在[,]π3π42上的最小值.16. （本小题满分14分）在长方体1111ABCD-A B C D 中，12AA =AD=，E 是棱CD 上的一点． （Ⅰ）求证：1AD ⊥平面11A B D ； （Ⅱ）求证：11B E AD ⊥；（Ⅲ）若E 是棱CD 的中点，在棱1AA 上是否存在点P ，使得DP ∥平面1B AE ？若存在，求出线段AP 的长；若不存在，请说明理由． 17. （本小题满分13分）某中学举行了一次“环保知识竞赛”， 全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：（Ⅰ）写出,,,a b x y 的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动.（ⅰ）求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率； （ⅱ）求所抽取的2名同学来自同一组的概率.组别 分组 频数频率第1组 [50，60） 8 0.16 第2组 [60，70） a ▓ 第3组 [70，80） 20 0.40 第4组 [80，90） ▓ 0.08 第5组[90，100]2 b合计▓▓频率分布表 组距频率 成绩（分）频率分布直方图 0.040x0.008506080709010018. （本小题满分13分）已知函数1()()2ln ()f x a x x a x=--∈R ．（Ⅰ）若2a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.19. （本小题满分14分）已知直线:1()l x my m =+∈R 与椭圆()22:109x y C t t+=>相交于,E F 两点，与x 轴相交于点B ，且当0m =时，83EF =. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点A 的坐标为(3,0)-，直线AE ，AF 与直线3x =分别交于M ，N 两点.试判断以MN 为直径的圆是否经过点B ?并请说明理由.20. （本小题满分13分）将正整数21,2,3,4,,n L （2n ≥）任意排成n 行n 列的数表.对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数,a b （a b >）的比值ab，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.（Ⅰ）当2n =时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值”；（Ⅱ）若ij a 表示某个n 行n 列数表中第i 行第j 列的数（1i n ≤≤，1j n ≤≤），且满足(1),(1),ij i j i n i j a i n i j n i j +--<⎧=⎨+-+-≥⎩， ，请分别写出3,4,5n =时数表的“特征值”，并由此归纳此类数表的“特征值”（不必证明）；（Ⅲ）对于由正整数21,2,3,4,,n L 排成的n 行n 列的任意数表，若某行（或列）中，存在两个数属于集合222{1,2,,}n n n n n -+-+L ，记其“特征值”为λ，求证：1.n n λ+<。

北京市朝阳区2018-2018学年第一学期期末统一考试高三数学（文科）试卷2018.1本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至8页。

共青团50分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题50分）参考公式：三角函数的和差化积公式2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=-2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=-正棱台、圆台的侧面积公式l c c S )'(21+=台侧 其中c’、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长台体的体积公式h S S S S V )''(31++=台体其中S ’、S 分别表示上、下底面面积，h 表示高一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把你认为正确的选项前的字母填在题后的括号内。

（1）设集合}12|{<<-=x x A }0|{<-=a x x B ，若B A ⊂，则a 的取值范围是（ ）（A ）]2,(--∞ （B ）),1[+∞ （C ）]1,(-∞ （D ）),2[+∞- （2）已知二面角βα--l ，直线α⊂a ，β⊂b ，且a 与l 不垂直，b 与l 不垂直，那么（ ）（A ）a 与b 可能垂直，但不可能平行 （B ）a 与b 可能垂直，也可能平行 （C ）a 与b 不可能垂直，但可能平行 （D ）a 与b 不可能垂直，也不可能平行 （3）函数k x A x f ++=)sin()(ϕω在一个周期内的图象如图所示，函数)(x f 解析式为（ ）（A ）1)1221sin(4)(-+=πx x f （B ）1)122sin(2)(+-=πx x f（C ）1)621sin(4)(-+=πx x f （D ）1)62sin(2)(+-=πx x f（4）若椭圆)0(122>>=+b a b y a x ，双曲线)0,0(122>>=-n m ny m x 有相同的焦点1F ，2F ，P 是两曲线的交点，则||||21PF PF ⋅的值是（ ）（A ）m a - （B ）n b - （C ）a-m （D ）b-n （5）如图，O 为直二面角βα--MN 的棱MN 上的一点，射线OE ，OF 分别在βα，内，且∠EON=∠FON=45°，则∠EOF 的大小为（ ）（A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）90° （6）在等差数列}{n a 中， 2≥n ，公差d<0，前n 项和是n S ，则有（ ）（A ）1na S na n n << （B ）n n na S na <<1 （C ）1na S n ≥ （D ）n n na S ≤（7）8种不同的商品，选出5种放入5个不同的柜台中，如果甲、乙两种商品不能放入第5号柜台中，那么不同的放法共有（ ）（A ）3360种 （B ）5180种 （C ）5880种 （D ）2160种 （8）下列四个命题： ①满足zz 1=的复数只有i ±±,1； ②若a ，b 是两个相等的实数，则i b a b a )()(++-是纯虚数； ③复R z ∈的充要条件是z z =；④复平面内x 轴即实轴，y 轴即虚轴。

北京市朝阳区2018-2019学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷（文史类）2019．1（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合，，则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得集合A，再利用集合的并集运算，即可求解.【详解】由题意，集合，，则，故选D.【点睛】本题主要考查了集合的并集的运算，其中解答中正确求解集合A，利用集合的并集运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，即可得到答案.【详解】对于A中，函数为对数函数，不奇函数，不符合题意；对于B中，函数为幂函数，既是奇函数又是单调递增函数，符合题意；对于C中，函数为正弦函数，在其定义域上不是增函数，不符合题意；对于D中，函数，其定义域为不是奇函数，不符合题意，综上可知函数满足题意，故选B.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的判定问题，其中解答中熟记常见函数的奇偶性和单调性是解答本题的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.3.设，则是的( )A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题考查不等式,充分条件,必要条件,充要条件及判定.所以有则则是的充分但不必要条件.故选A4.执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的( )A. 5B. 6C. -8D. -18【答案】C【解析】【分析】根据给定的程序框图，依次计算程序运行时的结果，直到满足条件终止循环，即可得到输出结果.【详解】由题意，模拟程序的运行，可得：执行循环体，，不满足条件，执行循环体，；不满足条件，执行循环体，；不满足条件，执行循环体，；满足条件，终止循环体，输出，故选C.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算输出结果问题，其中解答中按照给定的程序框图，依次计算程序运行的结果是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5.在平面直角坐标系中，过三点的圆被轴截得的弦长为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设圆的方程为,代入，求得圆的方程，令，解得圆M与轴的交点坐标，即可得到答案.【详解】根据题意，设过三点的圆为圆，其方程为,又由，则由，解得，即圆，令，得，解得，即圆M与轴的交点坐标分别为，所以圆M被轴截得的弦长为4，故选C.【点睛】本题主要考查了圆的方程的求解，以及直线与圆的弦长问题，其中解答中利用待定系数法求得圆的方程是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6.已知四边形的顶点A，B，C，D在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】以A为坐标原点，以AC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，分别求出的坐标，由向量的数量积的坐标运算，即可得到答案.【详解】如图所示，以A为坐标原点，以AC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则,所以，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标表示，以及向量的数量积的坐标运算，其中解答中建立适当的直角坐标系，求解向量的坐标，再利用向量的数量积的坐标运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.已知双曲线的一条渐近线方程为，，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，则( )A. 1B. 13C. 17D. 1或13【答案】B【解析】【分析】利用双曲线的渐近线方程，求出，然后利用双曲线的定义转化，即可求解，得到答案.【详解】由题意，双曲线的一条渐近线方程为，可得，解得，又由，又由，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，可得点P在双曲线的左支上，所以，可得，故选B.【点睛】本题主要考查了双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单几何性质的应用，其中解答中根据双曲线的几何性质，确定双曲线的标准方程是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8.从计算器屏幕上显示的数为0开始，小明进行了五步计算，每步都是加1或乘以2.那么不可能是计算结果的最小的数是( )A. 12B. 11C. 10D. 9【答案】B【解析】【分析】由题意，可列出树形图，逐步列举，即可得到答案.【详解】由题意，列出树形图，如图所示由树形图可知，不可能是计算结果的最小数是11，故选B.【点睛】本题主要考查了简单的合情推理，以及树形图的应用，其中解答中认真分析题意，列出树形图，结合树形图求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上.9.设复数满足，则__________．【答案】【解析】【分析】等式两边同时除以1-i，得到z的表示式，分子和分母同乘以分母的共轭复数，化简，得到结果【详解】：∵复数z满足z（1-i）=2i ，∴∴ .【点睛】解答与复数相关概念有关的问题时，通常需要先把所给的复数化为a+bi （a，b∈R）的形式，再根据题意求解。

2018-2019学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．(★)已知集合A={x∈N|1≤x≤3}，B={2，3，4，5}，则A∪B=（）A．{2}B．{2，3}C．{2，3，4，5}D．{1，2，3，4，5}2．(★)下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A．y=lgx B．y=x3C．y=sinx D．3．(★)设a∈R，则a＞1是＜1 的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．(★)执行如图所示的程序框图，若输入的S=12，则输出的S=（）A．-8B．-18C．5D．65．(★)在平面直角坐标系xOy中，过A（4，4），B（4，0），C（0，4）三点的圆被x轴截得的弦长为（）A．2B．C．4D．6．(★★)已知四边形的顶点A，B，C，D在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则=（）A．-18B．-7C．7D．187．(★)已知双曲线的一条渐近线方程为4x+3y=0，F 1，F 2分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF 1|=7，则|PF 2|=（）A．1B．13C．17D．1或138．(★)从计算器屏幕上显示的数为0开始，小明进行了五步计算，每步都是加1或乘以2．那么不可能是计算结果的最小的数是（）A．12B．11C．10D．9二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．(★★)复数z满足（1-i）z=2i，则|z|= ．10．(★★)已知数列{a n}为等比数列，S n为其前n项的和，若a 1a 2a 3=64，a 5=32，则q= ；S 6= ．11．(★)在△ABC中，已知，BC=13．则AB= ．12．(★★)如图，在边长为1的正方形网格中，粗实线表示一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的表面积为．13．(★★)对任意实数x，都有，则实数a的取值范围是．14．(★★★)2018年国际象棋奥林匹克团体赛中国男队、女队同时夺冠．国际象棋中骑士的移动规则是沿着3×2格或2×3格的对角移动．在历史上，欧拉、泰勒、哈密尔顿等数学家研究了“骑士巡游”问题：在8×8=64格的黑白相间的国际象棋棋盘上移动骑士，是否可以让骑士从某方格内出发不重复地走遍棋盘上的每一格？图（一）给出了骑士的一种走法，它从图上标1的方格内出发，依次经过标2，3，4，5，6，…，到达标64的方格内，不重复地走遍棋盘上的每一格，又可从标64的方格内直接走回到标1的方格内．如果骑士的出发点在左下角标50的方格内，按照上述走法，（填“能”或“不能”）走回到标50的方格内．若骑士限制在图（二）中的3×4=12格内按规则移动，存在唯一一种给方格标数字的方式，使得骑士从左上角标1的方格内出发，依次不重复经过2，3，4，5，6，…，到达右下角标12的方格内，分析图（二）中A处所标的数应为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．(★)已知数列{a n}的前n项和是S n，若，S 3=12．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{b n}的前n项和T n．16．(★★)已知函数．（Ⅰ）求f（x）的定义域及最小正周期；（Ⅱ）若f（α）=1，且α∈（-π，π），求α的值．17．(★★)某日A，B，C三个城市18个销售点的小麦价格如表：（Ⅰ）求B市5个销售点小麦价格的中位数；（Ⅱ）甲从B市的销售点中随机挑选一个购买1吨小麦，乙从C市的销售点中随机挑选一个购买1吨小麦，求甲花费的费用比乙高的概率；（Ⅲ）如果一个城市的销售点小麦价格方差越大，则称其价格差异性越大．请你对A、B、C三个城市按照小麦价格差异性从大到小进行排序（只写出结果）．18．(★★)如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是平行四边形，BC 1⊥C 1C，平面A 1C 1CA⊥平面BCC 1B 1，且E，F分别是BC，A 1B 1的中点．（Ⅰ）求证：BC 1⊥A 1C；（Ⅱ）求证：EF∥平面A 1C 1CA；（Ⅲ）在线段AB上是否存在点P，使得BC 1⊥平面EFP？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．19．(★★)过椭圆W：=1的左焦点F 1作直线l 1交椭圆于A，B两点，其中A（0，1），另一条过F 1的直线l 2交椭圆于C，D两点（不与A，B重合），且D点不与点（0，-1）重合．过F 1作x轴的垂线分别交直线AD，BC于E，G．（Ⅰ）求B点坐标和直线l 1的方程；（Ⅱ）求证：|EF 1|=|F 1G|．20．(★★)已知函数f（x）=xe x- （m≥0）．（Ⅰ）当m=0时，求函数f（x）的极小值；（Ⅱ）当m＞0时，讨论f（x）的单调性；（Ⅲ）若函数f（x）在区间（-∞，1）上有且只有一个零点，求m的取值范围．。

朝阳区高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 下列命题正确的是（ ）A ．已知实数,a b ，则“a b >”是“22a b >”的必要不充分条件B ．“存在0x R ∈，使得2010x -<”的否定是“对任意x R ∈，均有210x ->”C ．函数131()()2xf x x =-的零点在区间11(,)32内D ．设,m n 是两条直线，,αβ是空间中两个平面，若,m n αβ⊂⊂，m n ⊥则αβ⊥2． 设F 1，F 2分别是椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，若∠F 1PQ=60°，|PF 1|=|PQ|，则椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．3． 从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．4． 曲线y=x 3﹣2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°5． 已知集合M={1，4，7}，M ∪N=M ，则集合N 不可能是（ ） A ．∅ B ．{1，4} C ．M D ．{2，7}6． 设集合{}|22A x R x =∈-≤≤，{}|10B x x =-≥，则()R A B =ð（ ）A.{}|12x x <≤B.{}|21x x -≤<C. {}|21x x -≤≤D. {}|22x x -≤≤【命题意图】本题主要考查集合的概念与运算，属容易题. 7． 给出下列两个结论：①若命题p ：∃x 0∈R ，x 02+x 0+1＜0，则￢p ：∀x ∈R ，x 2+x+1≥0；②命题“若m ＞0，则方程x 2+x ﹣m=0有实数根”的逆否命题为：“若方程x 2+x ﹣m=0没有实数根，则m ≤0”；则判断正确的是（ ） A ．①对②错B ．①错②对C ．①②都对D ．①②都错8． 圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ） A ． B ．12+ C ．122+ D ．122+ 9． 在等差数列{a n }中，a 1=2，a 3+a 5=8，则a 7=（ ）A．3 B．6 C．7 D．81,2,3的真子集共有（）10．集合{}A．个B．个C．个D．个11．如图是一个多面体的三视图，则其全面积为（）A．B．C．D．12．已知e是自然对数的底数，函数f（x）=e x+x﹣2的零点为a，函数g（x）=lnx+x﹣2的零点为b，则下列不等式中成立的是（）A．a＜1＜b B．a＜b＜1 C．1＜a＜b D．b＜1＜a二、填空题13．球O的球面上有四点S，A，B，C，其中O，A，B，C四点共面，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAB⊥平面ABC，则棱锥S﹣ABC的体积的最大值为．14．将一个半径为3和两个半径为1的球完全装入底面边长为6的正四棱柱容器中，则正四棱柱容器的高的最小值为．15．设实数x，y满足，向量=（2x﹣y，m），=（﹣1，1）．若∥，则实数m的最大值为．16．已知一个动圆与圆C：（x+4）2+y2=100相内切，且过点A（4，0），则动圆圆心的轨迹方程．17．已知函数，则__________；的最小值为__________．18．设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2}，集合B={2，3}，则（∁U A）∪B=．三、解答题19．已知函数y=x+有如下性质：如果常数t ＞0，那么该函数在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数．（1）已知函数f （x ）=x+，x ∈[1，3]，利用上述性质，求函数f （x ）的单调区间和值域；（2）已知函数g （x ）=和函数h （x ）=﹣x ﹣2a ，若对任意x 1∈[0，1]，总存在x 2∈[0，1]，使得h （x 2）=g （x 1）成立，求实数a 的值．20．（本题满分14分）已知函数x a x x f ln )(2-=.（1）若)(x f 在]5,3[上是单调递减函数，求实数a 的取值范围；（2）记x b x a x f x g )1(2ln )2()()(--++=，并设)(,2121x x x x <是函数)(x g 的两个极值点，若27≥b ， 求)()(21x g x g -的最小值.21．已知集合A={x|2≤x ≤6}，集合B={x|x ≥3}． （1）求C R （A ∩B ）；（2）若C={x|x ≤a}，且A ⊆C ，求实数a 的取值范围．22．生产A ，B 两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽100（Ⅱ）生产一件元件A ，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B ，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（Ⅰ）的前提下，（ⅰ）记X 为生产1件元件A 和1件元件B 所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望； （ⅱ）求生产5件元件B 所获得的利润不少于140元的概率．23．已知数列{}n a 的前项和公式为2230n S n n =-.（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求n S 的最小值及对应的值.24．已知函数2(x)1ax f x =+是定义在（-1，1）上的函数, 12()25f =（1）求a 的值并判断函数(x)f 的奇偶性f在（-1，1）上是增函数；（2）用定义法证明函数(x)朝阳区高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案（参考答案）一、选择题1． 【答案】C 【解析】考点：1.不等式性质；2.命题的否定；3.异面垂直；4.零点；5.充要条件．【方法点睛】本题主要考查不等式性质，命题的否定，异面垂直，零点，充要条件.充要条件的判定一般有①定义法:先分清条件和结论（分清哪个是条件,哪个是结论），然后找推导关系（判断,p q q p ⇒⇒的真假），最后下结论（根据推导关系及定义下结论）. ②等价转化法:条件和结论带有否定性词语的命题,常转化为其逆否命题来判断.2． 【答案】 D【解析】解：设|PF 1|=t ， ∵|PF 1|=|PQ|，∠F 1PQ=60°， ∴|PQ|=t ，|F 1Q|=t ，由△F 1PQ 为等边三角形，得|F 1P|=|F 1Q|， 由对称性可知，PQ 垂直于x 轴，F 2为PQ 的中点，|PF 2|=，∴|F 1F 2|=，即2c=，由椭圆定义：|PF 1|+|PF 2|=2a ，即2a=t=t ，∴椭圆的离心率为：e===．故选D ．3．【答案】A【解析】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数的基本事件有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10个，取出的3个数可作为三角形的三边边长，根据两边之和大于第三边求得满足条件的基本事件有（2，3，4），（2，4，5），（3，4，5）共3个，故取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率P=．故选：A．【点评】本题主要考查了古典概型的概率的求法，关键是不重不漏的列举出所有的基本事件．4．【答案】B【解析】解：y/=3x2﹣2，切线的斜率k=3×12﹣2=1．故倾斜角为45°．故选B．【点评】本题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的图象求倾斜角，本题属于容易题．5．【答案】D【解析】解：∵M∪N=M，∴N⊆M，∴集合N不可能是{2，7}，故选：D【点评】本题主要考查集合的关系的判断，比较基础．6．【答案】B【解析】易知{}{}|10|1B x x x x =-≥=≥，所以()R A B =ð{}|21x x -≤<，故选B.7． 【答案】C【解析】解：①命题p 是一个特称命题，它的否定是全称命题，￢p 是全称命题，所以①正确．②根据逆否命题的定义可知②正确． 故选C ．【点评】考查特称命题，全称命题，和逆否命题的概念．8． 【答案】B 【解析】试题分析：化简为标准形式()()11122=-+-y x ，圆上的点到直线的距离的最大值为圆心到直线的距离加半径，22211=--=d ，半径为1，所以距离的最大值是12+，故选B.考点：直线与圆的位置关系 1 9． 【答案】B【解析】解：∵在等差数列{a n }中a 1=2，a 3+a 5=8， ∴2a 4=a 3+a 5=8，解得a 4=4，∴公差d==，∴a 7=a 1+6d=2+4=6 故选：B ．10．【答案】C 【解析】考点：真子集的概念. 11．【答案】C【解析】解：由三视图可知几何体是一个正三棱柱， 底面是一个边长是的等边三角形，侧棱长是，∴三棱柱的面积是3××2=6+，故选C．【点评】本题考查根据三视图求几何体的表面积，考查由三视图确定几何图形，考查三角形面积的求法，本题是一个基础题，运算量比较小．12．【答案】A【解析】解：由f（x）=e x+x﹣2=0得e x=2﹣x，由g（x）=lnx+x﹣2=0得lnx=2﹣x，作出计算y=e x，y=lnx，y=2﹣x的图象如图：∵函数f（x）=e x+x﹣2的零点为a，函数g（x）=lnx+x﹣2的零点为b，∴y=e x与y=2﹣x的交点的横坐标为a，y=lnx与y=2﹣x交点的横坐标为b，由图象知a＜1＜b，故选：A．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用函数转化为两个图象的交点问题，结合数形结合是解决本题的关键．二、填空题13．【答案】．【解析】解：由题意画出几何体的图形如图由于面SAB⊥面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球体的对称性可知，当S在“最高点”，也就是说H为AB中点时，SH最大，棱锥S﹣ABC的体积最大．∵△ABC是边长为2的正三角形，所以球的半径r=OC=CH=．在RT△SHO中，OH=OC=OS∴∠HSO=30°，求得SH=OScos30°=1，∴体积V=Sh=××22×1=．故答案是．【点评】本题考查锥体体积计算，根据几何体的结构特征确定出S位置是关键．考查空间想象能力、计算能力．14．【答案】4+．【解析】解：作出正四棱柱的对角面如图，∵底面边长为6，∴BC=，球O的半径为3，球O1的半径为1，则，在Rt△OMO1中，OO1=4，，∴=，∴正四棱柱容器的高的最小值为4+．故答案为：4+．【点评】本题考查球的体积和表面积，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．15．【答案】6．【解析】解：∵=（2x﹣y，m），=（﹣1，1）．若∥，∴2x﹣y+m=0，即y=2x+m，作出不等式组对应的平面区域如图：平移直线y=2x+m，由图象可知当直线y=2x+m经过点C时，y=2x+m的截距最大，此时z最大．由，解得，代入2x﹣y+m=0得m=6．即m的最大值为6．故答案为：6【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用m的几何意义结合数形结合，即可求出m的最大值．根据向量平行的坐标公式是解决本题的关键．16．【答案】+=1．【解析】解：设动圆圆心为B，半径为r，圆B与圆C的切点为D，∵圆C：（x+4）2+y2=100的圆心为C（﹣4，0），半径R=10，∴由动圆B与圆C相内切，可得|CB|=R﹣r=10﹣|BD|，∵圆B经过点A（4，0），∴|BD|=|BA|，得|CB|=10﹣|BA|，可得|BA|+|BC|=10，∵|AC|=8＜10，∴点B的轨迹是以A、C为焦点的椭圆，设方程为（a＞b＞0），可得2a=10，c=4，∴a=5，b2=a2﹣c2=9，得该椭圆的方程为+=1．故答案为：+=1．17．【答案】【解析】【知识点】分段函数，抽象函数与复合函数【试题解析】当时，当时，故的最小值为故答案为：18．【答案】{2，3，4}．【解析】解：∵全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2}，∴C U A={3，4}，又B={2，3}，∴（C U A）∪B={2，3，4}，故答案为：{2，3，4}三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）由已知可以知道，函数f（x）在x∈[1，2]上单调递减，在x∈[2，3]上单调递增，f（x）min=f（2）=2+2=4，又f（1）=1+4=5，f（3）=3+=；f（1）＞f（3）所以f（x）max=f（1）=5所以f（x）在x∈[1，3]的值域为[4，5]．（2）y=g （x ）==2x+1+﹣8设μ=2x+1，x ∈[0，1]，1≤μ≤3，则y=﹣8，由已知性质得，当1≤u ≤2，即0≤x ≤时，g （x ）单调递减，所以递减区间为[0，]；当2≤u ≤3，即≤x ≤1时，g （x ）单调递增，所以递增区间为[，1]；由g （0）=﹣3，g （）=﹣4，g （1）=﹣，得g （x ）的值域为[﹣4，﹣3]．因为h （x ）=﹣x ﹣2a 为减函数，故h （x ）∈[﹣1﹣2a ，﹣2a]，x ∈[0，1]． 根据题意，g （x ）的值域为h （x ）的值域的子集，从而有，所以a=．20．【答案】【解析】【命题意图】本题综合考查了利用导数研究函数的单调问题，利用导数研究函数的最值，但本题对函数的构造能力及运算能力都有很高的要求，判别式的技巧性运用及换元方法也是本题的一大亮点，本题综合性很强，难度大，但有梯次感.（2）∵x b x x x b x a x a x x g )1(2ln 2)1(2ln )2(ln )(22--+=--++-=，21．【答案】【解析】解：（1）由题意：集合A={x|2≤x≤6}，集合B={x|x≥3}．那么：A∩B={x|6≥x≥3}．∴C R（A∩B）={x|x＜3或x＞6}．（2）C={x|x≤a}，∵A ⊆C ， ∴a ≥6∴故得实数a 的取值范围是[6，+∞）．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．22．【答案】【解析】解：（Ⅰ）元件A 为正品的概率约为．元件B 为正品的概率约为．（Ⅱ）（ⅰ）∵生产1件元件A 和1件元件B 可以分为以下四种情况：两件正品，A 次B 正，A 正B 次，A次B 次．∴随机变量X 的所有取值为90，45，30，﹣15．∵P （X=90）==；P （X=45）==；P （X=30）==；P （X=﹣15）==．∴随机变量X 的分布列为：EX=．（ⅱ）设生产的5件元件B 中正品有n 件，则次品有5﹣n 件．依题意得 50n ﹣10（5﹣n ）≥140，解得．所以 n=4或n=5． 设“生产5件元件B 所获得的利润不少于140元”为事件A ，则P （A ）==．23．【答案】（1）432n a n =-；（2）当7n =或时，n S 最小，且最小值为78112S S =-. 【解析】试题分析：（1）根据数列的项n a 和数列的和n S 之间的关系，即可求解数列{}n a 的通项公式n a ；（2）由（1）中的通项公式，可得1270a a a <<<<，80a =，当9n ≥时，0n a >，即可得出结论．1试题解析：（1）∵2230n S n n =-，∴当1n =时，1128a S ==-.当2n ≥时，221(230)[2(1)30(1)]432n n n a S S n n n n n -=-=-----=-.∴432n a n =-，n N +∈. （2）∵432n a n =-，∴1270a a a <<<，80a =，当9n ≥时，0n a >.∴当7n =或8时，n S 最小，且最小值为78112S S =-. 考点：等差数列的通项公式及其应用．24．【答案】（1）1a =，()f x 为奇函数；（2）详见解析。

<考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题<共40分）和非选择题<共110分）两部分【试卷总体说明】本套试卷的题型分布与2018年北京高考题没有区别，延续了北京的8、6、6分布。

6道大题的考点与以往也没有什么不同，分别涉及了解三角形、立体几何、概率、导数、解读几何、集合新题型。

所以可见，命题人在命题过程中是有考虑的，在试卷整体上，没有过多变化，力求平稳。

b5E2RGbCAP1．命题覆盖面广，琐碎知识考察力度加大。

这套前14道小题，几乎没有高中同一章节的内容，考察内容十分分散。

其实，这是新课标的一个重要特点。

新课标的理科教材与原大纲相比，内容有增无减，增加了算法、三视图、积分、几何概型、平面几何、参数方程极坐标等许多内容，而这些内容一定要体现在高考试卷中。

本套试卷的小题1,2,3,4,5,6，9,10等试卷难度较低，考查学生的基础知识掌握情况.2.中档题注重综合，难题注重新颖。

这次试卷中的8、14题都是综合问题，第8题是线性规划与集合综合、第14题是新概念的题目，考察学生综合运用知识的能力，稍有失误就会失分。

这套试卷的小题有很鲜明的特色，活而不难。

3.解答题构思巧妙，体现知识的综合性，考查学生的素质和能力.这次解答题的命题点与以往是没有变化的，变化的只是具体的题目。

第17题立体几何，考查探索性问题。

15解三角形和向量结合，试卷比单独考查三角函数便增加了难度. 18题的背景较为新颖，需读懂题意，考查基古典概率问题。

第20题，以数列为背景考查学生的综合素质,难度较大。

p1EanqFDPw第一部分<选择题共40分）注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，则等于< ）A．B．C． D．【答案】D【解读】.2.已知平面向量，，且⊥，则实数的值为< ）A．B．C．D．【答案】B【解读】因⊥，可得3.函数的图象大致是< ）【答案】B【解读】当函数的图象是抛物线；当只需把函数的图象在y轴右侧部分向下平移1个单位即可，故图象大致为B.4.设数列是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前项和等于< ）DXDiTa9E3dA．B． C．D．【答案】A【解读】因成等比数列，故5.执行如图所示的程序框图，输出的值为< ）A．B．C．D．【答案】D【解读】程序运行一次：T=1，S=0;运行两次：T=1，S=-1;运行三次：T=0，S=-1; 运行四次：T=-1，S=0，输出S=0，程序结束.6. 函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是< ）A．B．C．D．【答案】C【解读】由条件可知7. 已知函数，设，，，则的大小关系是< ）RTCrpUDGiTA. B. C. D.【答案】B【解读】因为函数在上单调递增，所以8. 已知集合,.若存在实数使得成立,称点为“￡”点，则“￡”点在平面区域内的个数是( > 5PCzVD7HxAA. 0B. 1C. 2D. 无数个jLBHrnAILg【答案】A【解读】要使成立,首先函数的图象与函数的图象必须有公共点，由可得若点在区域C内，则必有代入<1）可得方程无整数解，故满足条件的点不存在，选A.第二部分<非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9. 若变量，满足约束条件则的最大值为.【答案】【解读】画出约束条件所表示的平面区域如图所示：且A(1,1>,在点处取得最大值.10.已知有若干辆汽车通过某一段公路，从中抽取辆汽车进行测速分析，其时速的频率分布直方图如图所示，则时速在区间上的汽车大约有辆.xHAQX74J0X【答案】80【解读】在上的数据的频率为则时速在的汽车大约有辆.11. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是.【答案】【解读】原几何体是一个侧放的三棱柱，底面是边长为2的正三角形，高为3，故该几何体的体积为12. 设直线与圆相交于，两点，且弦的长为，则实数的值是.【答案】【解读】由条件可知圆心为<1,2）到直线的距离为13. 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润<万元）与机器运转时间<年数，）的关系为.则当每台机器运转LDAYtRyKfE年时，年平均利润最大，最大值是万元.【答案】5,8【解读】当每台机器运转年平均利润为当且仅当时，年平均利润最大为8万元.14. 已知两个正数,可按规则扩充为一个新数,在三个数中取两个较大的数,按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作.Zzz6ZB2Ltk<1）若,按上述规则操作三次,扩充所得的数是__________；<2）若，经过6次操作后扩充所得的数为<为正整数），则的值分别为______________.【答案】(1>255 (2>8 13【解读】(1>操作一次得到新数操作两次得到新数操作三次得到的新数为<2）操作一次得到新数操作两次得到新数操作三次得到的新数为同理操作四次得到的新数为操作五次得到的新数为操作六次得到的新数为故的值分别为8 ，13.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.<本题满分13分）在锐角三角形中，，，分别为内角，，所对的边，且满足．<Ⅰ）求角的大小；<Ⅱ）若，，求的值．；二是坐标式.定义式的特点是具有强烈的几何含义，需要明确两个向量的模及夹角，夹角的求解方法灵活多样，一般通过具体的图形可确定，因此采用数形结合思想是利用定义法求数量积的一个重要途径.坐标式的特点具有明显的代数特征，解题时需要引入直角坐标系，明确向量的坐标进行求解.即向量问题“坐标化”，使得问题操作起来容易、方便.第二问利用余弦定理求边和角，然后借助数量积的定义式求解.dvzfvkwMI1解：<Ⅰ）因为，所以， (2)分因为，所以. …………………………………………………3分又为锐角，则. …………………………………………… 5分 <Ⅱ）由<Ⅰ）可知，．因为， 根据余弦定理，得，………………………………………7分整理，得．由已知，则．又，可得，． ……………………………………… 9分 于是， (11)分 所以16. <本题满分14分）如图，在四棱锥中，平面平面．四边形为正方形，且为的中点，为的中点．MSDC AP Q·<Ⅰ）求证：平面；<Ⅱ）求证：平面；<Ⅲ）若，为中点，在棱上是否存在点，使得平面⊥平面，并证明你的结论.【命题分析】本题考查线面平行和垂直的证明、探索性问题等综合问题。

下学期期未未质量检测试高三文科数学第I 卷(共60分)一、选择题;本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的设集合{}{}220,13A x x x B x x =-≥=<<:则A B = （ ）{}.23A x x ≤<{}.12B x x <≤{}.03C x x ≤<{}.02B x x ≤≤2.已知复数Z 满足(34)5i z -=,则复数Z 的虚部为()4.5A 4.5B i 4.5C -4.5D i -3.把函数sin 2y x x =的图象向左平移12π个单位,所得图象的函数表达式是（ ） .2sin(2)4A x π-5.2sin(2)12B y x π=-.2sin(2)6C y x π=-.2sin(2)2D y x π=-4抛物线22y x =-的焦点坐标为( )1.(,0)2A -1.(,0)8B -1.(0,)2C -1.(0,)8D -5.执行如图所示的程序框图输出的n 为().1A .2B .3C .4D6,在平行四边形ABCD 中,已知AB=2,AD=1,∠BAD=60°,E 为CD 的中点,则AE BD ⋅=（ ）1.2A -1.2B 3.2C -3.2D 7.在如图所示的勾股圆方图”中,四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边 长为2的大正方形,直角三角形中较小的锐角为6π现在向该大正方形区域内随机地投掷 一枚飞镖,则飞镖落在小正方形内的概率是()A. 1-B .1C-D 8.已知实数x 、y 满足31000x y x y x -+≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，则22x y +的最小值是()A 9.2B 1.3C 1.9D 9.一个几何体的三视图如图2所示其表面积为6π,则该几何体的体积为().4A π.2B π11.3C π.3D π 10.△ABC 中,∠B=45°°,D 是BC 边上一点,AD=5,AC=7,DC=3,则AB 的长为()A B C D 11.在各项均为正数的等比数列{}n a 中,若22a =,则132a a +的最小值是().7A .8B .4C D 12.对于定义在D 上的函数()y f x =,若同时满足:①存在区间[,]a b D ⊆,使得1[,]x a b ∀∈,都有1()f x c = (c 是常数);②对于D 内2[,]x a b ∀∉时,总有2()f x c >.则称函数()y f x =是“平底型”函数若函数()[ 2.)F x mx x =+∈-+∞是“平底型”函数,则mn =( ).1A .2B .3C .4D第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上13.双曲线222(0)x y m m -=≠的渐近线方程为________________。

北京市朝阳区2018学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（文史类） 1 （考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 设i 为虚数单位，则复数1i z =-的模z = A.C.2D.2. 已知全集U =R，若集合{}2A xx x =-<，则UA =ðA. {0x x ≤，或}1x ≥ B. {0x x <，或}1x > C. }{01x x <<D.{}1xx ≥3.一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A.1B.2C.3D.4正视图侧视图俯视图4.执行如右图所示的程序框图,则输出的i的值是A.3B.4C.5D.65.若,a b是两个非零的平面向量，则“a=b”是“()()=0⋅a+b a b-”的A. 充分且不必要条件B. 必要且不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 如图，塔A B底部为点B，若,C D两点相距为100m并且与点B在同一水平线上，现从,C D两点测得塔顶A的仰角分别为45o和30o，则塔A B的高约为（精确到0.1m1.73≈1.41≈）A. 36.5B. 115.6C. 120.5D. 136.57.已知定义在R 上的函数(1)1,()221,x x x x f x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩若直线y a =与函数()f x 的图象恰有两个公共点，则实数a 的取值范围是A. ()0,2B.[)0,2C.(]0,2D. []1,28. 如图，在正方体中1111A B C D A B CD -，M 为B C 的中点，点N 在四边形11C D D C 及其内部运动．若11M N A C ⊥，则N 点的轨迹为A. 线段B. 圆的一部分C. 椭圆的一部分D.双曲线的一部分A BCDA 1B 1C 1D 1M N .第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上． 9. 双曲线22:14xC y-=的离心率是 ；渐近线方程是 ．10.为了解某厂职工家庭人均月收入情况,调查了该厂80户居民月收入,列出频率分布表 如下:则这80户居民中, 家庭人均月收入在[)2800,3400元之间的有 户（用数字作答）；假设家庭人均月收入在第一组和第二组的为中低收入家庭,现从该厂全体职工家庭中随机抽取一个家庭,估计该家庭为中低收入家庭的概率是 .11. 已知圆C 的圆心位于第二象限且在直线21y x =+上，若圆C与两个坐标轴都相切，则圆C 的标准方程是 ______.12. 某单位有职工共60人，为了开展社团活动，对全体职工进行问卷调查，其中喜欢体育运动的共28人，喜欢文艺活动的共26人，还有12人对体育运动和文艺活动都不喜欢， 则喜欢体育运动但不喜欢文艺活动的人共有 人.13. 在平面直角坐标系中，若关于,x y 的不等式组0,,(1)y y x y k x ≥⎧⎪≤⎨⎪≤-⎩表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是______.14. 设2212()c o s (1)s in c o s 3s inf x ax a x x x=+-+（2212aa +≠），若无论x 为何值，函数()f x 的图象总是一条直线，则12a a +的值是______.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分）某幼儿园有教师30人，对他们进行年龄状况和受教育程度的调查，其结果如下：（Ⅰ）从该幼儿园教师中随机抽取一人，求具有研究生学历的概率；（Ⅱ）从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，求有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生的概率. 16. （本小题满分13分）已知平面向量a =(sin ,co s )x x ，b =(sin ,co s )x x -，c =(co s ,sin )x x --，x ∈R，函数()()f x =⋅-a b c .（Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若22f α⎛⎫=⎪⎝⎭，求sin α的值.17. （本小题满分14分）如图，在四棱锥P A B C D -中，底面A B C D 是正方形，P D ⊥平面A B C D ．点E 是线段B D 的中点，点F 是线段P D 上的动点． （Ⅰ）若F 是P D 的中点，求证：E F //平面P B C ； （Ⅱ）求证： C EB F⊥；（Ⅲ）若2A B =，3P D =，当三棱锥P B C F -的体积等于43时，试判断点F 在边P D 上的位置，并说明理由.18.（本小题满分13分）已知公比为q 的等比数列{}na()n *∈N 中，22a=，前三项的和为7.（Ⅰ）求数列{}na 的通项公式；（Ⅱ）若01q <<，设数列{}nb 满足12...nnba a a=⋅⋅⋅，n *∈N ,求使01nb <<的n 的DAPCEFB最小值.19. （本小题满分13分）已知函数()e lnxf x a x=-，a∈R.（I）若1x=是()f x的极值点，求a的值：（Ⅱ）当ea=时，求证：()ef x≥.20. （本小题满分14分）已知离心率为2的椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>与直线2x=相交于,P Q两点（点P在x轴上方），且2P Q=．点,A B是椭圆上位于直线P Q两侧的两个动点，且A P Q B P Q∠=∠．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求四边形A P B Q面积的取值范围．北京市朝阳区2018-2018学年度高三年级第一学期期末统一考试数学答案（文史类） 1一、选择题：（满分40分）二、填空题：（满分30分）（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答题：（满分80分）15. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）设：“从该幼儿园教师中随机抽取一人，具有研究生学历”为事件A ，由题可知幼儿园总共有教师30人，其中“具有研究生学历”的共6人. 则61()==305P A .答：从该幼儿园教师中随机抽取一人，具有研究生学历的概率为15. ………4分（Ⅱ）设幼儿园中35岁以下具有研究生学历的教师为A 1，A 2，35～50岁(含35岁和50岁)具有研究生学历的教师为B 1，B 2，B 3， 50岁以上具有研究生学历的教师为C ，从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，所有可能结果有15个，它们是：（A 1，A 2），（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 1，B 3），（A 1，C ），（A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 2，B 3），（A 2，C ），（B 1，B 2），（B 1，B 3），（B 1，C ），（B 2，B 3），（B 2，C ），（B 3，C ），记“从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生”为事件D ，则D 中的结果共有12个，它们是：（A 1，A 2），（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 1，B 3），（A 1，C ），（A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 2，B 3），（A 2，C），（B 1，C ），（B 2，C ），（B 3，C ），故所求概率为124()==155P D ．答：从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生的概率为45. ………………13分16.（本小题满分13分） （Ⅰ）因为a =(sin ,co s )x x ，b =(sin ,co s )x x -，c =(co s ,sin )x x --，所以()()sin co s ,sin co s x x x x -=+-b c ，()()f x =⋅-a b c =sin (sin co s )co s (sin co s )x x x x x x ++-.则()f x =22sin2sin co s co s x x x x+-=sin 2co s 2x x-in (2)4x π=-.则当222242k x k ππ3ππ+≤-≤π+时，即88k x k 3π7ππ+≤≤π+时，函数()f x 为减函数，k ∈Z .所以函数()f x 的单调递减区间是,88k k 3π7π⎡⎤π+π+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . ………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()in (2)4f x x π=-，又22f α⎛⎫=⎪⎝⎭，in ()42απ-=1s in ()42απ-=.因为 22sin()c o s ()144ααππ-+-=，所以c o s ()42απ-=±.s in s in ()44ααππ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦ππππsin ()c o s c o s()sin4444αα=-+-.所以当c o s ()42απ-=时，sin α=122224⨯+⨯=；当c o s ()42απ-=-sin α=1(22224⨯+-⨯=………………13分 17. （本小题满分14分） （Ⅰ）证明：在P D B ∆中，因为点E 是B D 中点，点F是P D 中点， 所以E F //P B ．又因为E F ⊄平面P B C ，P B ⊂平面P B C ， 所以E F //平面P B C ．…………4分（Ⅱ）证明： 因为P D ⊥平面A B C D ， 且C E ⊂平面A B C D ， 所以P D C E ⊥．又因为底面A B C D 是正方形，且点E 是B D 的中点， 所以C E B D⊥．因为B DP D D=，所以C E ⊥平面P B D ，而B F ⊂平面P B D ，所以C E B F⊥． …………9分（Ⅲ）点F 为边P D 上靠近D 点的三等分点． 说明如下：由（Ⅱ）可知， C E ⊥平面P B F ．又因为P D ⊥平面A B C D ，B D ⊂平面A B C D ，所以P D B D ⊥. 设P F x=． 由2A B =得B D=，C E=所以11123263P B C FC B P F VV P F B D C E x--==⨯⨯⋅⋅=⨯=．DAPCEFB由已知2433x =， 所以2x =．因为3P D =，所以点F为边P D上靠近D点的三等分点．…………14分18. （本小题满分13分） （Ⅰ）由已知得，212327a a a a =⎧⎨++=⎩，解得2q =，11a=或12q =，14a=．则数列{}n a 的通项公式为12n n a -=或31()2n n a -=，n *∈N……………5分（Ⅱ）因为01q <<，所以31()2n na -=，n *∈N .(5)210 (3)21211...()()22n n n nnba a a---+++-=⋅⋅⋅==，n *∈N .由01nb <<，即(5)210()12n n -<<，即(5)02n n ->，即即5n >.则使01n b <<的最小的n的值为6． …………………13分19. （本小题满分13分） （I ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞. 因为()exa f x x'=-,又1x =是()f x 的极值点,所以(1)e 0f a '=-=，解得e a =. 经检验，1x =是()f x 的极值点，所以a 的值为e . ………5分 （Ⅱ）证明：方法1： 当e a =时，()e e ln xf x x=-.所以e e e ()exxx f x xx-'=-=.若01x <<，则1<eex<，所以eexx <，所以ee<0xx -.所以函数()f x 在(0,1)单调递减. 若1x >，则e>ex，所以e>exx ，所以ee>0xx -.所以函数()f x 在(1,)+∞单调递增. 所以当1x =时，m in()(1)ef x f ==.(0x →时， ee ln xx -→+∞;x →+∞时， ee ln xx -→+∞.)所以()e f x ≥. ………13分 方法2： 当e a =时，()e e ln xf x x=-，所以e e e ()e xxx f x xx-'=-=.设()e exg x x =-，则()e(1)xg x x '=+，所以()g x 在(0,)+∞单调递增.又(1)0g =，所以当(0,1)x ∈时，()0g x <，即()0f x '<，所以()f x 在(0,1)单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0g x >，即()0f x '>，所以()f x 在(1,)+∞单调递增. （接下来表述同解法1相应内容） 所以()e f x ≥. ………13分 20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得2e =，则12b a=，设椭圆方程为22221(0)4xy b bb+=>由题意可知点(2,1)P 在椭圆上， 所以224114bb+=．解得22b=．故椭圆C 的标准方程为22182xy+=． ………4分（Ⅱ）由题意可知，直线P A ，直线P B 的斜率都存在且不等于0．因为A P QB P Q∠=∠，所以P AP Bkk =-．设直线P A 的斜率为k ，则直线:1(2)P A y k x -=-（0k ≠）． 由2248(12),x y y k x k ⎧+=⎨=+-⎩得222(14)8(12)161640kx k k x kk ++-+--=……(1).依题意，方程（1）有两个不相等的实数根，即根的判别式0∆>成立. 即()222264(12)4(14)161640kk k kk ∆=--+-->,化简得216(21)k +>，解得12k≠-.因为2是方程（1）的一个解，所以2216164214Akk x k--⋅=+．所以2288214Akk xk--=+．当方程（1）根的判别式0∆=时，12k =-，此时直线P A 与椭圆相切.由题意，可知直线P B 的方程为1(2)y k x -=--． 同理，易得22228()8()288214()14Bk k kk x k k----+-==+-+．由于点,A B是椭圆上位于直线P Q 两侧的两个动点，A P QB P Q∠=∠，且能存在四边形A P B Q ，则直线P A 的斜率k 需满足12k >.设四边形A P B Q 面积为S ，则 112222A P QB P Q A B SS S P Q x P Q x ∆∆=+=⋅-+⋅-2222188288221414B A kk kk P Q x x k k--+-=⋅-=-++21614k k=+由于12k>，故216161144k S kkk==++.当12k>时，144k k+>，即110144kk <<+，即04S <<.(此处另解：设t k=，讨论函数1()4f t t t=+在1,2t ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时的取值范围.222141()4t f t tt-'=-=，则当12t >时，()0f t '>，()f t 单调递增.则当12t >时，()(4,)f t ∈+∞，即S ∈()0,4.)所以四边形A PB Q面积S的取值范围是()0,4. (14)分。