11.5 三重积分(2)

三重积分计算三重积分是多重积分的一种，用于计算三维空间中的体积、质心、重心、转动惯量等问题。

在高等数学中，三重积分也是非常重要的一部分，本文将详细介绍三重积分的概念、性质、计算方法以及一些应用。

一、三重积分的概念三重积分是对具有三个变量的函数在三维空间中一些区域的积分。

设f(x,y,z)是定义在区域Ω上的函数，其中Ω是三维空间中的一个封闭区域。

则三重积分的定义为：∭Ωf(x,y,z)dV其中，dV 表示一小块Ω中的体积元素，dV = dx dy dz。

可以看出，三重积分实际上是对Ω中个点对应的函数值与体积元素的乘积进行求和。

三重积分对应的结果是一个数值。

二、三重积分的性质1.线性性质：设f(x,y,z)和g(x,y,z)是定义在区域Ω上的函数，a和b是常数，则有：∭Ω (af(x, y, z) + bg(x, y, z)) dV = a∭Ω f(x, y, z) dV +b∭Ω g(x, y, z) dV2.保号性质：如果在Ω上有f(x,y,z)≥0，则有：∭Ωf(x,y,z)dV≥03.次序可交换性：如果函数f(x,y,z)在区域Ω上连续，那么对于Ω中的任意小闭区域D，有：∬D f(x, y, z) dx dy = ∬D f(x, y, z) dy dx这说明在计算三重积分时，可以先对其中两个变量积分，再对剩余的变量积分。

三、三重积分的计算方法计算三重积分的方法有很多种，下面介绍常用的两种方法：直角坐标系下的直接计算和柱面坐标系的变量代换法。

1.直角坐标系下的直接计算：假设要计算Ω上的三重积分∭Ωf(x,y,z)dV，Ω的边界可以分解为有限个可求面积的曲面。

先取一个边界曲面上的点P，以该点为上顶点的立体体积为ΔV，然后作适当的划分，将ΔV划分为若干个小的体积ΔV_i。

然后取这些小体积ΔV_i中其中一点(x_i,y_i,z_i)，并计算f(x_i,y_i,z_i)与ΔV_i的乘积f(x_i,y_i,z_i)ΔV_i。

三重积分的计算方法三重积分是多元函数积分的一种，它是对三维空间内的函数进行积分运算。

在物理学、工程学和数学等领域都有着广泛的应用。

在进行三重积分的计算时，我们需要掌握一定的方法和技巧，下面将介绍三重积分的计算方法。

首先，我们来看看三重积分的计算公式。

对于函数f(x, y, z)，其在空间区域V 上的三重积分可以表示为：∭f(x, y, z)dV。

其中，∭表示三重积分的符号，f(x, y, z)是被积函数，dV表示体积元素。

在直角坐标系中，体积元素dV可表示为dxdydz，因此三重积分可以表示为：∭f(x, y, z)dxdydz。

接下来，我们将介绍三种常见的计算方法，直角坐标系下的三重积分、柱坐标系下的三重积分和球坐标系下的三重积分。

在直角坐标系下的三重积分中，我们需要将被积函数表示为x、y、z的函数，然后按照一定的积分次序进行计算。

通常情况下，我们会先对z进行积分，再对y 进行积分，最后对x进行积分。

这样可以将三重积分转化为三次一重积分的计算，简化计算过程。

在柱坐标系下的三重积分中，我们需要将被积函数表示为ρ、θ、z的函数，其中ρ表示点到z轴的距离，θ表示点在xy平面上的极角。

通过变量替换和雅可比行列式的计算，我们可以将直角坐标系下的三重积分转化为柱坐标系下的三重积分，从而简化计算。

在球坐标系下的三重积分中，我们需要将被积函数表示为r、θ、φ的函数，其中r表示点到原点的距离，θ表示点在xy平面上的极角，φ表示点与z轴的夹角。

通过变量替换和雅可比行列式的计算，我们可以将直角坐标系下的三重积分转化为球坐标系下的三重积分，从而简化计算。

除了上述的常见计算方法外，我们在进行三重积分的计算时，还需要注意积分区域的确定、被积函数的合理选择、积分次序的调整等问题。

在实际应用中，我们还可以利用对称性、奇偶性等性质简化计算过程。

总之，三重积分是多元函数积分的一种重要形式，它在实际问题中有着广泛的应用。

掌握三重积分的计算方法，对于深入理解多元函数的性质和解决实际问题具有重要意义。

三重积分的计算方法三重积分是多元函数积分的一种形式，它在数学和物理学中都有着广泛的应用。

在实际问题中，我们经常需要计算三维空间中某个区域内的函数取值总和，而三重积分就是用来描述这种情况的工具。

在本文中，我们将介绍三重积分的计算方法，包括直角坐标系下的三重积分和柱坐标系、球坐标系下的三重积分计算方法。

首先，我们来看直角坐标系下的三重积分计算方法。

设函数为f(x, y, z)，积分区域为V，那么三重积分的计算公式为：∫∫∫V f(x, y, z) dV。

其中，dV表示微元体积。

在直角坐标系下，微元体积可以表示为dV = dx dy dz，因此三重积分可以表示为：∫∫∫V f(x, y, z) dx dy dz。

这样，我们就可以按照一定的积分顺序，依次对x、y、z进行积分，从而计算出三重积分的值。

在实际计算中，我们需要根据具体的问题选择合适的积分顺序，以简化计算过程。

接下来，我们来看柱坐标系下的三重积分计算方法。

在柱坐标系下，积分区域V可以用柱坐标表示，即V={(ρ, φ, z) | (ρ, φ, z) ∈ D, α ≤ ρ ≤ β, α1 ≤ φ ≤ β1, γ1 ≤ z ≤γ2}。

这时，三重积分的计算公式变为：∫∫∫V f(ρ, φ, z) ρ dρ dφ dz。

在柱坐标系下，微元体积可以表示为dV = ρ dρ dφ dz，因此三重积分可以表示为：∫∫∫V f(ρ, φ, z) ρ dρ dφ dz。

通过将函数用柱坐标表示，并按照一定的积分顺序，依次对ρ、φ、z进行积分，我们也可以计算出三重积分的值。

最后，我们来看球坐标系下的三重积分计算方法。

在球坐标系下，积分区域V可以用球坐标表示，即V={(r, θ, φ) | (r, θ, φ) ∈ D, α ≤ r ≤ β, α1 ≤ θ ≤ β1, α2 ≤ φ ≤β2}。

这时，三重积分的计算公式变为：∫∫∫V f(r, θ, φ) r^2 sinφ dr dθ dφ。

三重积分的计算公式三重积分是数学分析中的一个重要概念，在许多领域都有着广泛的应用。

要理解三重积分的计算公式，咱们得先从它的定义和基本思想说起。

想象一下，咱们有一个三维空间中的立体区域，就像一个形状不规则的大果冻。

现在咱们要计算这个“果冻”的某种属性，比如说质量。

如果这个“果冻”的密度在每一点都不一样，那该怎么算它的总质量呢？这时候三重积分就派上用场啦。

三重积分的计算公式可以表示为：∭Ω f(x,y,z)dV ，其中Ω表示积分区域，f(x,y,z) 是被积函数，dV 表示体积元素。

那这个体积元素 dV 是啥呢？其实就是 dx dy dz 。

简单来说，就是把这个立体区域划分成无数个非常小的小立方体，每个小立方体的体积就是 dV 。

比如说，有一个简单的例子。

假设我们有一个长方体形状的区域，它的长、宽、高分别是 a、b、c 。

被积函数 f(x,y,z) = 1 ，也就是这个区域的密度处处都是 1 。

那计算这个区域的体积，其实就是对 1 进行三重积分。

先对 z 积分，积分限是从 0 到 c ；再对 y 积分，积分限是从 0 到 b ；最后对 x 积分，积分限是从 0 到 a 。

计算过程就是：∫（从 0 到 a）dx ∫（从 0 到 b）dy ∫（从 0 到 c）dz 。

一步步算下来，最终的结果就是 abc ，这正好就是长方体的体积。

但实际问题中，积分区域可没这么简单，可能是个球体、锥体，或者是更复杂的形状。

这时候就需要根据具体的情况来确定积分限。

我记得之前给学生讲这部分内容的时候，有个学生怎么都理解不了积分限的确定。

我就拿了一个魔方当作例子，把魔方的每一小块看作一个小立方体，然后根据魔方的形状和位置，给他解释怎么确定积分的范围。

最后他终于恍然大悟，那种成就感真是让人开心。

再来说说三重积分的计算方法，常见的有直角坐标法、柱坐标法和球坐标法。

直角坐标法就是咱们上面说的那种，直接按照 x、y、z 的顺序来积分。

三重积分的定义和计算方法在多元微积分中，三重积分被用来计算三维空间中复杂曲面或体积的性质。

本文将介绍三重积分的定义和计算方法，以帮助读者更好地理解和应用这个概念。

一、定义三重积分是对一个三维空间区域内的函数进行积分。

类似于二重积分用来计算二维平面区域内的函数性质，三重积分将函数在三维空间内的性质展现出来。

它可以用于计算体积、质心、质量等相关问题。

二、直角坐标系下的三重积分计算在直角坐标系下，三重积分的计算可以通过以下步骤进行：1. 建立坐标系：确定一个适当的坐标系，常见的是笛卡尔坐标系(x, y, z)。

2. 划定积分区域：确定要求解的函数所在的空间区域，通常使用不等式或图形的方程来描述。

3. 分割积分区域：将积分区域划分为许多小立方体或长方体。

4. 选择积分方式：根据问题的要求选择适当的积分方式，常见的有直角坐标系下的直角坐标形式、柱坐标形式和球坐标形式。

5. 计算积分：根据所选择的积分方式，将函数进行变量替换并进行积分计算。

三、柱坐标系和球坐标系下的三重积分计算柱坐标系和球坐标系是常用的坐标系，它们在计算具有对称性的问题时非常有用。

1. 柱坐标系下的三重积分计算：柱坐标系中，用(r, θ, z)表示点的坐标。

三重积分的计算在柱坐标系下往往更加便捷，特别适用于具有圆柱对称性的问题。

2. 球坐标系下的三重积分计算：球坐标系中，用(ρ, φ, θ)表示点的坐标。

球坐标系下的三重积分计算常常用于具有球对称性的问题。

四、应用举例三重积分在物理学、工程学和计算机图形学等领域有着广泛的应用。

以下是一些常见的应用举例：1. 计算体积：通过三重积分可以计算具有复杂形状的立体体积。

2. 计算质心：对于有一定密度分布的物体，可以使用三重积分来计算其质心坐标。

3. 计算质量：类似地，通过三重积分可以计算具有复杂密度分布的物体的总质量。

4. 计算电荷分布：在电磁学中，可以利用三重积分来计算复杂电荷分布下的电势。

五、总结本文介绍了三重积分的定义和计算方法，包括在直角坐标系、柱坐标系和球坐标系下的计算。

05第五节三重积分(二)第五节三重积分(二)分布图示★利用柱面坐标计算三重积分★例1 ★例2★例3★利用球面坐标计算三重积分★例4 ★例5★例6★空间立体的质心与转动惯量★例7 ★例8★例9★空间立体对质点的引力★例10★内容小结★课堂练习★习题10—5 ★返回内容要点一、利用柱面坐标计算三重积分点«Skip Record If...»的直角坐标«Skip Record If...»与柱面坐标«Skip Record If...»之间的关系为«Skip Record If...» «Skip Record If...» «Skip Record If...» (5.1)柱面坐标系中的三族坐标面分别为«Skip Record If...»常数：一族以«Skip Record If...»轴为中心轴的圆柱面；«Skip Record If...»常数：一族过«Skip Record If...»轴的半平面；«Skip Record If...»常数：一族与«Skip Record If...»面平行的平面.柱面坐标系中的体积微元: «Skip Record If...»，为了把上式右端的三重积分化为累次积分，平行于«Skip Record If...»轴的直线与区域«Skip Record If...»的边界最多只有两个交点. 设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»面上的投影为«Skip Record If...»，区域«Skip Record If...»用«Skip Record If...»，«Skip Record If...»表示. 区域«Skip Record If...»关于«Skip Record If...»面的投影柱面将«Skip Record If...»的边界曲面分为上、下两部分，设上曲面方程为«Skip Record If...»，下曲面方程为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，于是«Skip Record If...»二、利用球面坐标计算三重积分点«Skip Record If...»的直角坐标«Skip Record If...»与柱面坐标«Skip Record If...»之间的关系为«Skip Record If...» (5.3)球面坐标系中的三族坐标面分别为«Skip Record If...»常数：一族以原点为球心的球面；«Skip Record If...»常数：一族以原点为顶点，«Skip Record If...»轴为对称轴的圆锥面；«Skip Record If...»常数：一族过«Skip Record If...»轴的半平面.球面坐标系中的体积微元: «Skip Record If...»，三、三重积分的应用空间立体的重心«Skip Record If...», «Skip Record If...»«Skip Record If...».其中，«Skip Record If...»为该物体的质量.空间立体的转动惯量«Skip Record If...»«Skip Record If...» «Skip Record If...».空间立体对质点的引力«Skip Record If...»«Skip Record If...».例题选讲利用柱面坐标计算三重积分例1 (E01) 立体«Skip Record If...»是圆柱面«Skip Record If...»内部, 平面«Skip Record If...»下方, 抛物面«Skip Record If...»上方部分, 其上任一点的密度与它到z轴之距离成正比(比例系数为K), 求«Skip Record If...»的质量m.解据题意，密度函数为«Skip Record If...»所以 «Skip Record If...»利用柱坐标，先对«Skip Record If...»积分，«Skip Record If...»在«Skip Record If...»平面上投影域«Skip Record If...»为«Skip Record If...»故 «Skip Record If...»«Skip Record If...»例2 (E02) 计算«Skip Record If...»其中«Skip Record If...»是由球面«Skip Record If...»与抛物面«Skip Record If...»所围成(在抛物面内的那一部分)的立体区域.解利用柱面坐标，题设两曲面方程分别为«Skip Record If...»«Skip Record If...»从中解得两曲面的交线为«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»在«Skip Record If...»面上的投影区域为«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»对投影区域«Skip Record If...»内任一点«Skip Record If...»有«Skip Record If...»所以«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例3 计算«Skip Record If...»其中«Skip Record If...»是曲线«Skip Record If...»绕«Skip Record If...»轴旋转一周而成的曲面与平面«Skip Record If...»所围的立体.解由曲线«Skip Record If...»«Skip Record If...»绕«Skip Record If...»轴旋转所得曲面方程为«Skip Record If...»旋转抛物面设«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»利用球面坐标计算三重积分例4 (E03) 计算«Skip Record If...»其中«Skip Record If...»是锥面«Skip Record If...»与平面«Skip Record If...»所围的立体.解在球面坐标系中«Skip Record If...» «Skip Record If...»«Skip Record If...»故积分区域«Skip Record If...»可表为«Skip Record If...»所以 «Skip Record If...»«Skip Record If...»注: 本题也可采用柱面坐标来计算.此时，锥面« «SkipRecord If...»积分区域«Skip Record If...»同样得到«Skip Record If...»例5 (E04) 计算球体«Skip Record If...»在锥面«Skip Record If...»上方部分«Skip Record If...»的体积（图9-5-8）.解在球面坐标系中,«Skip Record If...»« «Skip RecordIf...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»故所求体积«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例6 计算«Skip Record If...», 其中«Skip Record If...»是由抛物面«Skip Record If...»和球面«Skip Record If...»所围成的空间闭区域.解«Skip Record If...»注意到«Skip Record If...»关于«Skip Record If...»和«Skip Record If...»面对称，有«Skip Record If...»且«Skip Record If...»«Skip Record If...»在«Skip Record If...»面上的投影区域圆域«Skip Record If...»对«Skip Record If...»内任一点，有«Skip Record If...»所以«Skip Record If...»«Skip Record If...»三重积分的应用例7 (E05) 已知均匀半球体的半径为a, 在该半球体的底圆的一旁, 拼接一个半径与球的半径相等, 材料相同的均匀圆柱体, 使圆柱体的底圆与半球的底圆相重合, 为了使拼接后的整个立体重心恰是球心, 问圆柱的高应为多少?解如图(见系统演示)，设所求的圆柱体的高度为«Skip Record If...»使圆柱体与半球的底圆在«Skip Record If...»平面上.圆柱体的中心轴为«Skip Record If...»轴，设整个立体为«Skip Record If...»其体积为«Skip Record If...»重心坐标为«Skip Record If...»由题意应有«Skip Record If...»于是«Skip Record If...»设圆柱体与半球分别为«Skip Record If...»分别用柱面坐标与球面坐标计算，得«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»得«Skip Record If...»就是所求圆柱的高.例8 求密度为«Skip Record If...»的均匀球体对于过球心的一条轴«Skip Record If...»的转动惯量.解取球心为坐标原点，球的半径为«Skip Record If...»轴与轴«Skip Record If...»重合，则球体所占空间闭区域«Skip Record If...»所求转动惯量即球体对于«Skip Record If...»轴的转动惯量为«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»其中«Skip Record If...»为球体的质量.例9 (E06) 求高为h, 半顶角为«Skip Record If...»密度为«Skip Record If...»(常数)的正圆锥体绕对称轴旋转的转动惯量.解取对称轴为«Skip Record If...»轴，取顶点为原点，建立如图坐标系，则«Skip Record If...»利用截面法，由«Skip Record If...»«Skip Record If...»得到«Skip Record If...»«Skip Record If...»例10 (E07) 设半径为«Skip Record If...»的匀质球(其密度为常数«Skip Record If...»)占有空间区域«Skip Record If...»求它对位于«Skip Record If...»«Skip Record If...»处的单位质量的质点的引力.解设球的密度为«Skip Record If...»由球体的对称性及质量分布的均匀性知«Skip Record If...»所求引力沿«Skip Record If...»轴的分量为«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»其中«Skip Record If...»为球的质量.注: 本题表明，匀质球对球外一质点的引力如同球的质量集中于球心时两质点间的引力.课堂练习1.计算由曲面«Skip Record If...»所围立体的体积.2．求均匀半球体的重心.。