第2讲三重积分及其计算
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三重积分计算
三重积分计算三重积分是多重积分的一种，用于计算三维空间中的体积、质心、重心、转动惯量等问题。
在高等数学中，三重积分也是非常重要的一部分，本文将详细介绍三重积分的概念、性质、计算方法以及一些应用。
一、三重积分的概念三重积分是对具有三个变量的函数在三维空间中一些区域的积分。
设f(x,y,z)是定义在区域Ω上的函数，其中Ω是三维空间中的一个封闭区域。
则三重积分的定义为：∭Ωf(x,y,z)dV其中，dV 表示一小块Ω中的体积元素，dV = dx dy dz。
可以看出，三重积分实际上是对Ω中个点对应的函数值与体积元素的乘积进行求和。
三重积分对应的结果是一个数值。
二、三重积分的性质1.线性性质：设f(x,y,z)和g(x,y,z)是定义在区域Ω上的函数，a和b是常数，则有：∭Ω (af(x, y, z) + bg(x, y, z)) dV = a∭Ω f(x, y, z) dV +b∭Ω g(x, y, z) dV2.保号性质：如果在Ω上有f(x,y,z)≥0，则有：∭Ωf(x,y,z)dV≥03.次序可交换性：如果函数f(x,y,z)在区域Ω上连续，那么对于Ω中的任意小闭区域D，有：∬D f(x, y, z) dx dy = ∬D f(x, y, z) dy dx这说明在计算三重积分时，可以先对其中两个变量积分，再对剩余的变量积分。
三、三重积分的计算方法计算三重积分的方法有很多种，下面介绍常用的两种方法：直角坐标系下的直接计算和柱面坐标系的变量代换法。
1.直角坐标系下的直接计算：假设要计算Ω上的三重积分∭Ωf(x,y,z)dV，Ω的边界可以分解为有限个可求面积的曲面。
先取一个边界曲面上的点P，以该点为上顶点的立体体积为ΔV，然后作适当的划分，将ΔV划分为若干个小的体积ΔV_i。
然后取这些小体积ΔV_i中其中一点(x_i,y_i,z_i)，并计算f(x_i,y_i,z_i)与ΔV_i的乘积f(x_i,y_i,z_i)ΔV_i。
三重积分的概念和计算方法
三重积分的概念和计算方法三重积分是数学中的一个重要概念，是在三维空间中求解某个空间区域内函数值的方法。
本文将介绍三重积分的基本概念以及常见的计算方法。
1. 三重积分的概念三重积分是对三维空间内的函数进行积分运算，用于描述空间区域内某个物理量的总量。
在三维空间中，我们将积分区域分成无限个微小的体积元，通过将这些微小体积元叠加起来，就可以计算出整个积分区域内函数值的总和。
2. 三重积分的符号表示三重积分通常用∬∬∬f(x,y,z)dxdydz表示，其中f(x,y,z)为被积函数，dxdydz表示积分元，代表了积分的区间范围。
3. 三重积分的计算方法在计算三重积分时，需要确定积分的区域以及被积函数的表达式。
3.1 直角坐标系中的三重积分在直角坐标系中，我们常用直角坐标系(x, y, z)来描述三维空间的位置。
对于一般的积分区域，可以通过确定积分的上下限来确定积分的范围。
3.1.1 矩形坐标系中的三重积分计算方法对于矩形坐标系中的三重积分，可以根据积分区域的形状选择合适的积分顺序，并通过嵌套积分的方式来计算。
常见的积分顺序有xyz、xzy、yxz、yzx、zxy和zyx六种情况，具体选择哪种积分顺序需要根据具体问题进行分析和判断。
3.1.2 柱坐标系中的三重积分计算方法在柱坐标系中，我们用ρ、φ和z来描述空间的位置。
对于圆柱形的积分区域，可以通过确定积分的范围来进行计算。
根据积分区域的形状，可以选择适合的积分顺序，并结合柱坐标系的变换公式进行计算。
3.1.3 球坐标系中的三重积分计算方法在球坐标系中，我们用r、θ和φ来描述位置。
对于球形的积分区域，可以通过确定积分的范围来进行计算。
根据积分区域的形状，可以选择适合的积分顺序，并结合球坐标系的变换公式进行计算。
4. 三重积分的应用领域三重积分在物理、工程、几何等领域都有着广泛的应用。
常见的应用包括计算空间体积、质量、质心、转动惯量、质心坐标等。
5. 三重积分的计算实例为了更好地理解和掌握三重积分的计算方法，我们举一个简单的实例来进行说明。
三重积分的概念与计算
x2 y2 z2 1 dxdydz 其中积分区域 {(x, y, z) | x2 y2 z2 1}.
解 积分域关于三个坐标面都对称，
被积函数是 z 的奇函数,球面
关于xoy面对称
z
ln( x2 x2
y
y2 2
z2 z2
1
1)
dxdydz
0.
例 计算 ( x y z)2dxdydz其中是由抛物面
z x2 y2和球面 x2 y2 z2 2所围成的空间闭 区域.
解 ( x y z)2
x2 y2 z2 2( xy yz zx)
其中 xy yz是关于 y的奇函数,
在球面坐标系中
体积元素为
化为三次积分， 从小到大，从边界到边界。
例6.求 的体积，它由球心在(0,0, a), 半径为a 的球面
顶点在原点，半顶角为 的锥面围成，如图.
解： 球面方程为 x2 y2 (z a)2 a2
z
2a
在球坐标系下方程为r 2a cos
锥面方程为 所以
且关于zox面对称, ( xy yz)dv 0,
同理 zx是关于 x 的奇函数,
且关于 yoz面对称, xzdv 0,
由 x,y 位置对称性知 x2dv y2dv,
则I ( x y z)2dxdydz
(2x2 z2 )dxdydz,
dx
2
1 2
x
d
y
2
f (x, y, z)dz
01
x
3. 设
计算
提示: 利用对称性
解 积分域关于三个坐标面都对称，
被积函数是 z 的奇函数,球面
关于xoy面对称
z
ln( x2 x2
y
y2 2
z2 z2
1
1)
dxdydz
0.
例 计算 ( x y z)2dxdydz其中是由抛物面
z x2 y2和球面 x2 y2 z2 2所围成的空间闭 区域.
解 ( x y z)2
x2 y2 z2 2( xy yz zx)
其中 xy yz是关于 y的奇函数,
在球面坐标系中
体积元素为
化为三次积分， 从小到大，从边界到边界。
例6.求 的体积，它由球心在(0,0, a), 半径为a 的球面
顶点在原点，半顶角为 的锥面围成，如图.
解： 球面方程为 x2 y2 (z a)2 a2
z
2a
在球坐标系下方程为r 2a cos
锥面方程为 所以
且关于zox面对称, ( xy yz)dv 0,
同理 zx是关于 x 的奇函数,
且关于 yoz面对称, xzdv 0,
由 x,y 位置对称性知 x2dv y2dv,
则I ( x y z)2dxdydz
(2x2 z2 )dxdydz,
dx
2
1 2
x
d
y
2
f (x, y, z)dz
01
x
3. 设
计算
提示: 利用对称性
三重积分的计算方法
三重积分的计算方法三重积分是多元函数积分的一种，它是对三维空间内的函数进行积分运算。
在物理学、工程学和数学等领域都有着广泛的应用。
在进行三重积分的计算时，我们需要掌握一定的方法和技巧，下面将介绍三重积分的计算方法。
首先，我们来看看三重积分的计算公式。
对于函数f(x, y, z)，其在空间区域V 上的三重积分可以表示为：∭f(x, y, z)dV。
其中，∭表示三重积分的符号，f(x, y, z)是被积函数，dV表示体积元素。
在直角坐标系中，体积元素dV可表示为dxdydz，因此三重积分可以表示为：∭f(x, y, z)dxdydz。
接下来，我们将介绍三种常见的计算方法，直角坐标系下的三重积分、柱坐标系下的三重积分和球坐标系下的三重积分。
在直角坐标系下的三重积分中，我们需要将被积函数表示为x、y、z的函数，然后按照一定的积分次序进行计算。
通常情况下，我们会先对z进行积分，再对y 进行积分，最后对x进行积分。
这样可以将三重积分转化为三次一重积分的计算，简化计算过程。
在柱坐标系下的三重积分中，我们需要将被积函数表示为ρ、θ、z的函数，其中ρ表示点到z轴的距离，θ表示点在xy平面上的极角。
通过变量替换和雅可比行列式的计算，我们可以将直角坐标系下的三重积分转化为柱坐标系下的三重积分，从而简化计算。
在球坐标系下的三重积分中，我们需要将被积函数表示为r、θ、φ的函数，其中r表示点到原点的距离，θ表示点在xy平面上的极角，φ表示点与z轴的夹角。
通过变量替换和雅可比行列式的计算，我们可以将直角坐标系下的三重积分转化为球坐标系下的三重积分，从而简化计算。
除了上述的常见计算方法外，我们在进行三重积分的计算时，还需要注意积分区域的确定、被积函数的合理选择、积分次序的调整等问题。
在实际应用中，我们还可以利用对称性、奇偶性等性质简化计算过程。
总之，三重积分是多元函数积分的一种重要形式，它在实际问题中有着广泛的应用。
掌握三重积分的计算方法，对于深入理解多元函数的性质和解决实际问题具有重要意义。
三重积分计算方法
三重积分计算方法三重积分是多重积分中的一种，用于计算三维空间中的体积、质量、重心等物理量。
本文将介绍三重积分的计算方法。
首先，我们需要了解三重积分的定义。
给定一个定义在三维空间上的函数f(x,y,z)，我们要计算其在一些区域V内的积分。
这个区域V可以用一组不等式给出，比如x的取值范围是a到b，y的取值范围是c到d，z的取值范围是e到f。
则三重积分的定义如下：∭f(x, y, z) dV = ∬∫f(x, y, z) dx dy dz其中，dV 表示体积元素，dx dy dz 分别表示 x、y、z 方向上的微小长度。
积分号的上方是积分的区域 V，下方是被积函数 f(x, y, z)。
下面我们将介绍三重积分的计算方法。
1.直角坐标系下的三重积分计算方法:在直角坐标系中，我们可以利用变量分离的方法计算三重积分。
假设要计算的函数f(x,y,z)可以分离为三个只与一个变量有关的函数，即f(x,y,z)=g(x)h(y)i(z)。
则三重积分可以分解为三个单重积分的乘积：∭f(x, y, z) dV = ∫g(x)dx * ∫h(y)dy * ∫i(z)dz这种方法适用于函数可以分离的情况，但是实际上很少遇到这种情况。
2.柱面坐标系下的三重积分计算方法:在柱面坐标系中，我们用(ρ,φ,z)表示点的坐标，其中ρ表示点到z轴的距离，φ表示点到x轴的夹角，z表示点在z轴上的高度。
在柱面坐标系中，体积元素dV可以表示为：dV = ρ dρ dφ dz因此，柱面坐标系下的三重积分可以表示为：∭f(x, y, z) dV = ∫∫∫ f(ρ cos φ, ρ sin φ, z) ρ dρdφ dz这种方法适用于具有柱面对称性的函数，即函数在ρ和φ方向上具有分离变量的特点。
3.球面坐标系下的三重积分计算方法:在球面坐标系中，我们用(r,θ,φ)表示点的坐标，其中r表示点到原点的距离，θ表示点到z轴的夹角，φ表示点到x轴的夹角。
三重积分的计算方法
三重积分的计算方法三重积分是微积分中的重要内容，它在物理学、工程学、经济学等领域都有着广泛的应用。
在实际问题中，我们常常需要对三维空间中的某些物理量进行积分运算，而三重积分就是用来描述这种三维空间中的积分运算的工具。
下面，我们将介绍三重积分的计算方法。
首先，我们来看三重积分的定义。
对于空间中的一个有界闭区域V，如果函数f(x, y, z)在V上有定义且在V上可积，那么三重积分∬∬∬_{V}f(x,y,z)dxdydz的计算方法如下：1. 将积分区域V投影到xy平面上，得到投影区域D。
2. 在D上选择一个合适的坐标系，通常选择直角坐标系或极坐标系。
3. 再在D上选择一个曲线坐标系，通常选择柱坐标系或球坐标系。
4. 根据选择的坐标系，写出积分的累次积分式。
5. 按照累次积分的顺序依次进行积分运算。
在实际计算中，我们通常会遇到一些复杂的积分问题，下面我们来看一些常见的计算方法。
首先是直角坐标系下的三重积分计算。
在直角坐标系下，积分区域V可以用不等式形式表示，利用三次积分的性质，可以将三重积分化为三个一重积分的累次积分。
这样就可以分别对x、y、z进行积分，从而简化计算。
其次是极坐标系下的三重积分计算。
在极坐标系下，积分区域V通常是某个平面区域在z轴上的投影区域，利用极坐标系的性质，可以将三重积分化为一个二重积分和一个一重积分的累次积分。
这样就可以利用极坐标系的简洁性，简化计算过程。
最后是球坐标系下的三重积分计算。
在球坐标系下，积分区域V通常是一个球体或球体的一部分，利用球坐标系的性质，可以将三重积分化为一个球面上的二重积分和一个一重积分的累次积分。
这样就可以利用球坐标系的简洁性，简化计算过程。
总之，三重积分的计算方法是多样的，我们可以根据具体的问题选择合适的坐标系和积分顺序，从而简化计算过程。
在实际问题中，我们需要灵活运用不同的计算方法，以便高效地解决问题。
希望本文对读者有所帮助，谢谢阅读！。
三重积分及其计算
三重积分及其计算三重积分是对三维空间内的函数进行积分运算。
它在物理、工程、计算机图形学等领域中有广泛的应用。
本文将介绍三重积分的概念、计算方法以及一些常见的应用。
一、三重积分的定义在直角坐标系中，设函数f(x,y,z)在体积为V的闭区域D上连续，将V分割成许多小体积ΔV，取P_i(x_i,y_i,z_i)为小体积ΔV中的任一点，使ΔV_i=f(P_i)ΔV，其中f(P_i)是P_i点上的函数值。
三重积分的定义为：\[\iiint\limits_{V} f(x, y, z) dV = \lim_{\，\Delta V_i\，\to 0}\sum\limits_{i=1}^{n} f(P_i) \Delta V_i \]其中，\(\Delta V_i\)表示小体积的体积，n为分割的小体积数量。
二、三重积分的计算方法根据三重积分的定义，可以推导出以下三种计算方法：直接计算、分离变量法和坐标变换法。
1.直接计算法直接计算法较为繁琐，适用于函数f(x,y,z)的表达式较简单的情况。
将积分区域V分成若干个小区域，然后对每个小区域使用定积分的计算方法进行计算，最后将所有小区域的积分值相加即可。
2.分离变量法当函数f(x,y,z)具有可分离变量性质时，可以使用分离变量法来简化积分计算。
即假设有f(x,y,z)=g(x)h(y)k(z)，则有：\[\int\int\int f(x, y, z) dV = \int g(x)dx \int h(y)dy \int k(z)dz\]3.坐标变换法当函数f(x,y,z)在直角坐标系中表达较为复杂时，可以通过坐标变换将其转换为其他坐标系，从而简化积分计算。
常用的坐标变换方法包括球坐标、柱坐标和三角代换等。
具体的变换公式可参考相关数学教材。
三、常见的应用三重积分在物理、工程和计算机图形学等领域中有广泛的应用。
以下列举几个常见的应用。
1.物理学在物理学中，三重积分常用于计算物体的质量、质心和转动惯量等。
三重积分的概念和计算方法(2)
z = x2 + 2 y2 解 由 2 , z = 2− x
2 2 得交线投影区域 x + y ≤ 1,
−1≤ x ≤ 1 故 Ω ： − 1 − x 2 ≤ y ≤ 1 − x 2 , 2 x + 2 y2 ≤ z ≤ 2 − x2
−1 ≤ x ≤ 1 故 Ω ： − 1 − x 2 ≤ y ≤ 1 − x 2 , 2 x + 2 y2 ≤ z ≤ 2 − x2
Ω
c
d
(3) 过点 ( x, y) ∈ D 作直线,
x x1 ( y) ≤ x ≤ x1 ( y), 事实上， 事实上， Ω : c ≤ y ≤ d, z ( x, y) ≤ z ≤ z ( x, y). 1 2
d x ( y)
1
o
y
( x, y )
D
得到 z1( x, y) ≤ z ≤ z2 ( x, y).
z2 ( x, y ) f ( x, y, z )dzdσ . ∫∫ F ( x, y)dσ = ∫∫ ∫z1 ( x, y) D D
D : y1( x) ≤ y ≤ y2 ( x),
b
a ≤ x ≤ b,
y2 ( x ) z2 ( x , y )
得
∫∫∫ f ( x, y, z)dv = ∫a dx∫y1( x) dy∫z1 ( x, y)
∫∫∫ f ( x, y, z)dv =
Ω
∫a dy∫z1( y ) dz∫x1 ( y,z )
b
z2 ( y )
x2 ( y,z )
f ( x, y, z)dx.
例 1 计算三重积分∫∫∫ xdxdydz，其中Ω 为三个坐标 所围成的闭区域. 面及平面 x + 2 y + z = 1所围成的闭区域.
2 2 得交线投影区域 x + y ≤ 1,
−1≤ x ≤ 1 故 Ω ： − 1 − x 2 ≤ y ≤ 1 − x 2 , 2 x + 2 y2 ≤ z ≤ 2 − x2
−1 ≤ x ≤ 1 故 Ω ： − 1 − x 2 ≤ y ≤ 1 − x 2 , 2 x + 2 y2 ≤ z ≤ 2 − x2
Ω
c
d
(3) 过点 ( x, y) ∈ D 作直线,
x x1 ( y) ≤ x ≤ x1 ( y), 事实上， 事实上， Ω : c ≤ y ≤ d, z ( x, y) ≤ z ≤ z ( x, y). 1 2
d x ( y)
1
o
y
( x, y )
D
得到 z1( x, y) ≤ z ≤ z2 ( x, y).
z2 ( x, y ) f ( x, y, z )dzdσ . ∫∫ F ( x, y)dσ = ∫∫ ∫z1 ( x, y) D D
D : y1( x) ≤ y ≤ y2 ( x),
b
a ≤ x ≤ b,
y2 ( x ) z2 ( x , y )
得
∫∫∫ f ( x, y, z)dv = ∫a dx∫y1( x) dy∫z1 ( x, y)
∫∫∫ f ( x, y, z)dv =
Ω
∫a dy∫z1( y ) dz∫x1 ( y,z )
b
z2 ( y )
x2 ( y,z )
f ( x, y, z)dx.
例 1 计算三重积分∫∫∫ xdxdydz，其中Ω 为三个坐标 所围成的闭区域. 面及平面 x + 2 y + z = 1所围成的闭区域.
三重积分及其计算和多重积分
三重积分及其计算和多重积分三重积分是多元函数积分的一种形式，用于求解三维空间中的体积、质量、质心等物理量。
在数学上，三重积分可以看作是一个连续变量在三维区域上的求和，它可以通过分割区域、选择适当的样本点，以及取极限的方式来进行计算。
三重积分的计算可以通过两种方法来完成：直接计算和换序求积分。
直接计算是指通过将三重积分的积分区域分割成小的立体单元，然后计算每个立体单元的积分值，再将这些积分值相加得到最终的结果。
这种方法适用于简单的积分区域，但对于复杂的区域，计算难度较大。
而换序求积分是指通过改变积分的顺序，将三重积分转化为便于计算的累次积分。
这种方法的优势在于可以简化计算过程，降低计算难度。
对于直接计算，首先需要确定积分区域，然后将区域分割成小的立体单元，每个单元的大小趋近于零。
可以使用直角坐标系、柱坐标系或球坐标系来表示积分区域，并确定相应的积分限。
接下来，选择样本点，可以选择样本点在单元中的中心，或者在每个单元中选择若干个样本点。
然后计算每个单元的积分值，再将这些积分值相加，就得到了最终的积分结果。
对于换序求积分，首先需要确定积分顺序，一般是从内积分到外积分。
然后，根据积分顺序，确定每个积分部分的积分限。
接下来，可以根据条件判断是否需要修改积分区域，如是否需要进行坐标转换或对区域进行分割。
最后，通过依次进行累次积分，得到最终的结果。
三重积分在物理中的应用非常广泛。
例如，利用三重积分可以求解一个带电体的电荷分布密度、一个流体的质量分布密度，以及一个物体的质心。
通过计算三重积分，可以得到这些物理量的精确值，为进一步研究提供了基础。
在实际计算过程中，三重积分的计算通常比较复杂，需要运用一些基本的数学知识和技巧。
例如，可以通过选择适当的坐标系来简化计算，使用奇偶性来简化被积函数的表达式，利用对称性来简化积分区域的确定等。
此外，还可以利用数值计算方法，如数值积分、Monte Carlo方法等，来近似计算三重积分的值。
第二节 三重积分
0 i 1
n
定义1
设R3为有界闭区域, f (x, y, z)是定义在上
的有界函数.将任意分成 n 个无公共内点的小区域
i, (i =1, 2, …, n), 用Vi表示i的体积. 并记
max{ i的直径}.( xi , yi , zi ) i , 作和 f ( xi , yi , zi )Vi ,
z 1
类似,
x+ y+z=1
1 ydxdydz zdxdydz 24
1 原式 8
1 x
0 Dxy x+ y=1
1
y
计算 ydxdydz, 其中是由平面x 2 y 2 z 2 1 例2.
与锥面y x 2 z 2 所围成的区域.
z
x2 y 2 z 2 1
0
1 2 r rdr 2
2
2 2
0
1 2 r rdr . 4 2
注意, 由于先对 x , 再对 y, 再对 z 的积分
f ( x, y, z)dv
C2
C1
dz
y2 ( z )
y1 ( z )
dy
x2 ( y , z )
3.利用柱面坐标求三重积分.
z M＝(x, y, z)
设点M = (x, y, z) R3,它在xy面上的投 影点为P=(x, y, o)
x o y
r P=(x, y, o)
显然,任给一点M,可唯一确定点P和竖坐标z , 反之,在xy面上任给点P和数z,可唯一确定M. 因点 P可用其极坐标确定, 故M可由P的极坐标r , 以 及z唯一确定,称为柱面坐标.
n
定义1
设R3为有界闭区域, f (x, y, z)是定义在上
的有界函数.将任意分成 n 个无公共内点的小区域
i, (i =1, 2, …, n), 用Vi表示i的体积. 并记
max{ i的直径}.( xi , yi , zi ) i , 作和 f ( xi , yi , zi )Vi ,
z 1
类似,
x+ y+z=1
1 ydxdydz zdxdydz 24
1 原式 8
1 x
0 Dxy x+ y=1
1
y
计算 ydxdydz, 其中是由平面x 2 y 2 z 2 1 例2.
与锥面y x 2 z 2 所围成的区域.
z
x2 y 2 z 2 1
0
1 2 r rdr 2
2
2 2
0
1 2 r rdr . 4 2
注意, 由于先对 x , 再对 y, 再对 z 的积分
f ( x, y, z)dv
C2
C1
dz
y2 ( z )
y1 ( z )
dy
x2 ( y , z )
3.利用柱面坐标求三重积分.
z M＝(x, y, z)
设点M = (x, y, z) R3,它在xy面上的投 影点为P=(x, y, o)
x o y
r P=(x, y, o)
显然,任给一点M,可唯一确定点P和竖坐标z , 反之,在xy面上任给点P和数z,可唯一确定M. 因点 P可用其极坐标确定, 故M可由P的极坐标r , 以 及z唯一确定,称为柱面坐标.
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x，y，z — — 积分变量；
f ( , , ) Δ v
i 1 i i i
n
i
— — 积分和 ( 黎曼和 ) 。
(1) 极限 lim f ( i ,i , i ) Δ vi 存在与否 , 与对区域 的分割方式
0
i 1
n
以及点(i ,i , i ) 的选择无关。此极限存 在与否取决于函数在
上可积。
(5) 三重积分是一个数，它 取决于被积函数和积分 区域，
而与积分变量的记号（ 字母）无关：
f ( x, y, z ) d x d y d z f (u, v, w) d u d v d w
3. 三重积分的性质
假设以下出现的 三重积分均存在
性质 1
[ f ( x, y, z ) g ( x, y, z )] d x d y d z f ( x, y, z ) d x d y d z
上是否可积。
（ 2 ）在直角坐标系中，通常 用平行于坐标轴的网格 线划分区域
，故直角坐标系下积分 元素 (几何体体积元素 )
d v d x d y d z。 相应地，直角坐标系下 ，三重积分写为
f ( x, y, z ) d x d y d z 。
(3) 有界闭区域上的连续函 数可积。 (4) 若函数 f ( x, y, z ) 在区域 上有界，且仅在 内有限条 曲线或有限张曲面 (体积为零 ) 上不连续 , 则 f ( x, y, z ) 在
与路径无关
L
解 则 P，Q 在全平面上有 连续的一阶偏导数，且
全平面是单连通域。 因此，积分与路径无关。
y
2
全平面是单连通域。 因此，积分与路径无关。 取一简单路径：L1 + L2.
1
解 则 P，Q 在全平面上有连续的 一阶偏导数，且
全平面是单连通域。
因此，积分与路径无关。
取一简单路径：L1 + L2.
o
1
三、二元函数的全微分求积
定理3
证略
y
G
D( x0 , y )
A( x0 , y0 )
B( x, y )
C ( x , y0 )
o
x
例3 验证：在 xoy 面内，
是某个函数
u (x, y) 的全微分，并求出一个这样的函数。 解 这里
且
即，
在整个 xoy 面内恒成立。
因此，在 xoy 面内，
u (x, y) 的全微分。
是某个函数
四、小 结
与路径无关的四个等价命题 条 件 等
续的一阶偏导数, 则以下四个命题成立.
价
命 题
计算
圆周
其中L 为上半
从 O (0, 0) 到 A (4, 0). 它与L 所围
解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段 区域为D , 则
原式
D
设质点在力场 由
作用下沿曲线 L :
对应于每一个小区域Di，在 中 有一个相应的小柱体 i 。
x
Di
D
在 xy 平面上的投影
将区域 D 任意分成n 个小区域
D1 ， ，Dn，
z z 2 ( xi , yi )
小区域 Di 的面积记为
Δ i (i 1, 2, , n) 。
z zk
对应于每一个小区域Di，在 中 有一个相应的小柱体 i 。
m | | f ( x, y, z ) d x d y d z M | | 。
性质 6
(中值定理 )
设 R 3 为有界闭区域， f ( x, y, z ) C ( )，则至少存在
一点 ( , , ) ，使得
f ( x, y, z ) d x d y d z f ( , , ) | | 。
该式也是直角坐标系下 计算物体质量的一般公 式。
二. 直角坐标系下三重积分的计算
z
z z2 ( x, y)
设有界闭区域 是由曲面
z z1 ( x, y) 和 z z2 ( x, y) ，以
及母线平行于z 轴的柱面围成。
在 xy 平面上的投影为平面
O
y 区域 D 。 z z1 ( x, y) z1 ( x, y)，z2 ( x, y) C( D) 且
的体密度. 从而, i的质量
mi ( i , i , i) V i (iii) 因此, 的质量 M (i ,i , i )Vi
i 1 n
(iv) 若记 max { 的直径 }, 则 i
M lim (i ,i , i )Vi .
x
D
在 xy 平面上的投影
z1 ( x, y) z2 ( x, y) ( x, y) D 。
将区域 D 任意分成n 个小区域
D1 ， ，Dn，
z
z z2 ( x, y)
小区域 Di 的面积记为
Δ i (i 1, 2, , n) 。
O
i
y z z1 ( x, y)
0
i 1
1i n n
2. 三重积分的定义
设 f ( x, y, z ) 是定义在有界闭区域 R 3 的有界函数。
将 任意分割为 n 个无公共内点的小区域 i ( i 1, 2,, n ) ，
n
则 ＝ i ，并记 i 的体积为Δ vi。
i 1
若 ( i ,i , i ) i，极限
mi
z 2 ( xi , yi ) z1 ( xi , yi )
( f ( xi , yi , z ) Δ i ) d z
将区域 D 任意分成n 个小区域
D1 ， ，Dn，
z
z z2 ( x, y)
小区域 Di 的面积记为
Δ i (i 1, 2, , n) 。
O
i
第三章 多元函数积分学
第二节 三重积分
本节教学要求： 正确理解三重积分的概念。 熟悉直角坐标系下三重积分的计算方法。 熟悉三重积分的换元法。
熟悉柱面坐标系和球面坐标系下三重积分的计算。
能运用三重积分求解简单的应用问题。
第三节 三重积分
一. 三重积分的定义
二. 三重积分的性质 三. 三重积分的计算（直角坐标系） 四. 三重积分的换元法
质点M 沿着以AB为直径的半圆, 从 A(1,2) 运动到 点B(3, 4), 在此过程中受力 F 作用, F 的大小等于点 M 到原点的距离, 其方向垂直于OM, 且与y 轴正向夹角为
锐角, 求变力 F 对质点M 所作的功. ( 考研 )
解: 由图知 故所求功为
D
作业
P197 5 7 奇数小题
o
B
L2
G
A
x
否则与路径有关.
二、曲线积分与路径无关的条件
定理 2
曲线 C 。 C 所围的闭区域为 D。 G 是单连通的，因此， 于是，在 D 内 应用格林公式，有
即，在 G 内曲线积分 与路径无关。
必要性 用反证法 假设在 G 内存在使 的点 M0，
[
D
z2 ( x , y ) z1 ( x , y )
f ( x, y , z ) d z ] d x d y
三重积分可以归结为一 个定积分与一个二重积 分来计算 。
方法1. 投影法 (“先一后二” ) z1 ( x, y ) z z 2 ( x, y ) : ( x, y ) D 细长柱体微元的质量为
五. 三重积分的简单应用
一、三重积分的概念及性质
1. 非均匀分布立体的质量
设有空间立体, 当的质量是均匀分布 时, 则的质量M= 的体密度× 的体积. 若的质量不是均匀分布的, 则不能上述 方式算质量M . 设空间立体. 其质量非均匀分布, 体密 度 (x , y , z)连续, 求的质量 M.
lim f ( i ,i , i ) Δ vi
0
i 1
n
存在，则称该极限值为 函数 f ( x, y, z ) 在区域 上的三重积分，
其中， max d( i ), d( i ) 为 i 的直径。
1i n
此时称函数 f ( x, y, z ) 在区域 上可积，记为 f ( x, y, z ) R( )。
g ( x, y, z ) d x d y d z。
性质 2
若 1 2 (1与 2除边界点外无公共部分 )，则
f ( x, y, z ) d x d y d z
f ( x, y, z ) d x d y d z f ( x, y, z ) d x d y d z 。
C
D
M0
G
即
不妨设 由于P，Q 具有一阶连续偏导数， 因此在 G 内必有点 M0 的一个小邻域 D′, 在 D′内 应用格林公式，有
因此在 G 内必有点 M0 的一个小邻域 D′, 在 D′内
C
应用格林公式，有
D
M0
G
于是， 因此，在 G 内恒有
矛盾。
定理 2
有关定理的说明：
两条件缺一不可
移动到
求力场所作的功W
解:
令
则有
可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.
取圆弧
y
A L
o
思考: 积分路径是否可以取 无关 ! 为什么？
B x
注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径
设
提示:
设 C 为沿
到点 的半圆, 计算
f ( , , ) Δ v
i 1 i i i
n
i
— — 积分和 ( 黎曼和 ) 。
(1) 极限 lim f ( i ,i , i ) Δ vi 存在与否 , 与对区域 的分割方式
0
i 1
n
以及点(i ,i , i ) 的选择无关。此极限存 在与否取决于函数在
上可积。
(5) 三重积分是一个数，它 取决于被积函数和积分 区域，
而与积分变量的记号（ 字母）无关：
f ( x, y, z ) d x d y d z f (u, v, w) d u d v d w
3. 三重积分的性质
假设以下出现的 三重积分均存在
性质 1
[ f ( x, y, z ) g ( x, y, z )] d x d y d z f ( x, y, z ) d x d y d z
上是否可积。
（ 2 ）在直角坐标系中，通常 用平行于坐标轴的网格 线划分区域
，故直角坐标系下积分 元素 (几何体体积元素 )
d v d x d y d z。 相应地，直角坐标系下 ，三重积分写为
f ( x, y, z ) d x d y d z 。
(3) 有界闭区域上的连续函 数可积。 (4) 若函数 f ( x, y, z ) 在区域 上有界，且仅在 内有限条 曲线或有限张曲面 (体积为零 ) 上不连续 , 则 f ( x, y, z ) 在
与路径无关
L
解 则 P，Q 在全平面上有 连续的一阶偏导数，且
全平面是单连通域。 因此，积分与路径无关。
y
2
全平面是单连通域。 因此，积分与路径无关。 取一简单路径：L1 + L2.
1
解 则 P，Q 在全平面上有连续的 一阶偏导数，且
全平面是单连通域。
因此，积分与路径无关。
取一简单路径：L1 + L2.
o
1
三、二元函数的全微分求积
定理3
证略
y
G
D( x0 , y )
A( x0 , y0 )
B( x, y )
C ( x , y0 )
o
x
例3 验证：在 xoy 面内，
是某个函数
u (x, y) 的全微分，并求出一个这样的函数。 解 这里
且
即，
在整个 xoy 面内恒成立。
因此，在 xoy 面内，
u (x, y) 的全微分。
是某个函数
四、小 结
与路径无关的四个等价命题 条 件 等
续的一阶偏导数, 则以下四个命题成立.
价
命 题
计算
圆周
其中L 为上半
从 O (0, 0) 到 A (4, 0). 它与L 所围
解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段 区域为D , 则
原式
D
设质点在力场 由
作用下沿曲线 L :
对应于每一个小区域Di，在 中 有一个相应的小柱体 i 。
x
Di
D
在 xy 平面上的投影
将区域 D 任意分成n 个小区域
D1 ， ，Dn，
z z 2 ( xi , yi )
小区域 Di 的面积记为
Δ i (i 1, 2, , n) 。
z zk
对应于每一个小区域Di，在 中 有一个相应的小柱体 i 。
m | | f ( x, y, z ) d x d y d z M | | 。
性质 6
(中值定理 )
设 R 3 为有界闭区域， f ( x, y, z ) C ( )，则至少存在
一点 ( , , ) ，使得
f ( x, y, z ) d x d y d z f ( , , ) | | 。
该式也是直角坐标系下 计算物体质量的一般公 式。
二. 直角坐标系下三重积分的计算
z
z z2 ( x, y)
设有界闭区域 是由曲面
z z1 ( x, y) 和 z z2 ( x, y) ，以
及母线平行于z 轴的柱面围成。
在 xy 平面上的投影为平面
O
y 区域 D 。 z z1 ( x, y) z1 ( x, y)，z2 ( x, y) C( D) 且
的体密度. 从而, i的质量
mi ( i , i , i) V i (iii) 因此, 的质量 M (i ,i , i )Vi
i 1 n
(iv) 若记 max { 的直径 }, 则 i
M lim (i ,i , i )Vi .
x
D
在 xy 平面上的投影
z1 ( x, y) z2 ( x, y) ( x, y) D 。
将区域 D 任意分成n 个小区域
D1 ， ，Dn，
z
z z2 ( x, y)
小区域 Di 的面积记为
Δ i (i 1, 2, , n) 。
O
i
y z z1 ( x, y)
0
i 1
1i n n
2. 三重积分的定义
设 f ( x, y, z ) 是定义在有界闭区域 R 3 的有界函数。
将 任意分割为 n 个无公共内点的小区域 i ( i 1, 2,, n ) ，
n
则 ＝ i ，并记 i 的体积为Δ vi。
i 1
若 ( i ,i , i ) i，极限
mi
z 2 ( xi , yi ) z1 ( xi , yi )
( f ( xi , yi , z ) Δ i ) d z
将区域 D 任意分成n 个小区域
D1 ， ，Dn，
z
z z2 ( x, y)
小区域 Di 的面积记为
Δ i (i 1, 2, , n) 。
O
i
第三章 多元函数积分学
第二节 三重积分
本节教学要求： 正确理解三重积分的概念。 熟悉直角坐标系下三重积分的计算方法。 熟悉三重积分的换元法。
熟悉柱面坐标系和球面坐标系下三重积分的计算。
能运用三重积分求解简单的应用问题。
第三节 三重积分
一. 三重积分的定义
二. 三重积分的性质 三. 三重积分的计算（直角坐标系） 四. 三重积分的换元法
质点M 沿着以AB为直径的半圆, 从 A(1,2) 运动到 点B(3, 4), 在此过程中受力 F 作用, F 的大小等于点 M 到原点的距离, 其方向垂直于OM, 且与y 轴正向夹角为
锐角, 求变力 F 对质点M 所作的功. ( 考研 )
解: 由图知 故所求功为
D
作业
P197 5 7 奇数小题
o
B
L2
G
A
x
否则与路径有关.
二、曲线积分与路径无关的条件
定理 2
曲线 C 。 C 所围的闭区域为 D。 G 是单连通的，因此， 于是，在 D 内 应用格林公式，有
即，在 G 内曲线积分 与路径无关。
必要性 用反证法 假设在 G 内存在使 的点 M0，
[
D
z2 ( x , y ) z1 ( x , y )
f ( x, y , z ) d z ] d x d y
三重积分可以归结为一 个定积分与一个二重积 分来计算 。
方法1. 投影法 (“先一后二” ) z1 ( x, y ) z z 2 ( x, y ) : ( x, y ) D 细长柱体微元的质量为
五. 三重积分的简单应用
一、三重积分的概念及性质
1. 非均匀分布立体的质量
设有空间立体, 当的质量是均匀分布 时, 则的质量M= 的体密度× 的体积. 若的质量不是均匀分布的, 则不能上述 方式算质量M . 设空间立体. 其质量非均匀分布, 体密 度 (x , y , z)连续, 求的质量 M.
lim f ( i ,i , i ) Δ vi
0
i 1
n
存在，则称该极限值为 函数 f ( x, y, z ) 在区域 上的三重积分，
其中， max d( i ), d( i ) 为 i 的直径。
1i n
此时称函数 f ( x, y, z ) 在区域 上可积，记为 f ( x, y, z ) R( )。
g ( x, y, z ) d x d y d z。
性质 2
若 1 2 (1与 2除边界点外无公共部分 )，则
f ( x, y, z ) d x d y d z
f ( x, y, z ) d x d y d z f ( x, y, z ) d x d y d z 。
C
D
M0
G
即
不妨设 由于P，Q 具有一阶连续偏导数， 因此在 G 内必有点 M0 的一个小邻域 D′, 在 D′内 应用格林公式，有
因此在 G 内必有点 M0 的一个小邻域 D′, 在 D′内
C
应用格林公式，有
D
M0
G
于是， 因此，在 G 内恒有
矛盾。
定理 2
有关定理的说明：
两条件缺一不可
移动到
求力场所作的功W
解:
令
则有
可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.
取圆弧
y
A L
o
思考: 积分路径是否可以取 无关 ! 为什么？
B x
注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径
设
提示:
设 C 为沿
到点 的半圆, 计算