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《4 用因式分解法求解一元二次方程》教案教学目标1、会用因式分解法解某些一元二次方程．2、能够根据方程的特征，灵活运用一元二次方程的各种解法求方程的根．教学重点：用因式分解法解一元二次方程教学难点：正确理解AB=0〈=〉A=0或B=0（A、B表示两个因式）教学过程：一、复习引入1、已学过的一元二次方程解法有哪些？2、请用已学过的方法解方程x2 －4=0【分析】因式分解法其解法的关键是将一元二次方程分解降次为一元一次方程．其理论根据是：若A·B＝0A＝0或B＝0．二、例题精讲例1、解下列方程：(1)3x（x+2）=5（x+2）（2）（3x+1）2-5=0说明：在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了．用因式分解法解一元二次方程的步骤：1．方程右边化为零．2．将方程左边分解成两个一次因式的乘积．3．至少有一个因式为零，得到两个一元一次方程．4．两个一元一次方程的解就是原方程的解．变式练习1：下列各方程的根分别是多少？（1）x（x-2）=0 （2）（y+2）（y-3）=0 （3）（3x+2）（2x-1）=0 （4）x2=x变式练习2：下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？思考：1、什么样的一元二次方程可以用因式分解法来解？2、用因式分解法解一元二次方程，其关键是什么？3、用因式分解法解一元二次方程的理论依据是什么？4、用因式分解法解一元二方程，必须要先化成一般形式吗？知识拓展：十字相乘法用因式分解法解下列方程：1①(x－5)(x+2)=18 ②(2a－3)2=(a－2)(3a－4)③2y2=3y ④x2+7x+12=0简记歌诀：右化零；左分解；两因式；各求解。
课后作业。
略。
2.4 用因式分解法求解一元二次方程教学内容本节课主要学习用因式分解法解一元二次方程。
教学目标知识技能1．应用分解因式法解一些一元二次方程．2．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法．数学思考体会“降次”化归的思想。
解决问题能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．情感态度使学生知道分解因式法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度．重难点、关键重点：应用分解因式法解一元二次方程．难点：灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程.关键：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法，感悟用因式分解法使解题简便．教学准备教师准备：制作课件，精选习题学生准备：复习有关知识，预习本节课内容教学过程一、复习引入解下列方程．（1）2x2+x=0（用配方法）（2）3x2+6x=0（用公式法）老师点评：（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为12，12的一半应为14，因此，应加上（14）2，同时减去（14）2．（2）直接用公式求解．【设计意图】复习前面学过的一元二次方程的解法，为学习本节内容作好铺垫。
二、探索新知【问题】仔细观察方程特征，除配方法或公式法，你能找到其它的解法吗？（1）上面两个方程中有没有常数项？（2）等式左边的各项有没有共同因式？【活动方略】在学生解决问题的基础上引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据。
上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解:2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2）因此，上面两个方程都可以写成：（1）x （2x+1）=0 （2）3x （x+2）=0因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x 1=0，x 2=-12． （2）3x=0或x+2=0，所以x 1=0，x 2=-2．因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．归纳：利用因式分解使方程化为两个一次式乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解法叫作因式分解法．【设计意图】引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据．【探究】通过解下列方程，你能发现在解一元二次方程的过程中需要注意什么？（1）(2)20x x x -+-=；（2）221352244x x x x --=-+； （3）3(21)42x x x +=+；（4）22(4)(52)x x -=-．【活动方略】学生活动：四个学生进行板演，其余的同学独立解决，然后针对板演的情况让学生讨论、分析可能出现的问题． 对于方程（1），若把（x －2）看作一个整体，方程可变形为（x －2）（x ＋1）＝0；方程（2）经过整理得到2410x -=，然后利用平方差公式分解因式；方程（3）的右边分解因式后变为3(21)2(21)x x x +=+，然后整体移项得到3(21)2(21)0x x x +-+=，把（2x －1）看作一个整体提公因式分解即可；方程（4）把方程右边移到左边22(4)(52)0x x ---=，利用平方差公式分解即可．教师活动：在学生交流的过程中，教师注重对上述方程的多种解法的讨论，比如方程（1）可以首先去括号，然后利用公式法和配方法；方程（3）可以去括号、移项、合并然后运用公式法或配方法；方程（4）可以利用完全平方公式展开，然后移项合并，再利用配方法或公式法．在学生解决问题的基础上，对比配方法、公式法、因式分解法引导学生作以下归纳：（1）配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．配方法、公式法适用于所有的一元二次方程，因式分解法用于某些一元二次方程．（2）解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次．【设计意图】主体探究、灵活运用各种方法解方程，培养学生思维的灵活性．【应用】例：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s 的速度竖直上抛，那么经过x s 物体离地面的高度（单位：m ）为210 4.9x x-．你能根据上述规律求出物体经过多少秒回到地面吗？【活动方略】学生活动：学生首先独立思考，自主探索，然后交流教师活动：在学生解决问题的过程中鼓励学生运用多种方法解方程，然后让学生体会不同方法间的区别，找到解方程的最佳方法，体会因式分解法的简洁性．【设计意图】应用所学知识解答实际问题，培养学生的应用意识．三、反馈练习教材P47随堂练习第1、2题补充练习解下列方程．1．12（2-x）2-9=0 2．x2+x（x-5）=0【活动方略】学生独立思考、独立解题．教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）【设计意图】检查学生对基础知识的掌握情况.四、拓展提高例1：我们知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a）（x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程．（1）x2-3x-4=0 （2）x2-7x+6=0 （3）x2+4x-5=0分析：二次三项式x2-（a+b）x+ab的最大特点是x2项是由x·x而成，常数项ab是由-a·（-b）而成的，而一次项是由-a·x+（-b·x）交叉相乘而成的．根据上面的分析，•我们可以对上面的三题分解因式．解（1）∵x2-3x-4=（x-4）（x+1）∴（x-4）（x+1）=0∴x-4=0或x+1=0∴x1=4，x2=-1（2）∵x2-7x+6=（x-6）（x-1）∴（x-6）（x-1）=0∴x-6=0或x-1=0∴x1=6，x2=1（3）∵x2+4x-5=（x+5）（x-1）∴（x+5）（x-1）=0∴x+5=0或x-1=0∴x1=-5，x2=1上面这种方法，我们把它称为十字相乘法．例2．已知9a2-4b2=0，求代数式22a b a bb a ab+--的值．分析：要求22a b a bb a ab+--的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a与b的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误．解：原式=22222 a b a b bab a ---=-∵9a2-4b2=0 ∴（3a+2b）（3a-2b）=0 3a+2b=0或3a-2b=0，a=-23b或a=23b当a=-23b时，原式=-223bb-=3当a=23b时，原式=-3．例2：若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．分析：要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）<0就可求出a的取值范围．解：∵关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根．∴（-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2-4a2+4a+8<0a<-2∵ax+3>0即ax>-3∴x<-3 a∴所求不等式的解集为x<-3 a【活动方略】教师活动：操作投影，将例题显示，组织学生讨论．学生活动：合作交流，讨论解答。
2．4 用因式分解法求解一元二次方程1．了解因式分解法的解题步骤，能用因式分解法解一元二次方程；(重点)2．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法．(难点)一、情景导入王庄村在测量土地时，发现了一块正方形的土地和一块矩形的土地，矩形土地的宽和正方形的边长相等，矩形土地的长为80m ，工作人员说，正方形土地的面积是矩形面积的一半．你能帮助工作人员计算一下正方形土地的面积吗？二、合作探究 探究点一：用因式分解法解一元二次方程方程(x －3)(x ＋1)＝x －3的解是( )A ．x ＝0B ．x ＝3C ．x ＝3或x ＝－1D ．x ＝3或x ＝0 解析：把(x －3)看成一个整体，利用因式分解法解方程，原方程变形，得(x －3)(x ＋1)－(x －3)＝0，所以(x －3)(x ＋1－1)＝0，即x －3＝0或x ＝0，所以原方程的解为x 1＝3，x 2＝0.故答案为D.易错提醒：解形如ax 2＝bx 的方程，千万不可以在方程的两边同时除以x ，得到x＝ba，这样会产生丢根现象，只能提公因式，得到x 1＝0，x 2＝ba.如本题中易出现在方程两边同除以(x －3)，从而得到x ＝0的错误．探究点二：选用适当的方法解一元二次方程用适当的方法解方程： (1)3x (x ＋5)＝5(x ＋5)；(2)3x 2＝4x ＋1；(3)5x 2＝4x －1. 解：(1)原方程可变形为3x (x ＋5)－5(x ＋5)＝0，即(x ＋5)(3x －5)＝0，∴x ＋5＝0或3x －5＝0， ∴x 1＝－5，x 2＝53；(2)将方程化为一般形式，得3x 2－4x －1＝0.这里a ＝3，b ＝－4，c ＝－1，∴b 2－4ac ＝(－4)2－4×3×(－1)＝28＞0，∴x ＝4±282×3＝4±276＝2±73，∴x 1＝2＋73，x 2＝2－73；(3)将方程化为一般形式，得5x 2－4x ＋1＝0.这里a ＝5，b ＝－4，c ＝1， ∴b 2－4ac ＝(－4)2－4×5×1＝－4＜0，∴原方程没有实数根．方法总结：解一元二次方程时，若没有具体的要求，应尽量选择最简便的方法去解，能用因式分解法或直接开平方法的选用因式分解法或直接开平方法；若不能用上述方法，可用公式法求解．在用公式法时，要先计算b 2－4ac 的值，若b 2－4ac ＜0，则判断原方程没有实数根．没有特殊要求时，一般不用配方法．三、板书设计用因式分解法求解一元二次方程⎩⎪⎨⎪⎧步骤⎩⎪⎨⎪⎧①移项，将方程的右边化为0②把方程的左边分解成两个一次 因式的积③令每个因式分别等于0，得到两 个一元一次方程④解这两个一元一次方程选用适当的方法解一元二次方程经历因式分解法解一元二次方程的探索过程，发展学生合情合理的推理能力．积极探索方程不同的解法，体验解决问题方法的多样性．通过交流发现最优解法，在学习活动中获得成功的体验.。
4 用因式分解法求解一元二次方程课标要求【知识与技能】能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法及因式分解法解一元二次方程．能够根据一元二次方程的结构特点，灵活选用简单的方法．【过程与方法】通过比较、分析、综合，培养学生分析问题解决问题的能力．【情感态度】通过知识之间的相互联系，培养学生用联系和发展的眼光分析问题、解决问题，树立转化的思想方法．【教学重点】用因式分解法解一元二次方程．【教学难点】理解因式分解法解一元二次方程的基本思想．教学过程一、情景导入，初步认识复习：将下列各式分解因式(1)5x 2－4x ；(2)x 2－4x ＋4；(3)4x (x －1)－2＋2x ；(4)x 2－4；(5)(2x －1)2－x 2.【教学说明】通过复习相关知识，有利于学生熟练正确地将多项式因式分解，从而有利地降低本节的难度．二、思考探究，获取新知一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？板演小颖、小明和小亮的三种解法引出分解因式的方法求一元二次方程．当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用小亮的方法求解，这种方法解一元二次方程的方法称为分解因式法．【教学说明】在学生解决问题的基础上引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据．三、运用新知，深化理解1．解方程5x 2＝4x .解：原方程可变形为x (5x －4)＝0……第一步∴x ＝0或5x －4＝0……第二步∴x 1＝0，x 2＝45. 【教学说明】教师提问、板书，学生回答．分析步骤(一)第一步变形的方法是“因式分解”，第二步变形的理论根据是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零”．分析步骤(二)对于一元二次方程，一边是零，而另一边易于分解成两个一次式时，可以得到两个一元一次方程，这两个一元一次方程的解就是原一元二次方程的解．用此种方法解一元二次方程叫做因式分解法．由第一步到第二步实现了由二次向一次的“转化”，达到了“降次”的目的，解高次方程常用转化的思想方法．2．用因式分解法解下列方程：(1)5x 2＋3x ＝0；(2)7x (3－x )＝4(x －3)；(3)9(x －2)2＝4(x ＋1)2.分析：(1)左边＝x (5x ＋3)，右边＝0；(2)先把右边化为0，即7x (3－x )－4(x －3)＝0，找出(3－x )与(x －3)的关系；(3)应用平方差公式．解：(1)因式分解，得x (5x ＋3)＝0，于是得x ＝0或5x ＋3＝0，x 1＝0，x 2＝－35； (2)原方程化为7x (3－x )－4(x －3)＝0，因式分解，得(x －3)(－7x －4)＝0，于是得x －3＝0或－7x －4＝0，x 1＝3，x 2＝－47； (3)原方程化为9(x －2)2－4(x ＋1)2＝0，因式分解，得[3(x －2)＋2(x ＋1)][3(x －2)－2(x ＋1)]＝0，即(5x －4)(x －8)＝0，于是得5x －4＝0或x －8＝0，x 1＝45，x 2＝8.【教学说明】(1)用因式分解法解一元二次方程的关键有两个：一是要将方程右边化为0，二是熟练掌握多项式的因式分解．(2)对原方程变形时不一定要化为一般形式，要从便于分解因式的角度考虑，但各项系数有公因数时可先化简系数．3．选择合适的方法解下列方程．(1)2x 2－5x ＋2＝0；(2)(1－x )(x ＋4)＝(x －1)(1－2x )；(3)3(x －2)2＝x 2－2x .分析：(1)题宜用公式法；(2)题中找到(1－x )与(x －1)的关系用因式分解法；(3)3(x －2)2＝x ·(x －2)用因式分解法．解：(1)a ＝2，b ＝－5，c ＝2，b 2－4ac ＝(－5)2－4×2×2＝9＞0，x ＝－（－5）±92×2＝5±34， x 1＝2，x 2＝12； (2)原方程化为(1－x )(x ＋4)＋(1－x )(1－2x )＝0，因式分解，得(1－x )(5－x )＝0，即(x －1)(x －5)＝0，x －1＝0或x －5＝0，x 1＝1，x 2＝5；(3)原方程变形为3(x －2)2－x (x －2)＝0，因式分解，得(x －2)(2x －6)＝0，x －2＝0或2x －6＝0，x 1＝2，x 2＝3.【教学说明】解一元二次方程的几种方法中，如果不能直接由平方根定义解得，首先考虑的方法通常是因式分解法，对于不易分解的应考虑配方法，而公式法比较麻烦．公式法、配方法一般可以解所有一元二次方程．4．已知(a 2＋b 2)2－(a 2＋b 2)－6＝0，求a 2＋b 2的值．分析：若把(a 2＋b 2)看作一个整体，则已知条件可以看作是以(a 2＋b 2)为未知数的一元二次方程．解：设a 2＋b 2＝x ，则原方程化为x 2－x －6＝0.a ＝1，b ＝－1，c ＝－6，b 2－4ac ＝(－1)2－4×1×(－6)＝25＞0，x ＝1±252，∴x 1＝3，x 2＝－2. 即a 2＋b 2＝3或a 2＋b 2＝－2，∵a 2＋b 2≥0，∴a 2＋b 2＝－2不符合题意应舍去，取a 2＋b 2＝3.【教学说明】(1)整体思想能帮助我们解决一些较“麻烦”的问题．(2)在做题时要注意隐含条件．5．用一根长40 cm 的铁丝围成一个面积为91 cm 2的矩形，问这个矩形长是多少？若围成一个正方形，它的面积是多少？解：设长为x cm ，则宽为(402－x ) cm ，x ·(402－x )＝91， 解这个方程，得x 1＝7，x 2＝13.当x ＝7 cm 时，402－x ＝20－7＝13(cm)(舍去)；当x ＝13 cm 时，402－x ＝20－13＝7(cm)． 当围成正方形时，它的边长为404＝10(cm)，面积为102＝100( cm 2)． 【教学说明】应用提高、拓展创新，培养学生的应用意识和创新能力．四、师生互动，课堂小结1．本节课我们学习了哪些知识？2．因式分解法解一元二次方程的步骤有哪些？【教学说明】对某些方程而言因式分解法比较快捷，不适合因式分解法的再考虑其它方法．课后作业1．布置作业：教材“习题2.7”中第1、2题．2．完成练习册中本课时练习．教学反思这节课主要学习了用因式分解法解一元二次方程的概念及其解法，解法的基本思路是将一元二次方程转化为一元一次方程，而达到目的，我们主要利用了因式分解“降次”．在今天的学习中，要逐步深入、领会、掌握“转化”这一数学思想方法．。
因式分解法解一元二次方程说课稿我是_________选手。
我今天说课的课题是因式分解法解一元二次方程选自北师大版九年级上册第二章第四节。
我说课的流程主要分为五大步：一、教材分析二、学情分析三、教法学法四、教学过程五、教学反思向大家介绍一下我对本节课的理解与分析。
一、教材分析1、教材的地位和作用一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位。
我们从知识的发展来看，学生通过一元二次方程的学习，可以对已学过实数、一元一次方程、整式、二次根式等知识加以巩固，同时一元二次方程又是今后学生学习可化为一元二次方程的分式方程、二次函数等知识的基础。
初中数学中，一些常用的解题方法、计算技巧以及主要的数学思想，在本章教材中都有比较多的体现、应用和提升。
我们从知识的横向联系上来看，学习一元二次方程对其它学科有重要意义。
很多实际问题都需要通过列、解一元二次方程来解决。
而我们想通过一元二次方程来解决实际问题，首先就要学会一元二次方程的解法。
解二次方程的基本策略是将其转化为一次方程，这就是降次。
本节课由简到难的展开学习，使学生认识即配方法、公式法后又一种新的解法因式分解法的基本原理并掌握其具体方法。
2、学生学情分析任何一个教学过程都是以传授知识、培养能力和激发兴趣为目的的。
这就要求我们教师必须从学生的认知结构和心理特征出发。
分析初中学生的心理特征，他们有强烈的好奇心和求知欲。
当他们在解决实际问题时，发现要解的方程不再是以前所学过的一元一次方程或是可化为一元一次方程的其他方程时，他们自然会想进一步研究和探索解方程的配方法问题。
而从学生的认知结构上来看，前面我们已经系统的研究了完全平方公式、二次根式，用配方法公式法后，这就为我们继续研究用因式分解法解一元二次方程奠定了基础。
3、教学目标根据大纲的要求、本节教材的内容和学生的心理特征及已有的知识经验，本节课的三维目标主要体现在：知识与能力目标：（1）理解因式分解法的思想，掌握用因式分解法解一元二次方程; （2）能利用方程解决实际问题，并增强学生的数学应用意识和能力。
