2021-2022年高中数学第2章平面向量5平面向量的基本定理教学案(无答案)苏教版必修4

2.3平面向量的基本定理及坐标表示第4课时§2.3.1 平面向量基本定理教学目的：（1）了解平面向量基本定理；（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.教学重点：平面向量基本定理.教学难点：平面向量基本定理的理解与应用.授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、 复习引入：1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa =02．运算定律 结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa +λb3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .二、讲解新课： 平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e .探究：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量三、讲解范例：例1 已知向量1e ，2e 求作向量-2.51e +32e .例2 如图 ABCD 的两条对角线交于点M ，且AB =a ，AD =b ，用a ，b MA ，，和例3已知 ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任意一点，求证：+++=4例4（1）如图，，不共线，=t (t ∈R)用，表示.（2）设OA 、OB 不共线，点P 在O 、A 、B 所在的平面内，且(1)()OP t OA tOB t R =-+∈.求证：A 、B 、P 三点共线.例5 已知 a =2e 1-3e 2，b = 2e 1+3e 2，其中e 1，e 2不共线，向量c =2e 1-9e 2，问是否存在这样的实数,d a b λμλμ=+、使与c 共线.四、课堂练习：1.设e 1、e 2是同一平面内的两个向量，则有( )A.e 1、e 2一定平行B .e 1、e 2的模相等C.同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+μe 2(λ、μ∈R )D.若e 1、e 2不共线，则同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+u e 2(λ、u ∈R )2.已知矢量a = e 1-2e 2，b =2e 1+e 2，其中e 1、e 2不共线，则a +b 与c =6e 1-2e 2的关系A.不共线 B .共线 C.相等 D.无法确定3.已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2，则x -y 的值等于( )A.3 B .-3 C.0 D.24.已知a 、b 不共线，且c =λ1a +λ2b (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1= .5.已知λ1＞0，λ2＞0，e 1、e 2是一组基底，且a =λ1e 1+λ2e 2，则a 与e 1_____，a 与e 2_________(填共线或不共线).五、小结（略）六、课后作业（略）：七、板书设计（略）八、课后记：。

2.2.1平面向量基本定理教学目的：1．了解平面向量基本定理的证明．掌握平面向量基本定理及其应用；2．能够在解题中适当地选择基底，使其它向量能够用选取的基底表示． 教学重点：平面向量基本定理．教学难点：理解平面向量基本定理．教学过程：一、设置情境，引入新课：上节课我们学习了共线向量的基本定理，通过它们判定两个向量是否平行，而且共线向量可由该集合中的任一非零向量表示出来．这个非零向量叫基向量．那么平面上的任一向量是否也具有类似属性呢？如果是这样的话，对平面上任一向量的研究就可以化归为对基向量的研究了．二、新课：1．回顾：(1) 实数与向量的积： 实数λ与向量a r 的积是一个向量，记作λa r ，它的长度和方向规定如下： (1) |λa r | = |λ||a r |． (2) λ > 0时，λa r 的方向与a r 的方向相同；当λ < 0时，λa r 的方向与a r 的方向相反；特别地，当λ = 0或a r =0r 时，λa r =0r ．(2) 共线向量的一个充要条件： 定理：向量b r 与非零向量a r 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b r = λa r ． 例1 已知向量1e u r 、2e u r ，求作向量- 2.51e u r + 32e u r ．推广：已知1e u r 、2e u r 是同一平面内的两个不共线的向量，则对于给定的两个实数λ1、λ2，都可以在这个平面内作出唯一的一个向量a r 满足 1212.a e e λλ=+2．平面向量基本定理： 如果1e u r 、2e u r 是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a r ，有且只有一对实数λ1、λ2，使 a r = λ11e u r + λ22e u r ． 例2 ABCD 的两条对角线相交于点M ，且AB uu u r =a r ，AD uuu r =b r ，用a r 、b r 表示MA uuu r 、MB uuu r 、MC uuu r 和MD uuu r ？ 解：（略 ）例3 如图，ABCD 中，E ，F 分别为BC ，DC 的中点，且AE uu u r =m u r ，AF uu u r =n r ，求AB uu u r ，AD uuu r ．解：（略）例4 如图，OA uu r 、OB uu u r 不共线，AP uu u r = t AB uu u r (t ∈ R)，用OA uu r 、OB uu u r 表示OP uu u r ．解： （略）三、小结： 1．当平面内取定一组基底1e u r 、2e u r 后，任一向量a r 都被1e u r 、2e u r 唯一确定，其含义是存在唯一数对(λ1，λ2)，使a r = λ11e u r + λ22e u r ． 2．三点A 、B 、C 共线⇔AB uu u r = k AC uuu r ⇔PB uu r = λ1PA uu r + λ2PC uu u r (其中λ1，λ2 ∈ R 且λ1 + λ2 = 1)．四、课后作业： 1．命题p ：向量b r 与a r 共线；命题q ：有且只有一个实数λ，使b r = λa r ；则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．不充分不必要条件2．如图，△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN = 2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ：PM 的值．。

《平面向量基本定理》教学设计一、背景分析1．教材分析向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。

此前的教学内容主要研究了向量的的概念和线性运算，集中反映了向量的几何特征。

本节课要讲解“平面向量基本定理”的概念和应用，是研究向量的正交分解和向量的坐标运算基础，向量的坐标运算正是向量的代数形态。

通过平面向量基本定理，平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，即“数”的运算处理“形”的问题完美结合，在整个向量知识体系中处于承上启下的核心地位。

本节课教学重点是“平面向量基本定理探究过程和利用平面向量基本定理进行向量的分解”。

2．学情分析从学生知识层面看：本节课之前已经学习了向量的基本概念和基本运算，如共线向量、向量的加法、减法和数乘运算；另外学生对向量的物理背景有了初步的认识。

在教学中引入生活实例类比出向量的分解，让学生通过课件的直观感受和动手探索总结归纳出平面向量基本定理，尤其是将图形语言转化为文字语言，对学生的能力要求比较高．因此，我认为平面向量的分解及对这种分解唯一性的理解是本节课的教学难点二.学习目标1）知识与技能1、了解平面向量基本定理及其意义，会选择基底 来表示平面中的任一向量。

2、能用平面向量基本定理进行简单的应用。

2）过程与方法1、通过平面向量基本定理的探究，让学生体验数学定理的产生、形成过程，培 养学生观察发现问题、由特殊到一般的归纳总结问题能力。

2、通过对平面向量基本定理的运用，增强学生向量的应用意识，让学生 进一步体会向量是处理几何问题强有力的工具之一。

3）情感、态度与价值观目标用现实的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知的精神， 发展学生的数学应用意识三、教学重点及难点教学重点：对平面向量基本定理的探究教学难点：对平面向量基本定理的理解及应用四、课堂结构设计为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，我把教学结构设计为以下阶段：五、教学过程设计1、复习旧知，做好铺垫复习旧知做好铺垫 问题驱动 探究新知 思考交流 构建概念 例题练习 巩固新知 归纳小结 深化认识 布置作业 巩固提高（1）向量的加法（2）向量的减法（向量的减法：向量的终点连接，箭头指向被减向量）（3）共线定理若b a a 与)0(≠共线)0(≠=a a b λ2.问题驱动、探究新知问题（1 ）已知21,e e （如图），做出2123e e +.解：做212,3e OB e OA ==,然后以为边做、OB OA OACB ,则2123e e OB OA AC OA OC +=+=+=，如下图所示：[设计意图]： 复习向量的加减法及数乘，为向量的线性表示打下基础．同时强调OC 可以沿着21,e e 分解，为学习平面向量基本定理起好铺垫作用。

§2、1 平面向量得实际背景及基本概念1、数量与向量得区别:数量只有大小,就是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小; 向量有方向,大小,双重性,不能比较大小、 2、向量得表示方法:①用有向线段表示;②用字母ａ、ｂ(黑体,印刷用)等表示; ③用有向线段得起点与终点字母:;④向量得大小――长度称为向量得模,记作||、3、有向线段:具有方向得线段就叫做有向线段,三个要素:起点、方向、长度、 向量与有向线段得区别:(1)向量只有大小与方向两个要素,与起点无关,只要大小与方向相同,则这两个向量就就是相同得向量;(2)有向线段有起点、大小与方向三个要素,起点不同,尽管大小与方向相同,也就是不同得有向线段、4、零向量、单位向量概念:①长度为0得向量叫零向量,记作0、 0得方向就是任意得、 注意0与0得含义与书写区别、②长度为1个单位长度得向量,叫单位向量、说明:零向量、单位向量得定义都只就是限制了大小、 5、平行向量定义:①方向相同或相反得非零向量叫平行向量;②我们规定0与任一向量平行、说明:(1)综合①、②才就是平行向量得完整定义;(2)向量ａ、ｂ、ｃ平行,记作ａ∥ｂ∥ｃ、6、相等向量定义:长度相等且方向相同得向量叫相等向量、说明:(1)向量ａ与ｂ相等,记作ａ＝ｂ;(2)零向量与零向量相等;(3)任意两个相等得非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段得起．．．．．．．点无关．．．、 7、共线向量与平行向量关系:平行向量就就是共线向量,这就是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线．．．．段得起点无关．．．．．．)．、 说明:(1)平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线得位置关系;(2)共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上得线段得位置关系、§2、2、1 向量得加法运算及其几何意义A(起点)B(终点)aO ABaaa bb b二、探索研究:１、向量得加法:求两个向量与得运算,叫做向量得加法、 ２、三角形法则(“首尾相接,首尾连”)如图,已知向量a 、ｂ、在平面内任取一点,作＝a ,＝ｂ,则向量叫做a 与ｂ得与,记作a ＋ｂ,即 a ＋ｂ,规定: a + 0-= 0 + a探究:(1)两相向量得与仍就是一个向量;(2)当向量与不共线时,+得方向不同向,且|+|<||+||;(3)当与同向时,则+、、同向,且|+|=||+||,当与反向时,若||>||,则+得方向与相同,且|+|=||-||;若||<||,则+得方向与相同,且|+b|=||-||、(4)“向量平移”(自由向量):使前一个向量得终点为后一个向量得起点,可以推广到n 个向量连加 ３.例一、已知向量、,求作向量+ 作法:在平面内取一点,作 ,则、 ４.加法得交换律与平行四边形法则问题:上题中+得结果与+就是否相同？ 验证结果相同从而得到:１)向量加法得平行四边形法则(对于两个向量共线不适应)２)向量加法得交换律:+=+ ５.向量加法得结合律:(+) +=+ (+) 证:如图:使, , 则(+) +=,+ (+) = ∴(+) +=+ (+)从而,多个向量得加法运算可以按照任意得次序、任意得组合来进行、第3课时§2、2、2 向量得减法运算及其几何意义1． 用“相反向量”定义向量得减法aA BCa +ba +baab b aｂｂ ａa(1) “相反向量”得定义:与a 长度相同、方向相反得向量、记作 -a (2) 规定:零向量得相反向量仍就是零向量、-(-a ) = a 、 任一向量与它得相反向量得与就是零向量、a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量,则a = -b , b = -a , a + b = 0 (3) 向量减法得定义:向量a 加上得b 相反向量,叫做a 与b 得差、 即:a - b = a + (-b ) 求两个向量差得运算叫做向量得减法、 2． 用加法得逆运算定义向量得减法: 向量得减法就是向量加法得逆运算: 若b + x = a ,则x 叫做a 与b 得差,记作a - b 3． 求作差向量:已知向量a 、b ,求作向量 ∵(a -b ) + b = a + (-b ) + b = a + 0 = a作法:在平面内取一点O , 作= a , = b则= a - b 即a - b 可以表示为从向量b 得终点指向向量a 得终点得向量、4． 探究:１）如果从向量a 得终点指向向量b 得终点作向量,那么所得向量就是b - a 、２)若a ∥b, 如何作出a - b §2、3、1平面向量基本定理复习引入:1.实数与向量得积:实数λ与向量得积就是一个向量,记作:λ(1)|λ|=|λ|||;(2)λ>0时λ与方向相同;λ<0时λ与方向相反;λ=0时λ= 2.运算定律结合律:λ(μ)=(λμ) ;分配律:(λ+μ)=λ+μ, λ(+)=λ+λ3、 向量共线定理 向量与非零向量共线得充要条件就是:有且只有一个非零实数λ,使=λ、平面向量基本定理:如果,就是同一平面内得两个不共线向量,那么对于这一平面内得任一向量,有且只有一对实数λ1,λ2使=λ1+λ2、 探究:OabBa ba -b a -bA ABBB’Oa -b a ab bO AOBa -ba -b BA O-b(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量得一组基底;(2) 基底不惟一,关键就是不共线;(3) 由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２得条件下进行分解;(4) 基底给定时,分解形式惟一、λ1,λ2就是被,,唯一确定得数量§2、3、2—§2、3、3 平面向量得正交分解与坐标表示及运算一、复习引入:1.平面向量基本定理:如果,就是同一平面内得两个不共线向量,那么对于这一平面内得任一向量,有且只有一对实数λ1,λ2使=λ1+λ2(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量得一组基底;(2)基底不惟一,关键就是不共线;(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２得条件下进行分解;(4)基底给定时,分解形式惟一、λ1,λ2就是被,,唯一确定得数量二、讲解新课:1.平面向量得坐标表示如图,在直角坐标系内,我们分别取与轴、轴方向相同得两个单位向量、作为基底、任作一个向量,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数、,使得…………○1我们把叫做向量得(直角)坐标,记作…………○2其中叫做在轴上得坐标,叫做在轴上得坐标,○2式叫做向量得坐标表示、与相等得向量得坐标也为．．．．．．．．．．．、特别地,,,、如图,在直角坐标平面内,以原点O为起点作,则点得位置由唯一确定、设,则向量得坐标就就是点得坐标;反过来,点得坐标也就就是向量得坐标、因此,在平面直角坐标系内,每一个平面向量都就是可以用一对实数唯一表示、2.平面向量得坐标运算(1) 若,,则,两个向量与与差得坐标分别等于这两个向量相应坐标得与与差、设基底为、,则即,同理可得(2)若,,则一个向量得坐标等于表示此向量得有向线段得终点坐标减去始点得坐标、=-=( x2, y2) - (x1,y1)= (x2- x1, y2- y1)(3)若与实数,则、实数与向量得积得坐标等于用这个实数乘原来向量得相应坐标、设基底为、,则,即第6课时§2、3、4 平面向量共线得坐标表示一、复习引入:1.平面向量得坐标表示分别取与轴、轴方向相同得两个单位向量、作为基底、任作一个向量,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数、,使得把叫做向量得(直角)坐标,记作其中叫做在轴上得坐标,叫做在轴上得坐标, 特别地,,,、2.平面向量得坐标运算若,,则,,、若,,则二、讲解新课:∥(≠)得充要条件就是x1y2-x2y1=0设=(x1, y1) ,=(x2, y2) 其中≠、由=λ得, (x1, y1) =λ(x2, y2) 消去λ,x1y2-x2y1=0探究:(1)消去λ时不能两式相除,∵y1, y2有可能为0, ∵≠∴x2, y2中至少有一个不为0(2)充要条件不能写成∵x1, x2有可能为0(3)从而向量共线得充要条件有两种形式:∥(≠)§2、4平面向量得数量积一、平面向量得数量积得物理背景及其含义一、复习引入:1. 向量共线定理向量与非零向量共线得充要条件就是:有且只有一个非零实数λ,使=λ、2.平面向量基本定理:如果,就是同一平面内得两个不共线向量,那么对于这一平面内得任一向量,有且只有一对实数λ1,λ2使=λ1+λ23.平面向量得坐标表示分别取与轴、轴方向相同得两个单位向量、作为基底、任作一个向量,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数、,使得把叫做向量得(直角)坐标,记作4.平面向量得坐标运算若,,则,,、若,,则5.∥(≠)得充要条件就是x1y2-x2y1=06.线段得定比分点及λP1, P2就是直线l上得两点,P就是l上不同于P1, P2得任一点,存在实数λ,使=λ,λ叫做点P分所成得比,有三种情况:λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)7、定比分点坐标公式:若点P１(x1,y1) ,Ｐ２(x2,y2),λ为实数,且＝λ,则点P得坐标为(),我们称λ为点P分所成得比、8、点P得位置与λ得范围得关系:①当λ＞０时,与同向共线,这时称点P为得内分点、②当λ＜０()时,与反向共线,这时称点P为得外分点、9、线段定比分点坐标公式得向量形式:在平面内任取一点O,设＝ａ,＝ｂ,可得=、10.力做得功:W = |F|⋅|s|cosθ,θ就是F与s得夹角、二、讲解新课:1.两个非零向量夹角得概念已知非零向量ａ与ｂ,作＝ａ,＝ｂ,则∠ＡＯＢ＝θ(０≤θ≤π)叫ａ与ｂ得夹角、说明:(1)当θ＝０时,ａ与ｂ同向;(2)当θ＝π时,ａ与ｂ反向;(3)当θ＝时,ａ与ｂ垂直,记ａ⊥ｂ;(4)注意在两向量得夹角定义,两向量必须就是同起点得、范围0︒≤θ≤180︒C2.平面向量数量积(内积)得定义:已知两个非零向量ａ与ｂ,它们得夹角就是θ,则数量|a||b|cosθ叫ａ与ｂ得数量积,记作a⋅b,即有a⋅b= |a||b|cosθ,(０≤θ≤π)、并规定0与任何向量得数量积为0、⋅探究:两个向量得数量积与向量同实数积有很大区别(1)两个向量得数量积就是一个实数,不就是向量,符号由cosθ得符号所决定、(2)两个向量得数量积称为内积,写成a⋅b;今后要学到两个向量得外积a×b,而a⋅b就是两个向量得数量得积,书写时要严格区分、符号“·”在向量运算中不就是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替、(3)在实数中,若a≠0,且a⋅b=0,则b=0;但就是在数量积中,若a≠0,且a⋅b=0,不能推出b=0、因为其中cosθ有可能为0、(4)已知实数a、b、c(b≠0),则ab=bc ⇒ a=c、但就是a⋅b = b⋅c a = c如右图:a⋅b = |a||b|cosβ = |b||OA|,b⋅c = |b||c|cosα = |b||OA|⇒ a⋅b = b⋅c但a≠c(5)在实数中,有(a⋅b)c = a(b⋅c),但就是(a⋅b)c≠a(b⋅c)显然,这就是因为左端就是与c共线得向量,而右端就是与a共线得向量,而一般a与c不共线、3.“投影”得概念:作图定义:|b|cosθ叫做向量b在a方向上得投影、投影也就是一个数量,不就是向量;当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ = 0︒时投影为|b|;当θ = 180︒时投影为-|b|、4.向量得数量积得几何意义:数量积a⋅b等于a得长度与b在a方向上投影|b|cosθ得乘积、5.两个向量得数量积得性质:设a、b为两个非零向量,e就是与b同向得单位向量、1︒e⋅a = a⋅e =|a|cosθ2︒a⊥b⇔a⋅b = 03︒当a与b同向时,a⋅b = |a||b|;当a与b反向时,a⋅b = -|a||b|、特别得a⋅a = |a|2或4︒cosθ =5︒|a⋅b| ≤|a||b|二、平面向量数量积得运算律一、复习引入:1.两个非零向量夹角得概念已知非零向量ａ与ｂ,作＝ａ,＝ｂ,则∠ＡＯＢ＝θ(０≤θ≤π)叫ａ与ｂ得夹角、2.平面向量数量积(内积)得定义:已知两个非零向量ａ与ｂ,它们得夹角就是θ,则数量|a||b|cosθ叫ａ与ｂ得数量积,记作a⋅b,即有a⋅b = |a||b|cosθ,(０≤θ≤π)、并规定0与任何向量得数量积为0、3.“投影”得概念:作图C 定义:|b|cosθ叫做向量b在a方向上得投影、投影也就是一个数量,不就是向量;当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ = 0︒时投影为|b|;当θ = 180︒时投影为-|b|、4.向量得数量积得几何意义:数量积a⋅b等于a得长度与b在a方向上投影|b|cosθ得乘积、5.两个向量得数量积得性质:设a、b为两个非零向量,e就是与b同向得单位向量、1︒e⋅a = a⋅e =|a|cosθ; 2︒a⊥b⇔a⋅b = 03︒当a与b同向时,a⋅b = |a||b|;当a与b反向时,a⋅b = -|a||b|、特别得a⋅a = |a|2或4︒cosθ = ;5︒|a⋅b| ≤|a||b|二、讲解新课:平面向量数量积得运算律1.交换律:a⋅b = b⋅a证:设a,b夹角为θ,则a⋅b = |a||b|cosθ,b⋅a = |b||a|cosθ∴a⋅b = b⋅a2.数乘结合律:(a)⋅b =(a⋅b) = a⋅(b)证:若> 0,(a)⋅b =|a||b|cosθ, (a⋅b) =|a||b|cosθ,a⋅(b) =|a||b|cosθ,若< 0,(a)⋅b =|a||b|cos(π-θ) = -|a||b|(-cosθ) =|a||b|cosθ,(a⋅b) =|a||b|cosθ,a⋅(b) =|a||b|cos(π-θ) = -|a||b|(-cosθ) =|a||b|cosθ、3.分配律:(a + b)⋅c = a⋅c + b⋅c在平面内取一点O,作= a, = b,= c, ∵a + b (即)在c方向上得投影等于a、b在c方向上得投影与,即|a + b| cosθ = |a| cosθ1 + |b| cosθ2∴| c | |a + b| cosθ =|c| |a| cosθ1 + |c| |b| cosθ2, ∴c⋅(a + b) = c⋅a + c⋅b即:(a + b)⋅c = a⋅c + b⋅c说明:(1)一般地,(ａ·ｂ)с≠ａ(ｂ·с)(2)ａ·с＝ｂ·с,с≠0ａ＝ｂ(3)有如下常用性质:ａ２＝｜ａ｜２,(ａ＋ｂ)(с＋ｄ)＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２三、平面向量数量积得坐标表示、模、夹角一、复习引入:1.两个非零向量夹角得概念已知非零向量ａ与ｂ,作＝ａ,＝ｂ,则∠ＡＯＢ＝θ(０≤θ≤π)叫ａ与ｂ得夹角、2.平面向量数量积(内积)得定义:已知两个非零向量ａ与ｂ,它们得夹角就是θ,则数量|a||b|cosθ叫ａ与ｂ得数量积,记作a⋅b,即有a⋅b = |a||b|cosθ,(０≤θ≤π)、并规定0与任何向量得数量积为0、3.向量得数量积得几何意义:数量积a⋅b等于a得长度与b在a方向上投影|b|cosθ得乘积、4.两个向量得数量积得性质:设a、b为两个非零向量,e就是与b同向得单位向量、1︒e⋅a = a⋅e =|a|cosθ; 2︒a⊥b⇔a⋅b = 03︒当a与b同向时,a⋅b = |a||b|;当a与b反向时,a⋅b = -|a||b|、特别得a⋅a = |a|2或4︒cosθ = ;5︒|a⋅b| ≤|a||b|5.平面向量数量积得运算律交换律:a⋅b = b⋅a数乘结合律:(a)⋅b =(a⋅b) = a⋅(b)分配律:(a + b)⋅c = a⋅c + b⋅c二、讲解新课:⒈平面两向量数量积得坐标表示已知两个非零向量,,试用与得坐标表示、设就是轴上得单位向量,就是轴上得单位向量,那么,所以又,,,所以这就就是说:两个向量得数量积等于它们对应坐标得乘积得与、即2、平面内两点间得距离公式一、设,则或、(2)如果表示向量得有向线段得起点与终点得坐标分别为、,那么(平面内两点间得距离公式)二、向量垂直得判定设,,则三、两向量夹角得余弦()co sθ =。

平面向量基本定理的教案设计教学目标知识与技能目标 理解平面向量基本定理及意义过程与方法目标 培养学生观察、猜想等发现规律的一般方法，培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力情感、态度、价值观目标 培养学生逐步养成独立思考和互助学习的习惯，激发学生学习的兴趣和钻研精神 教学重点平面向量基本定理教学难点平面向量基本定理的理解与应用教具准备 直尺、投影仪 教学过程 一、复习回顾 向量共线定理向量a )(≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b =λa .强调：系数λ的存在性与唯一性。

二、情景引入问题1 给定平面内两个不共线向量1e 、2e ，你能否作出31e +22e ， 1e －22e ？ 1e 2e我们可以利用平行四边形法则做出形如1λ1e +2λ2e 的向量。

反过来，任意一个向量是否都可以写成1λ1e +2λ2e 的形式呢？问题2 一枚导弹以1000h km /的初速度，与地面成 30角发射时，水平方向和竖直方向的速度分别是多少？问题3 给定平面内两个不共线向量1e 、2e，你能否将平面内任意向量a分解到1e 、2e 的方向上？1e 2e a如图所示，在平面内任取点O ，作=OA 1e ,=OB 2e ,=OC a . 作平行四边形ONCM. 则ON OM OC +=.由向量共线定理可得，存在唯一的实数1λ，使=OM 1λ1e ;存在唯一的实数2λ，使=ON 2λ2e .即存在唯一的实数对1λ，2λ，使得=1λ1e +2λ2e . M C强调：向量a 的任意性、1e 、2e 不共线、系数1λ，2λ的存在性与唯一性。

三、新课探究讨论探究：同学们能否总结出平面向量基本定理的内容？如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数1λ，2λ，使=1λ1e +2λ2e 。

我们把不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

小组合作思考下列问题：（1）什么样的两个向量可以作为平面内所有向量的一组基底？ （2）一个平面的基底是唯一的吗？（3）当平面的基底给定时，任意向量的分解形式惟一的吗？（4）1e 、2e 是平面的一组基底，且a =λ11e +λ22e =k 11e +k 22e ，你能得出什么结论？由λ11e +λ22e =0，你又能得出什么结论？[设计意图]通过以上四个问题层层递进地将平面向量表示定理展现出来，对其中的关键点予以分析讨论，便于学生的理解。

§2、1 平面向量得实际背景及基本概念1、数量与向量得区别:数量只有大小,就是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小; 向量有方向,大小,双重性,不能比较大小、 2、向量得表示方法:①用有向线段表示;②用字母ａ、ｂ(黑体,印刷用)等表示; ③用有向线段得起点与终点字母:;④向量得大小――长度称为向量得模,记作||、3、有向线段:具有方向得线段就叫做有向线段,三个要素:起点、方向、长度、 向量与有向线段得区别:(1)向量只有大小与方向两个要素,与起点无关,只要大小与方向相同,则这两个向量就就是相同得向量;(2)有向线段有起点、大小与方向三个要素,起点不同,尽管大小与方向相同,也就是不同得有向线段、4、零向量、单位向量概念:①长度为0得向量叫零向量,记作0、 0得方向就是任意得、 注意0与0得含义与书写区别、②长度为1个单位长度得向量,叫单位向量、说明:零向量、单位向量得定义都只就是限制了大小、 5、平行向量定义:①方向相同或相反得非零向量叫平行向量;②我们规定0与任一向量平行、说明:(1)综合①、②才就是平行向量得完整定义;(2)向量ａ、ｂ、ｃ平行,记作ａ∥ｂ∥ｃ、6、相等向量定义:长度相等且方向相同得向量叫相等向量、说明:(1)向量ａ与ｂ相等,记作ａ＝ｂ;(2)零向量与零向量相等;(3)任意两个相等得非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段得起．．．．．．．点无关．．．、 7、共线向量与平行向量关系:平行向量就就是共线向量,这就是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线．．．．段得起点无关．．．．．．)．、 说明:(1)平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线得位置关系;(2)共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上得线段得位置关系、§2、2、1 向量得加法运算及其几何意义A(起点)B(终点)aO ABaaa bb b二、探索研究:１、向量得加法:求两个向量与得运算,叫做向量得加法、 ２、三角形法则(“首尾相接,首尾连”)如图,已知向量a 、ｂ、在平面内任取一点,作＝a ,＝ｂ,则向量叫做a 与ｂ得与,记作a ＋ｂ,即 a ＋ｂ,规定: a + 0-= 0 + a探究:(1)两相向量得与仍就是一个向量;(2)当向量与不共线时,+得方向不同向,且|+|<||+||;(3)当与同向时,则+、、同向,且|+|=||+||,当与反向时,若||>||,则+得方向与相同,且|+|=||-||;若||<||,则+得方向与相同,且|+b|=||-||、(4)“向量平移”(自由向量):使前一个向量得终点为后一个向量得起点,可以推广到n 个向量连加 ３.例一、已知向量、,求作向量+ 作法:在平面内取一点,作 ,则、 ４.加法得交换律与平行四边形法则问题:上题中+得结果与+就是否相同？ 验证结果相同从而得到:１)向量加法得平行四边形法则(对于两个向量共线不适应)２)向量加法得交换律:+=+ ５.向量加法得结合律:(+) +=+ (+) 证:如图:使, , 则(+) +=,+ (+) = ∴(+) +=+ (+)从而,多个向量得加法运算可以按照任意得次序、任意得组合来进行、第3课时§2、2、2 向量得减法运算及其几何意义1． 用“相反向量”定义向量得减法aA BCa +ba +baab b aｂｂ ａa(1) “相反向量”得定义:与a 长度相同、方向相反得向量、记作 -a (2) 规定:零向量得相反向量仍就是零向量、-(-a ) = a 、 任一向量与它得相反向量得与就是零向量、a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量,则a = -b , b = -a , a + b = 0 (3) 向量减法得定义:向量a 加上得b 相反向量,叫做a 与b 得差、 即:a - b = a + (-b ) 求两个向量差得运算叫做向量得减法、 2． 用加法得逆运算定义向量得减法: 向量得减法就是向量加法得逆运算: 若b + x = a ,则x 叫做a 与b 得差,记作a - b 3． 求作差向量:已知向量a 、b ,求作向量 ∵(a -b ) + b = a + (-b ) + b = a + 0 = a作法:在平面内取一点O , 作= a , = b则= a - b 即a - b 可以表示为从向量b 得终点指向向量a 得终点得向量、4． 探究:１）如果从向量a 得终点指向向量b 得终点作向量,那么所得向量就是b - a 、２)若a ∥b, 如何作出a - b §2、3、1平面向量基本定理复习引入:1.实数与向量得积:实数λ与向量得积就是一个向量,记作:λ(1)|λ|=|λ|||;(2)λ>0时λ与方向相同;λ<0时λ与方向相反;λ=0时λ= 2.运算定律结合律:λ(μ)=(λμ) ;分配律:(λ+μ)=λ+μ, λ(+)=λ+λ3、 向量共线定理 向量与非零向量共线得充要条件就是:有且只有一个非零实数λ,使=λ、平面向量基本定理:如果,就是同一平面内得两个不共线向量,那么对于这一平面内得任一向量,有且只有一对实数λ1,λ2使=λ1+λ2、 探究:OabBa ba -b a -bA ABBB’Oa -b a ab bO AOBa -ba -b BA O-b(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量得一组基底;(2) 基底不惟一,关键就是不共线;(3) 由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２得条件下进行分解;(4) 基底给定时,分解形式惟一、λ1,λ2就是被,,唯一确定得数量§2、3、2—§2、3、3 平面向量得正交分解与坐标表示及运算一、复习引入:1.平面向量基本定理:如果,就是同一平面内得两个不共线向量,那么对于这一平面内得任一向量,有且只有一对实数λ1,λ2使=λ1+λ2(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量得一组基底;(2)基底不惟一,关键就是不共线;(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２得条件下进行分解;(4)基底给定时,分解形式惟一、λ1,λ2就是被,,唯一确定得数量二、讲解新课:1.平面向量得坐标表示如图,在直角坐标系内,我们分别取与轴、轴方向相同得两个单位向量、作为基底、任作一个向量,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数、,使得…………○1我们把叫做向量得(直角)坐标,记作…………○2其中叫做在轴上得坐标,叫做在轴上得坐标,○2式叫做向量得坐标表示、与相等得向量得坐标也为．．．．．．．．．．．、特别地,,,、如图,在直角坐标平面内,以原点O为起点作,则点得位置由唯一确定、设,则向量得坐标就就是点得坐标;反过来,点得坐标也就就是向量得坐标、因此,在平面直角坐标系内,每一个平面向量都就是可以用一对实数唯一表示、2.平面向量得坐标运算(1) 若,,则,两个向量与与差得坐标分别等于这两个向量相应坐标得与与差、设基底为、,则即,同理可得(2)若,,则一个向量得坐标等于表示此向量得有向线段得终点坐标减去始点得坐标、=-=( x2, y2) - (x1,y1)= (x2- x1, y2- y1)(3)若与实数,则、实数与向量得积得坐标等于用这个实数乘原来向量得相应坐标、设基底为、,则,即第6课时§2、3、4 平面向量共线得坐标表示一、复习引入:1.平面向量得坐标表示分别取与轴、轴方向相同得两个单位向量、作为基底、任作一个向量,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数、,使得把叫做向量得(直角)坐标,记作其中叫做在轴上得坐标,叫做在轴上得坐标, 特别地,,,、2.平面向量得坐标运算若,,则,,、若,,则二、讲解新课:∥(≠)得充要条件就是x1y2-x2y1=0设=(x1, y1) ,=(x2, y2) 其中≠、由=λ得, (x1, y1) =λ(x2, y2) 消去λ,x1y2-x2y1=0探究:(1)消去λ时不能两式相除,∵y1, y2有可能为0, ∵≠∴x2, y2中至少有一个不为0(2)充要条件不能写成∵x1, x2有可能为0(3)从而向量共线得充要条件有两种形式:∥(≠)§2、4平面向量得数量积一、平面向量得数量积得物理背景及其含义一、复习引入:1. 向量共线定理向量与非零向量共线得充要条件就是:有且只有一个非零实数λ,使=λ、2.平面向量基本定理:如果,就是同一平面内得两个不共线向量,那么对于这一平面内得任一向量,有且只有一对实数λ1,λ2使=λ1+λ23.平面向量得坐标表示分别取与轴、轴方向相同得两个单位向量、作为基底、任作一个向量,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数、,使得把叫做向量得(直角)坐标,记作4.平面向量得坐标运算若,,则,,、若,,则5.∥(≠)得充要条件就是x1y2-x2y1=06.线段得定比分点及λP1, P2就是直线l上得两点,P就是l上不同于P1, P2得任一点,存在实数λ,使=λ,λ叫做点P分所成得比,有三种情况:λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)7、定比分点坐标公式:若点P１(x1,y1) ,Ｐ２(x2,y2),λ为实数,且＝λ,则点P得坐标为(),我们称λ为点P分所成得比、8、点P得位置与λ得范围得关系:①当λ＞０时,与同向共线,这时称点P为得内分点、②当λ＜０()时,与反向共线,这时称点P为得外分点、9、线段定比分点坐标公式得向量形式:在平面内任取一点O,设＝ａ,＝ｂ,可得=、10.力做得功:W = |F|⋅|s|cosθ,θ就是F与s得夹角、二、讲解新课:1.两个非零向量夹角得概念已知非零向量ａ与ｂ,作＝ａ,＝ｂ,则∠ＡＯＢ＝θ(０≤θ≤π)叫ａ与ｂ得夹角、说明:(1)当θ＝０时,ａ与ｂ同向;(2)当θ＝π时,ａ与ｂ反向;(3)当θ＝时,ａ与ｂ垂直,记ａ⊥ｂ;(4)注意在两向量得夹角定义,两向量必须就是同起点得、范围0︒≤θ≤180︒C2.平面向量数量积(内积)得定义:已知两个非零向量ａ与ｂ,它们得夹角就是θ,则数量|a||b|cosθ叫ａ与ｂ得数量积,记作a⋅b,即有a⋅b= |a||b|cosθ,(０≤θ≤π)、并规定0与任何向量得数量积为0、⋅探究:两个向量得数量积与向量同实数积有很大区别(1)两个向量得数量积就是一个实数,不就是向量,符号由cosθ得符号所决定、(2)两个向量得数量积称为内积,写成a⋅b;今后要学到两个向量得外积a×b,而a⋅b就是两个向量得数量得积,书写时要严格区分、符号“·”在向量运算中不就是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替、(3)在实数中,若a≠0,且a⋅b=0,则b=0;但就是在数量积中,若a≠0,且a⋅b=0,不能推出b=0、因为其中cosθ有可能为0、(4)已知实数a、b、c(b≠0),则ab=bc ⇒ a=c、但就是a⋅b = b⋅c a = c如右图:a⋅b = |a||b|cosβ = |b||OA|,b⋅c = |b||c|cosα = |b||OA|⇒ a⋅b = b⋅c但a≠c(5)在实数中,有(a⋅b)c = a(b⋅c),但就是(a⋅b)c≠a(b⋅c)显然,这就是因为左端就是与c共线得向量,而右端就是与a共线得向量,而一般a与c不共线、3.“投影”得概念:作图定义:|b|cosθ叫做向量b在a方向上得投影、投影也就是一个数量,不就是向量;当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ = 0︒时投影为|b|;当θ = 180︒时投影为-|b|、4.向量得数量积得几何意义:数量积a⋅b等于a得长度与b在a方向上投影|b|cosθ得乘积、5.两个向量得数量积得性质:设a、b为两个非零向量,e就是与b同向得单位向量、1︒e⋅a = a⋅e =|a|cosθ2︒a⊥b⇔a⋅b = 03︒当a与b同向时,a⋅b = |a||b|;当a与b反向时,a⋅b = -|a||b|、特别得a⋅a = |a|2或4︒cosθ =5︒|a⋅b| ≤|a||b|二、平面向量数量积得运算律一、复习引入:1.两个非零向量夹角得概念已知非零向量ａ与ｂ,作＝ａ,＝ｂ,则∠ＡＯＢ＝θ(０≤θ≤π)叫ａ与ｂ得夹角、2.平面向量数量积(内积)得定义:已知两个非零向量ａ与ｂ,它们得夹角就是θ,则数量|a||b|cosθ叫ａ与ｂ得数量积,记作a⋅b,即有a⋅b = |a||b|cosθ,(０≤θ≤π)、并规定0与任何向量得数量积为0、3.“投影”得概念:作图C 定义:|b|cosθ叫做向量b在a方向上得投影、投影也就是一个数量,不就是向量;当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ = 0︒时投影为|b|;当θ = 180︒时投影为-|b|、4.向量得数量积得几何意义:数量积a⋅b等于a得长度与b在a方向上投影|b|cosθ得乘积、5.两个向量得数量积得性质:设a、b为两个非零向量,e就是与b同向得单位向量、1︒e⋅a = a⋅e =|a|cosθ; 2︒a⊥b⇔a⋅b = 03︒当a与b同向时,a⋅b = |a||b|;当a与b反向时,a⋅b = -|a||b|、特别得a⋅a = |a|2或4︒cosθ = ;5︒|a⋅b| ≤|a||b|二、讲解新课:平面向量数量积得运算律1.交换律:a⋅b = b⋅a证:设a,b夹角为θ,则a⋅b = |a||b|cosθ,b⋅a = |b||a|cosθ∴a⋅b = b⋅a2.数乘结合律:(a)⋅b =(a⋅b) = a⋅(b)证:若> 0,(a)⋅b =|a||b|cosθ, (a⋅b) =|a||b|cosθ,a⋅(b) =|a||b|cosθ,若< 0,(a)⋅b =|a||b|cos(π-θ) = -|a||b|(-cosθ) =|a||b|cosθ,(a⋅b) =|a||b|cosθ,a⋅(b) =|a||b|cos(π-θ) = -|a||b|(-cosθ) =|a||b|cosθ、3.分配律:(a + b)⋅c = a⋅c + b⋅c在平面内取一点O,作= a, = b,= c, ∵a + b (即)在c方向上得投影等于a、b在c方向上得投影与,即|a + b| cosθ = |a| cosθ1 + |b| cosθ2∴| c | |a + b| cosθ =|c| |a| cosθ1 + |c| |b| cosθ2, ∴c⋅(a + b) = c⋅a + c⋅b即:(a + b)⋅c = a⋅c + b⋅c说明:(1)一般地,(ａ·ｂ)с≠ａ(ｂ·с)(2)ａ·с＝ｂ·с,с≠0ａ＝ｂ(3)有如下常用性质:ａ２＝｜ａ｜２,(ａ＋ｂ)(с＋ｄ)＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２三、平面向量数量积得坐标表示、模、夹角一、复习引入:1.两个非零向量夹角得概念已知非零向量ａ与ｂ,作＝ａ,＝ｂ,则∠ＡＯＢ＝θ(０≤θ≤π)叫ａ与ｂ得夹角、2.平面向量数量积(内积)得定义:已知两个非零向量ａ与ｂ,它们得夹角就是θ,则数量|a||b|cosθ叫ａ与ｂ得数量积,记作a⋅b,即有a⋅b = |a||b|cosθ,(０≤θ≤π)、并规定0与任何向量得数量积为0、3.向量得数量积得几何意义:数量积a⋅b等于a得长度与b在a方向上投影|b|cosθ得乘积、4.两个向量得数量积得性质:设a、b为两个非零向量,e就是与b同向得单位向量、1︒e⋅a = a⋅e =|a|cosθ; 2︒a⊥b⇔a⋅b = 03︒当a与b同向时,a⋅b = |a||b|;当a与b反向时,a⋅b = -|a||b|、特别得a⋅a = |a|2或4︒cosθ = ;5︒|a⋅b| ≤|a||b|5.平面向量数量积得运算律交换律:a⋅b = b⋅a数乘结合律:(a)⋅b =(a⋅b) = a⋅(b)分配律:(a + b)⋅c = a⋅c + b⋅c二、讲解新课:⒈平面两向量数量积得坐标表示已知两个非零向量,,试用与得坐标表示、设就是轴上得单位向量,就是轴上得单位向量,那么,所以又,,,所以这就就是说:两个向量得数量积等于它们对应坐标得乘积得与、即2、平面内两点间得距离公式一、设,则或、(2)如果表示向量得有向线段得起点与终点得坐标分别为、,那么(平面内两点间得距离公式)二、向量垂直得判定设,,则三、两向量夹角得余弦()co sθ =。

《平面向量基本定理》教课设计【教材】人教版数学必修【教课对象】高一学生4（A版）第 105-106 页【课时安排】1个课时【讲课教师】华南师范大学数学科学学院陈晓妹【教材解析】1.向量在数学中的地位向量是近代数学中重要的观点，它不单是交流代数与几何的桥梁，仍是解决很多实质问题的重要工具，所以拥有很高的教育价值。

2.本节在教课中的地位平面向量基本定理是向量进行坐标表示，并由此进一步将向量运算转变为坐标运算的重要基础；该“定理”以二维向量空间为依靠，能够推行到 n 维向量空间，是此后引出空间向量用三维坐标表示的基础。

所以本节知识在本章中起承前启后的作用。

3.本节在教课思想方面的培育价值平面向量基本定理包含了转变的数学思想。

它是用基本因素用基本因素（基底、元）表达事物（向量空间、拥有某种性质的对象的会合），并把对事物的研究转变为对事物基本因素研究的典型典范，这是人们认识事物的一种重要方法。

【目标解析】知识与技术1.理解平面向量的基底的意义与作用，学会选择适合的基底，将简单图形中的任一直量表2.示为一组基底的线性组合；认识平面向量的基本定理，初步利用定理解决问题（如订交线交成线段比的问题等）。

过程与方法1.经过平面向量基本定理，认识平面向量的“二维”性，并由此进一步领会“某一方向上的向量的一维性”，培育“维数”的基本观点；2.经过对平面向量基本定理的研究过程，让学生领会数学定理的产生、形成过程，体验定理所包含的转变思想。

感情态度价值观1.培育学生主动研究知识、合作交流的意识，感觉数学思想的全过程；2.与物理学科之间的浸透，改良数学学习信念，提升学生学习数学的兴趣。

【学情解析】有益因素1.学生在前方已经掌握了向量的基本观点和基本运算（特别是向量加法平行四边形法例和向量共线的充要条件）都为学生学习本节内容供给了知识准备；2.学生在物理学科的学习中已经清楚了力的合成和力的分解，同时作图习惯已经养成，这为我们学习向量分解供给了认知准备。

山东省郯城第三中学高一数学《平面向量基本定理》教案教学目的：（1）理解平面向量的基本定理；（2）理解平面向量的坐标的概念教学重点：平面向量的坐标表示教学难点：向量的坐标表示的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使b =λa [二、讲解新课：1．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e 探究：(1)我们把不共线向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a 在给出基底1e 、2e 的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量.2．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得a xi yj =+…………○1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作(,)a x y =…………○2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x特别地，(1,0)i =，(0,1)j =，0(0,0)=如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作OA a =，则点A 的位置由a 唯一确定设OA xi yj =+，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示三、讲解范例：例1如图，用基底i ，j 分别表示向量a 、b 、c 、d ,并求出它们的坐标. 解：由图可知 a= 12AA AA +=2i +3j,∴ a=(2,3)同理，b =-2i +3j =(-2,3)c =-2i-3j =(-2,-3)d =2i -3j =(2,-3)例2已知平面上三点的坐标分别为A(-2, 1), B(-1, 3), C(3, 4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点解：当平行四边形为ABCD 时，由AB DC =得D 1=(2, 2)当平行四边形为ACDB 时，得D 2=(4, 6)当平行四边形为DACB 时，得D 3=(-6, 0)四、课堂练习：五、小结 1．向量的坐标概念 2．向量坐标的运算六、课后作业：七、板书设计（略）中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。

《平面向量基本定理》教案一、教学目标：1.知识与技能：了解平面向量基本定理及其意义, 理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示；能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表示。

2.过程与方法：让学生经历平面向量基本定理的探索与发现的形成过程,体会由特殊到一般和数形结合的数学思想，初步掌握应用平面向量基本定理分解向量的方法，培养学生分析问题与解决问题的能力。

3.情感、态度和价值观通过对平面向量基本定理的学习,激发学生的学习兴趣,调动学习积极性,增强学生向量的应用意识,并培养学生合作交流的意识及积极探索勇于发现的学习品质.二、教学重点：平面向量基本定理.三、教学难点：平面向量基本定理的理解与应用.四、教学方法：探究发现、讲练结合五、授课类型：新授课六、教具：电子白板、黑板和课件七、教学过程：（一）情境引课，板书课题由导弹的发射情境，引出物理中矢量的分解，进而探究我们数学中的向量是不是也可以沿两个不同方向的向量进行分解呢？（二）复习铺路，渐进新课在共线向量定理的复习中，自然地、渐进地融入到平面向量基本定理的师生互动合作的探究与发现中去，感受着从特殊到一般、分类讨论和数形结合的数学思想碰撞的火花，体验着学习的快乐。

（三）归纳总结，形成定理让学生在发现学习的.过程中归纳总结出平面向量基本定理，并给出基底的定义。

（四）反思定理，解读要点反思平面向量基本定理的实质即向量分解，思考基底的不共线、不惟一和非零性及实数对的存在性和唯一性。

（五）跟踪练习，反馈测试及时跟踪练习，反馈测试定理的理解程度。

（六）讲练结合，巩固理解即讲即练定理的应用，讲练结合，进一步巩固理解平面向量基本定理。

（七）夹角概念，顺势得出不共线向量的不同方向的位置关系怎么表示，夹角概念顺势得出。

然后数形结合，讲清本质：夹角共起点。

再结合例题巩固加深。

（八）课堂小结，画龙点睛回顾本节的学习过程，小结学习要点及数学思想方法，老师的“教”与学生的“学”浑然一体，一气呵成。

高中数学平面向量教案（精选6篇）为大家收集的高中数学平面向量教案，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。

高中数学平面向量教案精选篇1教学目标1、了解基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理。

会用基底表示平面内任一向量。

2、掌握向量夹角的定义以及两向量垂直的定义。

学情分析前几节课已经学习了向量的基本概念和基本运算，如共线向量、向量的加法、减法和数乘运算及向量共线的充要条件等；另外学生对向量的物理背景有了初步的了解。

如：力的合成与分解、位移、速度的合成与分解等，都为学习这节课作了充分准备重点难点重点：对平面向量基本定理的探究难点：对平面向量基本定理的理解及其应用教学过程4.1第一学时教学活动活动1【导入】情景设置火箭在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度v＝vx＋vy＝6i＋4j。

活动2【活动】探究已知平面中两个不共线向量e1，e2，c是平面内任意向量，求向量c＝___e1＋___e2（课堂上准备好几张带格子的纸张，上面有三个向量，e1，e2，c）做法：作OA＝e1，OB＝e2，OC＝c，过点C作平行于OB的直线，交直线OA于M；过点C作平行于OA的直线，交OB于N，则有且只有一对实数l1，l2，使得OM＝l1e1，ON＝l2e2。

因为OC＝OM＋ON，所以c＝6 e1＋6e2。

向量c＝__6__e1＋___6__e2活动3【练习】动手做一做请同学们自己作出一向量a，并把向量a表示成：a＝31;31;31;31;____e1＋_____（做完后，思考一下，这样的一组实数是否是唯一的呢？）（是唯一的）由刚才的几个实例，可以得出结论：如果给定向量e1，e2，平面内的任一向量a，都可以表示成a＝入1e1＋入2e2。

活动4【活动】思考问题2：如果e1，e2是平面内任意两向量，那么平面内的任一向量a还可以表示成a＝入1e1＋入2e2的形式吗?生：不行，e1，e2必须是平面内两不共线向量活动5【讲授】平面向量基本定理平面向量基本定理：如果e1，e2是平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数l1，l2，使a＝l1e1＋l2e2。