高中数学必修4优质学案(第三辑)平面向量基本定理 Word版含解析

2．3．1-----2.3.2平面向量基本定理、正交分解及坐标表示一、教材分析：本节课是在学生学习了向量的概念及表示向量的线性运算后对向量知识的进一步学习。

平面向量基本定理和坐标表示及综合前面的向量知识，同时又是后续向量的坐标运算奠定了基础，起到了承前启后的作用。

过程与方法借助于由特殊到一般的方式得出平面向量基本定理及坐标表示的过程，培养分析问题和解决问题的能力。

二、学习目标1、理解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题。

2、理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示了。

情感态度价值观1、感受数学的精确性、概括性和同一性。

2、体会数形结合的思想三、重点、难点教学重点：平面向量的基本定理及坐标表示教学难点：平面向量的基本定理。

教学方法：引导探究式教学手段：多媒体教学四、教学过程：(一)复习提问：1．向量的加法运算（三角形法则、平行四边形法则）。

2．实数与向量的积3．向量共线定理设计意图：为让学生更好的理解问题做好铺垫。

（二）引入新知设计意图：使学生自然进入探索新知环节（二）新课讲解1AB u r ，， 问题：已知非零向量那么对于同一平面内的任意向量是否能用线性表示？a a 2， 问题：如果平面内的向量不能由单个向量线性表示 又该如何具体表示呢？121233 、，问题：已知向量求作向量2e e e e向量的合成 向量的分解问题4、对于平面内任意向量，是不是都可以用 e 1 e 2 来表示呢教师引导学生思考问题，引出本节课的教学内容并用幻灯片演示分解过程向量的合成与分解是互逆过程，向量的合成适用平行四边形法则，分解当然也适合平行四边形法则，进而引导学生用平行四边形分解向量。

设计意图：通过幻灯片演示分解过程；使学生理解平面内任意向量都可以按向量e1、e2进行分解 经过之前几节课的学习，学生已经基本掌握了向量的线性运算及加减法元算，此处的思考题意在使学生更深入地思考：是否任意的向量都可以用任意的两个向量来表示，进而说明了平面向量基本定理的必要性。

课 题 2.3.2平面向量的基本定理学习目标： 1.知识与技能（1）理解平面向量基本定理的内容，了解向量一组基底的含义. （2）在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量. （3）会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题． 2.过程与方法通过共线向量和平面向量基本定理，感受和认识不同维度中，向量的表示. 3.情感、态度与价值观通过学习让学生进一步体会数学和生活的联系. 学习重难点：平面向量的基本定理学习方法：以讲学稿为依托的多媒体辅助教学方式. 学习过程一、课前预习指导： 平面向量基本定理(1)定理：如果21,e e 是同一平面内的两个_______向量，那么对于这一平面内的_____向量a ，_________实数21,λλ，使a ＝_____________.(2)基底：把_______的向量21,e e 叫做表示这一平面内_______向量的一组基底． 二、新课学习问题探究一 向量的合成如图，给定平面内任意两个向量21,e e ，请你作出向量3212e e +、212e e -问题探究二 向量的分解如图，21,e e 是平面内两个不共线的向量，a 是这一平面内任一向量，a 能否表示成2211e e λλ+的形式，请通过作图探究a 与21,e e 之间的关系．问题探究三 向量分解的唯一性如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线的向量，a 是和e 1、e 2共面的任一向量，且存在实数λ1、λ2使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，证明λ1，λ2是唯一确定的．(提示：利用反证法)例1 如果e 1、e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________．(填对应说法的序号)①λe 1＋μe 2 (λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量2111e e μλ+与2212e e μλ+共线，则有且只有一个实数λ，使得2111e e μλ+＝λ（2212e e μλ+）④若存在实数λ，μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0.学后检测1 设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是_______．(写出所有满足条件的序号)例2 如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，M 、N 分别是DC 和AB 的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试用a 、b 表示DC →、BC →、MN →.学后检测2 如图，已知△ABC 中，D 为BC 的中点，E ，F 为BC 的三等分点，若AB →＝a ，AC →＝b ，用a 、b 表示AD →、AE →、AF →.四、课堂小结五、课后作业 六．板书设计七．教（学）后反思。

课堂导学三点剖析1.平面向量基本定理【例1】 如右图所示，在平行四边形ABCD 中，AH=HD ，BF=MC=41BC ，设=a ,=b ,以a ,b 为基底表示AM 、MH 、MF 、MD .思路分析：本题考查用两已知向量表示未知向量.由于=41b ，这样可表示，又 =21b ，这样又可表示，进一步可表示MH ，进一步表示. 解：由于BF =41BC=41AD.∴BF =41b .在△ABF 中,AF =AB +BF =a +41b ;又∵BF =MC=41BC ，∴FM =21BC.∴FM =21b . 则=+=a +41b +21b =a +43b . 又∵AH=HD ， ∴AH =21b . ∴=-=21b -(a +43b ) =-a -41b . 又∵HD=21b , ∴HD MH MD +==-a -41b +21b =-a +41b . 温馨提示根据平面向量基本定理表示向量时，如果所给向量无法直接用基底进行表示时，可先将目标向量分解成可以用基底表示的向量，再进一步用基底表示.2.平面向量基本定理再理解【例2】 设两非零向量e 1和e 2不共线.（1）如果=e 1+e 2,=2e 1+8e 2,=3(e 1,-e 2),求证：A 、B 、D 三点共线；（2）试确定实数k,使k e 1+e 2和e 1+k e 2共线.思路分析：本题主要考查向量基本定理和向量共线的条件.（1）可以将e 1,e 2看作一组基底表示我们需要的向量，如AB ，BD =BC +CD =2e 1+8e 2+3e 1-3e 2=5e 1+5e 2然后利用向量共线条件进行证明.（2）由于向量k e 1+e 2,e 1+k e 2都是用基底e 1,e 2表示出来的两个向量，既然两向量共线，就可以用共线条件得到（k e 1+e 2）=λ(e 1+k e 2),解出k 值即可.（1）证明：∵=e 1+e 2,=+=2e 1+8e 2+3e 1-3e 2=5(e 1+e 2)=5AB , ∴、BD 共线.又有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线.（2）解：∵k e 1+e 2与e 1+k e 2共线，∴存在λ使k e 1+e 2=λ(e 1+k e 2),则（k-λ）e 1=(λk -1)e 2.由于e 1与e 2不共线，∴只能有⎩⎨⎧=-=-,01,0k k λλ则k=±1.温馨提示题目中已给出一组基底e 1,e 2，则该平面中任一向量都可以与之建立联系，以该基底为纽带，可以沟通不同向量之间的联系.本题要证三点共线,由这三点中任意两点确定两个向量.然后用基底e 1,e 2表示，并依据向量共线的条件来证明这两个向量共线.又这两个向量有公共点，于是证三点共线.3.平面向量基本定理的应用【例3】 如果e 1、e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么，下列命题正确的是（ ）A.若实数λ1 、λ2使λ1e 1+λ2e 2=0,则λ1=λ2=0B.空间任一向量a 都可以表示为a =λ1e 1+λ2e 2,其中λ1、λ2∈RC.λ1e 1+λ2e 2不一定在平面α内，λ1、λ2∈RD.对于平面α内任一向量a ，使a =λ1e 1+λ2e 2的实数λ1、λ2有无数对思路分析：要深刻理解平面向量基本定理.A 正确；B 错，这样的a 只能与e 1,e 2在同一平面内，不能是空间任一向量.C 错，λ1e 1+λ2e 2在α内.D 错，这样的λ1,λ2是唯一的，而不是无数对，故选A.答案：A温馨提示应用平面向量基本定理要注意以下几点：（1）e 1,e 2是同一平面内的两个不共线向量；（2）基底的选取不唯一；（3）该平面内的任意向量a 都可用e 1,e 2线性表示，而且这种表示是唯一的.各个击破类题演练1如右图所示，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别是AD 、BC 边上的中点，且BC=3AD ，设=a ,=b ，以a 、b 为基底表示、、.解：∵AD ∥BC 且AD=31BC ， ∴=31b , =21=61b . ∵BF =21, ∴BF =21b ， ∴=+=-+(+)=--+=-61b -a +21b =31b -a ， )(-+=+==--=-21b -(61b -a )=-32b +a . 变式提升1如右图所示，平行四边形ABCD 中，M 、N 分别为DC 、BC 的中点，已知=c ，=d ，试用c 、d 表示和.解：设=a ,=b ,则由M 、N 分别为DC 、BC 的中点可得：=21b ，=21a . 从△ABN 和△ADM 中可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(,31)1(,21c a b d b a ①×2-②,得a =32(2d -c ). ②×2-①,得b =32(2c -d ). 即：=32(2d -c ),=32(2c -d ). 类题演练2e 1,e 2是两个不共线向量，且AB =2e 1+k e 2, CB =e 1+3e 2, CD =2e 1-e 2,若A 、B 、D 三点共线，由k 的值为. 解析：AD =AB +BC +CD =2e 1+k e 2-e 1-3e 2+2e 1-e 2=3e 1+(k-4)e 2.∵A 、B 、D 三点共线，∴存在实数λ使=λ,即3e 1+(k-4) e 2=λ(2e 1+k e 2).∴⎩⎨⎧=-=.44,23λλk ∴k=-8.答案：-8变式提升2(2005山东理,7)已知向量a 、b ,且=a +2b ,=-5a +6b ,=7a -2b ,则一定共线的三点是（ ）A.A 、B 、DB.A 、B 、CC.B 、C 、DD.A 、C 、D 解析：CD BC BD +==-5a +6b +7a -2b=2a +4b =2.∴A 、B 、D 共线.答案：A类题演练3下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量，其中正确的说法是（ ）A.①②B.②③C.①③D.①②③解析：平面内向量的基底不唯一，只要在同一平面内，任一组不共线的向量都可以作为基底；而零向量与任何向量共线，故不可作为基底中的向量.故选②③.答案：B变式提升3已知向量a 和b 不共线，实线x,y 满足向量等式（2x-y ）a +4b =5a +(x-2y)b ,则x+y 的值等于（ ）A.-1B.1C.0D.3解析：由平面向量基本定理得⎩⎨⎧-==-,24,52y x y x 解得⎩⎨⎧-==.1,2y x 所以x+y=1.故选B. 答案：B。

3.2 平面向量基本定理问题导学1．用基底表示向量活动与探究1 如图所示，在ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →，AD →．迁移与应用设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，它们使BM →＝13BC →，CN →＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 将MN →，NP →，PM →表示出来．用基底表示向量的方法技巧(1)熟练应用平行四边形法则和三角形法则以及线性运算； (2)充分利用相等向量，相反向量和线段的比例关系进行转化； (3)充分利用几何图形的性质，如平行、相似、全等、中位线等； (4)充分利用首尾相接的各向量之和为0； (5)注意a ，b 不共线，则0＝0·a ＋0·b 是唯一的；(6)若直接利用基底表示比较困难，则利用“正难则反”的原则，采用方程思想来求解． 2．平面向量基本定理的应用活动与探究2平面内有一个△ABC 和一点O (如图)，线段OA ，OB ，OC 的中点分别为E ，F ，G ；BC ，CA ，AB 的中点分别为L ，M ，N ，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ．(1)试用a ，b ，c 表示向量EL →，FM →，GN →；(2)证明：线段EL ，FM ，GN 交于一点且互相平分．迁移与应用如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE →＝23AD →，AB →＝a ，AC →＝b ．(1)用a ，b 表示AD →，AE →，AF →，BE →，BF →； (2)求证：B ，E ，F 三点共线．利用平面向量基本定理解决几何问题：(1)平面向量的基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，可以选择适当的基底．将相关量表示为向量形式，通过向量运算解答问题．(2)常见类型有证明三点共线，证明直线平行，证明线段相等． 当堂检测1．已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y 的值等于( )．A ．3B ．－3C ．0D ．22．已知ABCD 为矩形，E 是DC 的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →＝( )． A ．b ＋12a B ．b －12aC ．a ＋12bD ．a －12b3．如果e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么( )．A ．若实数λ1，λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0B ．空间任一向量a 可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，这里λ1，λ2是实数C ．对实数λ1，λ2，λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内D ．对平面α中的任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对4．D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC →＝a ，CA →＝b ，给出下列向量表达式：①AD →＝－12a －b ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋12b ；④AD →＋BE →＋CF →＝0． 其中正确的序号为________．5．已知O 是直线AB 外一点，存在实数x ，y 使得OC →＝xOA →＋yOB →，且x ＋y ＝1．求证：A ，B ，C 三点共线．课前预习导学 【预习导引】 a ＝λ1e 1＋λ2e 2 基底预习交流1 提示：(1)不唯一．同一平面可以有无数组不同的基底，因此，对不同的基底，同一向量的分解是不唯一的，但基底给定时，向量的表示方法唯一．(2)基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线的向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件．预习交流2 提示：可能不同．预习交流3 B 课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 解：设AB →＝a ，AD →＝b ，因为M ，N 分别为CD ，BC 的中点，所以BN →＝12b ，DM →＝12a ， 于是有⎩⎨⎧ c ＝b ＋12a ，d ＝a ＋12b ，解得⎩⎨⎧a ＝23(2d －c )，b ＝23(2c －d ).即AB →＝23(2d －c )，AD →＝23(2c －d )．迁移与应用 解：MN →＝CN →－CM →＝－13AC →－23CB →＝－13AC →－23(AB →－AC →)＝13AC →－23AB →＝13b －23a . 同理可得NP →＝13a －23b ，PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →) ＝13a ＋13b .活动与探究2 解：(1)如题图， ∵OE →＝12a ，OL →＝12(b ＋c )，∴EL →＝OL →－OE →＝12(b ＋c －a )． 同理：FM →＝12(a ＋c －b )，GN →＝12(a ＋b －c )．(2)设线段EL 的中点为P 1， 则OP 1→＝12(OE →＋OL →)＝14(a ＋b ＋c )． 设FM ，GN 的中点分别为P 2，P 3，同理可求得OP 2→＝14(a ＋b ＋c )，OP 3→＝14(a ＋b ＋c )．∴OP 1→＝OP 2→＝OP 3→.即EL ，FM ，GN 交于一点，且互相平分． 迁移与应用(1)解：如图所示，延长AD 到G ，使AG →＝2AD →，连接BG ，CG ，得到平行四边形ABGC ，则AG →＝a ＋b ，AD →＝12AG →＝12(a ＋b )，AE →＝23AD →＝13(a ＋b )，AF →＝12AC →＝12b ，BE →＝AE →－AB →＝13(a ＋b )－a＝13(b －2a )， BF →＝AF →－AB →＝12b －a＝12(b －2a )． (2)证明：由(1)知，BE →＝23BF →，∴BE →，BF →共线．又BE →，BF →有公共点B ， ∴B ，E ，F 三点共线． 【当堂检测】 1．A 2．B 3．A 4．①②③④5．证明：由x ＋y ＝1，OC →＝xOA →＋yOB →， 得OC →＝xOA →＋(1－x )OB →，所以OC →－OB →＝x (OA →－OB →)，即BC →＝xBA →. 所以A ，B ，C 三点共线．。

示范教案整体设计教学分析平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点．平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合，这样，如果将平面内向量的始点放在一起，那么由平面向量基本定理可知，平面内的任意一点都可以通过两个不共线的向量得到表示，也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示．这是引进平面向量基本定理的一个原因．教科书中，先用实例归纳出基本定理，然后做形式化的证明．教学时要注意，形式化证明可以省略，特别是唯一性证明，可能多数学生难以理解，但一定要对“唯一性”加以说明，以便应用唯一性解题．建议引导学生推导直线的向量表达式和中点公式．特别强调直线的向量表达式和中点公式应让学生记忆．三维目标1．通过探究活动，推导并理解平面向量基本定理．2．掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法．3．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达，并通过例题的探究，掌握直线的向量表达式和中点公式．重点难点教学重点：平面向量基本定理和直线的向量表达式．教学难点：平面向量基本定理的灵活运用．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.在物理学中我们知道，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算．而且力是可以分解的，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和．将这种力的分解拓展到向量中来，会产生什么样的结论呢？思路2.前面我们学习了向量的代数运算以及对应的几何意义，如果将平面内向量的始点放在一起，那么平面内的任意一个点或者任意一个向量是否都可以用这两个同起点的不共线向量来表示呢？这样就引进了平面向量基本定理．教师可以通过多对几个向量进行分解或者合成，用课件给出图象演示和讲解．通过相应的课件来演示平面上任意向量的分解，对两个不共线的向量都乘以不同的系数后再进行合成将会有什么样的结论？推进新课新知探究提出问题(1)给定平面内任意两个不共线的非零向量e1、e2，请你作出向量3e1＋2e2、e1－2e2.平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1＋λ2e2的向量表示呢？(2)如图1(1)，设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内的任一向量，你能通过作图探究a与e1、e2之间的关系吗？(1) (2)图1活动：如图1(2)，在平面内任取一点O ，作OA →＝e 1，OB →＝e 2，OC →＝a .过点C 作平行于直线OB 的直线，与直线OA 交于点M ；过点C 作平行于直线OA 的直线，与直线OB 交于点N.由向量的线性运算性质可知，存在实数λ1、λ2，使得OM →＝λ1e 1，ON →＝λ2e 2.由于OC →＝OM →＋ON →，所以a ＝λ1e 1＋λ2e 2.也就是说，任一向量a 都可以表示成λ1e 1＋λ2e 2的形式．或先让学生计算特例，从感性猜想入手．如图2，e 1，e 2是两个不平行的向量，容易看出AB →＝2e 1＋3e 2，CD →＝－e 1＋4e 2， EF →＝4e 1－4e 2，GH →＝－2e 1＋5e 2.图2由上述过程可以发现，平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1、e 2表示出来．由此可得：平面向量基本定理：如果e 1和e 2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数a 1，a 2，使a ＝a 1e 1＋a 2e 2.教师强调：①我们把不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e 1，e 2}，a 1e 1＋a 2e 2叫做向量a 关于基底{e 1，e 2}的分解式；②基底不唯一，关键是不共线；③由定理可将任一向量a 在给出基底e 1、e 2的条件下进行分解； ④基底给定时，分解形式唯一．接下来教师可引导学对该定理给出证明．证明：在平面内任取一点O(如图3)，作OE 1→＝e 1，OE 2→＝e 2，OA →＝a .图3由于e 1与e 2不平行，可以进行如下作图： 过点A 作OE 2的平行(或重合)直线，交直线OE 1于点M ，过点A 作OE 1的平行(或重合)直线，交直线OE 2于点N ，于是依据平面向量基本定理，存在两个唯一的实数a 1，a 2，分别有OM →＝a 1e 1，ON →＝a 2e 2，所以a ＝OA →＝OM →＋ON →＝a 1e 1＋a 2e 2.证明表示的唯一性：如果存在另一对实数x ，y 使OA →＝x e 1＋y e 2，则a 1e 1＋a 2e 2＝x e 1＋y e 2，即(x －a 1)e 1＋(y －a 2)e 2＝0.由于e 1与e 2不平行，如果x －a 1，y －a 2中有一个不等于0，不妨设y －a 2≠0，则e 2＝－x －a 1y －a 2e 1，由平面向量基本定理，得e 1与e 2平行．这与假设矛盾，因此x －a 1＝0，y －a 2＝0，即x ＝a 1，y ＝a 2.讨论结果：(1)(2)略． 应用示例思路1例 1如图4，ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，H 、M 分别是AD 、DC 的中点，F 使BF＝13BC ，以a ，b 为基底分解向量AM →与HF →.图4解：由H 、M 、F 所在位置，有AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋12DC →＝AD →＋12AB →＝b ＋12a .HF →＝AF →－AH →＝AB →＋BF →－AH →＝AB →＋13BC →－12AD →＝AB →＋13AD →－12AD →＝a －16b .点评：以a 、b 为基底分解向量AM →与HF →，实为用a 与b 表示向量AM →与HF →.变式训练已知ABCD 的两条对角线相交于点M ，设AB →＝a ，AD →＝b .试用基底{a ，b }表示MA →，MB →，MC →和MD →(图5)图5解：因为AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ， DB →＝AB →－AD →＝a －b ，MA →＝－12AC →＝－12(a ＋b )＝－12a －12b ，MB →＝12DB →＝12(a －b )＝12a －12b ，MC →＝12AC →＝12a ＋12b ，MD →＝－12DB →＝－12a ＋12b .例 2 如图6，质量为10 kg 的物体A 沿倾斜角为θ＝30°的斜面匀速下滑，求物体受到的滑动摩擦力和支持力．(g ＝10 m/s 2)图6解：物体受到三个力：重力AG →，斜面支持力AN →，滑动摩擦力AM →.把重力AG →分解为平行于斜面的分力AF →和垂直于斜面的分力AE →.因为物体做匀速运动，所以AN →＝－AE →，AM →＝－AF →.因为|AG →|＝10(kg)×10(m/s 2)＝100(N)， |AF →|＝|AG →|·sin30°＝100×12＝50(N)，|AE →|＝|AG →|·cos30°＝100×32＝503(N)，所以|AM →|＝|AF →|＝50(N)，|AN →|＝|AE →|＝503(N)．答：物体所受滑动摩擦力大小为50 N ，方向沿斜面平行向上；所受斜面支持力大小为50 3 N ，方向与斜面垂直向上．例 3下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可以作为基底中的向量，其中正确的说法是( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③活动：这是训练学生对平面向量基本定理的正确理解，教师引导学生认真地分析和理解平面向量基本定理的真正内涵．让学生清楚在平面中对于基底的选取是不唯一的，只要是同一平面内的两个不共线的向量都可以作为基底．解析：平面内向量的基底是不唯一的．在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底；而零向量可看成与任何向量平行，故零向量不可作为基底中的向量．综上所述，②③正确．答案：B点评：本题主要考查的是学生对平面向量定理的理解.思路2例 1如图8，M 是△ABC 内一点，且满足条件AM →＋2BM →＋3CM →＝0，延长CM 交AB 于N ，令CM →＝a ，试用a 表示CN →.图8活动：平面向量基本定理是平面向量的重要定理，它是解决平面向量计算问题的重要工具．由平面向量基本定理，可得到下面两个推论：推论1：e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量，若存在实数λ1、λ2，使得λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0.推论2：e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量，若存在实数a 1，a 2，b 1，b 2，使得a＝a 1e 1＋a 2e 2＝b 1e 1＋b 2e 2，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝b 1，a 2＝b 2.解：∵AM →＝AN →＋NM →，BM →＝BN →＋NM →，∴由AM →＋2BM →＋3CM →＝0，得(AN →＋NM →)＋2(BN →＋NM →)＋3CM →＝0.∴AN →＋3NM →＋2BN →＋3CM →＝0.又∵A 、N 、B 三点共线，C 、M 、N 三点共线， 设AN →＝λBN →，CM →＝μNM →，∴λBN →＋3NM →＋2BN →＋3μNM →＝0.∴(λ＋2)BN →＋(3＋3μ)NM →＝0.由于BN →和NM →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＋2＝0，3＋3μ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－1.∴CM →＝－NM →＝MN →.∴CN →＝CM →＋MN →＝2CM →＝2a .点评：这里选取BN →，NM →作为基底，运用化归思想，把问题归结为λ1e 1＋λ2e 2＝0的形式来解决.例 2如图9，△ABC 中，AD 为△ABC 边上的中线且AE ＝2EC ，求AG GD 及BGGE的值．图9活动：教师让学生先仔细分析题意，以明了本题的真正用意，怎样把平面向量基本定理与三角形中的边相联系？利用化归思想进行转化后，结合向量的相等进行求解．解：设AG GD ＝λ，BGGE＝μ.∵BD →＝DC →，即AD →－AB →＝AC →－AD →， ∴AD →＝12(AB →＋AC →)．又∵AG →＝λGD →＝λ(AD →－AG →)，∴AG →＝λ1＋λAD →＝λ2(1＋λ)AB →＋λ2(1＋λ)AC →.①又∵BG →＝μGE →，即AG →－AB →＝μ(AE →－AG →)， ∴(1＋μ)AG →＝AB →＋μAE →，AG →＝11＋μAB →＋μ1＋μAE →.又AE →＝23AC →，∴AG →＝11＋μAB →＋2μ3(1＋μ)AC →.②比较①②，∵AB →、AC →不共线，∴⎩⎨⎧λ2(1＋λ)＝11＋μ，λ2(1＋λ)＝2μ3(1＋μ).解之，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，μ＝32.∴AG GD ＝4，BG GE ＝32. 点评：本例中，构造向量在同一基底下的两种不同表达形式，利用相同基向量的系数对应相等得到一实数方程组，从而进一步求得结果．3已知A ，B 是直线l 上任意两点，O 是l 外一点(如图10)，求证：对直线l 上任意一点P ，存在实数t ，使OP →关于基底{OA →，OB →}的分解式为OP →＝(1－t)OA →＋tOB →. ① 并且，满足①式的点P 一定在l 上．证明：设点P 在直线l 上，则由平面向量基本定理知，存在实数t ，使AP →＝tAB →＝t(OB →－OA →)．图10所以OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋tOB →－tOA →.所以点P 满足等式OP →＝(1－t)OA →＋tOB →，即有AP →＝tAB →，即P 在l 上．点评：由本例可知，对直线l 上任意一点P ，一定存在唯一的实数t 满足向量等式①；反之，对每一个实数t ，在直线l 上都有唯一的一个点P 与之对应．向量等式①叫做直线l 的向量参数方程式，其中实数t 叫做参变数，简称参数．在①中，令t ＝12，点M 是AB 的中点，则 OM →＝12(OA →＋OB →)． 这是线段AB 的中点的向量表达式．这个公式很重要，应让学生理解并记忆.课堂小结1．先由学生回顾本节学习的数学知识：平面向量的基本定理，回忆我们是如何探究发现定理的？并通过思路2例3的证明又探究得到了线段AB中点的向量表达式．教师点拨学生，在今后的学习中，要继续发扬这种勇于探索、勇于发现的科学精神．2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，如待定系数法，定义法，归纳与类比，数形结合，几何作图等，并把本节所学纳入知识体系中．作业课本本节练习B组2,3.设计感想1．本节课内容是在上节向量学习的基础上探究到的一个新定理——平面向量基本定理．教科书首先通过特例验证：对于平面内给定的任意两个向量进行加减的线性运算时所表示的新向量有什么特点，反过来，对平面内的任意向量是否都可以用形如λ1e1＋λ2e2的向量表示．2．教师应该多提出问题，多让学生自己动手作图来发现规律，通过解题来总结方法，引导学生理解“化归”思想对解题的帮助，也要让学生善于用“数形结合”的思想来解决这部分的题目．3．应充分借助多媒体进行教学，整节课的教学主线应以学生探究为主，教师给予引导和点拨．充分让学生经历分析、探究问题的过程，这也是学习数学，领悟思想方法的最好载体．学生这种经历的实践活动越多，解决问题的方法就越恰当而简捷．备课资料一、三角形中三条中线共点的证明如图11所示，已知在△ABC中，D、E、L分别是BC、CA、AB的中点，设中线AD、BE相交于点P.图11求证：AD 、BE 、CL 三线共点．分析：欲证三条中线共点，只需证明C 、P 、L 三点共线．证明：设AC →＝a ，AB →＝b ，则AL →＝12b ，CL →＝AL →－AC →＝－a ＋12b . 设AP →＝mAD →，则AC →＋CP →＝m(AC →＋CD →)，CP →＝(－1＋m)AC →＋mCD →＝(－1＋m)a ＋m[12(b －a )]＝(－1＋12m)a ＋12m b .① 又设EP →＝nEB →，则CP →－CE →＝n(EC →＋CB →)，∴CP →＝(1－n)CE →＋nCB →＝－12(1－n)a ＋n(b －a )＝(－12－12n)a ＋n b .② 由①②，得⎩⎨⎧ －1＋12m ＝－12－12n ，12m ＝n.解之，得⎩⎨⎧ m ＝23，n ＝13.∴CP →＝－23a ＋13b ＝23(－a ＋12b )＝23CL →. ∴C 、P 、L 三点共线．∴AD 、BE 、CL 三线共点．二、备用习题1．如图12所示，已知AP →＝43AB →，AQ →＝13AB →，用OA →、OB →表示OP →，则OP →等于( )图12A.13OA →＋43OB → B ．－13OA →＋43OB → C ．－13OA →－43OB → D.13OA →－43OB → 2．已知e 1，e 2是两非零向量，且|e 1|＝m ，|e 2|＝n ，若c ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2∈R )，则|c |的最大值为( )A ．λ1m ＋λ2nB ．λ1n ＋λ2mC ．|λ1|m ＋|λ2|nD ．|λ1|n ＋|λ2|m3．已知G 1、G 2分别为△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的重心，且A 1A 2→＝e 1，B 1B 2→＝e 2，C 1C 2→＝e 3，则G 1G 2→等于( )A.12(e 1＋e 2＋e 3)B.13(e 1＋e 2＋e 3) C.23(e 1＋e 2＋e 3) D ．－13(e 1＋e 2＋e 3) 4．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心C ．重心D ．垂心5．已知向量a 、b 且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A 、B 、D B ．A 、B 、CC ．C 、B 、D D ．A 、C 、D6．如图13，平面内有三个向量OA →、OB →、OC →，其中与OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC→的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．图13参考答案：1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6.6。

3．2 平面对量基本定理明目标、知重点 1.理解平面对量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面对量基本定理解决有关平面对量的综合问题．平面对量基本定理(1)定理：假如e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：把不共线的向量e 1，e 2叫作表示这一平面内全部向量的一组基底．[情境导学] 在物理学中我们知道，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算．而且力是可以分解的，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和．将这种力的分解拓展到向量中来，会产生什么样的结论呢？探究点一 平面对量基本定理的提出思考1 如图所示，e 1，e 2是两个不共线的向量，试用e 1，e 2表示向量AB →，CD →，EF →，GH →，HG →，a .答 通过观看，可得：AB →＝2e 1＋3e 2，CD →＝－e 1＋4e 2，EF →＝4e 1－4e 2， GH →＝－2e 1＋5e 2，HG →＝2e 1－5e 2，a ＝－2e 1.思考2 依据上述分析，平面内任一向量a 都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1，e 2表示出来，从而可形成一个定理．你能完整地描述这个定理的内容吗？答 若e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任一向量a ，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.思考3 上述定理称为平面对量基本定理，不共线向量e 1，e 2叫作表示这一平面内全部向量的一组基底. 那么同一平面内可以作基底的向量有多少组？不同基底对应向量a 的表示式是否相同？平面对量的基底唯一吗？答 同一平面内可以作基底的向量有很多组，不同基底对应向量a 的表示式不相同．不唯一．只要两个向量不共线，都可以作为平面的一组基底．例1 已知e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a ＝3e 1－2e 2，b ＝－2e 1＋e 2，c ＝7e 1－4e 2，试用向量a 和b 表示c .解 ∵a ，b 不共线，∴可设c ＝x a ＋y b ，则x a ＋y b ＝x (3e 1－2e 2)＋y (－2e 1＋e 2)＝(3x －2y )e 1＋(－2x ＋y )e 2＝7e 1－4e 2.又∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝7，－2x ＋y ＝－4.解得x ＝1，y ＝－2，∴c ＝a －2b .反思与感悟 选定基底之后，就要“咬定”基底不放，并围绕它做中心工作，千方百计用基底表示目标向量．这有时要利用平面几何学问．要留意将平面几何学问中的性质、结论与向量学问有机结合，具体问题具体分析解决．跟踪训练1 如图所示，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →，AD →. 解 设AB →＝a ，AD →＝b ，则AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋12AB →＝12a ＋b ，①AN →＝AB →＋BN →＝AB →＋12AD →＝a ＋12b ，②由①②得⎩⎨⎧12a ＋b ＝c ，a ＋12b ＝d ，解得⎩⎨⎧a ＝－23c ＋43d ，b ＝43c －23d ，即AB →＝－23c ＋43d ，AD →＝43c －23d .探究点二 平面对量基本定理的证明及应用 (1)证明定理中λ1，λ2的存在性．如图，e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a 是这一平面内任一向量，a 能否表示成λ1e 1＋λ2e 2的形式，请通过作图探究a 与e 1、e 2之间的关系．答 如图所示，在平面内任取一点O ，作OA →＝e 1，OB →＝e 2，OC →＝a ，过点C 分别作平行于OB ，OA 的直线，交直线OA 于点M ，交直线OB 于点N ，有OM →＝λ1OA →，ON →＝λ2OB →，∵OC →＝OM →＋ON →，∴a ＝λ1e 1＋λ2e 2. (2)证明定理中λ1，λ2的唯一性．假如e 1、e 2是同一平面内的两个不共线的向量，a 是和e 1、e 2共面的任一向量，且存在实数λ1、λ2使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，证明λ1，λ2是唯一确定的．(提示：利用反证法) 答 假设存在另一组实数λ′1，λ′2也能使a ＝λ′1e 1＋λ′2e 2成立，则λ′1e 1＋λ′2e 2＝λ1e 1＋λ2e 2. ∴(λ′1－λ1)e 1＋(λ′2－λ2)e 2＝0.∵e 1、e 2不共线，∴λ′1－λ1＝λ′2－λ2＝0， ∴λ′1＝λ1，λ′2＝λ2.∴使a ＝λ1e 1＋λ2e 2成立的实数对λ1，λ2是唯一的．例2 如图，四边形OADB 是以向量OA →＝a ，OB →＝b 为边的平行四边形．又BM ＝13BC ，CN ＝13CD ，试用a 、b 表示OM →，ON →，MN →.解 BM →＝13BC →＝16BA →＝16(OA →－OB →)＝16(a －b )，∴OM →＝OB →＋BM →＝16a ＋56b .∵CN →＝13CD →＝16OD →.∴ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23(a ＋b )， MN →＝ON →－OM →＝12a －16b .反思与感悟 用基底表示向量的关键是利用三角形或平行四边形将基底和所要表示的向量联系起来．解决此类题时，首先认真观看所给图形．借助于平面几何学问和共线向量定理，结合平面对量基本定理解决．跟踪训练2 如图，已知△ABC 中，D 为BC 的中点，E ，F 为BC 的三等分点，若AB →＝a ，AC →＝b ，用a 、b 表示AD →、AE →、AF →. 解 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC →＝a ＋12(b －a )＝12a ＋12b ；AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b ；AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋23BC →＝a ＋23(b －a )＝13a ＋23b .例3 如图，在△OAB 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b ，以a ，b 为基底表示OM →. 解 设OM →＝m a ＋n b (m ，n ∈R )， 则AM →＝OM →－OA →＝(m －1)a ＋n b ， AD →＝OD →－OA →＝12b －a ＝－a ＋12b由于A ，M ，D 三点共线，所以m －1－1＝n12，即m ＋2n ＝1.而CM →＝OM →－OC →＝⎝⎛⎭⎫m －14a ＋n b ， CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b ，由于C ，M ，B 三点共线，所以m －14－14＝n1，即4m ＋n ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2n ＝1，4m ＋n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝17，n ＝37，所以OM →＝17a ＋37b .反思与感悟 (1)充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线，留意方程思想的应用； (2)用基底表示向量也是运用向量解决问题的基础，应依据条件机敏应用，娴熟把握． 跟踪训练3 如图所示，已知△AOB 中，点C 是以A 为中心的点B 的对称点，OD →＝2DB →，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a 和b 表示向量OC →、DC →； (2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．解 (1)由题意，得A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →，由平行四边形法则，得OB →＋OC →＝2OA →. ∴OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)EC →∥DC →.又∵EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC →＝2a －53b ，∴2－λ2＝153，∴λ＝45.1．假如e 1、e 2是平面α内全部向量的一组基底，那么下列命题正确的是( ) A ．若实数λ1、λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0B ．对空间任一向量a 都可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中λ1、λ2∈RC ．λ1e 1＋λ2e 2不愿定在平面α内，λ1、λ2∈RD ．对于平面α内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1、λ2有很多对 答案 A解析 A 正确，B 错，这样的a 只能与e 1、e 2在同一平面内，不能是空间任一向量；C 错，在平面α内任一向量都可表示为λ1e 1＋λ2e 2的形式，故λ1e 1＋λ2e 2确定在平面α内；D 错，这样的λ1、λ2是唯一的，而不是有很多对．2．设e 1、e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中能作为平面内全部向量的一组基底的序号是______．(写出全部满足条件的序号) 答案 ①②④解析 对于③4e 2－2e 1＝－2e 1＋4e 2＝－2(e 1－2e 2)， ∴e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线，不能作为基底．3.如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝________.答案 14a ＋34b解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →)＝14AB →＋34AC →＝14a ＋34b . 4．已知G 为△ABC 的重心，设AB →＝a ，AC →＝b .试用a 、b 表示向量AG →. 解 连接AG 并延长，交BC 于点D ，则D 为BC 的中点， AG →＝23AD →＝23(AB →＋BD →)＝23⎝⎛⎭⎫AB →＋12BC → ＝23AB →＋13BC → ＝23AB →＋13(AC →－AB →) ＝13AB →＋13AC → ＝13a ＋13b . [呈重点、现规律] 1．对基底的理解 (1)基底的特征基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内全部向量的一组基底的条件． (2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底． 2．精确 理解平面对量基本定理(1)平面对量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．(2)平面对量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．一、基础过关1．若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面对量的基底的是( ) A ．e 1－e 2，e 2－e 1 B ．2e 1＋e 2，e 1＋12e 2C ．2e 2－3e 1,6e 1－4e 2D ．e 1＋e 2，e 1－e 2答案 D2．下面三种说法中，正确的是( )①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面全部向量的基底；②一个平面内有很多多对不共线向量可作为该平面全部向量的基底；③零向量不行作为基底中的向量． A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③答案 B3．若a 、b 不共线，且λa ＋μb ＝0(λ，μ∈R )，则( ) A ．a ＝0，b ＝0 B ．λ＝μ＝0 C ．λ＝0，b ＝0 D ．a ＝0，μ＝0 答案 B4．在△ABC 中，AD →＝14AB →，DE ∥BC ，且DE 与AC 相交于点E ，M 是BC 的中点，AM 与DE 相交于点N ，若AN →＝xAB →＋yAC →(x ，y ∈R )，则x ＋y 等于( ) A ．1 B.12C.14D.18 答案 C解析 AN →＝12()AD →＋AE →＝12⎝⎛⎭⎫14AB →＋14AC → ＝18AB →＋18AC →，∴x ＝y ＝18，即x ＋y ＝18＋18＝14. 5．设向量m ＝2a －3b ，n ＝4a －2b ，p ＝3a ＋2b ，若用m ，n 表示p ，则p ＝________. 答案 －74m ＋138n解析 设p ＝x m ＋y n ，则3a ＋2b ＝x (2a －3b )＋y (4a －2b )＝(2x ＋4y )a ＋(－3x －2y )b ，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4y ＝3－3x －2y ＝2⇒⎩⎨⎧x ＝－74，y ＝138.6．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝____________(用a ，b 表示)．答案 23b ＋13c解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →＝23b ＋13c . 7.如图，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，G 点使DG →＝13DC →，试以a ，b 为基底表示向量AF →与EG →. 解 AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12AD →＝a ＋12b .EG →＝EA →＋AD →＋DG →＝－12AB →＋AD →＋13DC →＝－12a ＋b ＋13a ＝－16a ＋b .二、力气提升8．已知M 为△ABC 的重心，点D ，E ，F 分别为三边BC ，AB ，AC 的中点，则MA →＋MB →＋MC →等于( ) A ．6ME → B ．－6MF → C ．0 D ．6MD →答案 C解析 MA →＋MB →＋MC →＝MA →＋2MD →＝MA →＋AM →＝0.9.如图所示，已知E 、F 分别是矩形ABCD 的边BC 、CD 的中点，EF 与AC 交于点G ，若AB →＝a ，AD →＝b ，用a ，b 表示AG →＝________. 答案 34a ＋34b解析 AG →＝AE →－GE →＝AB →＋BE →－GE →＝a ＋12b －12FE →＝a ＋12b －12×12DB →＝a ＋12b －14(a －b )＝34a ＋34b .10．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． 答案 12解析 易知DE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →) ＝－16AB →＋23AC →.所以λ1＋λ2＝12.11．在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，(1)如图1，假如E ，F 分别是BC ，DC 的中点，试用a ，b 分别表示BF →，DE →. (2)如图2，假如O 是AC 与BD 的交点，G 是DO 的中点，试用a ，b 表示AG →. 解 (1)BF →＝BC →＋CF →＝AD →＋12CD →＝AD →－12AB →＝－12a ＋b .DE →＝DC →＋CE →＝AB →－12AD →＝a －12b .(2)BD →＝AD →－AB →＝b －a ，∵O 是BD 的中点，G 是DO 的中点， ∴BG →＝34BD →＝34(b －a )，∴AG →＝AB →＋BG →＝a ＋34(b －a )＝14a ＋34b .12.如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求证：AP ∶PM ＝4∶1. 证明 设AB →＝b ，AC →＝c ，则AM →＝12b ＋12c ，AN →＝23AC →，BN →＝BA →＋AN →＝23c －b .∵AP →∥AM →，BP →∥BN →，∴存在λ，μ∈R ，使得AP →＝λAM →，BP →＝μBN →， 又∵AP →＋PB →＝AB →，∴λAM →－μBN →＝AB →， ∴由λ⎝⎛⎭⎫12b ＋12c －μ⎝⎛⎭⎫23c －b ＝b 得 ⎝⎛⎭⎫12λ＋μb ＋⎝⎛⎭⎫12λ－23μc ＝b .又∵b 与c 不共线．∴⎩⎨⎧12λ＋μ＝1，12λ－23μ＝0.解得⎩⎨⎧λ＝45，μ＝35.故AP →＝45AM →，即AP ∶PM ＝4∶1.三、探究与拓展13.如图，△ABC 中，AD 为三角形BC 边上的中线且AE ＝2EC ，BE 交AD 于G ，求AG GD 及BGGE的值． 解 设AG GD ＝λ，BG GE＝μ. ∵BD →＝DC →，即AD →－AB →＝AC →－AD →， ∴AD →＝12(AB →＋AC →)．又∵AG →＝λGD →＝λ(AD →－AG →)，∴AG →＝λ1＋λAD →＝λ2(1＋λ)AB →＋λ2(1＋λ)AC →.又∵BG →＝μGE →，即AG →－AB →＝μ(AE →－AG →)， ∴(1＋μ)AG →＝AB →＋μAE →，AG →＝11＋μAB →＋μ1＋μAE →.又AE →＝23AC →，∴AG →＝11＋μAB →＋2μ3(1＋μ)AC →.∵AB →，AC →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ2(1＋λ)＝11＋μ，λ2(1＋λ)＝2μ3(1＋μ).解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，μ＝32.∴AG GD ＝4，BG GE ＝32.。

高中数学必修四2.3.1平面向量基本定理导学案2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1平面向量基本定理【学习目标】1.了解平面向量基本定理；2.理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；3.能够在具体问题中适当选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 【新知自学】知识回顾：1、实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个，记作；规定：（1）|λ|=（2）λ>0时，λ与方向；λλ=0时，λ=2．运算定律：结合律：λ(μ)=；分配律：(λ+μ)=，λ(+)=3.向量共线定理：向量与非零向量共线，则有且只有一个非零实数λ，使=λ.新知梳理：1．给定平面内两个向量，，请你作出向量3+2，-2，2.由上，同一平面内的任一向量是否都可以用形如λ1+λ2的向量表示？平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使不共线的向量，叫做这一平面内表示所有向量的一组基底。

思考感悟：(1)基底不惟一，关键是；不同基底下，一个向量可有不同形式表示；(2)基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被，，唯一确定的数.3.向量的夹角:平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗？已知两个非零向量、，作，，则∠AOB＝，叫向量、的夹角。

当=，、同向；当=，、反向；统称为向量平行，记作如果=，与垂直，记作⊥。

对点练习：1.设、是同一平面内的两个向量，则有()A.、一定平行B.、的模相等C.同一平面内的任一向量都有＝λ+μ(λ、μ∈R)D.若、不共线，则同一平面内的任一向量都有=λ+u(λ、u∈R)2.已知向量＝-2，＝2+，其中、不共线，则+与＝6-2的关系（）A.不共线B.共线C.相等D.无法确定3.已知λ1＞0，λ2＞0，、是一组基底，且＝λ1+λ2，则与，与．(填共线或不共线).【合作探究】典例精析：例1：已知向量，求作向量 2.5+3变式1：已知向量、(如图),求作向量：（1）+2. （2）-+3例2:如图，，不共线，且，用，来表示变式2：已知G为△ABC的重心,设=,=,试用、表示向量.【课堂小结】知识、方法、思想【当堂达标】1.设是已知的平面向量且,关于向量的分解,其中所列述命题中的向量,和在同一平面内且两两不共线,有如下四个命题：①给定向量,总存在向量,使;②给定向量和,总存在实数和,使;③给定单位向量和正数,总存在单位向量和实数,使;④给定正数和,总存在单位向量和单位向量,使;上述命题中的则真命题的个数是()（）A．1B．2C．3D2.如图，正六边形ABCDEF中，=A．B．C．D．3.在中，，，，为的中点，则____________.（用表示）【课时作业】1、若、不共线，且λ+μ=（λ、μ），则（）A．=,=B．=0,=0C．=0,=D．=,=02．在△ABC中，AD→＝14AB→，DE∥BC，且DE与AC相交于点E，M 是BC的中点，AM与DE相交于点N，若AN→＝xAB→＋yAC→(x，y∈R)，则x＋y等于()A．1B.12C.14D.183．在如图所示的平行四边形ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN→＝________.(用a，b表示)．4.如图ABCD的两条对角线交于点M，且=，=，用，表示，，和5.设与是两个不共线向量,=3+4,=-2+5,若实数λ、μ满足λ+μ=5-,求λ、μ的值.6如图，在△ABC中，AN→＝13NC→，P是BN上一点，若AP→＝mAB→＋211AC→，求实数m的值．7.如图所示，P是△ABC内一点，且满足条件AP→＋2BP→＋3CP→＝0，设Q为CP延长线与AB的交点，令CP→＝p，用p表示CQ→.【延伸探究】已知ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证：+++=4。

3.2 平面向量基本定理Q 情景引入ing jing yin ru如右图所示，一盏电灯，可以由电线CO 吊在天花板上，也可以由电线AO 和绳子BO 拉住，所以拉力F 起到的效果应与拉力F 1和F 2共同作用的效果一样，这应如何解释呢？根据物理知识，力F 可以分解为力F 1和力F 2，即F ＝F 1＋F 2.事实上力的分解与合成就是应用了平行四边形法则，所以其他向量也可以用平行四边形法则来分解或合成．平面上不共线的两个向量都可以作为一组基底，用这个基底的线性运算可以表示平面上的任意向量，这就是本节要学习的平面向量基本定理．X 新知导学in zhi dao xue平面向量基本定理定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，存在唯一一对实数λ1，λ2使__a ＝λ1e 1＋λ2e 2__.不共线的向量e 1，e 2叫作表示这一平面内所有向量的一组__基底__.[知识点拨](1)由平面向量基本定理可知，在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，且这样的分解是唯一的，同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的，而零向量的分解式是唯一的，即0＝λ1e 1＋λ2e 2，且λ1＝λ2＝0.(2)对于固定的e 1，e 2(向量e 1与e 2不共线)而言，平面内任一确定的向量的分解是唯一的，但平面内的基底却不唯一，只要平面内的两个向量不共线，就可以作为基底，它有无数组．(3)这个定理可推广为：平面内任意三个不共线的向量中，任何一个向量都可表示为其余两个向量的线性组合且形式唯一．Y 预习自测u xi zi ce1．已知向量e 1，e 2不共线，则下列各对向量可以作为平面内的一组基底的是( D ) A ．e 1－e 2与e 2－e 1 B ．2e 1－3e 2与e 1－32e 2C ．－e 1－2e 2与2e 1＋4e 2D ．e 1－2e 2与2e 1－e 2[解析] 根据基底的定义，只要两向量不共线便可作为基底，易知选D ． 2．设e 1、e 2是同一平面内的两个向量，则有( D ) A ．e 1、e 2一定平行 B ．e 1、e 2的模相等C ．同一平面内的任一向量a ，都有a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )D ．若e 1、e 2不共线，则同一平面内的任一向量a ，都有a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )[解析] 由平面向量基本定理可知，选项D 正确．对于任意向量e 1，e 2，选项A 、B 不正确，而只有当e 1与e 2为不共线向量时，选项C 不正确．3．若a ，b 不共线，且λa ＋μb ＝0(λ，μ∈R )，则( B ) A ．a ＝b ，b ＝0 B ．λ＝μ＝0 C ．λ＝0，b ＝0D ．a ＝0，μ＝04．如图所示，矩形ABCD 中，若BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →等于( A )A ．12(5e 1＋3e 2)B ．12(5e －3e 2)C ．12(2e 2＋5e 1)D ．12(5e 2＋3e 1)[解析] OC →＝12AC →＝12(BC →－BA →)＝12(BC →＋AB →)＝12(5e 1＋3e 2)．H 互动探究解疑u dong tan jiu jie yi命题方向1 ⇨对基底的理解典例1 如果e 1、e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确．．．的是( B )①a ＝λe 1＋μe 2(λ、μ∈R )可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则λ1λ2＝μ1μ2.④若实数λ、μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0. A ．①②B ．②③C ．③④D ．②[思路分析] 应用平面向量基本定理解题时，要抓住基向量e 1与e 2不共线和平面内向量a 用基底e 1、e 2表示的唯一性求解．[解析] 由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③，当λ1λ2＝0或μ1μ2＝0时不一定成立，应为λ1μ2－λ2μ1＝0.故选B ．『规律总结』 根据平面向量基底的定义知此类问题可转化为判断两个向量是否共线的问题．若不共线，则它们可作为一组基底；若共线，则它们不可能作为一组基底．〔跟踪练习1〕设e 1、e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中不．能作为平面内所有向量的一组基底的是__③__.(写出所有满足条件的序号)[解析] ①设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，1＝0，无解，∴e 1＋e 2与e 1不共线，即e 1与e 1＋e 2可作为一组基底；②设e 1－2e 2＝λ(e 2－2e 1)，则(1＋2λ)e 1－(2＋λ)e 2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋2λ＝0，2＋λ＝0，无解，∴e 1－2e 2与e 2－2e 1不共线，即e 1－2e 2与e 2－2e 1可作为一组基底；③∵e 1－2e 2＝－12(4e 2－2e 1)，∴e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线，即e 1－2e 2与4e 2－2e 1不可作为一组基底；④设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则(1－λ)e 1＋(1＋λ)e 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝0，1＋λ＝0，无解， ∴e 1＋e 2与e 1－e 2不共线，即e 1＋e 2与e 1－e 2可作为一组基底． 命题方向2 ⇨平面向量的表示典例2 已知四边形ABCD 为矩形，且AD ＝2AB ，又△ADE 为等腰直角三角形，F 为ED 的中点，EA →＝e 1，EF →＝e 2，取e 1，e 2作为一组基底，写出下列向量在此基底下的表达式：AF →，AB →，AD →及BD →.[思路分析] 利用三角形法则或平行四边形法则找所给向量与基底e 1，e 2的关系进行求解． [解析] EA →＝e 1，EF →＝e 2，∴AF →＝EF →－EA →＝e 2－e 1. 由已知AD ＝2AB ＝DE 且F 为DE 中点， ∴AB →＝FD →＝EF →＝e 2.∴AD →＝ED →－EA →＝2EF →－EA →＝2e 2－e 1， BD →＝AF →＝e 2－e 1.∴AF →＝e 2－e 1，AB →＝e 2，AD →＝2e 2－e 1，BD →＝e 2－e 1.『规律总结』 构造三角形、平行四边形利用向量加法、减法把所求向量与已知向量联系起来．〔跟踪练习2〕如图，在□ABCD 中，M 、N 分别为DC 、BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c 、d 表示AB →和AD →.[解析] 设AB →＝a ，AD →＝b ，则由M 、N 分别为DC 、BC 的中点可得：BN →＝12b ，DM →＝12a .AD →＋DM →＝AM →，即b ＋12a ＝c .①AB →＋BN →＝AN →，即a ＋12b ＝d .②由①②可得a ＝23(2d －c )，b ＝23(2c －d )，即AB →＝23(2d －c )，AD →＝23(2c －d )．X 学科核心素养ue ke he xin su yang平面向量基本定理及其应用典例3 用向量法证明三角形的三条中线交于一点．[思路分析] 解决本题有两个关键点：一是由题意证明三线交于一点，需先明确要用同一法；二是利用向量证明两点重合的方法是构造以同一点为起点这两点为终点的两向量相等，从而得这两点重合．[证明] 如图，设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、AC 、AB 的中点，以AC →＝a ，BC →＝b 为基底，则AB →＝a －b ，AD →＝a －12b ，BE →＝－12a ＋b ，设AD 与BE 相交于点G 1，且AG 1→＝λAD →，BG 1→＝μBE →(λ，μ∈R )， 则有AG 1→＝λa －λ2b ，BG 1→＝－μ2a ＋μb .又有AG 1→＝AB →＋BG 1→＝(1－μ2)a ＋(μ－1)b ，∴⎩⎨⎧λ＝1－μ2，－λ2＝μ－1，解得λ＝μ＝23，∴AG 1→＝23AD →.再设AD →与CF →交于G 2， 同理求得AG 2→＝23AD →，∴点G 1与点G 2重合，即AD 、BE 、CF 相交于一点． ∴三角形三条中线交于一点．『规律总结』 平面向量基本定理是向量法的理论基础，这个定理揭示了任一平面向量均可用平面内的任意两个不共线向量的线性表示的实质．它不仅提供了向量的几何表示方法，同时也使向量用坐标来表示成为可能，从而架起了向量的几何运算与代数运算之间的桥梁．〔跟踪练习3〕如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ︰PM 的值．[解析] 设BM →＝e 1，CN →＝e 2，则AM →＝AC →＋CM →＝－3e 2－e 1， BN →＝2e 1＋e 2∵A 、P 、M 和B 、P 、N 分别共线， ∴存在实数λ、μ使AP →＝λAM →＝－λe 1－3λe 2， BP →＝μBN →＝2μe 1＋μe 2，故BA →＝BP →－AP →＝(λ＋2μ)e 1＋(3λ＋μ)e 2. 而BA →＝BC →＋CA →＝2e 1＋3e 2∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝23λ＋μ＝3，解得⎩⎨⎧λ＝45μ＝35，故AP →＝45AM →，即AP ︰PM ＝4︰1. Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi忽略两个向量作为基底的条件典例4 已知e 1≠0，λ∈R ，a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1，则a 与b 共线的条件为( )A ．λ＝0B ．e 2＝0C ．e 1∥e 2D ．e 1∥e 2或λ＝0[错解] A[错因分析] 在应用平面向量基本定理时，要注意a ＝λ1e 1＋λ2e 2中，e 1，e 2不共线这个条件．若没有指明，则应对e 1，e 2共线的情况加以考虑．[思路分析] 当e 1∥e 2时，a ∥e 1，又因为b ＝2e 1，所以b ∥e 1.又e 1≠0，故a 与b 共线；当λ＝0时，则a ∥e 1.又因为b ＝2e 1，所以b ∥e 1.又因为e 1≠0，故a 与b 共线．[正解] D『规律总结』 当条件不明确时要分类讨论．〔跟踪练习4〕如果e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么( A ) A ．若存在实数λ1，λ2，使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0B ．空间任一向量a 可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，这里λ1，λ2为实数C ．对实数λ1，λ2，λ1e 1＋λ2e 2不一定在该平面内D ．对平面内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对[解析] 平面α内任一向量都可写成e 1与e 2的线性组合形式，而不是空间内任一向量，故B 不正确；对任意实数λ1，λ2，向量λ1e 1＋λ2e 2一定在平面α内，故C 不正确；而对平面α内的任一向量a ，实数λ1，λ2是唯一的，故D 不正确．K 课堂达标验收e tan g da biao yan shou1．已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y 等于__3__.[解析] ∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＝62x －3y ＝3解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6y ＝3， ∴x －y ＝3.2．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝x OA →＋yOB →，且BP →＝2P A →，则( A )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14[解析] OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋13AB →＝OA →＋13(OB →－OA →)＝23OA →＋13OB .∴x ＝23，y ＝13. 3．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( A ) A ．34AB →－14AC →B ．14AB →－34AC →C ．34AB →＋14AC →D ．14AB →＋34AC →[解析] 如图所示EB →＝AB →－AE →＝AB →－12AD →＝AB →－12·12(AB →＋AC →)＝34AB →－14AC →. 4．设e 1，e 2是平面的一组基底，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则e 1＋e 2＝__23__a ＋__(－13)__b .[解析] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，解得⎩⎨⎧e 1＝13a －23b ，e 2＝13a ＋13b .∴e 1＋e 2＝23a －13b .。

2.3.1 平面向量基本定理学习目标1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.知识点一 平面向量基本定理思考1 如果e 1，e 2是两个不共线的确定向量，那么与e 1，e 2在同一平面内的任一向量a 能否用e 1，e 2表示？依据是什么？答案： 能.依据是数乘向量和平行四边形法则.思考2 如果e 1，e 2是共线向量，那么向量a 能否用e 1，e 2表示？为什么？ 答案：不一定，当a 与e 1共线时可以表示，否则不能表示. 梳理：(1)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a =λ1e 1＋λ2e 2. (2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 知识点二 两向量的夹角与垂直思考1.平面中的任意两个向量都可以平移至起点，它们存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？答案：存在夹角，不一样.思考2.△ABC 为正三角形，设AB →=a ，BC →=b ，则向量a 与b 的夹角是多少？ 答案为：如图，延长AB 至点D ，使AB =BD ，则BD →=a ，∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC =60°，则∠CBD =120°，故向量a 与b 的夹角为120°. 梳理：(1)夹角：已知两个非零向量a 和b ，作OA →=a ，OB →=b ，则∠AOB =θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角(如图所示).当θ=0°时，a 与b 同向；当θ=180°时，a 与b 反向.(2)垂直：如果a 与b 的夹角是90°，则称a 与b 垂直，记作a ⊥b .类型一 对基底概念的理解例1 如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( ) ①λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a ，使a =λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ， 使得λ1e 1＋μ1e 2=λ(λ2e 1＋μ2e 2)；④若存在实数λ，μ使得λe 1＋μe 2=0，则λ=μ=0.A.①②B.②③C.③④D.②跟踪训练1.若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( ) A.e 1－e 2，e 2－e 1 B.2e 1－e 2，e 1－12e 2C.2e 2－3e 1，6e 1－4e 2D.e 1＋e 2，e 1－e 2类型二 向量的夹角例2 已知|a |=|b |=2，且a 与b 的夹角为60°，设a ＋b 与a 的夹角为α，a －b 与a 的夹角是β，求α＋β.(1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出.(2)特别地，a 与b 的夹角为θ，λ1a 与λ2b (λ1、λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0=180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0=θ.跟踪训练2.已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →=12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________.类型三 平面向量基本定理的应用例3.如图所示，在▱ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 边上的中点，若AB →=a ，AD →=b ，试以a ，b 为基底表示DE →，BF →.引申探究若本例中其他条件不变，设DE →=a ，BF →=b ，试以a ，b 为基底表示AB →，AD →.将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解. 跟踪训练3.如图所示，在△AOB 中，OA →=a ，OB →=b ，M ，N 分别是边OA ，OB 上的点， 且OM →=13a ，ON →=12b ，设AN →与BM →相交于点P ，用基底a ，b 表示OP →.1.下列关于基底的说法正确的是( )①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底； ②基底中的向量可以是零向量；③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的. A.① B.② C.①③ D.②③2.在直角三角形ABC 中，∠BAC =30°，则AC →与BA →的夹角等于( ) A.30° B.60° C.120° D.150°3.已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(2x －3y )e 1＋(3x －4y )e 2=6e 1＋3e 2，则x =________，y =________.4.如图所示，在正方形ABCD 中，设AB →=a ，AD →=b ，BD →=c ，则当以a ，b 为基底时，AC →可表示为________，当以a ，c 为基底时，AC →可表示为________.5.已知在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，且AB =2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点，设AD →=a ，AB →=b ，试用a 、b 为基底表示DC →，BC →，EF →.1.对基底的理解 (1)基底的特征基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的.平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件. (2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底. 2.准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的.(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.课时作业一、选择题1.设e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( ) A.e 1＋e 2和e 1－e 2 B.3e 1－4e 2和6e 1－8e 2 C.e 1＋2e 2和2e 1＋e 2 D.e 1和e 1＋e 22.若向量a 与b 的夹角为60°，则向量－a 与－b 的夹角是( ) A.60° B.120° C.30° D.150°3.如图所示，用向量e 1，e 2表示向量a －b 为( )A.－4e 1－2e 2B.－2e 1－4e 2C.e 1－3e 2D.3e 1－e 24.设向量e 1和e 2是某一平面内所有向量的一组基底，若3x e 1＋(10－y )e 2=(4y －7)e 1＋2x e 2，则实数y 的值为( )A.3B.4C.－14D.－345.若OP →1=a ，OP →2=b ，P 1P →=λPP →2(λ≠－1)，则OP →等于( ) A.a ＋λb B.λa ＋(1－λ)b C.λa ＋b D.11＋λa ＋λ1＋λb 6.若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且CD →=4DB →=rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为( ) A.165 B.125 C.85 D.457.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →=a ，BD →=b ，则AF →等于( )A.14a ＋12bB.12a ＋14bC.23a ＋13bD.12a ＋23b 二、填空题8.已知e 1，e 2不共线，a =e 1＋2e 2，b =2e 1＋λe 2，要使a ，b 能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为______________.9.若|a |=|b |=|a －b |=r (r >0)，则a 与b 的夹角为________.10.如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →=λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ=________.三、解答题11.判断下列命题的正误，并说明理由：(1)若a e 1＋b e 2=c e 1＋d e 2(a 、b 、c 、d ∈R )，则a =c ，b =d ；(2)若e 1和e 2是表示平面内所有向量的一组基底，那么该平面内的任一向量可以用e 1＋e 2、e 1－e 2表示出来.12.如图，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →.其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°， 且|OA →|=|OB →|=1，|OC →|=23，若OC →=λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，求λ＋μ的值.13.在梯形ABCD 中，AB →∥CD →，M ，N 分别是DA ，BC 的中点，且DC AB=k .设AD →=e 1，AB →=e 2，以e 1，e 2为基底表示向量DC →，BC →，MN →.四、探究与拓展14.已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c =0，向量a ，b 的夹角为120°，且|b |=2|a |，则向量a 与c 的夹角为________.15.设e1，e2是不共线的非零向量，且a=e1－2e2，b=e1＋3e2.(1)证明：a，b可以作为一组基底；(2)以a，b为基底，求向量c=3e1－e2的分解式；(3)若4e1－3e2=λa＋μb，求λ，μ的值.答案解析例1.答案为：B解析：由平面向量基本定理可知，①④是正确的；对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；对于③，当两向量的系数均为零，即λ1=λ2=μ1=μ2=0时，这样的λ有无数个，故选B. 反思与感悟 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来. 跟踪训练1.答案为：D ；解析：选项A 中，两个向量为相反向量，即e 1－e 2=－(e 2－e 1)，则e 1－e 2，e 2－e 1为共线向量； 选项B 中，2e 1－e 2=2(e 1－12e 2)，也为共线向量；选项C 中，6e 1－4e 2=－2(2e 2－3e 1)，为共线向量.根据不共线的向量可以作为基底，只有选项D 符合. 例2解：如图，作OA →=a ，OB →=b ，且∠AOB =60°，以OA 、OB 为邻边作▱OACB ，则OC →=a ＋b ，BA →=OA →－OB →=a －b ，BC →=OA →=a . 因为|a |=|b |=2，所以△OAB 为正三角形，所以∠OAB =60°=∠ABC ， 即a －b 与a 的夹角β=60°.因为|a |=|b |，所以平行四边形OACB 为菱形，所以OC ⊥AB ，所以∠COA =90°－60°=30°，即a ＋b 与a 的夹角α=30°， 所以α＋β=90°. 跟踪训练2.答案为：90°解析：由AO →=12(AB →＋AC →)知，O ，B ，C 三点共线，且O 是线段BC 的中点，故线段BC 是圆O 的直径，从而∠BAC =90°，因此AB →与AC →的夹角为90°.例3.解：∵四边形ABCD 是平行四边形，E ，F 分别是BC ，DC 边上的中点， ∴AD →=BC →=2BE →，BA →=CD →=2CF →， ∴BE →=12AD →=12b ，CF →=12BA →=－12AB →=－12a .∴DE →=DA →＋AB →＋BE →=－AD →＋AB →＋BE →=－b ＋a ＋12b =a －12b ，BF →=BC →＋CF →=AD →＋CF →=b －12a .引申探究若本例中其他条件不变，设DE →=a ，BF →=b ，试以a ，b 为基底表示AB →，AD →. 解：取CF 的中点G ，连接EG . ∵E 、G 分别为BC ，CF 的中点， ∴EG →=12BF →=12b ，∴DG →=DE →＋EG →=a ＋12b .又∵DG →=34DC →=34AB →，∴AB →=43DG →=43(a ＋12b )=43a ＋23b .又∵AD →=BC →=BF →＋FC →=BF →＋12DC →=BF →＋12AB →，∴AD →=BC →=b ＋12(43a ＋23b )=23a ＋43b .跟踪训练3.解：OP →=OM →＋MP →，OP →=ON →＋NP →. 设MP →=mMB →，NP →=nNA →，则OP →=OM →＋mMB →=13OA →＋m (OB →－OM →)=13a ＋m (b －13a )=13(1－m )a ＋m b ，OP →=ON →＋nNA →=12OB →＋n (OA →－ON →)=12b ＋n (a －12b )=12(1－n )b ＋n a .∵a ，b 不共线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 13(1－m )＝n ，12(1－n )＝m ，即⎩⎪⎨⎪⎧n ＝15，m ＝25.∴OP →=15a ＋25b .1.答案为：C解析：零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基底中的向量，故②错，①③正确. 2.答案为：D解析：由向量夹角定义知，AC →与BA →的夹角为150°. 3.答案为：－15 －12；解析：∵向量e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝6，3x －4y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－15，y ＝－12.4.答案为：a ＋b 2a ＋c ；解析：由平行四边形法则可知，AC →=AB →＋AD →=a ＋b ，以a ，c 为基底时将BD →平移，使点B 与点A 重合，再由三角形法则和平行四边形法则即可得到.5.解：连接FD ，∵DC ∥AB ，AB =2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点，∴DC 綊FB .∴四边形DCBF 为平行四边形.依题意，DC →=FB →=12AB →=12b ， BC →=FD →=AD →－AF →=AD →－12AB →=a －12b ， EF →=DF →－DE →=－FD →－DE →=－BC →－12DC →=－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b －12×12b =14b －a . 课时作业1.答案为：B解析：B 中，∵6e 1－8e 2=2(3e 1－4e 2)，∴(6e 1－8e 2)∥(3e 1－4e 2)，∴3e 1－4e 2和6e 1－8e 2不能作为基底.2.答案为：A3.答案为：C ；解析：如图，由向量的减法得a －b =AB →.由向量的加法得AB →=e 1－3e 2.4.答案为：B解析：因为3x e 1＋(10－y )e 2=(4y －7)e 1＋2x e 2，所以(3x －4y ＋7)e 1＋(10－y －2x )e 2=0， 又因为e 1和e 2是某一平面内所有向量的一组基底，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＋7＝0，10－y －2x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝4，故选B.5.答案为：D解析：∵P 1P →=λPP 2→，∴OP →－OP →1=λ(OP →2－OP →)，∴(1＋λ)OP →=OP →1＋λOP →2，∴OP →=11＋λOP →1＋λ1＋λOP →2=11＋λa ＋λ1＋λb . 6.答案为：C解析：∵CD →=4DB →=rAB →＋sAC →，∴CD →=45CB →=45(AB →－AC →)=rAB →＋sAC →， ∴r =45，s =－45.∴3r ＋s =125－45=85. 7.答案为：C解析：如图，设CF →=λCD →，AE →=μAF →，则CD →=OD →－OC →=12b －12a ，故AF →=AC →＋CF →=(1－12λ)a ＋12λb . ∵AF →=1μAE →=1μ(AO →＋OE →)=1μ(12a ＋14b )=12μa ＋14μb ， ∴由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－12λ＝12μ，12λ＝14μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝23，μ＝34，∴AF →=23a ＋13b ，故选C. 8.答案为：(－∞，4)∪(4，＋∞)解析：若能作为平面内的一组基底，则a 与b 不共线.a =e 1＋2e 2，b =2e 1＋λe 2，由a ≠k b ， 即得λ≠4.9.答案为：60°解析：作OA →=a ，OB →=b ，则BA →=a －b ，∠AOB 为a 与b 的夹角，由|a |=|b |=|a －b |知△AOB 为等边三角形，所以∠AOB =60°.10.答案为：43解析：设AB →=a ，AD →=b ，则AE →=12a ＋b ，AF →=a ＋12b ， 又∵AC →=a ＋b ，∴AC →=23(AE →＋AF →)，即λ=μ=23，∴λ＋μ=43. 11.解：(1)错，当e 1与e 2共线时，结论不一定成立.(2)正确，假设e 1＋e 2与e 1－e 2共线，则存在实数λ，使e 1＋e 2=λ(e 1－e 2)，即(1－λ)e 1=－(1＋λ)e 2. 因为1－λ与1＋λ不同时为0，所以e 1与e 2共线，这与e 1，e 2不共线矛盾.所以e 1+e 2与e 1-e 2不共线，即它们可以作为基底，该平面内的任一向量可以用e 1+e 2、e 1-e 2表示出来.12.解：如图，以OA ，OB 所在射线为邻边，OC 为对角线作平行四边形ODCE ，则OC →=OD →＋OE →.在Rt△OCD 中，∵|OC →|=23，∠COD =30°，∠OCD =90°， ∴|OD →|=4，|CD →|=2，故OD →=4OA →，OE →=2OB →，即λ=4，μ=2，∴λ＋μ=6.13.解：方法一 如图所示，∵AB →=e 2，且DC AB=k ，∴DC →=kAB →=k e 2. 又∵AB →＋BC →＋CD →＋DA →=0，∴BC →=－AB →－CD →－DA →=－AB →＋DC →＋AD →=e 1＋(k －1)e 2.又∵MN →＋NB →＋BA →＋AM →=0，且NB →=－12BC →，AM →=12AD →， ∴MN →=－AM →－BA →－NB →=－12AD →＋AB →＋12BC →=k ＋12e 2. 方法二 如图所示，过C 作CE ∥DA ，交AB 于点E ，交MN 于点F .同方法一可得DC →=k e 2.则BC →=BE →＋EC →=－(AB →－DC →)＋AD →=e 1＋(k －1)e 2，MN →=MF →＋FN →=DC →＋12EB →=DC →＋12(AB →－DC →)=k ＋12e 2. 14.答案为：90°解析：由题意可画出图形，在△OAB 中，因为∠OAB =60°，|b |=2|a |，所以∠ABO =30°，OA ⊥OB ，即向量a 与c 的夹角为90°.15.(1)证明 若a ，b 共线，则存在λ∈R ，使a =λb ，则e 1－2e 2=λ(e 1＋3e 2).由e 1，e 2不共线，得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝1，3λ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝1，λ＝－23.∴λ不存在，故a 与b 不共线，可以作为一组基底.(2)解：设c =m a ＋n b (m ，n ∈R )，则3e 1－e 2=m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2)=(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2，n ＝1.∴c =2a ＋b .(3)解：由4e 1－3e 2=λa ＋μb ，得4e 1－3e 2=λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2)=(λ＋μ)e 1＋(－2λ＋3μ)e 2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝3，μ＝1.故所求λ，μ的值分别为3和1.。

3．2平面向量基本定理知识点平面向量基本定理[填一填]定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数λ1，λ2使a＝λ1e1＋λ2e2.不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．[答一答]怎样理解平面向量基本定理？提示：(1)平面向量基本定理陈述了这样一个事实，即：如果已知平面内两个不共线的向量，那么对平面内任一向量都可以找到唯一的实数对把这一向量分解，这与物理中力的分解有共同之处，我们可以通过类比的方法加以理解．(2)这两个基底不是唯一的，只要是平面内不共线的两个向量即可．(3)e1，e2必须是同一平面内的两个不共线的向量，若e1，e2是两个共线的向量，即e1＝λe2，那么就不能用e1，e2表示平面内不与e1，e2共线的向量．(4)如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线的向量，那么这一平面内的任一向量a 都可用e 1，e 2唯一的一个线性组合λ1e 1＋λ2e 2来表示，即若λ1e 1＋λ2e 2＝x e 1＋y e 2，则λ1＝x ，λ2＝y .(5)对于a ＝λ1e 1＋λ2e 2来说，当a 与e 1共线时，λ2＝0；当a 与e 2共线时，λ1＝0；当a ＝0时，λ1＝λ2＝0.1．定理的实质平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任意向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式．2．分解的唯一性平面向量基本定理中，平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，一旦选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是唯一的．3．体现的数学思想平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择恰当的基底，将问题涉及的向量用基底化归，使问题得以解决．类型一 对基底概念的理解【例1】 (1)已知向量a ＝2e 1－e 2，b ＝e 1＋2e 2，c ＝12e 1－32e 2，e 1与e 2不共线，则下面不能构成基底的一组向量是( )A ．a 与bB ．a 与cC ．a －b 与cD ．a ＋b 与c(2)已知e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，若a ，b 能作为一组基底，则实数λ的取值范围为________．【解析】 (1)设a ＝λb ，即2e 1－e 2＝λ(e 1＋2e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，－1＝2λ，无解，故a 与b 不共线，能构成基底；同理可得，a 与c ，a ＋b 与c 均不共线，均能构成基底．∵a －b ＝(2e 1－e 2)－(e 1＋2e 2)＝e 1－3e 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12e 1－32e 2＝2c ，∴a －b 与c 共线，不能构成基底．(2)若a ，b 能作为一组基底，则向量a ，b 不共线．由题可知，若向量a ，b 共线，则有λ＝4，故当向量a ，b 不共线时，λ≠4.即实数λ的取值范围是(－∞，4)∪(4，＋∞)．【★答案★】 (1)C (2)(－∞，4)∪(4，＋∞) 规律方法 判断所给两个向量能否作为基底的方法由基底的定义可知，要判断两个向量a ，b 能否作为基底，只需判断其是否共线，而判断向量是否共线就要看是否存在λ∈R ，使a ＝λb 成立．另外，作为基底的向量必为非零向量．已知非零向量a ，b 不共线，则下列各组向量中，可作为平面内所有向量的一组基底的是( A )A ．a ＋b ，a －bB ．a －b ，b －aC ．a ＋12b,2a ＋bD ．2a －2b ，a －b解析：a －b ＝－(b －a )，选项B 的两个向量共线；2⎝⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＝2a ＋b ，选项C 的两个向量共线；2a －2b ＝2(a －b )，选项D 的两个向量共线；只有选项A 中的两个向量不共线，故选A. 类型二 用基底表示向量【例2】 如图所示，在▱ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM→＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →，AD →.【思路探究】 本题直接用c ，d 表示AB→，AD →有一定的困难，可以换一个角度，先由AB→，AD →表示AN →，AM →，进而求出AB →，AD →. 【解】 设AB →＝a ，AD →＝b ，因为M ，N 分别为CD ，BC 的中点，所以BN →＝12b ，DM →＝12a ， 于是有⎩⎪⎨⎪⎧c ＝b ＋12a ，d ＝a ＋12b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23(2d －c )，b ＝23(2c －d ).即AB →＝23(2d －c )，AD →＝23(2c －d )． 规律方法 平面向量基本定理揭示了平面内的每一个向量都可以由一组基底唯一表示，因此可结合向量的线性运算完成这种向量表示．注意以下几点：(1)通常选取有公共点的两个不共线向量作为基底； (2)注意共线向量基本定理的应用；(3)注意a ，b 不共线，则0＝0·a ＋0·b 是唯一的； (4)充分利用首尾相连的向量所表示的等量关系；(5)利用同一向量的多种表示方法建立等量关系，也是常用技巧．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝43.解析：本题考查平面向量基本定理及向量加法的三角形法则．如图平行四边形ABCD ，∵E 、F 分别为CD 和BC 的中点，∴AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋12AB →，AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋12AD →，∴AE →＋AF →＝32AB →＋32AD →，∴AB →＋AD →＝23AE →＋23AF →，∴AC →＝AB →＋AD →＝23AE →＋23AF →， ∴λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.类型三 平面向量基本定理的应用【例3】 如图，在平行四边形ABCD 中，F 是CD 的中点，AF 与BD 交于点E ，求证：E 为线段BD 的一个三等分点．【思路探究】【证明】 设AB→＝a ，AD →＝b ，则BD →＝AD →－AB →＝b －a ，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12AB →＝b ＋12a . 因为点A ，E ，F 与点B ，D ，E 分别共线，所以存在实数λ，μ，使AE →＝λAF→，BE →＝μBD →， 于是AE →＝λ2a ＋λb ，BE→＝μb －μa . 由于AB →＋BE →＝AE →，则(1－μ)a ＋μb ＝λ2a ＋λb . 因为a 与b 不共线，所以⎩⎨⎧1－μ＝λ2，μ＝λ，解得λ＝μ＝23.所以BE →＝23BD →，即E 为线段BD (靠近点D )的一个三等分点． 规律方法 用向量解决平面几何问题的一般步骤 (1)选取不共线的两个平面向量作为基底；(2)将相关的向量用基底表示，将几何问题转化为向量问题； (3)利用向量知识进行向量运算，得到向量问题的解； (4)将向量问题的解转化为平面几何问题的解．设平面内不在同一条直线上的三个点为O ，A ，B ，求证：当实数p ，q 满足1p ＋1q ＝1时，连接pOA→，qOB →两个向量的终点的直线通过一个定点． 证明：证法一：如图所示，设OA ′→＝pOA →，OB ′→＝qOB →， 其中C ′为直线A ′B ′上的任意一点，则OC ′→＝λOA ′→＋μOB ′→＝λp OA →＋μq OB →(λ＋μ＝1)， ∵1p ＋1q ＝1，令λ＝1p ，μ＝1q ，则OC ′→＝OA→＋OB →，显然C ′为定点，故满足要求．证法二：如图所示，设OA ′→＝pOA →，OB ′→＝qOB →， 其中C ′为直线A ′B ′上的任意一点，则OC ′→＝OA ′→＋λA ′B ′→＝OA ′→＋λ(OB ′→－OA ′→) ＝(1－λ)OA ′→＋λOB ′→ ＝(1－λ)pOA→＋λq OB →. ∵1p ＋1q ＝1，∴令⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝1p ，λ＝1q ，显然满足1－λ＋λ＝1p ＋1q ＝1， OC ′→＝OA→＋OB →，∴C ′为定点．——易错警示——忽视点在向量不同位置的讨论致误【例4】 已知△ABC ，点M 在BC 边所在的直线上且满足|CM →|＝3|MB →|，设AB→＝a ，AC →＝b ，以AB →，AC →作为基底，则AM →＝________. 【错解】 34a ＋14b【正解】 由|CM→|＝3|MB →|①， 得CM→＝3MB →或CM →＝－3MB →②，故点M 在边BC 上或在CB 的延长线上③， 当点M 在边BC 上时，BC→＝AC →－AB →＝b －a ， 因为CM →＝3MB →，所以BM →＝14BC →＝14b －14a ， 所以AM →＝AB →＋BM →＝a ＋(14b －14a )＝34a ＋14b ； 当点M 在CB 的延长线上时， CM →＝－3MB →＝3BM →，故BM →＝12CB →，所以AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋12CB →＝AB →＋12(AB →－AC →) ＝32AB →－12AC →＝32a －12b .【错解分析】 误认为点M 一定在边BC 上，忽略了点M 位置的讨论，漏掉了一个解．【★答案★】 34a ＋14b 或32a －12b【小结】 1.重视向量的方向向量相等与向量的模相等不同，向量相等时向量的方向是相同的，而向量的模相等时向量的方向不一定相同，需要进行讨论，如本例中①处，由于CM→与MB →的方向未知，故应分两种情况讨论． 2．重视讨论思想在解题过程中要重视对题目条件的认真辨析，不确定的要进行讨论，如本例中③处如果不对点M 进行讨论，则会漏掉一个解．3．关注数形结合思想在解决与向量线性运算有关的问题时，根据题意画出示意图，找出相应点的位置，往往使运算过程更清晰流畅，如本例中，如果根据画出的三角形及M 点，即可发现②处的位置关系，从而避免了解题情况的遗漏．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括A ，C )，则以下表示AP→正确的是( A )A ．λ(AB→＋AD →)，λ∈(0,1) B ．λ(AB →＋AD →)，λ∈(0，22) C ．λ(AB→－AD →)，λ∈(0,1) D ．λ(AB →－AD →)，λ∈(0，22) 解析：因为AB →＋AD →＝AC →，又因为点P 在AC 上，所以AP →＝λ(AB →＋AD →)，λ∈(0,1)．一、选择题1．若a ，b 不共线，且λa ＋μb ＝0(λ，μ∈R )，则( B ) A ．a ＝0，b ＝0 B ．λ＝μ＝0 C ．λ＝0，b ＝0D ．a ＝0，μ＝0解析：∵λa ＋μb ＝0，∴λa ＝－μb ，又∵a ，b 不共线，∴λ＝μ＝0. 2．已知向量a ＝e 1－2e 2，b ＝2e 1＋e 2，其中e 1，e 2不共线，则a ＋b 与c ＝6e 1－2e 2的关系是( B )A ．不共线B ．共线C ．相等D ．不确定解析：∵a ＋b ＝3e 1－e 2，∴c ＝2(a ＋b )．∴a ＋b 与c 共线．二、填空题3．已知λ1>0，λ2>0，e 1，e 2是一组基底，且a ＝λ1e 1＋λ2e 2，则a 与e 1不共线，a 与e 2不共线．(均填“共线”或“不共线”)解析：∵e 1，e 2不共线，λ1>0，λ2>0，∴a 与e 1，e 2都不共线． 4．设e 1，e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是③ (写出满足条件的序号)．解析：①中，设e 1＋e 2＝λe 1(λ为实数)，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，1＝0，无解．所以e 1＋e 2与e 1不共线，故e 1与e 1＋e 2可以作为平面内向量的一组基底；同理，可得②④中的两个向量不共线，可以作为平面内向量的一组基底；③中的两个向量共线，不可以作为平面内向量的一组基底．三、解答题5．已知e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a ＝3e 1－2e 2，b ＝－2e 1＋e 2，c ＝7e 1－4e 2，试用向量a 和b 表示c .解：∵a ，b 不共线，∴可设c ＝x a ＋y b ，则x a ＋y b ＝x (3e 1－2e 2)＋y (－2e 1＋e 2)＝(3x －2y )e 1＋(－2x ＋y )e 2＝7e 1－4e 2，又∵e 1，e 2不共线．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －2y ＝7，－2x ＋y ＝－4.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2.∴c ＝a －2b .感谢您的下载!快乐分享，知识无限！不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！。

《平面向量基本定理》的教学设计[设计说明]:本节课是在学习了向量的加、减、数乘运算，以及共线向量基本定理的前提下引入的，是后面学习向量的直角坐标运算和数量积运算的基础。

本节起到承上启下的作用，是很重要的知识链结。

本设计中充分的发挥了学生的主观能动性，以问题串和合作探究的形式将学生引入到自主学习知识的境界中，能很好的提升学生的能力。

一、教学课题：普通高中课程标准实验教科书必修4、§2.3.1平面向量基本定理、第一课时。

二、教学目标：1知识与技能(1)了解平面向量基本定理及其意义,会利用向量基本定理解决简单问题；(2)培养学生分析、抽象、概括的推理能力。

2过程与方法(1)通过平面向量基本定理的得出过程,体会由特殊到一般的思维方法；(2)通过本节学习,体会用基底表示平面内任一向量的方法。

3情感.态度与价值观（1）通过本节学习,培养学生的理性精神，培养学生独立思考及勇于探求、敢于创新的精神、培养主动学习的意识；（2）通过平面向量基本定理的探求过程,培养学生观察能力、抽象概括能力、合作交流能力，激发学生学习数学的兴趣。

三、教学重点、难点重点：平面向量基本定理的应用难点：对平面向量基本定理的发现和形成过程,数学思想的渗透。

四、教学方法与手段探求式教学法、多媒体手段五、教学过程1、作图观察，引发思考2、数学探究探究一 给定一个向量是否一定可以用两个已知向量表示？探究二 学生作图,发现问题将给定向量a 分解为与1e 、2e 平行的两个向量提问：比较分解后与1e 、2e 平行的两个向量的方向和长度是否对应一致,即观察分解的结果是否唯一?学生观察并讨论。

提问:既然a 可以分解成与1e 、2e 平行的两个向量,那么a 是否可以用含有1e 、2e 的式子表示出来? OA =1e OM =1a 1eOB =2e ON =2a 2eOC =a =OM +ON =1a 1e +2a 2e 再问:：一对实数1a 、2a 是否惟一?(学生讨论并回答)点评:由作图中分解结果的惟一,决定了两个分解向量的惟一。

一、学习目标：要求学生掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个向量.二、学习重难点：平面向量的基本定理及其应用.三、学习过程：回顾复习：1、向量的加法运算（ 平行四边形法则）:2、向量的减法运算:3、实数与向量的积:4、向量共线定理:问题1：由平行四边形法则思考：是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？问题2：对于平面上两个不共线向量1e ，2e 是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？动手操作：1e ，2e 是不共线向量，a是平面内任一向量OA =1e OM =λ11e OC =a=OM +ON =λ11e +λ22e OB =2e ON =λ22e得平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a＝λ11e +λ22e 注意几个问题： 1︒这个定理也叫________________;2︒ 1e 、2e 必须________，且它是这一平面内所有向量的一组______;3︒λ1，λ2是被a，1e ，2e ___________确定的数量.思考: 平面内的任一向量是否都可以用形如λ11e ＋λ22e 的向量表示？【知识应用】1e 2eaC1. 在ABCD 中，（1）已知＝a ，＝b ，试用a ，b 来表示，.（2）已知＝c ，＝d ，试用c ，d 表示向量，.2. 给定平面内任意两个不共线向量1e ，2e 试作出向量31e ＋22e ， 1e －22e ．思考:在内容和表述形式上有什么区别和联系?问题3：完成教材《必修4》P 69 的例1、例2、例3；反思：如何运用好平面向量二个的基本定理，你能总结出一点心得吗?巩固练习:1e2e1. 已知：不共线向量1e ，2e ，求作向量a ＝211e －22e ．2.已知a ,b 不共线，且c =λ1a +λ2b (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1= .3.已知矢量a = 1e -22e ，b =21e +2e ，其中1e 、2e 不共线，则a +b 与c =61e -22e 的关系A.不共线 B .共线 C.相等 D.无法确定4. 已知：不共线向量1e ，2e ，并且1e －32e ＝λ11e ＋λ22e ，求实数λ1，λ2．5. 已知：基底｛a ，b ｝，求实数ｘ，ｙ满足向量等式：3x a ＋（10－y ）b ＝（4y ＋7）a ＋2x b ．6. 在△ABC 中，＝a ，＝b ，点G 是△ABC 的重心，试用a ，b 表示．2e1e7. 已知：ABCDEF 为正六边形，＝a ，＝b ，试用a ，b 表示向量．8. 已知 a =21e -32e ，b = 21e +32e ，其中1e ，2e 不共线，向量c =21e -92e ，问是否存在这样的实数,d a b λμλμ=+、使与c 共线.9、已知1e ，2e 是平面内所有向量的一组基底，又a =1e +22e ，b =21e -2e ,c =-1e +82e ,若用a ,b 作为基底表示向量c ，则c =_________________.探究证明:已知：M 是平行四边形ABCD 的中心，求证：对于平面上任一点O ，都有.总结一下前面关于三点共线问题的题型，再完成下面证明：设OA 、OB 不共线，点P 在O 、A 、B 所在的平面内，且(1)()OP t OA tOB t R =-+∈.求证：A 、B 、P 三点共线.。

“平面向量基本定理”教学设计何宜波一、教学内容解析：1“平面向量基本定理”是北师大版必修四第二章第三节第二课时的内容。

本节通过对平面向量基本定理的探究和应用，让学生掌握平面向量基本定理，为后面的平面向量的坐标表示提供理论支持，也是对前面学习的平面向量线性运算的加深。

因此，本节课有承上启下的作用，对学生提高数学素养提供了好的载体。

2教学任务：了解平面向量的分解；理解平面向量的基本定理的内容和几何意义；理解基底的含义；让学生经历平面向量基本定理的探究过程。

3教学重点：从物理情景抽象出向量的分解，探究平面向量的基本定理，理解并应用定理。

4教学的难点：深刻理解平面向量基本定理和定理的作用。

二、学生学情分析：从学生的知识基础来看，学生在物理课上已经学习了力的分解；速度的分解；位移的分解，能够把一个矢量分解在两个不同的方向上，特别是进行正交分解来解决问题。

前面有学习了向量的线性运算。

学习平面向量基本定理不存在知识基础上的问题。

三、教学目标设置：基于教学内容的解析和学生学情的分析，本节的教学目标设置如下：知识与技能：了解平面向量的基本定理的内容和意义，学会用平面向量解决实际问题，掌握基向量表示平面的任意向量。

过程与方法：通过平面向量基本定理的学习，让学生掌握转化的数学思想，培养发现问题的能力，提高数学素养。

情感态度与价值观：通过学习平面向量基本定理，培养创新精神和实践意识，在解决问题的过程中培养学生的应用意识。

四、 教学过程的设计：（一）、复习前面的内容，创设具体的问题情境，引出定理。

问题1前三节我们学习过哪些内容？已知两个不共线向量21,e e ，请你做出212121212323,,e e e e e e e e -+-+，，思考两个向量的线性组合是什么？问题2如图，质量为10g 的物体A 静止在倾斜角Θ=30。

的斜面上，求物体所受摩擦力和支持力的大小？（g=10m /2）。

设计意图：通过学生非常熟悉的物理题目的解决，明白平面的向量均可分解在两个不同的方向上，提升学生的数学抽象和数学直观想象素养。

平面向量基本定理．了解平面向量基本定理及其意义．(重点)．能应用平面向量基本定理解决一些实际问题．(难点)[基础·初探]教材整理平面向量基本定理阅读教材～“例”以上部分，完成下列问题．如果，(如图－－①)是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，存在唯一一对实数λ，λ，使＝λ＋λ(如图－－②)，其中不共线的向量，叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．图－－判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()平面向量的一组基底，中可以有一个向量为零向量．( )()任意两个向量都可以作为基底．( )()平面向量的基底不是唯一的．( )()零向量不可作为基底中的向量．( )【解析】()×，因为零向量与任何向量均共线．()×，两不共线的向量才可作为平面的一组基底．()()均正确．【答案】()×()×()√()√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问：解惑：疑问：解惑：疑问：解惑：[小组合作型]如果，是平面α内所有向量的一组基底，λ，μ是实数，判断下列说法是否正确，并说明理由．()若λ，μ满足λ＋μ＝，则λ＝μ＝；()对于平面α内任意一个向量，使得＝λ＋μ成立的实数λ，μ有无数对；()线性组合λ＋μ可以表示平面α内的所有向量；()当λ，μ取不同的值时，向量λ＋μ可能表示同一向量．【精彩点拨】根据平面向量基本定理的内容来判断．【自主解答】()正确．若λ≠，则＝－，从而向量，共线，这与，不共线相矛盾，同理可说明μ＝.()不正确．由平面向量基本定理可知λ，μ唯一确定．()正确．平面α内的任一向量可表示成λ＋μ的形式，反之也成立．()不正确．结合向量加法的平行四边形法则易知，当λ和μ确定后，其和向量λ＋μ便唯一确定．。

平面向量基本定理知识概要1．平面向量基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a 、OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角．如果a 与b 的夹角是90°，我们就说a 与b 垂直，记作a ⊥b .一、选择题1．下列各组向量中，一定能作为基底的是( ) A ．a ＝0，b ≠0B ．a ＝3e ，b ＝－3e (e ≠0)C ．a ＝2e 1－e 2，b ＝e 1＋2e 2(e 1，e 2不共线)D ．a ＝4e 1＋4e 2，b ＝－2e 1－2e 2(e 1，e 2不共线)2．设a ，b 是不共线的两个非零向量，已知AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b .若A ，B ，D 三点共线，则p 的值为( )A ．1B ．2C ．－2D ．－13．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC →＝e 1，DC →＝e 2，则OC →＝( )A.12(e 1＋e 2)B.12(e 1－e 2) C.12(2e 2－e 1) D.12(e 2－e 1)4．已知非零向量OA →，OB →不共线，且2OP →＝xOA →＋yOB →，若P A →＝λAB →(λ∈R )，则x ，y 满足的关系是( )A ．x ＋y －2＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．2x ＋y －2＝05．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点)，则AP →＝( )A ．λ(AB→＋AD →)，λ∈(0,1) B ．λ(AB→＋BC →)，λ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，22 C ．λ(AB→－AD →)，λ∈(0,1) D ．λ(AB→－BC →)，λ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，226．若点O 是▱ABCD 的两条对角线AC 与BD 的交点，且AB →＝4e 1，BC →＝6e 2，则3e 2－2e 1等于( )A.AO→ B.CO → C.BO→ D.DO →二、填空题7．已知e 1，e 2是两个不共线向量，a ＝k 2e 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－5k 2e 2与b ＝2e 1＋3e 2共线，则实数k ＝________.8．已知e 1，e 2是两个不共线向量，若a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，则λ＝________.9．已知平行四边形ABCD 中，E 为CD 的中点，AP→＝yAD →，AQ →＝xAB →，其中x ，y ∈R ，且均不为0.若PQ→∥BE →，则x y＝________.三、解答题 10.如图，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，试用a ，b 表示MN→. 11．已知向量a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，其中e 1，e 2不共线，向量c ＝2e 1－9e 2，若存在实数λ和μ，使d ＝λ a ＋μb 与c 共线，那么实数λ和μ应该是什么关系？12．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.13.如图，在△ABC 中，D 、F 分别是BC 、AC 的中点，AE→＝23AD →，AB →＝a ，AC →＝b .求证：B 、E 、F 三点共线．参考答案与解析1答案：C解析：由平面向量基本定理知，a ，b 不共线，∴选C. 2答案：D解析：BD→＝BC →＋CD →＝2a －b ，AB →＝2a ＋p b ，由A ，B ，D 三点共线，知存在实数λ，使2a ＋p b ＝2λa －λb .∵a ，b 不共线，∴⎩⎨⎧2λ＝2p ＝－λ，∴p ＝－1.3答案：A解析：因为O 是矩形ABCD 对角线的交点，BC →＝e 1，DC →＝e 2，所以OC →＝12(BC →＋DC→)＝12(e 1＋e 2)，故选A. 4答案：A解析：由P A →＝λAB →，得OA →－OP →＝λ(OB →－OA →)，即OP→＝(1＋λ)OA →－λOB →.又2OP →＝xOA →＋yOB →，∴⎩⎨⎧x ＝2＋2λy ＝－2λ，消去λ得x ＋y ＝2.5答案：A解析：如图所示，AC →＝AB →＋AD →.又点P 在AC 上，∴AP →与AC →同向，且|AP →|<|AC →|，故AP→＝λ(AB →＋AD →)，λ∈(0,1)．6答案：C解析：3e 2－2e 1＝12(6e 2－4e 1)＝12(BC →－AB →) ＝12(AD →－AB →)＝12BD →＝BO →. 7答案：－2或13解析：由题设，知k 22＝1－5k 23，∴3k 2＋5k －2＝0，解得k ＝－2或13. 8答案：－12解析：因为a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，所以存在唯一的μ，使2e 1－e 2＝μ(e 1＋λe 2)＝μe 1＋μλe 2，所以μ＝2，μλ＝－1，故λ＝－12.9答案：12解析：∵PQ →＝AQ →－AP →＝xAB →－yAD →，由PQ →∥BE →，可设PQ →＝λBE →，即xAB →－yAD →＝λ(CE →－CB →)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AB →＋AD →＝－λ2AB →＋λAD →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12λy ＝－λ，则x y ＝12.10解：由AN→＝3NC →，知N 为AC 的四等分点．MN→＝MC →＋CN → ＝12AD →－14AC →＝12AD →－14(AB →＋AD →)＝－14AB →＋14AD →＝－14a ＋14b .11解：∵d ＝λa ＋μb ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2)＝(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2，若d 与c 共线，则应有实数k ，使d ＝k c ，即(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2＝2k e 1－9k e 2， 由⎩⎨⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，得λ＝－2μ，故存在这样的实数λ，μ，只要λ＝－2μ，就能使d 与c 共线．12答案：43解析：选择AB→，AD →作为平面向量的一组基底，则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD→，AF →＝AB →＋12AD →，又AC →＝λAE →＋μAF →＝(12λ＋μ)AB →＋(λ＋12μ)AD →， 于是得⎩⎪⎨⎪⎧ 12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，μ＝23，所以λ＋μ＝43.13证明：如图所示，延长AD 到G ，使AG →＝2AD →，连接BG 、CG ，得到平行四边形ABGC ，则AG→＝a ＋b ， AD →＝12AG →＝12(a ＋b )AE →＝23AD →＝13(a ＋b ) AF→＝12AC →＝12b ， BE→＝AE →－AB →＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )． 又BF→＝AF →－AB →＝12b －a ＝12(b －2a )．所以BE →＝23BF →，又因为BE →与BF →有公共点B ，所以B 、E 、F 三点共线．。