高中数学《平面向量基本定理》导学案

高中数学 2.3.1 平面向量基本定理学案新人教A版必修4【学习目标】1知识与技能(1)了解平面向量基本定理及其意义,会利用向量基本定理解决简单问题；(2)培养学生分析、抽象、概括的推理能力。

2过程与方法(1)通过平面向量基本定理的得出过程,体会由特殊到一般的思维方法；(2)通过本节学习,体会用基底表示平面内任一向量的方法。

3情感.态度与价值观（1）通过本节学习,培养学生的理性思维，培养学生独立思考及勇于探求、敢于创新的精神、培养主动学习的意识；（2）通过平面向量基本定理的探求过程,培养学生观察能力、抽象概括能力、独立思考的能力，激发学生学习数学的兴趣。

【重点难点】重点：平面向量基本定理的应用难点：对平面向量基本定理的发现和形成过程,数学思想的渗透。

【学习内容】一【知识链接】1. 向量加法与减法有哪几种几何运算法则？2．怎样理解向量的数乘运算λa？ （1）模：|λa|=|λ||a|；（2）方向：λ>0时λa 与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；λ=0时λa=03. 向量共线定理 ：向量b 与非零向量a共线则：有且只有一个非零实数λ，使b =λa.二【新课导入】情景展示：在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来,就会形成一个新的数学理论. 三、小组合作、自主探究 探究（一）：平面向量的基本定理探究1：给定平面内任意两个不共线的非零向量1e 、2e ，请你作出向量b =31e +22e 、c =1e -22e .探究2：由探究1可知可以用平面内任意两个不共线的非零向量1e 、2e 来表示向量b ,c 那么平面内的任一向量是否都可以用形如λ11e +λ22e 的向量表示呢?【定理解读】1 、1e 、2e 必须是平面向量的基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数λ1、λ2,使a =λ11e +λ22e .2、λ1，λ2是被a，1e ，2e 的数量 3、基底不唯一,关键是不共线;4、由定理可将任一向量a 在给出基底1e 、2e 的条件下进行分解;5、基底给定时,分解形式唯一.6、λ 1 =0时 ； λ2=0时 ；λ1=0、λ2=0时 。

《6.3.1平面向量基本定理》教案1e 2e aOCAB1e 2e aNOB C 的直线，与直线作平行于直线如图，过点OA C 的直线，与直线作平行于直线过点ON OM OC +=则e ON 共线可得，存在实数与例3 如图所示，在△ABC 中，点M 是AB 的中点，且AN →＝12NC →，BN 与CM 相交于点E ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用基底{a ，b }表示向量AE →.[解] 易得AN →＝13AC →＝13b ，AM →＝12AB →＝12a ，由N ，E ，B 三点共线知存在实数m ， 满足AE →＝mAN →＋(1－m )AB →＝13m b ＋(1－m )a .由C ，E ，M 三点共线知存在实数n ， 满足AE →＝nAM →＋(1－n )AC →＝12n a ＋(1－n )b ，所以13m b ＋(1－m )a ＝12n a ＋(1－n )b ，是直角三角形。

用向量方法证明，的中线，是如图，ABC AB CD ABC CD ∆=∆21b DA a CD ==,证明：如图设b a CB b DB b a CA -=-=+=于是则,,()()22b a b a b a CB CA -=-•+=•ABCD 21=因为DA CD =所以2222,DA b CD a ==因为0=•CB CA 所以CB CA ⊥因此是直角三角形。

于是ABC ∆《6.3.1 平面向量基本定理》导学案【学习目标】平面向量基本定理【小试牛刀】思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)基底中的向量不能为零向量．( )(2)若a e 1＋b e 2＝c e 1＋d e 2(a ，b ，c ，d ∈R )，则必有a ＝c ，b ＝d .( ) (3)若两个向量的夹角为θ，则当|cos θ|＝1时，两个向量共线．( ) (4)若向量a 与b 的夹角为60°，则向量－a 与－b 的夹角是60°.( ) (5)平面内的任何两个向量都可以作为一个基底．( )(6)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2. ( ) 【经典例题】题型一 平面向量基本定理的理解点拨：(1)两个向量能否作为一个基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以用这个基底唯一线性表示出来．设向量a与b 是平面内两个不共线的向量，若x 1a ＋y 1b ＝x 2a ＋y 2b ，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x 2，y 1＝y 2.(3)一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样． 例1 如果e 1、e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确．．．的是( ) ①a ＝λe 1＋μe 2(λ、μ∈R )可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则λ1λ2＝μ1μ2. ④若实数λ、μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0. A ．①② B ．②③ C ．③④D ．②【跟踪训练】1 设e 1，e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2. 其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是________(写出满足条件的序号)．题型二 用基底表示平面向量点拨：方法1：运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止．方法2：通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解． 例2 如图，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E ，F 分别是AD ，BC 边上的中点，且BC ＝3AD ，BA →＝a ，BC →＝b .试以{a ，b }为基底表示EF →，DF →.【跟踪训练】2 如图所示，在△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，M 、N 分别是边OA 、OB 上的点，且OM →＝13a ，ON →＝12b ，设AN →与BM →交于点P ，用向量a 、b 表示OP →.分析: 通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解λ1，λ2.【当堂达标】1.下列说法中，正确说法的个数是( ) ①在△ABC 中，AB →，AC →可以作为基底；②能够表示一个平面内所有向量的基底是唯一的； ③零向量不能作为基底．A ．0B ．1C ．2D ．32.如图在矩形ABCD 中，若BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →＝( ) A.12(5e 1＋3e 2) B.12(5e 1－3e 2) C.12(3e 2－5e 1) D.12(5e 2－3e 1) 3.如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP→＝2PA →，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝144.已知非零向量OA →，OB →不共线，且2OP →＝xOA →＋yOB →，若PA →＝λAB →(λ∈R )，则x ，y 满足的关系是( )A ．x ＋y －2＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．2x ＋y －2＝05.已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y＝ .6.如图，在平行四边形ABCD 中，设AC →＝a ，BD →＝b ，试用基底{a ，b }表示AB →，BC →.【参考答案】【自主学习】不共线向量 a ＝λ1e 1＋λ2e 2思考：基底中的两向量e 1，e 2不共线，这是基底的最大特点．平面内的基底并不是唯一的，任意不共线的两个向量都可以作为基底．【小试牛刀】(1) × (2)× (3)√ (4)√ (5) × (6)√ 【经典例题】例 1 B [解析] 由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③，当λ1λ2＝0或μ1μ2＝0时不一定成立，应为λ1μ2－λ2μ1＝0.故选B ．【跟踪训练】1 ③ 解析：①设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，1＝0，无解，所以e 1＋e 2与e 1不共线，即e 1与e 1＋e 2能作为一组基底．②设e 1－2e 2＝λ(e 2－2e 1)，则(1＋2λ)e 1－(2＋λ)e 2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋2λ＝0，2＋λ＝0，无解，所以e 1－2e 2与e 2－2e 1不共线，即e 1－2e 2与e 2－2e 1能作为一组基底．③因为e 1－2e 2＝－12(4e 2－2e 1)，所以e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线，即e 1－2e 2与4e 2－2e 1不能作为一组基底．④设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则(1－λ)e 1＋(1＋λ)e 2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝0，1＋λ＝0，无解，所以e 1＋e 2与e 1－e 2不共线，即e 1＋e 2与e 1－e 2能作为一组基底．例2 解：连接FA ，DF .因为AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，所以AD →＝13BC →＝13b ，所以AE →＝12AD →＝16b .因为BF →＝12BC →，所以BF →＝12b ，所以FA →＝BA →－BF →＝a －12b .所以EF →＝EA →＋AF →＝－AE →－FA →＝－16b －⎝⎛⎭⎪⎫a －12b ＝13b －a ，DF →＝DA →＋AF →＝－(AD →＋FA →)＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤13b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b ＝16b －a .【跟踪训练】2 [解] ∵OP →＝OM →＋MP →，OP →＝ON →＋NP →，设MP →＝mMB →，NP →＝nNA →，则OP →＝OM →＋mMB →＝13a ＋m (b －13a )＝13(1－m )a ＋m b ，OP →＝ON →＋nNA →＝12(1－n )b ＋n a .∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧131－m ＝n ，121－n ＝m ，∴n ＝15.∴OP →＝15a ＋25b .【当堂达标】1.C 解析：①③正确，②错误．2.A 解析：选A.OC →＝12AC →＝12(BC →＋AB →)＝12(BC →＋DC →)＝12(5e 1＋3e 2)．3.A [解析] OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋13AB →＝OA →＋13(OB →－OA →)＝23OA →＋13OB ．∴x ＝23，y ＝13.4.A 解析：选A.由PA →＝λAB →，得OA →－OP →＝λ(OB →－OA →)，即OP →＝(1＋λ)OA →－λOB →.又2OP→＝xOA →＋yOB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2λ，y ＝－2λ，消去λ得x ＋y ＝2.5. 3 解析：∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝62x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6y ＝3.∴x －y ＝3.6.解：法一：设AC ，BD 交于点O ，则有AO →＝OC →＝12AC →＝12a ，BO →＝OD →＝12BD →＝12b .所以AB →＝AO →＋OB →＝AO →－BO →＝12a －12b ，BC →＝BO →＋OC →＝12a ＋12b .法二：设AB →＝x ，BC →＝y ，则AD →＝BC →＝y ，又⎩⎪⎨⎪⎧AB →＋BC →＝AC →，AD →－AB →＝BD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝a ，y －x ＝b ，解得x ＝12a －12b ，y ＝12a ＋12b ，即AB →＝12a －12b ，BC →＝12a ＋12b .《6.3.1平面向量的基本定理》同步练习A 组 基础题一、选择题1．等边△ABC 中，AB →与BC →的夹角是( ) A ．30° B．45° C．60° D．120°2．若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( ) A ．e 1－e 2，e 2－e 1 B ．2e 1＋e 2，e 1＋12e 2C ．2e 2－3e 1,6e 1－4e 2D ．e 1＋e 2，e 1－e 23．下面三种说法中，正确的是( )①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．A ．①② B．②③ C．①③ D．①②③4．若a 、b 不共线，且λa ＋μb ＝0(λ，μ∈R )，则( ) A ．a ＝0，b ＝0 B ．λ＝μ＝0 C ．λ＝0，b ＝0 D ．a ＝0，μ＝05.如图所示，平面内的两条直线OP 1和OP 2将平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)，若OP →＝aOP 1→＋bOP 2→，且点P 落在第Ⅰ部分，则实数a ，b 满足( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <06．下列说法中，正确说法的个数是( ) ①在△ABC 中，{AB →，AC →}可以作为基底；②能够表示一个平面内所有向量的基底是唯一的； ③零向量不能作为基底． A ．0 B ．1 C ．2 D ．37．如图，设O 是▱ABCD 两对角线的交点，有下列向量组：①AD →与AB →； ②DA →与BC →； ③CA →与DC →； ④OD →与OB →.其中可作为该平面内所有向量基底的是( ) A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．③④8．M 为△ABC 的重心，点D ，E ，F 分别为三边BC ，AB ，AC 的中点，则MA →＋MB →＋MC →等于( ) A ．6ME → B ．－6MF → C ．0 D ．6MD →二、填空题9.设e 1、e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是______．(写出所有满足条件的序号)10.如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝________.11．设向量m ＝2a －3b ，n ＝4a －2b ，p ＝3a ＋2b ，若用m ，n 表示p ，则p ＝________.12．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝____________.(用b 、c 表示)13．已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y ＝3.14.如图，平面内有三个向量OA →、OB →、OC →.其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．15．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．三、解答题16.如图所示，在△ABC 中，点M 为AB 的中点，且AN ＝12NC ，BN 与CM 相交于点E ，设AB→＝a ，AC →＝b ，试以a ，b 为基底表示AE →.17.如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求证：AP ∶PM ＝4∶1.18．在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，(1)如图1，如果E ，F 分别是BC ，DC 的中点，试用a ，b 分别表示BF →，DE →. (2)如图2，如果O 是AC 与BD 的交点，G 是DO 的中点，试用a ，b 表示AG →.B 组 能力提升一、选择题1.如图，在梯形ABCD 中，AB //CD ，AB ⊥AD ，AB ＝2AD ＝2DC ，E 是BC 的中点，F 是AE上一点，2，则（ ）A ．B ．C ．D ．2.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若，，则（ ）A ．B ．C ．D ．3.中，、分别是、上的点，且，，与交于点，则下列式子正确的是（ ）A ．B ．C ．D ． 4.如图，在直角梯形ABCD 中，AB =2AD =2DC ，E 为BC 边上一点，BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3 EC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，F 为AE 的中点，则BF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ）A ．13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B ．−23AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C ．−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗D ．23AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗5.如图，正方形中，是的中点，若，则（ ）AF =FE BF=1123AB AD -1132AB AD -1123AB AD -+1132AB AD -+AC a =BD b =AF =1142a b +2133a b +1124a b +1233a b +ABC M N BC AC 2BM MC =2AN NC =AM BN P 3142AP AB AC =+1324AP AB AC =+1124AP AB AC =+1142AP AB AC =+ABCD M BC AC AM BD λμ=+λμ+=A ．B ．C ．D ．6.如图四边形ABCD 为平行四边形，，若，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．17.如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则( )A ．B ．C ．D ．二、填空题8.如图，在中，，点在线段上移动（不含端点），若，则的取值范围是_____．4353158211,22AE AB DF FC ==AF AC DE λμ=+λμ-122313ABCD E BC FDE 34AF xAB AD =+x =34231214ABC 13B BCD →→=E AD AE AB AC λμ→→→=+12λμ+9.在中，D 为线段上一点，且，若，则.10.在中，为上一点，，为上任一点，若，则的最小值是 .三、解答题11.如图，△ABC 中，AD 为三角形BC 边上的中线且AE ＝2EC ，BE 交AD 于G ，求AG GD 及BGGE的值．《6.3.1平面向量的基本定理》同步练习答案解析A 组 基础题一、选择题1．等边△ABC 中，AB →与BC →的夹角是( ) A ．30° B．45° C．60° D．120° 答案 D2．若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( ) A ．e 1－e 2，e 2－e 1 B ．2e 1＋e 2，e 1＋12e 2C ．2e 2－3e 1,6e 1－4e 2D ．e 1＋e 2，e 1－e 2ABC AB 3BD AD =CD CA CB λμ→→→=+λμ=ABC E AC 3AC AE =P BE (0,0)AP mAB nAC m n =+>>31m n+答案 D3．下面三种说法中，正确的是( )①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．A ．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 答案 B4．若a 、b 不共线，且λa ＋μb ＝0(λ，μ∈R )，则( ) A ．a ＝0，b ＝0 B ．λ＝μ＝0 C ．λ＝0，b ＝0 D ．a ＝0，μ＝0 答案 B5.如图所示，平面内的两条直线OP 1和OP 2将平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)，若OP →＝aOP 1→＋bOP 2→，且点P 落在第Ⅰ部分，则实数a ，b 满足( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0 答案 C解析 当点P 落在第Ⅰ部分时，OP →按向量OP 1→与OP 2→分解时，一个与OP 1→反向，一个与OP 2→同向，故a <0，b >0.6．下列说法中，正确说法的个数是( ) ①在△ABC 中，{AB →，AC →}可以作为基底；②能够表示一个平面内所有向量的基底是唯一的； ③零向量不能作为基底． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 [答案] C解析：①③正确，②错误．7．如图，设O 是▱ABCD 两对角线的交点，有下列向量组：①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →.其中可作为该平面内所有向量基底的是( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④ [答案] B解析：AD →与AB →不共线，DA →∥BC →，CA →与DC →不共线，OD →∥OB →，则①③可以作为该平面内所有向量的基底．8．M 为△ABC 的重心，点D ，E ，F 分别为三边BC ，AB ，AC 的中点，则MA →＋MB →＋MC →等于( ) A ．6ME → B ．－6MF → C ．0 D ．6MD → 答案 C解析 MA →＋MB →＋MC →＝MA →＋2MD →＝MA →＋AM →＝0. 二、填空题9.设e 1、e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是______．(写出所有满足条件的序号)答案 ①②④解析 对于③4e 2－2e 1＝－2e 1＋4e 2＝－2(e 1－2e 2)，∴e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线，不能作为基底．10.如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝________.答案 14a ＋34b解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →)＝14AB →＋34AC →＝14a ＋34b . 11．设向量m ＝2a －3b ，n ＝4a －2b ，p ＝3a ＋2b ，若用m ，n 表示p ，则p ＝________. 答案 －74m ＋138n解析 设p ＝x m ＋y n ，则3a ＋2b ＝x (2a －3b )＋y (4a －2b )＝(2x ＋4y )a ＋(－3x －2y )b ，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4y ＝3－3x －2y ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－74，y ＝138.12．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝____________.(用b 、c 表示)答案 23b ＋13c解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →＝23b ＋13c .13．已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y ＝3.[答案] 3解析：∵e 1、e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，∴x －y ＝3.14.如图，平面内有三个向量OA →、OB →、OC →.其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．答案 6解析 如图，以OA 、OB 所在射线为邻边，OC 为对角线作平行四边形ODCE ，则OC →＝OD →＋OE →.在Rt△OCD 中，∵|OC →|＝23， ∠COD ＝30°，∠OCD ＝90°， ∴|OD →|＝4，|CD →|＝2，故OD →＝4OA →， OE →＝2OB →，即λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6.15．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案 12解析 易知DE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →.所以λ1＋λ2＝12.三、解答题16.如图所示，在△ABC 中，点M 为AB 的中点，且AN ＝12NC ，BN 与CM 相交于点E ，设AB→＝a ，AC →＝b ，试以a ，b 为基底表示AE →.解 ∵AN →＝13AC →＝13b ，AM →＝12AB →＝12a ，由N ，E ，B 三点共线知存在实数λ满足AE →＝λAN →＋(1－λ)AB →＝13λb ＋(1－λ)a .由C ，E ，M 三点共线知存在实数μ满足 AE →＝μAM →＋(1－μ)AC →＝μ2a ＋(1－μ)b .∴⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝μ2，1－μ＝λ3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝35，μ＝45.∴AE →＝25a ＋15b .17.如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求证：AP ∶PM ＝4∶1. 证明 设AB →＝b ，AC →＝c ， 则AM →＝12b ＋12c ，AN →＝23AC →，BN →＝BA →＋AN →＝23c －b .∵AP →∥AM →，BP →∥BN →，∴存在λ，μ∈R ，使得AP →＝λAM →，BP →＝μBN →， 又∵AP →＋PB →＝AB →，∴λAM →－μBN →＝AB →，∴由λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋12c －μ⎝ ⎛⎭⎪⎫23c －b ＝b 得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μb ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ－23μc ＝b .又∵b 与c 不共线． ∴⎩⎪⎨⎪⎧12λ＋μ＝1，12λ－23μ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝35.故AP →＝45AM →，即AP ∶PM ＝4∶1.18．在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，(1)如图1，如果E ，F 分别是BC ，DC 的中点，试用a ，b 分别表示BF →，DE →. (2)如图2，如果O 是AC 与BD 的交点，G 是DO 的中点，试用a ，b 表示AG →. 解 (1)BF →＝BC →＋CF →＝AD →＋12CD →＝AD →－12AB →＝－12a ＋b .DE →＝DC →＋CE →＝AB →－12AD →＝a －12b .(2)BD →＝AD →－AB →＝b －a ，∵O 是BD 的中点，G 是DO 的中点，∴BG →＝34BD →＝34(b －a )，∴AG →＝AB →＋BG →＝a ＋34(b －a )＝14a ＋34b .B 组 能力提升一、选择题1.如图，在梯形ABCD 中，AB //CD ，AB ⊥AD ，AB ＝2AD ＝2DC ，E 是BC 的中点，F 是AE 上一点，2，则（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】由梯形ABCD 中，AB CD ，AB ⊥AD ，AB ＝2AD ＝2DC ，E 是BC 的中点，F 是AE 上一点，2，则 ；故选：C2.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若，，则（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】B【解析】如图，可知AF =FE BF=1123AB AD -1132AB AD -1123AB AD -+1132AB AD -+//AF =FE 221(332)BF BA AF AB AE AB AB AC =+=-+=-+⨯+1(3)AB AB AD DC =-+++11(32)AB AB AD AB =-+++1123AB AD =-+AC a =BD b =AF =1142a b +2133a b +1124a b +1233a b +=，选B. 3.中，、分别是、上的点，且，，与交于点，则下列式子正确的是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D【解析】如下图所示：连接，则，，，， 因此，.故选：D. 4.如图，在直角梯形ABCD 中，AB =2AD =2DC ，E 为BC 边上一点，BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3 EC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，F 为AE 的中点，则BF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ）222()333AF AC CF AC CD AC AB AC AO OB =+=+=-=-+2112112132232233AC AC BD a a b a b ⎛⎫⎛⎫--=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ABC M N BC AC 2BM MC =2AN NC =AM BN P 3142AP AB AC =+1324AP AB AC =+1124AP AB AC =+1142AP AB AC =+MN 12NC MC AN BM ==//MN AB ∴PMN PAB △∽△13PM MN AP BC ∴==()333231444342AP AM AB BM AB BC AB BC ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭()31114242AB AC AB AB AC =+-=+A ．13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B ．−23AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C ．−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D ．23AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗【答案】B【解析】由图可知：BF →=12BA →+12BE →，BE →=23BC →，BC →=AC →﹣AB →，AC →=AD →+DC →，DC →=12AB →，∴BF →=﹣12AB →+13（AD →+12AB →﹣AB →）=﹣23AB →+13AD →，故选B ．5.如图，正方形中，是的中点，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，设正方形边长为， 由此，，故， 解得.故选B. 6.如图四边形ABCD 为平行四边形，，若，则的值为（ ）ABCD M BC AC AM BD λμ=+λμ+=43531582A 1()()11,1,1,,1,12AC AM BD ⎛⎫===- ⎪⎝⎭11,12λμλμ=-=+415,,333λμλμ==+=11,22AE AB DF FC ==AF AC DE λμ=+λμ-A ．B ．C ．D ．1【答案】D【解析】选取为基底， 则， 又，将以上两式比较系数可得．故选D ．7.如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】因为为的中点，所以， 而， 即有，又，所以．122313,AB AD 13AF AD DF AB AD =+=+()()122AF AC DE AB AD AB AD AB AD μλμλμλλμ⎛⎫⎛⎫=+=+++-=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1λμ-=ABCD E BC F DE 34AF xAB AD =+x =34231214F DE ()12AF AD AE =+1122AE AB BE AB BC AB AD =+=+=+11132224AF AD AB AD AB AD ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭34AF xAB AD =+12x =故选：C ．二、填空题8.如图，在中，，点在线段上移动（不含端点），若，则的取值范围是_____．【答案】 【解析】由题可知，，设，则，所以， 而，可得：，所以，设， 由双钩函数性质可知，在上单调递减，则， 所以的取值范围是.故答案为：. 9.在中，D 为线段上一点，且，若，则. 【答案】3 【解析】，ABC 13B BCD →→=E AD AE AB AC λμ→→→=+12λμ+(10,3)+∞13B BCD →→=()01AE mAD m =<<13AE m AB BC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()13m AB BA AC ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦2133AE m AB m AC →→→=+AE AB AC λμ→→→=+21,33m m λμ==1323m m λμ+=+()01m <<()33m f x m=+()01m <<()f x ()0,1()()1101333f x f >=+=12λμ+(10,3)+∞(10,3)+∞ABC AB 3BD AD =CD CA CB λμ→→→=+λμ=3BD AD =3331()4444CD CB BD CB BA CB CA CB CA CB →→→→→→→→→→∴=+=+=+-=+又，，，故选：310.在中，为上一点，，为上任一点，若，则的最小值是 . 【答案】12【解析】由题意可知：，三点共线，则：，据此有：， 当且仅当时等号成立. 综上可得：的最小值是12.三、解答题11.如图，△ABC 中，AD 为三角形BC 边上的中线且AE ＝2EC ，BE 交AD 于G ，求AG GD 及BGGE的值．解 设AG GD ＝λ，BG GE＝μ. ∵BD →＝DC →，即AD →－AB →＝AC →－AD →， ∴AD →＝12(AB →＋AC →)．又∵AG →＝λGD →＝λ(AD →－AG →)，∴AG →＝λ1＋λAD →＝λ2(1＋λ)AB →＋λ2(1＋λ)AC →.又∵BG →＝μGE →，即AG →－AB →＝μ(AE →－AG →)， ∴(1＋μ)AG →＝AB →＋μAE →，AG →＝11＋μAB →＋μ1＋μAE →.又AE →＝23AC →，∴AG →＝11＋μAB →＋2μ3(1＋μ)AC →.∵AB →，AC →不共线，CD CA CB λμ→→→=+31,44λμ∴==3λμ∴=ABC E AC 3AC AE =P BE (0,0)AP mAB nAC m n =+>>31m n+3AP mAB nAC mAB nAE =+=+,,A B E 31m n +=()313199366212n m n m m n m n m n m n m n⎛⎫+=++=++≥+⨯= ⎪⎝⎭11,26m n ==31m n+∴⎩⎪⎨⎪⎧λ2(1＋λ)＝11＋μ，λ2(1＋λ)＝2μ3(1＋μ).解之，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，μ＝32.∴AG GD ＝4，BG GE ＝32.《6.3.1平面向量基本定理》同步检测试卷一、基础巩固1．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）． A ．， B ．， C ．，D ．， 2．在中，，则等于（ ） A ．B ．C ．D ．3．如图所示，，分别是的边，上的点，且，，则向量（ ）．A ．B ．C ．D ．4．已知平面直角坐标系内的两个向量,且平面内的任一向()10,0e =()21,2e =-()11,2e =-()25,7e =()13,5e =()26,10e =()12,3e =-213,24e ⎛⎫=-⎪⎝⎭ABC AB a =CB b =CA a b +a b -b a -a b --M N ABCAB AC 2AM MB =2NC AN =MN =1233AB AC -1233AB AC +1233AC AB -1233AC AB +(3,2),(1,2)a m b m =-=-量都可以唯一表示成(为实数),则实数m 的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．5．中所在的平面上的点满足，则（ ） A ． B ． C ． D ． 6．设，是不共线的两个向量，且，则（ ） A ．B ．C ．D ．7．如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则( )A ．B ．C ．D ．8在中，已知是延长线上一点，若，点为线段的中点，，则（ ）A ．B ．C ．D ．9．（多选）下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）c c a b λμ=+,λμ6,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭66,,55⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(,2)-∞(,2)(2,)-∞-⋃-+∞ABC ∆D 2BD DC =AD =3144AD AB AC =+1344AD AB AC =+2133AD AB AC =+1233AD AB AC =+a b 0,,a b R λμλμ+=∈0λμ==0ab 0,0b λ==0,0a μ==ABCD E BC F DE 34AF xAB AD =+x =34231214ABC D BC2BCCD =E AD AE AB AC λμ=+2λμ+=14-1412-12A ．，B ．，C ．，D ．，10.（多选）已知M 为△ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是（ ） A ． B ． C ． D ． 11．（多选）如果是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（ ） A ．(λ，μ∈R )可以表示平面α内的所有向量B ．对于平面α内任一向量，使的实数对(λ，μ)有无穷多个C ．若向量与共线，则有且只有一个实数λ，使得D ．若实数λ，μ使得，则λ=μ=012．（多选）已知正方形的边长为，向量，满足，，则（ ）A ．B ．C ．D ．二、拓展提升13．如图，设，，又，试用，表示．14．如图，在任意四边形ABCD 中，()10,0e =()21,1=e ()11,2e =()22,1e =-()13,4e =-234,55⎛⎫=-⎪⎝⎭e ()12,6=e ()21,3=--e MA MB MC ==0MA MB MC ++=1233CM CA CD =+2133BM BA BD =+12,e e 12e e λμ+a 12a e e λμ=+1112e e λμ+2122e e λμ+()11122122e e e e λμλλμ+=+120e e λμ+=ABCD 2a b 2AB a =2AD a b =+||22b =a b ⊥2a b(4)a b b +⊥OA a =OB b =43AP AB =a b OP（1）已知E ､F 分别是AD ､BC 的中点求证：. （2）已知，用，表示向量. 15．已知点G 是的重心,M 是边的中点.若过的重心G ,且,求证:. 答案解析 一、基础巩固1．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）． A ．， B ．， C ．， D ．， 【答案】B 【详解】因为与不共线，其余选项中、均共线，所以B 选项中的两向量可以作为基底．2．在中，，则等于（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C 【详解】2AB DC EF +=12AM MB =EA EB EM ABO ∆AB PQ ABO ∆,,,OA a OB b OP ma OQ nb ====113m n+=()10,0e =()21,2e =-()11,2e =-()25,7e =()13,5e =()26,10e =()12,3e =-213,24e ⎛⎫=-⎪⎝⎭()11,2e =-()25,7e =1e 2e ABC AB a =CB b =CA a b +a b -b a -a b --，3．如图所示，，分别是的边，上的点，且，，则向量（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】C 【详解】因为，， 所以. 4．已知平面直角坐标系内的两个向量,且平面内的任一向量都可以唯一表示成(为实数),则实数m 的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【详解】由题意可知,平面内的任一向量都可以唯一表示成, ∴是平面内表示所有向量的一个基底,. ∴不共线, ∴. CA CB BA b AB b a =+=-=-M N ABC AB AC 2AM MB =2NC AN =MN=1233AB AC -1233AB AC +1233AC AB -1233AC AB +2AM MB =2NC AN =1233MN AN AM AC AB =-=-(3,2),(1,2)a m b m =-=-c c a b λμ=+,λμ6,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭66,,55⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(,2)-∞(,2)(2,)-∞-⋃-+∞c c a b λμ=+,a b ,a b 3(2)20m m -+≠65m ≠故m 的取值范围是.5．中所在的平面上的点满足，则（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【详解】解：因为， 所以，所以， 6．设，是不共线的两个向量，且，则（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】A 【详解】因为，是不共线的两个向量,所以由平面向量基本定理知：若，则， 7．如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则( )A ．B ．C ．D ．【答案】C 【详解】66,,55⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ABC ∆D 2BD DC =AD =3144AD AB AC =+1344AD AB AC =+2133AD AB AC =+1233AD AB AC =+2BD DC =()2AD AB AC AD -=-1233AD AB AC =+a b 0,,a b R λμλμ+=∈0λμ==0ab 0,0b λ==0,0a μ==a b 0,,a b R λμλμ+=∈0λμ==ABCD E BC F DE 34AF xAB AD =+x =34231214因为为的中点，所以， 而， 即有，又，所以． 8．在中，已知是延长线上一点，若，点为线段的中点，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【详解】 解：由题意可得，，故， ∴.9．（多选）下列各组向量中，不能作为基底的是（ ） A ．， B ．，C ．，D ．，【答案】ACD 【详解】F DE ()12AF AD AE =+1122AE AB BE AB BC AB AD =+=+=+11132224AF AD AB AD AB AD ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭34AF xAB AD =+12x =ABC D BC 2BC CD =E AD AE AB AC λμ=+2λμ+=14-1412-12111111131()()222222444AE AD AC CD AC BC AC AC AB AC AB ==+=+⨯=+-=-13,44λμ=-=241λμ+=()10,0e =()21,1=e ()11,2e =()22,1e =-()13,4e =-234,55⎛⎫=- ⎪⎝⎭e ()12,6=e ()21,3=--eA ，C ，D 中向量与共线，不能作为基底；B 中，不共线，所以可作为一组基底．10．（多选）已知M 为△ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】BC 【详解】M 为△ABC 的重心，M 是三边中线的交点，且在中线三等分点处，对于A ，由于△ABC 为任意三角形，故中线不一定相等，则不一定相等，故A 错误；对于B ，D 为BC 的中点，，，，故B 正确；对于C ，，故C 正确；对于D ，，故D 错误.11．（多选）如果是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（ ） A ．(λ，μ∈R )可以表示平面α内的所有向量B ．对于平面α内任一向量，使的实数对(λ，μ)有无穷多个1e 2e 1e 2e MA MB MC ==0MA MB MC ++=1233CM CA CD =+2133BM BA BD =+∴,,MA MB MC 2MB M MD C +∴=2MA MD =-0MA MB MC ++=∴()22123333CM CA AM CA AD CA CD CA CA CD =+=+=+-=+()22123333BM BA BA BA B AM AD BD BA A BD +=+=+-==+12,e e 12e e λμ+a 12a e e λμ=+C ．若向量与共线，则有且只有一个实数λ，使得D ．若实数λ，μ使得，则λ=μ=0 【答案】BC 【详解】由平面向量基本定理可知，A ，D 是正确的.对于B ，由平面向量基本定理可知， 若一个平面的基底确定，则该平面内的任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，B 错误.对于C ，当两个向量均为零向量时，即λ1=λ2=μ1=μ2=0时，这样的λ有无数个，或当为非零向量，而为零向量(λ2=μ2=0)，此时λ不存在. 12．（多选）已知正方形的边长为，向量，满足，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AD 【详解】由条件可，所以，A 正确；，与不垂直，B 错误； ，C 错误；，根据正方形的性质有，所以，D正确.二、拓展提升13．如图，设，，又，试用，表示．【答案】. 1112e e λμ+2122e e λμ+()11122122e e e e λμλλμ+=+120e e λμ+=1112e e λμ+2122e e λμ+ABCD 2ab 2AB a =2AD a b =+||22b =a b ⊥2a b(4)a b b +⊥b AD AB BD =-=||||22b BD ==12a AB =BD 122a b AB BD ⋅=⋅=-4a b AB AD AC +=+=AC BD ⊥(4)a b b +⊥OA a =OB b =43AP AB =a b OP 1433OP a b =-+【详解】 解：，由已知可得：，所以， 故．14．如图，在任意四边形ABCD 中，（1）已知E ､F 分别是AD ､BC 的中点求证：.（2）已知，用，表示向量. 【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】（1）证明：因为E ､F 分别是AD ､BC 的中点，所以，， 由题意，，两式相加得， 即；（2）因为，所以， 所以.15．已知点G 是的重心,M 是边的中点.若过的重心G ,且,求证:. AP OP OA =-AB OB OA =-43AP AB =4()3OP OA OB OA -=-44143333OP OA OA OB a b =-+=-+1433OP a b =-+2AB DC EF +=12AM MB =EA EB EM 1233EM EB EA =+0ED EA +=0CF BF +=EF ED DC CF =++EF EA AB BF =++2EF ED DC CF EA AB BF =+++++AB DC =+2AB DC EF +=12AM MB =13AM AB =()11123333EM EA AM EA AB EA EB EA EB EA =+=+=+-=+ABO ∆AB PQ ABO ∆,,,OA a OB b OP ma OQ nb ====113m n+=【答案】见解析 【详解】因为M 是边的中点,所以. 因为G 是的重心,所以.由P ,G ,Q 三点共线,所以有且只有一个实数,使，，，又因为不共线， ，消去，整理得,故.AB 11()()22OM OA OB a b =+=+ABO ∆21()33OG OM a b ==+λPG PQ λ=,(1)OG OP OQ OP OG OQ OP λλλλ-=-=+-,OP ma OQ nb ==(1))1(3OG nb a a b m λλ=+-=+,a b 1=313n m m λλ⎧⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩λ3mn m n =+113m n+=。

新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第二册学案：6.3.1平面向量基本定理含解析6.3平面向量基本定理及坐标表示6．3.1平面向量基本定理[目标］1.了解平面向量基本定理产生的过程和基底的含义,理解平面向量基本定理；2.掌握平面向量基本定理并能熟练应用．[重点] 平面向量基本定理．[难点] 平面向量基本定理的应用．要点整合夯基础知识点平面向量基本定理[填一填］(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1,λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.（2）若e1，e2不共线，我们把｛e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．［答一答］1．基底有什么特点?平面内基底唯一吗？提示：基底中的两向量e1，e2不共线,这是基底的最大特点．平面内的基底并不是唯一的，任意不共线的两个向量都可以作为基底．2．如图,设OA、OB、OC为三条共端点的射线，P为OC上一点，能否在OA 、OB 上分别找一点M 、N ，使OP →＝错误!＋错误!？提示：能。

过点P 作OA 、OB 的平行线，分别与OB 、OA 相交，交点即为N 、M .3．若向量a ，b 不共线，且c ＝2a －b ,d ＝3a －2b ，试判断c ，d 能否作为基底．提示：设存在实数λ使得c ＝λd ，则2a －b ＝λ（3a －2b )，即(2－3λ)a ＋（2λ－1)b ＝0.由于a ，b 不共线，从而2－3λ＝2λ－1＝0,这样的λ是不存在的，从而c ，d 不共线，故c ，d 能作为基底。

典例讲练破题型类型一 基底的概念［例1] 下面说法中，正确的是（ ）①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量；④对于平面内的任一向量a 和一组基底e 1，e 2，使a ＝λe 1＋μe 2成立的实数对一定是唯一的．A ．②④B ．②③④C ．①③D ．①③④［解析] 因为不共线的任意两个向量均可作为平面的一组基底，故②③正确，①不正确；由平面向量基本定理知④正确．综上可得②③④正确．［答案]B根据平面向量基底的定义知，判断能否作为基底问题可转化为判断两个向量是否共线的问题，若不共线，则它们可以作为一组基底；若共线,则它们不能作为一组基底。

《6.3.1 平面向量基本定理》教案【教材分析】本节内容是学生在学习平面向量实际背景及基本概念、平面向量的线性运算（向量的加法、减法、数乘向量、共线向量定理）之后的又一重点内容，它是引入向量坐标表示，将向量的几何运算转化为代数运算的基础，使向量的工具性得到初步的体现，具有承前启后的作用。

【教学目标与核心素养】课程目标1、了解平面向量基本定理；2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.数学学科素养1.数学抽象：平面向量基底定理理解；2.逻辑推理：用基底表示向量；3.数学建模：利用数形结合的思想运用相等向量，比例等知识来进行转换.【教学重点和难点】重点：平面向量基本定理；难点：平面向量基本定理的理解与应用.【教学过程】一、情景导入已知平面内一向量a是该平面内两个不共线向量b，c的和，怎样表达？问题：如果向量b与ｅ１共线、c与ｅ２共线，上面的表达式发生什么变化？根据作图进行提问、引导、归纳，板书表达式：a=λ1e1+λ2e2要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本25-27页，思考并完成以下问题1、平面向量基本定理的内容是什么？2、如何定义平面向量的基底？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究平面向量基本定理：如果ｅ１、ｅ２是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ1e 1+λ2e 2.注意：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，ｅ１、ｅ２唯一确定的数量. 四、典例分析、举一反三 题型一 正确理解向量基底的概念例1例1 设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组： ①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④ 【答案】B【解析】①AD →与AB →不共线；②DA →＝－BC →，则DA →与BC →共线；③CA →与DC →不共线；④OD →＝－OB →，则OD →与OB →共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．解题技巧（基底向量满足什么条件）考查两个向量能否作为基底，主要看两向量是否为非零向量且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面内任意一个向量都可以由这组基底唯一表示．注意零向量不能作基底．跟踪训练一1、设e 1，e 2是平面内一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是( ) A ．e 1＋e 2和e 1－e 2 B ．3e 1－2e 2和4e 2－6e 1C ．e 1＋2e 2和e 2＋2e 1D ．e 2和e 2＋e 1【答案】B.【解析】∵4e 2－6e 1＝－2(3e 1－2e 2)，∴两个向量共线，不能作为基底． 题型二 用基底表示向量例2 如图，在平行四边形ABCD 中，设对角线AC ―→＝a ，BD ―→＝b ，试用基底a ，b 表示AB ―→，BC ―→.【答案】AB ―→＝12a －12b ，BC ―→＝12a ＋12b.【解析】 由题意知，AO ―→＝OC ―→＝12AC ―→＝12a ，BO ―→＝OD ―→＝12BD ―→＝12b .所以AB ―→＝AO ―→＋OB ―→＝AO ―→－BO ―→＝12a －12b ，BC ―→＝BO ―→＋OC ―→＝12a ＋12b.解题技巧： (用基底表示向量的方法)将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，一般是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止．跟踪训练二1、如图所示，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M ，N 分别是DA ，BC 的中点，且DCAB＝k ，设AD ―→＝e 1，AB ―→＝e 2，以e 1，e 2为基底表示向量DC ―→，BC ―→，MN ―→.2、【答案】DC ―→＝k e 2.BC ―→＝e 1＋(k －1)e 2.MN ―→＝k ＋12e 2.【解析】法一：∵AB ―→＝e 2，DCAB＝k ，∴DC ―→＝k AB ―→＝k e 2.∵AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＋DA ―→＝0，∴BC ―→＝－AB ―→－CD ―→－DA ―→＝－AB ―→＋DC ―→＋AD ―→＝e 1＋(k －1)e 2. 又MN ―→＋NB ―→＋BA ―→＋AM ―→＝0，且NB ―→＝－12BC ―→，AM ―→＝12AD ―→，∴MN ―→＝－AM ―→－BA ―→－NB ―→＝－12AD ―→＋AB ―→＋12BC ―→＝k ＋12e 2.法二：同法一得DC ―→＝k e 2，BC ―→＝e 1＋(k －1)e 2.连接MB ，MC ，由MN ―→＝12(MB ―→＋MC ―→)得MN ―→＝12(MA ―→＋AB ―→＋MD ―→＋DC ―→)＝12(AB ―→＋DC ―→)＝k ＋12e 2.题型三 平面向量基本定理的应用例3 如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM 与BP ∶PN 的值．【答案】AP ∶PM ＝4，BP ∶PN ＝32.【解析】 设BM ―→＝e 1，CN ―→＝e 2，则AM ―→＝AC ―→＋CM ―→＝－3e 2－e 1，BN ―→＝BC ―→＋CN ―→＝2e 1＋e 2. ∵A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线，∴存在实数λ，μ使得AP ―→＝λAM ―→＝－λe 1－3λe 2， BP ―→＝μBN ―→＝2μe 1＋μe 2.故BA ―→＝BP ―→＋PA ―→＝BP ―→－AP ―→＝(λ＋2μ)e 1＋(3λ＋μ)e 2. 而BA ―→＝BC ―→＋CA ―→＝2e 1＋3e 2，由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝35.∴AP ―→＝45AM ―→，BP ―→＝35BN ―→，∴AP ∶PM ＝4，BP ∶PN ＝32.解题技巧（平面向量基本定理应用时注意事项）若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量( 一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得．跟踪训练三1．在△ABC 中，AD →＝13AB →，AE →＝14AC →，BE 与CD 交于点P ，且AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示AP →.【答案】AP →＝311 a ＋211b ． 【解析】如图，取AE 的三等分点M ，使AM ＝13AE ，连接DM ，则DM//BE.设AM ＝t (t ＞0)，则ME ＝2t . 又AE ＝14AC ，∴AC ＝12t ，EC ＝9t ，∴在△DMC 中，CE CM ＝CP CD ＝911，∴CP ＝911CD ，∴DP ＝211CD ，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋211DC →＝13AB →＋211(DA →＋AC →)＝13AB →＋211⎝ ⎛⎭⎪⎫－13AB →＋AC →＝311AB →＋211AC →＝311 a ＋211b ． 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本27页练习，36页习题6.3的1，11题. 【教学反思】教学过程中说到基底问题时，要注重数形结合思想的培养.特别是很多学生总是把他和单位向量分不开，教师需要给学生引导，要注意不共线的两个向量都可以作为基底这个思想.在进行向量运算时需要进行转化，运用相等向量，比例等知识来进行；学生在解题时很少注意到这个问题，只是纯粹的利用向量知识解题，所以很难找到思路.《6.3.1 平面向量基本定理》导学案【学习目标】 知识目标1、了解平面向量基本定理；2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量 解决实际问题的重要思想方法；3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 核心素养1.数学抽象：平面向量基底定理理解；2.逻辑推理：用基底表示向量；3.数学建模：利用数形结合的思想运用相等向量，比例等知识来进行转换. 【学习重点】：平面向量基本定理；【学习难点】：平面向量基本定理的理解与应用. 【学习过程】 一、预习导入阅读课本25-27页，填写。

平面向量基本定理教案(精选10篇)(实用版)编制人：______审核人：______审批人：______编制单位：______编制时间：__年__月__日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种类型的实用资料，如工作文档、教学教案、企业文案、求职面试、实习范文、法律文书、演讲发言、范文模板、作文大全、其他资料等等，想了解不同资料格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor.I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!And, our store provides various types of practical materials for everyone, such as work summaries, work plans, experiences, job reports, work reports, resignation reports, contract templates, speeches, lesson plans, other materials, etc. If you want to learn about different data formats and writing methods, please pay attention!平面向量基本定理教案(精选10篇)平面向量基本定理教案(精选10篇)作为一名为他人授业解惑的教育工作者，时常需要编写教案，教案是教学活动的依据，有着重要的地位。

《平面向量基本定理（第一课时）》教学设计一、教材分析：本节内容是人教A版普通高中课程标准实验教科书必修4第二章第3节“平面向量基本定理及坐标表示”的第一课时内容，本节共2个课时。

平面向量基本定理是本节的重点也是本节的难点。

平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合，由于高中数学设计的向量是自由向量，这样，如果将平面内向量的始点放在一起，那么由平面向量基本定理可知，平面内的任何一点都可以通过两个不共线的向量得到表示，也就是平面内的点可以由平面内的一个点和两个不共线的向量得到表示，这是引进平面向量基本定理一个原因（学生可以不讲）。

实际上，本节课在本章中起到一个“承上启下”的作用，一方面要在平面向量线性运算的基础上归纳定理，另一方面，作为平面向量基本定理的特殊情况，研究平面向量的正交分解及坐标表示，是建立向量坐标的一个逻辑基础，它揭示了平面向量的基本关系和基本结构，是学生后续学习向量坐标表示的基础。

二、学情分析：知识方面：学生学习了第一节“平面向量的实际背景及基本概念”和第二节“平面向量的线性运算”，已经有了一定的平面向量基础知识，学力和能力方面：授课对象为省级示范学校高一学生，有比较扎实的数学基本知识，其数学基本素养和学习能力应该在普通高中学生中处于中上水平。

三、教师教学的出发点：根据课程标准的要求备课，备学生，把课程标准的要求溶解在课堂中，让学生在潜移默化中提高数学素养。

本节课的教学设计主要是针对学习情况为中等的学生（占大多数），第一、注重知识的生成，通过创设问题情境，引导学生自主学习，主动探究发现新知（平面向量基本定理）；第二、注重数学思维的培养，通过问题的两个方面，即平面向量合成和分解，培养学生的观察能力，启发学生的逆向思考能力，抽象概括能力，引导学生进行适当的合情推理（定理的证明）；第三、注重对知识的理解、消化、应用，主要通过典型的问题，掌握对新知的应用，可进行适当的拓展，发散思维；第四：激发学生的学习兴趣，在3个方向：新知识的维度拓展的兴趣激发，解决几何问题的兴趣激发，后续学习的兴趣激发。

2.3.1 平面向量基本定理及其正交分解 【课前导学】阅读教材第93-95页，找出疑惑之处，完成知识归纳 1、向量b 、()0a a ≠是共线的两个向量，则a 、b 之间的关系可以表示为 .2、平面向量的基本定理：如果1e ,2e 是同一平面内两个 的向量，a 是这一平面内的任一向量，那么有且只有一对实数,21,λλ使 。

其中，不共线的这两个向量,1e 2e叫做表示这一平面内所有向量的基底。

要否加上一句：只有不共线．．．的向量才可以做基底（这样学生做预习自测1时就有方向了） 3、两向量的夹角与垂直： 我们规定：已知两个非零向量,a b ，作=OA ,a =OB b ，则 叫做向量a 与b 的夹角。

如果,θ=∠AOB 则θ的取值范围是 。

当 时，表示a 与b 同向；当 时，表示a 与b 反向；当时，表示a 与b 垂直。

记作：a b ⊥.在不共线的两个向量中，90θ=，即两向量垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为_____________，叫做把向量正交分解。

【预习自测】1、设O 是平行四边形ABCD 两对角线AC 与BD 的交点，下列向量组，其中可作为这个平行四边形所在平面表示所有向量的基底是（ ） ①AD 与AB ；②DA 与BC ；③CA 与DC ；④OD 与OB 。

A.①②B.③④C.①③D.①④2、在ABCD 中，设AB =a ，AD =b ，试用a ，b （是否该用带箭头的向量表示？）表示AB ，BC ．则AB = ，BC = 。

（此题好象有问题？是表示AC 、BD 吧）3、已知向量12e e 与不共线，若向量122e e -与12e e λ+共线，则λ= （学生会不会做？）4、已知向量12e e 与不共线，求作向量122.5e e -.1e 2e【课中导学】首先独立思考探究，然后合作交流展示探究一: 如图 ABCD 两条对角线交于点M ，且AB a =，AD b =，用a ，b 表示MA ，MB ，A 和变式：如图ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AM a =，AN b =，试用a ，b 表示,AB AD 。

2.3.1 平面向量基本定理考试标准学法指导1.平面向量基本定理既是本节的重点，也是本节的难点．2．为了更好地理解平面向量基本定理，可以通过改变向量的方向及模的大小作图观察λ1，λ2取不同值时的图形特征，得到平面上任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1，e 2表示出来．3．在△ABC 中，明确AC →与AB →的夹角与CA →与AB →的夹角互补.1.平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．状元随笔 平面向量基本定理的理解(1)e →1，e →2是同一平面内的两个不共线的向量，e →1，e →2的选取不唯一，即一个平面可以有多组的基底．(2)平面内的任一向量a →都可以沿基底进行分解． (3)基底e →1，e →2确定后，实数λ1、λ2是唯一确定的． 2．关于两向量的夹角(1)两向量夹角的概念：已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ，叫作向量a 与b 的夹角．①范围：向量a 与b 的夹角的范围是[0°，180°]． ②当θ＝0°时，a 与b 同向． ③当θ＝180°时，a 与b 反向．(2)垂直：如果a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b . 状元随笔 两向量夹角概念的正确理解(1)由于零向量的方向是任意的，因此，零向量可以与任一向量平行，零向量也可以与任一向量垂直．(2)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC 不是向量CA →与向量AB →的夹角，∠BAD 才是向量CA →与向量AB →的夹角．[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底．( ) (2)若e 1，e 2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量．( )(3) 若a e 1＋b e 2＝c e 1＋d e 2(a ，b ，c ，d ∈R )，则a ＝c ，b ＝d .( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×2．设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组：①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )A ．①②B ．①③C ．①④ D．③④解析：①AD →与AB →不共线；②DA →＝－BC →，则DA →与BC →共线；③CA →与DC →不共线；④OD →＝－OB →，则OD →与OB →共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．答案：B3．在△ABC 中，向量AB →，BC →的夹角是指( )A ．∠CAB B ．∠ABC C ．∠BCAD ．以上都不是解析：由两向量夹角的定义知，AB →与BC →的夹角应是∠ABC 的补角，故选D. 答案：D4．如图所示，向量OA →可用向量e 1，e 2表示为________．解析：由图可知，OA →＝4e 1＋3e 2. 答案：OA →＝4e 1＋3e 2类型一 平面向量基本定理的理解例1 设e 1，e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量： ①e 1与e 1＋e 2； ②e 1－2e 2与e 2－2e 1； ③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是________(写出满足条件的序号)．【解析】 ①设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，1＝0，无解，∴e 1＋e 2与e 1不共线，即e 1与e 1＋e 2能作为一组基底． ②设e 1－2e 2＝λ(e 2－2e 1)，则(1＋2λ)e 1－(2＋λ)e 2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋2λ＝0，2＋λ＝0，无解，∴e 1－2e 2与e 2－2e 1不共线，即e 1－2e 2与e 2－2e 1能作为一组基底． ③∵e 1－2e 2＝－12(4e 2－2e 1)，∴e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线，即e 1－2e 2与4e 2－2e 1不能作为一组基底．④设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则(1－λ)e 1＋(1＋λ)e 2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝0，1＋λ＝0，无解，∴e 1＋e 2与e 1－e 2不共线，即e 1＋e 2与e 1－e 2能作为一组基底．【答案】 ③由基底的定义知，平面α内两个不共线的向量e →1、e →2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，要判断所给的两个向量能否构成基底，只要看这两个向量是否共线即可．方法归纳对基底的理解(1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来．设向量a 与b 是平面内两个不共线的向量，若x 1a ＋y 1b ＝x 2a ＋y 2b ，则{ x 1＝x 2，y 1＝y 2.提醒：一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样．跟踪训练1 下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底； ②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底； ③零向量不可以作为基底中的向量．其中正确的说法是( )A.①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③解析：平面内向量的基底是不唯一的，在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底；零向量可看成与任何向量平行，故零向量不可以作为基底中的向量，故B 项正确．答案：B平面内任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，一定要注意“不共线”这一条件，在做题时容易忽略此条件而导致错误，同时还要注意零向量不能作基底．类型二 用基底表示平面向量例2 如图所示，在▱ABCD 中，点E ，F 分别为BC ，DC 边上的中点，DE 与BF 交于点G ，若AB →＝a ，AD →＝b ，试用a ，b 表示向量DE →，BF →.【解析】 DE →＝DA →＋AB →＋BE →＝－AD →＋AB →＋12BC →＝－AD →＋AB →＋12AD →＝a －12b .BF →＝BA →＋AD →＋DF →＝－AB →＋AD →＋12AB →＝b －12a .解决此类问题的关键在于以一组不共线的向量为基底，通过向量的加、减、数乘以及向量共线的结论，把其他相关的向量用这一组基底表示出来．方法归纳用基底表示向量的两种方法(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止． (2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．跟踪训练2 (1)本例条件不变，试用基底a ，b 表示AG →；(2)若本例中的基向量“AB →，AD →”换为“CE →，CF →”即若CE →＝a ，CF →＝b ，试用a ，b 表示向量DE →，BF →.解析：(1)由平面几何知识知BG ＝23BF ，故AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BF →＝a ＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12a ＝a ＋23b－13a ＝23a ＋23b . (2)DE →＝DC →＋CE →＝2FC →＋CE →＝－2CF →＋CE →＝－2b ＋a . BF →＝BC →＋CF →＝2EC →＋CF →＝－2CE →＋CF →＝－2a ＋b .用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则． 类型三 向量的夹角例3 已知|a |＝|b |，且a 与b 的夹角为120°，求a ＋b 与a 的夹角及a －b 与a 的夹角．【解析】 如图，作OA →＝a ，OB →＝b ，∠AOB ＝120°，以OA →，OB →为邻边作平行四边形OACB ，则OC →＝a ＋b ，BA →＝a －b .因为|a |＝|b |，所以平行四边形OACB 为菱形． 所以OC →与OA →的夹角∠AOC ＝60°，BA →与OA →的夹角即为BA →与BC →的夹角∠ABC ＝30°.所以a ＋b 与a 的夹角为60°，a －b 与a 的夹角为30°.作图，由图中找到a →－b →与a →的夹角，利用三角形、四边形的知识求角． 方法归纳两个向量夹角的实质及求解的关键(1)实质：两个向量的夹角，实质上是从同一起点出发的两个非零向量构成的角． (2)关键：求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，然后按照“一作二证三算”的步骤，并结合平面几何知识求出两个向量的夹角．跟踪训练3 已知|a |＝|b |＝2，且a 与b 的夹角为60°，求a ＋b 与a 的夹角，a －b 与a 的夹角．解析：如图，作OA →＝a ，OB →＝b ，且∠AOB ＝60°，以OA ，OB 为邻边作▱OACB ， 则OC →＝OA →＋OB →＝a ＋b ，BA →＝OA →－OB →＝a －b ，BC →＝OA →＝a . 因为|a |＝|b |＝2，所以△OAB 为正三角形． 所以∠OAB ＝60°＝∠ABC . 即a －b 与a 的夹角为60°. 因为|a |＝|b |，所以▱OACB 为菱形．所以OC ⊥AB ，所以∠COA ＝90°－60°＝30°. 即a ＋b 与a 的夹角为30°.作出向量a →，b →，a →＋b →，a →－b →，利用平面几何知识求解． 2.3.1[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知向量a ＝e 1－2e 2，b ＝2e 1＋e 2，其中e 1，e 2不共线，则a ＋b 与c ＝6e 1－2e 2的关系是( )A ．不共线B ．共线C ．相等D ．不确定 解析：∵a ＋b ＝3e 1－e 2，∴c ＝2(a ＋b )．∴a ＋b 与c 共线． 答案：B2．当向量a 与b 共线时，则这两个向量的夹角θ为( ) A ．0° B．90°C ．180°D ．0°或180°解析：当向量a 与b 共线，即两向量同向时夹角θ＝0°，反向时夹角θ＝180°. 答案：D3．已知AD 是△ABC 的中线，AB →＝a ，AD →＝b ，以a ，b 为基底表示AC →，则AC →＝( ) A.12(a －b ) B ．2b －a C.12(b －a ) D ．2b ＋a解析：如图，AD 是△ABC 的中线，则D 为线段BC 的中点，从而AD →＝12(AB →＋AC →)，则AC →＝2AD →－AB →＝2b －a .答案：B4．在正方形ABCD 中，AC →与CD →的夹角等于( ) A ．45° B．90° C ．120° D．135° 解析：如图所示，将AC →平移到CE →，则CE →与CD →的夹角即为AC →与CD →的夹角，夹角为135°. 答案：D5．若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为( )55C.85D.45解析：∵CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →， ∴CD →＝45CB →＝45(AB →－AC →)＝rAB →＋sAC →，∴r ＝45，s ＝－45.∴3r ＋s ＝125－45＝85.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知向量a ，b 是一组基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为________．解析：因为a ，b 是一组基底，所以a 与b 不共线， 因为(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，所以x －y ＝3.答案：37．已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，若OA →＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示向量OC →，则OC →＝________.解析：AC →＝OC →－OA →，CB →＝OB →－OC →，∵2AC →＋CB →＝0，∴2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝0，∴OC →＝2OA →－OB →＝2a －b .答案：2a －b8．在正方形ABCD 中，E 是DC 边上的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →＝________.解析：BE →＝BC →＋CE →＝AD →－12AB →＝b －12a .2三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a ＝3e 1－2e 2，b ＝－2e 1＋e 2，c ＝7e 1－4e 2，试用向量a 和b 表示c .解析：因为a ，b 不共线，所以可设c ＝x a ＋y b ， 则x a ＋y b ＝x (3e 1－2e 2)＋y (－2e 1＋e 2) ＝(3x －2y )e 1＋(－2x ＋y )e 2＝7e 1－4e 2. 又因为e 1，e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝7，－2x ＋y ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，所以c ＝a －2b .10．如图所示，设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，且BM →＝13BC →，CN →＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB→＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 将MN →、NP →、PM →表示出来．解析：NP →＝AP →－AN →＝13AB →－23AC →＝13a －23b ，MN →＝CN →－CM →＝－13AC →－23CB →＝－13b －23(a －b )＝－23a ＋13b ，PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13(a ＋b )．[能力提升](20分钟，40分)11．设非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则向量a ，b 的夹角为( ) A ．150° B．120° C ．60° D．30°解析：设向量a ，b 的夹角为θ，作BC →＝a ，CA →＝b ，则c ＝a ＋b ＝BA →(图略)，a ，b 的夹角为180°－∠C .∵|a |＝|b |＝|c |，∴∠C ＝60°，∴θ＝120°.答案：B 12.如图，在△ABC 中，已知AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC 于H ，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ＝________.解析：因为AB ＝2，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC ，所以BH ＝1，又M 为AH 的中点，BC ＝3，所以AM →＝12AH →＝12(AB →＋BH →)＝12(AB →＋13BC →)＝12AB →＋16BC →，所以λ＋μ＝23. 答案：2313．如图，在△OAB 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b ，试以a ，b 为基底表示OM →.解析：根据平面向量基本定理可设OM →＝m a ＋n b (m ，n ∈R )，则AM →＝OM →－OA →＝(m －1)a ＋n b ，AD →＝OD →－OA →＝12b －a ＝－a ＋12b ， ∵A 、M 、D 三点共线，∴AM →＝λAD →(λ为实数)，∴AM →＝－λa ＋λ2b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －1＝－λ，n ＝12λ，消去λ得m ＋2n ＝1.而CM →＝OM →－OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ，CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b ， ∵C 、M 、B 三点共线，∴CM →＝μCB →(μ为实数)，∴CM →＝－μ4a ＋μb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －14＝－14μ，n ＝μ，消去μ得4m ＋n ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋2n ＝1，4m ＋n ＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋37b . 14．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，AC ＝2，D 是AC 的中点．求：(1)AD →与BD →夹角的大小；(2)DC →与BD →夹角的大小．解析：(1)如图所示，在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，AC ＝2，所以AB 2＋BC 2＝(3)2＋1＝22＝AC 2，所以△ABC 为直角三角形．因为tan A ＝BC AB ＝13＝33， 所以A ＝30°.又因为D 为AC 的中点，所以∠ABD ＝∠A ＝30°，AD →＝DC →.在△ABD 中，∠BDA ＝180°－∠A －∠ABD ＝180°－30°－30°＝120°，所以AD →与BD →的夹角为120°.(2)因为AD →＝DC →，所以DC →与BD →的夹角也为120°.。

《平面向量基本定理》教学设计一、背景分析1．教材分析函向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。

此前的教学内容主要研究了向量的的概念和线性运算，集中反映了向量的几何特征。

本节课要讲解“平面向量基本定理”的概念和应用，是研究向量的正交分解和向量的坐标运算基础，向量的坐标运算正是向量的代数形态。

通过平面向量基本定理，平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，即“数”的运算处理“形”的问题完美结合，在整个向量知识体系中处于承上启下的核心地位。

本节课教学重点是“平面向量基本定理探究过程和利用平面向量基本定理进行向量的分解”。

2．学情分析从学生知识层面看：本节课之前已经学习了向量的基本概念和基本运算，如共线向量、向量的加法、减法和数乘运算及向量共线的充要条件等；另外学生对向量的物理背景有了初步的认识。

从学生能力层面看：通过以前的学习，已经初步具备类比归纳概括的能力，能在教师的引导下解决问题。

教学中引入生活实例类比出向量的分解，让学生通过课件的直观感受和动手探索总结归纳出平面向量基本定理，尤其是将图形语言转化为文字语言，对学生的能力要求比较高．因此，我认为平面向量的分解及对这种分解唯一性的理解是本节课的教学难点．二.学习目标1）知识与技能目标1、了解平面向量基本定理及其意义，会选择基底来表示平面中的任一向量。

2、能用平面向量基本定理进行简单的应用。

2）过程与方法目标1、通过平面向量基本定理的探究，让学生体验数学定理的产生、形成过程，培养学生观察发现问题、由特殊到一般的归纳总结问题能力。

2、通过对平面向量基本定理的运用，增强学生向量的应用意识，让学生进一步体会向量是处理几何问题强有力的工具之一。

3）情感、态度与价值观目标1、用现实的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知的精神，发展学生的数学应用意识；2、经历定理的产生过程，让学生体验由特殊到一般的数学思想方法，在探究活动中形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。