竞赛讲义第3讲：整式

竞赛讲座(整式的恒等变形)一、知识要点1、整式的恒等变形把一个整式通过运算变换成另一个与它恒等的整式叫做整式的恒等变形2、整式的四则运算整式的四则运算是指整式的加、减、乘、除，熟练掌握整式的四则运算，善于将一个整式变换成另一个与它恒等的整式，可以解决许多复杂的代数问题，是进一步学习数学的基础。

3、乘法公式乘法公式是进行整式恒等变形的重要工具，最常用的乘法公式有以下几条：①(a+b) (a-b)=a2-b2②(a±b)2=a2±2ab+b2③ (a+b) (a2-ab+b2)=a3+b3④ (a-b) (a2+ab+b2)=a3-b3⑤ (a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca⑥ (a+b+c) (a2+b2+c2-ab-bc-ca)= a3+b3+c3-3abc⑦(a±b)3= a3±3a2b+3a b2±b34、整式的整除如果一个整式除以另一个整式的余式为零，就说这个整式能被另一个整式整除，也可说除式能整除被除式。

5、余数定理多项式()x f除以 (x-a) 所得的余数等于()a f。

特别地:()a f=0时，多项式()x f能被(x-a) 整除二、例题精讲例1在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析要得最小非负数，必须通过合理的添符号来产生尽可能多的“0”解因1+2+3+ (1998)()19999992199811998⨯=+⨯是一个奇数，又在1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并不改变其代数和的奇偶数，故所得最小非负数不会小于1。

先考虑四个连续的自然数n、n+1、n+2、n+3之间如何添符号，使其代数和最小。

很明显 n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0所以我们将1，2，3，…，1998中每相邻四个分成一组，再按上述方法添符号，即(-1+2)+(3-4-5+6)+ (7-8-9+10)+…+ (1995-1996-1997+1998)= -1+2=1,例2计算 (2x3-x+6)•(3x2+5x-2)分析计算整式的乘法时，先逐项相乘(注意不重不漏)，再合并同类项，然后将所得的多项式按字母的降幂排列。

一、选择题1.（4、5）（数学、初中数学竞赛、整式、绝对值、选择题）已知a，b，c都是整数，那么（）A.m一定是奇数B.m一定是偶数C.仅当a，b，c同奇或同偶时，m是偶数D.m的奇偶性不能确定分析：|a|与a的奇偶性相同，所以m 与同为偶数 .答案：B技巧：找准奇偶性的本质，从本质入手，化简式子，从而方便判断.本题也可以按奇偶性分类讨论.易错点：容易陷入讨论的误区，被绝对值迷惑导致出错.2. （1、2）（数学、初中数学竞赛、整式、高次方程、代数式、选择题）若，则的值是（）A. 1B. 0C -1 D. 2分析：由得，所以答案：C技巧：将条件进行提公因式解出，就非常方便求解了.3. (3、4)（数学、初中数学竞赛、整式、高次方程、代数式、选择题）已知，m≠n，则的值为（）A . 1B . 0C . -1D . -2分析：=-2.答案：D技巧：本题关键在于将条件和所求代数式进行处理化简，最终求解. 易错点：在化简和变形的时候容易出错.二、填空题4. （1、2）（数学、初中数学竞赛、整式、高次方程、代数式、填空题）设,则 m3 +2m2 +1997 =分析：m3 +2m2 +1997=+1997 ,因为答案：1998.技巧：特殊观察，将条件和所求都变形，从而求解.易错点:代数式变形时不要出错.5. (3、4)（数学、初中数学竞赛、整式、高次方程、代数式、填空题）当时，多项式的值是0，则多项式分析：通过变形发现，.而答案：5 .技巧：将条件进行变形就能集体代入求解.易错点：代入变形时易出错.6. (3、4)（数学、初中数学竞赛、整式、高次方程、代数式、填空题）已知m，n互为相反数，a，b互为负倒数，x的绝对值等于3，则分析：由题意知m+n=0, ab=-1 , χ=±3 , 代入就可以求解.详解:==26或-28技巧:这类题直接把条件列出来代入到式中,结果基本就出来了.易错点:容易出现遗漏的情况.7.如果，那么8.（2006年四川省竞赛题）设a 1，a2，…，a k，为k个不相同的正整数，且，则k的最大值为9.（2001年重庆市竞赛题）若，则10.（1999年江苏省竞赛题）已知a，b，c，d是四个不同的有理数，且，则11.（2006年全国初中数学竞赛题）已知a，b，c为整数，且.若.则a+b+c的最大值为三、解答题12.(3、4) （数学、初中数学竞赛、整式、高次方程、解答题）已知且求m的值.分析：因为所以.代入求解 . 详解： . 由得，即答：m的值为.技巧：在于将题目中的条件进行灵活变形，然后代入求解.易错点：代数式变形时不要出错.13. (3、4) （数学、初中数学竞赛、整式、方程、解答题）已知m，n为自然数，且满足，求m, n的值.分析：依题意得，而m，n为自然数，故，最后求解.详解：，而m，n为自然数，故，解得：m=83, n=84. 答：m、n的值分别为83、84.技巧：利用平方差公式展开，很方便解决.易错点：将167拆分的时候容易出错.14. (3、4) （数学、初中数学竞赛、整式、方程、解答题）已知，求(a-b-c) - (a+b-c)-（-a-b+c）的值 .分析:因为同理可求代入求解.详解：因为同理可求技巧：将a、b、c进行化简，然后代入求解.易错点：化简、代入求值时，都要谨防出错.15.（第8届希望杯竞赛题）已知a是实数，且，求17.（第13届迎春杯竞赛题）已知当时，.求当时，代数式的值.18.（天津市竞赛题）数码不同的两位数，将其数码顺序交换后得到一个新的两位数，这两个两位数的平方差是完全平方数，求所有这样的两位数，答案与解析1.B |a|与a的奇偶性相同，所以m与同为偶数 .2.C 由得，所以3.D4. 19985.5 因为.所以6. 26或- 28 .原式或8. 62 设，要使k最大，则需使前面的a i（i=l，2，…，k-l）尽量小，于是取以a1=1为首的连续m个正整数相加，得，即4010.经验证.故当9.2 因为，所以而a显然不等于0，所以0，即所以10.11. 5013 由得.因为，a为整数，所以a的最大值为1002.于是，a+b+c的最大值为5013 12.因为所以.由得，即13.依题意得，而m，n为自然数，故，所以14.因为同理可求15.由已知得（a+1）3+1=0,所以a+1=-1，所以(a+1)1996+(a+1)1997+ (a+1)1998=1 16．9996+9986+999=9992-9982999+998=199717.当时，，所以.当时，18.设所求两位数为，由已知得（k为整数），得.而，得或所以或.所以这样的两位数为65或56.。

第三讲 整式的乘法与除法一、 基础知识●整式的加减整式的加减涉及到许多概念，准确地把握这些概念并注意它们的区别与联系是解决有关问题的基础，概括起来就是要掌握好以下两点：1．透彻理解“三式”和“四数”的概念“三式”指的是单项式、多项式、整式；“四数”指的是单项式的系数、次数和多项式的次数、项数．2．熟练掌握“两种排列”和“三个法则”“两种排列”指的是把一个多项式按某一字母的升幂或降幂排列，“三个法则”指的是去括号法则、添括号法则及合并同类项法则．物以类聚，人以群分．我们把整式中那些所含字母相同、并且相同字母的次数也相同的单项式作为一类——称为同类项，一个多项式中的同类项可以合聚在一起——称为合并同类型．这样，使得整式能大为简化，整式的加减实质就是合并同类项● 整式的乘法与除法 指数运算律是整式乘除的基础，有以下4个：.,(),()m n m n m mn a a aa a ab +==n =,.n n m n m n a b a a a -÷=学习指数运算律应注意：1．运算律成立的条件；2．运算律字母的意义：既可以表示一个数，也可以是一个单项式或者多项式；3．运算律的正向运用、逆向运用、综合运用．多项式除以多项式是整式除法的延拓与发展，方法与多位数除以多位数的演算方法相似，基本步骤是：1．将被除式和除式按照某字母的降幂排列，如有缺项，要留空位；2．确定商式，竖式演算式，同类项上下对齐；3．演算到余式为零或余式的次数小于除式的次数为止．二、 例题第一部分 基础概念与整式加减法例1. 若2x+5y-3=0,则432_____x y= (2002年绍兴市竞赛题)解：8例2. 已知单项式0.25x b y c 与单项式-0．125x 1-m y 12-n 的和为0．625ax n y m，求abc 的值． 解：12 提示：由题意得b=m-1=n,c=2n-1=m,0.625a=0.25+(-0.125)例3. 同时都含有字母a ，b ，c ，且系数为1的7次单项式共有( )．(A)4个 (B)12个 (D)25个(北京市竞赛题)解：C 提示：设满足条件的单项式为m n p a b c 的形式，其中m 、n 、p 为自然数，且m+n+p=7.例4. 把一个正方体的六个面分别标上字母A 、B 、C 、D 、E 、F 并展开如图 所示，已知：A=2234y xy x +-,C=2223y xy x --,B=)(21A c -, E=B －2C ，若正方体相对的两个面上的多项式的和都相等，求D 、F ． (第9题) 解：2222374,9112D x xy y F x xy y =-+=-+例5. 已知 22276(2)()x xy y x y x y A x y B -----=-+++.求A 、B 的值. 思路点拨 等号左右两边的式子是恒等的，它们的对应项系数对应项系数对应相等，从而可以通过比较对应项系数来解.解：A=-3，B=2。

整式的概念一、课堂目标1、了解代数式的概念，理解单项式的概念，能准确分析单项式的系数与次数．2、理解多项式的概念，会命名多项式，会升降幂排列．3、掌握整式的概念．【备注】【目标解读】a.关联知识：有理数章节学习了有理数相关计算，本章整式的加减进一步学习式的计算，有理数计算是后续学习中计算相关内容的基础．整式的的计算是初中阶段式相关运算的基础．除了本章的整式加减，后续还会学习整式的乘除，分式的加减与乘除、二次根式的加减与乘除等式相关的运算内容．b.本讲解读： 本讲重点内容是掌握单项式、多项式、整式相关概念，能准确辨认单项式、多项式、整式．本讲难点是准确判断单项式的系数与次数、多项式的项数与次数，根据相关定义解决简单的含参问题．c.能力素养：培养学生数感、符号意思和运算能力．二、知识引入今年小明从小学毕业顺利升入了初中，为了准备新学期的文具，小明来到了自己常去的文具店买铅笔。

店老板听说小明升入了初中，也替他开心，同时老板也决定考一考这个初中生。

小明：“老板我已经升入初中了，今天来买铅笔准备上学用，我想买4根铅笔，价钱还是和原来一样每根2元吗？”老板：“不是，今年文具涨价了，铅笔涨了0.5元．”小明：“哦，那就是说，我现在买4根铅笔需要10元是吧？”老板：“是10元没错。

既然你已经升入初中了，那我出道题给你，算是提前让你接触初中知识，怎么样？现在每根铅笔2.5元，所以你买4根是10元。

那如果每根铅笔元，那么你一共要给我多少钱呢？”小明：“额。

，__________．”老板：“如果之前是2元，我涨的价钱不是0.5元，而是元，那么总价又是多少呢？”小明：“老板，这些问题都是我小学没接触过的，完全没有做题的头绪。

我觉得可能是__________．”同学，如果你是小明，你能回答以上的两个问题吗？【备注】【教学建议】1、第一空：元；2、第二空：元．三、知识讲解1. 代数式代数式定义及书写规则我们知道按照商品单价、数量、总价的关系可以得出式子：总价=单价×数量．那么如果引入中的例子是单价元每根，买根铅笔，根据公式可以得出：总价=其中总价 就是这次购买商品的总价，在这里我们用含字母的式子表示了实际问题中的量。

【培优竞赛辅导】第三讲：整 式【赛点解析】一、整式包括单项式和多项式⑴单项式是数与字母的积，单个数或字母也是单项式。

⑵多项式是几个单项式的和．。

⑶同类项：在多项式中，所含字母相同．．．．，而且相同字母的指数也相同．．．．．．．．．．的项，叫同类项。

⑷把一个多项式按同一字母的指数从大（小）到小（大）的顺序排列起来，叫做把那个多项式进行降（升）幂排列。

⑸把握去括号、添括号法那么，能熟练地进行同类项的归并。

二、幂的运算（m 、n 都是正整数）⑴;mnm na a a+⋅= ⑵();m n mna a = ⑶();n n nab a b =⋅ ⑷(0);mnm na a a a -÷=≠⑸1(0);a a =≠⑹1(0).pp aa a-=≠3、乘法公式⑴22()()a b a b a b +-=- ⑵222()2a b a ab b ±=±+ ⑶2233()()a b a ab b a b +-+=+ ⑷2233()()a b a ab b a b -++=- ⑸2()()()x a x b x a b x ab ++=+++⑹2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++⑺33223()33a b a a b ab b +=+++⑻33223()33a b a a b ab b -=-+-⑼3332222221()()3()[()()()]32a b c a b c a b c ab bc ca abc a b c a b b c c a abc ++=++++---+=++-+-+-+【专题精讲】【例1】假设代数式22(26)(2351)x ax y bx x y +-+--+-的值与字母x 的取值无关，求代数式234a -+22212(3)4b a b --的值【例2】已知,m n 是自然数，322341111712m n m n a b c a b c a b c --+--+是八次三项式，求,m n反思说明：解决此题容易显现两种错误：一是只考虑指数而不考虑项数；二是只考虑一个单项式的指数为8而不考虑另外两个单项式的指数是不是符合条件。

第三讲 整式的加减整式是最基本的代数式，是学习分式、根式以及其他数学内容的重要基础。

本讲将主要介绍整式的概念及应用，整式的加减运算等内容。

3.1整式的有关概念从本讲起代数中的相关概念将逐步渗透。

而本讲涉及的概念有“四式”（单项式、多项式、整式、n 次n 项式）、“两数”（系数、次数）、“两项”（常数项、同类项）。

例1 （1997年，北京市）同时都含c b a 、、，且系数为1的7次单项式共有（ ）个。

A 、4B 、12C 、15D 、25例2 （第11届希望杯）若单项式324y x m --与单项式n y x 27332-的和仍是单项式，求()n m n m 2222--+的值。

例3 当整数n 为何值时，单项式22522+--+n n x x 是三次三项式。

例4 -已知有理数a 和b 满足多项式A 和B ，152********+-++-+--=x x x bx x ax x A 缺四次项和缺三次项时，且2-<x ，化简b x a x B ++-=。

练习3.11、选择题（1）在代数式231x -，xy 2，312+-，x x 34，y x 251，22736y x +，yx y x 362+-中不是整式的共有（ ） A 、0 B 、1 C 、3 D 、4（2）下列各组中的两项属于同类项的有（ ）①b a 22与221ab ②()2b a -与()2a b - ③ab -与ab 2 ④453b a 与545b a - A 、1 B 、2 C 、3 D 、4（3）下面给出的四对单项式中，是同类项的一对是（ ）A 、y x 231与z x 23- B 、322.2n m 与23121m n C 、b a 22.0与22.0ab D 、abc 11与ab 11 （4）若a 为自然数，z y x b a b -3与z y x a b 251--()a b >是同类项，则满足条件的a 的值有（ ）个； A 、1 B 、2 C 、3 D 、无数（5）两个四次式的和的次数是（ ）A 、八次B 、不高于四次C 、四次D 、不低于四次2、填空题（1）单项式6221y x -，2552y x ，xy 2232⨯，4253y x -中次数最高的单项式是 ； （2）当a 和b 满足 时，()2312++b yx a 是四次单项式； （3）单项式32y x m +与七次五项式32232365a x y x y xy x -+--+的最高次数相同，则=+m a ；（4）d c b a ，，，是一个四位数的千位数字、百位数字、十位数字、个位数字，请依次将这个四位数写成10的降幂排列的多项式的形式是 ；（5）若y x a 267与1474+-b y x 是同类项，则b a +的值等于 ；3、若832+-y x b a 与y x y b a -324的和是单项式，求y x 的值； 4、要使关于x 和y 多项式()()()()()33232322322+---+-+----y b x a y a xy c b a x a b 只含一次项和常数项，求()()[]b c a b a c b a 22--+--++-的值；5、已知单项式523b am +-和单项式172+n y x 的次数的和为18，求正整数n m 、的值；6、已知()231-+--x x n n 是关于x 的一次式，约定()010≠=x x ，求n 得值；7、托运公司规定，托运1千克的货物的费用为2元，以后每增加1千克（不足1千克按1千克计算）需增加费用5角，请计算出托运重量为p 千克（p 为正整数）货物的费用的关系式；。