2016-2017学年高中数学人教A版选修1-2 第二章 推理与证明 学业分层测评7 Word版含答案

第10课时 归纳推理一、知识盘点1．推理的概念：根据 得出一个新结论，这种思维方式叫做推理.推理一般有两个部分组成， .推理一般分为 与 两类. 2．合情推理：所谓的合情推理，就是 ，数学中常见的合情推理是 与 . 3．归纳推理：由某类事物的 具有某种特征，推出该事物的 都具的这种特征的推理，或者由 概括出 的推理，称为归纳推理(简称归纳).简而言之，归纳推理是由 到 、由 到 的推理.归纳推理的一般步骤是(1) ； (2) . 二、基础训练1．已知2()(1),(1)1()2f x f x f f x +==+ *x N ∈（），猜想(f x ）的表达式为 （ ）A ．4()22x f x =+ B.2()1f x x =+ C.1()1f x x =+ D.2()21f x x =+2．观察一下各式：⋅⋅⋅=++++++=++++=++=;710987654;576543,3432;112222，你得到的一般性结论是______________________________________________________.三、例题分析：例1已知数列{}n a 的通项公式21()(1)n a n N n +=∈+，12()(1)(1)(1)n f n a a a =--⋅⋅⋅-，试通过计算(1),(2),(3)f f f 的值，推测出()f n 的值。

［变式训练］1、已知111()1()23f n n N n +=+++⋅⋅⋅+∈，经计算: 35(2),(4)2,(8),22f f f =>> (16)3,f >7(32)2f >，推测当2n ≥时，有__________________________.例2．观察下列两式：①110tan 60tan 60tan 20tan 20tan 10tan 000000=⋅+⋅+⋅ ；②15tan 75tan 75tan 10tan 10tan 5tan 0=⋅+⋅+⋅.分析上面的两式的共同特点，写出反映一般规律的等式，并证明你的结论。

人教版A版高中数学选修1-2课后习题解答高中数学选修1-2课后题答案第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用回归分析是一种统计分析方法，用于探究自变量与因变量之间的关系。

它的基本思想是通过建立数学模型，利用已知数据进行拟合，从而预测或解释未知数据。

回归分析的初步应用包括简单线性回归和多元线性回归。

1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用独立性检验是一种用于检验两个变量之间是否存在关联的方法。

其基本思想是通过观察两个变量之间的频数或频率分布，来判断它们是否相互独立。

独立性检验的初步应用包括卡方检验和Fisher精确检验。

第二章推理证明2.1 合情推理与演绎推理合情推理是指根据已知事实和常识，推断出可能的结论。

演绎推理是指根据已知的前提和逻辑规则，推导出必然的结论。

两种推理方法都有其适用的场合，需要根据具体情况进行选择。

2.2 直接证明与间接证明直接证明是指通过逻辑推理，直接证明所要证明的命题成立。

间接证明是指采用反证法或归谬法，证明所要证明的命题的否定不成立，从而推出所要证明的命题成立。

第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充与复数的概念数系的扩充是指在实数系的基础上引入新的数，使得一些原来不可解的方程可以得到解。

复数是指由实部和虚部组成的数，可以表示在平面直角坐标系中的点。

复数的引入扩充了数系，使得一些原本无解的方程可以得到解。

3.2 复数的代数形式的四则运算复数的代数形式是指将复数表示为实部和虚部的和的形式。

复数的四则运算包括加减乘除四种运算，可以通过对实部和虚部分别进行运算来得到结果。

第四章框图4.1 流程图流程图是一种用图形表示算法或过程的方法。

它由各种基本符号和连线构成，用于描述算法或过程的各个步骤及其执行顺序。

流程图可以帮助人们更好地理解算法或过程，从而提高效率。

4.2 结构图结构图是一种用于描述程序结构的图形表示方法。

它包括顺序结构、选择结构和循环结构三种基本结构，可以用来表示程序的控制流程。

成才之路・数学人教A版•选修1-2路漫漫其修远兮吾将上下而求索第二章推理与证明»>第二章章末归纳总结自主预习学案2 典例探究学案知识梳理• 1 •归纳推理和类比推理都是合情推理，归纳推理是由特殊到一般，由部分到整体的推理 ;类比推理是由特殊到特殊的推理.二者都能由已知推测未知，都能用于猜测，得出新规律，但推理的结论其正确性有待于去证明•2.演绎推理与合情推理不同，演绎推理是由一般到特殊的推理，是数学证明中的基本推理形式，只要前提正确，推理形式正确，得到的结论就正确.•3.合情推理与演绎推理既有联系，又有区别.、pr »_* / r k―»t\ \ / v r t 八一 F A——♦—匸▲r . Pr t—t t .知识结构误区警示•1 •进行类比推理时，可以从①问题的外在结构特征.②图形的性质或维数.③处理一类问题的方法.④事物的相似性质等入手进行类比.要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误.•2.进行归纳推理时，要把作为归纳基础的条件变形为有规律的统一的形式，以便于作岀归纳猜想.•3.推理证明过程叙述要完整、严谨、逻辑关系清晰、不跳步.•4.注意区分演绎推理和合情推理，当前提为真时，前者结论一定为真，后者结论可能为真.•合情推理得到的结论其正确性需要进一步推证，合情推理中运用猜想时要有依据.•5.用反证法证明数学命题时，必须把反设作为推理依据.书写证明过程时，一定要注意不能把“假设”误写为“设”，还要注意一些常见用语的否定形式.•6.分析法的过程仅需要寻求某结论成立的充分条件即可，而不是充要条件.•分析法是逆推证明，故在利用分析法证明问题时应注意逻辑性与规范性.一般地，用分析法书写解题步骤的基本格式是：•要证：.... ，只需证，只需证......... ，..... , ..... 显然成立，所以成立.讓^鯛%学案］题型探究• 1 •合情推理与演绎推理•合情推理分为归纳推理和类比推理，是基本的分析和解决问题的方法.合情推理是合乎情理的推理，通过归纳、猜测发现结论，为解决问题提供了思路和方向•归纳推理和类比推理的特点与区别：类比推理和归纳推理的结论都是有待于证明的•归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理.•演绎推理是数学证明中的基本推理形式，“ 三段论”是演绎推理的一般模式.7》归纳推理•例题1古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如：■6 10图116•他们研究过图1中的1,3610,…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16,…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）• A. 289 B・ 1 024• C・ 1 225D・ 1 378题型 类比推理［解析］本题主要考查数形的有关知识.图 1 中满足 血—"1=2,么3 — ^2=3, …，a n —a n -\—n^ 以上累力口得 a n ——如 =2 + 3 +・・・+弘 ©= 1+2 + 3+…+川给 叽"J",图2中满足b n =n 2, 一个数若满足三角形数，其必能分解成两个相邻自然数乘积的一半；一个数若满足正方形数，其必为某个自然数的平方.•・T225 = 352="9；5° •••选C ・•［答案］c题型类比推理例题2若记号“斜表示两个实数。

高中数学高中数学新课程标准数学选修1—2第二章课后习题解答第二章 推理与证明2．1合情推理与演绎推理 练习（P30）1、由12341a a a a ====，猜想1na=.2、相邻两行数之间的关系是：每一行首尾的数都是1，其他的数都等于上一行中与之相邻的两个数的和.3、设111O PQ R V -和222O P Q R V -分别是四面体111O PQ R -和222O P Q R -的体积，的体积， 则111222111222O PQR O P Q R V OP OQ OR V OP OQ OR --=××. 4、略. 练习（P33）1、略.2、因为通项公式为n a 的数列{}n a ，若1n na p a +=，p 是非零常数，则{}n a 是等比数列；是等比数列； …………………………大前提…………………………大前提又因为0cq ¹，则q 是非零常数，则11n n nna cq q a cq ++==；……………………小前提……………………小前提 所以，通项公式为(0)n n a cq cq =¹的数列{}n a 是等比数列.……………………结论……………………结论 3、由A D B D >，得到ACD BCD Ð>Ð的推理是错误的. 因为这个推理的大前提是因为这个推理的大前提是“在同一“在同一个三角形中，大边对大角”，小前提是“AD BD >”，而AD 与BD 不在同一个三角形中. 4、略.习题2.1A 组（P35） 1、2(1)n -（n 是质数，且5n ³）是24的倍数.2、21n a n =+()n N *Î. 3、2F V E +=+. 4、当6n £时，122(1)n n -<+；当7n =时，122(1)n n -=+；当8n =时，122(1)n n ->+()n N *Î.5、212111(2)n n A A A n p++³-（2n >，且n N *Î）. 6、121217n n b b b b b b -=（17n <，且n N *Î）.7、如图，作DE ∥AB 交BC 于E . 因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 又因为AD ∥BE ，AB ∥DE . 所以四边形所以四边形ABED 是平行四边形是平行四边形.. 因为平行四边形的对边相等因为平行四边形的对边相等因为平行四边形的对边相等. . DEBAC（第7题）又因为四边形ABED 是平行四边形是平行四边形. .所以所以AB DE =.因为与同一条线段等长的两条线段的长度相等，因为与同一条线段等长的两条线段的长度相等，因为与同一条线段等长的两条线段的长度相等， 又因为AB DE =，AB DC =, 所以DE DC = 因为等腰三角形的两底角是相等的. 又因为△DEC 是等腰三角形是等腰三角形, , 所以DEC C Ð=Ð 因为平行线的同位角相等因为平行线的同位角相等 又因为DEC Ð与B Ð是平行线AB 和DE 的同位角的同位角, , 所以DEC B Ð=Ð 因为等于同角的两个角是相等的，因为等于同角的两个角是相等的， 又因为DEC C Ð=Ð，DEC B Ð=Ð, 所以B C Ð=Ð习题2.1B 组（P35） 1、由123S =-，234S =-，345S =-，456S =-，567S =-，猜想12n n S n +=-+.2、略.3、略. 2．2直接证明与间接证明 练习（P42）1、因为442222cos sin (cos sin )(cos sin )cos 2q q q q q q q -=+-=，所以，命题得证. 2、要证67225+>+，只需证22(67)(225)+>+， 即证1324213410+>+，即证42210>，只需要22(42)(210)>，即证4240>，这是显然成立的. 所以，原命题得证.3、因为、因为222222222()()()(2sin )(2tan )16sin tan a b a b a b a a a a -=-+==， 又因为又因为 sin (1cos )sin (1cos )1616(tan sin )(tan sin )16cos cos ab a a a a a a a a a a +-=+-=×22222222sin (1cos )sinsin161616sin tan cos cos aa aa a a aa-===，从而222()16a b ab -=，所以，命题成立.说明：进一步熟悉运用综合法、分析法证明数学命题的思考过程与特点.练习（P43）1、假设B Ð不是锐角，则90B г°. 因此9090180C B Ð+г°+°=°. 这与三角形的内角和等于180°矛盾. 所以，假设不成立. 从而，B Ð一定是锐角.2、假设2，3，5成等差数列，则2325=+.所以22(23)(25)=+，化简得5210=，从而225(210)=，即2540=， 这是不可能的. 所以，假设不成立. 从而，2，3，5不可能成等差数列. 说明：进一步熟悉运用反证法证明数学命题的思考过程与特点.习题2.2A 组（P44） 1、因为、因为(1tan )(1tan )2A B ++=展开得展开得1tan tan tan tan 2A B A B +++=，即tan tan 1tan tan A B A B +=-. ① 假设1tan tan 0A B -=，则cos cos sin sin 0cos cos A B A B A B -=，即cos()0cos cos A B A B += 所以cos()0A B +=.因为A ，B 都是锐角，所以0A B p <+<，从而2A B p+=，与已知矛盾.因此1tan tan 0A B -¹.①式变形得①式变形得 tan tan 11tan tan A BA B +=-，即tan()1A B +=. 又因为0A B p <+<，所以4A B p+=.说明：本题也可以把综合法和分析法综合使用完成证明. 2、因为PD ^平面ABC ，所以PD AB ^. 因为AC BC =，所以ABC D 是等腰三角形. 因此ABC D 底边上的中线CD 也是底边上的高，也是底边上的高， 因而CD AB ^ 所以AB ^平面PDC . 因此AB PC ^.3、因为,,a b c 的倒数成等差数列，所以211b ac =+.假设2B p<不成立，即2B p³，则B 是ABC D 的最大内角，的最大内角，所以,b a b c >>（在三角形中，大角对大边），从而从而 11112a c b b b +>+=. 这与211b a c =+矛盾.所以，假设不成立，因此，2B p<.习题2.2B 组（P44） 1、因为、因为 1tan 12tan aa-=+，所以12tan 0a +=，从而2sin cos 0a a +=.另一方面，要证另一方面，要证3sin 24cos2a a =-， 只要证226sin cos 4(cos sin )a a a a =-- 即证即证 222sin 3sin cos 2cos 0a a a a --=，即证即证 (2s i n c o s )(s i n 2c o s a a a a+-= 由2sin cos 0a a +=可得，(2sin cos )(sin 2cos )0a a a a +-=，于是命题得证.说明：本题可以单独使用综合法或分析法进行证明，但把综合法和分析法结合使用进行证明的思路更清晰.2、由已知条件得、由已知条件得2b ac = ① 2x a b =+，2y b c =+ ②要证2a cx y +=，只要证2ay cx xy +=，只要证224ay cx xy +=由①②，得由①②，得22()()2ay cx a b c c a b ab ac bc +=+++=++， 24()()2x y a b b c a b b a c b c a b a c b c=++=+++=++， 所以，224ay cx xy +=，于是命题得证.第二章 复习参考题A 组（P46）1、图略，共有(1)1n n -+（n N *Î）个圆圈.2、333n 个（n N *Î）.3、因为2(2)(1)4f f ==，所以(1)2f =，(3)(2)(1)8f f f ==，(4)(3)(1)16f f f ==………… 猜想()2n f n =.4、如图，设O 是四面体A BCD -内任意一点，连结AO ，BO ，CO ，DO 并延长交对面于A ¢，B ¢，C ¢，D ¢，则，则1O A O B O C O D A A B B C C D D ¢¢¢¢+++=¢¢¢¢ 用“体积法”证明：用“体积法”证明： O A O B O C O DA AB BC CD D¢¢¢¢+++¢¢¢¢ O B C D O C D AO D A B OA B C A B C D BC D A CD AB D A B CV VV V V VVV --------=+++1A B C D A B C DVV --==5、要证、要证(1tan )(1tan )2A B ++= 只需证只需证 1tan tan tan tan 2A B A B +++=即证即证t a n t a n 1t a n t a A B A B +=- 由54A B p +=，得tan()1A B +=. ①又因为2A B k p p +¹+，所以tan tan 11tan tan A BA B+=-，变形即得①式.所以，命题得证. 第二章 复习参考题B 组（P47）1、（1）25条线段，16部分；部分； （2）2n 条线段；条线段；（3）222n n ++部分. 2、因为90BSC Ð=°，所以BSC D 是直角三角形.A BCDA'B'D'C'（第4题）在Rt BSC D 中，有222BC SB SC =+.类似地，得类似地，得 222AC SA SC =+，222AB SB SA =+ 在ABC D 中，根据余弦定理得中，根据余弦定理得2222cos 02AB AC BC SA A AB AC AB AC+-==>××2222cos 02AB BC AC SB B AB BCAB BC+-==>×× 2222cos 02BC AC AB SC C BC ACBC AC +-==>×× 因此，,,A B C 均为锐角，从而ABC D 是锐角三角形. 3、要证、要证cos 44cos 43b a -= 因为因为 cos 44cos 4cos(22)4cos(22)b a b a -=´-´ 2212sin 24(12sin 2)b a =--´-222218s i n c o s 4(18s i n c o s )b b a a =--´-222218s i n (1s i n )4[18s i n (1s i n )]bb a a=---´-- 只需证只需证 222218sin (1sin )4[18sin (1sin )]3b b a a ---´--= 由已知条件，得由已知条件，得 sincos sin2q q a +=，2sin sin cos b q q =，代入上式的左端，得代入上式的左端，得 222218sin (1sin )4[18sin (1sin )]b b a a ---´-- 2238sin cos (1sin cos )32sin (1sin )q q q q a a =---+-2238sin cos 8sin cos 2(12sin cos )(32sin cos )q q q q q q q q =--+++-222238s i n c o s 8s i nc o s 68s i n c o s 8s i nc o sq q q q q q q q =--++-+ 3= 因此，cos 44cos 43b a -=。

第1课时归纳推理1.了解归纳推理的含义，能用归纳推理进行简单的推理.(重点、难点)2.体会归纳推理在数学发现中的作用，归纳推理结论的真假.(易错点)[基础·初探]教材整理归纳推理阅读教材P31～P33“练习”以上部分，完成下列问题.1.推理从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理.2.归纳推理的特点(1)归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理.(2)归纳推理的思维过程如图：实验、观察―→概括、推广―→猜测一般性结论.3.归纳推理(1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围.(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验.(3)归纳推理是一种具有创造性的推理.1.判断正误：(1)由个别到一般的推理为归纳推理.( )(2)由归纳推理得出的结论一定正确.( )(3)从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于归纳推理.( )【答案】(1)√(2)×(3)√2.如图2­1­1所示，第n个图形中，小正六边形的个数为______.【导学号：97220009】图2­1­1【解析】 a 1＝7，a 2＝7＋5＝12，a 3＝12＋5＝17， ∴a n ＝7＋5(n -1)＝5n ＋2. 【答案】 5n ＋2[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型](1)(2016·扬州高二调研)已知32＋27＝2·327，33＋326＝3·3326，34＋463＝4·3463，32014＋m n ＝2014·3m n ，则n ＋1m 3＝________. (2)(2016·湖北七市教科研协作体联考)观察下列等式： 1＋2＋3＋…＋n ＝12n (n ＋1)；1＋3＋6＋…＋12n (n ＋1)＝16n (n ＋1)(n ＋2)；1＋4＋10＋…＋16n (n ＋1)(n ＋2)＝124n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)；……可以推测，1＋5＋15＋…＋124n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)＝__________. 【精彩点拨】 结合数与式子的特征，提炼结论.【自主解答】 (1)由已知的3个等式知一般式为3n ＋＋n ＋1n ＋3-1＝(n ＋1)·3n ＋1n ＋3-1.所以m ＝2014，n ＝20143-1，所以n ＋1m 3＝2014320143＝1. (2)根据式子中的规律可知，等式右侧为15×4×3×2×1n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4)＝1120n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4). 【答案】 (1)1 (2)1120n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4)进行数、式中的归纳推理的一般规律(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律； (2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征； (3)提炼出等式(或不等式)的综合特点； (4)运用归纳推理得出一般结论.[再练一题]1.已知23＜2＋13＋1，23＜2＋23＋2，23＜2＋33＋3，…，推测猜想一般性结论为________.【解析】 每一个不等式的右边是不等式左边的分子、分母分别加了相同的正数，因此可猜测：b a ＜b ＋ma ＋m(a ，b ，m 均为正数，且a ＞b ).【答案】 b a ＜b ＋ma ＋m(a ，b ，m 均为正数，且a ＞b )(1)第n 个图案中有黑色地面砖的块数是________.图2­1­2(2)根据图2­1­3中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为__________.①②③④图2­1­3【精彩点拨】(1)观察图案知，每多一块白色地面砖，则多5块黑色地面砖，从而每个图案中白色地面砖的块数，组成首项为6，公差为5的等差数列.(2)先求出前4个图形中线段的数目，再归纳.【自主解答】(1)观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6，公差为5的等差数列，从而第n个图案中黑色地面砖的个数为6＋(n-1)×5＝5n ＋1.(2)图形①到④中线段的条数分别为1,5,13,29，因为1＝22-3,5＝23-3,13＝24-3,29＝25-3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为29-3＝509.【答案】(1)5n＋1 (2)509归纳推理在图形中的应用策略通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数学之间的规律、特征，然后进行归纳推理.解答该类问题的一般策略是：寻找关系―→从图形的数量规律入手，寻找数值变化与数量的关系↓结构联系―→从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化↓归纳结论―→常转化为数列中的归纳推理问题，如可通过图形展现的有关数据，构造某一数列的前几项，然后利用归纳数列的某一问题进行解决[再练一题]2.如图2­1­4，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1,2,3，…)，则第n个图形中的顶点个数为________.图2­1­4【解析】第一个图形共有12＝3×4个顶点，第二个图形共有20＝4×5个顶点，第三个图形共有30＝5×6个顶点，第四个图形共有42＝6×7个顶点，故第n个图形共有(n＋2)(n＋3)个顶点.【答案】 (n ＋2)(n ＋3)[探究共研型]探究1 n 【提示】 是一种对应关系，也是一种特殊的函数关系. 探究2 如何寻求a n 与n 的关系？【提示】 利用递推式写出数列的前几项化为统一的形式，再观察解决.已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n .求出a 1，a 2，a 3，a 4，并推测a n .【精彩点拨】 由递推关系写出前4项，化为统一形式，观察即可. 【自主解答】 ∵S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n ，∴a 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，∴a 21＝1.又∵a n >0，∴a 1＝1；a 1＋a 2＝12⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋1a2，即1＋12a 2＝12a 2，∴a 2＝2-1； a 1＋a 2＋a 3＝12⎝⎛⎭⎪⎫a 3＋1a 3，即2＋12a 3＝12a 3，∴a 3＝3-2；a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝12⎝⎛⎭⎪⎫a 4＋1a4，∴3＋12a 4＝12a 4，∴a 4＝2-3；观察可得，a n ＝n -n -1.数列中的归纳推理在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n 项和. (1)通过已知条件求出数列的前几项或前n 项和；(2)根据数列中的前几项或前n 项和与对应序号之间的关系求解； (3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n 项和公式.[再练一题]3.已知数列{a n }中，a 2＝6，a n ＋1＋a n -1a n ＋1-a n ＋1＝n .(1)求a 1，a 3，a 4；(2)猜想数列{a n }的通项公式. 【解】 (1)由a 2＝6，a 2＋a 1-1a 2-a 1＋1＝1，得a 1＝1.由a 3＋a 2-1a 3-a 2＋1＝2，得a 3＝15.由a 4＋a 3-1a 4-a 3＋1＝3，得a 4＝28.故a 1＝1，a 3＝15，a 4＝28.(2)由a 1＝1＝1×(2×1-1)；a 2＝6＝2×(2×2-1)；a 3＝15＝3×(2×3-1)；a 4＝28＝4×(2×4-1)，…猜想a n ＝n (2n -1).[构建·体系]1.已知f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，f 4(x )＝f 3′(x )，…，f n (x )＝f n -1′(x )，则f 2 014(x )＝________.【解析】 f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝f 1′(x )＝-sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝-cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝sin x ，f 5(x )＝f 4′(x )＝cos x ，…再继续下去会重复出现，周期为4，∴f 2 014(x )＝f 2(x )＝-sin x . 【答案】 -sin x2.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n(a ∈N *)，则可归纳猜想{a n }的通项公式为________.【解析】 由已知得a 1＝1，a 2＝2a 12＋a 1＝23，a 3＝2a 22＋a 2＝432＋23＝24，a 4＝2a 32＋a 3＝2×122＋12＝25，…，由此可猜想a n ＝2n ＋1. 【答案】 a n ＝2n ＋23.已知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，把数列{a n }的各项排成如下的三角形：【导学号：97220010】a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9……记A (s ，t )表示第s 行的第t 个数，则A (11,12)＝______________.【解析】 每行对应的元素个数分别为1,3,5，…，那么第10行最后一个数为a 100，则第11行的第12个数为a 112，即A (11,12)＝a 112＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13112.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫131124.(2016·苏州高二期末)当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x＝2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥33x 2·x 2·4x2＝3， x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x 3≥44x 3·x 3·x 3·27x 3＝4，根据上述不等式，在x >0的条件下，可归纳出一个一般性的不等式为________(直接写结论).【解析】 根据已知的3个不等式，找出规律知，一般性的不等式为x ＋n nx n ≥(n ＋1)·n ＋1x n ·x n …·x n ·n nxn ＝n ＋1.【答案】 x ＋n nxn ≥n ＋15.已知在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝3a na n ＋3.(1)求a 2，a 3，a 4，a 5的值； (2)猜想a n .【解】 (1)a 2＝3a 1a 1＋3＝3×1212＋3＝37，同理a 3＝3a 2a 2＋3＝38，a 4＝39，a 5＝310. (2)由a 2＝32＋5，a 3＝33＋5，a 4＝34＋5，a 5＝35＋5，可猜想a n ＝3n ＋5.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)。