2019-2020学年度高三数学专题复习 压轴题突破练 理

a1•已知函数f(x) In x .x(1) 若函数f (x)有零点，求实数a 的取值范围;2(2)证明：当a 时，f(x)e22.已知函数 f (x) x a In x ( a R )， F (x) bx ( b R )(1)讨论f (x)的单调性;(2)设 a 2， g(x) f (x) F (x)，若 x 1, x 2 ( 0 x 1X 。

' x 2，试问曲线y g(x)在点x 0处的切线能否与x 轴平行？请说明理由23 23•已知函数 f(x) x mx nx ( m, n R )(1 )若f(x)在x 1处取得极大值，求实数 m 的取值范围； (2 )若f '(1) 0,且过点P(0,1)有且只有两条直线与曲线 y f(x)相切，求实数 m 的值.2019-2020年高考数学压轴题集锦导数及其应用(三)x 2 )是g(x)的两个零点，且4•已知函数 f(x) x 2e x , g(x) 2x 3. (1) 求函数f (x)的单调区间； (2) 求证： x R , f (x) g(x)x5.已知函数f (x ) =- ax+b 在点(e , f (e ))处的切线方程为 y= - ax+2e .In x(I )求实数b 的值；1(n)若存在x € [e , e 2]，满足f (x ) w — +e ,求实数a 的取值范围.4Inx 丄ax 2 bx 1的图像在x 1处的切线I 过点(-,-).2 2 2f (x) (a 1)x(a 0)，求g(x)的最大值(用a 表示)；6•已知函数f (x)(1)若函数g(x)(2)若 a4 , f(xj f (x 2) x 13x^2 2，证明: x-i x 2a3 27•已知函数 f(x) xlnx, g(x) x x 3, a R .x(1 )当a 1时，求曲线y f (x)在x 1处的切线方程；1(2)若对任意的x 1,x 2 [—,2]，都有f(xj g(x 2)成立，求实数a 的取值范围28.设函数 f(x) e x ax 2 (1 )求f(x)的单调区间； (2 )若 ak x1,k 为整数，且当x 0时，f (x) 1恒成立，其中f (x)为f(x)的导x 1函数，求k 的最大值.29.设函数 f(x) x bln(x 1).(1) 若对定义域内的任意 x ，都有f(x) f (1)成立，求实数b 的值; (2)若函数f(x)的定义域上是单调函数，求实数b 的取值范围；(3)若 b 1，证明对任意的正整数n，kF 1 23 33 LX 110•已知函数f(x) a e(x 1)1 na ( a 0且a 1), e为自然对数的底数.a(I)当a e时，求函数y f (x)在区间x 0,2上的最大值；(n)若函数f (x)只有一个零点，求a的值.111.已知函数f(x) x , g(x) 2alnx. x(1 )当a 1时，求F(x) f (x) g(x)的单调递增区间;1(2)设h(x) f (x) g(x)，且h(x)有两个极值x1,x2，其中x, (0, —］，求3h(xj h(X2)的最小值.12. 已知函数f (x) =lnx+x2-2ax+1 (a 为常数)(1 )讨论函数f (x)的单调性;(2)若存在x0€ (0, 1］，使得对任意的a € (- 2, 0］，不等式2me a(a+1) +f (x。

2019-2020年高考压轴卷数学理. 含解析本试卷分第I卷和第II卷两部分．第I卷1至3页，第II卷4至6页，满分150．考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（共40分）一．选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，集合，集合，则集合为（）A. B. C. D.【命题意图】本题考查集合的运算等基础知识，意在考查运算求解能力.【答案】C.【解析】由题意得，，，∴，故选C.2.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．64 B．72 C．80 D．112【命题意图】本题考查三视图与空间几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象能力与运算求解能力.【答案】C.3.已知，，则“”是“”的（ ）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力. 【答案】A.【解析】||||cos cos ||cos ||cos αβαβααββ->-⇔->-，设，，显然是偶函数，且在上单调递增，故在上单调递减，∴，故是充分必要条件，故选A. 4.满足下列条件的函数中，为偶函数的是（ ） A. B. C. D.【命题意图】本题考查函数的解析式与奇偶性等基础知识，意在考查分析求解能力. 【答案】D.5.设，为正实数，，，则=（ ） A. B. C.D.或【命题意图】本题考查基本不等式与对数的运算性质等基础知识，意在考查代数变形能与运算求解能力. 【答案】B.【解析】2323()4()()44()a b ab a b ab ab -=⇒+=+，故112222a b a b ab++≤⇒≤ 2322()44()1184()82()()a b ab ab ab ab ab ab ab ab++⇒≤⇒=+≤⇒+≤，而事实上， ∴，∴，故选B.6.已知点是双曲线C ：左支上一点，，是双曲线的左、右两个焦点，且，与两条渐近线相交于，两点（如图），点恰好平分线段，则双曲线的离心率是（ ） A. B.2 C. D.【命题意图】本题考查双曲线的标准方程及其性质等基础知识知识，意在考查运算求解能力. 【答案】A.7.如图，在棱长为1的正方体中，为棱中点，点在侧面内运动，若，则动点的轨迹所在曲线为（ ）A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识，意在考查空间想象能力. 【答案】C.【解析】易得平面，所有满足的所有点在以为轴线，以所在直线为母线的圆锥面上，∴点的轨迹为该圆锥面与平面的交线，而已知平行于圆锥面轴线的平面截圆锥面得到的图形是双曲线，∴点的轨迹是双曲线，故选C.8.已知函数[)[)1(1)sin 2,2,212()(1)sin 22,21,222nn x n x n n f x x n x n n ππ+⎧-+∈+⎪⎪=⎨⎪-++∈++⎪⎩（），若数列满足，数列的前项和为，则（ ）A. B. C. D.【命题意图】本题考查数列求和等基础知识，意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力. 【答案】A.第Ⅱ卷（共110分）二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.9.已知圆22240C x y x y m +-++=：，则其圆心坐标是_________，的取值范围是________．【命题意图】本题考查圆的方程等基础知识，意在考查运算求解能力. 【答案】，.【解析】将圆的一般方程化为标准方程，，∴圆心坐标， 而，∴的范围是，故填：，.10.已知函数，，则 ，的值域为 ．【命题意图】本题考查分段函数的函数值与值域等基础知识，意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力. 【答案】，.11.已知函数，则的值是_______，的最小正周期是______.【命题意图】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质等基础知识，意在考查运算求解能力． 【答案】，.【解析】∵，∴，又∵221tan 0x k x ππ⎧≠+⎪⎨⎪-≠⎩，∴的定义域为(,)(,)(,)244442k k k k k k ππππππππππππ-+-+-++++，，将的图象如下图画出，从而可知其最小正周期为，故填：，.12.设，实数，满足23603260y m x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若，则实数的取值范围是___________．【命题意图】本题考查二元不等式（组）表示平面区域以及含参范围等基础知识，意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力． 【答案】.13.要使关于的不等式恰好只有一个解，则_________.【命题意图】本题考查一元二次不等式等基础知识，意在考查运算求解能力. 【答案】.【解析】分析题意得，问题等价于只有一解，即只有一解， ∴28022a a ∆=-=⇒=±，故填：.14.已知，为实数，代数式2222)3(9)2(1y x x y ++-++-+的最小值是 .【命题意图】本题考查两点之间距离公式的运用基础知识，意在考查构造的数学思想与运算求解能力. 【答案】.15.已知平面向量，的夹角为，，向量，的夹角为，，则与的夹角为__________，的最大值为．【命题意图】本题考查平面向量数量积综合运用等基础知识，意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力.【答案】，.三．解答题 ：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本题满分14分）在中，角，，所对的边分别为，已知cos (cos 3sin )cos 0C A A B +-=． （1）求角的大小； （2）若，求的取值范围．【命题意图】本题考查三角函数及其变换、正、余弦定理等基础知识，意在考查运算求解能力．【答案】（1）；（2）.17.（本题满分15分）如图，已知长方形中，，，为的中点，将沿折起，使得平面平面． （1）求证：；（2）若，当二面角大小为时，求的值．【命题意图】本题考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，意在考查空间想象能力和运算求解能力．【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】（1）由于，，则，又∵平面平面，平面平面＝，平面，∴平面，…………3分又∵平面，∴有；……………6分18.（本题满分15分）已知函数，当时，恒成立．（1）若，，求实数的取值范围；（2）若，当时，求的最大值．【命题意图】本题考查函数单调性与最值，分段函数，不等式性质等基础知识，意在考查推理论证能力，分析问题和解决问题的能力．【答案】（1）；（2）.（1）由且，得4)2()(222b b b x b bx x x f -++=++=， 当时，，得，…………3分故的对称轴，当时，2min max ()()124()(1)11b b f x f b f x f ⎧=-=-≥-⎪⎨⎪=-=≤⎩，………… 5分 解得，综上，实数的取值范围为；…………7分，…………13分且当，，时，若，则恒成立，且当时，取到最大值．的最大值为2.…………15分19.（本题满分15分）设点是椭圆上任意一点，过点作椭圆的切线，与椭圆交于，两点．（1）求证：；（2）的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【命题意图】本题考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，意在考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.∴点为线段中点，；…………7分（2）若直线斜率不存在，则，与椭圆方程联立可得，，，故，…………9分若直线斜率存在，由（1）可得，，141141222212+-+=-+=k t k x x k AB ，…………11分点到直线的距离，…………13分∴12212-=⋅=∆t d AB S OAB ，综上，的面积为定值．…………15分 20.（本题满分15分）正项数列满足，．（1）证明：对任意的，；（2）记数列的前项和为，证明：对任意的，．【命题意图】本题考查数列的递推公式与单调性，不等式性质等基础知识，意在考查推理论证能力，分析和解决问题的能力.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.温馨提示：最好仔细阅读后才下载使用，万分感谢！。

2019-2020年高考数学压轴卷理(I)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

注意事项：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。

3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1.设集合{}{}2220,2,A x x x B y y x x x A =-≤==-∈，则（） A ． B ． C ． D ．2．复数（为虚数单位），则复数的共轭复数为( )A ．B ．C ．D ．3.袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球．若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，则3次摸球所得总分为5的概率为( )A.57.B.67C 38D.584．已知向量AB →与向量a ＝(1，－2)的夹角为π，|AB →|＝25，点A 的坐标为(3，－4)，则点B 的坐标为( )A ．(1,0)B ．(0,1)C ．(5，－8)D ．(－8,5)5.已知点P ⎝⎛⎭⎪⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈10,2π)，则θ的值为( )A.π4B.3π4C.5π4 D.7π46.《九章算术》是我国古代著名数学经典．其中对勾股定理的论术比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)． 已知弦AB ＝1尺，弓形高CD ＝1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( )(注：1丈＝10尺＝100寸，π≈3.14，sin 22.5°≈513)A ．600立方寸B ．610立方寸C ．620立方寸D ．633立方寸7．已知MOD 函数是一个求余函数，记表示m 除以n的余数，例如．右图是某个算法的程序框图，若输入m的值为48时，则输出的值为(A) 8(B) 9(C) 10(D) 118．已知由不等式0,0,2,40xyy kxy x≤⎧⎪≥⎪⎨-≤⎪⎪--≤⎩确定的平面区域的面积为7，则的值（）A．-1或3 B． C． D．39.已知双曲线与函数的图象交于点，若函数的图象在点处的切线过双曲线左焦点，则双曲线的离心率是A. B. C. D.10.设在圆上运动，且，点在直线上运动，则的最小值为A． B． C． D．11已知球表面上有三个点、、满足，球心到平面的距离等于球半径的一半，则球的表面积为(A) (B) (C) (D)12．关于函数，下列说法错误的是（）（A）是的极小值点( B ) 函数有且只有1个零点(C)存在正实数，使得恒成立(D)对任意两个正实数，且，若，则第Ⅱ卷注意事项：须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。

2019-2020年高考压轴卷理科数学含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={0，1，2}，B={x|x=2a ，a ∈A}，则A ∩B 中元素的个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 2. 复数21i z ()i=-，则复数1z +在复平面上对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知直线l ⊥平面α，直线m ∥平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件4. 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，a 3=5，S k+2﹣S k =36，则k 的值为（ ） A ． 8 B ．7 C ．6 D ． 55．如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）A ．4 B ．8 C ．16 D ．20 6.一个算法的程序框图如图所示，如果输入的x 的值为2014，则输出的i 的结果为（ ）A．3B．5C．6D．87.函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，则f（x）的递增区间是（）A.[6K-1，6K+2](K∈Z)B. [6k-4,6k-1] (K∈Z)C.[3k-1,3k+2] (K∈Z)D.[3k-4,3k-1] (K∈Z)8. ．在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好落在正方形与曲线围成的区域内（阴影部分）的概率为（）A．B．C．D．9．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 与双曲22145x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且AK =，则A 点的横坐标为(A)10.已知函数f （x ）对任意x ∈R 都有f （x+6）+f （x ）=2f （3），y=f （x ﹣1）的图象关于点（1，0）对称，则f （2013）=（ ）A.10B.-5C.5D.0二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置． 11.（3x+）6的展开式中常数项为 （用数字作答）．12. 若等边△ABC 的边长为1，平面内一点M 满足，则= ．13. 设x ，y 满足约束条件，若目标函数z=ax+by （a ＞0，b ＞0）的最大值为12，则+的最小值为（ ） A ． 4 B ．C ．1 D ．214.设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f （x ）=x 2，若对任意x ∈[a ，a+2]，不等式f （x+a ）≥f （3x+1）恒成立，则实数a 的取值范围是 ________ ．15. 已知集合A={f （x ）|f 2（x ）﹣f 2（y ）=f （x+y ）•f （x ﹣y ），x 、y ∈R}，有下列命题： ①若f （x ）=，则f （x ）∈A ； ②若f （x ）=kx ，则f （x ）∈A ；③若f （x ）∈A ，则y=f （x ）可为奇函数； ④若f （x ）∈A ，则对任意不等实数x 1，x 2，总有成立．其中所有正确命题的序号是 ______ ．（填上所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．16．在△ABC 中，已知A=4π，cos B =． (I)求cosC 的值；(Ⅱ)若D 为AB 的中点，求CD 的长．17.如图，已知PA ⊥平面ABC ，等腰直角三角形ABC 中，AB=BC=2，AB ⊥BC ，AD ⊥PB 于D ，AE ⊥PC 于E ． （Ⅰ）求证：PC ⊥DE ；（Ⅱ）若直线AB 与平面ADE 所成角的正弦值为，求PA 的值．18. 在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，现从中任意摸出一球，若是红球记1分，白球记2分，黄球记3分．现从这个盒子中，有放回地先后摸出两球，所得分数分别记为x 、y ，设O 为坐标原点，点P 的坐标为(2,)x x y --，记2OP ξ=． （I ）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和数学期望． 19. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)n n a S 在直线312y x =-上. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成公差为n d 的等差数列， 求数列1n d ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩的前n 项和n T ，并求使-184055327n n n T +≤⨯成立的正整数n 的最大值. 20. 给定椭圆C ：，称圆心在坐标原点O ，半径为的圆是椭圆C 的“伴随圆”，已知椭圆C 的两个焦点分别是．（1）若椭圆C 上一动点M 1满足||+||=4，求椭圆C 及其“伴随圆”的方程；（2）在（1）的条件下，过点P （0，t ）（t ＜0）作直线l 与椭圆C 只有一个交点，且截椭圆C 的“伴随圆”所得弦长为2，求P 点的坐标；（3）已知m+n=﹣（0，π）），是否存在a ，b ，使椭圆C 的“伴随圆”上的点到过两点（m ，m 2），（n ，n 2）的直线的最短距离．若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由． 21.已知函数f （x ）=ax 2﹣（2a+1）x+2lnx （a ＞0）． （Ⅰ） 若a ≠，求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）当＜a ＜1时，判断函数f （x ）在区间[1，2]上有无零点？写出推理过程．KS5U2014山东省高考压轴卷理科数学参考答案1.【KS5U 答案】C【KS5U 解析】：由A={0，1，2}，B={x|x=2a ，a ∈A}={0，2，4}， 所以A ∩B={0，1，2}∩{0，2，4}={0，2}． 所以A ∩B 中元素的个数为2． 故选C ．2. 【KS5U 答案】D【KS5U 解析】因为22211()1(1)22i i z ii i i -====----，所以1112z i +=-，所以复数1z +在复平面上对应的点位于第四象限. 3. 【KS5U 答案】A.【KS5U 解析】当//αβ时，由l ⊥平面α得，l β⊥，又直线m ∥平面β，所以l m ⊥。

2019-2020年高考数学压轴卷理(III)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2. 设集合，集合，则 = （）A． B． C． D．3.设是两个不同的平面，直线，则“”是“”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4. 某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为( ).A． B． C． D．5.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A．588 B．480 C．450 D．1206.按照如图的程序运行，已知输入的值为，则输出的值为( )A. 7B. 11C. 12D. 247.已知是公差为的等差数列，为的前项和.若成等比数列，则（）A． B． C． D．8.一个大风车的半径为8m，12min旋转一周，它的最低点Po离地面2m，风车翼片的一个端点P从P o开始按逆时针方向旋转，则点P离地面距离h（m）与时间f（min）之间的函数关系式是（）A． B．C． D．9.设函数是（）的导函数，，且，则的解集是( )A. B. C. D.10. 已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为该抛物线的焦点，点在抛物线上且满足，当取最小值时，点恰好在以，为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11. 已知向量，满足，，则 .12. 二项式展开式中的常数项为 .13. 若x，y满足约束条件则目标函数z=﹣2x+y的最小值为．14.已知点在单位圆上运动，点到直线与的距离分别记为、，则最小值为__________．15.现定义一种运算“”；对任意实数，，设2()(2)(3)f x x x x =-⊕+，若函数的图象与轴恰有二个公共点，则实数的取值范围是__________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．16.（本小题满分12分）在中，内角的对边为，已知.（1）求角的值；（2）若，且的面积为，求.17. （本小题满分12分） 在三棱柱中，，侧棱平面，且，分别是棱，的中点，点在棱上，且.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.18．（本小题满分12分）已知等差数列的前项和满足：，，数列的前项和满足：，.（Ⅰ）求与；（Ⅱ）比较与的大小，并说明理由.19. （本小题满分12分）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租时间不超过两小时免费，超过两个小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按 1小时计算）．有甲、乙两人独立来该租车点车租骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为；两人租车时间都不会超过四小时．（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望．20. （本小题满分13分） 已知直线被圆截得的弦长恰与椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴长相等，椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）已知过点的动直线交椭圆于两点，试问：在轴上是否存在一个定点，使得无论如何转动，以为直径的圆恒过定点？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．21. （本小题满分14分）已知函数ln()()ln(),[,0),(),x f x ax x x e g x e x -=--∈-=-其中是自然对数的底数，．（1）当时，讨论函数的单调性并求的最小值；（2）求证:在(1)的条件下，；（3）是否存在实数,使的最小值是，如果存在,求出的值；若不存在,请说明理由.1.【答案】D【解析】 由题意得55(2)22(2)(2)i z i i i i +===+--+，所以，所以在复平面内对应的点位于第四象限，故选D.2.【答案】A【解析】由已知，，所以．故选A ．3.【答案】C【解析】一条直线垂直于两个不同的平面，则这两个平面平行；反之也成立（面面平行的判定与性质）。

2019-2020年高考数学压轴题集锦导数及其应用(五)246•已知函数f(x) x ax 4 ( a R)的两个零点为x1, X2,设x1x2.(i)当a 0时，证明：2 x10.(n)若函数g(x) x2 | f (x) |在区间(，2)和(2,)上均单调递增，求a的取值范围247.设函数f(x) x ax ln x ( a R).(i)若a 1时,求函数f(x)的单调区间；(n)设函数f(x)在［!,e］有两个零点，求实数a的取值范围.e48.已知函数f (x) In (ax b) x , g(x)(i)若b 1, F(x) x2ax Inx .f (x) g(x)，问：是否存在这样的负实数a，使得F(x)在x 1处存在切线且该切线与直线y1平行，若存在，求a的值；若不存在，请说明理2 3(n)已知a 0，若在定义域内恒有 f (x) ln(ax b) x 0，求a(a b)的最大值1 249.设函数f(x) xlnx b(x ) (b R)，曲线y f x在1,0处的切线与直线2y 3x平行•证明：(I)函数f(X)在［1,)上单调递增；(n)当0x1 时，f x 1.2x 150. 已知f (x) =a (x-lnx) + 2 ，a€ R.x(I)讨论f (x)的单调性；3(II )当a=1时，证明f (x)> f' (x) +三对于任意的x€ [1,2]恒成立。

251. 已知函数f (x) =x2+ ax- lnx, a€ R.(1)若函数f (x)在［1 , 2］上是减函数，求实数a的取值范围；(2)令g (x) =f (x)- x2,是否存在实数a，当x€( 0, e］(e是自然常数)时，函数g (x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；5(3)当x€ (0, e］时，证明：e2x2—x> (x+1)lnx252. 已知函数 f (x ) = 3 x 3— ax+1 . (1 )若x=1时，f (x )取得极值，求a 的值； (2) 求f (x )在［0 , 1］上的最小值；(3) 若对任意 m € R ,直线y= - x+m 都不是曲线y=f ( x )的切线，求a 的取值范围._ x53.已知函数f x axe ( a 0) (1) 讨论f x 的单调性；范围.数的底)(2)若关于x 的不等式f x ln x x 4的解集中有且只有两个整数，求实数 a 的取值54.已知函数f n ,g mmx (其中m e,n,me 为正整数，e 为自然对(1 )证明：当x1 时，g m x 0恒成立;(2)当n 3时，试比较f n m与f m n的大小，并证明55•已知函数f (x ) =e x 和函数g (x ) =kx+m (k 、m 为实数，e 为自然对数的底数， e ~ 2.71828 .(1) 求函数h ( x ) =f (x )- g (x )的单调区间；(2) 当k=2，m=1时，判断方程f (x ) =g (x )的实数根的个数并证明；(3) 已知m 工1不等式(m - 1) [f (x )- g (x ) ] W0寸任意实数x 恒成立，求km 的最大 值.a(x 1)56.已知函数 f(x) ln x(a R).x(i)若a 1,求 y f(x)在点1,f(1)处的切线方程;(n)求f (x)的单调区间；1丄对一切的x (1,2)恒成立.2257.已知函数 f (x) (x 1) alnx ( a R ).(i)求函数f(x)的单调区间；(n)若函数f (x)存在两个极值点x 1> x 2为 x 2，求f "2)的取值范围.%(川)求证：不等式1 1 ln x x 158.设函数f(x) In x , m R .x(i)当m e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；(n)若对任意正实数a、b ( a b)，不等式丄回空a b围.2恒成立，求m的取值范59.已知函数f x 1 3 2 2x 2ax 3a x b , (a,b 3R)(1 )当a 3时，若f x有3个零点，求b的取值范围；4(2)对任意a [一,1],当x a 1,a m时恒有a5时f x的最大值。

2019-2020年高三数学大一轮复习 压轴题目突破练 解析几何教案 理 新人教A 版一、选择题(每小题5分，共20分)1． 已知两条直线l 1：y ＝x ，l 2：ax －y ＝0，其中a 为实数，当这两条直线的夹角在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π12内变动时，a 的取值范围是( )A ．(0,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫33，3 C.⎝⎛⎭⎪⎫33，1∪(1，3)D ．(1，3)答案 C解析 直线l 1的倾斜角为π4，依题意l 2的倾斜角的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π12，π4∪⎝⎛⎭⎪⎫π4，π4＋π12，即⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3，从而l 2的斜率a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1∪(1，3)．2． 若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半径r 的取值范围是( ) A ．(4,6) B ．[4,6) C ．(4,6] D ．[4,6]答案 A解析 因为圆心(3，－5)到直线4x －3y －2＝0的距离为|4×3－－－2|42＋32＝5，所以当半径r ＝4时，圆上有1个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，当半径r ＝6时，圆上有3个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，所以圆上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1时，4<r <6.3． 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)与抛物线y 2＝8x 有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若|PF |＝5，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±33xC ．y ＝±2xD ．y ＝±22x 答案 A解析 设点P (x 0，y 0)．依题意得，焦点F (2,0)，⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋2＝5，y 20＝8x 0，于是有x 0＝3，y 20＝24；⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝4，9a 2－24b2＝1，由此解得a 2＝1，b 2＝3，因此该双曲线的渐近线方程是y ＝±b ax ＝±3x .4． 已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A.172B ．3C. 5D.92答案 A解析 记抛物线y 2＝2x 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，准线是l ，由抛物线的定义知点P 到焦点F的距离等于它到准线l 的距离，因此要求点P 到点(0,2)的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P 到点(0,2)的距离与点P 到焦点F 的距离之和的最小值，结合图形不难得知相应的最小值就等于焦点F 到点(0,2)的距离． 因此所求的最小值等于⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋22＝172，选A.二、填空题(每小题5分，共15分) 5． 如果x 2k －2＋y 21－k＝－1表示焦点在y 轴上的双曲线，那么它的半焦距c 的取值范围是________． 答案 (1，＋∞)解析 将原方程化成标准方程为y 2k －1－x 2k －2＝1.由题意知k －1>0且k －2>0，解得k >2.又a 2＝k －1，b 2＝k －2，所以c 2＝a 2＋b 2＝2k －3>1， 所以c >1，故半焦距c 的取值范围是(1，＋∞)．6． 若点(3,1)是抛物线y 2＝2px 一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p ＝______.答案 2解析 设弦两端点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1y 22＝2px 2，两式相减得，y 1－y 2x 1－x 2＝2py 1＋y 2＝2.又∵y 1＋y 2＝2，∴p ＝2.7． 已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，经过F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，则以AB 为直径的圆在x 轴上所截得的弦长的最小值是________． 答案 2 3解析 由抛物线定义得以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切，利用直角三角形中勾股定理得到弦长的解析式，再求弦长的最小值．设以AB 为直径的圆的半径为r ，则|AB |＝2r ≥4，r ≥2，且圆心到x 轴的距离是r －1，所以在x 轴上所截得的弦长为2r 2－r －2＝22r －1≥23，即弦长的最小值是2 3.三、解答题(共22分)8． (10分)已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴顶点为(0,2)，它的两个短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于异于椭圆顶点的两点A ，B ，且AP →＝2PB →. (1)求椭圆的方程； (2)求m 的取值范围．解 (1)由题意，知椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，由题意，知a ＝2，b ＝c ，又a 2＝b 2＋c 2，则b ＝2， 所以椭圆方程为y 24＋x 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意，知直线l 的斜率存在， 设其方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立，即⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋2x 2＝4，y ＝kx ＋m ，消去y ，得(2＋k 2)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0， Δ＝(2mk )2－4(2＋k 2)(m 2－4)>0， 由根与系数的关系，知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2mk2＋k2，x 1·x 2＝m 2－42＋k2，又AP →＝2PB →，即有(－x 1，m －y 1)＝2(x 2，y 2－m )， 所以－x 1＝2x 2.则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－x 2，x 1x 2＝－2x 22，所以m 2－42＋k 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2mk 2＋k 22. 整理，得(9m 2－4)k 2＝8－2m 2， 又9m 2－4＝0时等式不成立，所以k 2＝8－2m 29m 2－4>0，得49<m 2<4，此时Δ>0.所以m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－2，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2.9． (12分)已知中心在原点的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1的一个焦点为F 1(0,3)，M (x,4)(x >0)为椭圆C 上一点，△MOF 1的面积为32.(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在平行于OM 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且以线段AB 为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． 解 (1)因为椭圆C 的一个焦点为F 1(0,3)，所以c ＝3，b 2＝a 2＋9，则椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2a 2＋9＝1，因为x >0，所以S △OMF 1＝12×3×x ＝32，解得x ＝1.故点M 的坐标为(1,4)．因为点M (1,4)在椭圆上，所以1a 2＋16a 2＋9＝1，得a 4－8a 2－9＝0，解得a 2＝9或a 2＝－1(不合题意，舍去)， 则b 2＝9＋9＝18，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 218＝1.(2)假设存在符合题意的直线l 与椭圆C 相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，其方程为y ＝4x ＋m (因为直线OM 的斜率k ＝4)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ＋m ，x 29＋y218＝1，消去y 化简，得18x 2＋8mx ＋m 2－18＝0.进而得到x 1＋x 2＝－8m 18，x 1·x 2＝m 2－1818.因为直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点， 所以Δ＝(8m )2－4×18×(m 2－18)>0， 化简得m 2<162，解得－92<m <9 2.因为以线段AB 为直径的圆恰好经过原点， 所以OA →·OB →＝0，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1y 2＝(4x 1＋m )(4x 2＋m )＝16x 1x 2＋4m (x 1＋x 2)＋m 2，x 1x 2＋y 1y 2＝17x 1x 2＋4m (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－18－32m 218＋m 2＝0. 解得m ＝±102.由于±102∈(－92，92)， 所以符合题意的直线l 存在，且所求的直线l 的方程为y ＝4x ＋102或y ＝4x －102.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． 已知椭圆E 的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1且斜率为2的直线交椭圆E 于P 、Q 两点，若△PF 1F 2为直角三角形，则椭圆E 的离心率为( )A.53B.23C.23D.13答案 A解析 由题意可知，∠F 1PF 2是直角，且tan∠PF 1F 2＝2，∴|PF 2||PF 1|＝2，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|＝2a 3，|PF 2|＝4a3.根据勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 32＝(2c )2，所以离心率e ＝c a ＝53. 2． 由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为 ( )A ．1B ．2 2C.7D ．3答案 C解析 如图所示， 设直线上一点P ，切点为Q ，圆心为M ，则|PQ |即为切线长，MQ 为圆M 的半径，长度为1，|PQ |＝|PM |2－|MQ |2＝|PM |2－1，要使|PQ |最小，即求|PM |的最小值，此题转化为求直线y ＝x ＋1上的点到圆心M 的最小距离， 设圆心到直线y ＝x ＋1的距离为d ， 则d ＝|3－0＋1|12＋－2＝2 2.所以|PM |的最小值为2 2.所以|PQ |＝|PM |2－1≥22－1＝7.3． (xx·四川)在抛物线y ＝x 2＋ax －5(a ≠0)上取横坐标为x 1＝－4，x 2＝2的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x 2＋5y 2＝36相切，则抛物线顶点的坐标为 ( )A ．(－2，－9)B ．(0，－5)C ．(2，－9)D ．(1，－6)答案 A解析 当x 1＝－4时，y 1＝11－4a ；当x 2＝2时，y 2＝2a －1，所以割线的斜率k ＝11－4a －2a ＋1－4－2＝a －2.设直线与抛物线的切点横坐标为x 0，由y ′＝2x ＋a 得切线斜率为2x 0＋a ，∴2x 0＋a ＝a －2，∴x 0＝－1.∴直线与抛物线的切点坐标为(－1，－a －4)，切线方程为y ＋a ＋4＝(a －2)(x ＋1)，即(a －2)x －y －6＝0.圆5x 2＋5y 2＝36的圆心到切线的距离d ＝6a －2＋1.由题意得6a －2＋1＝65，即(a －2)2＋1＝5.又a ≠0，∴a ＝4，此时，y ＝x 2＋4x －5＝(x ＋2)2－9， 顶点坐标为(－2，－9)． 二、填空题(每小题5分，共15分)4． 过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M ，与y 轴的交点为B ，若|AM |＝|MB |，则该椭圆的离心率为________． 答案63解析 由题意知A 点的坐标为(－a,0)， 设直线的方程为y ＝x ＋a ，∴B 点的坐标为(0，a )，故M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，a2， 代入椭圆方程得a 2＝3b 2，∴2a 2＝3c 2，∴e ＝63. 5． 已知曲线x 2a －y 2b ＝1与直线x ＋y －1＝0相交于P 、Q 两点，且OP →·OQ →＝0(O 为原点)，则1a－1b的值为________．答案 2解析 将y ＝1－x 代入x 2a －y 2b＝1，得(b －a )x 2＋2ax －(a ＋ab )＝0.由题意，知a ≠b . 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2a a －b ，x 1x 2＝a ＋ab a －b. OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(1－x 1)(1－x 2)＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1. 所以2a ＋2ab a －b －2aa －b＋1＝0，即2a ＋2ab －2a ＋a －b ＝0，即b －a ＝2ab ，所以1a －1b＝2.6． 设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，则|AF |＋4|BF |的最小值为________． 答案 92解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由抛物线定义可得|AF |＋4|BF |＝x 1＋p2＋4⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2＝x 1＋12＋4⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋12＝x 1＋4x 2＋52，设直线AB 的方程为ky ＝x －12，联立抛物线方程得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ky ＝x －12，y 2＝2x消元整理得y 2－2ky －1＝0，由根与系数的关系可得y 1y 2＝－1，又A ，B 在抛物线上，代入方程得y 21y 22＝2x 1·2x 2＝4x 1x 2＝1，即x 1x 2＝14，因此根据基本不等式|AF |＋4|BF |＝x 1＋4x 2＋52≥2x 1×4x 2＋52＝2＋52＝92，当且仅当x 1＝4x 2时取得最小值92.三、解答题7． (13分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 29＋y 25＝1的左，右顶点分别为A ，B ，右焦点为F .设过点T (t ，m )的直线TA ，TB 与此椭圆分别交于点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，其中m >0，y 1>0，y 2<0.(1)设动点P 满足：|PF |2－|PB |2＝4，求点P 的轨迹； (2)设x 1＝2，x 2＝13，求点T 的坐标；(3)设t ＝9，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)． (1)解 设P (x ，y )，由题知F (2,0)，B (3,0)，A (－3,0)， 则|PF |2＝(x －2)2＋y 2，|PB |2＝(x －3)2＋y 2，由|PF |2－|PB |2＝4，得(x －2)2＋y 2－[(x －3)2＋y 2]＝4， 化简，得x ＝92.故点P 的轨迹方程是x ＝92.(2)解 将x 1＝2，x 2＝13分别代入椭圆方程，并考虑到y 1>0，y 2<0，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－209.则直线MA 的方程为y －053－0＝x ＋32＋3，即x －3y ＋3＝0直线NB 的方程为y －0－209－0＝x －313－3，即5x －6y －15＝0.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋3＝0，5x －6y －15＝0，解得x ＝7，y ＝103，所以点T 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫7，103.(3)证明 如图所示，点T 的坐标为(9，m )． 直线TA 的方程为y －0m －0＝x ＋39＋3， 直线TB 的方程为y －0m －0＝x －39－3， 分别与椭圆x 29＋y 25＝1联立方程，解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 280＋m2，40m 80＋m 2， N ⎝⎛⎭⎪⎫m 2－20＋m2，－20m 20＋m 2.直线MN 的方程为 y ＋20m20＋m240m 80＋m 2＋20m20＋m2＝x －m 2－20＋m2－m 280＋m2－m 2－20＋m2.令y ＝0，解得x ＝1，所以直线MN 必过x 轴上的一定点(1,0)．。

压轴大题突破练(三) 函数与导数(1)1.已知函数f (x )＝(x 2－2ax ＋2)e x .(1)函数f (x )在x ＝0处的切线方程为2x ＋y ＋b ＝0，求a ，b 的值；(2)当a ＞0时，若曲线y ＝f (x )上存在三条斜率为k 的切线，求实数k 的取值范围. 解 (1)f (x )＝(x 2－2ax ＋2)e x ，f (0)＝2e 0＝2，2＋b ＝0，得b ＝－2.f ′(x )＝(x 2－2ax ＋2＋2x －2a )e x＝[x 2＋(2－2a )x ＋2－2a ]e x ，f ′(0)＝2－2a ＝－2，得a ＝2，∴a ＝2，b ＝－2.(2)f ′(x )＝[x 2＋(2－2a )x ＋2－2a ]e x ，令h (x )＝f ′(x )，依题意知存在k 使h (x )＝k 有三个不同的实数根，h ′(x )＝(x 2－2ax ＋2＋2x －2a ＋2x －2a ＋2)e x＝[x 2＋(4－2a )x ＋4－4a ]e x ，令h ′(x )＝[x 2＋(4－2a )x ＋4－4a ]e x ＝0，得x 1＝－2，x 2＝2a －2.由a ＞0知x 1＜x 2，则f ′(x )在(－∞，－2)，(2a －2，＋∞)上单调递增，在(－2，2a －2)上单调递减.当x →－∞时，f ′(x )→0，当x →＋∞时，f ′(x )→＋∞，∴f ′(x )的极大值为f ′(－2)＝e －2(2a ＋2)， f ′(x )的极小值为f ′(2a －2)＝e 2a －2(2－2a )， ∴此时e 2a －2(2－2a )＜k ＜e －2(2a ＋2). 2.(2016·四川)设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，其中a ∈R .(1)讨论f (x )的单调性；(2)确定a 的所有可能取值，使得f (x )>1x－e 1－x 在区间(1，＋∞)内恒成立(e ＝2.718…为自然对数的底数).解 (1)f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1x(x >0). 当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)内单调递减.当a >0时，由f ′(x )＝0，有x ＝12a . 此时，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增. (2)令g (x )＝1x －1ex －1，s (x )＝e x －1－x . 则s ′(x )＝e x －1－1.而当x >1时，s ′(x )>0， 所以s (x )在区间(1，＋∞)内单调递增.又由s (1)＝0，有s (x )>0，从而当x >1时，g (x )>0.当a ≤0，x >1时，f (x )＝a (x 2－1)－ln x <0.故当f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a >0.当0<a <12时，12a>1. 由(1)有f ⎝⎛⎭⎫12a <f (1)＝0，而g ⎝⎛⎭⎫12a >0， 所以此时f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内不恒成立.当a ≥12时，令h (x )＝f (x )－g (x )(x ≥1). 当x >1时，h ′(x )＝2ax －1x ＋1x 2－e 1－x >x －1x ＋1x 2－1x ＝x 3－2x ＋1x 2>x 2－2x ＋1x 2>0. 因此，h (x )在区间(1，＋∞)内单调递增.又因为h (1)＝0，所以当x >1时，h (x )＝f (x )－g (x )>0，即f (x )>g (x )恒成立. 综上，a ∈⎣⎡⎭⎫12，＋∞.3.已知函数f (x )＝x 2－ln x .(1)求曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)求函数f (x )的单调递减区间；(3)设函数g (x )＝f (x )－x 2＋ax ，a ＞0，若x ∈(0，e]时，g (x )的最小值是3，求实数a 的值(e 为自然对数的底数).解 (1)∵f (x )＝x 2－ln x ，∴f ′(x )＝2x －1x.∴f ′(1)＝1. 又∵f (1)＝1，∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －1＝x －1，即x －y ＝0.(2)∵函数f (x )＝x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，由f ′(x )＝2x －1x ＜0，得0＜x ＜22. ∴函数f (x )＝x 2－ln x 的单调递减区间是(0，22). (3)∵g (x )＝ax －ln x ，∴g ′(x )＝ax －1x ，令g ′(x )＝0，得x ＝1a. ①当1a ≥e ，即0＜a ≤1e时， g ′(x )＝ax －1x≤0在(0，e]上恒成立， 则g (x )在(0，e]上单调递减，g (x )min ＝g (e)＝a e －1＝3，a ＝4e(舍去)； ②当0＜1a ＜e ，即a ＞1e时，列表如下： x(0，1a ) 1a (1a ，e) e g ′(x )－ 0 ＋ g (x )↘ 极小值1＋ln a ↗ a e －1由表知，g (x )min ＝g (1a)＝1＋ln a ＝3，a ＝e 2，满足条件. 综上，所求实数a ＝e 2，使得当x ∈(0，e]时g (x )有最小值3.4.已知函数f (x )＝2x＋a ln x －2(a >0). (1)若曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线与直线y ＝x ＋2垂直，求函数y ＝f (x )的单调区间；(2)若对∀x ∈(0，＋∞)都有f (x )>2(a －1)成立，试求实数a 的取值范围；(3)记g (x )＝f (x )＋x －b (b ∈R )，当a ＝1时，函数g (x )在区间[e －1，e]上有两个零点，求实数b 的取值范围.解 (1)直线y ＝x ＋2的斜率为1，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－2x 2＋a x， ∴f ′(1)＝－212＋a 1＝－1，解得a ＝1， ∴f (x )＝2x ＋ln x －2，f ′(x )＝x －2x2， 由f ′(x )>0得x >2，由f ′(x )<0得0<x <2，∴f (x )的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(0，2).(2)f ′(x )＝－2x 2＋a x ＝ax －2x2(a >0)， 由f ′(x )>0得x >2a ，由f ′(x )<0得0<x <2a， ∴f (x )的单调递增区间为(2a，＋∞)，单调递减区间为(0，2a)， 当x ＝2a时，f (x )取极小值， 也就是最小值f (x )min ＝f (2a). ∵对∀x ∈(0，＋∞)都有f (x )>2(a －1)成立，∴f (2a )>2(a －1)，即22a＋a ln 2a－2>2(a －1)， ∴a ln 2a >a ，ln 2a >1，0<a <2e， ∴实数a 的取值范围为(0，2e). (3)当a ＝1时，g (x )＝2x＋ln x ＋x －2－b (x >0)， g ′(x )＝x 2＋x －2x 2，由g ′(x )>0得x >1， 由g ′(x )<0得0<x <1.∴g (x )的单调递增区间是(1，＋∞)， 单调递减区间为(0，1)，当x ＝1时，g (x )取得极小值g (1).∵函数g (x )在区间[e －1，e]上有两个零点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ g (e －1)≥0，g (e )≥0，g (1)<0，解得1<b ≤2e＋e －1. ∴b 的取值范围是(1，2e＋e －1].。

2019-2020年高三数学专题复习 压轴题突破练 理1．已知等比数列{a n }满足：|a 2－a 3|＝10，a 1a 2a 3＝125.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由．2．(xx·浙江校级模拟)设f (x )＝|x －a |－4x＋a ，x ∈[1，6]，a ∈(1，6)． (1)若a ∈(1，2]，求f (x )的单调区间；(2)求f (x )的最小值．3．(xx·潍坊模拟)已知焦点在x 轴上的椭圆D ：x 23＋y 2m ＝1(m >0)的离心率为33，F 1，F 2分别为左，右焦点，过点P (3，0)作直线交椭圆D 于A ，B (B 在P ，A 两点之间)两点，且F 1A ∥F 2B ，A 关于原点O 的对称点为C .(1)求椭圆D 的方程；(2)求直线PA 的方程；(3)过F 2任作一直线交过A ，F 1，C 三点的圆于E ，F 两点，求△OEF 面积的取值范围．1．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 31q 3＝125，|a 1q －a 1q 2|＝10， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝53，q ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，q ＝－1. 故a n ＝53·3n －1或a n ＝－5·(－1)n －1. (2)若a n ＝53·3n －1，则1a n ＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1， 故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为35，公比为13的等比数列． 从而∑n ＝1m 1a n ＝35⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13m 1－13＝910·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13m <910<1. 若a n ＝－5·(－1)n －1，则1a n ＝－15(－1)n －1， 故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为－15，公比为－1的等比数列， 从而∑n ＝1m1a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－15，m ＝2k －1（k ∈N *），0，m ＝2k （k ∈N *）. 故∑n ＝1m 1a n<1.综上，对任何正整数m ，总有∑n ＝1m 1a n<1.故不存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1成立． 2．解 (1)首先f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2a －⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ，1≤x ≤a ，x －4x ，a <x ≤6，因为当1<a ≤2时，f (x )在[1，a ]上是增函数，在[a ，6]上也是增函数．所以当1<a ≤2时，y ＝f (x )在[1，6]上是增函数；(2)①当1<a ≤2时，由(1)知，f (x )min ＝f (1)＝2a －5，②当2<a <6时，f (x )在[1，2]上是增函数，在[2，a ]上是减函数，在[a ，6]上是增函数．又f (1)＝2a －5，f (a )＝a －4a ，且f (1)－f (a )＝a ＋4a－5>0，解得4<a <6， 所以当2<a <4时，f (x )min ＝f (1)＝2a －5，当4≤a <6时，f (x )min ＝f (a )＝a －4a， 综上可知，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧2a －5，1<a <4，a －4a，4≤a <6. 3．解 (1)∵椭圆x 23＋y 2m ＝1的离心率e ＝33， ∴3－m 3＝33，∴m ＝2. 所以椭圆的方程为：x 23＋y 22＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 的坐标满足方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 22＝1， ①y ＝k （x －3）， ②把②式代入①式化简得：(2＋3k 2)x 2－18k 2x ＋27k 2－6＝0，所以x 1＋x 2＝18k 22＋3k 2，x 1x 2＝27k 2－62＋3k2， 又因为F 1A ∥F 2B ，所以|PB ||PA |＝|PF 2||PF 1|＝12，PA →＝2PB →，所以(x 1－3，y 1)＝2(x 2－3，y 2)，即x 1－2x 2＝－3，解⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝18k 22＋3k 2，x 1－2x 2＝－3.得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝9k 2－22＋3k 2，x 2＝9k 2＋22＋3k 2.③ 把③式代入x 1x 2＝27k 2－62＋3k 2，解之得k 2＝29，即k ＝±23. 所以直线PA 的方程为y ＝±23(x －3)． (3)由(2)知x 1＝0，即A (0，2)(或A (0，－2))，因A 与C 关于原点对称，所以C (0，－2)(或C (0，2))，设过A ，F 1，C 三点的圆为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎨⎧2E ＋F ＋2＝0，－2E ＋F ＋2＝0，－D ＋F ＋1＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧E ＝0，F ＝－2，D ＝－1，所以圆的方程为x 2＋y 2－x －2＝0，设过F 2的直线EF 为：x ＝ny ＋1，则|EF |＝294－14（1＋n 2）＝9n 2＋81＋n 2， 原点O 到直线EF 的距离为d ＝11＋n 2， 所以S △OEF ＝12d |EF |＝129n 2＋8（1＋n 2）2， 令1＋n 2＝t ，则t ≥1，所以0＜1t≤1， 所以S △OEF ＝12d |EF |＝129n 2＋8（1＋n 2）2＝129t －1t 2＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －922＋814≤12－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－922＋54＝2， 因此△OEF 面积的取值范围是(0，2]．。

2019-2020年高三数学押题卷（理科）（一）含解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知i是虚数单位，若（﹣1﹣2i）z=1﹣i则在复平面上所代表的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．若命题“∃x0∈R，使得x02+mx0+2m﹣3＜0”为假命题，则实数m的取值范围是（）A．[2，6]B．[﹣6，﹣2]C．（2，6）D．（﹣6，﹣2）3．已知，且，则向量与向量的夹角是（）A．B．C．D．4．已知θ为第二象限角，sinθ，cosθ是关于x的方程2x2+（x+m=0（m∈R）的两根，则sinθ﹣cosθ的等于（）A．B．C．D．﹣5．直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于（）A．B．2C．D．6．已知实数x、y满足约束条件，若=（x，y），=（3，﹣1），设z表示向量在方向上的投影，则z的取值范围是（）A．[﹣，6]B．[﹣1，6]C．[﹣，]D．[﹣，]7．执行如图所示的程序框图，输出的有序实数对为（）A．（8，2）B．（8，3）C．（16，3）D．（16，4）8．等差数列{a n}中的a1、a4027是函数f（x）=x3﹣4x2+6x﹣1的极值点，则log2a2014=（）A．2B．3C．4D．59．在（x﹣）5的展开式中x3的系数等于﹣5，则该展开式项的系数中最大值为（）A．5B．10C．15D．2010．某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．8﹣2πC ．πD ．8﹣π11．若直线ax+by ﹣1=0（a ＞0，b ＞0）过曲线y=1+sin πx （0＜x ＜2）的对称中心，则+的最小值为（ ）A ． +1B ．4C ．3+2D ．612．已知F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）为椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上）13．在△ABC 中，D 为AC 的中点， =3，BD 与 AE 交于点F ，若=λ，则实数λ的值为 ．14．已知袋中装有标号为1，2，3的三个小球，从中任取一个小球（取后放回），连取三次，则取到的小球的最大标号为3的概率为 ．15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3acosA=bcosC+ccosB ，若a=3，则△ABC 的面积的最大值为 ．16．已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交双曲线的右支于A ，B 两点，若△ABF 1是以A 为直角顶点的等腰三角形，e 为双曲线的离心率，则e 2= ．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知等差数列{a n }的首项为1，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）记T n 为数列的前n 项和，是否存在正整数n ，使得T n ＜？若存在，求n 的最大值；若不存在，说明理由．18．如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，O 为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ，M 为PD 的中点，∠ADC=45°，AD=AC=1，PO=a （1）证明：DA ⊥平面PAC ；（2）如果二面角M ﹣AC ﹣D 的正切值为2，求a 的值．19．4月23人是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书谜”，低于60分钟的学生称为“非读书谜”（1）根据已知条件完成下面2×2的列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书谜”与3次，记被抽取的3人中的“读书谜”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E（X）和方程D（X）附：K2=n=a+b+c+d20．已知椭圆C的两个焦点是（0，﹣）和（0，），并且经过点，抛物线的顶点E在坐标原点，焦点恰好是椭圆C的右顶点F．（Ⅰ）求椭圆C和抛物线E的标准方程；（Ⅱ）过点F作两条斜率都存在且互相垂直的直线l1、l2，l1交抛物线E于点A、B，l2交抛物线E于点G、H，求的最小值．21．设函数f（x）=x﹣﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的极值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知点C在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于点A，CD是∠ACB的平分线，交AE于点F，交AB于点D．（Ⅰ）求证：CE•AB=AE•AC（Ⅱ）若AD：DB=1：2，求证：CF=DF．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C：（t为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为（p∈R），l与C相交于A，B两点（1）写出直线l的参数方程和曲线C的普通方程（2）设线段AB的中点为M，求点M的极坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）当a=3时，解不等式f（x）≤4；（Ⅱ）若f（x）=|x﹣1+a|，求x的取值范围．2016年甘肃省白银十中高考数学押题卷（理科）（一）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知i是虚数单位，若（﹣1﹣2i）z=1﹣i则在复平面上所代表的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．【解答】解：∵（﹣1﹣2i）z=1﹣i，∴z===，则=在复平面上所代表的点在第四象限．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义，属于基础题．2．若命题“∃x0∈R，使得x02+mx0+2m﹣3＜0”为假命题，则实数m的取值范围是（）A．[2，6]B．[﹣6，﹣2]C．（2，6）D．（﹣6，﹣2）【分析】先写出原命题的否定，再根据原命题为假，其否定一定为真，利用不等式对应的是二次函数，结合二次函数的图象与性质建立不等关系，即可求出实数m的取值范围．【解答】解：命题“∃x0∈R，使得”的否定为：“∀x0∈R，都有”，由于命题“∃x0∈R，使得”为假命题，则其否定为：“∀x0∈R，都有”，为真命题，∴△=m2﹣4（2m﹣3）≤0，解得2≤m≤6．则实数m的取值范围是[2，6]．故选A．【点评】本题考查二次不等式恒成立，解决此类问题要结合二次函数的图象与性质处理．3．已知，且，则向量与向量的夹角是（）A．B．C．D．【分析】由，且，知==1﹣1×=0，由此能求出向量与向量的夹角．【解答】解：∵，∴==0，∵，∴，==1×=，∴1﹣=0，∴cos＜＞=，∴．故选A．【点评】本题考查数量积判断两个平面向量的垂直关系的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．4．已知θ为第二象限角，sinθ，cosθ是关于x的方程2x2+（x+m=0（m∈R）的两根，则sinθ﹣cosθ的等于（）A．B．C．D．﹣【分析】利用根与系数的关系表示出sinθ+cosθ=，sinθcosθ=，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系整理求出m的值，再利用完全平方公式求出sinθ﹣cosθ的值即可．【解答】解：∵sinθ，cosθ是关于x的方程2x2+（x+m=0（m∈R）的两根，∴sinθ+cosθ=，sinθcosθ=，可得（sinθ+cosθ）2=1+2sinθcosθ，即=1+m，即m=﹣，∵θ为第二象限角，∴sinθ＞0，cosθ＜0，即sinθ﹣cosθ＞0，∵（sinθ﹣cosθ）2=（sinθ+cosθ）2﹣4sinθcosθ=﹣2m=1﹣+=，∴sinθ﹣cosθ==．故选：A．【点评】此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．5．直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于（）A．B．2C．D．【分析】先确定直线的方程，再求出积分区间，确定被积函数，由此利用定积分可求直线l 与抛物线围成的封闭图形面积．【解答】解：抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1），∵直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直，∴直线l的方程为y=1，由，可得交点的横坐标分别为﹣2，2．∴直线l与抛物线围成的封闭图形面积为=（x﹣）|=．故选：C．【点评】本题考查封闭图形的面积，考查直线方程，解题的关键是确定直线的方程，求出积分区间，确定被积函数．6．已知实数x、y满足约束条件，若=（x，y），=（3，﹣1），设z表示向量在方向上的投影，则z的取值范围是（）A．[﹣，6]B．[﹣1，6]C．[﹣，]D．[﹣，]【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用向量投影的定义计算z的表达式，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：∵=（x，y），=（3，﹣1），z表示向量在方向上的投影，∴z==，即y=3x﹣，作出不等式组对应的平面区域如图：平移直线y=3x﹣，当y=3x﹣，经过点C时直线y=3x﹣的截距最大，此时z最小，当y=3x﹣经过点B（2，0）时，直线的截距最小，此时z最大．由，得，即C（，3），此时最小值z=，此时最大值z=，故z的取值范围是[﹣，]，故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．7．执行如图所示的程序框图，输出的有序实数对为（）A．（8，2）B．（8，3）C．（16，3）D．（16，4）【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的x，y的值，当y=4时，不满足条件y≤3，退出循环，输出有序实数对为（16，4），从而得解．【解答】解：模拟执行程序，可得x=1，y=0满足条件y≤3，x=2，y=1满足条件y≤3，x=4，y=2满足条件y≤3，x=8，y=3满足条件y≤3，x=16，y=4不满足条件y≤3，退出循环，输出有序实数对为（16，4）．故选：D．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的x，y的值是解题的关键，属于基本知识的考查．8．等差数列{a n}中的a1、a4027是函数f（x）=x3﹣4x2+6x﹣1的极值点，则log2a2014=（）A．2B．3C．4D．5【分析】求函数的导数，由题意可得a1、a4027是对应方程的实根，由韦达定理可得a1+a4027的值，然后由等差数列的性质可得a2014的值，代入化简即可．【解答】解：求导数可得f′（x）=x2﹣8x+6，由题意可得a1、a4027是方程x2﹣8x+6=0的实根，由韦达定理可得a1+a4027=8，由等差数列的性质可得2a2014=a1+a4027=8，解得a2014=4，∴log2a2014=log24=2故选A【点评】本题考查等差数列的性质和韦达定理，属基础题．9．在（x﹣）5的展开式中x3的系数等于﹣5，则该展开式项的系数中最大值为（）A．5B．10C．15D．20【分析】在（x﹣）5的展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求得r的值，可得x3的系数．再根据x3的系数等于﹣5，求得r的值，可得该展开式项的系数中最大值．【解答】解：由于（x﹣）5的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣a）r•x5﹣2r，令5﹣2r=3，求得r=1，故x3的系数等于=﹣5，a=1．则该展开式项的系数中最大值为=10，故选：B．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．10．某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为（）A．B．8﹣2πC．πD．8﹣π【分析】根据三视图可判断正方体的内部挖空了一个圆锥，该几何体的体积为23﹣×π×12×2运用体积计算即可．【解答】解：∵几何体的三视图可得出：三个正方形的边长均为2，∴正方体的内部挖空了一个圆锥，∴该几何体的体积为23﹣×π×12×2=8，故选：D【点评】本题考查了空间几何体的三视图，运用求解几何体的体积问题，关键是求解几何体的有关的线段长度．11．若直线ax+by﹣1=0（a＞0，b＞0）过曲线y=1+sinπx（0＜x＜2）的对称中心，则+的最小值为（）A．+1B．4C．3+2D．6【分析】由已知利用对称中心的意义可得：当x=1时得到曲线的对称中心为（1，1），于是a+b=1．再利用“乘1法”和基本不等式即可得出．【解答】解：∵0＜x＜2，∴0＜πx＜2π，∴当x=1时，sinπx=0，可得曲线y=1+sinπx（0＜x＜2）的对称中心为（1，1）．代入直线ax+bx﹣1=0（a＞0，b＞0），可得a+b=1．∴+=（a+b）=2+=，当且仅当2a=b=时取等号．∴+的最小值为．故选：C．【点评】本题考查了对称中心的意义、“乘1法”和基本不等式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．12．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】设P（m，n ），由得到n2=2c2﹣m2①．把P（m，n ）代入椭圆得到b2m2+a2n2=a2b2②，把①代入②得到m2的解析式，由m2≥0及m2≤a2求得的范围．【解答】解：设P（m，n ），=（﹣c﹣m，﹣n）•（c﹣m，﹣n）=m2﹣c2+n2，∴m2+n2=2c2，n2=2c2﹣m2①．把P（m，n ）代入椭圆得b2m2+a2n2=a2b2②，把①代入②得m2=≥0，∴a2b2≤2a2c2，b2≤2c2，a2﹣c2≤2c2，∴≥．又m2≤a2，∴≤a2，∴≤0，故a2﹣2c2≥0，∴≤．综上，≤≤，故选：C．【点评】本题考查两个向量的数量积公式，以及椭圆的简单性质的应用，属于基础题．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上）13．在△ABC中，D为AC的中点，=3，BD与AE交于点F，若=λ，则实数λ的值为．【分析】作EG∥AC交BD于G，根据平行线分线段成比例定理得到=，问题得以解决．【解答】解：作EG∥AC交BD于G，∵=，∴=，∵D为AC的中点，∴=，∴=，∴=．∴实数λ的值为，故答案为：．【点评】本题考查平面向量的线性运算以及平行线分线段成比例定理，属于基础题．14．已知袋中装有标号为1，2，3的三个小球，从中任取一个小球（取后放回），连取三次，则取到的小球的最大标号为3的概率为．【分析】先求出从中任取一个小球（取后放回），连取三次，取法为3×3×3=27种，其中最大编号不是3的有2×2×2=8，种根据概率公式计算即可【解答】解：连取3次，共有取法3×3×3=27种，其中最大编号不是3的有2×2×2=8种（此时每次只能取1，2号），所以最大标号为3的概率，故答案为：【点评】本题旨在考查计数原理、古典概型及其公式运用等知识．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3acosA=bcosC+ccosB，若a=3，则△ABC的面积的最大值为．【分析】利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得3sinAcosA=sinA，结合sinA≠0可求，进而可求sinA，又由余弦定理可得，结合b2+c2≥2bc，解得，利用三角形面积公式即可得解．【解答】解：在△ABC中，∵3acosA=bcosC+ccosB，∴利用正弦定理可得：3sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA，即3sinAcosA=sinA，又∵A∈（0，π），sinA≠0，∴；∴由sinA=，可得：，∵由a2=b2+c2﹣2bccosA，得，，而b2+c2≥2bc，∴解得：，∴△ABC的面积，（时，取等号），∴．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，基本不等式，两角和的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．16．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交双曲线的右支于A，B两点，若△ABF1是以A为直角顶点的等腰三角形，e为双曲线的离心率，则e2=5﹣2．【分析】可设|F1F2|=2c，|AF1|=m，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=m，再由双曲线的定义，可得m，再由勾股定理，可得a，c的方程，运用离心率公式计算即可得到．【解答】解：设|AF2|=m，由|AF1|﹣|AF2|=2a，∴|AF1|=2a+|AF2|=2a+m，又|AF1|=|AB|=|AF2|+|BF2|=m+|BF2|，∴|BF2|=2a，又|BF1|﹣|BF2|=2a，∴|BF1|=4a，依题意，即，，在Rt△F1AF2中，即，即，∴e2=．故答案为：5﹣2．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查勾股定理的运用，灵活运用双曲线的定义是解题的关键．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知等差数列{a n}的首项为1，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记T n为数列的前n项和，是否存在正整数n，使得T n＜？若存在，求n的最大值；若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，利用S1，S2，S4成等比数列，求出公差，然后求出通项公式．（Ⅱ）利用a n=1时，T n=n≥1，此时不存在正整数n，使得；当a n=2n﹣1时，利用裂项法求出T n，通过，解得n＜1007．得到n的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，依题意，1，2+d，4+6d成等比数列，所以（2+d）2=4+6d，即d2﹣2d=0，所以d=0或d=2．因此，当d=0时，a n=1；当d=2时，a n=2n﹣1．…（Ⅱ）当a n=1时，T n=n≥1，此时不存在正整数n，使得；当a n=2n﹣1时，==．由，得，解得n＜1007．故n的最大值为1006．…【点评】本题考查数列求和，数列与不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，M 为PD的中点，∠ADC=45°，AD=AC=1，PO=a（1）证明：DA⊥平面PAC；（2）如果二面角M﹣AC﹣D的正切值为2，求a的值．【分析】（1）根据已知条件即知DA⊥AC，而PO⊥平面ABCD，从而DA⊥PO，从而由线面垂直的判定定理得到DA⊥平面PAC；（2）分别取DO，AO中点为G，H，并连接MG，GH，MH，从而可说明∠MHG即为二面角M﹣AC﹣D的平面角，根据该平面角的正切值为2即可求出a．【解答】解：（1）证明：由题意，∠ADC=45°，AD=AC=1，故∠DAC=90°；即DA⊥AC；又因PO⊥平面ABCD，DA⊂平面ABCD；所以，DA⊥PO，PO∩AC=O；∴DA⊥平面PAC；（2）如图，连结DO，取DO中点G，连接MG，∵M为PD中点，∴MG∥PO；∴MG⊥底面ABCD，∴MG⊥AC；同样取AO中点H，连接GH，则GH⊥AC，连接MH；则AC⊥MG，AC⊥GH，MG∩GH=G；∴AC⊥平面MGH；∴∠MHG即为二面角M﹣AC﹣D的平面角；而，MG=；∴；故a=2．【点评】考查线面垂直的性质，等腰三角形两底角相等，线面垂直的判定定理，以及三角形中位线的性质，二面角平面角的定义，正切函数的定义．19．4月23人是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书谜”，低于60分钟的学生称为“非读书谜”（1）根据已知条件完成下面2×2的列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书谜”与（2）将频率视为概率，现在从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书谜”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E（X）和方程D（X）附：K2=n=a+b+c+d【分析】（）利用频率分布直方图，直接计算填写表格，然后利用个数求解，判断即可．（2）求出概率的分布列，然后利用超几何分布求解期望与方差即可．≈8.249VB8.249＞6.635，故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关…（2）视频率为概率．则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率为．由题意可知X～B（3，），P（x=i）=（i=0，1，2，3）…0 2 3．E（x）=np=，D（x）=np（1﹣p）=…【点评】本题考查频率分布直方图的应用，对立检验以及二项分布的期望与方差的求法，分布列的求法，考查计算能力．20．已知椭圆C的两个焦点是（0，﹣）和（0，），并且经过点，抛物线的顶点E在坐标原点，焦点恰好是椭圆C的右顶点F．（Ⅰ）求椭圆C和抛物线E的标准方程；（Ⅱ）过点F作两条斜率都存在且互相垂直的直线l1、l2，l1交抛物线E于点A、B，l2交抛物线E于点G、H，求的最小值．【分析】（I）设椭圆的标准方程，利用椭圆的定义，求出a，即可得出椭圆的方程，从而可得右顶点F的坐标，即可求出抛物线E的标准方程；（Ⅱ）设l1的方程：y=k（x﹣1），l2的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合向量的数量积公式，利用基本不等式，即可求的最小值．【解答】解：（I）设椭圆的标准方程为（a＞b＞0），焦距为2c，则由题意得c=，，∴a=2，b2=a2﹣c2=1，∴椭圆C的标准方程为．…∴右顶点F的坐标为（1，0）．设抛物线E的标准方程为y2=2px（p＞0），∴，∴抛物线E的标准方程为y2=4x．…（Ⅱ）设l1的方程：y=k（x﹣1），l2的方程，A（x1，y1），B（x2，y2），G （x3，y3），H（x4，y4），由消去y得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，∴x1+x2=2+，x1x2=1．由消去y得：x2﹣（4k2+2）x+1=0，∴x3+x4=4k2+2，x3x4=1，…∴==||•||+||•||=|x1+1|•|x2+1|+|x3+1|•|x4+1|=（x1x2+x1+x2+1）+（x3x4+x3+x4+1）=8+≥8+=16．当且仅当即k=±1时，有最小值16．…【点评】本题考查椭圆和抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的数量积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．设函数f（x）=x﹣﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的极值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．【分析】（Ⅰ）先求出函数的定义域，当a=3时在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；（Ⅱ）f′（x）=，令g（x）=x2﹣ax+2，其判别式△=a2﹣8，按△≤0时，△＞0时两种情况解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，△＞0时再按根与0的大小讨论，即共分三种情况进行讨论解不等式即可；【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），当a=3时，f′（x）=1+﹣=，令f′（x）=0，解得x=1或x=2，当0＜x＜1或x＞2时，f′（x）＞0，当1＜x＜2时，f′（x）＜0，所以当x=1时f（x）取得极大值f（1）=﹣1，当x=2时f（x）取得极小值f（2）=1﹣3ln2；（Ⅱ）f′（x）=1+﹣=，令g（x）=x2﹣ax+2，其判别式△=a2﹣8，①当|a|时，△≤0时，f′（x）≥0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当a＜﹣2时，△＞0时，g（x）=0的两根都小于0，所以在（0，+∞）上f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增；③当a＞2时，△＞0，g（x）=0的两根为：x1=，x2=，且都大于0，当0＜x＜x1或x＞x2时f′（x）＞0，当x1＜x＜x2时f′（x）＜0，故f（x）在（0，）和（，+∞）上递增，在（，）上递减，综上，当a时f（x）（0，+∞）上单调递增；当a＞时，f（x）在（0，）和（，+∞）上递增，在（，）上递减；【点评】本题考查利用导数研究函数的极值、函数的单调性，考查分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知点C在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于点A，CD是∠ACB的平分线，交AE于点F，交AB于点D．（Ⅰ）求证：CE•AB=AE•AC（Ⅱ）若AD：DB=1：2，求证：CF=DF．【分析】（Ⅰ）证明：△ACE∽△BCA，即可得出CE•AB=AE•AC（Ⅱ）证明△ACF∽△BCD，AF=AD，即可证明CF=DF．【解答】（Ⅰ）证明：由C在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于点A，得△ACE∽△BCA，∴，∴CE•AB=AE•AC；…（Ⅱ）证明：∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACF=∠BCD，∵AC为圆的切线，∴∠CAE=∠CBD，∴∠ACF+∠CAE=∠BCD+∠CBD，即∠AFD=∠ADF，∴AF=AD∴△ACF∽△BCD，∴=，∴CF=DF．…【点评】本题考查圆周角定理，弦切角定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C：（t为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为（p∈R），l与C相交于A，B两点（1）写出直线l的参数方程和曲线C的普通方程（2）设线段AB的中点为M，求点M的极坐标．【分析】（Ⅰ）将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程，再化为参数方程，再将曲线C的参数方程消去参数化为的普通方程；（Ⅱ）将代入y=x2﹣6化简后，由韦达定理求出中点M所对应的参数，再点M的直角坐标和极坐标．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，直线l的直角坐标方程是y=x，则直线l的参数方程为（t为参数），由得，曲线C的普通方程是y=x2﹣6；（Ⅱ）将代入y=x2﹣6得，，则△=12+4×24=108＞0，t1+t2=2，所以，即中点M所对应的参数为，所以点M的直角坐标是（，），则点M的极坐标（，）．【点评】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的转化，以及点的直角坐标、极坐标间的互化，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）当a=3时，解不等式f（x）≤4；（Ⅱ）若f（x）=|x﹣1+a|，求x的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a=3时，化简函数f（x）的解析式，画出函数f（x）的图象，画出直线y=4，数形结合求得不等式f（x）≤4的解集．（Ⅱ）由条件求得（2x﹣1）﹣（x﹣a）≤0，分类讨论求得x的范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=3时，函数f（x）=|2x﹣1|+|x﹣3|=，如图所示：由于直线y=4和函数f（x）的图象交于点（0，4）、（2，4），故不等式不等式f（x）≤4的解集为[0，2]．（Ⅱ）由f（x）=|x﹣1+a|，可得|2x﹣1|+|x﹣a|=|x﹣1+a|．由于|2x﹣1|+|x﹣a|≥|（2x﹣1）﹣（x﹣a）|=|x﹣1+a|，当且仅当（2x﹣1）•（x﹣a）≤0时，取等号．故有（2x﹣1）﹣（x﹣a）≤0．当a=时，可得x=，故x的范围为{}；当a＞时，可得≤x≤a，故x的范围为[，a]；当a＜时，可得a≤x≤，故x的范围为[a，]．【点评】本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，体现了转化、数形结合、分类讨论的数学思想，属于中档题．2016年7月20日。