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等价无穷小替换公式的使用条件
使用条件：被代换的量，在去极限的时候极限值为0。
被代换的量，作为被乘或者被除的元素时，可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。
1、被代换的量，在去极限的时候极限值为0.
2、被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。
无穷小就是以数零为极限的变量。
然而常量是变量的特殊一类，就像直线属于曲线的一种。
确切地说，当自变量x无限接近某个值x0（x0可以是0、∞、或是别的什么数）时，函数值f（x）与零无限接近，即f（x）=0，则称f（x）为当x→x0时的无穷小量。
等价无穷小是无穷小的一种。
在同一点上，这两个无穷小之比的极限为1，称这两个无穷小是等价的。
等价无穷小也是同阶无穷小。
从另一方面来说，等价无穷小也可以看成是泰勒公式在零点展开到一阶的泰勒展开公式。
差函数的等价无穷小代换当x→0时，sinx~x；tanx~x；arcsinx~x；arctanx~x；1-cosx~(1/2)*（x^2）；（a^x）-1~x*lna (（a^x-1)/x~lna)；（e^x）-1~x；ln(1+x)~x；(1+bx)^a-1~abx；loga(1+x)~x/lna。
首先来看看什么是无穷小：无穷小就是以数零为音速的变量。
确切地说，当自变量x无限接近某个值x0(x0可以是0、∞、或是别的什么数)时，函数值f(x)与零无限接近，即f(x)=0(或f(x0)=0)，则称f(x)为当x→x0时的无穷小量。
比如，f(x)=(x－1)2就是当x→1时的无穷小量，f(n)=1/n就是当n→∞时的无穷小量，f(x)=sinx就是当x→0时的无穷小量。
特别必须表示的就是，切勿把不大的数与无穷小量混为一谈。
这里值得一提的是，无穷小是可以比较的：假设a、b都就是lim(x→x0)时的无穷小，如果lim b/a=0，就说b是比a高阶的无穷小，记作b=o（a）如果lim b/a=∞，就是说b就是比a低阶的无穷小。
比如b=1/x^2， a=1/x。
x-\ue无穷时，通俗的说，b时刻都比a更快地趋于0，所以称做是b高阶。
假如有c=1/x^10,那么c比a b都要高阶，因为c更快地趋于0了。
如果lim b/a^n=常数c≠0（k\ue0），就说道b就是关于a的n阶的无穷小， b和a^n就是同阶无穷小。
下面来介绍等价无穷小：从无穷小的比较里可以晓得，如果lim b/a^n=常数，就说道b就是a的n阶的无穷小，b和a^n就是同阶无穷小。
特定地，如果这个常数就是1，且n=1，即lim b/a=1，则表示a和b就是等价无穷小的关系，记作a～b等价无穷小在求极限时有重要应用，我们有如下定理：假设lim a～a'、b～b'则：lim a/b=lim a'/b'现在我们建议这个音速lim(x→0) sin(x)/(x+3)根据上述定理当x→0时 sin(x)～x (重要极限一) x+3～x+3 ，那么lim(x→0)sin(x)/(x+3)=lim(x→0) x/(x+3)=1等价无穷小就是无穷小之间的一种关系，所指的就是：在同一自变量的趋向过程中，若两个无穷小之比的音速为1，则表示这两个无穷小就是等价的。
关于e的等价无穷小替换公式
等价无穷小替换公式如下:
以上各式可通过泰勒展开式推导出来。
等价无穷小是无穷小的一种，也是同阶无穷小。
从另一方面来说，等价无穷小也可以看成是泰勒公式在零点展开到一阶的泰勒展开公式。
扩展资料:
求极限时，使用等价无穷小的条件：
1. 被代换的量，在取极限的时候极限值为0；
2. 被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以，加减时可以整体代换，不一定能随意单独代换或分别代换。
常用等价无穷小
常用等价无穷小替换规定：可用于乘、除。
加、减在一定情况下仍然可用，下文将给出加、减等价代换的公式
● 当x →0时 乘除
1. Sinx=x 推广 ：sin 狗=狗
2. arcsinx=x arcsin 狗=狗
3. tanx=x tan 狗=狗
4. arctanx=x arctan 狗=狗
5. ln （1+x ）=x ln(1+狗)=狗
6. e x −1=x e 狗−1=狗
7. （1+x ）a -1=ax （1+x ）a
-1=a 狗
8. 1-cosx=12x 2 1-cos 狗=12狗2 注：“狗”代表任意数，例如：x+3、x n 等等
● 当x →0时 加减
1. X+sinx=2x x+arcsinx=2x
2. x-sinx=16x 3 x-arcsinx =-16
x 3 3. 1-cos =12x 2
注：1、之所以能如此代换，是因为在泰勒展开式中，有以下的展开式。
2、在极限的计算中，要抓大头（即极限趋向于0速度越快的一项，可以忽略不计），所以计算+法时，省略去x 后的高阶无穷小；--法计算时，由于x 项被减去，所以得到x 3。
这也正是书本上描述，加减法要慎重使用的原因
当x 0时
sinx=x - 1
x3+0(x3)0(x3)表示佩亚诺余项
6
Arcsinx= x+1
x3+0(x3)
6
Tanx= x+1
x3+0(x3)
3
Arctanx= x-1
x3+0(x3)
3
x2+0(x2)
Cosx= 1-1
2。
高数等价无穷小替换条件高数中，等价无穷小替换条件是指在一些极限计算中，我们可以将一个无穷小量替换成另一个等价无穷小量，而不改变极限的结果。
这个思想在极限计算中具有重要的应用价值。
那么，何时可以使用等价无穷小替换呢？下面将一步一步回答这个问题。
首先，我们需要明确等价无穷小的定义。
在数学中，我们说函数f(x) 在x=a 处是无穷小量，是指当x 接近a 时，f(x) 的值也趋近于零。
而两个函数f(x) 和g(x) 在x=a 处是等价无穷小量，是指当x 接近a 时，f(x)/g(x) 的极限为1。
也就是说，两个函数的值在极限意义下极为接近。
那么，何时可以使用等价无穷小替换呢？主要有以下几种情况：情况一：函数间的代换在计算极限的过程中，我们可能遇到一些复杂的函数形式，难以直接计算。
这时，我们可以找到与其等价的更简单的函数来代替。
例如，当x 接近零时，可以将sin(x) 等价替换成x，cos(x) 等价替换成1，e^x 等价替换成1+x，ln(1+x) 等价替换成x，等等。
这样，原本复杂的函数就变得更简单，方便我们进行极限计算。
情况二：无穷大量的比较在极限计算中，经常会出现两个无穷大量（也称为无穷大函数）相除的情况，如lim[x→∞] (x^2+3x)/(2x^2-5x)。
此时，我们需要比较两个无穷大量的增长速度，以判断其大小关系。
常见的无穷大量的增长速度由小到大排列如下：常数< 对数函数< 幂函数< 指数函数。
根据这个顺序，我们可以确定两个无穷大量的大小关系，并进行等价无穷小替换。
例如，对于上述的极限计算，x^2 和2x^2 这两个无穷大量可等价替换，因为它们具有相同的增长速度，因而可以用1/2 来代替。
情况三：无穷小量的忽略在一些极限计算中，出现了一些含有无穷小量的表达式。
根据等价无穷小替换条件，当无穷小量相加或相乘时，我们可以忽略掉其中的无穷小量。
这是因为在极限计算中，我们关注的是函数在某一点的极限行为，而无穷小量相对于其他量来说已经趋近于零，因此在计算极限时可以忽略掉。
等价无穷小的幂指型代换证明要证明等价无穷小的幂指型代换，我们首先需要明确等价无穷小的定义。
设函数f(x)和g(x)在x→a时有极限lim(x→a)f(x)=0，lim(x→a)g(x)=0。
如果对于任意正数ε，存在另一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)|<ε|g(x)|，那么我们称f(x)是g(x)的等价无穷小，记作f(x)∼g(x) (x→a)。
现在我们来证明等价无穷小的幂指型代换。
设f(x)∼g(x)(x→a)，且lim(x→a)f(x)=0，lim(x→a)g(x)=0。
我们要证明对于任意正整数n，有lim(x→a)[1+f(x)]^{g(x)}=e^{lim(x→a)f(x)}。
首先，我们知道e^x的泰勒展开式为e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...。
因此，当x趋近于0时，e^x趋近于1。
所以，当x→a时，e^{f(x)}趋近于e^{lim(x→a)f(x)}=e^0=1。
接下来，我们考虑(1+f(x))^{g(x)}。
我们可以将其写为e^{g(x)ln(1+f(x))}。
由于f(x)∼g(x) (x→a)，我们有ln(1+f(x))∼f(x)∼g(x) (x→a)。
因此，当x→a时，g(x)ln(1+f(x))趋近于g(x)f(x)。
根据等价无穷小的性质，我们知道lim(x→a)g(x)f(x)=lim(x→a)g(x)·lim(x→a)f(x)=0。
因此，根据极限的乘法法则，lim(x→a)e^{g(x)ln(1+f(x))}=e^{lim(x→a)g(x)·lim(x→a)f(x) }=e^0=1。
综上所述，我们得到了lim(x→a)[1+f(x)]^{g(x)}=e^{lim(x→a)f(x)}。
因此，我们证明了等价无穷小的幂指型代换。
加减法条件下等价无穷小量代换的要求
1. 一定要注意只有在加减法中才能使用等价无穷小量代换呀！比如当 x 趋近于 0 时，sinx 和 x 就是等价无穷小，那在计算极限的时候可别用错地
方啦！
2. 代换的时候千万要小心条件呀，可不能乱代！就像走路得看清路一样，不然会摔倒哦！比如计算[(tanx-sinx)/x³]在 x 趋近于 0 时的极限，就不能
随便代换哦！
3. 要准确把握等价无穷小量代换的时机啊！这就好比投篮，得找好那个最佳时机出手呀！像求[(1-cosx)/x²]在 x 趋近于 0 时的极限，找准时机代换才能得出正确结果呢！
4. 可别小看了这些要求，不注意的话会出大错呀！好比建房子，根基没打牢怎么行呢！比如计算[(e^x-1-x)/x²]在 x 趋近于 0 时的极限，得严格按
要求来代换！
5. 一定要清晰地记住这些要点呀，不然怎么能运用好呢！这和记路线一样，记错了可就走不到目的地啦！像求[(ln(1+x)-x)/x²]在 x 趋近于 0 时的
极限，就得靠清楚的记忆来操作呢！
6. 等价无穷小量代换的要求真的很关键啊，能决定你的计算对不对呢！这不就像比赛的规则吗，不遵守怎么能赢呢！比如计算[(x-sinx)/x³]在 x 趋
近于 0 时的极限，得严格遵守要求来呀！
7. 真的要好好重视这些要求呀，可不能马虎对待！就像对待自己最喜欢的东西一样要用心！比如在计算[(1+x)^a-1]/x 在 x 趋近于 0 时的极限，按要求代换就不会错啦！
我的观点结论就是：在加减法条件下进行等价无穷小量代换，一定要严格遵守这些要求，谨慎仔细地操作，这样才能得出正确的结果呀！。
常用无穷小等价代换公式(二)常用无穷小等价代换公式本文将介绍一些常用的无穷小等价代换公式，并举例解释说明其应用。
具体内容如下：1. lim x→0sinxx=1这是一个非常经典的等价代换公式，它表示当x趋近于0时，sinxx 的极限值等于1。
这个公式在计算一些极限问题时非常有用。
例子：lim x→0sin3x 4x我们可以使用上述公式将分子和分母同时除以3，得到：lim x→0sin3x3x⋅14然后，利用等价代换公式将sin3x3x替换为1，即可得到最终的极限值：lim x→0sin3x4x=142. lim x→∞(1+1x )x=e这个公式表示当x趋近于无穷大时，(1+1x )x的极限值等于数学常数e。
这个公式非常有用，在概率和统计等领域中经常会用到。
例子：lim x→∞(1+3x)x上面的极限可以通过使用等价代换公式来求解，因为形式与上述公式类似，只需将分数部分的系数变为1即可：lim x→∞(1+3x)x=e3. lim x→0e x−1x=1这个公式表示当x趋近于0时，e x−1x的极限值等于1。
这个公式在微积分中经常会用到，特别是在求导和积分中。
例子：lim x→0e4x−1x类似地，我们可以使用等价代换公式将分子和分母同时除以4，得到：lim x→0e4x−14x⋅14然后，利用等价代换公式将e 4x−14x替换为1，即可得到最终的极限值：lim x→0e4x−1x=1以上是一些常用的无穷小等价代换公式及其应用的例子。
这些公式在数学和科学领域中非常有用，熟练掌握它们能够帮助我们更轻松地解决复杂的极限问题。
关于等价无穷小代换关于等价无穷小代换总是有同学为等价无穷小代换什么时候可以使用，什么时候不能使用而困惑，在这里做一些解释。
1. 做推理做推理，，化简化简，，计算等等都要有依据。
这一点其实不应该多说，但是很多同学还没有这样的思维习惯。
总是在自己“发明”规则，或者看着怎么方便怎么来。
如果这样的习惯不改变，就算记住了很多东西，和没有学数学比起来，并没有太大的进步。
2. “等价”和“相等”是两回事。
如果两个变量相等，那么可以随意相互替换，但是等价的无穷小，可能永远都不相等，不能随意替换，能替换是因为有依据。
不能因为sin ~x x 而在做题的时候随便换掉，这样会得到很多荒唐的结果。
3. 等价无穷小代换的依据是什么。
我们有这样一个定理，前提：~,~ααββ′′，而且极限lim ()f x αβ′′存在，结论：lim ()lim ()f x f x ααββ′=′。
证明的过程非常简单：lim ()lim ()lim lim f x f x αααβββαβ′′=′′。
使用极限的运算法则得到的。
lim1αα=′，lim 1ββ′=是因为它们是等价无穷小。
4. 现在你应该知道什么时候可以代换。
如果对某个问题，这个定理的推理能行得通，就可以代换。
从形式上面看，就是你要代换的那个无穷小，和表达式中其它部分之间的关系，只有乘和除。
5. 对一些问题的解释。
例如00011lim lim lim ax bx ax bx x x x e e e e x x x→→→−−−=−这一步是使用初等变换和极限的运算法则。
然后两个极限各自使用等价无穷小代换。
