【数学】2010届高三数学一轮复习课件第：等差数列

∴n－n 1＝43.∴n＝4，an＝11.
∴数列的中间项为 11，项数为 7.
【变式训练】 3.在等差数列{an}中，Sn 表示其 前 n 项和． (1)若 a3＋a17＝10，求 S19 的值； (2)若 S4＝124，Sn－4＝54，Sn＝210，求项数 n； (3)若 S4＝1，S8＝4，求 a17＋a18＋a19＋a20 的值．
解析： (1)S19＝a1＋a219×19＝a3＋a217×19
＝95.
(2)SS4n＝－aS1n＋－4＝a2＋an＋a3＋ana－41＝＋1a2n－42，＋an－3＝156，
由两式相加得 a1＋an＝70. ∴Sn＝a1＋a2n×n＝70×2 n＝210. ∴n＝6. (3)S4＝1，S8－S4＝3，S12－S8，S16－S12，S20 －S16 成等差数列，首项为 1，公差为 2，
解得ad1＝＝21. 2，
所以 an＝2n＋10.
(2)由 Sn＝na1＋nn2－1d，Sn＝242， 得 12n＋nn2－1×2＝242.解得 n＝11 或 n＝ －22(舍去)．
等差数列的性质
1．等差数列的单调性 等差数列公差为 d，若 d＞0，则数列递增； 若 d＜0，则数列递减；若 d＝0，则数列为常数 列． 2．等差数列的最值 若{an}是等差数列，求前 n 项和的最值时， (1)若 a1＞0，d＜0，且满足aann≥ ＋1≤0，0， 前 n 项和 Sn 最大；
等差数列的判断与证明
判断或证明数列{an}为等差数列，常见的方法 有以下几种： (1)利用定义：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)； (2)利用等差中项：2an＋1＝an＋an＋2；
(3)利用通项公式：an＝dn＋c(d、c 为常数)，d 为公差．当 d≠0 时，通项公式 an 是关于 n 的 一次函数；d＝0 时为常函数，也是等差数列； (4)利用前 n 项和公式：Sn＝an2＋bn(a、b 为常 数)．若一个数列的前 n 项和为关于 n 的二次

等差数列的通项公式 及性质的综合应用
【例3】 数列 {an} 中， a1 ＝ 8 ， a4 ＝ 2 ，且满足 an ＋ 2
－2an＋1＋an＝0(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式； (2)设Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Sn.
【解析】 1因为an＋2－2an＋1＋an＝0， 所以数列an 是等差数列，设其公差为d . 由a4＝a1＋(4－1) d，得d＝－2. ＝－2n＋10(n N* )． an 2n 10 0 ，得4 n 5. 2 由 an 1 2n 8 0 所以，当n 5时，an 0； 当n 6时，an 0. 所以数列an 的通项公式为an＝a1＋(n－1) d
an 2 设cn＝ n ，求证： c由Sn＋1＝4an＋2，得Sn＝4an－1
＋2 (n≥2)，
两式相减得an＋1＝4an－4an－1， 即an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2)， 所以bn＝2bn－1(n≥2)． 又由S2＝a1＋a2＝4a1＋2，解得a2＝5.
将等差数列问题化归为基本量 的关系来解决是通性通法．一般地，
5个基本量a1、an、d、n、Sn中，知
道其中三个，可以求另外两个，即 “知三求二”．
【变式练习1】
已知等差数列{an}中，a3a7＝－16，
a4＋a6＝0，求{an}的前n项和Sn.
【解析】设数列an 的公差为d， (a1 2d )(a1 6d ) 16 则 ， a1 3d a1 5d 0 a12 8da1 12d 2 16 即 ， a1 4d a1 8 a1 8 解得 或 . d 2 d 2 因此，S n＝－8n＋n(n－1)＝n(n－9)或 S n＝8n－n(n－1)＝－n(n－9)．

n≤10 ， 即 共 有
10
个数．所以
S10
＝
10（1＋19） 2
＝
100或S10＝10×1＋1பைடு நூலகம்× 2 9×2＝100，故选 C.
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(必修 5 P46B 组 T2 改编)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S10＝20，S20＝50，则 S30＝________． 解析：根据等差数列性质 S10，S20－S10，S30－S20 成等差数列， 所以 2(S20－S10)＝S10＋S30－S20，所以 S30＝3(S20－S10)＝3(50 －20)＝90. 答案：90
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考点四 等差数列的单调性与最值
(1)下面是关于公差 d＞0 的等差数列{an}的四个命题：p1： 数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列ann 是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列．其中真命题为
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当 n≥2 时，由22SSnn＝－1＝a2na＋n2－a1n＋，an－1， 得 2an＝a2n＋an－a2n－1－an－1. 即(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0， 因为 an＋an－1>0， 所以 an－an－1＝1(n≥2)， 所以数列{an}是等差数列．
ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为 d，则{a2n}也是等差数列，公差 为__2_d_．
(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
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5．等差数列的前 n 项和公式 设等差数列{an}的公差为 d，其前 n 项和 Sn＝n（a12＋an）或 Sn＝____n_a_1＋ __n__（__n_2－__1_）__d________．

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解：设三个数为 a，公差为 d，则这 5 个数依次为 a-2d，a-d ,a ,a+d ,a+2d依题意： 新疆 源头学子小屋 /wxc/
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⑴求点 Pn 的坐标；
⑵设抛物线列 c1, c2 , c3 ,, cn ,中的每一条的对称轴都垂直于 x 轴，第 n
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⑶ 设 S x | x 2xn , n N, n 1,T y | y 4 yn , n 1 ， 等 差 数 列
an 的 任 一 项 an S T ， 其 中 a1 是 S T 中 的 最 大 数 ，
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解：设数列｛an｝的公差为 d，首项为 a1， 由已知得 5a1 + 10d = -5, 10a1 + 45d = 15 解得 a1=-3 ，d=1
∴Sn =
n(-3)+
n(n 1) 2
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由此得
a6＞－a7＞0 因为 新疆 源头学子小屋 /wxc/
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(a-2d)2 +(a-d)2 + a2 + (a+d)2 + (a+2d)2 = 85 9

a+c 2
,a,b,c成等差数列是2b=a+c的 充要条件 .
a1 + a n S n a1 + a 2 + …+ a n d 变式： = = = a1 + (n - 1)· . 2 n n 2
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5.等差数列{an}的一些常见性质 （1）若m+n=p+q（m，n，p，q∈N*）, 则 am+an=ap+aq .
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（1）等差数列{an}中, a15=33,a45=153,则d=
.
.
（2）等差数列{an}中，a1+a2+a3+a4+a5=20，则a3= （3）若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为
146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为 （ ） A.13 B.12 C.11 D.10
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考点2
等差数列的性质及应用
(1) ［2010年高考大纲全国卷Ⅱ］如果等差数列{an}
中,a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7= ( ) A.14 B.21 C.28 D.35 (2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36, 则a7+a8+a9=( ) A.63 B.45 C.36 D.27
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1.等差数列的概念 一般地，如果一个数列从 第2项起，每一项与前一 项的差都等于同一个常数 差数列.它具有如下特征：
，那么这个数列就叫做等
an+1-an=d（常数）或者an+2-an+1=an+1-an(n∈N*).

(2)已知 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，若 a1＝－2 018，2S20011
S2 020＝ 2 020. 解析 由等差数列的性质可得Snn也为等差数列. 设其公差为 d，则2S2001199 －2S2001133 ＝6d＝6，∴d＝1. 故2S2002200 ＝S11＋2 019d＝－2 018＋2 019＝1，
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5.若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝ 8 和最大. 解析 因为数列{an}是等差数列，且a7＋a8＋a9＝3a8>0， 所以a8>0. 又a7＋a10＝a8＋a9<0， 所以a9<0. 故当n＝8时，其前n项和最大.
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6.一物体从1 960 m的高空降落，如果第1秒降落4.90 m，以 多降落9.80 m，那么经过 20 秒落到地面. 解析 设物体经过t秒降落到地面. 物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公 数列. 所以 4.90t＋12t(t－1)×9.80＝1 960， 即4.90t2＝1 960，解得t＝20.
∴S2 020＝1×2 020＝2 020.
思维升华 等差数列的性质 (1)项的性质：在等差数列{an}中，m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈ ＝ap＋aq. (2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则 ①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)； ②S2n－1＝(2n－1)an.
知识梳理
ZHISHISHULI
1.等差数列的定义 一般地，如果一个数列 从第2项起，每一项与它的前一项的差 那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 公 表示. 2.等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是 3.等差中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列 的 等差中项 .

一个小题或在解答题中出现，在解题时，应 熟练掌握通项公式与前n项和公式，规范答题 避免不必要的失分．
• (1)(2012·辽宁高考)在等差数列{an}中， 已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝ ()
•A．58 D．176
B．88
C．143
•(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知前6 项和为36，最后6项的和为180，Sn＝324(n ＞6)，则a9＋a10＝
【尝试解答】 (1)S11＝11（a12＋a11）＝11（a42＋a8）＝ 88.
法二 同法一得d＝－53.
又由S10＝S15，得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0. ∴5a13＝0，即a13＝0. ∴当n＝12或13时，Sn有最大值， 且最大值为S12＝S13＝130.
求等差数列前n项和的最值常用的方法
(1)先求an，再利用
an≥0
aห้องสมุดไป่ตู้＋1≤0
或
an≤0
an＋1≥
0
求出其正负转折
•【思路点拨】 (1)由S2＝a3求{an}的公差d， 进而代入求a2与Sn； •(2)易求d＝－2，从而可求an；求出Sn后，根 据方程Sk＝－35，求k值．
【尝试解答】 (1)由 S2＝a3，得 a1＋a2＝a3，
∴d＝a3－a2＝a1＝12，
因此 a2＝a1＋d＝1，Sn＝n42＋n4.
【答案】
【解析】 设自上第一节竹子容量为a1，则第9节 容量为a9，且数列{an}为等差数列．
则aa71＋＋aa82＋＋aa93＝＋3aa4＝1＋42a11＋d＝6d4＝. 3，
解之得a1＝1232，d＝676，故a5＝a1＋4d＝6676.
【答案】
67 66

第十页，共四十三页。
考点(kǎo di等ǎn)差1数列的基本(jīběn)运算 例 1：(1)(2017 年新课标Ⅰ)记 Sn为等差数列(děnɡ chā shù liè){an}的前n项 和.若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为( )
第十一页，共四十三页。
解析：方法一，设公差为 d，a4＋a5＝a1＋3d＋a1＋4d＝2a1 ＋7d＝列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝15，且满足2ann－＋13＝
2na－n 5＋1，已知 n，m∈N*，n>m，则 Sn－Sm 的最小值为(
第2讲 等差数列(děnɡ chā shù liè)
第一页，共四十三页。
1.理解(lǐjiě)等差数列的概念.
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解
决相应的问题.
4.了解等差数列与一次函数的关系.
第二页，共四十三页。
1.等差数列的定义
7.等差数列的最值
在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若
a1<0，d>0，则Sn存在(cúnzài)最_小_____值.
第六页，共四十三页。
1.(2015 年重庆(zhònɡ qìnɡ))在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6 ＝( B )
A.－1
第七页，共四十三页。
第十六页，共四十三页。
考点(kǎo diǎ等n) 差2 数列的基本性质(xìngzhì)及应用 例2：(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝1，S30＝5，则S40 ＝( ) A. 思路点拨：思路1，设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，根据 (gēnjù)题意列方程组求得a1，d，进而可用等差数列前n项和公式求S40； 思路2，设{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn，由题意列出方程组求得A， B，从而得Sn，进而得S40；

B.a1+a9=a3+a6,b1+b9=b3+b6 C.a1+a9=a4+a6,b1· b9=b4· b6 D.a1+a9=2a5,b1· b9=2b5 当m+n=p+q时，等差数列中有 am+an=ap+aq,等比数列中有bm· bn=bp· bq.
2. 已知等比数列 {an} 中，有 a3a11=4a7 ， 数列 {bn} 是等差数列 , 且 b7=a7, 则 b5+b9 等于（ C ） A.2 B.4 C.8 D.16
lg a59 = lg b59
=
lg a5 lg b5
9 logb5a5= 19 =logb5a5
.
题型二 部分“和”“积”与整体 性质 例2 (1)等差数列{an}中,a9+a10=a,a19+a20=b,
求a99+a100. (2)在等比数列{an}中,若a1· a2· a3· a4=1, a13· a14· a15· a16=8,求a41· a42· a43· a44.
(4)当q≠１时,Sn=
1 q q n+ 1 q
1
=aqn+b,这
里 a+b=0 ，但 a≠0 ， b≠0 ，这是等比数列前 n 项和公式的一个特征，据此很容易根据Sn判 断数列{an}是否为等比数列.
(5)Sm+n=Sm+qmSn=Sn+qnSm.
(6) 在等比数列 {an} 中，当项数为偶数 qS奇 14 2n时，S偶= ；项数为奇数2n-1 时,S奇=a1+qS偶. (7) 如果数列 {an} 既成等差数列又成等 比数列，那么数列 {an} 是非零常数数列， 故常数数列 {an} 仅是此数列既成等差数列 又成等比数列的必要非充分条件.

4.某林场去年有木材贮量2万m3，从今年开始，林场 加大了对生产的投入量，预测林场的木材贮量将以 每年20%的速度增长，每年年底砍伐1000m3 的木材 出售作为再生产的资金补贴，问：
(1)多少年后木材贮量达到翻番的目标?
(2)多少年后木材贮量达到翻两番的目标?
【解题回顾】本题第(1)小题得到1.2n=7/3后，也可通 过两边取对数求n，同理第(2)小题得1.2n＝6后，也可 两准备开办一个商店，要向银行贷款若 干，这笔贷款按复利计算(即本年利息计入下一年 的本金生息)，利率为q(0＜q＜1).据他估算，贷款 后每年可偿还A元，30年后还清. ①求贷款金额； ②若贷款后前7年暂不偿还，从第8年开始，每年偿 还A元，仍然在贷款后30年还清，试问：这样一来， 贷款金额比原贷款金额要少多少元? 【解题回顾】从数字角度看，本例是解决与数列有 关的应用问题.必须认真审题，弄清题意，解决问 题的关键在于理解复利的概念及其运算，形成用数 学的意识. 返回
【解题回顾】本题易误认为答案是187cm，即将梯 形的上、下底也算在了其中.
2.某电子管厂2001年全年生产真空电子管50万个， 计划从2002年开始每年的产量比上一年增长20%， 问从哪一年开始，该厂的真空电子管年产量超过 200万个?
【解题回顾】本题容易忽视不等式1.2n-1×50＜200.
3.某村2002年底全村共有1000人，全年工农业总产 值为840万元. (1)若从2003年起该村每年的工农业总产值较上年增 加14万元，每年人口较上年净增数相同，要使该村 人均产值年年都增长，那么该村每年人口的净增不 超过多少人? (2)若从2003年起该村每年工农业总产值较上年增长 10%，每年人口较上年净增10人，则到2012年该村 能否实现年人均产值较2002年翻一番(增加一倍)的 经济发展目标? 【解题回顾】本题(2)用到了近似估算法.