2017_2018学年高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.2对数函数2.2.2第1课时对数函数的图象及性质优化练习

第2课时对数函数的性质应用[目标] 1.会利用对数函数的单调性比较两个对数的大小或解对数不等式；2.会求与对数函数有关的函数的最大(小)值或值域；3.能综合应用对数函数的图象和性质解决有关问题．[重点] 对数函数的图象和性质的应用．[难点] 对数函数的图象和性质的综合应用.知识点一对数函数的单调性[填一填]1．对数函数的单调性：当a>1时，y＝log a x为增函数，当0<a<1时，y＝log a x为减函数．2．对于y＝log a x，若a>1，当x>1时，y>0，当0<x<1时，y<0；若0<a<1，当0<x<1时，y>0，当x>1时，y<0.[答一答]1．若a>1，且m>n，则log a m与log a n的大小关系是log a m>log a n.若0<a<1，且m>n，则log a m与log a n的大小关系是log a m<log a n.2．若a>1，且log a m>log a n，则m与n的大小关系是m>n；若0<a<1，且log a m>log a n，则m与n的大小关系是m<n.知识点二复合函数的单调性[填一填]复合函数y＝log a f(x)，x∈D的单调性：设集合M⊆D，若a>1，且u＝f(x)在x∈M上单调递增(减)，则集合M对应的区间是函数y＝log a f(x)的增(减)区间；若0<a<1，且u＝f(x)在x∈M上单调递增(减)，则集合M对应的区间是函数y＝log a f(x)的减(增)区间．[答一答]3．f(x)＝log3(x＋5)的单调区间是否只有一个？是否就是y＝x＋5的单调区间？提示：是只有1个，但不是y＝x＋5的单调增区间(－∞，＋∞)，而是(－5，＋∞)．知识点三 反函数[填一填]函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)与y ＝a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称．[答一答]4．指数函数与对数函数有哪些主要的相同点？两种函数之间有哪些关系？提示：(1)底数及其范围相同；(2)a >1时同为增函数，0<a <1时同为减函数；(3)互为反函数，图象关于直线y ＝x 对称；(4)指数函数的定义域是对数函数的值域，指数函数的值域是对数函数的定义域．类型一 比较大小[例1] 比较下列各组值的大小． (1)log 534与log 543；(2)log 13 2与log 15 2；(3)log 23与log 54.[解] (1)法一：对数函数y ＝log 5x 在(0，＋∞)上是增函数，而34<43，∴log 534<log 543.法二：∵log 534<0，log 543>0，∴log 534<log 543.对数式比较大小的三种类型和求解方法 (1)底数相同时，利用单调性比较大小.(2)底数与真数均不相同时，借助于0或1比较大小.(3)真数相同时，可利用换底公式换成同底，再比较大小，但要注意对数值的正负.[变式训练1] 设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( D ) A ．c >b >a B ．b >c >a C ．a >c >bD ．a >b >c解析：由对数运算法则得a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝1＋log 52，c ＝1＋log 72，由对数函数图象得log 32>log 52>log 72，所以a >b >c ，故选D. 类型二 解对数不等式[例2] (1)若log a 25<1(a >0，且a ≠1)，求实数a 的取值范围．(2)已知log 0.7(2x )<log 0.7(x －1)，求x 的取值范围．[分析] 对于(1)“1”变为log a a 讨论单调性；对于(2)直接根据单调性列不等式组求解． [解] (1)log a 25<1，即log a 25<log a a .当a >1时，函数y ＝log a x 在定义域内是增函数， 所以log a 25<log a a 总成立；当0<a <1时，函数y ＝log a x 在定义域内是减函数， 由log a 25<log a a ，得a <25，即0<a <25.所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，25∪(1，＋∞)． (2)∵函数y ＝log 0.7x 在(0，＋∞)上为减函数， ∴由log 0.7(2x )<log 0.7(x －1)， 得⎩⎪⎨⎪⎧2x >0，x －1>0，2x >x －1，解得x >1.∴x 的取值范围为(1，＋∞)．解对数不等式时，要防止定义域扩大，应在解的过程中加上限制条件，使定义域保持不变，即进行同解变形.若非同解变形，最后一定要检验.[变式训练2] 若－1<log a 34<1(a >0，且a ≠1)，求实数a 的取值范围．解：∵－1<log a 34<1，∴log a 1a <log a 34<log a a .当a >1时，1a <34<a ，则a >43；当0<a <1时，1a >34>a ，则0<a <34.故实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，34∪⎝⎛⎭⎫43，＋∞. 类型三 对数复合型函数的值域[例3] 求下列函数的值域： (1)y ＝log 12(－x 2＋2x ＋3)；(2)y ＝log 3⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13x －2，x ∈[－3，－1]． [分析] 先求出真数的范围，再利用对数函数的单调性求原函数的值域． [解] (1)设u ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4≤4， ∵y ＝log 12 u 在(0，＋∞)上是减函数， ∴log 12 (－x 2＋2x ＋3)≥log 12 4＝－2.∴函数的值域为[－2，＋∞)． (2)设u ＝⎝⎛⎭⎫13x －2，∵x ∈[－3，－1]． ∴3≤⎝⎛⎭⎫13x ≤27，即1≤u ≤25.∵函数y ＝log 3u 在(0，＋∞)上是增函数，∴0≤log 3⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13x －2≤log 325. ∴原函数的值域为[0，log 325]．1.与对数函数有关的复合函数的值域：求与对数函数有关的复合函数的值域，一方面，要抓住对数函数的值域；另一方面，要抓住中间变量的取值范围，利用对数函数的单调性来求其值域(多采用换元法).2.对于形如y ＝log a f (x )(a >0，且a ≠1)的复合函数的值域的求解的步骤：①分解成y ＝log a u ，u ＝f (x )两个函数；②求f (x )的定义域；③求u 的取值范围；④利用y ＝log a u 的单调性求解.[变式训练3] 设函数f (x )＝log 2(4x )·log 2(2x )，14≤x ≤4.若t ＝log 2x .(1)求t 的取值范围． (2)求f (x )的值域．解：(1)因为t ＝log 2x ，14≤x ≤4，所以log 214≤t ≤log 24，即－2≤t ≤2.(2)函数f (x )＝log 2(4x )·log 2(2x )，即f (x )＝(log 2x )2＋3log 2x ＋2，又t ＝log 2x ， 则y ＝t 2＋3t ＋2＝⎝⎛⎭⎫t ＋322－14(－2≤t ≤2)． 当t ＝－32时，即log 2x ＝－32，x ＝2－32时，f (x )min ＝－14；当t ＝2时，即log 2x ＝2，x ＝4时，f (x )max ＝12. 综上可得，函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－14，12. 类型四 对数复合型函数的单调性[例4] 已知f (x )＝log 12 (x 2－ax －a )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上是增函数，求a 的取值范围． [解] 令u (x )＝x 2－ax －a ，∵f (x )＝log 12 u (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上是增函数，∴u (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上是减函数，且u (x )>0在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上恒成立．∴⎩⎨⎧a 2≥－12，u ⎝⎛⎭⎫－12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1，14＋a 2－a ≥0.∴－1≤a ≤12.∴满足条件的a 的取值范围是{a |－1≤a ≤12}．与对数函数有关的复合函数y ＝log a g (x )的单调性的求解步骤：(1)确定定义域，研究函数的单调区间一定要在函数的定义域上进行.(很多同学忽略了定义域，即要满足g (x )>0导致错误)(2)弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的，将复合函数分解成基本初等函数：外层函数y ＝log a u ，内层函数u ＝g (x ).(3)分别确定这两个函数的单调区间.(4)若这两个函数同增或同减，则y ＝log a g (x )为增函数；若一增一减，则y ＝log a g (x )为减函数，即“同增异减”.[变式训练4] 已知f (x )＝log a (8－3ax )在[－1,2]上是减函数，则实数a 的取值范围是( B )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫1，43 C.⎣⎡⎭⎫43，4D ．(1，＋∞)解析：由题意，知8－3ax >0，x ∈[－1,2]，∴8＋3a >0,8－6a >0，∴－83<a <43.又易知a >0，且a ≠1，∴0<a <1或1<a <43，此时可知函数g (x )＝8－3ax 是减函数．若f (x )在[－1,2]上是减函数，则必有a >1.所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫1，43.故选B.1．若0<x <y <1，则下列关系式正确的一组是( D ) A ．log 3x >log 3y B ．log 12 x <log 12 yC ．log x 3<log y 3D ．log 4x <log 4y解析：∵y ＝log 3x 是增函数，∴当x <y 时，log 3x <log 3y .∵y ＝log 12 x 是减函数，∴当x <y 时，log 12 x >log 12 y .∵log 3x <log 3y <0，∴1log 3y <1log 3x <0.∴log y 3<log x 3.∵y ＝log 4x 是增函数，且0<x <y <1知log 4x <log 4y . 2．函数y ＝2x 的反函数是( C ) A ．y ＝log 2x B ．y ＝log 12 xC ．y ＝log 2x (x >0)D ．y ＝log 12x (x >0)解析：函数y ＝2x 的值域是(0，＋∞)． 又其反函数为y ＝log 2x .故选C.3．函数y ＝log 12 (x 2－6x ＋17)的值域是(－∞，－3]．解析：由x 2－6x ＋17＝(x －3)2＋8>0恒成立，知x ∈R .设u ＝x 2－6x ＋17.∵0<12<1，∴函数y ＝log 12 u 是减函数．又∵x 2－6x ＋17＝(x －3)2＋8≥8，∴log 12 (x 2－6x ＋17)≤log 12 8＝log 12 23＝log 12⎝⎛⎭⎫12－3＝－3.故函数y ＝log 12(x 2－6x ＋17)的值域为(－∞，－3]．4．函数f (x )＝ln(3＋2x －x 2)的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)． 解析：∵3＋2x －x 2>0，∴x 2－2x －3<0. ∴－1<x <3.令u ＝3＋2x －x 2＝－(x 2－2x －3)＝ －(x －1)2＋4，∴当x ∈(－1,1)时，u 是x 的增函数，y 是ln u 的增函数，故函数f (x )＝ln(3＋2x －x 2)的单调递增区间是(－1,1)．同理，函数f (x )＝ln(3＋2x －x 2)的单调递减区间是(1,3)． 5．已知f (x )＝log a (a x －1)(a >0，且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域； (2)讨论函数f (x )的单调性．解：(1)使f (x )＝log a (a x －1)有意义，则a x －1>0，即a x >1.当a >1时，x >0；当0<a <1时，x <0，∴当a >1时，函数的定义域为{x |x >0}；当0<a <1时，函数的定义域为{x |x <0}．(2)①当a >1时，设0<x 1<x 2，则1<ax 1<ax 2，∴0<ax 1－1<ax 2－1，∴log a (ax 1－1)<log a (ax 2－1)，∴f (x 1)<f (x 2)，∴当a >1时，函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数；②当0<a <1时，设x 1<x 2<0，则ax1>ax2>1，∴ax1－1>ax2－1>0，∴log a(ax1－1)<log a(ax2－1)，∴f(x1)<f(x2)，∴当0<a<1时，函数f(x)在(－∞，0)上为增函数．综上可知：函数f(x)＝log a(a x－1)在其定义域上为增函数．——本课须掌握的三大问题1．利用对数的单调性可解简单的对数不等式．解对数不等式的关键是把真数视为一个整体，用对数函数的单调性构造不等式，但一定要注意真数大于零这一隐含条件．2．求与对数函数有关的复合函数的单调区间，首要的是弄清楚这个函数是怎样复合而成的，再按“同增异减”的方法来求其单调区间．3．对于对数型复合函数的综合应用的题目，无论是求最值还是求参数的取值范围，必须抓住两点：一是先求出原函数的定义域，二是在定义域内求出函数的单调区间，然后由函数的单调性求出其最值或参数的取值范围．此外在解题过程中一定要注意数形结合方法的灵活应用．学习至此，请完成课时作业21。