1定积分概念与性质

.1 定积分概念定义设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点，把区间[a,b]分成n个小区间，设有常数I，如果对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得对于区间[a,b]的任何分法，不论在中怎样取法，只要，总有成立，则称I是f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作。

接下来的问题是：函数f(x)在[a,b]上满足怎样的条件，f(x)在[a,b]上一定可积？以下给出两个充分条件。

定理1设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

定理2设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

如果我们对面积赋以正负号，在x轴上方的图形面积赋以正号，在x轴下方的图形面积赋以负号，则在一般情形下，定积分的几何意义为：它是介于x 轴、函数f(x)的图形及两条直线x = a、x = b之间的各部分面积的代数和。

.2 牛顿－莱步尼兹公式及实例定理如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则。

(1)证已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，又根据前面的定理知道，积分上限的函数也是f(x)的一个原函数。

于是这两个原函数之差为某个常数（第四章第一节），即。

(2)在上式中令x = a，得。

又由Φ (x)的定义式及上节定积分的补充规定知Φ (a) = 0，因此，C = F(a)。

以F(a)代入(2)式中的C，以代入(2)式中的Φ (x)，可得，在上式中令x = b，就得到所要证明的公式(1) 。

由积分性质知，(1)式对a>b的情形同样成立。

为方便起见，以后把F(b) – F(a)记成。

公式(1)叫做牛顿(Newton)-莱步尼兹(Leibniz)公式，它给定积分提供了一种有效而简便的计算方法，也称为微积分基本公式。

例1 计算定积分。

解。

例2计算。

解。

例3计算。

解。

例4计算正弦曲线y = sinx在[0, ]上与x轴所围成的平面图形的面积。

第五章定积分5.1 定积分的概念与性质数学与统计学院武忠祥12定积分问题举例1主要内容34定积分的定义定积分的性质12定积分问题举例1主要内容34定积分的定义定积分的性质1 定积分问题举例例1曲边梯形的面积问题abxyo)(x f y =abxyo)(x f y =面积,)(k x f ≡,)(k x f ≡/)(a b k A -=(设f 是[a ,b ]上的非负连续函数)1 定积分问题举例例1曲边梯形的面积问题abxyo)(x f y =面积,)(k x f ≡,)(k x f ≡/)(a b k A -=(设f 是[a ,b ]上的非负连续函数)1 定积分问题举例例1曲边梯形的面积问题abxyo)(x f y =面积,)(k x f ≡,)(k x f ≡/)(a b k A -=(设f 是[a ,b ]上的非负连续函数)1) 分bx x x x x x x a n n k k =<<<<<<<<=--11210 a bxyo1x 1-k x k x 1-n x1 定积分问题举例例1曲边梯形的面积问题abxyo)(x f y =面积,)(k x f ≡,)(k x f ≡/)(a b k A -=(设f 是[a ,b ]上的非负连续函数)1) 分b x x x x x x x a n n k k =<<<<<<<<=--11210 a bxyo1x 1-k x k x 1-n x kξ2) 匀任取)()(1--=∆∆≈∆k k k k k k x x x x f A ξ],[1k k k x x -∈ξ1 定积分问题举例例1曲边梯形的面积问题abxyo)(x f y =面积,)(k x f ≡,)(k x f ≡/)(a b k A -=(设f 是[a ,b ]上的非负连续函数)1) 分b x x x x x x x a n n k k =<<<<<<<<=--11210 a bxyo1x 1-k x k x 1-n x kξ2) 匀任取)()(1--=∆∆≈∆k k k k k k x x x x f A ξ],[1k k k x x -∈ξ3) 合knk kx f ∆∑=1)(ξ≈A1 定积分问题举例例1曲边梯形的面积问题abxyo)(x f y =面积,)(k x f ≡,)(k x f ≡/)(a b k A -=(设f 是[a ,b ]上的非负连续函数)1) 分b x x x x x x x a n n k k =<<<<<<<<=--11210 a bxyo1x 1-k x k x 1-n x kξ2) 匀任取)()(1--=∆∆≈∆k k k k k k x x x x f A ξ],[1k k k x x -∈ξ3) 合knk kx f ∆∑=1)(ξ≈A 4) 精},,max{21n x x x d ∆∆∆= knk kd x f ∆∑=→1)(lim ξ=A两个问题的共性：1) 求解具有同样特征的量2) 解决问题的思想方法和步骤相同3) 都归结为同样数学结构的和式极限的计算体现在两个方面：(1)都是分布在区间上的量，且对区间具有可加性；(2)量是非均匀分布在区间上的.思想方法都是四步：分、匀、和、精，核心都是匀、精，在均匀分布时都采用积运算.都是乘积的和式的极限，只是函数的表示不同罢了.12定积分问题举例1主要内容34定积分的定义定积分的性质1）定义（定积分）],,[b a 任意划分bx x x x x a n n =<<<<<=-1210 1）分],,[1k k k x x -∈ξ任取.)(k k x f ∆ξ做乘积2）匀3）合knk kx f ∆∑=1)(ξ时怎样选取怎样划分如果无论0,,],[→d b a k ξk nk kx f ∆∑=1)(ξ4）精趋于同一常数，⎰b adx x f )(knk k d x f ∆=∑=→)(lim 1ξ2 定积分的定义,],[)(上的有界函数是定义在设b a x f .],[)(上可积在则称b a x f=⎰b ax x f d )(k nk k d x f ∆∑=→1)(lim ξ；代替所以不能用不等价与）0,01→∞→+∞→→d n n d 注：2）两个任意性；.],[)()(3有关和仅与）b a x f dx x f ba⎰.],[称为积分区间b a 积分是处理均匀量的积运算在处理相应非均匀量中的发展⎰=baxx f A d )(⎰=batt v s d )(积分上限积分下限被积函数积分变量被积式积分和时，b a >⎰b a dx x f )(时，b a =0)(=⎰badx x f ②补充规定：①⎰-=abdxx f )(曲边梯形面积曲边梯形面积的负值1A2A 3A 2）定积分的几何意义abxyo)(x f y =,)(变号x f ⎰>ba dx x f x f )(,0)(A =⎰<b a dx x f x f )(,0)(A-=312)(A A A dx x f b a--=⎰x120.x d x ⎰例4 计算定积分3）定积分存在的条件可积的充分条件可积有界可积性计算上连续；在],[)()1b a x f .],[)()2断点上只有有限个第一类间在b a x f knk k bad x f dx x f ∆=∑⎰=→1)(lim )(ξ个子区间的右端点，则有12定积分问题举例1主要内容34定积分的定义定积分的性质],[b a R 3.定积分的性质Riemann积分R b a R g f ∈∈βα,],,[,],[b a R g f ∈+βα⎰⎰⎰+=+ba b ab a dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([βαβα1）线性性质：设，则且I Ic b a ∈,,2)对区间的可加性：设是有限闭区间，)(I R f ∈⎰⎰⎰+=b a ca b c dx x f dx x f dx x f )()()(且，则k b c k k k c a x f x f ∆+∆=∑∑)()(],[],[ξξk b a k x f ∆∑)(],[ξ证设,b c a <<。

定积分的概念和基本思想一、定积分的概念和基本思想1、定积分的概念一般地，如果函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，用分点$a=x_0<x_l<$$\cdots<$$x_{i-l}<x_i<$S\cdots<$$x_n=b$将区间$ la, b] S等分成$n$ 个小区间，在每个小区间$[x_{iT},x_i]$上任取一点$ C _i (i=l, 2, \cdots, n)$,作和式$\underset{i=l}{\overset{n}{\sum}}f(4 _i)Ax=$$\underset{i=l}{\overset {n} {\sum ))\frac(b-a} {n}f(C_i)$,当Sn-8$时，上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数$f (x) $在区间$[a,b]$上的定积分，记作$\int_{a} * (b}f (x) (\rm d}x$,即$\int_{a}*{b}f(x){\rmd}x=$$\underset(n~* °°}{\lim}\underset{i=l}{\overset{n}{\sum}}\frac{b_ a}{n}f(g_i)$,这里,$a$与$b$分别叫做积分下限与积分上限，区间$[a,b]$叫做积分区间，函数$f(x)$叫做被积函数，$x$叫做积分变量,$f(x) {\rm d}x$叫做被积式。

(1)定积分$\int_{a}*{b}f(x) {\rm d}x$不是一个函数式,而是一个数值(极限值)，它只与被积函数以及积分区间有关，而与积分变量无关，即$\int_{a}*{b}f(x){\rm d}x=$S\int_{a}*{b}f(t)(\rm d}t=$$\int_{a}*{b}f(u){\rm d}u$o(2)定义中区间的分法和$ g _i$的取法是任意的。

2、定积分的基本思想定积分的基本思想就是以直代曲，即求曲边梯形的而积时，将曲边梯形分割成一系列的小曲边梯形，用小矩形近似代替，利用矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积。

定积分的基本概念
一、定积分的基本概念
1.定积分的定义
定积分是指在区间[a,b]中，用函数f(x)的值在x处取的积分，其中x取值于a到b之间的某个点，f(x)的积分称为定积分。

也可以表示为
∫a, bf(x)dx=∫f(x)dx
即：将函数f(x)从x=a到x=b的定积分。

2.定积分的性质
（1）定积分是一种积分的形式，它是在定的一段区间内对某个函数f(x)求积分的形式。

（2）定积分可以表示为：∫f(x)dx=F(b)-F(a)，其中F(x)是f(x)的积分函数。

（3）定积分可以表示为：∫a, bf(x)dx=∑[f(x1)+f(x2)+…
+f(xn)]，其中x1,x2,…,xn为积分区间[a, b]的各个各点。

（4）定积分是一种表示曲线与坐标轴围成的面积的一种数学工具。

二、定积分的计算
1.定积分的数值计算
数值计算定积分，即把范围[a,b]离散成一定的小段，在每个小段上求f(x)的值，再用这些值进行总和，来求出定积分的近似值。

2.定积分的解析计算
解析计算此类定积分，即首先求出f(x)的积分方程，在范围[a,b]内，求得它的解后，再把范围[a,b]的定积分解析成积分函数F(x)的量对应的差值F(b)-F(a)。

三、定积分的应用
定积分的应用主要是用于求出曲线与坐标轴围成的面积，也可以用于求求解线性微分方程，求解有关动力学问题的时候，还有一些物理的和化学的问题，这些问题用的都是定积分的知识。

定积分1．不定积分在区间I 内，若则称F (x ) 为f (x ) 在区间I 内的一个原函数，称F (x ) +C (C 为任意常数) 为f (x )在区间I 内的不定积分，记为()()F x f x ′=()f x dx∫一、积分概念2、定积分定义设函数f (x ) 在[a ,b ]上有界, 将[a ,b ]任意分成n 个子区间, 分点为bx x x x x a n n =<<<<<=−1210 在每个子区间[x i-1, x i ]上任取一点ξi , ξi ∈[x i-1, x i ],,)(lim1存在如果极限∑=→Δni i i x f ξλ),max ,(11i ni i i i x x x x Δ=−=Δ≤≤−λ其中函数f (x )在[a ,b ]上的定积分.记成∑∫=→Δ=ni ii bax f dx x f 1)(lim )(ξλ则称函数f (x )在[a ,b ]上可积, 这个极限值就称为()d ()()d .bbbaaaf x x f t dt f u u ==∫∫∫•定积分是积分和式的极限，是一个数值，x x f b ad )(∫注意：•在定积分的定义中的两个任意性，函数可积即意味着极限值与对区间的分割方式及在区间[]1,i i x x +上点iξ的取法无关；定积分值只与被积函数f (x )及积分区间[a,b ]有关，而与积分变量的记法无关.即有•不定积分与积分变量是否有关？()f x dx ∫2. 可积的充分条件.定理1: 设f (x )在区间[a ,b ]上连续, 则f (x )在[a ,b ]可积.定理2: 设f (x )在区间[a ,b ]上有界, 且只有限个间断点,则f (x )在[a ,b ]上可积.1()lim ()nbi iai f x dx f x λξ→==Δ∑∫题型一.用定积分计算极限1lim ()nn i b a b af a i n n →∞=−−=+∑定义：（可积）已知求极限1lim ()n i f a i n n →∞=+∑或11lim ()nn i i f n n →∞=∑()a f x dx =∫1()f x dx=∫例.用定积分表示下列极限:∑=∞→+ni n ni n 111lim )1(解:∑=∞→+ni n n i n 111lim )1(nn i n i n 11lim 1⋅+=∑=∞→iξix Δxx d 11∫+=x1n i 1−ni求极限1lim ()n i f a i n n →∞=+∑或11lim ()nn i i f a n n →∞=+∑()a f x dx =∫10()f x dx =∫例.用定积分表示下列极限:121lim )2(+∞→+++p pppn nn )n n i p n 1lim 1∑=∞→=n i xx pd 1∫=iξix Δ∑=∞→+ni n nin 111lim )1(121lim )2(+∞→+++p pp p n nn解:例. 数列极限222222lim ()12x n n nn n n n→+∞+++=+++"（ ）（A ）2π（B ）4π（C ）3π（D ）6πb o xya3. 定积分的几何意义.(1) 若当x ∈[a ,b ]时, Adx x f ba曲边梯形面积=∫)(A y=f (x )连续函数f (x ) ≥0(2) 若当x ∈[a ,b ]时, 连续函数Adx x f ba−=∫)(oxy a by=f (x )A f (x ) ≤0,o xy 一般，曲边梯形的面积|()|ba f x dx ∫；而()baf x dx∫的几何意义则是曲边梯形面积的代数和。

1的定积分1的定积分是一个重要的数学概念，也是微积分中的一个重要内容。

它是由著名的微积分学家、微分几何学家、力学学家狄拉克首先提出来的。

他发现，积分可以用来表达一个函数的空间变化。

对于同一个函数，不同的被积分区域是不同的，因此，对于不同的被积分区域，可以求出不同的积分值。

1的定积分就是这样一个积分，它可以用来研究函数的变化率，从而确定函数的行为。

1的定积分定义如下：给定一个函数f(x)，它的1的定积分为：∫f(x)dx,其中a∈[a,b]，这里的定积分被称为狄拉克积分。

1的定积分有一个重要的性质，即它可以有效地表示一个函数在某一个区域内的变化率。

通常情况下，当函数的积分值大于0时，函数在该区域内是增加的，而当函数的积分值小于0时，函数在该区域内是减少的。

1的定积分的计算方法有多种。

其中，最简单的是采用梯形法，即将被积分区域分成若干小矩形，然后分别求其下面的矩形的面积，最后把这些面积相加求和，得出1的定积分的值。

另外，也可以采用更复杂的数值积分方法，如Simpson积分法，Gauss-Kronrod求积法，Trapezoidal积分法等，以计算出更精确的定积分结果。

1的定积分在数学，物理，化学和工程学等多个领域有着广泛的应用。

在物理学中，它可以用来求解微分方程，即求解物理系统中的动态变化；在数学中，它可以用来求解定积分和无穷级数的值；在化学和工程学中，它可以用来求解复杂的物理和化学过程的传递系数等等。

总之，1的定积分在数学、物理、化学和工程等各个领域均有着重要的作用，它可以有效地帮助我们了解函数的变化规律，研究物理和化学等复杂过程的传递系数，甚至可以应用在定积分和无穷级数的求解中。

因此，1的定积分是一个非常重要的概念，并且可以应用到很多不同领域中。