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完全平方公式分解因式的方法完全平方公式是指一个二次多项式的平方可以被写成两个一次多项式的平方和的形式，例如 $x^2+6x+9$ 就是一个完全平方：$x^2+6x+9 = (x+3)^2$。
分解完全平方的方法有多种，其中最常用的是配方法和直接提取平方根法。
下面我们分别介绍这两种方法。
一、配方法1. 将二次项系数 $a$ 除以 $2$，得到系数 $m=frac{a}{2}$。
2. 将常数项 $c$ 和 $m$ 的平方相减，得到差值 $n=c-m^2$。
3. 将原式按照 $x^2+2mx+m^2+n$ 的形式写出来。
4. 将 $x^2+2mx+m^2$ 分解成 $(x+m)^2$。
5. 将 $(x+m)^2+n$ 分解成 $(x+m+sqrt{n})(x+m-sqrt{n})$。
例如，对于 $x^2+6x+9$ 这个完全平方，我们可以按照以上步骤进行分解：1. $m=frac{6}{2}=3$。
2. $n=9-3^2=0$。
3. 原式为 $x^2+2times3x+3^2$。
4. $x^2+2times3x+3^2=(x+3)^2$。
5. $(x+3)^2+0=(x+3+sqrt{0})(x+3-sqrt{0})=(x+3)^2$。
因此，$x^2+6x+9$ 可以分解为 $(x+3)^2$。
二、直接提取平方根法对于形如 $x^2+2mx+m^2$ 的完全平方，我们可以直接提取平方根得到 $(x+m)^2$。
例如，$x^2+6x+9$ 就可以直接提取平方根得到 $(x+3)^2$。
需要注意的是，直接提取平方根的方法只适用于完全平方的情况，如果是一般的二次多项式，就需要使用配方法等其他方法进行因式分解了。
以上就是完全平方公式的分解因式方法，希望对大家有所帮助。
![6.3(2)运用完全平方公式因式分解[下学期]](https://img.taocdn.com/s1/m/6eb0435f3b3567ec102d8afb.png)
利用完全平方公式因式分解当我们遇到一个多项式无法因式分解的时候，可以考虑使用完全平方公式来进行因式分解。
完全平方公式是一种通过加减法将一个二次多项式转化为一个平方的方法。
完全平方公式如下：(a+a)^2=a^2+2aa+a^2(a−a)^2=a^2−2aa+a^2我们以一个具体例子来说明这个方法。
假设我们要因式分解a^2+6a+9这个二次多项式。
我们可以将这个多项式写成一个完全平方的形式。
根据完全平方公式，(a+a)^2=a^2+2aa+a^2，我们可以将a^2+6a+9写成(a+3)^2的形式。
因此，a^2+6a+9=(a+3)^2接下来我们来看一个更复杂的例子。
假设我们要因式分解a^2+8a+12这个二次多项式。
我们可以尝试将这个多项式写成两个完全平方的和的形式。
首先，我们需要找到两个数，它们的乘积等于12，而它们的和等于8、通过试错的方法，我们可以得出这两个数是2和6然后，我们可以使用这两个数将a^2+8a+12进行因式分解。
a^2+8a+12=(a+2)(a+6)通过这种方法，我们成功将a^2+8a+12因式分解为两个一次多项式的乘积。
(a+2)(a+6)即为该多项式的因式分解形式。
除了上述的二次多项式，我们还可以使用完全平方公式来因式分解更复杂的多项式。
例如，a^4+10a^2+25这个四次多项式。
我们可以将a^4+10a^2+25写成一个完全平方的形式。
根据完全平方公式，(a+a)^2=a^2+2aa+a^2，我们可以尝试将a^4+10a^2+25写成(a^2+5)^2的形式。
通过这种方法，我们成功将a^4+10a^2+25因式分解为一个完全平方的平方。
(a^2+5)^2即为该多项式的因式分解形式。
总结一下，完全平方公式是一种因式分解多项式的方法。
通过将一个二次多项式转化为一个平方的形式，我们可以更容易地因式分解一个多项式。
通过试错的方法或其他的求解技巧，我们可以找到适合使用完全平方公式的例子来进行因式分解。
运用完全平方公式分解因式完全平方公式是指一个二次多项式的平方可以进行因式分解成两个一次多项式之和，并且这两个一次多项式都是该二次多项式的根。
设二次多项式为$ax^2+bx+c$，其中$a\neq0$。
根据完全平方公式，可以将其因式分解为$(px+q)^2$的形式，其中$p$和$q$分别表示两个一次多项式的系数。
根据完全平方公式进行因式分解的步骤如下：1. 计算二次项的系数：$p=\sqrt{a}$。
2. 计算常数项的系数：$q=\frac{b}{2\sqrt{a}}$。
3. 将一次项表示为$p$和$q$的线性组合：$bx=c(q+px)$。
这一步是将一次项表示为两个一次多项式的和的形式。
对于一个给定的二次多项式，如果其平方形式与完全平方公式的形式相同，则可以直接确定因式分解。
否则，需要对二次多项式进行平方操作，然后根据完全平方公式进行因式分解。
下面以两个例子来说明完全平方公式的应用。
例子1：将$4x^2+4x+1$进行因式分解。
步骤1：计算二次项的系数：$p=\sqrt{4}=2$。
根据以上步骤，可以将$4x^2+4x+1$分解为$(2x+1)^2$。
例子2：将$9x^2-12x+4$进行因式分解。
步骤1：计算二次项的系数：$p=\sqrt{9}=3$。
根据以上步骤，可以将$9x^2-12x+4$分解为$(3x-2)^2$。
除了完全平方公式，还可以使用差平方公式和平方差公式进行因式分解。
差平方公式是指一个二次多项式可以进行因式分解成两个一次多项式之差的平方，并且这两个一次多项式都是该二次多项式的根。
平方差公式是指一个二次多项式可以进行因式分解成两个一次多项式的平方差的形式，并且这两个一次多项式都是该二次多项式的根。
完全平方公式、差平方公式和平方差公式是进行因式分解的重要工具。
在解决实际问题中，常常会遇到需要进行因式分解的情况。
因此，熟练掌握这些公式的应用是很重要的。
第1课时运用完全平方公式因式分解1.理解完全平方公式，弄清完全平方公式的形式和特点.(重点)2.掌握运用完全平方公式分解因式的方法，能正确运用完全平方公式把多项式分解因式.(难点)一、情境导入1.分解因式：(1)A2—4/；(2)3/-3/;(3)√-l; (4) (x÷3^)2-(χ-3y)2.2.根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，你能将形如“才+2助+从Iab + 4”的式子分解因式吗？二、合作探究探究点：运用完全平方公式分解因式［类型一］判断能否用完全平方公式分解因式(≡1下列多项式能用完全平方公式分解因式的有()(1)a-∖-abΛ^β； (2)-一a+；； (3)9a j-24aZ?+4Z?2； (4) —a ÷8a-16.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个解析：(1)/+μ+人乘积项不是两数积的2倍，不能运用完全平方公式；(2)才一a+ J= (a-1)2；(3)9才-24勖+4次乘积项是这两数积的4倍，不能用完全平方公式；(4) — a2+8a-16= 一(/-8a+16)= - U-4)2.所以(2) (4)能用完全平方公式分解.故选B.方法总结：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍.［类型二］运用完全平方公式分解因式≡3因式分解：(1)—3a2—+24,才一48 才;(2)(才+4) 2 —16 才.解析：(1)有公因式，因此要先提取公因式一3才，再把另一个因式(V-8x+16)用完全平方公式分解；(2)先用平方差公式，再用完全平方公式分解.解：(1)原式=-3/(V—8x+16) ——3∕(x—4)2；(2)原式=(才+4)2- (4a)2= (a2+4+4a) (a2+4-4a) = U+2)2U-2)2.方法总结：分解因式的步骤是一提、二用、三查，即有公因式的首先提公因式，没有公因式的用公式，最后检查每一个多项式的因式，看能否继续分解.【类型三】利用完全平方公式求值(SB 已知4x+y2-10y+29=0,求f∕+2χy+1 的值.解析：首先配方，借助非负数的性质求出x、y的值，问题即可解决.解：*.*X —4,γ÷y-↑,Oy+ 29 = 0, Λ (χ-2)2+ (y—5)2=0. V (A,-2)2^0, (y—5)2>0, .∙.χ-2=0, y—5=0, .∙.x=2, y=5, ∙∖xy-^-2xy+l = (Λ,∕÷I)2= H2= 121.方法总结：几个非负数的和为0,则这几个非负数都为0.［类型四］运用因式分解进行简便运算利用因式分解计算：(1)342÷34×32 + 162;(2)38. 92-2×38. 9X48. 9+48. 92.解析：利用完全平方公式转化为(a±力2的形式后计算即可.解：(1) 342 + 34 X 32 +162 = (34 +16)2 = 2500 ；(2)38. 92-2×38. 9X48. 9+48. 92= (38. 9-48. 9)2= 100.方法总结：此题主要考查了运用公式法分解因式，正确掌握完全平方公式是解题关键.［类型五］利用因式分解判定三角形的形状(SB已知a, A C分别是A4¾7三边的长，且才+2〃+02-26(&+©=0,请判断△力回的形状，并说明理由.解析：首先利用完全平方公式分组进行因式分解，进一步分析探讨三边关系得出结论即可.解：由/+2//+——28(a+c)=0,得 a'—2aZ?+1} +1/-2bc-∖- c2=0,即(a—Z?)2+ {b- c)2=0, .∙.a-b=0, b-c=O f .*.a= b= c f Z∖4%7是等边三角形.方法总结：通过配方将原式转化为非负数的和的形式，然后利用非负数性质解答，这是解决此类问题一般的思路.［类型六］整体代入求值［例❺已知a+6=5, ab=10,求*6+才炉+Ja6的值.解析：将*6+4武昂3分解碌6与(叶犷的乘积，因此可以运用整体代入的数学思想来解答.解：3才6+才62+56=$仇才+246+62)=56(4+6)2.当西+6=5,仍=］。
运用完全平方公式分解因式完全平方公式是一种分解因式的方法，适用于形如$a^2+2ab+b^2$或$a^2-2ab+b^2$的二次多项式。
根据完全平方公式，可将这样的二次多项式分解为$(a+b)^2$或$(a-b)^2$。
例如，对于多项式$x^2+6x+9$，我们可以使用完全平方公式将其进行因式分解。
根据完全平方公式，我们知道该多项式可以写成$(x+3)^2$的形式。
因此，因式分解的结果为$(x+3)(x+3)$或$(x+3)^2$。
接下来，我们将介绍用完全平方公式分解因式的步骤。
步骤1：观察多项式是否满足完全平方公式的形式。
一个二次多项式可以写为$a^2+2ab+b^2$或$a^2-2ab+b^2$。
步骤2：确定$a$和$b$的值。
根据多项式中的系数和幂运算，我们可以计算出$a$和$b$的值。
例如，在$x^2+6x+9$中，$a$的值是$x$，$b$的值是$3$。
需要注意的是，$a$和$b$的值可能是复数。
步骤3：将$a$和$b$的值代入完全平方公式。
对于多项式$a^2+2ab+b^2$，可以将其分解为$(a+b)^2$。
而对于多项式$a^2-2ab+b^2$，可以将其分解为$(a-b)^2$。
步骤4：将多项式分解为完全平方公式的形式。
根据步骤3，我们将多项式分解为$(a+b)^2$或$(a-b)^2$的形式。
例如，在$x^2+6x+9$的例子中，我们可以将其分解为$(x+3)^2$。
步骤5：检查因式分解的正确性。
可以通过展开因式分解后的形式来验证因式分解的正确性。
例如，在$(x+3)^2$的情况下，我们可以将其展开为$x^2+6x+9$，与原多项式相同。
接下来，我们将通过一个具体的例子来演示完全平方公式的应用。
例子1：将多项式$x^2+8x+16$进行因式分解。
解：根据步骤1，该多项式满足完全平方公式的形式。
根据步骤2，$a$的值是$x$，$b$的值是$4$。
根据步骤3，由于$b$是正数，我们可以将多项式分解为$(a+b)^2$的形式。
