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1.1 菱形的性质与判定（第三课时）教案介绍本次教案是为2022—2023学年北师大版数学九年级上册编写的第三课时教案，主要内容涉及菱形的性质与判定。
通过本课时的学习，学生将能够掌握菱形的定义、性质以及判定方法，并且能够灵活运用这些知识解决相关问题。
教学目标1.了解菱形的定义和性质；2.掌握菱形与其内部角度的关系；3.学会使用菱形的判定方法，区分菱形和其他四边形。
教学内容1. 菱形的定义与性质a. 菱形的定义菱形是一种特殊的四边形，它的四条边相等且两两平行。
b. 菱形的性质•对角线互相垂直；•对角线互相平分；•菱形的每个角都是直角；•菱形有一个中心对称轴。
2. 菱形与其内部角度的关系a. 菱形的内角学生们将通过探究菱形的内角度的关系，进一步加深对菱形性质的理解。
b. 证明请学生自行推导菱形内角之和为360度的证明过程，并进行板书记录。
3. 菱形的判定方法学生们将学习如何判定一个四边形是否为菱形。
a. 基于边长的判定方法•若一个四边形的四条边相等，则该四边形是菱形。
b. 基于对角线的判定方法•若一个四边形的对角线互相垂直，且对角线互相平分，则该四边形是菱形。
4. 练习与讨论请学生们完成以下练习，并进行讨论：1.已知四边形ABCD，其中AB=BC=CD=DA，且∠BAD=120度，判断四边形ABCD是否为菱形。
2.已知四边形EFGH，其中EF=FG=GH=HE，且对角线EG与FH互相垂直，判断四边形EFGH是否为菱形。
总结与评价通过本课时的学习，学生们对菱形的定义、性质及判定方法有了更深入的理解。
通过练习与讨论，他们能够熟练运用这些知识解决实际问题。
教师可以对学生的答案进行评价，及时纠正学生的错误，并对学生的表现给予积极的肯定与鼓励。
拓展活动学生们可以在课后自行寻找更多的菱形例题，并尝试解决。
他们也可以在日常生活中观察并记录身边存在的菱形，并思考这些菱形的性质与判定方法。
参考资料•《北师大版数学九年级上册》•菱形的定义与性质知识点总结•菱形的判定方法知识点总结。
菱形要点：要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1、 .菱形的四条边都相等；2、菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角3、菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），中心 .菱形的面积：（ 1）一种是平行四边形的面积公式：底×高（ 2）另一种是两条对角线乘积的一半要点三、菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.典型例题：例 1、下列四边形中不一定为菱形的是（）A.对角线相等的平行四边形B. 对角线平分一组对角的平行四边C.对角线互相垂直的平行四边形D.用两个全等的等边三角形拼成的【答案】 A∴可得边长为 4 ，则菱形周长为16 ．【点睛】此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定的运用，难度菱形有一个内角为60°，则较短对角线与菱形的一组邻边构成一个等边三角形．例 3、菱形的两条对角线长分别是14cm 和 20cm ，则它的面积为__ ．【答案】140cm 2【解析】∵菱形的面积等于对角线乘积的一半，∴面积1 2 S= ×14 ×20=140(cm ).2例 4、如图所示，在菱形ABCD 中， AC ＝ 8， BD ＝ 10 ．求： (1)AB 面积．解： (1) ∵四边形ABCD是菱形．∴1AC ，OB ＝1AC⊥BD，AO ＝BD ．2 2又∵AC ＝8， BD ＝10．1 1∴ AO ＝×8＝ 4， OB ＝×10＝ 5．2 22 2 2 在 Rt △ ABO 中，AB OA OBS菱形 ABCD 1 1(2) 由菱形的性质可知：AC BD 8 102 2例 5、菱形的两条对角线长为 6 和 8，则菱形的边长为________ ．解：设该菱形为ABCD ，对角线相交于O， AC ＝ 8， BD ＝ 6 ，由菱形性质知：AC 与 BD 互相垂直平分，例 6、菱形ABCD中，∠ A∶∠B＝1∶5，若周长为8 ，则此菱形的高等长度，则根据勾股定理的逆定理判定∠AOB=90°，即平行四边形的对角故四边形ABCD 是菱形．（ 2）根据菱形的不变性，用不同方法求面积：平行四边形的面积= 试题解析：（ 1 ）证明：∵在 ABCD 中，对角线 AC ，BD 相交于点O∴ AO= AC=3 ， BO= BD=4 ，2 2 2∵ AB=5 ，且 3 +4=5，22 2∴AO +BO =AB ，∴△ AOB 是直角三角形，且∠AOB=90°，∴AC ⊥BD ，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：如图所示：∵四边形 ABCD 是菱形，∴BC=AB=5 ，∵ S△ABC =AC?BO=BC?AH ，∴×6×4=×5×AH，解得： AH=．例 8、在四边形 ABCD 中， AB//CD ，∠ B= ∠ D. （ 1）求证：四边形ABCD为平行四边形；∵AB ∥CD ，∴四边形ABCD为平行四边形；（2）∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴∠ DAB= ∠ DCB ，∵PE⊥AB 于 E，PF⊥ AD 于 F，且 PE=PF ，∴∠ DAC= ∠ BAC= ∠ DCA= ∠ BCA ，∴ AB=BC ，∴四边形 ABCD 是菱形．课后习题：1．在下列说法中，菱形对角线不具有的性质是()A.对角线互相垂直；B. 对角线所在的直线是对称轴；C.对角线相等；D.对角线互相平分．【解析】菱形的对角线互相垂直平分，菱形是轴对称图形，每一条对角形的一条对称轴，故选 C.2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC 、 BD 相交于点O ， E 为 AB 菱形ABCD的周长为（）A.12B.16C.8D.4【解析】试题解析：∵四边形ABCD为菱形，∴ AC ⊥ BD ， AB=BC=CD=DA，∴△ AOB为直角三角形．∵ OE=2 ，且点 E 为线段AB 的中点，∴AB=2OE=4．C菱形ABCD=4AB=3．已知菱形的周长为40cm ，两条对角线之比 3 ： 4 ，则菱形面积为（则较短对角线与菱形的一组邻边构成一个等边三角形，∴可得边长为 4 ，则菱形周长为16 ．【点睛】此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定的运用，难度菱形有一个内角为60°，则较短对角线与菱形的一组邻边构成一个等边三角形．5．如图，在菱形ABCD中，点P 是对角线AC 上的一点，PE ⊥ AB P 到 AD 的距离为________________．【解析】∵AC 是菱形ABCD 的对角线，∴AC 平分∠ DAB,根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得：P到 AD 的距离＝P 故答案是:5.6．如图，在平面直角坐标系中，菱形OACB的顶点O 在原点，点B 的纵坐标是- 1，则顶点 A 坐标是A ．（ 2， 1）B．（ 1， - 2）C．（ 1， 2）【答案】 D ．试题解析：连接AB 交 OC 于 D ，如图所示：点 C 的坐标是（4， 0），点 A 的纵坐标是1，∴OC=4 ， OA=1 ，∵四边形OACB是菱形，∴OC ⊥AB ， OD=1，OC=2 ， OB=OA=12∴菱形的边长为32÷4=8cm∵∠ ABC ∶∠ BAD =1 ∶ 2，∠ ABC+ ∠ BAD =180 °（菱形的邻角互补），∴∠ ABC=60 °，∠ BCD =120 °，∴△ ABC 是等边三角形，∴ AC =AB=8cm ，∵菱形 ABCD 对角线AC 、 BD 相交于点O ，∴ AO=CO ， BO=DO 且 AC⊥BD，∴ BO=4 3 cm ，∴ BD=8 3 cm；（ 2）菱形的面积：1 1 2 AC?BD= ×8×8 3 =32 3 （cm）2 28、已知菱形ABCD 中， E、 F 分别是 CB 、 CD 上的点，且 BE=DF ．求证：（ 1 ）△ ABE ≌△ ADF ；（ 2）∠ AEF= ∠ AFE ．9、如图，在□ ABCD 中，∠ BAD 的平分线交BC 于点 E，∠ ABC 的平与 BF 相交于点O ，连接 EF（1）求证：四边形ABEF 是菱形；（2）若 AE＝ 6， BF ＝ 8， CE ＝，求□ABCD 的面积．【答案】（ 1）证明见解析（2） 36【解析】试题分析：（1）根据平行四边形的性质和角平分线的性质得到四边形四边形，然后再根据一组领边相等的平行四边形是菱形，证得结论（ 2）过点 A 作 AH ⊥ BC 于点 H ．根据菱形的对角线求出边长，然后同理AB ＝ AF ．∴ AF ＝ BE ．∴四边形 ABEF 是平行四边形．∵AB ＝∴四边形ABEF 是菱形．（ 2）解法一：过点 A 作 AH ⊥ BC 于点H ．∵四边形ABEF 是菱形，AE ＝ 6， BF ＝ 8，∴AE ⊥BF， OE＝3，OB＝ 4．∴ BE＝ 5．∵ S 菱形ABEF＝AE BF ＝BE AH，∴AH＝× ×÷＝．6 8 5∴S□ABCD＝ BC AH ＝ (5＋ ) ×＝ 36．解法二：∵四边形ABEF 是菱形， AE ＝ 6， BF ＝ 8 ，∴AE ⊥BF， OE＝3，OB＝ 4．∴ BE＝ 5．∵ S 菱形ABEF＝AE BF ＝×6×8＝24，∵CE ＝， BE＝ 5，∴S□ABCDS 菱形ABEF ＝×24＝36．＝【点睛】本题考查了菱形的判定与性质．菱形的判定方法有五多种，之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．。
