数学(北师大版九年级上册全册复习课件)

方法技巧
在证明一个四边形是菱形时，要注意：首先判断是平 行四边形还是任意四边形.若是任意四边形，则需证四条边 都相等；若是平行四边形，则需利用对角线互相垂直或一 组邻边相等来证明.
► 考点二 和矩形有关的折叠计算问题
例2 如图S1－3，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落 在BC边上的F点处．已知CE＝3 cm，AB＝8 cm，求图中阴影部分
(3)正方形的四个角都是_直__角_____； (4)正方形的对角线相等、互相垂直、互相平分，每条对角 线平分一组对角； (5)正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴有 ___四_____条，对称中心是对角线的交点．
7．正方形的判定
(1)有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫 做正方形；
CONTEN
目T录
第一章 特殊的平行四边形
第二章 一元二次方程 第三章 概率的进一步认识
第四章 图形的相似 第五 投影与视图
第六章 反比例函数
第一章 特殊的平行四边形
┃知识归纳┃
1．菱形的定义和性质
(1)定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． (2)性质：①菱形的四条边都____相_等______；②菱形的对角线互 相___垂__直__平__分_____，并且每一条对角线平分一组对角；③菱形 是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点；菱形也 是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴．
[解析] 由点E，F分别为边AB，AD的 中 点 ， 可 知 OE∥AD ， OF∥AB ， 而 AE ＝ AF ， 故四边形AEOF是菱形．
证明：∵点E，F分别为AB，AD的中点， ∴AE＝12AB，AF＝12AD. ∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD， ∴AE＝AF. 又∵菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O， ∴O为BDL 的中点， ∴OE，OF是△ABD的中位线， ∴OE∥AD，OF∥AB，即四边形AEOF是平行四边形． 又∵AE＝AF，∴四边形AEOF是菱形．
5．矩形的判定 (1)有一个角是直角的__平__行__四__边__形___是矩形； (2)有三个角是直角的___四__边__形____是矩形； (3)对角线相等的__平__行__四__边__形____是矩形．
6．正方形的性质
(1)正方形的对边平__行_______； (2)正方形的四边_相__等______；
[注意] 菱形是特殊的平行四边形，故它具有平行四边形 的一切性质．
2．菱形的判定方法 (1)有一组邻边相等的___平__行__四__边__形___是菱形； (2)对角线互相垂直的___平__行__四__边__形___是菱形； (3)四边相等的___四__边__形______是菱形．
[辨析] 四边形、平行四边形、菱形关系如图S1－1：
3．菱形的面积
(1)由于菱形是平行四边形，所以菱形的面积＝底×高；
(2)因为菱形的对角线互相垂直平分，所以其对角线将菱形 分成4个全等的三角形，故菱形的面积等于两对角线乘积的一 半．
4．矩形的性质 (1)矩形的对边_平__行__且__相__等______； (2)矩形的对角__相__等_______； (3)矩形的对角线__互__相__平__分____、__相__等______；
(4)矩形的四个角都是直角(或矩形的四个角相等)； (5)矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的___等__腰____三 角形；
(6)矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴有__两___ 条，对称中心是对角线的交点．
(7)矩形的面积等于两邻边的___乘__积____．
[注意] 利用“矩形的对角线相等且互相平分”这一性质可 以得出直角三角形的一个常用的性质：直角三角形斜边上的中 线等于斜边长的____一__半____．
[总结] 顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边 形是_菱__形_____；顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所 得的四边形是_矩__形_____．
┃考点攻略┃
► 考点一 菱形的性质和判定
例1 如图S1－2，菱形ABCD的对角线
AC与BD相交于点O，点E，F分别为边AB， AD的中点，连接EF，OE，OF.求证：四 边形AEOF是菱形．
(2)有一组邻边相等的__矩__形____是正方形； (3)有一个角是直角的___菱__形___是正方形．
[注意] 矩形、菱形、正方形都是平行四边形，且是特殊的 平行四边形．矩形是有一个内角为直角的平行四边形；菱形是 有一组邻边相等的平行四边形；正方形既是矩形，又是菱形．
8．中点四边形 中点四边形就是连接四边形各边中点所得的四边形，我们 可以得到下面的结论： (1)顺次连接四边形四边中点所得的四边形是_平__行__四__边__形___ (2)顺次连接矩形四边中点所得的四边形是_菱__形_____． (3)顺次连接菱形四边中点所得的四边形是__矩__形____． (4)顺次连接正方形四边中点所得的四边形是__正__方__形____． (5)顺次连接等腰梯形四边中点所得的四边形是__菱__形____．
的面积．
[解析] 要求阴影部分的面积，由于阴 影部分由两个直角三角形构成，所以只要 根据勾股定理求出直角三角形的直角边即 可．
解：由已知，得 EF＝DE＝5 cm，由勾股定理，得 CF＝ 52－32 ＝4 (cm)，设 BF＝x，则 AF＝AD＝BC＝x＋4，
在 Rt△ABF 中，由勾股定理，得 82＋x2＝(x＋4)2， 解得 x＝6， 所以阴影部分的面积为12×6×8＋12×4×3＝30(cm2)．
[解析] 连接AP，AE，由正方形关于对角线对称将PC转移到 PA，要求PE与PC和的最小值即求PE与PA和的最小值，易知当P在 AE上时，PA＋PE最小．
方法技巧
矩形的折叠问题，一般是关于面积等方面的计算问题，主要 考查同学们的逻辑思维能力和空间想象能力.解决与矩形折叠有 关的面积问题，关键是将轴对称的特征、勾股定理以及矩形的有 关性质结合起来
► 考点三 和正方形有关的探索性问题
例3 如图S1－4，在正方形ABCD中，点E在BC上，BE＝3，
CE＝2，点P在BD上，求PE与PC的长度和的最小值．