高中数学(必修2)3.1《弧度制与任意角》同步测试题

高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.已知角为第二象限角，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，得：又因为：所以，解得：又因为角为第二象限角，所以，所以，故选B．【考点】同角三角函数基本关系及诱导公式．2.如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B坐标为(1,0)，∠BOA＝60°.质点A以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以1 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动．(1)求经过1 s 后，∠BOA的弧度；(2)求质点A，B在单位圆上第一次相遇所用的时间．【答案】（1）＋2.（2）s【解析】解：(1)经过1 s 后，∠BOA的弧度为＋2.(2)设经过t s 后质点A，B在单位圆上第一次相遇，则t(1＋1)＋＝2π，所以t＝，即经过s 后质点A，B在单位圆上第一次相遇．3.设角α是第三象限角，且＝－sin，则角是第________象限角．【答案】四【解析】由α是第三象限角，知2kπ＋π<α<2kπ＋ (k∈Z)，kπ＋<<kπ＋ (k∈Z)，知是第二或第四象限角，再由＝－sin知sin<0，所以只能是第四象限角．4.点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为()A．(－，)B．(－，－)C．(－，－)D．(－，)【解析】设α＝∠POQ，由三角函数定义可知，Q点的坐标(x，y)满足x＝cosα，y＝sinα，∴x＝－，y＝，∴Q点的坐标为(－，)．5.已知角α终边经过点P(x，－)(x≠0)，且cosα＝x，求sinα、tanα的值．【答案】sinα＝－，tanα＝【解析】解：∵P(x，－)(x≠0)，∴P到原点的距离r＝.又cosα＝x，∴cosα＝＝x，∵x≠0，∴x＝±，∴r＝2.当x＝时，P点坐标为(，－)，由三角函数定义，有sinα＝－，tanα＝－.当x＝－时，P点坐标为(－，－)，∴sinα＝－，tanα＝.6. [2014·潍坊质检]已知角α的终边经过点P(m，－3)，且cosα＝－，则m等于()A．－B．C．－4D．4【答案】C【解析】cosα＝＝－ (m<0)，解之得m＝－4，选C项．7.角终边上有一点，则下列各点中在角的终边上的点是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为角终边上有一点，所以因此即角的终边上的点在第三象限，所以选C.【考点】三角函数定义8.把表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是()A．B．C．D．【解析】∵∴与是终边相同的角，且此时＝是最小的，选A.9.若角α,β满足-<α<β<π,则α-β的取值范围是()A．(-,)B．(-,0)C．(0,)D．(-,0)【答案】B【解析】由-<α<β<π知,-<α<π,-<β<π,且α<β,所以-π<-β<,所以-<α-β<且α-β<0,所以-<α-β<0.10.计算2sin(-600°)+tan(-855°)的值为()A．B．1C．2D．0【答案】C【解析】∵sin(-600°)=-sin600°=-sin(360°+240°)=-sin240°=-sin(180°+60°)=sin60°=,同理tan(-855°)=-tan(2×360°+135°)=-tan135°=-tan(180°-45°)=tan45°=1,∴原式=2×+×1=2.11.已知角α的终边上一点的坐标为(sin,cos),则角α的最小正值为()A．B．C．D．【答案】C【解析】∵sin>0,cos>0,∴角α的终边在第一象限,∴tanα====,∴角α的最小正值为.12.若角θ的终边在射线y=-2x(x<0)上,则cosθ=.【答案】-【解析】由已知得角的终边落在第二象限,故可设角终边上一点P(-1,2),则r2=(-1)2+22=5,∴r=,此时cosθ==-.13.已知点P落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π]，则θ的值为________．【答案】【解析】由题意可知，点P在第四象限，且点P落在角θ的终边上，所以tan θ＝－1，故θ＝.14.已知则= .【答案】【解析】.【考点】三角函数求值.15.已知角x的终边上一点坐标为，则角x的最小正值为( ) A．B．C．D．【答案】C【解析】因为角终边上一点的坐标为，在第四象限，所以角是第四象限角，又，所以角的最小正值为.【考点】特殊角的三角函数值16.( )A．B．C．D．【答案】A【解析】.【考点】特殊角的三角函数值17.角的终边经过点，则的可能取值为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】.【考点】1.任意角的三角函数；2.同角三角函数的基本关系18.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）A．2B．C．D．【答案】B【解析】已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，所以，即，所以.【考点】弧度制.19.求值：________.【答案】【解析】.【考点】三角函数的计算及诱导公式.20.如图，在平面直角坐标系中，以x轴为始边作两个锐角、，它们的终边分别与单位圆交于A、B两点．已知点A的横坐标为；B点的纵坐标为．则 .【答案】【解析】单位圆的半径是1，根据勾股定理以及点A的横坐标为，B点的纵坐标为，可知点A的纵坐标为，点B的横坐标为，所以，，，，因为，是锐角，所以，所以.【考点】1.任意角的三角函数；2.三角函数的和角公式21.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）A．2B．C．D．【答案】C【解析】.故选C.【考点】扇形弧长公式.22.在平面直角坐标系xOy中，若角α的始边与x轴的正半轴重合，终边在射线y＝－x（x＞0）上，则sin5α＝．【答案】【解析】根据题意，由于平面直角坐标系xOy中，若角α的始边与x轴的正半轴重合，终边在射线y＝－x（x＞0）上，则可知，那么可知sin5α=sin,故答案为【考点】三角函数定义点评：解决的关键是利用三角函数的定义来求解三角函数值，属于基础题。

高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.已知点（）在第三象限，则角在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】由于点是第三象限角，，在第二象限.【考点】三角函数在各个象限的符号.2.若点P位于第三象限，则角是第象限的角.【答案】二【解析】点P位于第三象限，则即,所以角是第二象限的角,答案为二.【考点】三角函数的符号3.若角的终边经过点，则的值为．【答案】【解析】由三角函数定义知，==.考点:三角函数定义4.已知，则的集合为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由知，在第一或第三象限，因为，所以．【考点】简单三角方程5.已知是第二象限的角，，则．【答案】【解析】设的终边有上一点P(x,y)(x<0,y>0),则，不妨令,由三角函数的定义得：.【考点】三角函数的定义.6.已知角的终边上有一点（1，2），则的值为（ ).A．B．C．D．–2【解析】角的终边过，，.【考点】任意角三角函数的定义.7.若角的终边为第二象限的角平分线，则的集合为______________．【答案】【解析】在上第一个出现终边在第二象限角平分线的角为，之后每隔个单位出现一个终边落在第二象限角平分线上角，因此所求集合为.【考点】终边相同的角的集合.8.有下列说法：①函数y＝－cos 2x的最小正周期是π；②终边在y轴上的角的集合是；③把函数的图像向右平移个单位长度得到函数y＝3sin 2x的图像；④函数在[0，π]上是减函数．其中，正确的说法是________．【答案】①③【解析】①：的最小正周期为，正确；②：在上第一个出现终边在y轴的角为，之后每隔个单位出现一个终边落在y轴上的角，因此所求集合为，∴②错误；③：函数的图像向右平移个单位长度以后的函数解析式为：，∴③正确；④：当时，，∴函数在[0，π]上是增函数，∴④错误.【考点】1、三角函数的性质；2、终边相同的角的集合.9.=（）A．B．C．D．【答案】A【解析】.考点:诱导公式,特殊角的三角函数值.10.与60°角终边相同的角的集合可以表示为( )A．{|=k·360°+，k Z}B．{|=2k+60°，k Z}C．{|=k·180°+60°，k Z}D．{|=2k+，k Z}【解析】A,B把弧度制与角度制混在了一起，不规范，而C，应为=k·360°+60°，D正确．【考点】终边相同的角的集合．11.已知扇形的周长为30，当它的半径R和圆心角各取何值时，扇形的面积S最大？并求出扇形面积的最大值．【答案】当扇形半径为，圆心角为2时，扇形有最大面积．【解析】根据条件扇形的周长为30可以得到l+2R=30,从而扇形的面积S=lR=（30－2R）R=，即把S表示为R的二次函数，根据二次函数求最值的方法，可以进一步变形为S=－（R－）2+，从而得到当扇形半径为，圆心角为2时，扇形有最大面积．∵扇形的周长为30，∴l+2R=30，l=30-2R，∴S=lR=（30－2R）R==－（R－）2+．．．．．5分∴当R=时，扇形有最大面积，此时l=30－2R=15，==2．．．．．．．．8分答：当扇形半径为，圆心角为2时，扇形有最大面积．．．．．10分．【考点】1、弧度制下扇形相关公式；2、二次函数求最值．12.已知，，，则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，，，故【考点】特殊角的三角函数13.圆的半径为r，该圆上长为r的弧所对的圆心角是()A．rad B．rad C．πD．π【答案】B【解析】由弧长公式可得：，解得.【考点】弧度制.14.若，且，则角的终边所在的象限是()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】因为，又因为，所以，所以角的终边所在象限是第四象限，故选D．【考点】1、三角函数值的符号；2、二倍角的正弦．15.已知：P(-2，y)是角θ终边上一点，且sinθ= -,求cosθ的值.【答案】【解析】因为,横坐标为负数，所以余弦值是负数，根据同角基本关系式：，所以.试题解析：∵sinθ= -，∴角θ终边与单位圆的交点（cosθ，sinθ）=（,-）又∵P(-2, y)是角θ终边上一点, ∴cosθ<0,∴cosθ= -.【考点】1.三角函数的定义；2.同角基本关系式.16.与角终边相同的最小正角是．（用弧度制表示）【答案】【解析】因为与角终边相同的角为,所以与角终边相同的角是,其中最小正角是,化为弧度为.【考点】弧度制,终边相同的角.17.的值等于A．B．C．D．【答案】A【解析】【考点】三角函数中正弦两角差公式及特殊角的三角函数值。

高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题1.化为弧度是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】本题角度化为弧度，变换规则是度数乘以,,故选B.【考点】弧度与角度的互化．2.是第( )象限角.A．一B．二C．三D．四【答案】C【解析】本题主要考查三角函数终边相同的角.由得出终边在第三象限，故选C.【考点】终边相同的角的表示.3.已知角的终边过点(－5,12),则=________.【答案】【解析】.【考点】任意角的三角函数的定义.4.与终边相同的最小正角是．【答案】【解析】因为与终边相同的角是所以当时，与终边相同的最小正角是【考点】与终边相同的角5.与60°角终边相同的角的集合可以表示为( )A．{|=k·360°+，k Z}B．{|=2k+60°，k Z}C．{|=k·180°+60°，k Z}D．{|=2k+，k Z}【答案】D【解析】A,B把弧度制与角度制混在了一起，不规范，而C，应为=k·360°+60°，D正确．【考点】终边相同的角的集合．6.已知是第一象限的角，那么是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第二象限角D．第一或第三象限角【答案】D【解析】∵α的取值范围（k∈Z）∴的取值范围是（k∈Z），分类讨论①当k="2n+1" （其中n∈Z）时的取值范围是即属于第三象限角．②当k=2n（其中n∈Z）时的取值范围是即属于第一象限角．故答案为：D．【考点】象限角、轴线角．7.设，，，则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以＜；因为，所以＞，＜，，所以b＜a＜c．故答案为：D．【考点】三角函数值．8.计算：= ；【答案】1【解析】原式=【考点】三角函数值的计算9.一个扇形的周长是6，该扇形的中心角是1弧度，该扇形的面积是_______.【答案】【解析】设该扇形的半径、弧长分别为，则依题意有，从中解得，从而.【考点】1.扇形的弧长公式；2.扇形的面积公式.10.已知角的顶点在坐标原点，始边在轴的正半轴，终边经过点,则【答案】-.【解析】由题意可得 x=-1，y=，r2=x2+y2=4,r=2,故cosa==-.【考点】任意角的三角函数的定义．11.已知圆中一段弧长正好等于该圆的外切正三角形的边长，那么这段弧所对的圆心角的弧度数为 ( )A．B．C．D．2【答案】D【解析】根据题意，由于设圆的半径为r，则可知，圆中一段弧长正好等于该圆的外切正三角形的边长，可知圆心到三角形不边长的距离为r，利用30得三角函数知可知，正三角形得边长得的长度为2r,那么利用弧长公式可知，弧度数等于弧长除以半径即为2，故选D.【考点】弧度数的问题点评：解决的关键是根据弧长公式，利用圆的半径来得到弧度数，属于基础题。

高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题1.已知角的终边经过点，则．【答案】【解析】由题意可得：,所以.【考点】任意角三角函数的定义.2.半径为1m的圆中，60°的圆心角所对的弧的长度为（）m．A．B．C．60D．1【答案】B【解析】因为60°=又根据弧长计算公式L=故选B.【考点】扇形的弧长计算公式.3.下列命题正确的是 ( )A．小于的角一定是锐角B．终边相同的角一定相等C．终边落在直线上的角可以表示为，D．若,则角的正切值等于角的正切值【答案】D【解析】小于的角可以是锐角、零角及负角，故错；终边相同的角相差的整数倍，故错；终边落在直线上的角可以表示为，故错；正确.故选D.【考点】三角函数的概念的应用.4.一个半径大于2的扇形，其周长，面积，求这个扇形的半径和圆心角的弧度数.【答案】，【解析】由题设条件给出周长，面积，因为扇形周长由两半径和弧长组成，故可列出方程，再结合扇形面积公式：，可解得半径，从而求得圆心角试题解析：由得：将上式代入得（舍去）【考点】扇形的面积公式和弧长公式.5. sin480°等于（）.A．B．C．D．【答案】D.【解析】因为，所以选D.【考点】诱导公式，特殊角的三角函数值.6.一扇形的中心角为2，对应的弧长为4，则此扇形的面积为（）.A．1B．2C．4D．8【答案】C【解析】，，则扇形的面积.【考点】扇形的弧长与面积公式.7.半径为3，中心角为120o的扇形面积为（）.A．B．C．D．【答案】B【解析】，.【考点】扇形面积公式.8.如图，在直角坐标系中，射线OP交单位圆O于点P，若∠XOP ＝θ，则点P的坐标是().A．(cosθ，sinθ)B．(－cosθ，sinθ)C．(sinθ，cosθ)D．(－sinθ，cosθ)【答案】A【解析】设，则，由任意角的三角函数定义得：，即.【考点】任意角的三角函数定义.9.如果有意义，那么的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴，即，∴．【考点】三角函数的取值范围．10. 2400化成弧度制是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】本题考查度与弧度的互化，利用公式弧度，可得.【考点】度与弧度的互化.11.设，，，则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以＜；因为，所以＞，＜，，所以b＜a＜c．故答案为：D．【考点】三角函数值．12.已知点是角终边上一点，且，则的值为（）A．5B．C．4D．【答案】D【解析】由两点间距离公式知点P到原点的距离=，有三角函数定义知==＜0，故＜0，平方解得=4（舍）或=4.由题知=,∴==＜0，∴＜0，解得=-4，故选D.【考点】任意角的三角函数定义13.设角的终边上有一点，则的值是( )A．B．C．或D．1【答案】A【解析】由三角函数的定义可知，所以，选A.【考点】任意角的三角函数.14.已知角是第二象限角，角的终边经过点,且,则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由角的终边经过点与，可得，解得或，而是第二象限角，所以，故，所以，故选答案D.【考点】任意角的三角函数.15.是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】C【解析】因为第一象限角的范围为;第二象限角的范围为;第三象限角的范围为;第四象限角的范围为；是第三象限角，故选C.【考点】象限角的概念.16.比较大小：(用“”,“”或“”连接).【答案】＞.【解析】在单位圆中，做出锐角1的正切线、正弦线、余弦线，观察他们的长度，发现正切线最长，余弦线最短，故有 tan1＞sin1＞cos1＞0.【考点】三角函数线．17.已知角的终边过，则= ．【答案】【解析】根据题意，由于角的终边过，那么可知，该点的，则可知该点的正切值为，结合角的范围可知，的值为，故答案为。

§3 弧度制 3．1 弧度概念 3．2 弧度与角度的换算必备知识基础练知识点一 弧度制与角度制1．下列说法中，错误的是( ) A ．半圆所对的圆心角是π rad B ．周角的大小等于2πC ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径长D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 2．将下列角度与弧度进行互化．(1)20°；(2)－15°；(3)7π12 ；(4)－11π5.知识点二 用弧度制表示角3．把角－570°化为2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式为( )A ．－3π－π6B ．－4π＋150°C ．－3π－30° D．－4π＋5π64．把下列各角化成2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角．(1)－1 500°；(2)236π；(3)－4.知识点三 扇形的弧长与面积的计算5．已知扇形的半径为10 cm ，圆心角为165°，则扇形的弧长为( )A ．10π cm B．11π cm C ．55π6 cm D ．28π3cm6．某扇形的圆心角为60°，所在圆的半径为6，则它的面积是( ) A ．6π B ．3π C．12π D ．9π 7．已知扇形的圆心角为α，α>0，半径为R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求该弧所在的弓形的面积． (2)若扇形的周长为20 cm ，则当扇形的圆心角α等于多少时，这个扇形的面积最大？关键能力综合练一、选择题1．(易错题)亲爱的考生，本场考试需要2小时，则在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为( )A ．π3B ．－π3C ．5π3D ．－5π32．将－1 485°化成α＋2k π(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式是( )A ．－π4 －8π B．74 π－8πC ．π4 －10π D．74π－10π3．若α＝－2π3＋k π，k ∈Z ，则α终边所在象限为( )A ．第一象限B ．第一、三象限C ．第二象限D ．第二、四象限4．若扇形的周长是16，圆心角是360π度，则扇形的面积是( )A ．16B ．32C ．8D ．64 5．下列结论错误的是( )A ．67°30′化成弧度是3π8radB ．－10π3rad 化成度是－600°C ．－150°化成弧度是－7π6radD ．π12rad 化成度是15° 二、填空题6．已知α＝1 690°，把α写成2k π＋β(其中k ∈Z ，β∈[0，2π))的形式为________________，θ与α的终边相同，且θ∈(－4π，－2π)，则θ＝________．7．(探究题)已知2k π＋2π3 <α<2k π＋5π6 (k ∈Z )，则α2为第________象限角．8．折扇(如图1)是我国传统文化的延续，已有四千年左右的历史．图2为其结构简化图，在扇面ABCD 中，延长DA ，CB 交于点O ，已知OC ＝3OB ＝30 cm ，弧CD 的长度为60 cm ，则该扇面ABCD 的面积为________ cm 2.三、解答题9．设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝3π5 rad ，β2＝－π3rad.(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自是第几象限角；(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们终边分别相同的所有角．学科素养升级练1.(多选题)已知某扇形的圆心角为π10，半径为5，则( )A ．该扇形的弧长为π2B ．该扇形的弧长为π4C ．该扇形的面积为5π2D ．该扇形的面积为5π42．(学科素养——数学运算)在一块顶角为2π3，腰长为2的等腰三角形钢板废料OAB中裁剪扇形，现有如图所示的两种方案．(1)求两种方案中扇形的周长之差的绝对值； (2)比较两种方案中的扇形面积的大小．§3 弧度制 3．1 弧度概念3．2 弧度与角度的换算必备知识基础练1．答案：D解析：由弧度制的定义可知：长度等于半径的弧所对的圆心角的大小是1弧度，而长度等于半径的弦所对的圆心角的大小不是1弧度，选项D 的说法错误，很明显选项A 、B 、C 的说法正确．故选D.2．解析：(1)20°＝20×π180 ＝π9 .(2)－15°＝－15×π180 ＝－π12；(3)7π12 ＝7π12 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π °＝105°；(4)－11π5 ＝－11π5 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π °＝－396°.3．答案：D解析：－570°＝－2×360°＋150°，而150°＝150×π180 ＝5π6，所以－570°可化为－4π＋5π6.故选D.4．解析：(1)－1 500°＝－1 800°＋300°＝－10π＋5π3，∴角－1 500°与角5π3终边相同，是第四象限角．(2)23π6 ＝2π＋11π6 ，∴角23π6 与角11π6终边相同，是第四象限角．(3)－4＝－2π＋(2π－4)，∴角－4与角2π－4终边相同，是第二象限角． 5．答案：C解析：∵165°＝π180 ×165＝11π12 ，∴扇形的弧长l ＝11π12 ×10＝55π6(cm).故选C.6．答案：A解析：60°＝60×π180 ＝π3 rad ，扇形面积S ＝12 ×π3×62＝6π.故选A.7．解析：(1)设弧长为l ，弓形面积为S .∵α＝60°＝π3，R ＝10 cm ，∴S ＝12 ×π3 ×102－34 ×100＝⎝ ⎛⎭⎪⎫50π3－253 cm 2. (2)设扇形的弧长为l ，则l ＋2R ＝20，∴l ＝20－2R (0<R <10).∴扇形的面积S ＝12 lR ＝12(20－2R )R ＝－R 2＋10R ，∴当R ＝5 cm 时，S 有最大值25 cm 2， 此时，l ＝10 cm ，α＝l R＝2 rad. ∴当α＝2 rad 时，扇形的面积最大．关键能力综合练1．答案：B解析：因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为2π，按顺时针转所形成的角为负角，所以经过2小时，时针所转过的弧度数为－16 ×2π＝－13π.故选B.2．答案：D解析：∵－1 485°＝－5×360°＋315°，2π rad＝360°，315°＝74π rad.∴－1 485°化成α＋2k π(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式是74π－10π.故选D.3．答案：B解析：∵－2π3 角的终边在第三象限，则反向延长其终边在第一象限，故α＝－2π3＋k π，k ∈Z 在一、三象限．故选B.4．答案：A解析：因为360π度等于2弧度，所以扇形的弧长l ＝2r ，因为扇形的周长是16，所以l ＋2r ＝16，所以r ＝4，l ＝8.因此扇形的面积是12 lr ＝12×8×4＝16.故选A.5．答案：C解析：对于A ，67°30′＝67.5×π180 ＝3π8 ，结论正确；对于B ，－10π3＝(－10π3 )×180°π ＝－600°，结论正确；对于C ，－150°＝－150×π180 ＝－5π6，结论错误；对于D ，π12 ＝π12 ×180°π＝15°，结论正确．故选C.6．答案：4×2π＋25π18 －47π18解析：α＝1 690°＝1 440°＋250°＝8π＋25π18，所以α＝4×2π＋25π18.依题意，有θ＝2k π＋25π18(k ∈Z )，由θ∈(－4π，－2π)，得－4π<2k π＋25π18 <－2π.又k ∈Z ，所以k ＝－2，所以θ＝－47π18.7．答案：一或三解析：由已知，得k π＋π3 <α2 <k π＋5π12 (k ∈Z )，当k 为偶数时，α2 为第一象限角，当k 为奇数时，α2 为第三象限角，故α2为第一或三象限角．8．答案：800解析：因为OC ＝3OB ＝30 cm ，弧CD 的长度为60 cm ，则弧AB 的长度为20 cm ，则该扇面ABCD 的面积为S ＝S 扇形OCD －S 扇形OAB ＝12 ×60×30－12 ×10×20＝800 cm 2.9．解析：(1)α1＝－570°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－570×π180 rad ＝－19π6 rad ＝⎝⎛⎭⎪⎫－2×2π＋5π6 rad ，α2＝750°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫750×π180 rad ＝25π6 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π＋π6 rad ， ∴α1是第二象限角，α2是第一象限角．(2)β1＝3π5 rad ＝3π5 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π °＝108°，与108°角终边相同的角的集合S ＝{β|β＝108°＋k ·360°，k ∈Z }． S 中适合－720°<β<0°的元素是108°－2×360°＝－612°，108°－1×360°＝－252°，∴在－720°～0°之间与β1终边相同的角为－612°和－252°.β2＝－π3rad ＝－π3 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π °＝－60°，与－60°角终边相同的角的集合T ＝{β|β＝－60°＋k ·360°，k ∈Z }．T 中适合－720°<β<0°的元素是－60°－1×360°＝－420°， ∴在－720°～0°之间与β2终边相同的角为－420°.学科素养升级练1．答案：AD解析：由题意得该扇形的弧长为π10 ×5＝π2 ，面积为12 ×π2 ×5＝5π4，故A ，D 正确，B ，C 错误．故选AD.2．解析：(1)∵△OAB 是顶角为2π3、腰长为2的等腰三角形，∴∠A ＝∠B ＝π6，OM ＝ON ＝1.方案一中扇形的周长L 1＝2＋2＋2×π6 ＝4＋π3 ，方案二中扇形的周长L 2＝1＋1＋1×2π3 ＝2＋2π3，∴两种方案中扇形的周长之差的绝对值为|(4＋π3 )－(2＋2π3 )|＝2－π3.(2)方案一中扇形的面积S 1＝12 ×π6 ×22＝π3 ，方案二中扇形的面积S 2＝12 ×2π3 ×12＝π3，∴S 1＝S 2，即两种方案中扇形的面积相等．。

任意角和弧度制测试题一、单选题1.在单位圆中，200∘的圆心角所对的弧长为( )A. 7π10B. 10π9C. 9πD. 10π二、多选题2.给出下列说法正确的有()A. 终边相同的角同一三角函数值相等；B. 不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；C. 若sinα=sin⁡β，则α与β的终边相同；D. 若cosθ<0，则θ是第二或第三象限的角3.下列说法错误．．的是．( )A. 若角α=2rad，则角α为第二象限角B. 将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°C. 若角α为第一象限角，则角α2也是第一象限角D. 若一扇形的圆心角为30°，半径为3cm，则扇形面积为3π2cm24.下列结论正确的是( )A. 是第三象限角B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为C. 若角的终边过点，则D. 若角为锐角，则角为钝角三、填空题5.(1)第三象限角的集合表示为(以弧度为单位)．(2)弧度数为3的角的终边落在第象限．(3)−2π3弧度化为角度应为．(4)与880∘终边相同的最小正角是.(5)若角α的终边经过点A(−2,3)，则tanα值为．(6)已知扇形的圆心角α=2π3，半径r=3，则扇形的弧长l为．6.下列说法中，正确的是.(填序号)①第一象限的角必为锐角；②锐角是第一象限的角；③终边相同的角必相等；④小于900的角一定为锐角；⑤角α与−α的终边关于x轴对称；⑥第二象限的角必大于第一象限的角．7.集合{α|k⋅180∘+45∘⩽α⩽k⋅180∘+90∘,k∈Z}中，角所表示的取值范围(阴影部分)正确的是(填序号)．8.−600°是第象限角，与−600°终边相同的最小正角为弧度．9.线段OA的长度为3，将OA绕点O顺时针旋转120∘，得到扇形的圆心角的弧度数为，扇形的面积为．四、解答题10.已知角β的终边在直线y=−x上．(1)写出角β的集合S；(2)写出S中适合不等式−360°<β<360°的元素．答案和解析1.⁡B 根据弧长公式，l =nπR 180，代入计算即可．2.⁡AB 解：对于A ，由任意角的三角函数的定义知，终边相同的角的三角函数值相等，故A 正确；对于B ，不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关，故B 正确； 对于C ，若sinα=sinβ，则α与β的终边相同或终边关于y 轴对称，故C 错误；对于D ，若cos θ<0，则θ是第二或第三象限角或θ的终边落在x 轴的非正半轴上，故D 错误． 3.⁡BCD 解：对于选项A .若角α=2rad ，2∈(π2,π)，则角α为第二象限角，正确；对于选项B .将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是−30°，故错误；对于选项C .若角α为第一象限角，2kπ<α<π2+2kπ,k ∈Z ，则kπ<α2<π4+kπ,k ∈Z ， 当k =2n ，n ∈Z 时，2nπ<α2<π4+2nπ,k ∈Z ，即角α2是第一象限角；当k =2n +1，n ∈Z 时，2nπ+π<α2<5π4+2nπ,k ∈Z ，即角α2是第三象限角； 则角α2是第一或第三象限角，故错误；对于选项D .扇形面积为30°π·32360°=3π4cm 2，故错误． 4.⁡BC 解：A 、−7π6=−2π+5π6，所以−7π6与5π6终边相同，是第二象限角，所以不正确； B 、若圆心角为π3的扇形半径为r ，由弧长为π3⋅r =π，则半径r =3，所以该扇形面积为12×π×3=3π2，正确；C 、若角α的终边过点P(−3,4)，则r =√(−3)2+42=5，cos α=−35，正确； D 、若角α为锐角，设α=30∘，则角2α=60∘为锐角，所以不正确． 5.解：(1)第三象限角的集合表示为{α|π+2kπ<α<3π2+2kπ,k ∈Z}． 故答案为{α|π+2kπ<α<3π2+2kπ,k ∈Z}． (2）∵π2<3<π,∴弧度数为3的角为第二象限角，故其终边落在第二象限，故答案为二．(3)−2π3=−23×180°=−120°，故答案为−120∘．(4)与880∘终边相同的角α=880°+360°×k (k ∈Z )，当k =−2时，α=160∘即为最小正角，故答案为160∘．(5)根据任意角三角函数的定义，可知tanα=y x =−32，故答案为−32． (6)l =|α|·r =2π，故答案为2π． 6.解：命题①，390°角的终边在第一象限内，但不是锐角，故说法错误;命题②，锐角是第一象限角，故说法正确;命题③，390°角与30°角的终边相同，但两个角不相等，故说法错误;命题④，−30°小于90°，但不是锐角，故说法错误;命题⑤，角α与角−α的终边关于x 轴对称，故说法正确;命题⑥，120°角是第二象限角，390°角是第一象限角，120°小于390°，故说法错误． 故答案为②⑤．7.解：集合{α|k ⋅180∘+45∘⩽α⩽k ⋅180∘+90∘,k ∈Z}中，当k 为偶数时，集合为 {α|n ⋅360∘+45∘⩽α⩽n ⋅360∘+90∘,n ∈Z}，当k 为奇数时，集合为 {α|n ⋅360∘+225∘⩽α⩽n ⋅360∘+270∘,n ∈Z}，符合题意的只有③8.解：由−600°=(−2)×360°+120°，∴−600°在第二象限，∴与−600°终边相同的最小正角为120°，而120°=2π3，故答案为二；2π3． 9.解：由题意得扇形的圆心角α=−120∘ =−2π3，故扇形的面积S =12|α|⋅|OA|2= 12×2π3×9=3π．10.解：(1)直线y =−x 过原点，它是第二、四象限的角平分线所在的直线，故在0°～360°范围内，终边在直线y =−x 上的角有两个：135°，315°．因此，终边在直线y =−x 上的角的集合S ={β|β=135°+k ·360°,k ∈Z}∪{β|β=315°+k ·360°,k ∈Z}={β|β=135°+2k ·180°,k ∈Z}∪{β|β=135°+(2k +1)·180°,k ∈Z} ={β|β=135°+n ·180°,n ∈Z}．(2)由于−360°<β<360°，即−360°<135°+n ·180°<360°，n ∈Z ．解得−114<n <54，n ∈Z.所以n =−2，−1，0，1．所以集合S 中适合不等式−360°<β<360°的元素为：135°−2×180°=−225°；135°−1×180°=−45°；135°+0×180°=135°； 135°+1×180°=315°；⁡(2)在集合S 内，分别取k =−2，−1，0，1，可得适合不等式−360°<β<360°的元素．。

高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.已知角为第二象限角，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，得：又因为：所以，解得：又因为角为第二象限角，所以，所以，故选B．【考点】同角三角函数基本关系及诱导公式．2.设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝x，则tanα＝() A．B．C．－D．－【答案】D【解析】∵α是第二象限角，∴cosα＝x<0，即x<0.又cosα＝x＝，解得x＝－3，∴tanα＝＝－.3.已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，则在[0,2π]内α的取值范围是()A．(，)B．(π，)C．(，)D．(，)∪(π，)【答案】D【解析】由已知得，解得α∈(，)∪(π，)．4.已知角α终边上一点P(－，y)，且sinα＝y，求cosα和tanα的值．【答案】cosα＝－1，tanα＝0.【解析】r2＝x2＋y2＝y2＋3，由sinα＝＝＝y，∴y＝±或y＝0.当y＝即α是第二象限角时，cosα＝＝－，tanα＝－；当y＝－即α是第三象限角时，cosα＝＝－，tanα＝；当y＝0时，P(－，0)，cosα＝－1，tanα＝0.5.设集合M＝，N＝{α|－π＜α＜π}，则M∩N＝________．【答案】【解析】由－π＜＜π，得－＜k＜.∵k∈Z，∴k＝－1，0，1，2，故M∩N＝6.一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为()A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可知,圆内接正三角形边长a与圆的半径之间关系为a=r,∴α===.7. tan(－1 410°)的值为()A．B．－C．D．－【答案】A【解析】tan(－1 410°)＝tan(－4×360°＋30°)＝tan 30°＝8.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦´矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长等于9米的弧田.（1）计算弧田的实际面积；（2）按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（结果保留两位小数）【答案】(1) ()；(2)少．【解析】(1)本题比较简单，就是利用扇形面积公式来计算弧田面积，弧田面积等于扇形面积对应三角形面积．(2)由弧田面积的经验计算公式计算面积与实际面积相减即得．试题解析：(1) 扇形半径， 2分扇形面积等于 5分弧田面积=（m2） 7分（2）圆心到弦的距离等于，所以矢长为.按照上述弧田面积经验公式计算得（弦´矢+矢2）=. 10分平方米 12分按照弧田面积经验公式计算结果比实际少1.52平米.【考点】(1)扇形面积公式；(2)弧田面积的经验计算公式．9.在平面直角坐标系中,若角的顶点在坐标原点,始边在轴的非负半轴上,终边经过点(其中)则的值为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】，根据任意角的三角函数的定义得，，所以.【考点】任意角三角函数的定义.10.( )A．B．C．D．【答案】A【解析】.【考点】特殊角的三角函数值11.在平面直角坐标系中，已知角的顶点在坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边经过点，则 .【答案】【解析】由任意角的三角函数的定义得：.【考点】任意角的三角函数的定义.12.已知，则满足的角所在的象限为．【答案】二或四【解析】根据指数函数的单调性和，得，即和异号，所以角是第二象限或第四象限的角.【考点】指数函数的单调性、各象限三角函数的符号.13.已知为钝角，且，则与角终边相同的角的集合为．【答案】【解析】由为钝角，且，得，所以与角终边相同的角的集合为，当然也可写成，但注意制度要统一，不要丢掉.【考点】特殊角的三角函数、终边相同角的集合.14.已知，则满足的角所在的象限为．【答案】二或四【解析】根据指数函数的单调性和，得，即和异号，所以角是第二象限或第四象限的角.【考点】指数函数的单调性、各象限三角函数的符号.15.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cosα=．【答案】．【解析】由题意及图所示，易知A点的横坐标为，所以．【考点】三角函数的定义．16.已知函数的定义域为[a,b]，值域为[-2，1]，则的值不可能是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因的值域[-2,1]含最小值不含最大值,根据图象可知定义域小于一个周期,故选D.【考点】三角函数的定义域和值域.17.若角的终边上有一点P(a，－2)，则实数a的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以.【考点】三角函数的定义.18.若，则角是（）A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第二或第四象限角【答案】D【解析】因为，则角是第二或第四象限角，选D19.点位于直角坐标面的A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】因为，位于直角坐标面的第四象限,选D20.已知圆与轴的正半轴相交于点,两点在圆上,在第一象限,在第二象限,的横坐标分别为，则=( )A．B．C．D．【答案】B【解析】设与轴正半轴的夹角分别为则，21.已知动点在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t=0时，点A（，则0≤t≤12时，动点A的横坐标x关于t（单位：秒）的函数单调递减区间是（）A．[0, 4]B．[4,10]C．[10,12]D．[0,4]和[10,12]【答案】D【解析】解：设动点A与x轴正方向夹角为α，则t=0时α=π/ 3 ，每秒钟旋转π /6 ，在t∈[0，1]上α∈[π/ 3 ，π/ 2 ]，在[7，12]上α∈[3π/ 2 ，7π /3 ]，动点A的纵坐标y关于t都是单调递增的．故选D．22.曲线与坐标轴所围的面积是【答案】３【解析】据余弦函数的图象，23.已知，且在第二象限，那么在 ( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】解：∵sinθ="3" /4 ，且θ在第二象限，∴cosθ=-/4,所以sin2θ=2sinθcosθ=-3/16Cos2θ=1-2sin2θ=-1/8故2θ在第三象限。

高中数学3.1弧度制与任意角专项测试同步训练2020.031,已知0°<θ<360°，且θ角的7倍角的终边和θ角终边重合，求θ.2,若角α、β的终边关于y 轴对称，则α、β的关系一定是（其中k ∈Z ） ( )(A) α+β=π （B) α-β=2π(C) α-β=(2k+1)π (D)α+β=(2k+1)π3,若角α是第三象限角，则2α角的终边在 ，2α角的终边在 . 4,终边与坐标轴重合的角α的集合是( )(A){α|α=k ·360°，k ∈Z} (B){α|α=k ·180°+90°，k ∈Z}(C){α|α=k ·180°，k ∈Z} (D){α|α=k ·90°，k ∈Z}5,试写出所有终边在直线x y 3-=上的角的集合，并指出上述集合中介于-1800和1800之间的角. 6,若α是第一象限角，则下列各角中一定为第四象限角的是( )(A) 90°-α (B) 90°+α (C)360°-α (D)180°+α7,若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为 ( )(A)3π (B)32π (C)3(D)28,已知扇形的周长为20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？9,圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的 倍.10,如下图，圆周上点A 依逆时针方向做匀速圆周运动.已知A 点1分钟转过θ(0＜θ＜π)角，2分钟到达第三象限，14分钟后回到原来的位置，求θ.11,已知集合A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，下列四个命题：①A=B=C ②A ⊂C ③C ⊂A ④A ∩C=B,其中正确的命题个数为 ( )(A)0个 (B)2个 (C)3个 (D)4个12,终边落在x 轴负半轴的角α的集合为 ，终边在一、三象限的角平分线上的角β的集合是 .13,-1223πrad 化为角度应为 .14,将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 ( )(A)3π (B)－3π(C)6π(D)－6π答案1, 由7θ=θ+k ·360°，得θ=k ·60°（k ∈Z ）∴θ=60°，120°，180°，240°，300° 2, D3, 第二或第四象限, 第一或第二象限或终边在y 轴的正半轴上 4, D5, { α|α=k ·3600+1200或α=k ·3600+3000, k ∈Z } -60° 120° 6, C 7, C8, ∵l=20－2r,∴S=21lr=21(20-2r)·r=－r 2+10r=-(r-5)2+25∴当半径r=5 cm 时，扇形的面积最大为25 cm 2,此时，α=rl =55220⨯-=2(rad)9, 3110, A 点2分钟转过2θ，且π＜2θ＜23π,14分钟后回到原位，∴14θ=2k π,θ=72πk ，且2π<θ<43π，∴ θ=74π或75π11, A12, {x|x=k ·3600+1800, k ∈Z}, {x|x=k ·1800+450,k ∈Z} 13, -345° 14, B。

高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.已知扇形面积为，半径是1，则扇形的圆心角是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】扇形面积公式为，r为半径。

设该扇形的圆心角弧度数为，则，所以解得，故选A.【考点】扇形面积公式\弧度制。

2.若为第三象限，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为为第三象限，所以．因此，故选择B．【考点】同角三角函数基本关系及三角函数符号．3.若点P位于第三象限，则角是第象限的角.【答案】二【解析】点P位于第三象限，则即,所以角是第二象限的角,答案为二.【考点】三角函数的符号4.已知,则（）A．3B．C．D．【答案】A【解析】．【考点】三角计算．5.已知角的终边上有一点（1，2），则的值为（ ).A．B．C．D．–2【答案】A【解析】角的终边过，，.【考点】任意角三角函数的定义.6.=_______.【答案】1【解析】∵；；∴原式.【考点】三角函数值的计算.7.有下列说法：①函数y＝－cos 2x的最小正周期是π；②终边在y轴上的角的集合是；③把函数的图像向右平移个单位长度得到函数y＝3sin 2x的图像；④函数在[0，π]上是减函数．其中，正确的说法是________．【答案】①③【解析】①：的最小正周期为，正确；②：在上第一个出现终边在y轴的角为，之后每隔个单位出现一个终边落在y轴上的角，因此所求集合为，∴②错误；③：函数的图像向右平移个单位长度以后的函数解析式为：，∴③正确；④：当时，，∴函数在[0，π]上是增函数，∴④错误.【考点】1、三角函数的性质；2、终边相同的角的集合.8.比较的大小 .【答案】【解析】,在上为增函数，可知，，可得.【考点】正弦函数的性质，特殊角的三角函数.9.若点P(Cos,Sin)在直线y=-2x上，则=( )A．B．C．D．【答案】B【解析】因为点在直线上，所以，则.【考点】任意角的三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系．10.已知是第一象限的角，那么是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第二象限角D．第一或第三象限角【答案】D【解析】∵α的取值范围（k∈Z）∴的取值范围是（k∈Z），分类讨论①当k="2n+1" （其中n∈Z）时的取值范围是即属于第三象限角．②当k=2n（其中n∈Z）时的取值范围是即属于第一象限角．故答案为：D．【考点】象限角、轴线角．11.的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】.任意角的三角函数值可利用诱导公将角化为锐角的三角函数值求得.【考点】诱导公式，特殊角的三角函数值.12.圆的半径为r，该圆上长为r的弧所对的圆心角是()A．rad B．rad C．πD．π【答案】B【解析】由弧长公式可得：，解得.【考点】弧度制.13.在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点，且，则（）A．1B．C．1或D．1或3【答案】A【解析】，，解得或，因为，则，即。

高二数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1. .【答案】【解析】.【考点】三角函数的诱导公式.2.的值等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，诱导公式要记住“奇变偶不变，符号看象限”．【考点】1．诱导公式；2．特殊角的三角函数值．3.设角是第二象限角，且，则角的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】角是第二象限角,那么为第一象限角或第三象限角，又因为所以，则为第三象限角，终边在第三象限．【考点】1．象限角；2．三角函数的符号．4.若等于（）A．2B．－2C．D．【答案】D【解析】由上下同除以得，，.【考点】三角函数的运算.5.若角的终边经过点，则的值是．【答案】【解析】根据题意，由于角的终边经过点，则可知该点的正切值为2，那么可知，故答案为【考点】任意角的三角函数点评：主要是考查了任意角的三角函数的定义的运用，属于基础题。

6.= .【答案】【解析】=。

【考点】三角函数诱导公式，特殊角的三角函数值。

点评：简单题，利用诱导公式，转化成0°到90°范围内三角函数值。

7. tan240°＝A．B．C．1D．【答案】D【解析】tan240°＝tan(180°+60°)=tan60°=，故选D。

【考点】本题主要考查三角函数诱导公式，特殊角的三角函数值。

点评：简单题，应用公式计算。

8.若（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第一、四象限D．第二、四象限【答案】B【解析】因为正余弦同号，那么只有在第一象限和第三象限时满足，故选B。

9.已知，则【答案】【解析】解：因为则10.有下列命题：①函数y＝cos（x+）是奇函数；②函数f(x)＝4sin的表达式可改写为f(x)= 4cos；③若α、β是第一象限角且α<β，则tan α<tan β；④函数y＝sin（2x+）的图象关于直线x=成轴对称图形.其中正确的是__________（把你认为正确的命题序号都填上）【答案】①②④【解析】①函数是奇函数，正确；②,正确;③当,所以不成立.④因为,所以，所以的图像关于直线对称.正确.11.计算( )A．B．C．D．【答案】A【解析】解：因为，选A.12.若，则(填“”、“”或“”).【答案】【解析】解：因为，说明正弦值和余弦值异号，因此乘积为负数。