中考数学《第27课时：平行四边形》同步练习(含答案)

平行四边形一选择题:1.下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A.AB∥CD，AD=BCB.∠A=∠C，∠B=∠DC.AB∥CD，AD∥BC D.AB=CD，AD=BC2.能判定四边形是平行四边形的条件是( )A.一组对边平行，另一组对边相等；B.一组对边相等，一组邻角相等；C.一组对边平行，一组邻角相等；D.一组对边平行，一组对角相等。

3.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD 4.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若BD、AC的和为18cm，CD：DA=2：3，△AOB的周长为13cm，那么BC的长是（）A．6cm B．9cm C．3cm D．12cm 5、如图,平行四边形ABCD中，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，若□ABCD的周长为48，DE=5，DF=10，则□ABCD的面积等于( )A．87.5 B．80 C．75 D．72.56.如图，任意四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，若对角线AC、BD的长都为20cm，则四边形EFGH的周长是 ( )A.80cmB.40cmC.20cmD.10cm7.如图,在□ABCD中,AE⊥BC于E,AE=EB=EC=a,且a是一元二次方程x2+2x﹣3=0根,则□ABCD周长为( )A.4+2B.12+6C.2+2D.2+或12+68.如图，在▱ABCD中，∠ODA=90°，AC=10cm，BD=6cm，则AD的长为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm9.如图,在△ABC中,AB=5，BC=6,AC=7,点D,E,F分别是△ABC三边的中点，则△DEF周长为（）A.9B.10C.11D.1210.如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于O，EF过点O与AD，BC分别相交于E，F，若AB=4，BC=5，OE=1.5，那么四边形EFCD的周长为（）A.16B.14C.12D.1011.如图，E为▱ABCD外一点，且EB⊥BC，ED⊥CD，若∠E=65°，则∠A的度数为（）A.65°B.100°C.115°D.135°12.如图，在□ABCD中，BM是∠ABC的平分线交CD于点M,且MC=2，□ABCD的周长是14,则DM等于（）A．1 B．2 C.3 D．413.如图，在□ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC的值为（）A.2：5B.2：3C.3：5D.3：214.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，点P从点A出发以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动．当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为（）A．4s B．3s C．2sD．1s15.如图，□ABCD的周长为20cm，AC与BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△CDE的周长为（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm16.如图，已知四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不变D．线段EF的长与点P的位置有关17.如图，平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转300，得到平行四边形AB′C′D′(点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点)，点B′恰好落在BC边上，则∠C=（）A．155° B.170° C．105°D.145°18.如图1，平行四边形纸片ABCD的面积为120，AD=20，AB=18．今沿两对角线将四边形ABCD剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片．若将甲、丙合并（AD、CB 重合）形成一线对称图形戊，如图2所示，则图形戊的两对角线长度和（）A．26 B．29 C．24D．2519.根据如图所示的(1)，(2)，（3)三个图所表示的规律，依次下去第个图中平行四边形的个数是( )A．3n B．3n(n+1) C．6n D．6n(n+1)20、如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E 在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是（）①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④二填空题:21.如图，□ABCD中，点E是边BC上一点，AE交BD于点F，若BE=2，EC=3，则的值为22.如图，在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点．若∠ABE=∠EBC，AB=2，则□ABCD周长是．23.如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，P是BC边中点，AP交BD 于点Q. 则的值为________．24.如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点．若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF= 厘米．25.如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC边上，且CE：BC=2：3，AC与DE 相交于点F，若S△AFD=9，则S△EFC= ．26.E为□ABCD边AD上一点，将ABE沿BE翻折得到FBE，点F在BD上,且EF=DF．若∠C=52°，则∠ABE=______27.在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点C(4，0)，B(6，2),直线y=2x+1以每秒1个单位的速度向下平移，经过秒该直线可将平行四边形OABC的面积平分.28.如图，若将四根木条钉成的矩形木框变成平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的最大内角等于29.如图,在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，AC分别交BE、DF于点M、N. 给出下列结论:①△ABM≌△CDN；②AM=AC；③DN=2NF；④S△AMB=S △ABC.其中正确的结论是_______________(只填番号)30.一个四边形四条边顺次是a、b、c、d，且a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，则这个四边形是_________.三简答题：31.如图，在平行四边形ABCD中，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，E在AD上，BE=12cm，CE=5cm，求平行四边形ABCD的周长．32.如图，已知□ABCD中，、分别是、上的点，，、分别是、的中点，求证:四边形是平行四边形｡33.如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠1=∠2．（1）求证：AE=CF；（2）求证：四边形EBFD是平行四边形．34.如图，已知AB∥CD，BE⊥AD，垂足为点E，CF⊥AD，垂足为点F，并且AE=DF．求证：四边形BECF是平行四边形．35.△ABC中，中线BE、CF相交于O，M是BO的中点，N是CO的中点.求证：四边形MNEF是平行四边形．36.如图，已知E为□ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE=DC，连结AE分别交BC、BD于点F、G，连结AC交BD于O，连结OF．求证：AB=2OF．37.在△ABC中,AB=AC,点D在边BC所在的直线上,过点D作DF∥AC交直线AB于点F,DE∥AB交直线AC于点E．（1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE+DF=AC．（2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明．（3）若AC=6，DE=4，则DF= ．38.如图，长方形ABCD，AB=9，AD=4.E为CD边上一点，CE=6.（1）求AE的长．（2）点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒，则当t为何值时，△PAE为等腰三角形？39.如图，已知在等边△ABC中，D、F分别为CB、BA上的点，且CD＝BF，以AD 为边作等边三角形ADE．求证：(1)△ACD≌△CBF；(2)四边形CDEF为平行四边形．40.如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等边三角形，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于F．（1）求证：△AEF≌△BEC；（2）判断四边形BCFD是何特殊四边形，并说出理由；（3）如图2，将四边形ACBD折叠，使D与C重合，HK为折痕，若BC=1，求AH 的长．参考答案1、A2、D；3、D4、A5、B；6、B；7、A8、A．9、A 10、C 11、C 12、C； 13、B14、B． 15、C 16、C 17、A 18、A 19、B；20、C 21、． 22、12 23、24、3； 25、 4 ． 26、51 27、6 28、150° 29、①②③； 30、平行四边形；31、【解答】解：在平行四边形ABCD中，∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵∠ABE=∠EBC，∠BCE=∠ECD．，∴∠EBC+∠BCE=90°，∴∠BEC=90°，∴BC2=BE2+CE2=122+52=132∴BC=13cm，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC，∴∠AEB=∠ABE，∴AB=AE，同理CD=ED，∵AB=CD，∴AB=AE=CD=ED=0.5BC=6.5cm，∴平行四边形ABCD的周长=2（AB+BC）=2（6.5+13）=39cm32、略； 33、略34、证明：∵BE⊥AD，BE⊥AD，∴∠AEB=∠DFC=90°，∵AB∥CD，∴∠A=∠D，在△AEB与△DFC中，，∴△AEB≌△DFC（ASA），∴BE=CF．∵BE⊥AD，BE⊥AD，∴BE∥CF．∴四边形BECF是平行四边形．35、【解答】证明：∵BE，CF是△ABC的中线，∴EF∥BC且EF=0.5BC，∵M是BO的中点，N是CO的中点，∴MN∥BC且MN=0.5BC，∴EF∥MN且EF=MN，∴四边形MNEF是平行四边形．36、连结BE，CE //且=AB□ABEC BF＝FC．□ABCD AO＝OC，∴AB＝2OF．37、【解答】解：（1）证明：∵DF∥AC，DE∥AB，∴四边形AFDE是平行四边形．∴AF=DE，∵DF∥AC，∴∠FDB=∠C又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠FDB=∠B∴DF=BF∴DE+DF=AB=AC；（2）图②中：AC+DE=DF．图③中：AC+DF=DE．（3）当如图①的情况，DF=AC﹣DE=6﹣4=2；当如图②的情况，DF=AC+DE=6+4=10．故答案是：2或10．38、（1） 5 （2）或或39、提示：(1)∵△ABC为等边三角形，∴AC＝CB，∠ACD＝∠CBF＝60°．又∵CD＝BF，∴△ACD≌△CBF．(2)∵△ACD≌△CBF，∴AD＝CF，∠CAD＝∠BCF．∵△AED为等边三角形，∴∠ADE＝60°，且AD＝DE．∴FC＝DE．∵∠EDB＋60°＝∠BDA＝∠CAD＋∠ACD＝∠BCF＋60°，∴∠EDB＝∠BCF．∴ED∥FC．∵ED FC，∴四边形CDEF为平行四边形.40、（1）证明：①在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴∠ABC=60°．在等边△ABD中，∠BAD=60°，∴∠BAD=∠ABC=60°．∵E为AB的中点，∴AE=BE．又∵∠AEF=∠BEC，∴△AEF≌△BEC．（2）在△ABC中，∠ACB=90°，E为AB的中点，∴CE=AB，BE=AB．∴CE=AE，∴∠EAC=∠ECA=30°，∴∠BCE=∠EBC=60°．又∵△AEF≌△BEC，∴∠AFE=∠BCE=60°．又∵∠D=60°，∴∠AFE=∠D=60°．∴FC∥BD．又∵∠BAD=∠ABC=60°，∴AD∥BC，即FD∥BC．∴四边形BCFD是平行四边形（3）解：∵∠BAD=60°，∠CAB=30°，∴∠CAH=90°．在Rt△ABC中，∠CAB=30°，BC=1，∴AB=2BC=2．∴AD=AB=2．设AH=x，则HC=HD=AD﹣AH=2﹣x，在Rt△ABC中，AC2=22﹣12=3，在Rt△ACH中，AH2+AC2=HC2，即x2+3=（2﹣x）2，解得x=，即AH=．。

《平行四边形》一、选择题(每小题3分，共30分) 1．边长为3 cm 的菱形的周长是( )A．6 cm B．9 cm C．12 cm D．15 cm 2．在▱ABCD中，已知AB＝(x＋1)cm，BC＝(x－2)cm，CD＝4 cm，则▱ABCD的周长为( ) A．5 cm B．10 cm C．14 cm D．28 cm 3．直角三角形中，两直角边分别是12和5，则斜边上的中线长是( )A．34 B．26 C．8.5 D．6.54．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别是直角边BC ，AC的中点，则DE的长为( )A ．1 B．2 C. 3 D．1＋ 3 5．正方形的一条对角线长为4，则这个正方形面积是( )A．8 B．4 2 C．8 2 D．16 6．下列命题中，错误的是( ) A．平行四边形的对角线互相平分 B．菱形的对角线互相垂直平分C．矩形的对角线相等且互相垂直平分 D．角平分线上的点到角两边的距离相等7．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H，则DH等于( ) A.245 B.125C．5 D．48．如图，把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，设重叠部分为△EBD，则下列说法错误的是( )A．AB＝CD B ．∠BAE＝∠DCEC．EB＝ED D ．∠ABE一定等于30°9．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC中点，连接AF，BE，CE，DF分别交于点M，N，四边形EMFN是( )A．正方形 B．菱形C．矩形 D．无法确定10．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B＝90°时，如图1，测得AC＝2，当∠B＝60°时，如图2，AC＝() A. 2 B．2 C. 6 D．2 2二、填空题(每小题3分，共18分)11．如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，若∠BCO＝55°，则∠ADO＝____________．12．如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1＝20°，则∠2的度数为_________ ___．13．如图，矩形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为____________．14．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OC，OB＝OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是____________．(写出一个即可)15．如图，正方形ABCO的顶点C，A分别在x轴、y轴上，BC是菱形BDCE的对角线，若∠D＝60°，BC＝2，则点D的坐标是____________．16．如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE＋PC的最小值是____________．三、解答题(共52分)17．(10分)如图，点A，F，C，D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE ，∠A＝∠D，AF＝DC.(1)请写出图中两对全等的三角形；(2)求证：四边形BCEF是平行四边形．18．(10分)如图，AC是▱ABCD的对角线，∠BAC＝∠DAC.(1)求证：AB＝BC；(2)若AB＝2，AC＝23，求▱ABCD的面积．19．(10分)如图，已知，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC边上的中线，四边形ADB E是平行四边形．(1)求证：四边形ADBE是矩形；(2)求矩形ADBE的面积．20．(10分)如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE.(1)求证：CE＝CF；(2)若点G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？21．(12分)已知AC是菱形ABCD的对角线，∠BAC＝60°，点E是直线BC上的一个动点，连接A E ，以AE为边作菱形AEFG，并且使∠EAG＝60°，连接CG，当点E在线段BC上时，如图1，易证：AB＝CG＋C E.(1)当点E在线段BC的延长线上时(如图2)，猜想AB，CG，CE之间的关系并证明；(2)当点E在线段CB的延长线上时(如图3)，直接写出AB，CG，CE之间的关系．答案：1．C 2.B 3.D 4.A 5.A 6.C 7.A 8.D 9.B 10.A11.35° 12.110° 13.5 14.答案不唯一，如：AB＝AD或AB＝BC或AC⊥BD等 15.(2＋3，1) 16. 517．(1)△ABF≌△DEC，△ABC≌△DEF. (2)证明：∵△ABF≌△DEC，∴BF＝EC.又∵△AB C≌△DEF，∴BC＝EF.∴四边形BCEF是平行四边形．18．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠DA C ＝∠BCA. ∵∠BAC＝∠DAC，∴∠BAC＝∠BCA.∴AB＝BC. (2)连接BD交AC于点O.∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形． ∴AC⊥BD，OA＝OC＝12AC＝3，OB＝OD＝12BD ，∴OB＝AB 2－OA 2＝22－（3）2＝1.∴BD＝2OB＝2.∴S 菱形ABCD＝12AC·BD＝12×23×2＝2 3.19．(1)证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC.∴∠ADB＝90°. ∵四边形ADBE是平行四边形，∴平行四边形ADBE是矩形．(2)∵AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC边上的中线，∴BD＝DC＝6×12＝3.∵在Rt△ACD中，AC＝5，DC＝3，∴AD＝AC 2－DC 2＝52－32＝4.∴S 矩形ADBE ＝BD·AD＝3×4＝12.20．(1)证明：∵在正方形ABCD中，BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF， ∴△CBE≌△CDF (SAS )．∴CE＝CF.(2)GE＝BE＋GD成立．理由：由(1)，得△CBE≌△CDF，∴∠BCE＝∠DCF.∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD，即∠BCD＝∠ECF＝90°.又∵∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°.∵CE＝CF，∠GCE＝∠GCF，GC＝GC，∴△ECG≌△FCG (SAS )．∴GE＝GF.∴GE＝DF＋GD＝BE ＋GD.21．(1)AB＝CG－CE.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC.∵∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴∠ABC ＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝AC. ∵AD∥BC，AB∥DC，∴∠DAC＝∠ACB＝∠BAC＝∠ACD＝∠EAG＝60°. ∴∠BAC＋∠CAE＝∠EAG＋∠CAE.即∠BAE＝∠CAG.在△ABE和△ACG中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE＝∠CAG，AB ＝AC，∠ABC＝∠ACD，∴△ABE≌△ACG.∴BE＝CG.∵BC＝CD，∴CE＝DG.∵AB＝CD＝CG－DG，∴AB＝CG－CE.(2)AB＝CE－CG.。

特殊的平行四边形1．[2010·] 若菱形的两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为( )A．20 B．16 C．12 D．102．[2015·] 如图J27－1，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD 上，DF＝BE，连接AF，BF.(1)求证：四边形BFDE是矩形；(2)若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB.图J27－13．[2014·] 如图J27－2，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD 于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD.(1)求证：四边形ABEF是菱形；(2)若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求tan∠ADP的值．图J27－21．[2014·西城二模] 如图J27－3，菱形ABCD的周长是20，对角线AC，BD相交于点O，若BD＝6，则菱形ABCD的面积是( )图J27－3A．6 B．12 C．24 D．482．[2013·大兴二模] 如图J27－4，从边长为(a＋4)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a ＋1)cm的正方形(a>0)，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠、无缝隙)，则矩形的面积为( )图J27－4A．(2a2＋5a)cm2 B．(6a＋15)cm2C．(6a＋9)cm2 D．(3a＋15)cm23．[2015·怀柔一模] 如图J27－5，已知正方形ABCD中，G，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，GP的中点，当P在BC上从点B向点C移动而点G不动时，下列结论成立的是( )A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不变D．线段EF的长不能确定4．[2015·丰台二模] 在四边形ABCD中，如果AB＝AD，AB∥CD，请你添加一个．．条件，使得该四边形是菱形，那么这个条件可以是________．图J27－5图J27－65．[2015·东城二模] 如图J27－6，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，以AB为直径作一个半圆，则图中阴影部分的面积为________．6．[2015·顺义二模] 如图J27－7，四边形ABCD为矩形，DE∥AC，且DE＝AB，过点E作AD的垂线交AC于点F.(1)依题意补全图形，并证明四边形EFCD是菱形；(2)若AB＝3，BC＝3 3，求平行线DE与AC间的距离．图J27－7一、选择题1．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．对角线互相垂直平分且相等2．如图J27－8，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度的一半的长为半径画弧，相交于点C，D，则直线CD即为所求．连接AC，BC，AD，BD，根据她的作图方法可知四边形ADBC一定是．．．( )图J27－8A．矩形 B．菱形C．正方形 D．等腰梯形3．如图J27－9，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为( )A．30° B．60°C．90° D．120°图J27－9图J27－104．如图J27－10，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C与点C′重合．若AB＝2，则C′D 的长为( )A．1 B．2 C．3 D．45．如图J27－11，矩形纸片ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，现将其沿AE对折，使得点B 落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为( )A．6 cm B．4cm C．2 cm D．1 cm图J27－11图J27－126．如图J27－12，正方形ABCD的边长为2，H在CD的延长线上，四边形CEFH也为正方形，则△DBF的面积为( )A．4 B. 2 C．2 2 D．27．如图J27－13，将等边三角形ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD，BD，则下列结论：①AD＝BC；②BD，AC互相平分；③四边形ACED是菱形．其中正确的有( ) A．0个 B．1个C．2个 D．3个图J27－13图J27－148．如图J27－14，两个连接在一起的菱形的边长都是 1 cm，一只电子甲虫从点A开始按ABCDAEFGAB…的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行2014 cm时停下，则它停的位置是( )A．点F B．点E C．点A D．点C9．如图J27－15，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为( )图J27－15A．1 B.2C．4－2 2 D．3 2－410．图J27－16是由同样大小的矩形按一定的规律组成，其中第(1)个图形的面积为2 cm2，第(2)个图形的面积为8 cm2，第(3)个图形的面积为18 cm2，…，则第(10)个图形的面积为( )图J27－16A．196 cm2 B．200 cm2C．216 cm2 D．256 cm211．如图J27－17，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1＋S2的值为( )图J27－17A．16 B．17C．18 D．19二、填空题12．如图J27－18，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是________．图J27－1813．顺次连接矩形四边中点所形成的四边形是________；学校的一块菱形花圃两条对角线的长分别是6 m和8 m，则这个花圃的面积为________．14．[2015·石景山二模] 如图J27－19，四边形ABCD为矩形，添加一个条件：________，可使它成为正方形．图J27－19图J27－2015．如图J27－20，在矩形ABCD中，AD＝5，ABE为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′落在∠ABC的平分线上时，DE的长为________．16．[2014·某某期末] 把长与宽之比为2的矩形纸片称为标准纸．如果将一X标准纸ABCD 进行如下操作：将纸片对折并沿折痕剪开，则每一次所得到的两个矩形纸片都是标准纸(每一次的折痕如图J27－21中的虚线所示)．若宽AB＝1，则第2次操作后所得到的其中一个矩形纸片的周长是________；第3次操作后所得到的其中一个矩形纸片的周长是________；第30次操作后所得到的其中一个矩形纸片的周长是________．图J27－21三、解答题17．如图J27－22，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.(1)求证：四边形ADCE为矩形；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．图J27－2218．[2014·昌平二模] 如图J27－23，把边长为a＝2的正方形剪成四个全等的直角三角形，在如图J27－24的正方形网格(每个小正方形的边长均为1)中画出用这四个直角三角形按要求分别拼成的新的多边形(要求全部用上，互不重叠，互不留隙)．(1)矩形(非正方形)；(2)菱形(非正方形)；(3)四边形(非平行四边形)．图J27－23图J27－2419．[2015·某某二模] 如图J27－25，点F 在▱ABCD 的对角线AC 上，过点F ，B 分别作AB ，AC 的平行线相交于点E ，连接BF ，∠ABF ＝∠FBC ＋∠FCB.(1)求证：四边形ABEF 是菱形；(2)若BE ＝5，AD ＝8，sin ∠CBE ＝12，求AC 的长．图J27－2520．问题情境：如图J27－26①，四边形ABCD 是正方形，M 是BC 边上的一点，E 是CD 边的中点，AE 平分∠DAM .探究展示：(1)求证：AM ＝AD ＋MC.(2)AM ＝DE ＋BM 是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．拓展延伸：(3)若四边形ABCD 是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图②，探究展示(1)、(2)中的结论是否成立，请分别做出判断，不需要证明．图J27－26参考答案真题演练1．A2．证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，即DF∥BE.又∵DF＝BE，∴四边形DEBF为平行四边形．又∵DE⊥AB，即∠DEB＝90°，∴四边形DEBF为矩形．(2)∵四边形DEBF为矩形，∴∠BFC＝∠BFD＝90°.∵CF＝3，BF＝4，∴BC＝32＋42＝5，∴AD＝BC＝5，∴AD＝DF，∴∠DAF＝∠DFA.∵CD∥AB，∴∠DFA＝∠FAB，∴∠DAF＝∠FAB，即AF平分∠DAB.3．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∵AE平分∠BAD，BF平分∠ABC，∴∠AFB ＝∠ABF ＝∠EBF ，∴AB ＝AF .同理可证AB ＝BE .∴AF ∥BE 且AF ＝BE ，AB ＝AF ，∴四边形ABEF 是菱形．(2)过点P 作PG ⊥AD 于点G .∵AB ＝4，AD ＝6，∠ABC ＝60°，AB ＝BE ，∴△ABE 为等边三角形，∴∠AEB ＝60°，AE ＝AB ，∴AP ＝12AE ＝2. ∵∠EAF ＝∠AEB ＝60°，∴在Rt △APG 中，AG ＝1，PG ＝3，∴DG ＝AD －AG ＝6－1＝5，∴tan ∠ADP ＝PG DG ＝35. 模拟训练1．C 2.B3．C4．答案不唯一，如AB ＝CD 或AD ∥BC 等 5.25π8－66．解：补全图形如图①.(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ADC ＝90°，CD ＝AB .∵EF ⊥AD ，∴∠EHD ＝90°，∴∠EHD ＝∠ADC ，∴EF ∥CD .又∵DE ∥AC ，∴四边形EFCD 是平行四边形．又∵DE ＝AB ，∴DE ＝CD ，∴四边形EFCD 是菱形．(2)如图②，过点D 作DG ⊥AC 于点G .在Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝3 3，∴tan ∠ACB ＝33 3＝33，CD ＝3， ∴∠ACB ＝30°，∴∠1＝60°，∴在Rt △DCG 中，CD ＝3，DG ＝CD ·sin ∠1＝3×32＝3 32， ∴平行线DE 与AC 间的距离是3 32. 自测训练1．A2．B [解析] ∵分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点C ，D ， ∴AC ＝AD ＝BD ＝BC ，∴四边形ADBC 一定是菱形．故选B.3．B [解析] ∵矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，∴OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠ACB ＝30°，∴∠AOB ＝∠OBC ＋∠ACB ＝30°＋30°＝60°.故选B.4．B [解析] 在矩形ABCD 中，CD ＝AB .∵矩形ABCD 沿对角线BD 折叠后点C 和点C ′重合，∴C ′D ＝CD ，∴C ′D ＝AB ＝2.故选B.5．C [解析] ∵沿AE 对折，点B 落在边AD 上的点B 1处，∴∠B ＝∠AB 1E ＝90°，AB ＝AB 1.又∵∠BAD ＝90°，∴四边形ABEB 1是正方形，∴BE ＝AB ＝6 cm ，∴CE ＝BC －BE ＝8－6＝2(cm)．故选C.6．D [解析] 设正方形CEFH 的边长为a .根据题意得S △DBF ＝4＋a 2－12×4－12a (a －2)－12a (a ＋2)＝2＋a 2－12a 2＋a －12a 2－a D. 7．D8．A [解析] ∵两个菱形的边长都为1 cm ，∴从点A 开始移动8 cm 后回到点A.∵2014÷8＝251……6，∴移动2014 cm 为第252个循环组的第6 cm ，在点F 处．故选A.9．C [解析] 在正方形ABCD 中，∠ABD ＝∠ADB ＝45°，∠BAE °，∴∠DAE ＝90°－∠BAE ＝90°°°.在△ADE 中，∠AED ＝180°－45°°°，∴∠DAE ＝∠AED ，∴AD ＝DE ＝4.∵正方形的边长为4，∴BD ＝4 2，∴BE ＝BD －DE ＝4 2－4.∵EF ⊥AB ，∠ABD ＝45°，∴△BEF 是等腰直角三角形，∴EF ＝22BE ＝22×(4 2－4)＝4－2 2.10．B [解析] ∵第(1)个图形的面积为1×2＝2(cm 2)，第(2)个图形的面积为22×2＝8(cm 2)，第(3)个图形的面积为32×2＝18(cm 2)，…，∴第(10)个图形的面积为102×2＝200(cm 2)．故选B.11．B [解析] 如图，设正方形BCEF 的边长为x .根据等腰三角形的性质，知AC ＝2x ，x ＝2CD ，∴AC ＝2CD ，CD ＝63＝2， ∴EC 2＝22＋22，即EC ＝2 2.∴S 2＝2 2×2 2＝8.易知另一正方形的边长为3，∴S 1＝3×3＝9，∴S 1＋S 2＝9＋8＝17.故选B.12．4 [解析] ∵四边形ABCD 是矩形，∴AC ＝BD ，OA ＝OC ＝12AC ，BO ＝DO ＝12BD ，∴OA ＝OC ＝OB ＝OD ，∴等腰三角形有△OAB ，△OAD ，△OBC ，△OCD ，共4个．13．菱形 24 m 214．AB ＝BC 等(答案不唯一)15.53或52[解析] 如图，连接BD ′，过点D ′作MN ⊥AB ，交AB 于点M ，交CD 于点N ，作D ′P ⊥BC 交BC 于点P ，则四边形BPD ′M 是矩形．∵点D 的对应点D ′落在∠ABC 的平分线上，∴MD ′＝PD ′，则四边形BPD ′M 是正方形．设MD ′＝x ，则PD ′＝BM ＝x ，∴AM ＝AB －BM ＝7－x .由折叠的性质可得AD ′＝5，∴x 2＋(7－x )2＝25，解得x ＝3或x ＝4，即MD ′＝3或MD ′＝4.在Rt △END ′中，设ED ′＝a ，①当MD ′＝3时，D ′N ＝5－3＝2，EN ＝7－－DE ＝7－3－a ＝4－a ，∴a 2＝22＋(4－a )2，解得a ＝52，即DE ＝52； ②当MD ′＝4时，D ′N ＝5－4＝1，EN ＝7－－DE ＝7－4－a ＝3－a ，∴a 2＝12＋(3－a )2，解得a ＝53，即DE ＝53.故答案为52或53. 16．1＋22＋221＋2214 17．解：(1)证明：∵在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴∠BAD ＝∠DAC.∵AN 是△ABC 的外角∠CAM 的平分线，∴∠MAE ＝∠CAE ，∴∠DAE ＝∠DAC ＋∠CAE ＝12×180°＝90°. 又∵AD ⊥BC ，CE ⊥AN ，∴∠ADC ＝∠CEA ＝90°，∴四边形ADCE 为矩形．(2)当∠BAC ＝90°时，四边形ADCE 是正方形．证明：∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，∴∠ACD ＝∠DAC ＝45°，∴DC ＝AD.由(1)知四边形ADCE 为矩形，∴矩形ADCE 是正方形．18．解：如图所示．19．解：(1)证明：∵EF∥AB，BE∥AF，∴四边形ABEF是平行四边形．∵∠ABF＝∠FBC＋∠FCB，∠AFB＝∠FBC＋∠FCB，∴∠ABF＝∠AFB，∴AB＝AF，∴▱ABEF是菱形．(2)如图，过点D作DH⊥AC于点H.∵sin∠CBE＝12，∴∠CBE＝30°.∵BE∥AC，∴∠1＝∠CBE.∵AD∥BC，∴∠2＝∠1，∴∠2＝∠CBE＝30°.在Rt△ADH中，AH＝AD·cos∠2＝4 3，DH＝AD·sin∠2＝4.∵四边形ABEF是菱形，∴CD＝AB＝BE＝5，∴在Rt△CDH中，CH＝CD2－DH2＝3，∴AC＝AH＋CH＝4 3＋3.20．解：(1)证明：方法一：如图①.过点E 作EF ⊥AM ，垂足为F .∵AE 平分∠DAM ，∴ED ＝EF .在Rt △AEF 和Rt △AED 中，⎩⎪⎨⎪⎧EF ＝ED ，AE ＝AE ， ∴Rt △AEF ≌Rt △AED (HL )，∴AF ＝AD .连接EM .∵E 是CD 边的中点，∴ED ＝CE .∵ED ＝EF ，∴CE ＝EF .在Rt △MEF 和Rt △MEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧EF ＝EC ，EM ＝EM ， ∴Rt △MEF ≌Rt △MEC (HL )，∴FM ＝CM .∵AM ＝AF ＋FM ，∴AM ＝AD ＋MC .方法二：如图②.把△ADE 绕点E 顺时针旋转180°，使DE 和CE 重合．∴点A，E，A′在同一直线上，点M，C，A′在同一直线上，∠DAE＝∠EA′C，AD＝A′C. ∵AE平分∠DAM，∴∠DAE＝∠MAE，∴∠EA′C＝∠MAE，∴AM＝MA′.∵MA′＝MC＋CA′，∴AM＝AD＋MC.(2)成立．证明如下：如图③，把△ADE绕点A顺时针旋转90°，使AD和AB重合．∴∠DAE＝∠BAE′，∠AED＝∠E′，DE＝BE′.∵AE平分∠DAM，∴∠DAE＝∠MAE.∵AB∥CD，∴∠AED＝∠BAE.∵∠BAE＝∠BAM＋∠MAE，∴∠BAE＝∠BAM＋∠BAE′，∴∠BAE＝∠MAE′，∴∠E′＝∠MAE′，∴AM＝E′M.∵E′M＝E′B＋BM，∴AM＝DE＋BM. (3)AM＝AD＋MC成立．AM＝DE＋BM不成立．。

练习1一、选择题（3′×10=30′）1．下列性质中，平行四边形具有而非平行四边形不具有的是（）．A．内角和为360° B．外角和为360° C．不确定性 D．对角相等2．ABCD中，∠A=55°，则∠B、∠C的度数分别是（）．A．135°，55° B．55°，135° C．125°，55° D．55°，125°3．下列正确结论的个数是（）．①平行四边形内角和为360°；②平行四边形对角线相等；③平行四边形对角线互相平分；④平行四边形邻角互补．A．1 B．2 C．3 D．44．平行四边形中一边的长为10cm，那么它的两条对角线的长度可能是（）．A．4cm和6cm B．20cm和30cm C．6cm和8cm D．8cm和12cm5．在ABCD中，AB+BC=11cm，∠B=30°，S ABCD=15cm2，则AB与BC的值可能是（）．A．5cm和6cm B．4cm和7cm C．3cm和8cm D．2cm和9cm6．在下列定理中，没有逆定理的是（）．A．有斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等;B．直角三角形两个锐角互余;C．全等三角形对应角相等;D．角平分线上的点到这个角两边的距离相等.7．下列说法中正确的是（）．A．每个命题都有逆命题 B．每个定理都有逆定理C．真命题的逆命题是真命题 D．假命题的逆命题是假命题8．一个三角形三个内角之比为1：2：1，其相对应三边之比为（）．A．1：2：1 B．12：1 C．1：4：1 D．12：1：29．一个三角形的三条中位线把这个三角形分成面积相等的三角形有（）个．A．2 B．3 C．4 D．510．如图所示，在△ABC中，M是BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN．若AB=•14，•AC=19，则MN的长为（）．A．2 B．2.5 C．3 D．3.5二、填空题（3′×10=30′）11．用14cm长的一根铁丝围成一个平行四边形，短边与长边的比为3：4，短边的比为________，长边的比为________．12．已知平行四边形的周长为20cm，一条对角线把它分成两个三角形，•周长都是18cm，则这条对角线长是_________cm．13．在ABCD中，AB的垂直平分线EF经过点D，在AB上的垂足为E，•若ABCD•的周长为38cm，△ABD的周长比ABCD的周长少10cm，则ABCD的一组邻边长分别为______．14．在ABCD中，E是BC边上一点，且AB=BE，又AE的延长线交DC的延长线于点F．若∠F=65°，则ABCD 的各内角度数分别为_________．15．平行四边形两邻边的长分别为20cm ，16cm ，两条长边的距离是8cm ，•则两条短边的距离是_____cm ． 16．如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的______和_______，•那么这两个命题是互为逆命题．17．命题“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是_________．18．在直角三角形中，已知两边的长分别是4和3，则第三边的长是________．19．直角三角形两直角边的长分别为8和10，则斜边上的高为________，斜边被高分成两部分的长分别是__________． 20．△ABC 的两边分别为5，12，另一边c 为奇数，且a+b+•c•是3•的倍数，•则c•应为________，此三角形为________三角形．三、解答题（6′×10=60′）21．如右图所示，在ABCD 中，BF ⊥AD 于F ，BE ⊥CD 于E ，若∠A=60°，AF=3cm ，CE=2cm ，求ABCD 的周长．22．如图所示，在ABCD 中，E 、F 是对角线BD 上的两点，且BE=DF.求证：（1）AE=CF ；（2）AE ∥CF ．23．如图所示，ABCD 的周长是103+62，AB 的长是53，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥CB 交CB•的延长线于点F ，DE 的长是3，求（1）∠C 的大小；（2）DF 的长．FCDAEB24．如图所示，ABCD中，AQ、BN、CN、DQ分别是∠DAB、∠ABC、∠BCD、•∠CDA的平分线，AQ与BN交于P，CN与DQ交于M，在不添加其它条件的情况下，试写出一个由上述条件推出的结论，并给出证明过程（要求：•推理过程中要用到“平行四边形”和“角平分线”这两个条件）．25．已知△ABC的三边分别为a，b，c，a=n2-16，b=8n，c=n2+16（n>4）.求证：∠C=90°．26．如图所示，在△ABC中，AC=8，BC=6，在△ABE中，DE⊥AB于D，DE=12，S△ABE=60，•求∠C的度数．27．已知三角形三条中位线的比为3：5：6，三角形的周长是112cm，•求三条中位线的长．28．如图所示，已知AB=CD，AN=ND，BM=CM，求证：∠1=∠2．29．如图所示，△ABC的顶点A在直线MN上，△ABC绕点A旋转，BE⊥MN于E，•CD•⊥MN 于D，F为BC中点，当MN经过△ABC的内部时，求证：（1）FE=FD；（2）当△ABC继续旋转，•使MN不经过△ABC内部时，其他条件不变，上述结论是否成立呢？30．如图所示，E 是ABCD 的边AB 延长线上一点，DE 交BC 于F ，求证：S △ABF =S △EFC ．答案:一、1．D 2．C 3．C 4．B 5．A 6．C 7．A 8．B 9．C 10．C二、11．3cm 4cm 12．8 13．9cm 和10cm 14．50°，130°，50°，130° • • 15．10 16．结论 题设 17．同旁内角互补，两直线平行 18．519．13 直角 三、21．ABCD 的周长为20cm 22．略23．（1）∠C=45° （2）DF=224．略 25．•略 26．∠C=90° 27．三条中位线的长为：12cm ；20cm ；24cm 28．提示：连结BD ，取BD•的中点G ，连结MG ，NG 29．（1）略 （2）结论仍成立．提示：过F 作FG ⊥MN 于G 30．略练习2一、填空题(每空2分,共28分)1.已知在ABCD 中,AB =14cm ,BC =16cm ,则此平行四边形的周长为 cm .2.要说明一个四边形是菱形,可以先说明这个四边形是 形,再说明(只需填写一种方法)3.如图,正方形ABCD 的对线AC 、BD 相交于点O .那么图中共有 个等腰直角三角形. 4.把“直角三角形、等腰三角形、等腰直角三角形”填入下列相应的空格上.(1)正方形可以由两个能够完全重合的 拼合而成; (第3题)AB CD O(2)菱形可以由两个能够完全重合的 拼合而成; (3)矩形可以由两个能够完全重合的 拼合而成.5.矩形的两条对角线的夹角为 60,较短的边长为12cm ,则对角线长为 cm .6.若直角梯形被一条对角线分成两个等腰直角三角形,那么这个梯形中除两个直角外,其余两个内角的度数分别为 和 .7.平行四边形的周长为24cm ,相邻两边长的比为3:1,那么这个平行四边形较短的边长为 cm .8.根据图中所给的尺寸和比例,可知这个“十”字标志的周长为 m .(第8题) (第10题) 9.已知平行四边形的两条对角线互相垂直且长分别为12cm 和6cm ,那么这个平行四边形 的面积为 2cm .10.如图,l 是四边形ABCD 的对称轴,如果AD ∥BC ,有下列结论: (1)AB ∥CD ;(2)AB=CD ;(3)AB ⊥BC ;(4)AO=OC .其中正确的结论是 . (把你认为正确的结论的序号都填上) 二、选择题(每题3分,共24分)11. 如果一个多边形的内角和等于一个三角形的外角和，那么这个多边形是（ ）A 、三角形B 、四边形C 、五边形D 、六边形12.下列说法中,错误的是 ( ) A.平行四边形的对角线互相平分 B.对角线互相平分的四边形是平行四边形 C. 平行四边形的对角相等 D.对角线互相垂直的四边形是平行四边形13.给出四个特征(1)两条对角线相等;(2)任一组对角互补;(3)任一组邻角互补;(4)是轴对称图形但不是中心对称图形,其中属于矩形和等腰梯形共同具有的特征的共有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 14. 四边形ABCD 中，AD//BC ，那么 的值可能是（ ） A 、3：5：6：4 B 、3：4：5：6 C 、4：5：6：3 D 、6：5：3：415.如图,直线a ∥b ,A 是直线a 上的一个定点,线段BC 在直线b 上移动,那么在移动过程中ABC ∆的面积 ( )A.变大B.变小C.不变D.无法确定(第15题) (第16题) (第17题) 16.如图,矩形ABCD 沿着AE 折叠,使D 点落在BC 边上的F 点处,如果 60=∠BAF ,则DAE ∠ 等于 ( ) A. 15 B. 30 C. 45 D. 6017.如图,在ABC ∆中,AB=AC =5,D 是BC 上的点,DE ∥AB 交AC 于点E ,DF ∥AC 交AB 于点F ,A B C D EF 1m 1mA B C a b A B CDO l那么四边形AFDE 的周长是 ( ) A.5 B.10 C.15 D.2018.已知四边形ABCD 中,AC 交BD 于点O ,如果只给条件“AB ∥CD ”,那么还不能判定四形 ABCD 为平行四边形,给出以下四种说法:(1)如果再加上条件“BC=AD ”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形;(2)如果再加上条件“BCD BAD ∠=∠”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形; (3)如果再加上条件“AO=OC ”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形;(4)如果再加上条件“CAB DBA ∠=∠”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形 其中正确的说法是( )A.(1)(2)B.(1)(3)(4)C.(2)(3)D.(2)(3)(4) 三、解答题(第19题8分,第20~23题每题10分,共48分)19.如图, 中,DB=CD ,70=∠C ,AE ⊥BD 于E .试求DAE ∠的度数.(第19题)20.如图,中,G 是CD 上一点,BG 交AD 延长线于E ,AF=CG , 100=∠DGE . (1)试说明DF=BG ; (2)试求AFD ∠的度数.(第20题)21.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行:(1)先截出两对符合规格的铝合金窗料(如图①),使AB=CD,EF=GH ;(2)摆放成如图②的四边形,则这时窗框的形状是 形,根据的数学道理是: ;(3)将直角尺靠紧窗框的一个角(如图③),调整窗框的边框,当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图④),说明窗框合格,这时窗框是 形,根据的数学道理是: .AB CD EABCDABCD FEGABCD(图①) (图②) (图③) (图④) (第21题)22.李大伯家有一口如图所示的四边形的池塘,在它的四个角上均有一棵大柳树,李大伯开挖池塘,使池塘面积扩大一倍,又想保持柳树不动,如果要求新池塘成平行四边形的形状.请问李大伯愿望能否实现?若能,请画出你的设计;若不能,请说明理由.(第22题)答案1.60.2.平行四边形;有一组邻边相等.3.8. 提示:它们是.,,,,,,,ACD BCD ABC ABD AOD COD BOC AOB ∆∆∆∆∆∆∆∆4.(1)等腰直角三角形; (2)等腰三角形; (3)直角三角形. 7.3. 8.4. 提示:如图所示,将“十”字标志的某些边进行平移后可得到一个边长为1m 的正方 形,所以它的周长为4m .8题) 9. 36. 提示:菱形的面积等于菱形两条对角线乘积的一半. 10. (1)(2)(4). 提示:四边形ABCD 是菱形. 11.B. 12.D. 13.C. 14.C.15.C. 提示:因为ABC ∆的底边BC 的长不变,BC 边上的高等于直线b a ,之间的距离也不变,所以ABC ∆的面积不变.16.A. 提示:由于()BAF DAE FAE DAE FAE ∠-=∠=∠∠∠ 9021,所以通过折叠后得到的是由 . 17.B. 提示:先说明DF=BF,DE=CE,所以四边形AFDE 的周长=AF+DF+DE+AE=AF+BF+CE+AE=AB+AC. 18.C.19.因为BD=CD ,所以,C DBC ∠=∠又因为四边形ABCD 是平行四边形,所以AD ∥BC ,所以,DBC D ∠=∠因为 20709090,,=-=∠-=∠∆⊥D DAE AED BD AE 中所以在直角.20.(1)因为四边形ABCD 是平行四边形,所以AB=DC ,又AF=CG ,所以AB －AF=DC －CG,即GD=BF,又 DG ∥BF,所以四边形DFBG 是平行四边形,所以DF=BG ;(2)因为四边形DFBG 是平行四边形,所以DF ∥GB,所以AFD GBF ∠=∠,同理可得DGE GBF ∠=∠,所以 100=∠=∠DGE AFD .21.(1)平行四边,两组对边分别相等的四边形是平行四边形;A BCD(2)矩,有一个是直角的平行四边形是矩形.22.如图所示,连结对角线AC 、BD,过A 、B 、C 、D 分别作BD 、AC 、BD 、AC 的平行线,且这些 平行线两两相交于E 、F 、G 、H ,四边形EFGH 即为符合条件的平行四边形.练习31、把正方形ABCD 绕着点A ，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ，边FG 与BC 交于点H （如图）．试问线段HG 与线段HB 相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．2、四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ．（1）求证：AE =CG ；（2）观察图形，猜想AE 与CG 之间的位置关系，并证明你的猜想．3、将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D ′ 处，折痕为A B CDE FGH DC ABGH F EEF ．（1）求证：△ABE ≌△AD ′F ；（2）连接CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论．挑战自我：1、 (2010年眉山市)．如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°2、（2010福建龙岩中考）下列图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的图形是（ ）A. 正三角形B. 正方形C. 正五边形D. 正六边形 3．（2010年北京顺义）若一个正多边形的一个内角是120°，则这个正多边形的边数是（ ）A ．9B ．8C ．6D ．44、（2010年福建福州中考）如图4，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若AC=14，BD=8，AB=10，则△OAB 的周长为 。

平行四边形(60分)一、选择题(每题6分，共24分)1．[2015·常州]如图27－1，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列说法一定正确的是 (C)A．AO＝OD B．AO⊥ODC．AO＝OC D．AO⊥AB【解析】根据平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分进行判断．图27－1 图27－22．[2014·宿迁]如图27－2，▱ABCD中，BC＝BD，∠C＝74°，则∠ADB的度数是(C)A．16° B．22° C．32° D．68°3．[2015·玉林]如图27－3，在▱ABCD中，BM是∠ABC的平分线，交CD于点M，且MC＝2，▱ABCD的周长是14，则DM等于(C)A．1 B．2 C．3 D．4【解析】∵BM是∠ABC的平分线，∴∠ABM＝∠CBM，∵AB∥CD，∴∠ABM＝∠BMC，∴∠BMC＝∠CBM，∴BC＝MC＝2，∵▱ABCD的周长是14，∴BC＋CD＝7，∴CD＝5，则DM＝CD－MC＝3.4．四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD.从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有(B)A．3种 B．4种 C．5种 D．6种【解析】①②组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD 为平行四边形；③④组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD 为平行四边形；①③可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD＝CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；①④可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD＝CB ，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行图27－3四边形，故选B. 二、填空题(每题6分，共18分) 5．[2014·内江]如图27－4，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，AD ∥BC ，请添加一个条件：__AD ＝BC (或者AB ∥DC ，答案不唯一)__，使四边形ABCD 为平行四边形(不添加任何辅助线)．图27－4 图27－56．如图27－5，▱ABCD 的周长为36，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是CD 的中点，BD ＝12，则△DOE 的周长为__15__．【解析】 ∵▱ABCD 的周长为36，∴2(BC ＋CD )＝36，则BC ＋CD ＝18.∵四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC ，BD 相交于点O ，BD ＝12，∴OD ＝OB ＝12BD ＝6. 又∵点E 是CD 的中点，∴OE 是△BCD 的中位线，DE ＝12CD ， ∴OE ＝12BC ， ∴△DOE 的周长＝OD ＋OE ＋DE ＝12BD ＋12(BC ＋CD )＝6＋9＝15，即△DOE 的周长为15. 7．[2015·湖北]在▱ABCD 中，AD ＝BD ，BE 是AD 边上的高，∠EBD ＝20°，则∠A 的度数为__55°或35°__.②第7题答图【解析】 当E 点在线段AD 上时，如答图①，∵BE 是AD 边上的高，∠EBD ＝20°，∴∠ADB ＝70°，∵AD ＝BD ，∴∠A ＝12(180°－70°)＝55°； 当E 点在AD 延长线上时，如答图②，∵BE 是AD 边上的高，∠EBD ＝20°，∴∠BDE＝70°，∵AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝12∠BDE＝35°.故答案为55°或35°.三、解答题(共30分)8．(10分)[2014·台州]如图27－6①是某公共汽车前挡风玻璃的雨刮器，其工作原理如图27－6②，雨刷EF⊥AD，垂足为A，AB＝CD，且AD＝BC.这样能使雨刷EF在运动时，始终垂直于玻璃窗下沿BC.请证明这一结论．图27－6证明：∵AB＝CD且AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形．∴AD∥BC，∵EF⊥AD，∴EF⊥BC.9．(10分)[2015·广安]如图27－7，在平行四边形ABCD中，将△BCD沿BD翻折，使点C落在点E处，BE和AD相交于点O.求证：OA＝OE.证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，且AD＝BC，∴∠ADB＝∠CBD，由折叠可知∠EBD＝∠CBD，BE＝BC，∴∠EBD＝∠ADB，∴BO＝DO，∵AD＝BE，∴AD－DO＝BE－BO，即OA＝OE.10．(10分)[2014·徐州]已知：如图27－8，在▱ABCD中，点E，F在AC上，且AE＝CF. 求证：四边形BEDF是平行四边形．图27－8证明：连结BD与AC相交于点O，∵四边形ABCD为平行四边形，∴OB＝OD，OA＝OC，∵AE＝CF，图27－7第10题答图∴OE＝OF，∴四边形BEDF是平行四边形．(13分)11．(13分)[2014·凉山]如图27－9，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边△ACD及等边△ABE，已知：∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连结DF.(1)试说明AC＝EF；(2)求证：四边形ADFE是平行四边形．解：(1)∵△AEB是等边三角形，EF⊥AB，∴∠AEF＝12∠AEB＝30°＝∠BAC，AE＝AB，∠EFA＝90°.又∵∠ACB＝90°，∴∠EFA＝∠ACB.∴△AEF≌△BAC(AAS)，∴AC＝EF；(2)证明：∵△ACD是等边三角形，∴AC＝AD，∠DAC＝60°.由(1)的结论得AC＝EF，∴AD＝EF.又∵∠BAC＝30°，∴∠FAD＝∠BAC＋∠DAC＝90°.又∵∠EFA＝90°，∴EF∥AD，又∵EF＝AD，∴四边形ADFE是平行四边形(15分)12．(15分)[2015·毕节]如图27－10，将▱ABCD的AD边延长至点E，使DE＝12AD，连结CE，F是BC边的中点，连结FD.(1)求证：四边形CEDF是平行四边形；(2)若AB＝3，AD＝4，∠A＝60°，求CE的长．图27－10【解析】(1)利用平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC，进而利用已知得出DE＝FC，DE∥FC；(2)首先过点D作DN⊥BC于点N，再利用平行四边形的性质结合勾股定理得出DF的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵DE＝12AD，F是BC边的中点，图27－9第12题答图∴DE ＝FC ，DE ∥FC ，∴四边形CEDF 是平行四边形；(2)过点D 作DN ⊥BC 于点N ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∠A ＝60°， ∴∠BCD ＝∠A ＝60°，∵AB ＝3，AD ＝4，∴FC ＝2，NC ＝12DC ＝32，DN ＝332， ∴FN ＝12，则DF ＝DN 2＋FN 2＝7， ∴CE ＝DF ＝7.。

平行四边形1、〔德阳市2021年〕如图．在ABCD中，AB＝6、AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，DC的延长线于点F, BG⊥AE，垂足为G，假设BG＝42，那么△CEF的面积是A、22B、2C、32D、42答案：A解析：∵在▱ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠BAF=∠DAF，∵AB∥DF，∠BAF=∠F，∴∠F=∠DAF，∴△ADF是等腰三角形，AD=DF=9；∵AB=CD=6，∴CF=3；∠BEA=∠DAF＝∠BAF，所以，BA＝BE，∴在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=42可得：AG=2，又∵BG⊥AE，∴AE=2AG=4，∴△ABE的面积等于82，又∵▱ABCD，∴△CEF∽△BEA，相似比为1：2，面积1：4，∴△CEF的面积为,22．2、〔2021杭州〕在▱ABCD中，以下结论一定正确的选项是〔〕A．AC⊥BD B．∠A+∠B=180°C．AB=AD D．∠A≠∠C考点：平行四边形的性质．分析：由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，即可证得∠A+∠B=180°．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A+∠B=180°．应选B．点评：此题考查了平行四边形的性质．此题比拟简单，注意掌握数形结合思想的应用．3、〔2021•内江〕如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，那么DE：EC=〔〕A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根据S△DEF：S△ABF=4：10：25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出 DE：EC的值，由AB=CD即可得出结论．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE，∴△DEF∽△BAF，∵S△DEF：S△ABF=4：25，∴DE：AB=2：5，∵AB=CD，∴DE：EC=2：3．应选B．点评：此题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．4、〔2021•自贡〕如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，那么△EFC的周长为〔〕A．11 B．10 C．9D．8考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．分析：判断出△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，DF的长度，继而得到EC的长度，在Rt△BGE中求出GE，继而得到AE，求出△ABE的周长，根据相似三角形的周长之比等于相似比，可得出△EFC的周长．解答：解：∵在▱ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠BAF=∠DAF，∵AB∥DF，AD∥BC，∴∠BAF=∠F=∠DAF，∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=6，AD=DF=9，∴△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，∵AD∥BC，∴△EFC是等腰三角形，且FC=CE，∴EC=FC=9﹣6=3，在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=4，∴AG==2，∴AE=2AG=4，∴△ABE的周长等于16，又∵△CEF∽△BEA，相似比为1：2，∴△CEF的周长为8．应选D．点评：此题主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性质，注意掌握相似三角形的周长之比等于相似比，此题难度较大．5、〔2021•泸州〕四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，以下条件不能判定这个四边形是平行四边形的是〔〕A．A B∥DC，AD∥BC B．A B=DC，AD=BC C．A O=CO，BO=DO D．A B∥DC，AD=BC考点：平行四边形的判定．分析：根据平行四边形判定定理进行判断．解答：解：A、由“AB∥DC，AD∥BC〞可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，那么该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；B、由“AB=DC，AD=BC〞可知，四边形ABCD的两组对边相等，那么该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；C、由“AO=CO，BO=DO〞可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，那么该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；D、由“AB∥DC，AD=BC〞可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意；应选D．点评：此题考查了平行四边形的判定．〔1〕两组对边分别平行的四边形是平行四边形．〔2〕两组对边分别相等的四边形是平行四边形．〔3〕一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．〔4〕两组对角分别相等的四边形是平行四边形．〔5〕对角线互相平分的四边形是平行四边形．6、〔2021泰安〕如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，假设DG=1，那么AE的边长为〔〕A．2 B．4 C．4 D．8考点：平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．专题：计算题．分析：由AE为角平分线，得到一对角相等，再由ABCD为平行四边形，得到AD与BE平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换及等角对等边得到AD=DF，由F为DC 中点，AB=CD，求出AD与DF的长，得出三角形ADF为等腰三角形，根据三线合一得到G为AF中点，在直角三角形ADG中，由AD与DG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而求出AF 的长，再由三角形ADF与三角形ECF全等，得出AF=EF，即可求出AE的长．解答：解：∵AE为∠ADB的平分线，∴∠DAE=∠BAE，∵DC∥AB，∴∠BAE=∠DFA，∴∠DAE=∠DFA，∴AD=FD，又F为DC的中点，∴DF=CF，∴AD=DF=DC=AB=2，在Rt△ADG中，根据勾股定理得：AG=，那么AF=2AG=2，在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF〔AAS〕，∴AF=EF，那么AE=2AF=4．应选B点评：此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解此题的关键．7、〔2021•益阳〕如图，在平行四边形ABCD中，以下结论中错误的选项是〔〕A．∠1=∠2B．∠BAD=∠BCD C．A B=CD D．A C⊥BD考点：平行四边形的性质．分析：根据平行四边形的性质，平行四边形对边平行以及对边相等和对角相等分别判断得出即可．解答：解：∵在平行四边形ABCD中，∴AB∥CD，∴∠1=∠2，故此选项正确，不合题意；∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠BC D，AB=CD，故B，C选项正确，不合题意；无法得出AC⊥BD，故此选项错误，符合题意．应选D．点评：此题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握相关的性质是解题关键．8、〔2021•湘西州〕如图，在▱ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD延长线于点F，那么△EDF与△BCF的周长之比是〔〕A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质分析：根据平行四边形性质得出AD=BC，AD∥BC，推出△EDF∽△BCF，得出△EDF与△BCF 的周长之比为，根据BC=AD=2DE代入求出即可．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∴△EDF∽△BCF，∴△EDF与△BCF的周长之比为，∵E是AD边上的中点，∴AD=2DE，∵AD=BC，∴BC=2DE，∴△EDF与△BCF的周长之比1：2，应选A．点评：此题考查了平行四边形性质，相似三角形的性质和判定的应用，注意：平行四边形的对边平行且相等，相似三角形的周长之比等于相似比．9、〔2021•荆门〕四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出以下四个条件：①AD∥BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有〔〕A．3种B．4种C．5种D．6种考点：平行四边形的判定．分析：根据题目所给条件，利用平行四边形的判定方法分别进行分析即可．解答：解：①②组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD 为平行四边形；③④组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；①③可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；①④可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；应选：B．点评：此题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟练掌握平行四边形的判定定理．10、〔2021•恩施州〕如下图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，那么DF：FC=〔〕A．1：4 B．1：3 C．2：3 D．1：2考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：首先证明△DFE∽△BAE，然后利用对应变成比例，E为OD的中点，求出DF：AB的值，又知AB=DC，即可得出DF：FC的值．解答：解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，那么△DFE∽△BAE，∴=，∵O为对角线的交点，∴DO=BO，又∵E为OD的中点，∴DE=DB，那么DE：EB=1：3，∴DF：AB=1：3，∵DC=AB，∴D F：DC=1：3，∴DF：FC=1：2．应选D．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，难度适中，解答此题的关键是根据平行证明△DFE∽△BAE，然后根据对应边成比例求值．11、〔2021•绥化〕如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AD，AB的中点，EF交AC于点H，那么的值为〔〕A．1B．C．D．考点：三角形中位线定理；平行四边形的性质．分析：根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出H是AO的中点，再根据平行四边形的对角线互相平分可得AO=CO，然后求出CH=3AH，再求解即可．解答：解：∵点E，F分别是边AD，AB的中点，∴AH=HO，∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∴AO=CO，∴CH=3AH，∴=．应选C．点评：此题考查了平行四边形对角线互相平分的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记各性质是解题的关键．12、〔2021哈尔滨〕如图，在ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE=3，那么AB的长为( )．(A)4 (B)3 (C) 52(D)2考点：平行四边形的性质及等腰三角形判定．分析：此题主要考查了平行四边形的性质：平边四边形的对边平行且相等；等腰三角形判定，两直线平行内错角相等；综合运用这三个性质是解题的关键解答：根据CECE平分∠BCD得∠BCE=∠ECD,AD∥BC得∠BCE=∠DEC从而△DCE为等腰三角形，ED=DC=AB,2AB=AD=AE+ED=3+AB,解得AB=3应选B13、〔2021•黔西南州〕▱ABCD中，∠A+∠C=200°，那么∠B的度数是〔〕A．100°B．160°C．80°D．60°考点：平行四边形的性质．分析：由四边形ABCD是平行四边形，可得∠A=∠C，AD∥BC，又由∠A+∠C=200°，即可求得∠A的度数，继而求得答案．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AD∥BC，∵∠A+∠C=200°，∴∠A=100°，∴∠B=180°﹣∠A=80°．应选C．点评：此题考查了平行四边形的性质．此题比拟简单，注意掌握平行四边形的对角相等、邻角互补的知识．14、〔2021•钦州〕如图，图1、图2、图3分别表示甲、乙、丙三人由甲A地到B地的路线图〔箭头表示行进的方向〕．其中E为AB的中点，AH＞HB，判断三人行进路线长度的大小关系为〔〕A．甲＜乙＜丙B．乙＜丙＜甲C．丙＜乙＜甲D．甲=乙=丙考点：平行四边形的判定与性质．专题：应用题．分析：延长ED和BF交于C，如图2，延长AG和BK交于C，根据平行四边形的性质和判定求出即可．解答：解：图1中，甲走的路线长是AC+BC的长度；延长ED和BF交于C，如图2，∵∠DEA=∠B=60°，∴DE∥CF，同理EF∥CD，∴四边形CDEF是平行四边形，∴EF=CD，DE=CF，即乙走的路线长是AD+DE+EF+FB=AD+CD+CF+BC=AC+BC的长；延长AG和BK交于C，如图3，与以上证明过程类似GH=CK，CG=HK，即丙走的路线长是AG+GH+HK+KB=AG+CG+CK+BK=AC+BC的长；即甲=乙=丙，应选D．点评：此题考查了平行线的判定，平行四边形的性质和判定的应用，注意：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形的对边相等．15、〔2021福省福州4分、8〕如图，△ABC，以点B为圆心，AC长为半径画弧；以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D，且点A，点D在BC异侧，连结AD，量一量线段AD的长，约为〔〕A． B． C． D．考点：平行四边形的判定与性质；作图—复杂作图．分析：首先根据题意画出图形，知四边形ABCD是平行四边形，那么平行四边形ABCD的对角线相等，即AD=BC．再利用刻度尺进行测量即可．解答：解：如下图，连接BD、BC、AD．∵AC=BD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC．测量可得BC=AD=，应选：B．点评：此题主要考查了复杂作图，关键是正确理解题意，画出图形．16、〔2021台湾、31〕如图，甲、乙两人想在正五边形ABCDE内部找一点P，使得四边形ABPE 为平行四边形，其作法如下：〔甲〕连接BD、CE，两线段相交于P点，那么P即为所求〔乙〕先取CD的中点M，再以A为圆心，AB长为半径画弧，交AM于P点，那么P即为所求．对于甲、乙两人的作法，以下判断何者正确？〔〕A．两人皆正确B．两人皆错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确考点：平行四边形的判定．分析：求出五边形的每个角的度数，求出∠ABP、∠AEP、∠BPE的度数，根据平行四边形的判定判断即可．解答：解：甲正确，乙错误，理由是：如图，∵正五边形的每个内角的度数是=108°，AB=BC=CD=DE=AE，∴∠DEC=∠DCE=×〔180°﹣108°〕=36°，同理∠CBD=∠CDB=36°，∴∠ABP=∠AEP=108°﹣36°=72°，∴∠BPE=360°﹣108°﹣72°﹣72°=108°=∠A，∴四边形ABPE是平行四边形，即甲正确；∵∠BAE=108°，∴∠BAM=∠EAM=54°，∵AB=AE=AP，∴∠ABP=∠APB=×〔180°﹣54°〕=63°，∠AEP=∠APE=63°，∴∠BPE=360°﹣108°﹣63°﹣63°≠108°，即∠ABP=∠AEP，∠BAE≠∠BPE，∴四边形ABPE不是平行四边形，即乙错误；应选C．点评：此题考查了正五边形的内角和定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行四边形的判定的应用，注意：有两组对角分别相等的四边形是平行四边形．17、〔2021安顺〕在平行四边形ABCD中，E在DC上，假设DE：EC=1：2，那么BF：BE= ．考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：由题可知△ABF∽△CEF，然后根据相似比求解．解答：解：∵DE：EC=1：2∴EC：CD=2：3即EC：AB=2：3∵AB∥CD，∴△ABF∽△CEF，∴BF：EF=AB：EC=3：2．∴BF：BE=3：5．点评：此题主要考查了平行四边形、相似三角形的性质．18、〔2021•滨州〕在▱ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，点E是边CD的中点，且AB=6，BC=10，那么OE= 5 ．考点：三角形中位线定理；平行四边形的性质．分析：先画出图形，根据平行线的性质，结合点E是边CD的中点，可判断OE是△DBC的中位线，继而可得出OE的长度．解答：解：∵四边形ABCD是平行四变形，∴点O是BD中点，∵点E是边CD的中点，∴OE是△DBC的中位线，∴OE=BC=5．故答案为：5．点评：此题考查了平行四边形的性质及中位线定理的知识，解答此题的关键是根据平行四边形的性质判断出点O是BD中点，得出OE是△DBC的中位线．19、〔13年安徽省4分、13〕如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E、F分别为PB、PC的中点，ΔPEF、ΔPDC、ΔPAB的面积分别为S、S1、S2。

平行四边形1．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，延长AE，CF分别交CD，AB 于点M，N．（1）求证：四边形CMAN是平行四边形；（2）已知DE＝4，FN＝3，求BN的长．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∵AM⊥BD，CN⊥BD，∴AM∥CN，∴四边形CMAN是平行四边形．（2）解：∵四边形CMAN是平行四边形，∴AN＝CM，∵CD＝AB，∴DM＝BN，∵CD∥AB，∴∠MDE＝∠NBF，∵∠MED＝∠NFB＝90°，∴△DME≌△BNF（AAS），∴DE＝BF＝4，在Rt△BFN中，BN＝＝＝5．2．如图，在矩形ABCD中，过BD的中点O作EF⊥BD，分别与AB、CD交于点E、F．连接DE、BF．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若M是AD中点，联结OM与DE交于点N，AD＝OM＝4，则ON的长是多少？【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠DFO＝∠BEO，∵∠DOF＝∠EOB，OD＝OB，∴△DOF≌△BOE（AAS），∴DF＝BE，∴四边形BEDF是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．（2）解：∵DM＝AM，DO＝OB，∴OM∥AB，AB＝2OM＝8，∴DN＝EN，ON＝BE，设DE＝EB＝x，在Rt△ADE中，则有x2＝42+（8﹣x）2，解得x＝5，∴ON＝．3．如图，平行四边形ABCD中，AB＝4cm，BC＝6cm，∠B＝60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）①AE为何值时四边形CEDF是矩形？为什么？②AE为何值时四边形CEDF是菱形？为什么？【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BF，∴∠DEF＝∠CFE，∠EDC＝∠FCD，∵G是CD的中点，∴GD＝GC，∴△GED≌△GFC，∴DE＝CF，而DE∥CF，∴四边形CEDF是平行四边形，（2）①当AE＝4cm时，四边形CEDF是矩形．理由：作AP⊥BC于P，∵AB＝4cm，∠B＝60°，∴BP＝2cm，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠CDE＝∠B＝60°，DC＝AB＝4cm，AD＝BC＝6cm，∵AE＝4cm，∴DE＝2cm＝BP，∴△ABP≌△CDE，∴∠CED＝∠APB＝90°，∴平行四边形CEDF是矩形，∴当AE＝4cm时，四边形CEDF是矩形．②当AE＝2时，四边形CEDF是菱形．理由：∵AE＝2cm，AD＝6cm．∴DE＝4cm．∵DC＝4cm，∠CDE＝∠B＝60°．∴△CDE是等边三角形．∴DE＝CE．∴平行四边形CEDF是菱形．∴当AE＝2时，四边形CEDF是菱形．4．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的一点，且AE＝AD，DF⊥AE于点F．（1）求证：AF＝BE；（2）若BA＝2EF，BC＝10，求矩形ABCD的面积．【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形∴AD＝BC，AB＝CD，∠B＝90°，AD∥BC∴∠DAE＝∠AEB，且AE＝AD，∠B＝∠AFD＝90°∴△ADF≌△EAB（AAS）∴AF＝BE（2）连接DE∵△ADF≌△EAB∴DF＝AB＝CD，且DE＝DE∴Rt△DFE≌Rt△DCE（HL）∴EF＝CE，设EF＝a，则EC＝a，BE＝AF＝10﹣a，AB＝2a，∴AE＝AF+EF＝10﹣a+a＝10，在Rt△ABE中，AE2＝AB2+BE2，∴100＝4a2+（10﹣a）2，∴a＝4∴AB＝8∴S四边形ABCD＝AB×BC＝8×10＝80，5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上的一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．（1）求证：CE＝AD；（2）当D在AB中点时．①四边形BECD是形；②则当∠A等于度时，四边形BECD是正方形．【答案】（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD；（2）解：①四边形BECD是菱形，理由如下：∵D为AB中点，∴AD＝BD，∵CE＝AD，∴BD＝CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB＝90°，D为AB中点，∴CD＝AB＝BD，∴四边形BECD是菱形；故答案为：菱；②当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形；理由如下：∵∠ACB＝90°，当∠A＝45°时，△ABC是等腰直角三角形，∵D为AB的中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴四边形BECD是正方形；故答案为：45．6．操作与证明：如图，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AC、AE、AF．其中AC 与EF交于点N，取AF中点M，连接MD、MN．（1）求证：△AEF是等腰三角形；（2）在（1）的条件下，请判断MD，MN的数量关系和位置关系，并给出证明．【答案】证明：（1）如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠ABE＝∠ADF＝90°，∵△EFC是等腰直角三角形，∴CE＝CF，∴BE＝DF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE＝AF，∴△AFE是等腰三角形；（4分）（2）DM＝MN，且DM⊥MN，（6分）理由是：如图，在Rt△ADF中，∵M是AF的中点，∴DM＝AF，∵EC＝FC，AC平分∠ECF∴AC⊥EF，EN＝FN∴∠ANF＝90°∴MN＝AF，∴MD＝MN，由（1）得：△ABE≌△ADF，∴∠BAE＝∠FAD，∵DM＝AF＝AM，∴∠FAD＝∠ADM，∵∠FMD＝∠FAD+∠ADM＝2∠FAD，∵AM＝FM，EN＝FN∴MN∥AE，∴∠FMN＝∠EAF，∵∠BAD＝∠EAF+∠BAE+∠FAD＝∠EAF+2∠FAD＝90°，∴∠DMN＝∠FMN+∠FMD＝∠EAF+2∠FAD＝90°，∴MD⊥MN（14分）7．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，BD⊥AC于点D；CE平分∠ACB，交AB于点E，交BD于点F．（1）求证：△BEF是等腰三角形；（2）求证：BD＝（BC+BF）．【答案】证明：（1）在△ABC中，AB＝BC，BD⊥AC于点D，∴∠ABD＝∠CBD，AD＝CD，∵∠ABC＝90°，∴∠ACB＝45°，∵CE平分∠ACB，∴∠ECB＝∠ACE＝22.5°，∴∠BEF＝∠CFD＝∠BFE＝67.5°，∴BE＝BF，∴△BEF是等腰三角形；（2）如图，延长AB至M，使得BM＝AB，连接CM，∵D是AC的中点，∴BD∥MC，BD＝MC，∴∠BFE＝∠MCE，由（1）得，∠BEF＝∠BFE，BE＝BF，∴∠BEF＝∠MCE，∴ME＝MC，∴BD＝MC＝ME＝（MB+BE）＝（BC+BF）．8．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD 于F．（1）证明：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA＝PC，∵PA＝PE，∴PC＝PE；（2）由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP＝∠BCP，∴∠DAP＝∠DCP，∵PA＝PE，∴∠DAP＝∠E，∴∠DCP＝∠E，∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF＝∠EDF＝90°；（3）在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝60°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA＝PC，∠BAP＝∠BCP，∵PA＝PE，∴PC＝PE，∴∠DAP＝∠DCP，∵PA＝PC，∴∠DAP＝∠AEP，∴∠DCP＝∠AEP∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠AEP，即∠CPF＝∠EDF＝180°﹣∠ADC＝180°﹣120°＝60°，∴△EPC是等边三角形，∴PC＝CE，∴AP＝CE．9．如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，PM⊥AD，PN⊥AB，垂足分别为点M和N，PE ⊥PB交AD于点E．（1）求证：四边形MANP是正方形；（2）求证：EM＝BN．【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°，AC平分∠DAB，（1分）∵PM⊥AD，PN⊥AB，∴∠PMA＝∠PNA＝90°，∴四边形MANP是矩形，（2分）∵AC平分∠DAB，PM⊥AD，PN⊥AB，∴PM＝PN，（3分）∴四边形MANP是正方形；（4分）（2）∵四边形ABCD是正方形，∴PM＝PN，∠MPN＝90°，∵∠EPB＝90°，∴∠MPE+∠EPN＝∠NPB+∠EPN＝90°，∴∠MPE＝∠NPB，（5分）在△EPM和△BPN中，∵，∴△EPM≌△BPN（ASA），（6分）∴EM＝BN．（7分）10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝26cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始．使PQ∥CD和PQ＝CD，分别需经过多少时间？为什么？【答案】解：根据题意得：PA＝t，CQ＝3t，则PD＝AD﹣PA＝24﹣t．（1）∵AD∥BC，即PQ∥CD，∴当PD＝CQ时，四边形PQCD为平行四边形，即24﹣t＝3t，解得：t＝6，即当t＝6时，PQ∥CD；（2）若PQ＝DC，分两种情况：①PQ＝DC，由（1）可知，t＝6，②PD≠CQ，则四边形PDCQ是等腰梯形，则有QC＝PD+2（BC﹣AD），可得方程：3t＝24﹣t+4，解得：t＝7．11．已知：在Rt△ABC中，AB＝BC，在Rt△ADE中，AD＝DE，连接EC，取EC的中点M，连接DM和BM．（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图1，探索BM、DM的关系并给予证明；（2）如果将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图2，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．【答案】解：（1）BM＝DM，BM⊥DM，在Rt△EBC中，M是斜边EC的中点，∴BM＝EC＝EM＝MC，∴∠EMB＝2∠ECB．在Rt△EDC中，M是斜边EC的中点，∴DM＝EC＝EM＝MC．∴∠EMD＝2∠ECD．∴BM＝DM，∠EMD+∠EMB＝2（∠ECD+∠ECB），∵∠ECD+∠ECB＝∠ACB＝45°，∴∠BMD＝2∠ACB＝90°，即BM⊥DM．（2）：（1）中的结论仍成立，延长DM至点F，使得DM＝MF，连接CD和EF，连接BD，连接BF、FC，延长ED交AC于点H．∵DM＝MF，EM＝MC，∴四边形CDEF是平行四边形，∴DE∥CF，ED＝CF，∵ED＝AD，∴AD＝CF．∵DE∥CF，∴∠AHE＝∠ACF．∵∠BAD＝45°﹣∠DAH＝45°﹣（90°﹣∠AHE）＝∠AHE﹣45°，∠BCF＝∠ACF﹣45°，∴∠BAD＝∠BCF．又∵AB＝BC，∴△ABD≌△CBF，∴BD＝BF，∠ABD＝∠CBF，∵∠ABD+∠DBC＝∠CBF+∠DBC，∴∠DBF＝∠ABC＝90°．在Rt△DBF中，由BD＝BF，DM＝MF，得BM＝DM且BM⊥DM．12．如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm，点P从点A出发，以每秒一个单位的速度沿A→B→C的方向运动；同时点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿B→C→D的方向运动，当其中一点到达终点后两点都停止运动．设两点运动的时间为t秒．（1）当t＝时，两点停止运动；（2）当t为何值时，△BPQ是等腰三角形？【答案】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6，BC＝AD＝8，∴AB+BC＝BC+CD＝14，∵14÷2＝7，∴t＝7；故答案为：7；（2）由题意得：AP＝t，BQ＝2t，分情况讨论：当0＜t≤4时，若BP＝BQ，则6﹣t＝2t，∴t＝2；当4＜t≤6时，若PQ＝BQ，则PB＝2CQ，6﹣t＝2（2t﹣8），∴t＝；当6＜t＜7时，由题意可知不存在；综上所述，当t为2或时，△BPQ是等腰三角形．13．如图1，在矩形ABCD中AB＝4，BC＝8，点E、F是BC、AD上的点，且BE＝DF．（1）求证：四边形AECF是平行四边形．（2）如果四边形AECF是菱形，求这个菱形的边长．（3）如图2，在（2）的条件下，取AB、CD的中点G、H，连接DG、BH，DG分别交AE、CF于点M、Q，BH分别交AE、CF于点N、P，求点P到BC的距离并直接写出四边形MNPQ的面积．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，BE＝DF，∴AD∥BC，AD＝BC，∴AF∥EC，AF＝EC，∴四边形AECF为平行四边形；（2）解：设菱形AECF的边长为x，∵四边形AECF为菱形，AB＝4，BC＝8，∴AE＝EC＝x，BE＝8﹣x，在Rt△ABE中，AE2＝AB2+BE2即x2＝42+（8﹣x）2解得：x＝5，∴菱形AECF的边长为5；（3）解：连接GH交FC于点K，设点P到BC的距离为h，如图2所示：∵G、H分别为AB、CD的中点，∴KH是△CDF的中位线，CH＝2，∴KH∥DF，∴△PKH∽△PCB，∴＝，∵四边形AECF是菱形，∴AE＝AF＝CF＝5，∵DF＝AD﹣AF＝8﹣5＝3，∴KH＝1.5，∴＝＝，解得h＝，∴＝，∵P到BC的距离，∴N到BC的距离为×＝，∴四边形NECP的面积为×8×2﹣××8×2﹣×3×＝，∵菱形AECF面积为CE×CD＝5×4＝20，∴四边形MNPQ面积为20﹣2×＝．14．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝8，点O是AB的中点．将一个边长足够大的Rt△DEF的直角顶点E放在点O处，并将其绕点O旋转，始终保持DE与AC边交于点G，EF与BC边交于点H．（1）当点G在AC边什么位置时，四边形CGOH是正方形；（2）等腰直角三角ABC的边被Rt△DEF覆盖部分的两条线段CG与CH的长度之和是否会发生变化，如不发生变化，请求出CG与CH之和的值：如发生变化，请说明理由．【答案】解：（1）当点G在AC的中点时，四边形CGOH是正方形，连接CO，∵O为AB的中点，点G是AC中点，∴OG∥BC，OG＝BC，∴∠CGO＝∠C＝90°，∵∠GOF＝90°，∴四边形CGOH是矩形，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，AO＝BO，∴∠ACO＝45°，且∠CGO＝90°，∴∠ACO＝∠COG＝45°，∴CG＝GO，∴矩形CGOH是正方形；（2）CG与CH的和不会发生变化，理由如下：连接OC，∵△ABC是等腰直角三角形且点O为中点∴∠GCO＝∠B＝45°，∠COB＝90°，CO＝BO∵∠DOF＝90°＝∠COB，∴∠GOC＝∠HOB，且CO＝BO，∠GCO＝∠B＝45°，∴△GOC≌△HOB（ASA）∴HB＝GC，∴CG+CH＝HB+CH＝BC∵AB＝8，∴BC＝AC＝8∴CG+CH＝8．15．已知：平行四边形ABCD中，∠ABC＝45°，对角线AC⊥CD．（1）如图1，若AD＝6，求平行四边形ABCD的面积．（2）如图2，连接BD交AC于O点，过点A作AE⊥BD于E，连接EC．求证：ED＝AE+EC．【答案】解：（1）∵∠ABC＝45°，AC⊥CD，∴△ACD是等腰直角三角形，∵AD＝6，∴AC＝CD＝AD＝3，∴平行四边形ABCD的面积＝33＝18；（2）过C作FC⊥BD于F，∵AE⊥BD，∴∠AEO＝∠CFO＝90°，∵∠AOE＝∠COF，∵平行四边形ABCD中，AO＝CO，∴△AOE≌△COF（AAS），∴AE＝CF，OE＝OF，∵∠ABC＝45°，AC⊥CD，∴△ACD是等腰直角三角形，设AC＝AB＝2x，∴AD＝BC＝2x，∴AO＝x，∴BO＝DO＝＝x，∵S△AOB＝AB•AO＝BO•AE，∴AE＝＝＝，∴OE＝OF＝＝x，∴EF＝CF＝x，∴CE＝EF＝x，∵DE＝＝x，AE+EC＝x+x＝x，∴ED＝AE+EC．16．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠ABD的平分线BE交AC于G，交AD于F，且DE ⊥BE．（1）求证：DE＝BF；（2）若BG＝，求BF的长．【答案】（1）证明：延长DE和BA交于M，∵DE⊥BE，∴∠BED＝∠BEM＝90°，∵BF平分∠ABD，∴∠ABE＝∠DBE，在△MBE和△DBE中∠MEB＝∠DEB，BE＝BE，∠MBE＝∠DBE，∴△MBE≌△DBE，∴DE＝EM＝DM，∵正方形ABCD，∴AB＝AD，∠MAD＝∠BAD＝90°，∵∠EFD＝∠AFB，∴∠MDA＝∠ABF，在△ABF和△ADM中∠MAD＝∠BAF，AB＝AD，∠ADM＝∠ABF，∴△ABF≌△ADM，∴BF＝DM，∴DE＝BF．（2）解：∵正方形ABCD，∴∠BAC＝∠ADB＝×90°＝45°，∵∠ABG＝∠DBG，∴△ABG∽△DBF，∴＝＝＝，∴BF＝2．。

一般平行四边形习题1．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD 于F．（1）求证：BE=DF；（2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）．2．如图所示，▱AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE，CF交于B，D．求证：四边形ABCD是平行四边形．3．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO．4．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD．求证：EF=AD．5．如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明．6．如图，已知，▱ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点．求证：四边形MFNE是平行四边形．7．如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE=DF，连接AE，EC，CF，FA．求证：四边形AECF是平行四边形．8．在▱ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF是平行四边形．9．如图所示，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，求证：BC=DE．9．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C 向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形．问当P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？答案与评分标准1．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD 于F．（1）求证：BE=DF；（2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）．考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。