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第二章 光波场的描述

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第二章 光波场的描述(2)

第二章 光波场的描述(2)

G ( ) g ( t )e i 2 t dt

(3)
(2)、(3)两式称为傅里叶积分，并称G()是g(t) 的傅里叶变换。记为 G ( ) F { g ( t )} 而g(t)是G()的傅里叶逆变换。记为
g ( t ) F 1{G ( )} 傅里叶变换就是通过傅里叶积分，把时间或 空间坐标的函数变换为时间频率或空间频率的函 数或相反的逆运算操作。
光振动在屏面内
E

光振动垂直于屏面
2、圆偏振光 光矢量的大小恒定，其方向以角速度(时间 圆频率)绕传播方向匀速转动，这种情况光矢量的 末端的轨迹为一圆。迎着光的传播方向看，光矢 量沿顺时针方向旋转的称为右旋圆偏振光；若逆 时针方向旋转，则称为左旋圆偏振光。
E
圆偏振光在光路图中的表示法 右旋圆偏振光 左旋圆偏振光
2 , m 1, 3,5, m
Am
1 2


2
2 3


基频 2 5

3倍频 其中
5倍频
0 2 0
o v0
3v0 5v0
v
3.1 傅里叶积分
非周期性函数不能用傅里叶级数表示，但可 以用傅里叶积分表示。如果非周期性函数g(t)满足 狄里希利条件，并在无穷区间(– , )绝对可积， 则它可用下述积分表示： 1 i t g(t ) G ( ) e d (1) 2 (2) 2 g ( t ) G ( )e i 2 t d 上式表示非周期性函数g(t)分解为许多基元函 数的线性组合，每个基元函数形式为ei2 t，G() 函数是各分量叠加时的权重，相当于频率为 的 简谐函数的振幅，G()称为函数g(t)的频谱函数， 简称频谱。

《信息光学》单色光波场的一般数学描述

《信息光学》单色光波场的一般数学描述

与前面讲过的FT和IFT相联系，则更易理解，物理意
义更清楚：
F ( u , v ) f ( x , y ) e x p [ j 2 ( u x v y ) ]d x d y
f ( x , y ) F ( u , v ) e x p [ j 2 ( u x v y ) ]d u d v
r 2
k
1 球面波复振幅：
发散球面波： U°
(
v r
)
a 0
exp
j(kr
0)
r
会聚球面波：U°
(
v r
)
a0
exp
j(kr
0)
r
球面光波在整个 空间中，沿任何 方向上的空间频 率均为:1/; 沿任 何方向上的空间 周期均为: 。
在 z=z0 面上的复振幅分布为:
U° ( x , y , z ) 0
a
exp[ jk
x
2
x0
y
2
y0
z2 0
x
2
x 0
y
2
y 0
z2 0
]
如果在 z=z0 平面上，观察考察的区域较小，且z0较大时，
则在z=z0平面上的波前函数可表示为：
U° ( x , y , z ) 0
a
exp(
jkz ) exp 0
jk
x
2
x0
y
2
y0
z 0
2z 0
上述近似称为 傍轴近似；
F (u , v ) 称为空间频谱，
cos cos
F(
,
)
称为角谱。
第2章 光波衍射的线性系统分析（标量衍射角谱理论） ——标量波衍射理论

光纤通信原理第2章光纤2波导

光纤通信原理第2章光纤2波导
和边界条件求出光纤中的导模横向能量 分布（模式）、传输常数、截止条件
麦氏方程----波动方程
直角坐标----柱坐标、归一化、通解
边界条件----特征方程 解 唯一
单模光纤分析
线偏振标量模
各个模式的截止曲线 传导模特性
☆波导方程的推导思路
麦克斯韦方程组
H J D t
E B t
• B 0 2.2.0.1
由波动方程求出满足边界条件的纵向场分量EZ、 HZ，再由麦氏方程组求出其它四个横向量
问题：
烦杂，除特例外，一般无解析解
办法(几个假设)
弱导近似，△<<1， —仅能传输单个模式 标量近似(阶跃光纤）—偏振方向不变 WKB近似(梯度光纤）
（振幅缓变，振幅的导数与振幅本身相比的项都忽略）
解决办法
•D
H-磁场强度，E-电场强度 B-磁感应强度，D-电位移矢量 -电荷密度，J-电流密度
电荷守恒定律
• J 0tBiblioteka 2.2.0.2物质方程
J E
2.2.0.3
D 0 E P 0r E B O H M Or H O H
P-媒质极化强度，M-磁化强度
-媒质电导率，o、o-自由空 间的介电常数和磁导率
×
弱导近似
° △<<1,NA=n0sinc≈1， c≈90
√
此时在光纤中传播的电磁波非常
接近于TEM波（横电磁波，比如平面波，只有横 向分量Et、Ht ，纵向分量Ez、Hz均为0） Ez、Hz 均很小，横向分量Et、Ht 很强
标量近似(阶跃光纤）
Et、Ht 的偏振方向在传输过程中保持不变，可 以用一个标量描述。即可以设：横向电场沿y
Ey (z) Ey (0)e j z

chap3光波的基本性质

chap3光波的基本性质
光波的线性叠加原理 当两列波（或多列 波）同时存在时，在他们的交叠区内，每点 的光振动，是各列波单独存在时在该点产生 的光振动的合成。用数学式表示
EE 1E 2 E n.
n
光波的线性叠加的条件是： (1）线性媒质，（2）非强光光源.
2、两个频率相同、振动方 向相同的单色光波的迭加
合振动（波）
E E 1 E 2 E 0 [ c o s ( 1 t k 1 z ) c o s (2 t k 2 z ) ]
和差化积：
E 2 E 0 c o s 1 2 [ ( k 1 k 2 ) z (1 2 t) ] c o s 1 2 [ ( k 1 k 2 ) z (1 2 ) t]
平面电磁波
• 麦克斯韦方程组所描述的电磁波可以转化为 一个二阶偏微分方程。

• 要决定解的具体形式，必须根据 E,B满足的 边界条件和初始条件求解方程。
• 由于其是一个三维波，平面波是三维波的的 一种基本形式，故通过它来讨论电磁波的基 本性质是合理的、方便的。
• 电磁波的波动微分方程表明：电磁波是
光是一种电磁辐射，按能量供给的方式不同， 发光可分为两大类：
（1） 热辐射； （2） 光发射： 电致发光
化学发光
场致发光 光致发光
各种波长的电磁波中，能为人所感受的是 (400—700)nm的窄小范围． 对应的频率范围是
= （7.6 4.0）1014 HZ ．
这波段内电磁波叫可见光，在可见光范围内， 不同频率的光波引起人眼不同的颜色感觉．
二、平面波、球面波的复振幅 ：
称 E E 0 e ik r 0 E 0 e i k x c o s y c o s z c o s 0 平面

单色光波场的一般数学描述

单色光波场的一般数学描述

在 z=z0 平面上的复振幅分布为：
exp( j2
cos
z0 )exp
j2 (ux vy)
可见，单色平面波从 z=0 平面传播到 z=z0 平面上，其在xy平面上的相位分布不变，只是整体发生一个相移:
exp( j2
cos
z0 )
而
exp
j2
(ux
vy)
exp
j2
cos
x cos
exp jk x cos y cos
等相位线方程 x cos y cos C
等相位线是一族等间距的平行直线。
1.7.2 平面波的空间频率
U
x,
y, z
a
exp
j2
cos
x cos
y cos
z
a exp j2 fx x fy y fz z
x方向：空间频率
x x0 2 y y0 2 c 等相位线是z=z0平面上, 以(x0,y0)
c是任意常数 为圆心的同心圆环族。(内疏外密)
2 单色平面波 在整个空间中:
U x, y, z a exp j kx cos ky cos kz cos
U x, y, z a exp jkz 1 cos2 cos2
fx
kx
2
cos
，
空间周期 dx
1 fx
cos
y方向：空间频率 f y
ky
2
cos
，
空间周期
dy
1 fy
cos
z方向：空间频率
fz
kz
2
cos
，
空间周期
dz
1 fz
cos
2

光波场的描述

光波场的描述
/2。
且所考察面积趋于零时的情形
z
y
r [(x xs )2 ( y ys )2 (z zs )2 ]1/2
• 会聚球面波
k 方向指向球心的球面波 k r kr
E

E0 r
cos(kr
t
0)
§2.5 光的偏振态
1、自然光：
每一分子（原子）发光是随机的、无规
律的。①振动面取各方向的几率相等，
z
cos

ct]}

E0
cos[ 2
(x sin


z cos
ct)]
沿Z轴正方向传播的平面波
, 0,k r kz
2
E(z,t) E0 cos(kz t 0 )
沿Z轴负方向传播的平面波
, 0,k r kz
矢量表示
k 2f
空间角频率矢量
空间频率矢量
基本关系： cos2 cos2 cos2 1
f
( fx2
f
2 y

1
fz2)2
1

- -波数
k
(kx2
ky2
1
kz2)2

2
尽管各方向的空间频率不同—沿波的传播方向波场
的空间周期恒为 。空间频率恒为 f 1/ 。
y x
4
2
3

4
0, 2
右旋
5
3
7
4
2
4
左旋
⑴ 圆偏振和自然光、椭圆偏振光和部分偏振光的区别在于： 圆偏振光和椭圆偏振光相互垂直的两线偏振光是相位相关的；

第二章 光波场的数字离散化

Northwestern Polytechnical University
2.3 利用MATLAB语言实现光波波前
平面光波的波前实现
16 2014-8-31
U x, y, z a expj k x cos y cos z cos
cos2 cos2 cos2 1
Pixel (b)Digital picture （N×N）pixel
f11 f U 21 f N1 f12 f 22 fN2 f1 N f2N f NN
(a)Picture
(c)Matrix（N×N）
图像的离散化和矩阵表示
Northwestern Polytechnical University
U x, y, z a exp j kz cos exp j k x cos y cos
2 2 a exp j kz 1 cos cos exp j k x cos y cos
2 2 A a exp j kz 1 cos cos
Northwestern Polytechnical University
2.2 二维抽样定理与光波场的数值重建
空间带宽积的几点说明
12 2014-8-31
对于一个空间物体（如图像），SW决定了可分辨像元的 数目，即空间物体的自由度或自由参数N。当g(x,y)是实函数时， 每一个抽样值为一个实数
N SW 16 XYBx By
2.2 二维抽样定理与光波场的数值重建
空间带宽积
11 2014-8-31
若限带函数g(x, y)在频域│fx│≤Bx、│fy│≤By以外恒等 于零，考虑函数在空域│x│≤X、│y│≤Y的区间上的抽样 数目最少应为

第二章 波动光学基本原理

第二章波动光学基本原理Chap.2 Basic Principles of Optical Waves目的要求：1、掌握光的复振幅表示形式；2、掌握光的相干条件和光程的概念；3、掌握双光束干涉光强分布的特征，并能具体计算一些问题；4、认识光的衍射现象掌握衍射条件； 5、理解惠更斯-菲涅耳原理及菲涅耳积分表达式的意义；6、理解菲涅耳的半波带理论及菲涅耳圆空和圆屏衍射，熟悉波带片及特征；7、掌握夫琅和费单缝衍射的实验装置、光强分布及衍射化样的特点；8、了解夫琅和费圆孔衍射，掌握其爱里斑半角宽度公式并知其重要性；9、掌握助视仪器的像分辨本领；10、熟悉光的五种偏振态；11、掌握布儒斯特定律和马吕斯定律，并能利用其计算具体问题；重点：相干条件、杨氏双缝、菲涅耳衍射、夫琅禾费衍射、布儒斯特定律和马吕斯定律难点：复振幅、菲涅耳半波带理论、单缝强度分布导出及分析、半波损失。

教法：由浅入深、理论联系实际、以姿势助说话、启发式、反馈控制等注意：与电磁学的联系、实际例子列举、重点内容要讲清讲透学时：--------由清华大学杨氏教授撰写第二章波动光学基本原理第一课几何光学和波动光学是经典光学的两个组成部分。

几何光学从光的直线传播、反射、折射等基本实验定律出发，讨论成像等特殊类型的传播问题，它在方法上是几何的，在物理上不必涉及光的本性。

但是，要真正理解光，理解光场中可能发生的一切绚丽多彩的景象，必须研究光的波动性。

此外，也只有从光的波动理论才能看出几何光学理论的限度。

§2.1-2.2 光波的基本概念一、波动的概念振动在空间的传播形成波动，波场中每点的物理状态随时间作周期性变化，而在每一瞬时波场中各点物理状态的空间分布也呈现一定的周期性，因此，我们说波动具有时空双重周期性。

此外，伴随着波动，总有能量的传输，具有时空双重周期性的运动形式和能量的传输，是一切波动的基本特性，不具备这种特性的事物，不能成为严格意义下的波动。

第二章光波场的描述(1).


k cos x k cos y k cos z cos cos cos 2 ( x y z)



i(k ~ ψ ( P ) = Ae
x
x + k y y + k z z + φ0 )
= Ae = Ae
iφ0
iφ0
e i 2π ( f e
i 2π (
a i[( kr (r, t ) e r
振源到场点P的距离
离的场点的振幅
0
) t ]
A( P )e
i ( kr 0 )
e it
A(P)=a/r是P点的振幅
在光学中，波场中的任一曲面或平面称为波 前，而实验和应用中大多数是在平面上观察波的 分布，所以现在讨论球面波在x–y平面上的表示 方法。
球面波的点源
P0到P的距离
P0
r
z

y
(x , y )
P

场点
x
o
设0=0，则在 xy平面上波的复 振幅为 a ikr ~ (P) e r
xy平面到P0的距离
式中 r z 2 x 2 y2
当xy平面远离P0点时，常考虑两种近似条件 (1) 傍轴近似，满足条件：x2 + y2 << z2
空间性物理量 名称 波长 空间频率 备注 空间周期 f =1/

f

圆频率
=2 v
k
波数
k =2 f
（3）平面简谐波的复指数函数形式 为了运算方便，可把平面简谐波的波函数写 成复指数函数形式 ( z , t ) A cos(t kz 0 ) A cos[(t kz 0 )]

第二章 光波场的描述

）
4000 A
0.1mm
——波速
T

c

实验证明：对人眼视觉和感光仪器起作用的主要 是光的振动部分， 所以，一般用电振动矢量 E 来代表光的振动。 光矢量：电矢量
E
光在不同介质中，光速不同，但频率不 变，所以波长 变，波长一般指真空中的波长。
n
nn
介 质 中
r vt
(4) 2 1

2
x2 y2 2 1 2 A1 A2
y 落后 /2， 轨迹顺时针——左旋。
2 1 0
2 1

4
2 1

2
3 2 1 4

5 4
3 2
7 4
ห้องสมุดไป่ตู้
部分偏振光及其表示法垂直纸面的光振动较强在纸面内的光振动较强二两个频率相同振动方向互相垂直的简谐波的合成这是椭圆方程质点的轨迹一般是个斜椭圆
第二章 光波场的描述
c 2.折射率 n r r 连接光学和电磁学的桥梁。 v
3.可见光的波长范围和频率范围。（真空中） 紫外 λ 390~760nm υ 7.5×1014~4.1×1014Hz o o
Ex E y 2Ex E y 2 cos( ) sin ( y x ) y x 2 2 Ax Ay Ax Ay
Ey
A2
这是椭圆方程，质点的轨 迹一般是个斜椭圆。
0
A1
Ex
(1) 2 1 0
y
Ey 2 Ex E y Ex 2 0 2 Ax Ay Ax Ay
2
2
A2
0
A1 x
Ex E y 0 Ax Ay
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ห้องสมุดไป่ตู้
2
2
A2
0
A1 x
Ex E y 0 Ax Ay
2Ex E y Ex 2 0 2 Ax Ax Ay Ay
2
(2) 2 1
y
Ey
2
A2
0
A1 x
Ex E y 0 Ax Ay
( 3) 2 1

2
x2 y2 2 1 2 A1 A2
y 超前 /2， 轨迹顺时针——右旋。
3.部分偏振光
完全偏振光和自然光是两种极端情形，介于二者之 间的一般情形是部分偏振光。
x z
在纸面内的光振动较强
y 垂直纸面的光振动较强
部分偏振光及其表示法
二、两个频率相同、振动方向互相垂直的简谐波的合成
1.同频率
2 2
E y Ay cos( t y )
Ex Ax cos(t x )
真 空 中
nr
三．光强
物理仪器检测到的光强I是由能流密度大小 决定的，即玻印亭矢量S的平均值： I | S |
1 2 1 1 2 n 2 E E E v c/n c
n E02 I | S | ( ) c 2
E | S || E H | EH E E v B 1
(其中 E vB)
由于 c 为常数，E0为振幅，所以
为描述方便，取相对光强
I E02 ， I
n
IA
2
§5 光的偏振态
1、自然光
E 没有优势方向
特点
X
（1）在垂直于其传播方向的平 面内，光矢量沿各方向振动的概 率均等. 自然光可以用下图表示
Y
Z u

（2）自然光可以分解为两束等振幅的、 振动方向互相垂直的、不相干的光。
第二章 光波场的描述
c 2.折射率 n r r 连接光学和电磁学的桥梁。 v
3.可见光的波长范围和频率范围。（真空中） 紫外 λ 390~760nm υ 7.5×1014~4.1×1014Hz o o
50 A
红外
7600 A
o
二、光波是横波（振向和传向垂直） A——振幅 E A cos t 0 0 单色波源振动 H 0 B cost 0 r 0 ——初相位 传到P点：E A cos t p 0 v ——圆频率 2 2 / T 1 / T
Ex E y 2Ex E y 2 cos( ) sin ( y x ) y x 2 2 Ax Ay Ax Ay
Ey
A2
这是椭圆方程，质点的轨 迹一般是个斜椭圆。
0
A1
Ex
(1) 2 1 0
y
Ey 2 Ex E y Ex 2 0 2 Ax Ay Ax Ay
(4) 2 1

2
x2 y2 2 1 2 A1 A2
y 落后 /2， 轨迹顺时针——左旋。
2 1 0
2 1

4
2 1

2
3 2 1 4

5 4
3 2
7 4
Ey Ex
自然光的分解
Ex 和 E y无固定关系: 它们是彼此独立的振动,
总光强 I I x I y 2 I x 2 I y
1 Ix Iy I 2
2、线偏振光
·
E
u
光振动方向与传播方向 决定的平面称为振动面. 光矢量（ E）只在一个固定 平面内沿单一方向振动的光 线偏振光表示法 叫线偏振光 （也称平面偏振光）。
）
4000 A
0.1mm
——波速
T

c

实验证明：对人眼视觉和感光仪器起作用的主要 是光的振动部分， 所以，一般用电振动矢量 E 来代表光的振动。 光矢量：电矢量
E
光在不同介质中，光速不同，但频率不 变，所以波长 变，波长一般指真空中的波长。
n
nn
介 质 中
r vt